2012

rea entre curvas

Escuela de Ingeniera Civil Matemtica II

"Y los bendijo Dios, y les dijo: Fructificad y multiplicaos; llenad la tierra, y sojuzgadla, y seoread en los peces del mar, en las aves de los cielos, y en todas las bestias que se mueven sobre la tierra". Gn. 1:28.

2012

CASO 1: Cul es el rea de la regin encerrada por las curvas.?

2 2 2, / 2x y IR x y x x

22 2; xxyxy

2012

CASO 2: Cul es el rea de la regin encerrada por las curvas.?

2012

Recordar:

Grafica de Funciones.

Tcnicas de integracin

Integral definida

Qu necesitas recordar?

2012

Logro de la sesin

Al terminar la sesin de aprendizaje, es estudiante explica la solucin de los problemas de rea entre curvas prueba de desarrollo.

2012

rea bajo una curva

1

lim ( )n

i in

i

A f x x

2012

DEFINICIN: La integral definida de f desde a hasta b es

1

( ) lim ( )nb

i ia n

i

f x dx f x x

para cualquier funcin f definida en [a,b] para la cual

existe el lmite.

La integral definida

2012

rea bajo una curva

b

a

A f x dx( )

Si f x x a b( ) 0, ,

f x( )

2012

REA BAJO UNA CURVA

DEFINICIN. Si y f x( ) I a b, es continua en Entonces el rea A por su grafica en el intervalo I y el eje x esta dada por :

b

a

A f x dx( )

2012

Ejemplo1 .- Obtener el rea limitada por la grafica y x3

y el eje x en 2,1Solucin

A x dx x dx

0 13 3

2 0

x xA

0 14 4

2 04 4

A17

4

Ejemplo aplicativos

2u

2012

Ejemplo2 .- Obtener el rea limitada por la grafica de y el eje x en

Ejemplo aplicativos 25 xy

2,1

2

1

2 )5( dxxA

2012

Ejemplo 3 .- Obtener el rea limitada por la grafica de y x x 2

2 , el eje x en 2,2

Solucin:

A x x dx x x dx

0 22 2

2 0

( 2 ) ( 2 )

x xA x x

0 23 3

2 2

2 03 3

Ejemplo aplicativos

28uA

2012

Ejemplo 3. Calcula el rea limitada por x-1 x 6

x x x>62 12 31

El eje x y las rectas x x=81;

Solucin

A x dx x x dx

6 82

1 6

( 1 ) ( 12 31 )

x xA x x x

862 3

2

1 6

6 312 3

A119

6

Ejemplo aplicativos

2012

y x x x x x2 2 3, , 1, 3. el eje y las rectas

Ejemplo: Calcular el rea de la regin limitada por

Ejemplo aplicativos

2012

II. reas Acotadas por Dos

Curvas

elemento diferencial de rea:

I. Si la regin es regular con respecto al eje X:

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

b a

b

a

dxg(x)f(x)A(R) ][

dARArea de la regin:

diferencial de rea: dA=[f(x)-g(x)]dx

dx

f(x)-g(x)

2012

REA ENTRE CURVAS

b

a

A f x g x dx( ) ( )

f x( )

g x( )

f x g x x a b( ) ( ), ,

2012

Hallar el rea de la regin limitada por las funciones y = x2 e y = 2x 3 entre x = 2 y x = 4

rea (R) = 24

22 u

3

38dx)]3x2(x[

y = x2

y = 2x 3

Ejemplo 8

2012

elemento diferencial de rea:

II. Si la regin es regular con respecto al eje Y:

diferencial de rea: dA=[h(y)-i(y)]dy

d

c

dyyiyhRA ][

dARArea de la regin:

x = h(y)

X

Y d

c

R x = i (y)

dy

h(y)-i(y)

2012

Encuentre el rea de la regin dada en forma

constructiva:

Ejemplo 9

12

6/;

22 yx

yyxR

2012

Ejemplo1 . Calcula el rea limitada por y x y x3 ;

Solucin Clculo de limites de integracin

x x3

Por tanto

A x x dx

13

0

2 ( ) 1

2

Ejemplo aplicativos

1;0;1 xxx

2012

Ejemplo aplicativos

Ejemplo1 . Calcula el rea limitada por la recta y la parbola

xy 2322 xxy

Clculo de limites de integracin

xxx 232 2

2012

Ejemplo 2 . Halle el rea de la figura comprendida entre

xy y

x

2

2

1;

21

Solucin Clculo de limites de integracin

x

x

2

2

1

21

x x1; 1

Por tanto

xA dx

x

1 2

21

1

21

Ejemplo aplicativos

2012

Ejemplo: Calcular el rea de la regin limitada por

y x y x x x y las rectas sin ; cos , ; 0.2

Ejemplo aplicativos

2012

Ejemplo: Calcular el rea de la regin limitada por

y x y yx

(Primer cuadrante)21

, , 4

Ejemplo aplicativos

2012

x

y

rea entre curvas

Calcule el rea de la regin sombreada, limitada por las curvas

que se indican y entre x =1 y x = 2?

2012

Ejemplo 2: Hallar el rea de la regin limitada por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el eje X, tal como lo muestra la figura.

2012