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Unidad 11. Representación de funciones 1
REFLEXIONA Y RESUELVE
Descripción de una gráfica
■ Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva,lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones:
• f (x) = –@
• f (x) = 2
• f (x) = –@
• f (x) = +@
• f (0) = 4; f' (0) = 0
• f (–5) = 0; f (1,75) = 0
• f es derivable en todo Á, salvo en x = 2.
límx 8 2+
límx 8 2–
límx 8 +@
límx 8 –@
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES11
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■ Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los aparta-dos anteriores, la siguiente función:
■ Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti.Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañeropara que la represente.
Representa tú la suya.
Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferenciasque observéis.
¿Hay algún error en la representación? ¿Hay, acaso, error en la descripción?
¿Es todo correcto?
Unidad 11. Representación de funciones2
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■ Observa esta gráfica:
• Halla la ordenada para las siguientes abscisas:
x = 0, x = 1, x = 3, x = –7, x = 12, x = –400, x = 13, x = –199
• ¿En qué puntos no está definida esta función?
• ¿Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta decómo es la gráfica?
• ¿Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad?
1. Halla el dominio de estas funciones:
a) y = x3 – 5x2 + 7x + 3
b)y =
c) y = x3 + 2xx2 + 1
3x3 + 5x2 – 5x + 4
Unidad 11. Representación de funciones 3
11UNIDAD
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2. Halla el dominio de:
a) y = b) y = ln (x2 + 1) c) y = ln (x2 – 1) d) y =
3. Halla las simetrías y las periodicidades; di dónde son continuas y dónde deri-vables:
a) y = 3x4 – 5x2 – 1 b) y =
c) y = d) y =
e) y = sen x + 1/2 (sen 2x)
x3 – 1x2
x3
x2 – 1
√x2 – 2x
ex
x2√x2 – 2x
Unidad 11. Representación de funciones4
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4. Halla las ramas infinitas de:
a) y = 3x5 – 20x3 b) y =
c) y = d) y =
e) y = ln (x2 + 1) f) y = 2x – 1
√x2 – 2xx3
(x – 2)2
x4
x2 – 1
Unidad 11. Representación de funciones 5
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Unidad 11. Representación de funciones6
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Unidad 11. Representación de funciones 7
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5. Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de:
a) y = x3 – 6x2 + 9x + 5
b) y = ln (x2 + 1)
Unidad 11. Representación de funciones8
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6. Halla los puntos singulares de:
a) y = 3x5 – 20x3 b) y = c) y = d) y = √x2 – 2xx3
(x – 2)2x2
x2 – 1
Unidad 11. Representación de funciones 9
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1. Representa estas funciones:
a) y = x4 – 8x2 + 7
b) y = 3x4 + 4x3 – 36x2
c) y = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x
Unidad 11. Representación de funciones10
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Unidad 11. Representación de funciones 11
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Unidad 11. Representación de funciones12
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2. Representa las siguientes funciones:
a) y = 3x4 – 4x3 – 16 b) y = x3 – 3x c) y = (1/4)x4 – 2x2
Unidad 11. Representación de funciones 13
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Unidad 11. Representación de funciones14
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Unidad 11. Representación de funciones 15
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1. Representa:
a) y = b) y = x2 – 2x – 8
xx3
1 – x2
Unidad 11. Representación de funciones16
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Unidad 11. Representación de funciones 17
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2. Representa:
a) y = b) y = x3 + 2xx2 + 1
x2 – 9x2 – 4
Unidad 11. Representación de funciones18
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Unidad 11. Representación de funciones 19
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1. Representa:
a) y =
b) y = √x2 – 9
√x2 + 2x
Unidad 11. Representación de funciones20
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Unidad 11. Representación de funciones 21
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Unidad 11. Representación de funciones22
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2. Representa:
a) y = ln (x2 + 4) b) y = ln (x2 – 1)
Unidad 11. Representación de funciones 23
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Unidad 11. Representación de funciones24
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Unidad 11. Representación de funciones 25
11UNIDAD
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3. Representa:
a) y = b)y = c) y = cos 2x + cos x12
e–x
–xex
x2
Unidad 11. Representación de funciones26
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Unidad 11. Representación de funciones 27
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones28
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1. ¿Qué tipo de ramas en el infinito tienen?
a) y = b) y = c) y = d) y = x4
x + 1x2
x + 13x
x + 11
x + 1
Unidad 11. Representación de funciones 29
11UNIDAD
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2. ¿Qué tipo de ramas en el infinito tienen?
a) y = b) y = c) y = x +
d) y = tg x e) y = x sen x f) y = x – cos x
√x3√x2 + 3
x2
ex
Unidad 11. Representación de funciones30
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1. Representa:
a) y = x – |x – 3| + |x + 1|
b) y =
c) y = |x – 5|x
x2 + 3x|x | + 1
Unidad 11. Representación de funciones 31
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones32
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Unidad 11. Representación de funciones 33
11UNIDAD
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Descripción de una gráfica
1 Representa una función continua y derivable en Á tal que:
f (x) = +@, f (x) = –@, f '(2) = 0
f (2) = 1, f '(x) Ó 0 para cualquier x.
2 De una función y = f (x) tenemos esta información:
D = Á – {1, 4}; f (x) = +@; f (x) = –@
f (x) = –@; f (x) = +@; f (x) = 0
(si x 8 +@, f (x) > 0; si x 8 –@, f (x) < 0)
f '(2) = 0, f (2) = –1; f '(–1) = 0, f (–1) = –1
Represéntala.
límx 8 ±@
límx 8 4+
límx 8 4–
límx 8 1+
límx 8 1–
límx 8 –@
límx 8 +@
PARA PRACTICAR
Unidad 11. Representación de funciones34
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s3 Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes propie-dades:
f (x) = –@, f (x) = +@
f '(x) = 0 si x = –2, x = 0, x = 3, x = 4
f (–2) = 2; f (0) = 0; f (3) = 5; f (4) = 4
s4 Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas,sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
–1
–2 2
1
2
y = x
1
2
a)
d)c)
b)
límx 8 +@
límx 8 –@
Unidad 11. Representación de funciones 35
11UNIDAD
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Funciones polinómicas5 Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = x3 + 3x2 b) y = x3 – 3x2 + 5 c) y = – x2 + 10
d)y = e) y = x5 – 5x3 f) y = (x – 1)3 – 3x5x4 – x5
64
92
x4
4
Unidad 11. Representación de funciones36
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Unidad 11. Representación de funciones 37
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones38
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6 Estudia las ramas infinitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones. Represéntalas gráficamente:
a) y = 3 + (2 – x)3 b) y = 2 – (x – 3)4
c) y = (x + 1)6 – 5 d) y = 3 – (1 – x)3
Unidad 11. Representación de funciones 39
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones40
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Unidad 11. Representación de funciones 41
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones42
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Funciones racionales7 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la
curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos:
a) y = b) y = c) y =
d)y = e) y = f ) y = x2 – x + 1x2 + x + 1
x1 + x2
x2 – 1x
xx2 – 1
–1x2 + 1
1x2 – 1
Unidad 11. Representación de funciones 43
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones44
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Unidad 11. Representación de funciones 45
11UNIDAD
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8 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas,posición y extremos relativos:
a) y = 2x + b) y = c) y = d) y = x2 – 2x + 2
x – 1x3
x2 – 42x
(x + 1)28x
Unidad 11. Representación de funciones46
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Unidad 11. Representación de funciones 47
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones48
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Unidad 11. Representación de funciones 49
11UNIDAD
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Funciones “a trozos”
9 Representa esta función:
f(x) =
Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus extremos relativos. ¿Tiene algún punto de inflexión?
–x2 – 2x + 2 si x < 0
x2 – 2x + 2 si x Ó 0
°¢£
Unidad 11. Representación de funciones50
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10 Representa la siguiente función:
f(x) =
Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, sus extremos re-lativos y su curvatura.
x3 – 3x + 1 si x < 0
(x – 1)2 si x Ó 0
°¢£
Unidad 11. Representación de funciones 51
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones52
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11 Representa las siguientes funciones, estudiando:
— Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas.
— Crecimiento y extremos relativos.
a) y = b) y = c) y =
d)y = e) y = f) y =
g) y = h) y = i) y =
j) y = (x – 2)2
x – 1
x3
x + 2x4
x2 – 42x3
x2 + 1
x2
(x – 3)2x2 + 4
xx2
9 – x2
(x – 1)(x – 3)x – 2
x(x – 2)2
4x – 12(x – 2)2
PARA RESOLVER
Unidad 11. Representación de funciones 53
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones54
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Unidad 11. Representación de funciones 55
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones56
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Unidad 11. Representación de funciones 57
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones58
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Unidad 11. Representación de funciones 59
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones60
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s12 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para x > 0 por
f (x) = .1 + x2
x
Unidad 11. Representación de funciones 61
11UNIDAD
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b) Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando susmáximos y mínimos locales y globales, si los hay.
c) Esboza la gráfica de f.
s13 Dada la función f (x) = , se pide:
a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas.
b) Máximos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decreci-miento.
c) Dibuja la gráfica de f.
x + 1
√x2 + 1
Unidad 11. Representación de funciones62
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s14 Representa gráficamente la función:
p (x) = x4 + (4/3)x3 + 2x2 – 2
¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio p (x)?
Unidad 11. Representación de funciones 63
11UNIDAD
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s15 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, estudia el crecimiento yla existencia de máximos y mínimos. Dibuja su gráfica:
a) y = b)y =
c) y = x + d)y = – x – 2√x2 – 44
(x – 1)2
x3
4x2 + 1ex
x2 – 3
Unidad 11. Representación de funciones64
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Unidad 11. Representación de funciones 65
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones66
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Unidad 11. Representación de funciones 67
11UNIDAD
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16 Estudia los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguien-tes funciones y represéntalas gráficamente:
a) y = b) y = c) y = sen x + cos x para 0 Ì x Ì 2πex + e–x
2ex – e–x
2
Unidad 11. Representación de funciones68
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Unidad 11. Representación de funciones 69
11UNIDAD
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17 Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los extremos de cada unade las siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar sugráfica entre las siguientes:
a) y =
b) y = x ex
c) y = sen
d) y =
e) y =
f) y = sen2 x
2–2
–2
2
π
2
2π 3π–2
π2–– π
2
4
2π–––2
2 4–2
2
–2–4
2
4
–2 2 4–4π—2
3π—2
1
π
1
3 4
5 6
2
√x2 + 1
3√x
x2
1sen x
Unidad 11. Representación de funciones70
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Unidad 11. Representación de funciones 71
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones72
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Unidad 11. Representación de funciones 73
11UNIDAD
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Página 333
18 Representa las siguientes funciones:
a) y = b)y =
c) y = x ln x d)y = (x – 1)ex
e) y = e–x2
f ) y = x2 e–x
g) y = h)y = ln (x2 – 1)x3
ln x
ln xx
xex
Unidad 11. Representación de funciones74
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Unidad 11. Representación de funciones 75
11UNIDAD
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c)
Unidad 11. Representación de funciones76
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Unidad 11. Representación de funciones 77
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones78
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Unidad 11. Representación de funciones 79
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones80
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19 Estudia y representa las siguientes funciones:
a) y = b)y =
c) y = d) y = x2
√x2 – 1√x2 – 4x + 5
√x2 – x3√4 – x2
Unidad 11. Representación de funciones 81
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones82
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Unidad 11. Representación de funciones 83
11UNIDAD
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xx 8 +@xx 8 +@
Unidad 11. Representación de funciones84
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Unidad 11. Representación de funciones 85
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones86
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20 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = x + |x + 2 |
b)y = 2x – |x – 3|
c) y = |x | + |x – 3 |
d)y = x |x – 1|
Unidad 11. Representación de funciones 87
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones88
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21 Representa gráficamente:
a) y =
b)y = |2x |
x2 + 1
1|x | – 2
Unidad 11. Representación de funciones 89
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones 91
11UNIDAD
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Unidad 11. Representación de funciones92
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s22 Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva de ecuación
y = para x > 1.
En el punto P 2, – la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a
dicha curva.
a) Halla la ecuación de la tangente.
b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícu-la encuentra a la asíntota vertical más próxima al punto P.
c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que lapartícula encuentra el eje OX.
)43(
2x1 – x2
Unidad 11. Representación de funciones 93
11UNIDAD
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s23 Considera la función f (x) = x2 |x – 3 |:
a) Halla los puntos donde f no es derivable.
b) Calcula sus máximos y mínimos.
c) Represéntala gráficamente.
s24 La recta y = 2x + 6 es una asíntota oblicua de la función f (x) = .
Halla el valor de k y representa la función así obtenida.
2x2 + 1x – k
Unidad 11. Representación de funciones94
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Unidad 11. Representación de funciones 95
11UNIDAD
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s25 Considera la función:
f(x) =
Determina los puntos de corte con los ejes y sus extremos relativos. Dibujasu gráfica.
sen x si x é[–2π, 0)
x2 – 2x si x é[0, 3]
°¢£
Unidad 11. Representación de funciones96
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s26 Considera la función:
f(x) =
En el intervalo (–@, 0], estudia la existencia de puntos de corte con los ejes,si la función crece o decrece, la existencia de puntos de inflexión y si tieneasíntotas. Dibuja la gráfica en todo Á.
1— si x < 0x2 + 1–x + 1 si x Ó 0
°§¢§£
Unidad 11. Representación de funciones 97
11UNIDAD
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27 Dada la función f (x) = ax + b + , calcula a y b para que la gráfica de f
pase por el punto (–2, –6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Paraesos valores de a y b, representa la función.
8x
Unidad 11. Representación de funciones98
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Unidad 11. Representación de funciones 99
11UNIDAD
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28 Halla los valores de a, b y c para los cuales la función f(x) =
tiene como asíntota horizontal la recta y = –1 y un mínimo en (0, 1).
29 Determina las asíntotas de estas funciones:
a) y = b)y = x + √x2 + 1
x√1 – x
3x
ax2 + bx + cx2 – 4
Unidad 11. Representación de funciones100
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30 ¿Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos máximos y dos mínimos relativos? En esa función, ¿puede estar uno de los mínimos más alto que el máximo?
31 ¿Cuántos puntos de inflexión puede tener como máximo una función polinó-mica de cuarto grado?
CUESTIONES TEÓRICAS
Unidad 11. Representación de funciones 101
11UNIDAD
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32 Comprueba que la función f (x) = tiene dos asíntotas horizontales
distintas.
33 Sobre la gráfica de la función y = |x2 – 4 |, indica los intervalos de concavi-dad y de convexidad. ¿Cuáles son sus puntos de inflexión?
|x |x + 1
Unidad 11. Representación de funciones102
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34 La función f (x) = no está definida en x = 1 ni en x = –1; sin
embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información.
35 ¿Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? ¿Y horizontales?
s36 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en x = 1 y que no seaderivable en ese punto. Represéntala.
x + 1x2 – 1
Unidad 11. Representación de funciones 103
11UNIDAD
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s37 Da un ejemplo de una función que sea derivable en x = 1 con f '(1) = 0 yque no tenga máximo ni mínimo en ese punto.
s38 Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga, almenos, un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mínimo relativo en elpunto (3, 4).
Si la función fuera polinómica, ¿cuál habría de ser, como mínimo, su grado?
Unidad 11. Representación de funciones104
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39 La función f(x) = x + e–x, ¿tiene alguna asíntota? En caso afirmativo, hállala.
40 ¿Son iguales las gráficas de f(x) = ex y g(x) = e |x |? Justifica tu respuesta.
41 ¿Cuál de estas gráficas corresponde a la función y = ln |x | y cuál a y = |ln x |?
Unidad 11. Representación de funciones 105
11UNIDAD
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42 ¿Qué tipo de simetría tienen las siguientes funciones?:
a) y = sen2 x b) y = |x | – 2
c) y = tg x d) y = x3 – x
43 Estudia y representa y = arc tg x indicando su dominio, asíntotas, interva-los de crecimiento y extremos, si los hubiere.
PARA PROFUNDIZAR
Unidad 11. Representación de funciones106
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44 Representa la función y = x – arc tg x determinando el dominio de defini-ción, asíntotas, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento.
Unidad 11. Representación de funciones 107
11UNIDAD
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s45 Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f (x) = x sen (πx); g(x) = x2 sen (πx); h(x) = x2 cos (πx) en el intervalo [–2, 2].
Relaciona, de forma razonada, cada gráfica con su correspondiente función.
46 Para averiguar las asíntotas de y = tuvimos que realizar un nota-ble esfuerzo (páginas 320 y 321).
Sin embargo, utilizando el sentido común y casi sin ningún tecnicismo, po-dríamos haberlo resuelto fácilmente. Veamos cómo:
= = ≈ = |x – 1|Ω
Es decir, nuestra función, para valores grandes de | x | , se aproxima mucho a y = |x – 1 | .
√(x – 1)2√(x – 1)2 – 1√x2 – 2x + 1 – 1√x2 – 2x
√x2 – 2x
2
4a) c)2–2
2
–2
2
b)2
–2
–2
Unidad 11. Representación de funciones108
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Además, es “un poco menor” (observa que se resta 1 en el radicando). Lafunción y = |x – 1| está formada, precisamente, por las dos asíntotas denuestra función.
a) Averigua, de forma similar, las asíntotas de:
y = y =
b) Ídem, y = .
47 Aunque la palabra asíntota la hemos aplicado a rectas que se aproximan auna gráfica, tiene un significado más amplio: se dice que dos curvas sonasintóticas cuando, al alejarse del origen, la distancia entre ellas tiende acero.
Por ejemplo, la parábola y = x2 + 1 es asintótica a la función:
y = f (x) = (revisa su gráfica en la página 319). Es fácil comprobarlo:
= x2 + 1 +
La diferencia entre las dos funciones es , que tiende a cero cuando
x 8 –@ y cuando x 8 +@. Además, toma valores positivos, por lo que lagráfica de y = f (x) queda por encima de la parábola. Este resultado permi-te representar la función de forma más precisa apoyándonos en la repre-sentación de la parábola:
1x2 – 1
(Simplemente hemos efectuado el cociente).1
x2 – 1x4
x2 – 1
x4
x2 – 1
√x2 + 1x
√x2 – 6x + 12√x2 + 2x
Unidad 11. Representación de funciones 109
11UNIDAD
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a) Razonando de la misma forma, halla la parábola asintótica a la función:
y =
Determina la posición de la curva respecto de ella.
b) Representa la gráfica de la función teniendo en cuenta esos datos, asícomo la asíntota vertical y el punto singular (solo hay uno de abscisa x = 2).
x3 – 2x2 + x + 8x
Unidad 11. Representación de funciones110
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48 Halla, en cada caso, la parábola asintótica y estudia la posición de la curvacon respecto de ella. Representa la información obtenida:
a) y = b) y = c) y = d) y = x3
x + 1x4
x2 – 4x3 – 1
xx4
x2 + 1
Unidad 11. Representación de funciones 111
11UNIDAD
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49 Halla las asíntotas de las siguientes funciones:
a) y = b) y = c) y = ln (sen x)
d)y = 2x + sen 2x e) y = + 2 f) y = cos x
xsen x
x
11 + e–x
ex + e–x
ex – e–x
Unidad 11. Representación de funciones112
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Unidad 11. Representación de funciones 113
11UNIDAD
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AUTOEVALUACIÓN
1. Se considera la función f (x) = x3 + 2x + 4. ¿Tiene máximos y/o mínimos?¿Tiene algún punto de inflexión? Estudia su curvatura y represéntala.
Unidad 11. Representación de funciones114
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3. Estudia las asíntotas y los puntos singulares de f(x) = y represéntalagráficamente.
(x + 2)2
x + 1
Unidad 11. Representación de funciones 115
11UNIDAD
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4. Representa esta función: f (x) = (x + 1)2
ex
Unidad 11. Representación de funciones116
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5. En la función y = , halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas.
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y esboza la gráfica.
4x3 + 1x
Unidad 11. Representación de funciones 117
11UNIDAD
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6. Dibuja una función continua en Á que tengaun mínimo relativo en (1, 6) y un máximo rela-tivo en (6, 2). Si es un polinomio, ¿cuál será, co-mo mínimo, su grado?
7. Halla los máximos y los mínimos de la función f(x) = x . ¿Tiene asín-totas? Haz una gráfica aproximada de esta función.
√x + 3
X1
2
6
6
Y
Unidad 11. Representación de funciones118
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8. Dibuja la gráfica de f(x) = | x + 3| + |x – 1 |.
9. ¿Qué gráfica corresponde
a f (x) = ?
a) b)
x + 1|x |
Unidad 11. Representación de funciones 119
11UNIDAD