11. Matrices y Probabilidad
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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T Matrices y probabilidad Existe una diferencia importante entre los valores que son medidos y las matrices que son utilizadas para escribir ecuaciones que relacionan las cantidades que pueden ser medidas. En la mecánica clásica, a una cantidad como la transferencia de calor o como el campo magnético se le representa con una variable continua como Q o como una variable vectorial como B cuyos componentes también pueden tomar valores continuos. En la Mecánica Cuántica, representamos las cantidades como matrices, y los valores propios (eigen) de dichas matrices son los valores que podemos esperar obtener al llevar a cabo una medición de las cantidades que representan a dichos valores. A diferencia de lo que ocurre en el mundo macroscópico, en el mundo sub-microscópico hay un límite a la precisión con la cual podemos efectuar cualquier medición en el laboratorio, un límite impuesto por la misma Naturaleza que no puede ser superado con mejoras al equipo de laboratorio o con técnicas nuevas que puedan ser concebidas en algún futuro distante. Este límite lo determina la constante de Planck, h. Si la constante de Planck fuese igual a cero, todas las reglas que aplican a la física macroscópica con la que estamos familiarizados aplicarían también a la física sub-microscópica, y no habría incertidumbre alguna en nuestras mediciones en el laboratorio, cualquier incertidumbre en todo caso se debería a las imperfecciones de nuestro equipo. Pero la constante de Planck, aunque extremadamente pequeña, no es igual a cero. El que sea muy pequeña significa que sus efectos sólo se dejarán notar en fenómenos que ocurren a nivel sub-microscópico. Pero los efectos están allí, son ineludibles, y tenemos que convivir con ellos. Al haber límites naturales a nuestra capacidad de medición y observación, se vuelve necesario recurrir a los elementos de la probabilidad y la estadística para poder obtener estimaciones, basadas en la probabilidad de que algo pueda suceder. Ello nos obliga a repasar las matrices propias de la Mecánica Cuántica para ver qué conceptos de probabilidad y estadística con los que estamos familiarizados nos es posible extender hacia el mundo sub-microscópico. Empezaremos por definir el concepto de probabilidad. Cuando un evento puede ocurrir de n maneras diferentes entre un total de N maneras posibles, decimos que la probabilidad p de que ocurra ese evento es: p = n/N y siempre será una cantidad fraccionaria, inferior a la unidad. PROBLEMA: En una bolsa tenemos 100 canicas. Si en la bolsa hay 20 canicas verdes, 40 canicas rojas, 30 canicas azules y 10 canicas cafés, bien revueltas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica de color verde, una de color rojo, una de color azul y una de color café al meter la mano en la bolsa? Puesto que hay 20 canicas verdes, hay 20 formas posibles en las cuales podemos sacar una canica verde al azar entre un total de 100 posibilidades. Entonces la probabilidad de sacar una canica verde será: p v = 20/100 = 0.2 Del mismo modo, la probabilidad de sacar una canica roja, una canica azul, y una canica café, son las siguientes: p r = 40/100 = 0.4 p a = 30/100 = 0.3 p c = 10/100 = 0.1 S E G U I D O R E S A R C H I V O D E ▼ 2009 (136) ▼ agosto (136) Indice Prólogo El modelo atómico planetario de Bohr I El modelo atómico planetario de Bohr II La espectroscopía de rayos-X La extraña ecuación de Max Born Vectores y matrices I Vectores y matrices II El análisis de Fourier La regla de multiplicación de Heisenberg Observables compatibles e incompatibles Oscilador armónico simple: solución matricial Matrices y probabilidad El principio de incertidumbre I El principio de incertidumbre II El experimento Stern-Gerlach El spin del electron Momento angular: tratamiento matricial I Momento angular: tratamiento matricial II Momento angular: tratamiento matricial III La energía rotacional Matrices y sub-matrices Solución matricial del átomo de hidrógeno Funciones matriciales De la mecánica clásica a la mecánica matricial La matriz momentum como generadora 0 More Next Blog» Create Blog Sign In La Mecánica Cuántica converted by Web2PDFConvert.com
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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
Matrices y probabilidad
Existe una diferencia importante entre los valores que son medidos y las matrices que sonutilizadas para escribir ecuaciones que relacionan las cantidades que pueden ser medidas.En la mecánica clásica, a una cantidad como la transferencia de calor o como el campomagnético se le representa con una variable continua como Q o como una variable vectorialcomo B cuyos componentes también pueden tomar valores continuos. En la MecánicaCuántica, representamos las cantidades como matrices, y los valores propios (eigen) dedichas matrices son los valores que podemos esperar obtener al llevar a cabo una mediciónde las cantidades que representan a dichos valores.
A diferencia de lo que ocurre en el mundo macroscópico, en el mundo sub-microscópicohay un límite a la precisión con la cual podemos efectuar cualquier medición en ellaboratorio, un límite impuesto por la misma Naturaleza que no puede ser superado conmejoras al equipo de laboratorio o con técnicas nuevas que puedan ser concebidas en algúnfuturo distante. Este límite lo determina la constante de Planck, h. Si la constante de Planckfuese igual a cero, todas las reglas que aplican a la física macroscópica con la que estamosfamiliarizados aplicarían también a la física sub-microscópica, y no habría incertidumbrealguna en nuestras mediciones en el laboratorio, cualquier incertidumbre en todo caso sedebería a las imperfecciones de nuestro equipo. Pero la constante de Planck, aunqueextremadamente pequeña, no es igual a cero. El que sea muy pequeña significa que susefectos sólo se dejarán notar en fenómenos que ocurren a nivel sub-microscópico. Pero losefectos están allí, son ineludibles, y tenemos que convivir con ellos.
Al haber límites naturales a nuestra capacidad de medición y observación, se vuelvenecesario recurrir a los elementos de la probabilidad y la estadística para poder obtenerestimaciones, basadas en la probabilidad de que algo pueda suceder. Ello nos obliga arepasar las matrices propias de la Mecánica Cuántica para ver qué conceptos deprobabilidad y estadística con los que estamos familiarizados nos es posible extender haciael mundo sub-microscópico.
Empezaremos por definir el concepto de probabilidad. Cuando un evento puede ocurrir den maneras diferentes entre un total de N maneras posibles, decimos que la probabilidad pde que ocurra ese evento es:
p = n/N
y siempre será una cantidad fraccionaria, inferior a la unidad.
PROBLEMA: En una bolsa tenemos 100 canicas. Si en la bolsa hay 20 canicas verdes, 40canicas rojas, 30 canicas azules y 10 canicas cafés, bien revueltas. ¿Cuál es laprobabilidad de sacar una canica de color verde, una de color rojo, una de color azul yuna de color café al meter la mano en la bolsa?
Puesto que hay 20 canicas verdes, hay 20 formas posibles en las cuales podemos sacar unacanica verde al azar entre un total de 100 posibilidades. Entonces la probabilidad de sacaruna canica verde será:
pv = 20/100 = 0.2
Del mismo modo, la probabilidad de sacar una canica roja, una canica azul, y una canicacafé, son las siguientes:
pr = 40/100 = 0.4
pa = 30/100 = 0.3
pc = 10/100 = 0.1
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de rayos-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observables compatibles eincompatibles
Oscilador armónico simple: soluciónmatricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricialI
Momento angular: tratamiento matricialII
Momento angular: tratamiento matricialIII
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo dehidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánicamatricial
La matriz momentum como generadora
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La Mecánica Cuántica
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Si sumamos todas las probabilidades obtendremos la unidad:
pv + pr + pa + pc = 0.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1 = 1.o
lo cual significa que la probabilidad de sacar una canica de cualquier color es igual a lacerteza. Esto último lo formalizamos con el siguiente enunciado:
PROBLEMA: Los valores que puede tomar cierta cantidad física son:
λ1 = 25___λ2 = 10___λ3 = 8___λ4 = 0___λ5 = -5___λ6 = -9
Asimismo, las probabilidades de obtener cada uno de los primeros cinco valores en unamedición experimental son los siguientes:
p1 = 1/6___p2 = 1/10___p3 = 1/8___p4 = 1/4___p5 = 1/5
Obténgase la probabilidad de obtener el sexto valor.
Una cosa son los valores que pueda tomar cierta cantidad representada por una matriz, yotra cosa son las probabilidades de obtener cada uno de dichos valores, las cuales sumadasdeben ser siempre igual a la unidad. Entonces:
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 = 1
p6 = 1 - (p1 + p2 + p3 + p4 + p5)
p6 = 1 - 0.842
p6 = 0.158
Ahora procedermos a definir el promedio aritmético de una matriz que tambiénpodemos llamar la media aritmética de una matriz. Para definir este concepto, loharemos recurriendo a los valores propios eigen de la matriz, los cuales deben formar unconjunto bien definido de valores λ i. Si tenemos un conjunto de valores numéricos y
podemos asignarle a cada uno de dichos valores la misma probabilidad de ocurrencia,entonces clásicamente podemos definir el promedio aritmético de dichos valores como lasuma de dichos valores dividida entre la cantidad total de los mismos. Del mismo modo,para una matriz tendremos la siguiente definición equivalente:
PROBLEMA: Dada la siguiente matriz diagonalizada (con entradas únicamente a lo largode su diagonal principal y ceros en todos los demás casilleros):
obténgase la media aritmética de dicha matriz suponiendo que las probabilidades paraobtener cualquiera de sus valores están repartidas por igual.
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la MecánicaMatricial
Evolución temporal de los sistemasfísicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación deonda
Solución numérica de la ecuacion deSchrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: soluciónondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflexión de partículas I
Transmisión y reflexión de partículas II
Transmisión y reflexión de partículas III
Transmisión y reflexión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre,revisitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisondulatorio I
Momento angular orbital: análisisondulatorio II
Momento angular orbital: funciones deonda I
Momento angular orbital: funciones deonda II
Polinomios de Legendre: aspectosmatemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angulardel spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
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Aplicando la definición dada, la media aritmética de la matriz A será:
La definición del promedio aritmético de una matriz se puede generalizar al caso en el cualla probabilidad de obtener cada uno de los valores λ i no sea la misma. Siendo así, si a cada
valor λ i asociamos una probabilidad pi, entonces hablamos ya no de la media aritmética de
una matriz sino de la esperanza matemática de una matriz definida de la siguientemanera:
En el caso especial en el que todas las probabilidades pi sean iguales, esta definición se
reduce a la del promedio aritmético de una matriz. En el problema que acabamos de ver, lamatriz diagonal posee cinco autovalores propios eigen, y si cada uno de ellos tiene la mismaprobabilidad de ser obtenido que los demás entonces a cada uno le corresponde unaprobabilidad de 1/5. Aplicando la definición de la esperanza matemática de una matrizobtenemos para la matriz A la siguiente esperanza matemática:
PROBLEMA: Demostrar que la esperanza matemática de una matriz a la cual se le hasumado a cada uno de sus autovalores propios una constante es igual a la esperanzamatemática de la matriz sumada a dicho valor constante.
Para la resolución de este problema, aplicamos la definición de esperanza matemática deuna matriz al pie de la letra llevando a cabo las simplificaciones necesarias:
PROBLEMA: Suponiendo que las probabilidades para obtener cualquiera de sus valoresestán repartidas por igual, comprobar la relación que se acaba de obtener usando para lasiguiente matriz diagonalizada:
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-momentum I
El espacio-posición y el espacio-momentum II
El espacio-posición y el espacio-momentum III
El espacio-posición y el espacio-momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de movimiento deHeisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:equivalencia
Evolución temporal de las ondas demateria I
Evolución temporal de las ondas demateria II
El operador de traslación
El operador de evolución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg ySchrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
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una constante c = -2.
Restando a cada uno de los autovalores propios de la matriz la constante c = -2 yobteniendo la esperanza matemática de acuerdo a la definición llegamos al siguienteresultado:
Aplicando la relación obtenida, obtenemos simplemente la esperanza matemática de lamatriz A y le restamos la constante c:
Como puede verse, en ambas maneras obtenemos el mismo resultado.
La esperanza matemática de la matriz identidad I será obviamente igual al número 1, ya queteniendo un total de N autovalores propios iguales al número 1, la suma de ellos será N, quedividida entre N será igual a la unidad.
PROBLEMA: Evaluar la siguiente expresión:
La expresión es la esperanza matemática de una suma de términos, que se igual a la suma delas esperanzas matemáticas de cada término. Entonces:
Inspirados en la definición de la esperanza matemática de una matriz, podemos convenir enun concepto similar utilizando para ello los cuadrados de los autovalores eigen de la matriz,definiendo con ello la media cuadrática de una matriz de la siguiente manera:
El teorema virial
Espectroscopías de resonanciamagnética I
Espectroscopías de resonanciamagnética II
Espectroscopías de resonanciamagnética III
Espectroscopías de resonanciamagnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondasesféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores deconversión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A R M A N D O M A R T Í N E ZT É L L E Z
V E R T O D O M I P E R F I L
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PROBLEMA: Obtener la media cuadrática de la siguiente matriz diagonalizadasuponiendo que la probabilidad de obtener cualquiera de los valores representados por lamatriz es la misma:
Puesto que tenemos seis autovalores y la probabilidad de obtener cualquiera de ellos enuna medición es la misma, la probabilidad que le corresponde a cada uno de ellos es 1/6.Aplicando la definición de la media cuadrática de una matriz obtenemos entonces para estamatriz A lo siguiente:
PROBLEMA: Demostrar la siguiente relación (obsérvese que en el lado izquierdo de laigualdad es necesario multiplicar el segundo término, que es un valor y no una matriz, porla matriz identidad I, para que de ese modo se pueda llevar a cabo la substracciónmatricial y posteriormente la evaluación de lo que hay entre los paréntesis angulados):
En el lado izquierdo de la igualdad tenemos lo que es esencialmente la media cuadrática deuna cantidad matricial, la cual podemos escribir explícitamente de acuerdo a la definicióndada arriba:
Expandiendo el binomio cuadrático y aplicando la sumatoria a cada uno de los términostenemos entonces que el lado derecho de la igualdad nos produce lo siguiente:
Concentremos por lo pronto nuestra atención en el segundo término, el cual puede sersimplificado de la siguiente manera:
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Entonces lo que teníamos se puede reducir a lo siguiente:
Podemos reconocer el primer término como la media cuadrática de la matriz A, y la sumaalgebraica del segundo y el tercer término nos produce simplemente el negativo delcuadrado de la esperanza matemática de la matriz A, con la cual queda demostrado que:
Aplicaremos lo que acabamos de obtener a la siguiente matriz:
La esperanza matemática de esta matriz es la siguiente:
Por otro lado, la media cuadrática de la misma matriz es la siguiente:
Aplicando la fórmula obtenida arriba, tenemos lo siguiente:
Esta cantidad es interesante, pero hay otra cantidad más interesante que esta que podemosobtener de la anterior extrayendo la raíz cuadrada:
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Esta cantidad tal vez la podrá reconocer cualquiera que haya tomado un curso básico deestadística. Se trata de la desviación estándard σ, la cual nos dá una medida de ladispersión de un conjunto de valores con respecto a la media aritmética de dichos valores,o más formalmente, con respecto a la esperanza matemática. En la estadística clásica, se lesuele representar de la siguiente manera cuando la probabilidad de ocurrencia de cada unode los valores es la misma:
y de la siguiente manera cuando la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores esdiferente:
Esto ya se parece mucho a lo que tenemos arriba aplicado al caso de los valores propioseigen de una matriz.
Para el conjunto de valores:
{1, 3, 4, 6}
el promedio aritmético es igual a 3.5, y la dispersión de valores es igual a σ = 1.8. Pero loque hemos hecho aquí no se cubre en ningún curso introductorio de estadística, ya quehemos ampliado las definiciones clásicas de probabilidad y estadística para manejar noconjuntos de valores sino matrices, a través de sus valores propios eigen. Y haremos algomás. Ya que estamos hablando de matrices cuyos valores representan cantidades físicasque se pueden medir de alguna manera, a la cantidad:
la llamaremos aquí la incertidumbre, dando a entender con esto de que se trata de unconcepto con el cual tenemos tenemos la vara para medir la incertidumbre que anticipamosal llevar a cabo la medición de una cantidad en el laboratorio habiendo varios valoresposibles que podemos obtener en una medición sin saber de antemano exactamente cuál deellos obtendremos. Esta definición nos servirá para poder llegar a un principio fundamentalde la Mecánica Cuántica: el principio de incertidumbre.
En muchos textos en donde se dá una exposición del principio de incertidumbre tratadodesde el punto de vista de la Mecánica Cuántica Matricial, en vez de escribirse laincertidumbre como lo hemos hecho arriba acostumbran escribirlo de la siguiente maneraomitiendo el símbolo de matriz identidad I dándolo por “sobreentendido”:
Aunque esta representación simbólica es un poco más intuitiva y memorizable alequipararla con la raíz cuadrática de la esperanza matemática de la media cuadrática de lasdiferencias de los valores propios eigen λ i de la matriz A con respecto a la esperanza
matemática de la misma matriz A, el problema es que es notacionalmente incorrecta, yaque mientras que A es una matriz su esperanza matemática no puede serlo al ser un simplenúmero, y no podemos simplemente restar un número de una matriz del mismo modo enque no podemos sumar peras con manzanas; es necesario multiplicar a la esperanzamatemática de A por la matriz identidad I para así poder restar una matriz de otra yfinalmente tomar la media cuadrática convirtiendo todo en un número.Desafortunadamente esta es una de las simplificaciones notacionales que supuestamente sedan por “sobreentendidas” aunque es rara la ocasión en la cual los libros en donde aparecese aclara este punto dejándoselo al maestro de la materia por explicar, lo cual no siempreocurre siendo entonces el origen de muchas confusiones que se van arrastrando.
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PROBLEMA: Al llevarse a cabo un experimento para evaluar cierta cantidad física, seobtienen los siguientes valores λ i, los cuales se repiten el número de veces mostradas entre
los paréntesis:
λ1 (1) = 10 , λ2(4) = 9 , λ3(8) = 8 , λ4(7 ) = 7
λ5(6) = 6, λ6(15) = 5 , λ7 (6) = 4 , λ8(3) = 2
Obténgase la expectativa matemática de la cantidad física y obténgase la incertidumbreque se puede esperar sobre la cantidad una cantidad medida llevar a cabo una medición.
La cantidad total de observaciones es:
N = 1 + 4 + 8 + 7 + 6 + 15 + 6 + 3
N = 50
La probabilidad de obtener cada uno de los valores es:
p1 = 1/50 , p2 = 4/50 , p3 = 8/50 , p4 = 7 /50
p5 = 6/50 , p6 = 15/50 , p7 = 6/50 , p8 = 3/50
Siendo la expectativa matemática un simple número, la representaremos aquí en la formaconvencional como se acostumbra hacerlo en estadística, como x. Esta será igual a:
x = 10(1/50) + 9(4/50) + 8(8/50) + 7 (7 /50) + 6(6/50)+ 5(15/50) + 4(6/50) + 2(3/50)
x = 6
Para evaluar la incertidumbre, usaremos la expectativa matemática que acabamos deobtener y efectuaremos el siguiente cálculo:
Σ(λ i - x)²pi =_________________________________
(10-6)²(1/50) + (9-6)²(4/50) + (8-6)²(8/50) + (7 -6)²(7 /50)+ (6-6)²(6/50) + (5-6)²(15/50) + (4-6)²(6/50) + (2-6)²(3/50)
Σ(λ i - x)²pi = 3.56
Extrayendo la raíz cuadrada obtenemos la incertidumbre en la medición:
Incertidumbre = 1.89
P U B L I C A D O P O R A R M A N D O M A R T Í N E Z T É L L E Z E N 2 3 : 3 0
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