UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE 2 DEL TRABAJO COLABORATIVO

PRESENTADO A:

CRISTINA MORALES CAMPO

POR:

DIEGO ARMANDO ARANZALEZ DELGADO 14139828 FULGENCIO SOLIPA NAVARRO 15019746 HENRY DARIO MOJICA LLANOS 7128608

OMAR ALEXANDER REY 6022895

CEAD IBAGU

OCTUBRE - 2014

INTRODUCCIN

En el presente escrito se desarrolla la segunda fase del trabajo colaborativo de la asignatura de Ecuaciones

diferenciales entorno a la temtica de la segunda unidad abarcando las ecuaciones diferenciales de orden

superior. En primer lugar se resolvern los ejercicios propuestos por la gua del trabajo, luego se dar solucin a

un problema tambin ofertado en la gua y finalmente se resolver un problema prctico propuesto por el grupo

colaborativo de trabajo.

DESARROLLO DE LA PRIMERA ACTIVIDAD DE LA FASE 2

1. Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

La siguiente ecuacin la soluciono el compaero Fulgencio solipa

a.

La ecuacin caracterstica es

( )( )

( )

Solucin general

La siguiente ecuacin la soluciono el compaero diego Aranzalez

b.

La anterior ecuacin es una ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes de segundo

orden.

Para resolver esta ecuacin hallaremos las races de la ecuacin caracterstica.

( ) ( )

Como las races son diferentes tenemos dos soluciones distintas y linealmente independientes para la ecuacin y

se escriben as:

Por tanto un conjunto fundamental de soluciones para la ecuacin es:

La siguiente ecuacin la soluciono el compaero Omar Rey

c. [ ] [ ]

[ ] [ ] Es una ecuacin diferencial de primer orden no homogneo.

Proceso:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

La siguiente ecuacin la soluciono el compaero Henry Mojica

d.

Es una ecuacin diferencial no homognea con coeficientes constantes.

La ecuacin caracterstica es:

Luego

( )

La siguiente ecuacin la soluciono el compaero Henry Mojica

e.

Es una ecuacin cuadratica

La solucin general ( )

( )

La solucin particular

( ) ( ) [ ]

Luego

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( )

( )

2. Demostrar que x3 y |x|3 son soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial

En primera instancia se comprueba si efectivamente estas son soluciones de la ecuacin y despus por medio del

wronskiano probaremos si son o no linealmente independientes.

| |

| |

| |

Reemplazando en la ecuacin la solucin se tiene,

( ) ( ) ( )

Por tanto es una solucin de la ecuacin. Reemplazando en la ecuacin la solucin | |

se tiene.

(

| |) ( | |) (| | )

| | | | | |

Recordando, para el intervalo ( )

| | | | | | | |

| |

| | | | | | | | | | | | | | | | | |

Por tanto la solucin | | es una solucin de la ecuacin. Ahora por medio del wronskiano se

determinar si son L.I.

| |

| |

( | | ) | | |

| || [( )( | |)] [(| | )( )] | | | | | | | | | | | |

( | | ) | | | |

Como el wronskiano es 0 entonces las soluciones NO son linealmente independientes.

3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros:

Hallamos la solucin homognea para la ecuacin caracterstica, as:

Una solucin para la ecuacin homognea es:

Ahora utilizamos el mtodo de variacin de parmetros para encontrar la solucin particular de la ecuacin. Se

sabe que:

[ ( ) ] [ ( ) ]

( ) ( )

Hallamos los Wronskianos

( ) |

| [( )( )] [( )( )]

|

| [ ] [( )( )]

|

| [( )( )] [ ]

Ahora se puede calcular cada parmetro, as:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Finalmente una solucin particular para esta ecuacin estar dada por:

[( ) ( )] [( ) ]

En conclusin un conjunto solucin general para la ecuacin dada es:

( ) [( ) ( )] [( ) ]

( )

4. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de coeficientes indeterminados:

[ ]

Hallamos la solucin para la ecuacin homognea.

[ ]

( )

( )( )

( )

( ) ( )

Finalmente,

Ahora necesitamos hallar una solucin particular para la ecuacin, suponiendo que esta solucin tiene la forma

de la funcin del otro lado del igual.

[ ]

Pero como la constante est dentro de la solucin homognea la multiplicamos por X para que sigan siendo

linealmente independiente:

Ahora reemplazamos en la ecuacin.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Por superposicin se puede hallar los coeficientes indeterminados, as:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Reemplazando (4) en (2) se tiene:

( ( ))

Obteniendo as la solucin particular:

Finalmente se escribe la solucin general de la ecuacin as:

5. Encontrar un operador diferencial que anule a:

a.

Para encontrar el operador nos basamos en las reglas propuestas y probamos si anulan la funcin.

[( ) ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )

[( ) ] ( )

Por tanto el operador diferencial que anula la funcin es ( )

b.

Para encontrar el operador nos basamos en las reglas propuestas y probamos si anulan la funcin.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

Por tanto el operador diferencial que anula la funcin es

6. Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

Esta es una ecuacin de Cauchy Euler homognea de segundo orden y se resolver por ese mtodo. Cumple con que cada funcin que acompaa las derivadas de y son continuas.

Suponemos una solucin para esta ecuacin de la forma:

( )

Reemplazando estas funciones en la ecuacin inicial se obtiene la ecuacin caracterstica:

( ( ) ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

( )

La anterior ecuacin se cumple si:

( )

Como son dos races complejas conjugadas, el conjunto solucin de la ecuacin es:

( )[ ( ) ] ( )[ (( ) ) (( ) )]

( ) ( )

CONCLUSIONES

Las ecuaciones de orden superior nos plantean varios retos a la hora de buscar su solucin, gracias al trabajo de

varios aos se han encontrados recetas que sirven de guas para poder solucionar algunas de dichas ecuaciones

cando se ajustan a las condiciones predichas en los trabajos que las anteceden. Por ejemplo la ecuacin de

Cauchy Euler es un tipo especial de ecuacin que se caracteriza por ser equidimensional que facilita el encontrar soluciones siguiendo los algoritmos planteados por los seores antes mencionados.

Las ecuaciones de segundo orden recobran especial inters, pues son el camino a seguir para resolver gran parte

de la ciencia, la tecnologa y la ingeniera moderna por tal motivo an se siguen desarrollando nuevos mtodos

para solucionarlas.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Gmez, R. (2012). Mdulo Ecuaciones Diferenciales. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado

de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/

Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Texto completo en

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Franquet, J. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Texto completo en

http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1367/

Zill, D. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Sptima

Edicin, Mxico, Cengage Learning.