100411_25_Trabajo_Fase 2

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TRABAJO COLABORATIVO 2

PRESENTADO A

CLEMENCIA ALAVA VITERI

POR

ANGELA TATIANA FLOREZ

COD. 1023868082

MAYULIS ESTHER SUAREZ

COD. 32876321

OSCAR RANGEL SABOGALCOD.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIEIRIA

BOGOTA D.C.

201

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INTRODUCCI!N

Los métodos generales de integración son las técnicas utilizadas para calcular una anti derivada o

integral indefinida de una función. Dentro de estos se pueden encontrar la integración directa, laintegración por sustitución por cambio de variable, la integración por partes y las integraciones

trigonométricas.

Para dar solución a los problemas propuestos se hizo uso de los métodos conocidos y se evaluó cadauna de las integrales teniendo en cuenta lo solicitado.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Si el limite existe y es finito, decimos ue la integral impropia es convergente, donde el l!mite es el

valor de la integral. Si el limite no existe, decimos ue la integral impropia es divergente.

"valuar las siguientes integrales impropias#

1.

∫0

1

ln ( x ) dx

¿ ( x ) x−∫ 1

x xdx= xIn ( x )−∫1dx

∫1dx=1 x= x

¿ xIn ( x )− x+c

lim x →0+ ( xIn ( x ) )=(¿ ( x )1

x )=(

1

x

−1

x2 )

¿ lim x →0+ (− x )= lim x →0+(−0 )=0

¿ lim x →0+ (− x )=1∈(1 )−1=−1

¿−1−0

¿−1

2.

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∫2

∞1

( x−1)2 dx

¿∫ 1

u21

du=∫ 1

u21

du

¿∫u−2

du= u

−2+1

−2+1=( x−1)−2+1

−2+1

¿− 1

x−1+c

lim x →2+( −1

x−1 )= −1

2−1=−1

lim x →∞+( −1

x−1 )= −1

∞−1=0

¿0− (−1 )

$%

3.

∫−∞

∞

e−5 x

dx

&ntegración por sustitución#

∫ f (g ( x ) ) . g ´ ( x ) dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )

u=−5 x : du=−5dx ,dx=(−1

5 )du

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¿∫ eu(−1

5 )du

¿∫−e

u

5 du

Se aplica la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿−1

5∫ eu

du

Se utiliza la integral com'n#

∫eudu=e

u

¿−1

5 e

u

(l sustituir#

u=−5 x

¿−1

5 e

(−5 x)

Se simplifica#

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¿−e−5 x

5

(dicionando la constante a la solución#

¿−e−5 x

5 +C

)alculando los l!mites#

( F ( x ) )− lim x→ a+¿( F ( x ))

¿

x→b−¿¿f ( x ) dx= F (b )− F (a )=lim

¿

¿

∫a

b

¿

−e−5

5

(¿)=−∞

lim x →−∞

¿

−e−5

5

(¿)=0

lim x→ ∞

¿

¿0−(−∞)

Simplificando#

¿∞

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".

∫2

5

4+ x

√ x2−4

dx

∫ 4+ x

√ x2−4

d x

*egla de la suma#

∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫ g ( x ) dx

¿∫ 4

√ x2−4

dx+∫ x

√ x2−4

d x

∫ 4

√ x2−4

d x

Se aplica constante

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

4∫ 1

√ x2−4

dx

Por √ b x2−a sustituyo

x=√ a

√ bsec (u)

&ntegración por sustitución

∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g( x )

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x=2 sec (u) :dx= 2

cos (u)tan (u ) d u

2 sec (u ) ¿2−4

¿¿¿√ ¿1

¿4∫¿

¿4∫

2

cos (u)tan (u)

√ 4 sec2(u)−4

d u

(plicamos la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿4.2∫

1

cos (u) tan (u)

√ 4 sec2

(u)−4

d u

¿4.2∫

tan (u)cos (u)

√ 4 sec2(u)−4

du

(plicando la propiedad algebraica#(a+b )=a (1+b

a )

4 sec2 (u )−4=4 (4 sec

2 (u )4

−1)

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¿4.2∫

tan (u)cos (u)

√4(4 sec

2 (u )4

−1)du

¿4.2∫tan (u)cos (u )

2√ sec2 (u )−1

du

+sando la identidad# sec2 ( x )=1+tan2( x )

¿4.2∫

tan (u )

cos (u )2√ −1+1+ tan

2 (u )du

(plicamos la constante

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿4.21

2∫

tan (u )cos (u)

√ −1+1+ tan2 (u )d u

¿4.21

2∫

tan (u )cos (u )

√ tan2 (u )

du

√ tan2 ( x )=( tan (u )) , tan (u)≥0

¿4.21

2∫

tan (u )cos (u )

√ tan (u ) d u

¿4.21

2∫ 1

cos (u) du

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+samos la identidad#

1

cos ( x)=sec ( x)

(plicamos la com'n integral#

tan

sec (u ) du=ln(¿(u )+sec (u ))

∫¿

¿4.21

2 ln (tan (u )+sec (u ) )

Sustituyou=arcsec(

1

2 x )

¿4.21

2 ln ( tan(arcsec( 12 x ))+sec(arcsec( 12 x)))

Simplificamos#

4 ln(√1−

4

x2 x

2 +

x

2 )∫ x

√ x2−4

dx=√ x2−4

∫

x

√ x2−4

d x


∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g( x )

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u= x2−4 :du=2 xdx,dx=

1

2 x d u

¿∫ x

√ u

1

2 x du

¿∫ 1

2√ udu

(plicamos la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿1

2∫ 1

√ udu

+sando la propiedad#

1

an=a

−n

1

√ u=u

−0.5

¿1

2∫u

−0.5

¿1

2∫u

−0.5du

(plicando#

∫ xa dx= xa+1

a+1, a≠−1

¿1

2

u−0.5+1

−0.5+1

Sustituyo#

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u= x2−4

¿1

2

( x2−4)−0.5+1

−0.5+1

Simplifico#

√ x2−4

(√1− 4

x2 x

2 +

x

2)+¿√ x2−4

¿4 ln ¿

(gregamos la constante a la solución#

(√1− 4

x2 x

2 +

x

2)+¿√ x2−4+c

¿4 ln¿

)alculamos los l!mites

f ( x ) dx=fF (b )− F (a )=lim x→ b

−( F ( x ) )−lim x →a

¿+( F ( x ))

∫a

b

¿

(√1− 4

x2 x

2 +

x

2)+¿√ x2−4

4 ln¿¿

lim x→ 2

+¿

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(√1− 4

x2 x

2 +

x

2)+¿√ x2−4

4 ln¿

¿lim x→ 5

−¿

¿4 ln( 5+√ 212 )+√ 21−0

Simplificamos#

¿√ 21+4 ln

(5+√ 21

2

)Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades bsicas de las

integrales -integrales inmediatas y las diferentes técnicas y métodos de integración como integración por

sustitución e integración por cambio de variable.

"valuar las siguientes integrales#

.

∫sec

2(√ x)

√ x dx


∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g( x )

u=√ x :du= 1

2√ xdxdu=

1

2u dx, dx=2ud u

¿∫ sec2 (u )u

2ud u

∫2 sec2 (u ) du

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(plicamos constante

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿2∫ sec2 (u )du

Se aplica la regla de integración#

∫ sec2 (u ) du=tan (u )

¿2tan (u )

Sustituyendo#

u=√ x

¿2tan (√ x )

(gregando la constante#

¿2 tan (√ x )+c

6.

∫1

4

1

(1+√ x)dx


∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f ( u) du,u=g( x )

u=√ x :du= 1

2√ xdxdu=

1

2u dx,dx=2udu

¿∫ 1

1+u 2udu

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∫2− 2

u+1 du

*egla de la suma#

∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫ g ( x ) dx

¿∫ 2du−∫ 2

u+1d u

∫2du=2u

∫ 2

u+1du=2 ln (u+1 )

¿2u−2 ln (u+1 )

Sustituyo#

u=√ x

x+1

√ ¿¿2√ x−2 ln ¿

(gregamos la constante a la solución#

x+1√ ¿¿

¿2√ x−2 ln ¿

)alculamos los l!mites

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−( F ( x ) )−lim x →a

¿+( F ( x ))

∫a

b

¿

lim x→ 1

+(2√ x−2 ln (√ x+1) )=2−ln (4)

lim x →4

−(2√ x−2 ln (√ x+1 ) )=4−ln (9 )

¿4−ln (9 )−(2−ln (4 ) )

Simplificamos#

¿2+ln (4 )−ln (9 )

7.

∫0

π /2

sen2 ( x ) cos ( x )dx

&ntegración por sustitución#

∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g( x )

u=sin ( x ) :du=cos ( x )dx , dx= 1

cos ( x ) du

¿∫ u2cos ( x )

1

cos ( x )du

¿∫u2du

Se aplica regla de potencia#

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∫ xadx=

xa+1

a+1, a≠−1

¿u

2+12+1

Sustituyo#

u=sin ( x )

¿sin

2+1( x)2+1

Simplificamos#

¿sin

3( x)3

Se agrega la constante a la solución#

¿ sin3

( x)3

+c

Se calculan los l!mites#


−( F ( x ) )−lim x →a

¿+( F ( x ))

∫a

b

¿

lim x→ 0

+( sin3 ( x )3 )=0

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lim

x →∏

2

+( sin3 ( x )3 )=1

3

¿1

3−0

Simplificamos#

¿1

3

8.

∫ xe( x2−1)

dx

Se aplica la integración por sustitución#

∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )

u= x2−1 :du=2 xdx ,dx=

1

2 x du

¿∫ xeu 2

2 x du

¿∫ eu

2 du

Se saca la constante#

¿1

2∫ e

udu

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Se aplica la regla de la integración#

∫eudu=e

u

¿ 12

eu

Se sustituye en la ecuación#

u= x2−1

¿1

2 e( x2−1)

Se simplifica#

¿ e

x2−1

2

Se agrega la constante a la solución#

¿ e

x2−1

2 +C

"xisten varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución

trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.

*esolver las siguientes integrales enunciado claramente la técnica o propiedad utilizada#

$.

∫ 1

( x2+4 x+13)dx

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∫ 1

x2+4 x+13

dx

¿∫

1

( x+2 )2+9 dx


∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )

u= ( x+2 ) :du=1dx ,dx=1du

¿∫ 1

u2+9

1du

¿∫ 1

u2+9

du

Se tiene en cuenta para sustituir#

Parabx2± por x=√ a

√ bu


∫f

(g

( x

) ). g

'

( x

)dx

=∫f (

u)du,u

=g

( x

)

u=3 v :du=3dv

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¿∫ 1

(3 v )2+93dv

¿∫ 1

3 v2+3 dv

/eniendo en cuenta#

1

3 v2+3

¿∫ 1

3 ( v2+1 )dv

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿1

3∫ 1

v2+1

dv

+tilizando la integral com'n#

∫ 1

v2

+1

dv=arctan ( v )

¿1

3 arctan(v )

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Se sustituye#

v=1

3 u .u=( x+2 )

1

3( x+2)

(¿)

¿1

3 arctan¿

Simplificando#

x+23

arctan(¿)3

¿¿

Se adiciona la constante a la solución#

x+2

3

arctan(¿)3 +C

¿¿

10.

∫ 1

4− x2 dx

Se aplica integración por sustitución#

∫ f (g ( x ) ) g ( x ) dx=∫ f (u )du ,u=g( x)

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¿∫ 1

4−(2u ²)2du=∫ 1

2−2u ²du

¿∫ 1

2−

(1−

2u2

2

)

du

¿1

2∫ 1

1−u ² du

¿1

2 arcan!(u)

¿1

2 arcan!(

1

2 x )

¿arcan!( x

2 )2

¿arcan!( x

2 )2

+C

11.

∫ x √ x+1dx


∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )

u= x+1 :du=1dx , dx=1du

¿∫ x√ u1du

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¿∫ x√ udu

u= x+1→ x=u−1

¿∫ (u−1 ) √ u du

"xpandiendo#

(u−1 ) √ u

u

(¿¿ 3

2−√ u)du

¿∫ ¿

(plicando la regla de la suma#

∫ f ( x ) ≠ g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫g ( x ) dx

¿∫u3

2 du−∫√ udu

∫u

3

2

du=

2u5

2

5

∫u3

2 du

(plicando la regla de la potencia#

∫ x

a

dx=

xa+1

a−1 a≠−1

¿ u

3

2+1

3

2+1

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Simplificando#

¿2u

5 /2

5

∫√ u du=2u

3

2

3

∫√ udu

(plicando la regla de la potencia#

∫ x

a

dx=

xa+1

a−1 a≠−1

¿ u

0.5+1

0.5+1

Simplificando#

¿2u

3

2

3

¿2u

5

2

5 −

2u3

2

3

Sustituyendo en la ecuación#

u= x+1

¿ 2( x+1)

5

2

5 −2( x+1)

3

2

3

Se adiciona la constante a la solución#

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¿2( x+1)

5

2

5 −

2 ( x+1 )3

2

3 +C

12.

∫ 2 x

( x2−3 x−10 ) dx

∫ 2 x

x2−3 x−10

dx

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

2∫ x

x2−3 x−10

dx

¿2∫ x

( x−3

2 )2

−49

4

dx


∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )

u=( x−3

2 ) :du=1dx,dx=1du

¿2∫ x

u2−

49

4

1du

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¿2∫ x

u2−

49

4

du

/eniendo en cuenta#

u=( x−3

2 )→x=u+ 3

2

¿2∫u+

3

2

u2−49

4

du

(plicando la regla de la suma#

∫ f ( x ) ≠g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx≠∫g ( x ) dx

3

2

u2−49

4

du

∫ u

u2−

49

4

du+∫ ¿

¿2¿

∫ u

u2−

49

4

du=ln(u2−

49

4 )2

∫ u

u2−

49

4

du

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∫ f (g ( x ) ) . g' ( x )dx=∫ f ( u ) du,u=g ( x )

v=u2−

49

4 : dv=2udu,du=

1

du dv

¿∫ u

v

1

2u dv

¿∫ 1

2v dv

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿1

2∫ 1

v dv


∫ 1v dv=ln (v )

¿1

2 ln (v )

Sustituyendo#

v=u2−

49

4

¿1

2 ln (u2−

49

4 )

Simplificando#

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¿ln(u

2−49

4 )2

∫

3

2

u2−

49

4

du=

3arctan

(

2u

7

)7

∫3

2

u2−49

4

du

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿3

2∫ 1

u2−

49

4

du

Se tiene en cuenta para sustituir#

Parabx2± por x=√ a

√ bu


∫ f (g ( x ) ) . g ' ( x )dx=∫ f (u ) du,u=g ( x )

u=72

v :du=72

dv

¿3

2∫ 1

(72 v)2

−49

2

7

2 dv

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¿3

2∫ 2

7 (v2−1)dv

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .∫ f ( x ) dx

¿3

2

2

7∫ 1

v2−1

dv

(plicando la propiedad algebraica#

(a−b )=−(−a+b )

v2−1=(−1)(v2+1)

¿3

2

2

7∫ 1

(−1 ) (−v2+1)

dv

Por la constante#

∫a . f ( x ) dx=a .

∫f ( x ) dx

¿3

2

2

7

1

−1∫ 1

−v2+1

dv


∫ 1

v2+1

dv=arctan ( v )

¿3

2

2

7

1

−1arctan (v )

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(l sustituir#

v=1

7 u

1

7

u

2

(¿)

¿3

2

2

7

1

−1arctan ¿

Simplificando#

¿−3arctan

(2

u7 )

7

ln(u2−49

4 )2

−3arcan( 2u

7 )7

¿2¿

(l sustituir#

u=( x−3

2 )

¿2( ln(( x−3

2 )2

−49

4 )2

−

3arctan(2( x−3

2 )7 )

7)

(dicionando la constante#

¿2( ln(( x−3

2 )2

−49

4 )2

−

3arctan( 2( x−3

2 )7 )

7)+C

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CONCLUSIONES

Los diferentes métodos propuestos y teóricamente descritos los cuales se encuentran

relacionados con la solución de integrales permiten dar solución y llegar al resultado de lasmismas.

• La integración directa permite aplicar el teorema del clculo directamente teniendo en cuenta

ue se debe conocer de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) en donde la función

es el resultado de la antiderivada.

• "l método de integración del sustitución por cambio de variables permite convertir el problema

a integrar en algo sencillo con una integral o una antiderivada simple.

•

"l método de integración por partes permite elegir lo valores llevndolos a la simplificación.

• "n cuanto a las integrales trigonométricas so auellas en las ue intervienen potencias de seno y

coseno.

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REFERENCIAS

0onnet, 1 -2334. Calculo infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y

ciencias experimentales. (licante, "spa5a# +niversidad de (licante.

• 6onzlez, 7. -28 de mayo de 23%2. Aprende integrales – Tema

• *ios, 1. -%9 de abril de 23%3. !ntegral por el m"todo de sustitución.

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