10_PROBABILIDAD_2

7/25/2019 10_PROBABILIDAD_2

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P r o b a b i l i d a d co n d i c io n a l :

Sean dos eventos Ay B, tal que . La probabilidad de que ocurra el eventoAdadop(B)> 0que el evento Bha ocurrido (probabilidad condicional deAdado B), denotada por ,p(A\B)est dado por:


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p(A\B)=p(A 3B)

(B)


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p(A\B)=p(A 3B)

(B)

Ejemplo:

Se lanza un par de dados equilibrados. Encuentre la probabilidad de que uno de los dados

sea 2 si la suma es 6 (Sale 2 en uno de los dados dado que la suma es 6).

Sean los eventosAy B, tales que;

: aparece un 2 en uno de los dados y

B: la suma sale 6.

p(A\B)= ?


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(36 elementos)S = {(1,2);(1,3);(1,4);...(6,5);(6,6)}

;B = {(2,4);(1,5);(5,1);(4,2);(3,3)}

= {(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(1,2);(3,2);(4,2);(5,2);(6,2)}

3B = {(2,4);(4,2)}

p(AyB) = 2

36p(B)= 536


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(36 elementos)S = {(1,2);(1,3);(1,4);...(6,5);(6,6)}

;B = {(2,4);(1,5);(5,1);(4,2);(3,3)}

= {(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);(1,2);(3,2);(4,2);(5,2);(6,2)}

3B = {(2,4);(4,2)}

p(AyB) = 236

p(B)= 536

Por lo tanto,

p(A\B) =p(A 3 B)

p(B)

p(A\B) =2365

36p(A\B) = 25


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2. Considere una pareja que tiene dos hijos, cul es la probabilidad de que ambos seannios dado que: (a) al menos uno de los hijos es un nio. (b) El hijo mayor es un nio.

3. Se saca una bola de billar al azar de una caja que contiene 15 bolas de billar numeradas

del 1 al 15 y se registra el nmero n.

(a) Encuentre la probabilidad de que nexceda 10.

(b) Si nes par, encuentre la probabilidad de que nexceda 10.

3. La probabilidad de que un vuelo programado en forma regular salga a tiempo es 0.83; laprobabilidad de que llegue a tiempo es 0.92; y la probabilidad de que salga y llegue atiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avin:

(a) llegue a tiempo, dado que sali a tiempo, y

(b) haya salido a tiempo dado que lleg a tiempo.

4. Sean los adultos de un pueblo que han terminado los requisitos para obtener un gradouniversitario. Se les divide en categoras de acuerdo a su sexo y a su condicin de empleo:

900300600Total400260140Femenino50040460Masculino TotalDesempleadoEmpleado

Se va a elegir a una de estas personas al azar para que realice un viaje en todo el pas, con

la intencin de que haga publicidad a cerca de las ventajas de establecer nuevas industriasen la localidad. Calcule la probabilidad de que la persona elegida sea un hombre dado quetiene empleo.


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5. Un grupo de estudiantes becados est compuesto por 10 de primer ciclo, 30 delpenltimo ciclo y 10 del ltimo ciclo. Las calificaciones finales mostraron que 3 de losestudiantes de primer ciclo, 10 de los del penltimo ciclo y 5 de los del ltimo ciclorecibieron una A de promedio. Si se elige al azar un estudiante de este grupo y se

encuentra que obtuvo un promedio de A, cul es la probabilidad de que sea un estudiantedel ltimo ciclo?

6. En la siguiente tabla se clasifica una muestra aleatoria de 200 adultos, de acuerdo a susexo y nivel de educacin.

1722Universidad5028Secundaria4538Primaria FemeninoMasculinoEducacin

Si se elige al azar una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que:

(a) la persona sea hombre, dado que tiene educacin secundaria;

(b) que la persona no tenga un grado universitario, dado que es mujer.

7. En un experimento para estudiar la dependencia de la hipertensin de los hbitos defumar, se recopilaron los siguientes datos de 180 personas:

192648Sin hipertensin303621Con hipertensin

Fumadores fuertesFumadores moderadosNo fumadores

Si se elige al azar a una de estas personas, encuentre la probabilidad de que la persona;

(a) experimente hipertensin, dado que es un fumador fuerte;(b) sea no fumador, dado que no experimenta hipertensin.


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Re g l a d e l a m u l t i p l i ca c in p a r a l a p r o b a b i l i d a d co n d i c i o n a l

Dado que , entonces es fcil probar que a estap(A\B)=p(A 3B)

p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)

expresin se la conoce como regla de la multiplicacin de la probabilidad condicional.

En general si se tienen n eventos, , la regla ser:E1,E2,E3,...En

p(E1 3 E2 3 E3 3 ... 3 En) =p(E1) $p(E2\E1 ) $p(E3\E1 3 E2 ) $p(E4\E1 3E2 3E3) $ $ $p(En\E1 3 E2 3 E3 3 ... 3 En1)


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p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)




1. Un lote de mercanca contiene 12 artculos, de los cales 4 estn defectuosos. Se sacan alazar 3 artculos de ese lote, uno despus del otro. Encuentre la probabilidad de que los tresartculos no sean defectuosos.


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p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)





SeaAel evento, el artculo no es defectuoso; la probabilidad es p(A) = 812


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p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)





SeaAel evento, el artculo no es defectuoso; la probabilidad es p(A) = 812La probabilidad de que el segundo artculo no sea defectuoso dado que el primero no esdefectuoso es p(B\A) = 711


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p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)





La probabilidad de que el tercer artculo no tenga defecto, sabiendo que los anteriores nofueron defectuoso es .p(C\A 3 B) = 610


La probabilidad de que el segundo artculo no sea defectuoso dado que el primero no esdefectuoso es p(B\A) = 711


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p(B) p(A 3 B) =p(B) $p(A\B)





La probabilidad de que el tercer artculo no tenga defecto, sabiendo que los anteriores nofueron defectuoso es .p(C\A 3 B) = 610


La probabilidad de que el segundo artculo no sea defectuoso dado que el primero no esdefectuoso es p(B\A) = 711

Por lo tanto, la probabilidad de que los tres artculos no sean defectuosos es:

p(A 3B 3 C) =p(A) $p(B\A) $p(C\A 3B)

p(A 3B 3 C) = 812 $7

11 $6

10

p(A 3B 3 C) = 1455


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2. Una clase tiene 12 nios y 4 nias. Si se seleccionan al azar 3 estudiantes de esta clase,cul es la probabilidad de que todos sean nios?

3. Los estudiantes de una clase se seleccionan al azar, uno tras otro, para un examen.Encuentre la probabilidad de que los hombres y mujeres alternen si:

(a) la clase consta de 4 hombres y tres mujeres;

(b) la clase consta 3 hombres y tres mujeres.


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P r o ce s o s Es t o cs t i c o s f in i t o s y D i a g r am a d e r b o l p r o b a b i l s t ico

Una sucesin finita de experimentos en los cuales cada experimento tiene un nmero finito

de resultados con probabilidades dadas se llama unproceso estocstico finito. Una formade describir dicho proceso y calcular la probabilidad de cualquier evento es el diagrama derbol probabilstico, que es una grfica de todos los posibles resultados que se puedenobtener en un experimento, donde se seala la probabilidad de cada evento a consideraren el experimento.


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Ejemplo 1:En el experimento, lanzar una moneda no cargada y los eventos sale cara y sale sello; eldiagrama de rbol probabilstico ser:


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sale cara

sale sello

1/2

1/2

Ejemplo 1:En el experimento, lanzar una moneda no cargada y los eventos sale cara y sale sello; eldiagrama de rbol probabilstico ser:

La probabilidad de obtener cara es 1/2

La probabilidad de obtener sello es 1/2


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Ejemplo 2:

En el experimento, lanzar un dado no cargado; el diagrama de rbol probabilstico ser:

1/61/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1

2

3

4

5

6

La probabilidad de obtener 3 es 1/6

La probabilidad de obtener 3 o 5 es 1/6 + 1/6 = 1/3

La probabilidad de obtener un nmero menor que 5 es 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3


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Ejemplo 3:

En el experimnto, lanzar un dado no cargado y luego una moneda no cargada; el diagramade rbol probabilstico ser:

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1

2

3

4

5

6

c

s

1/2

1/2

c

s

1/2

1/2

c

s

1/2

1/2

c

s

1/2

1/2

c

s

1/2

1/2

c

s

1/2

1/2

La probabilidad de obtener 2 y sello es:

p(2,s)= 16 $12 =

112

La probabilidad de obtener uno y cara es: .16 $12 =

112

La probabilidad de tener cara en el experimento es:

p(1,c) +p(2,c) +p(3,c)+p(4,c) +p(5,c)+p(6,c)= 6 $ 16 $12 =

12


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Ejemplo 4:

Una familia tiene la opcin de elegir pasar sus vacaciones de carnaval entre las ciudades deManta y Ambato; y elegir entre tres hoteles A, B y C. Las probabilidades de elegir unaciudad son; , las probabilidades de elegir un hotel son;P(Mt)= 0.57 yp(Am)= 0.43

.P(A) = 0.29,p(B) = 0.33 yp(C) = 0.38

(a) Dibuje un diagrama de rbol.

b) la probabilidad de elegir la ciudad de Manta y el hotel B.

(c) la probabilidad de elegir el hotel B.


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Ejemplo 4:


.P(A) = 0.29,p(B) = 0.33 yp(C) = 0.38

(a) Dibuje un diagrama de rbol.

Mt

Am

0.57

0.43

A

B

C

0.29

0.33

0.38

A

B

C

0.38

0.33

0.29


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Ejemplo 4:


.P(A) = 0.29,p(B) = 0.33 yp(C) = 0.38

b) la probabilidad de elegir la ciudad de Manta y el hotel B.

p(MtyB) = 0.57 $ 0.33

p(MtyB) = 0.19Mt

Am

0.57

0.43

A

B

C

0.29

0.33

0.38

A

B

C

0.38

0.33

0.29


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Ejemplo 4:


.P(A) = 0.29,p(B) = 0.33 yp(C) = 0.38

(c) la probabilidad de elegir el hotel B.

p(B) = 0.57 $ 0.33 + 0.43 $ 0.33

p(B) = 0.19 + 0.14

p(B) = 0.33Mt

Am

0.57

0.43

A

B

C

0.29

0.33

0.38

A

B

C

0.38

0.33

0.29


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Ejemplo 5:

Se tienen tres cajas tales que:

La caja I contiene 10 bombillas, de las cuales 4 estn defectuosas,

La caja II contiene 6 bombillas, de las cuales 1 est defectosa y

La caja III contiene 8 bombillas, de las cuales 3 estn defectuosas.

Si se selecciona una caja al azar y luego se saca una bombilla al azar, cul es laprobabilidad de quela bombilla est defectuosa?


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Ejemplo 5:






I

II

III

D

N

D

N

D

N

1/3

1/3

1/3

2/5

3/5

1/6

5/6

3/8

5/8


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Ejemplo 5:






I

II

III

D

N

D

N

D

N

1/3

1/3

1/3

2/5

3/5

1/6

5/6

3/8

5/8

p =1

3 $2

5 +1

3 $1

6 +1

3 $3

8p = 113360


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Ejercicios:

1. Han sido nominados para el puesto de presidente 3 miembros de un club campestre

privado. La probabilidad de que el seor lvarez sea elegido es 0.3; la probabilidad de queel seor Bolivar sea elegido es de 0.5 y la probabilidad de que la seora Chvez sea elegidaes de 0.2. Si se elige al seor lvarez, la probabilidad de que se aumenten las cuotas demembresa es de 0.8. Si se elige al seor Bolivar o a la seora Chvez, las probabilidadescorrespondientes de un aumento en las cuotas son de 0.1 y 0.4 respectivamente. Cul esla probabilidad de que haya un aumento en las cuotas de la membresa?

2. Una caja contiene nueve tarjetas numeradas de 1 a 9, y una caja B contiene 5 tarjetasnumeradas de 1 a 5. Se escoge una de las cajas al azar y se saca una tarjeta. Si el nmeroes par, encontrar la probabilidad de que la tarjeta haya salido de la caja A. Dibuje undiagrama de rbol.

3. Una urna contiene 3 fichas rojas y 7 fichas blancas. Se saca una ficha de la urna y secoloca una ficha de otro color en la urna. Se saca una segunda ficha de la urna.

(a) encuentre la probabilidad de que la segunda ficha sea roja,

(b) si ambas fichas son del mismo color, cul es la probabilidad de que fueran ambasblancas?


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4. De la poblacin total, 30% no vot para elegir presidente, 20% no vot por uncongresista, y 10% no vot por ninguno de los dos. Se elige al azar un ciudadano.

(a) Si este ciudadano no vot por el candidato a presidente, cul es la probabilidad de queno haya votado por congresista?

(c) Si este ciudadano no vot por congresista, cul es la propbabilidad de que no hayavotado por el candidato a presidente?

5. La probabilidad de que Nebot se candidato nuevamente es de 0.8. La probabilidad quesea el candidato y sea reelecto es de 0.3. Cul es la probabilidad de que sea reelecto,sabiendo que se sea candidato nuevamente?

6. Se tienen dos urnas, como sigue:

La urna A contiene 3 fichas rojas y 2 fichas blancas,

La urna B contiene 2 fichas rojas y 5 fichas blancas.

Se selecciona una de las urnas al azar; se toma una ficha y se coloca en la otra urna; luego

se saca una ficha de la segunda urna.

(a) construya un diagrama de rbol probabilstico,

(b) encuentre la probabiidad de que ambas fichas sacadas sean del mismo color.

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