11-Estimación

7/21/2019 11-Estimacin

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Unidad didactica 5:Tecnicas de estimacion de una sola variable

Eduardo Cassiraga

[email protected]

Grupo de HidrogeologaDepartamento de Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente

Universidad Politecnica de Valencia

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente


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Geoestadstica Unidad didactica 5: Tecnicas de estimacion de una sola variable

Contenidos

1 Introduccion.

2 Combinacion lineal ponderada.

3 Tipos de estimaciones.

4 El krigeado ordinario.

5 Un ejemplo de krigeado ordinario.

6 Krigeado ordinario y parametros del modelo de continuidad espacial.

Master en Ingeniera Hidraulica y Medio Ambiente 1


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1 Introduccion

El objetivo de un estudio geoestadstico no es solamente describir la informacion y

construir un modelo de continuidad espacial.

La informacion acerca de los datos y el modelo de continuidad espacial nos permitenrealizar la estimacion de los valores de una o varias variables donde ellas no fueronmuestreadas.



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2 Combinacion lineal ponderada

Todos los metodos de estimacion que seran descritos construyen cada estimador como

una combinacion lineal ponderada de la informacion disponible, esto es:

Estimador =z =ni=1

i zi

donde el asterisco indica que el valor obtenido es una estimacion, z

1,...,zn son los

n

datos disponibles yi es el peso asignado al valorzi.



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3 Tipos de estimaciones

Existen diferentes aproximaciones para dar valor a los pesos, las cuales dan origen a

distintas tecnicas de estimacion: Estimacion global y local. Estimacion de una media y de una distribucion completa. Estimacion puntual y de bloque.



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Estimacion global y local

Una estimacion sobre un area grande dentro de la cual hay muchos datos es una

estimacion global.

Una estimacion local es una que se lleva a cabo sobre un area pequena en la cualtenemos pocos datos, incluso ninguno, y para la cual tenemos que utilizar la informacioncercana que se encuentra fuera del area de estimacion.

Las estimaciones globales son utiles en lasetapas iniciales de los estudios y raramentesatisfacen los objetivos del mismo, por ejemplo:

a En aplicaciones mineras no es suficiente conocer la concentracion media de un metal precioso sobre

el area de estudio, sino que es muy importante tener informacion local detallada de tal concentracion.

b En un estudio de contaminacionla informacion global acerca de la concentracion de un contaminante

no es suficiente para determinar si localizaciones especficas tienen o no concentraciones inaceptables.

c En los estudios de flujo de agua subterranea una estimacion global de la conductividad hidraulicacarece de significado ya que el flujo esta controlado por las zonas de altos y bajos valores de

permeabilidad.



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Medias y distribuciones completas

La mediaes el estadstico mas comun para sumarizar una distribucion de valores.

Presenta problemas para distribuciones muy sesgadas y para aplicaciones donde la simplemedia aritmetica carece de significado como es el caso del calculo de permeabilidadesequivalentes.

Hay muchas aplicaciones que exigen una estimacion de la variabilidad de un dado

atributo, por ejemplo:a La variabilidad espacial de la conductividad hidraulica es vital a la hora de una correcta descripcion del

flujo de agua subterranea en un acufero o de petroleo en un yacimiento.

b Un estudio de contaminacion de suelos requiere el conocimiento de la concentracion de algunos metales

pesados por encima o por debajo de determinados umbrales.

Cuando una determinada aplicacion requiere la estimacion de estadsticos distintos de lamedia la solucion obvia pasa por estimar la distribucion completa de valores.



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Estimaciones puntuales y de bloque

En las ciencias de la tierra, existe una relacion entre el tamano o soporte de los datos

y la distribucion de sus valores, por ejemplo:a Muestreo a pequena escala y muestreo a gran escala (variabilidad espacial).b Hallar estadsticos utilizando la tecnica de ventanas moviles (promediar valores dentro

de grandes areas reduce la varianza de los datos y hace a la distribucion de los mismosmas simetrica).

La relacion entre el soporte de los datos y la distribucion de sus valores tieneserias implicaciones practicas, esto es, no es lo mismo estimar una distribucion completaa partir de valores cuyo soporte es el de los datos que a partir de valores con un soportemayor.

En muchas aplicaciones, el soporte de los datos no es el mismo que el de lasestimacionesque queremos calcular: problema de escalado (upscaling).



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4 El krigeado ordinario

La idea basica del krigeado ordinario

es estimar elvalor desconocido de un atributo z en el punto decoordenadas u, a partir de n valores conocidos de z,cuyas coordenadas son u, con = 1,...,n.

El estimador por krigeado ordinario tiene la formasiguiente:

z(u) =n

=1

z(u)

z( )u1 z( )u2

z( )u3

z( )u4

z( )u5

z( )u6 z( )u7

z( )?u

donde el denota que se trata de un estimador y(u)son coeficientes de ponderaciondesconocidos a priori.



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Los objetivos del krigeado

Los objetivos del krigeado son obtener los valores de los coeficientes de manera

que:1 El estimador sea insesgado, es decir, que la media del error mR cometido sobre un

conjunto de estimaciones sea igual a cero.2 Que la varianza 2R de esos errores sea mnima.

El error cometido en la estimacion para una localizacion use puede definir como:

r(u) =z(u) z(u)

donde z(u) es el valor estimado y z(u) es el valor verdadero.

Los objetivos del krigeado ordinario son inasequibles ya que los valores verdaderos deuna variable son siempre desconocidos, luego tampoco podremos obtener mR y

2R.



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El modelo de funcion aleatoria

La solucion pasa por construir un modelo de nuestrosdatos y trabajar con el error medio y la varianza paranuestro modelo.

El modelo a construir es un modelo de funcionaleatoria.

La expresion del estimador por krigeado ordinario semodifica tal que tiene la forma siguiente:

Z(u) =n

=1

Z(u) (1)

Z( )u1 Z( )u2

Z( )u3

Z( )u4

Z( )u5

Z( )u6 Z( )u7

Z( )?u



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El error en la estimacion

La utilizacion de un modelo de funcion aleatoria nos permite definir el error cometido

en la estimacion del atributo z en la localizacion ucomo:

R(u) =Z(u) Z(u) (2)

donde Z(u) y Z(u) son las variables aleatorias que representan el valor estimado y

el valor verdadero respectivamente. El error R(u) es tambien una variable aleatoria.El error medio mR cometido en un conjunto de estimaciones:

mR=E{R(u)}= E{Z(u) Z(u)}

y la varianza del error 2R(u) de un conjunto de estimaciones:

2R=V ar {R(u)}= V ar {Z(u) Z(u)} (3)



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Los objetivos del krigeado

De acuerdo a una aproximacion probabilstica, los objetivos del krigeado ordinario, que

son obtener los valores de los coeficientes de manera que la varianza del errorcometido en un conjunto de estimaciones sea mnima y el estimador halladosea insesgado, pueden escribirse matematicamente como:

mn 2R= mn V ar {R(u)}= mn V ar {Z(u) Z(u)} (4)

bajo la restriccion

mR=E{R(u)}= E{Z(u) Z(u)}= 0 (5)



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La condicion de estimador insesgado

La condicion de estimador insesgado (ec. 5) se expresa

mR=E{R(u)}= E{Z(u) Z(u)}= 0

Reemplazando la expresion del estimador (ec. 1) en la del error (ec. 2):

R(u) =

n

=1

Z(u) Z(u)

La esperanza del error es:

E{R(u)}= E

n

=1 Z(u) Z(u)

=n

=1

E{Z(u)} E{Z(u)}



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Asumiendo que la funcion aleatoria es estacionaria, esto es que

E{Z(u)}= m(u) = cte u

el valor esperado del error queda expresado como

E{R(u)}=n

=1

E{Z} E{Z}

de donde se deduce que para que

E{R(u)}= 0

se debe verificar quen

=1

= 1 (6)



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La condicion de varianza mnima

Esta condicion (ec. 4) se expresa:

mn 2R= mn V ar {R(u)}= mn V ar {Z(u) Z(u)}

Lo que supone:

1 Encontrar una expresion para 2R.

2 Encontrar un mnimo para dicha expresion.



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Una expresion para la varianza del error

De forma general, la varianza de una combinacion lineal de variables aleatorias se

expresa:

V ar

n=1

Z(u)

=

n=1

n=1

C{Z(u)Z(u)} (7)

donde C{Z(u)Z(u)} es la covarianza entre las variables aleatorias para las locali-zaciones u y u.

La varianza del error cometido en un conjunto de estimaciones (ec. 3) es unacombinacion lineal de dos variables aleatorias, por lo que:

V ar {R(u)}= C{Z(u)Z(u)} C{Z(u)Z(u)}

C{Z(u)Z(u)}+ C{Z(u)Z(u)}

=C{Z(u)Z(u)} 2 C{Z(u)Z(u)} +

+ C{Z(u)Z(u)} (8)



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El primer termino esC{Z(u)Z(u)}

y corresponde a la autocovarianza de Z(u), es decir, V ar {Z(u)}.

Utilizando la definicion del estimador (ec. 1) tenemos que de acuerdo a la expresionpara una combinacion lineal de variables aleatorias (ec. 7)

V ar {Z(u)}= V ar n

=1 Z(u)=

n=1

n=1

C{Z(u)Z(u)}

=n

=1n

=1 C(u u) (9)



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El segundo termino esC{Z(u)Z(u)}

y se puede escribir como:

C{Z(u)Z(u)}= C

n=1

Z(u)

Z(u)

=E

n

=1 Z(u)Z(u)

E

n

=1Z(u)

E{Z(u)}

=

n=1

E{Z(u)Z(u)} n

=1

E{Z(u)} E{Z(u)}

=n

=1 C{Z(u)Z(u)}

=n

=1

C(u u) (10)



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El tercer termino esC{Z(u)Z(u)}

y corresponde a la autocovarianza de la variable aleatoriaZ(u), y es igual a la varianzade Z(u), que puede expresarse como:

C{Z(u)Z(u)}= 2 (11)

Reemplazando las ecuaciones (9), (10) y (11) y reordenando en la expresion de lavarianza del error (ec. 8) tenemos:

2R=2 +

n=1

n=1

C(u u)2n

=1

C(u u) (12)

que debe ser minimizada, para lo cual aplicamos el criterio de la primera derivada.



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Minimizacion de la varianza del error

La expresion a minimizar es la siguiente:

2R=2 +

n=1

n=1

C(u u)2n

=1

C(u u)

+ 2 n

=1 1donde es el parametro de Lagrange.

El ultimo termino de esta ecuacion no altera la expresion para la varianza de los erroresya que es igual a 0. A partir de esta expresion se deben hallar las n+ 1 primerasderivadas (n con respecto a los coeficientes de ponderacion y una con respecto alparametro de Lagrange).



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Derivando con respecto a e igualando el resultado a cero se obtiene la ecuacion quecorresponde a la condicion de estimador insesgado.

Al derivar con respecto a 1 como el primer termino no depende de 1 su derivada es

cero.

El segundo termino puede expandirse y si despreciamos todos los terminos que noincluyen a 1 tenemos:

n=1

n=1

C(u u)

1=

21C(u1 u1) + 21

n=2

C(u1 u)

1

= 21C(u1 u1) + 2n

=2

C(u1 u)

= 2n

=1

C(u1 u) (13)



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El tercer termino contiene un termino que es funcion de 1, luego:

(

n=1 C(u u))

1=

(1C(u1 u))

1=C(u1 u) (14)

Con el ultimo termino sucede igual y su derivada se escribe:

( (n

=1 1))

1=

(1)

1= (15)

De acuerdo a las ecuaciones (13), (14) y (15), la derivada de 2R queda:

2R1

= 2n

=1

C(u1 u)2C(u1 u) + 2

que igualando a cero y ordenando se transforma en:n

=1

C(u1 u) + = C(u1 u)



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De igual forma se pueden obtener las derivadas con respecto a los demas coeficientesde ponderacion tal que el resultado es:

2

R

1= 0 =

n=1

C(u1 u) + = C(u1 u)

... ...

2R

= 0 =n

=1C(u u) + = C(u u)

... ...

2Rn

= 0 =n

=1

C(un u) + = C(un u)



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Sistema de krigeado ordinario

Las necuaciones anteriores sumadas a la obtenida al derivar con respecto al multipli-cador de Lagrange, que es la condicion necesaria para que el estimador sea insesgado,constituyen un sistema den + 1ecuaciones lineales denominadosistema de krigeadoordinario, y se escribe:

n

=1 C(u u) + = C(u u), = 1,...,n

n=1

= 1 (16)

donde C(h) es la funcion de covarianza de la funcion aleatoria Z(u) que se obtienede la informacion disponible.



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Forma matricial del sistema de krigeado ordinario

El sistema de krigeado ordinario se escribe de forma matricial

C(u1 u1) C(u1 un) 1... . . . ... ...

C(un u1) C(un un) 11 1 0

C

1...

n

=

C(u1 u)...

C(un u)1

Dde donde se obtiene que la solucion del sistema es:

= C1 D

La matrizCcaracteriza la correlacion entre los datos que intervienen en la estimacion yel vectorD explica la continuidad entre la localizacion de cada dato con la localizaciona estimar.



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La expresion para la varianza del error

Para conocer el valor mnimo que toma la varianza de los errores cometidos multipli-camos cada una de las n primeras ecuaciones del sistema de ecuaciones del krigeado

ordinario (ec. 16) por , obteniendo:

n=1

C(u u) +

= C(u u), = 1,...,n

sumando estasn ecuaciones se llega a:

n=1

n=1

C(u u) +n

=1

=

n=1

C(u u)

n=1

n=1

C(u u) =n

=1

C(u u)n

=1

y dado que la suma de los coeficientes es igual a 1, el ultimo termino es igual a



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quedando:n

=1

n=1

C(u u) =n

=1

C(u u)

que se puede sustituir en la ecuacion de la varianza del error (12) obteniendo lasiguiente expresion para la varianza de la estimacion por krigeado ordinario:

2KO(u) =2

n

=1C(u u) (17)



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5 Un ejemplo de krigeado ordinario

1 Informacion disponible:

Dato X Y Valor0 65 137 ?1 61 139 4772 63 140 6963 64 129 2274 68 128 6465 71 140 6066 73 141 7917 75 128 783


G d i U id d did i T i d i i d l i bl


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2 Modelo de continuidad espacial:

C(h) =

C0+ C1 si |h|= 0

C1 exp3|h|a

si |h|> 0

Asumimos queC0= 0, a= 10 y C1= 10, luego el modelo queda:

C(h) = 10 exp (0.3|h|)

3 Calculo de las distancias entre los datos y el punto a estimar:


G d i U id d did i 5 T i d i i d l i bl


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Distancia

Localizacion 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.00 4.47 3.61 8.06 9.49 6.71 8.94 13.45

1 4.47 0.00 2.24 10.44 13.04 10.05 12.17 17.802 3.61 2.24 0.00 11.05 13.00 8.00 10.05 16.97

3 8.06 10.04 11.05 0.00 4.12 13.04 15.00 11.05

4 9.49 13.04 13.00 4.12 0.00 12.37 13.93 7.00

5 6.71 10.05 8.00 13.04 12.37 0.00 2.24 12.65

6 8.94 12.17 10.05 15.00 13.93 2.24 0.00 13.15

7 13.45 17.80 16.97 11.05 7.00 12.65 13.15 0.00


G t d ti U id d did ti 5 T i d ti i d l i bl


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4 Construccion del sistema de krigeado (= C1 D):

=

C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 1

C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 1

C31 C32 C33 C34 C35 C36 C37 1C41 C42 C43 C44 C45 C46 C47 1

C51 C52 C53 C54 C55 C56 C57 1

C61 C62 C63 C64 C65 C66 C67 1

C71 C72 C73 C74 C75 C76 C77 11 1 1 1 1 1 1 0

1

C10C20

C30

C40

C50

C60

C701

=

10.00 5.11 0.44 0.20 0.49 0.26 0.05 1.00

5.11 10.00 0.36 0.20 0.91 0.49 0.06 1.000.44 0.36 10.00 2.90 0.20 0.11 0.36 1.000.20 0.20 2.90 10.00 0.24 0.15 1.22 1.00

0.49 0.91 0.20 0.24 10.00 5.11 0.22 1.00

0.26 0.49 0.11 0.15 5.11 10.00 0.19 1.000.05 0.06 0.36 1.22 0.22 0.19 10.00 1.001.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00

1

2.61

3.390.890.58

1.34

0.680.18

1


G t d ti U id d did ti 5 T i d ti i d l i bl


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5 Solucion:

=

12

34567

= C1

D =

0.173

0.318

0.1290.0860.1510.057

0.0860.907

z0 =ni=1

izi= 0.173477 + 0.318696 + ... + 0.086783 = 592.7

2KO =2

n

i=1iCi0 = 100.1732.61 ... 0.0860.180.907 = 8.96

El estimador es igual a 592.7 y la varianza del error 8.96.




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6 Krigeado ordinario y parametros del

modelo de continuidad espacial

Estudiaremos el efecto de los diferentes parametros del modelo de continuidad espacial(variograma):

1 Sobre la estimacion de un solo punto.2 Sobre la estimacion de un campo completo




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El efecto de la meseta

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 10.0Esf1500(h)




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El efecto de la pepita

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.5 + 0.5Esf1500(h)




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El efecto de la pepita

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 1.0 + 0.0Esf1500(h)




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El efecto del alcance

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Esf100(h)




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El efecto del alcance

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Esf5000(h)




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El efecto de la forma

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Gau1500(h)




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G U 5

El efecto de la forma

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Exp1500(h)




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El efecto de la anisotropa

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Esf1500,150,120(h)




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El efecto de la anisotropa

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h) (h) = 0.0 + 1.0Esf1500,150,0(h)




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Sntesis del analisis realizado

Caso Descripcion Variograma

1 Caso base (h) = 0.0 + 1.0 Sph1500(h)2 Cambio de meseta (h) = 0.0 + 10.0 Sph1500(h)

3 50 % de efecto pepita (h) = 0.5 + 0.5 Sph1500(h)4 Efecto pepita puro (h) = 1.0 + 0.0 Sph1500(h)5 Cambio de alcance (h) = 0.0 + 1.0 Sph100(h)6 Cambio de alcance (h) = 0.0 + 1.0 Sph5000(h)7 Cambio de forma (h) = 0.0 + 1.0 Gaus1500(h)8 Cambio de forma (h) = 0.0 + 1.0 Exp1500(h)9 Anisotropa (h) = 0.0 + 1.0 Sph150(h)

(Alcance max. = 1500, alcance mn. = 150,direccion =120o)

10 Anisotropa (h) = 0.0 + 1.0 Sph

150

(h)

(Alcance max. = 1500, alcance mn. = 150,direccion = 0o)

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9 Caso 10

1 0.696 0.696 0.260 0.140 0.140 0.680 0.880 0.610 0.140 0.0052 0.145 0.145 0.110 0.140 0.130 0.140 0.560 0.120 0.650 0.0113 0.095 0.095 0.110 0.140 0.140 0.090 0.068 0.090 0.044 0.534

4 -0.028 -0.028 0.120 0.140 0.140 -0.020 -0.110 -0.011 0.042 0.023

5 0.133 0.133 0.140 0.140 0.140 0.130 0.050 0.130 0.044 0.0086 -0.048 -0.048 0.090 0.140 0.130 -0.040 -0.390 -0.020 0.052 0.0127 0.006 0.006 0.100 0.140 0.140 0.009 -0.050 0.019 0.042 0.404

2ok 0.162 1.620 0.069 1.140 1.140 0.040 0.000 0.300 0.570 0.500

Est. 40.07 40.07 39.70 39.40 39.50 40.09 42.60 39.90 40.06 41.34




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Modelo de continuidad espacial y campos estimados

Datos

2.1

27.3

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500(h)

Caso 1

2.1

27.3




46/54


Datos

2.1

27.3

(h) = 1.0 + 0.0Esf1500(h)

Caso 2

2.1

27.3




47/54


Datos

2.1

27.3

(h) = 0.0 + 1.0Esf100(h)

Caso 3

2.1

27.3




48/54


Datos

2.1

27.3

(h) = 0.0 + 1.0Esf3000(h)

Caso 4

2.1

27.3




49/54


Datos

2.1

27.3

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500,300,135(h)

Caso 5

2.1

27.3




50/54


Datos

2.1

27.3

(h) = 0.0 + 1.0Esf1500,300,45(h)

Caso 6

2.1

27.3




51/54

Varianza de una combinacion lineal de variables aleatorias

Sea una variable aleatoria Z(u) definida como una combinacion lineal de nvariablesaleatoriasZ(u) con = 1,...,n, tal que:

Z(u) =

n=1

Z(u)

y vamos a calcular su varianza, esto es:

V ar {Z(u)}= V ar n=1

Z(u)

De acuerdo a la definicion de varianza (V ar{X} = E{[XE{X}]2} = E{X2} E{X}2):

V ar

n=1

Z(u)

=E

n=1

Z(u)

2

E

n=1

Z(u)

2=




52/54

=E

n=1

Z(u)n

=1

Z(u)

E

n=1

Z(u)

E

n=1

Z(u)

=

n=1

n=1

E{Z(u)Z(u)} n

=1

n=1

E{Z(u)} E{Z(u)}

=

n

=1n

=1{E[Z(u)Z(u)] E[Z(u)] E[Z(u)]}

=n

=1

n=1

C{Z(u)Z(u)}

luego

V ar n

=1

Z(u

) =n

=1

n

=1

C{Z(u

)Z(u

)}




53/54

Bibliografa

Isaaks, E. y Srivastava, R. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics, OxfordUniversity Press, New York.

Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford Uni-versity Press, New York.

Froidevaux, R. (1998). Geostatistics for Petroleum Reservoir Characterization.

Workshop Notes, FSS International.




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Para leer en casa...

Cressie, N. (1990). The Origins of Kriging, Mathematical Geology, Vol. 22, No 3,239-252. (6-Lectura-Cressie-MG90.pdf)

11-Estimación

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