11519777 Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

7/23/2019 11519777 Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

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RO BOTICA:Control, deteccin, visin e inteligencia

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K. S. FUR. C. GO!A"#!

C. S. G. "##

Trad$ccin

S#BASTIA %OR&I%O B#CO&O

Catedr'tico ln(onn'tica ) A$to*'ticaFac$ltad de Ciencias F+sicas

U#% &adrid-

Re,isin tcnica

ATOIO /A0U#RO SAC1#!Catedr'tico In(or*'tica ) A$to*'tica

Fac$ltad de Ciencias F+sicasUniversidad Co*2l$tense de &adrid

McGraw-Hill

.. RO DE CORTESlJ.

33MADRID BOGOTA BUENOSAIRES GUATEMALA LISBOA MEXICONUEA !OR" #ANAMA SAN $UAN SANTIAGO SAO #AULOAUC"LAND HAMBURGO LONDRES MONTREALNUEA DELHI #ARIS SAN %RANCISCO SINGA#URST. LOUIS SIDNE! TO"IO TORONTO

4

56 o


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CONTENIDO

7rlogo 8i

l. Introd$ccin

l.l.

3.9.3..3.;.3..3.?.

Antecedentes 3%esarrollo @istrico ;Cine*'tica ) din'*ica del rao del root =7lani(icacin de la tra)ectoria ) control del *ovi*iento del *ani2$lador >Sensores del root "eng$aDes de 2rogra*acin de roots 3EInteligencia del root 11Re(erencias 33

9. Cine*'tica del rao del root 1&

9.3. Introd$ccin 1&9.9. #l 2role*a cine*'tico directo 3>,'a (uerra de las (ala"ias. Cierta*ente los roots ind$striales *odernos 2arecen 2ri*itivos c$ando se co*2aran con las e82ectativascreadas 2or los *edios de co*$nicacin d$rante las 2asadas dcadas.

"os 2ri*eros traaDos L$e cond$Deron a los roots ind$striales de @o) d+a sere*ontan al 2er+odo L$e sig$i in*ediata*ente a la Seg$nda G$erra &$ndial.

%$rante los aQos (inales de la dcada de los c$arenta,co*enaron 2rogra*as deinvestigacin en OaV Ridge ) Argonne ational "aoratories 2ara desarrollar*ani2$ladores *ec'nicos controlados de (or*a re*ota 2ara *aneDar *aterialesradiactivos. #stos siste*as eran del ti2o M*aestroesclavoN, diseQados 2ara re

2rod$cir (iel*ente los *ovi*ientos de *ano ) raos realiados 2or $n o2erario@$*ano. #l *ani2$lador *aestro era g$iado 2or el $s$ario a travs de $nasec$encia de *ovi*ientos, *ientras L$e el *ani2$lador esclavo d$2licaa a la$nidad *aestra tan (idedigna*ente tal co*o le era 2osile. 7osterior*ente se

aQadi la reali*entacin de la ($era aco2lando *ec'nica*ente el *ovi*ientode las $nidades *aestro ) esclavo de (or*a L$e el o2erador 2od+a sentir las($eras L$e se desarrollaan entre el *ani2$lador esclavo ) s$ entorno. A*ediados de los aQos cinc$enta, el aco2lo *ec'nico se s$stit$) 2or siste*aselctricos e @idr'$licos en *ani2$ladores tales co*o el 1and)*an de General#lectric ) el &inota$r I constr$ido 2or General &ilis.

#l traaDo sore *ani2$ladores *aestroesclavo ($e seg$ido r'2ida*ente 2orsiste*as *'s so(isticados ca2aces de o2eraciones re2etitivas a$tno*as. A *e


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ITRO%UCCIO )

diados de los aQos cinc$enta, George C. %cvol desarroll $n dis2ositivo L$e llla* Mdis2ositivo de trans(erencia 2rogra*ada artic$ladaN, $n *ani2$ladorc$)a o2eracin 2od+a ser 2rogra*ada ), 2or tanto, ca*iada- ) L$e 2od+a seg$ir$na sec$encia de 2asos de *ovi*ientos deter*inados 2or las instr$cciones en el

2rogra*a. 7osteriores desarrollos de este conce2to 2or %evol ) ose2@ F. #ngelerger cond$Do al 2ri*er root ind$strial, introd$cido 2or Uni*ation Inc. en3


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= RO%OTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISO:,. # IT#"IG#CIA

1eav) Ind$stries negoci $na licencia con Uni*ation 2ara s$s roots. Uno delos desarrollos *'s 2oco $s$ales en roots s$cedi en 3=, c$ando se desarroll$n ca*in e82eri*ental 2or la General #lectric 2ara la Ar*ada A*ericana. #nel *is*o aQo se desarroll el rao Boston ) al aQo sig$iente el rao Stan(ord,L$e estaa eL$i2ado con $na c'*ara ) controlado 2or co*2$tadora. Alg$nos de

los traaDos *'s serios en rotica co*enaron c$ando estos raos se $tiliaronco*o roots *ani2$ladores. Un e82eri*ento en el rao Stan(ord consist+a ena2ilar a$to*'tica*ente loL$es de ac$erdo con diversas estrategias. #sto era $ntraaDo *$) so(isticado 2ara $n root a$to*atiado de esa 2oca. #n 3>;,Cincinnati &ilacron introd$Do s$ 2ri*er root ind$strial controlado 2or co*2$tadora. "o lla* MT@e To*orro ToolN la @erra*ienta del *aQana- o T, L$e2od+a levantar *'s de 3EE liras as+ co*o seg$ir a oDetos *viles en $na lineade *ontaDe.

%$rante los aQos setenta se centr $n gran es($ero de investigacin sore el$so de sensores e8ternos 2ara (acilitar las o2eraciones *ani2$lativas. #n Stan(ord, Bolles ) 7a$l X 3>Y, $tiliando reali*entacin tanto vis$al co*o de ($era,de*ostraron L$e $n rao Stan(ord controlado 2or co*2$tadora, conectado a$na 7%73E, e(ect$aa el *ontaDe de o*as de ag$a de a$to*vil. 1acia la*is*a 2oca, ill ) Gross*an X3>;Y,

en el Arti(icial Intelligence "aorator) del &IT, traaD sore los as2ectos deinteligencia arti(icial de la reali*entacin de ($eras. Se $tili $na tcnica desL$eda de aterriaDes. 2ro2ia 5 la navegacin area, 2ara realiar el 2osicionado inicial de $na tarea de *ontaDe 2recisa. #n el %ra2er "aorator), evins )colaoradores X3>;Y investigaron tcnicas sensoriales asadas en el controlcoordinado de ($era ) 2osicin. #ste traaDo desarroll la instr$*entacin de $ndis2ositivo remote center compliance RCC- centro re*oto de control coordinado de ($era ) 2osicin- L$e se $ni a la 2laca de *ontaDe de la lti*a artic$lacin del *ani2$lador 2ara cerrar el conD$nto de coincidencias de 2ieas. BeDc)

X3>;Y, en el et 7ro2$lsion "aorator), desarroll $na tcnica de control de 2arasada en co*2$tadora sore s$ rao Stan(ord a*2liado 2ara 2ro)ectos dee82loracin es2acial. %esde entonces @an sido 2ro2$estos diversos *todos 2ara*ani2$ladores *ec'nicos.

1o) d+a ve*os la rotica co*o $n ca*2o de traaDo *$c@o *'s a*2lioL$e el L$e ten+a*os si*2le*ente @ace $nos 2ocos aQos, tratando con investigacin ) desarrollo en $na serie de 'reas interdisci2linarias, L$e incl$)en cine*'tica, din'*ica, 2lani(icacin de siste*as, control, sensores, leng$aDes de 2rogra*a

cin e inteligencia de *'L$ina. #stos t2icos, introd$cidos reve*ente en lassecciones L$e sig$en, constit$)en el ncleo del *aterial de este liro.

(i 1.3 CINEMATICA Y DIN AMICA DEL BRAO DEL ROBOT) /

6. Z ,F "a cine*'tica del rao del root trata con el est$dio anal+tico de la geo*etr+a6 3 5ovi*iento de $n rao de root con res2ecto a $n siste*a de coor enaaas


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lTRO%$CCIOS >

de re(erencia (iDo sin C.0JJPsiderar las ($eras. o *o*entos L$e originan el *ovi*iento. A.(il, la 5ne*'tica se interesa 2or la descri2cin anal+tica del des2laa*iento es2acial del root co*o$Qa ($ncin del tie*2o, en 2artic$lar de lasrelaciones en re la 2osicin aelasvariales de artic$lacin ) la 2osicin)

oQentac3QaeFe(ecror *a Fdel rao ael r000r.-. F1a) dos 2ro= e*as ($nda*entales en la cine*'tica del root. #l 2ri*er.2role*a se s$ele conocer c5*o el problema cinem*tico directo, *ientras L$e elsegP$+lao es e --rob+eiacinem*ticoinverso. Co*o las variales inde2enciien es entin root son las variales6 e artic$lacin, ) $na tarea se s$ele dar en tr*inosdel siste*a de coordenadas de re(erencia, se $tilia de *anera *'s (rec$ente el2role*a cine*'tico inverso. %enavit ) 1artenerg X3


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? ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

c$*2lir $na tarea deseada controlando al *ani2$lador 2ara L$e siga $n ca*ino2revisto. Antes de *over el rao, es de inters saer si @a) algn ost'c$lo2resente en la tra)ectoria L$e el root tiene L$e atravesar ligad$ras de ost'c$los- ) si la *ano del *ani2$lador necesita viaDar a o largo de $na tra)ectoria

es2eci(icada ligad$ras de tra)ectoria-. #l 2role*a de control de $n *ani2$ladorse 2$ede dividir conveniente*ente en dos s$2role*as co@erentes: el s$2role*a de 2lani(icacin de *ovi*iento o tra)ectoria- ) el s$2role*a de controldel *ovi*iento.

"a c$rva es2acial L$e la *ano del *ani2$lador sig$e desde $na localiacininicial 2osicin ) orientacin- @asta $na (inal se lla*a la tra#ectoria o camino. "a2lani(icacin de la tra)ectoria o 2lani(icador de tra)ectoria- inter2ola )4o a2ro8i*a la tra)ectoria deseada 2or $na clase de ($nciones 2olino*iales ) genera $nasec$encia de 2$ntos de Mconsignas de controlN en ($ncin del tie*2o 2ara el

control del *ani2$lador desde la 2osicin inicial @asta el destino. #l ca2+t$lo ;disc$te los distintos siste*as de 2lani(icacin de tra)ectoria 2ara *ovi*ientoslires de ost'c$lo, as+ co*o el (or*alis*o 2ara descriir el *ovi*iento deseadodel *ani2$lador en tr*inos de la sec$encia de 2$ntos en el es2acio a travs delos c$ales dee 2asar ) la c$rva es2acial L$e recorre.

~' #n general, el 2role*a de control de *ovi*ientos consiste en: 3- otener los*odelos din'*icos del *ani2$lador, 9- $tiliar estos *odelos 2ara deter*inarle)es o estrategias de control 2ara conseg$ir la res2$esta ) el ($nciona*iento delsiste*a deseado. Co*o la 2ri*era 2arte del 2role*a de control se disc$te

e8tensiva*ente en el ca2+t$lo , el ca2+t$lo < se concentra sore la seg$nda 2artedel 2role*a de control. %esde el 2$nto de vista de an'lisis de control, el*ovi*iento del rao de $n root se s$ele realiar en dos (ases de controldistintas. "a 2ri*era es el control de *ovi*iento de a2ro8i*acin en el c$al elrao se *$eve desde $na 2osicin4orientacin inicial @asta la vecindad de la2osicin4orientacin del destino deseado a lo largo de $na tra)ectoria 2lani(icada. #l seg$ndo es el control del *ovi*iento (ino en el c$al el e(ector (inal delrao interacciona din'*ica*ente con el oDeto $tiliando in(or*acin otenidaa travs de la reali*entacin sensorial 2ara co*2letar la tarea.

"os en(oL$es ind$striales act$ales 2ara controlar el rao del root tratancada artic$lacin del rao co*o $n servo*ecanis*o de artic$lacin si*2le.#ste 2lantea*iento *odela la din'*ica de $n *ani2$lador de (or*a inadec$ada2orL$e des2recia el *ovi*iento ) la con(ig$racin del *ecanis*o del rao de(or*a gloal. #stos ca*ios en los 2ar'*etros del siste*a controlado alg$nasveces son astante signi(icativos 2ara @acer ine(icaces las estrategias de control2or reali*entacin convencionales. #l res$ltado de ello es $na velocidad deres2$esta ) $n a*ortig$a*iento del servo red$cido, li*itando as+ la 2recisin

velocidad del e(ector (inal ) @acindolo a2ro2iado sola*ente 2ara li*itadastareas de 2recisin. "os *ani2$ladores controlados de esta (or*a se *$even avelocidades lentas con viraciones innecesarias. C$alL$ier ganancia signi(icativaen el rendi*iento en esta otras 'reas del control del rao del root reL$ierenla consideracin de *odelos din'*icos *'s e(icientes, en(oL$es de controlso(isticados ) el $so de arL$itect$ras de co*2$tadoras dedicadas tcnicasde 2rocesa*iento en 2aralelo. #l ca2+t$lo < est' en(ocado a ded$cir las le)es


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ITRO%UCCIO 5

de control del *ovi*iento de a2ro8i*acin ) las estrategias L$e $tilian los*odelos din'*icos analiados en el ca2+t$lo 2ara controlar e(ica*ente $n*ani2$lador. ]

i.s S#SOR#S %#" ROBOT"a $tiliacin de *ecanis*os sensores e8ternos 2er*ite a $n root interaccionarcon s$ entorno de $na *anera (le8ile, esto est' en contraste con o2eraciones2re2rogra*adas en las c$ales a $n root se le MenseQaN 2ara e(ect$ar tareasre2etitivas *ediante $n conD$nto de ($nciones 2rogra*adas. A$nL$e esto lti*oes con *$c@o la (or*a *'s 2redo*inante de o2eracin de los roots ind$striales

act$ales, la $tiliacin de tecnolog+a sensorial 2ara dotar a las *'L$inas con $n*a)or grado de inteligencia al tratar con s$ entorno es real*ente $n te*a deinvestigacin ) desarrollo activo en el ca*2o de la rotica.

"a ($ncin de los sensores del root se 2$eden dividir en dos categor+as2rinci2ales: estado interno ) estado e"terno. "os sensores del estado internotratan con la deteccin de variales tales co*o la 2osicin de la artic$lacin delrao, L$e se $tilia 2ara controlar el root. 7or otra 2arte, los sensores deestado e8terno tratan con la deteccin de variales tales co*o alcance, 2ro8i*i

dad contacto. "os sensores e8ternos, L$e se est$dian en los ca2+t$los = al ?, se$tilian 2ara g$iado de roots, as+ co*o 2ara la identi(icacin ) *aneDo deoDetos. #l en(oL$e del ca2+t$lo = es sore sensores de alcance, 2ro8i*idad,contacto ) de ($era2ar. #n los ca2+t$los > ) ? se a6nalian en detalle los sensores tcnicas de visin. A$nL$e los sensores de 2ro8irriidad, contacto ($era D$egan$n 2a2el signi(icativo en la *eDora del ($nciona*iento del root, se reconoce L$ela visin es la ca2acidad sensorial *'s 2otente del root. "a visin del root se2$ede de(inir co*o el 2roceso de e8traer, caracteriar e inter2retar in(or*acinde i*'genes de $n *$ndo tridi*ensional. #ste 2roceso, ta*in co*n*enteconocido co*o visin de m*uina o de computadora, se 2$ede s$dividir en seis'reas 2rinci2ales: 3- sensor, 9-2re2rocesa*iento,- seg*entacin, ;- descri2cin,


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3E ROllOTICA: COTRO". %#T#CCIO, /SIE36 # IT#"IG#:,.4CIA

intentan e*$lar el conoci*iento. #l *aterial del ca2+t$lo > trata de los sensores,2re2rocesa*iento ) con conce2tos ) tcnicas necesitadas 2ara realiar ($ncionesde visin de aDo nivel. "os te*as de visin de los niveles s$2eriores se est$dianen el ca2+t$lo ?.

3.= "#GUA#S %# 7ROGRA&ACIO %# ROBOTS

Un gran ost'c$lo en la $tiliacin de los *ani2$ladores co*o *'L$inas de $sogeneral es la (alta de co*$nicacin e(ica ) a2ro2iada entre el $s$ario ) elsiste*a rotico, de (or*a L$e ste 2$eda dirigir al *ani2$lador 2ara c$*2lir$na tarea dada. 1a) alg$nas (or*as de co*$nicarse con $n root, ) los tresgrandes en(oL$es 2ara lograrlo son: el reconoci*iento de 2alara discreta, ense

Qar ) re2rod$cir ) leng$aDes de 2rogra*acin de alto nivel.#l estado act$al del reconoci*iento de la vo es astante 2ri*itivo ) general*ente de2ende del orador. 7$eden reconocer $n conD$nto de 2alaras discretasde $n voca$lario li*itado ) nor*al*ente reL$iere L$e el $s$ario 2are entre2alaras. A$nL$e es 2osile a@ora reconocer 2alaras en tie*2o real deido aco*2onentes de co*2$tadora *'s r'2idos ) algorit*os de 2rocesa*ientos e(icientes, la $tilidad del reconoci*iento de 2alaras discretas 2ara descriir $natarea es li*itada. &'s an, reL$iere $na gran cantidad de *e*oria 2ara al*acenar el disc$rso, ) nor*al*ente se necesita $n 2er+odo de entrena*iento 2ara

incor2orar 2atrones de vo con (ines de reconoci*iento.#l *todo de enseQar ) re2rod$cir lleva consigo el instr$ir al root aldirigirlo a travs de los *ovi*ientos L$e va a realiar. #sto se s$ele e(ect$ar enlos 2asos sig$ientes: 3- dirigir al root en *ovi*iento lento $tiliando control*an$al a travs de la tarea de *ontaDe co*2leta, siendo graados los 'ng$los delas artic$laciones del root en 2osiciones a2ro2iadas con el (in de re2rod$cir el*ovi*iento^ 9- edicin ) re2rod$cin del *ovi*iento enseQado, ) - si el *ovi*iento enseQado es correcto, entonces el root lo eDec$ta a $na velocidad a2ro2iada de (or*a re2etitiva. #ste *todo se conoce ta*in co*o g$iado ) es el

en(oL$e *'s co*n*ente $tiliado en los roots ind$striales de @o) d+a.Un 2lantea*iento *'s general 2ara resolver los 2role*as de co*$nicacin

@o*reroot es la $tiliacin de 2rogra*acin de alto nivel. "os roots se$tilian co*n*ente en 'reas tales co*o soldad$ra 2or arco, soldad$ra de 2$nto) 2int$ra al s2ra). #stas tareas no reL$ieren interaccin entre el root ) elentorno ) se 2$eden 2rogra*ar ('cil*ente *ediante g$iado. Sin e*argo, el $sode roots 2ara e(ect$ar tareas de *ontaDes reL$iere general*ente tcnicas de2rogra*acin de alto nivel. Se necesita este es($ero 2orL$e el *ani2$lador secontrola nor*al*ente 2or $na co*2$tadora, ) la *anera *'s e(ectiva 2ara L$e los

@$*anos se co*$niL$en con las co*2$tadoras es a travs de $n leng$aDe de2rogra*acin de alto nivel. &'s an, al $tiliar 2rogra*as 2ara descriir tareasde *ontaDe, 2er*ite a $n root e(ect$ar traaDos di(erentes si*2le*ente eDec$tando el 2rogra*a a2ro2iado. #sto a$*enta la (le8iilidad ) versatiilidad delroot. #l ca2+t$lo 2resenta el $so de tcnicas de 2rogra*acin de alto nivel2ara lograr $na co*$nicacin e(ectiva con $n siste*a rotico.


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ITRO%UCCIO 11

t.> IT#"IG#CIA %#" ROBOT

Un 2role*a 'sico en rotica es la planificacin de *ovi*iento 2ara resolveralg$na tarea 2rees2eci(icada,) l$ego controlar al root c$ando eDec$ta las rde

nes necesarias 2ara conseg$ir esas acciones. AL$+ 2lani(icacin signi(ica decidir$n c$rso de accin antes de act$ar. #sta 2arte de s+ntesis de accin del 2role*adel root se 2$ede lograr *ediante $n siste*a de resol$cin de 2role*as L$elograr' algKn oDetivo *arcado, dada alg$na sit$acin inicial. Un 2lan es as+ $nare2resentac+n de $n c$rso de accin 2ara lograr $n oDetivo dado.

"a investigacin sore resol$cin de 2role*as con roots @a cond$cido a*$c@as ideas acerca de los siste*as 2ara la resol$cin de 2role*as en inteligencia arti(icial. #n $na (or*$lacin t+2ica de $n 2role*a de root tene*os $nroot L$e est' eL$i2ado con sensores ) $n conD$nto de acciones 2ri*itivas L$e

2$ede realiar en algn *$ndo ('cil de co*2render. "as acciones del rootca*ian $n estado o con(ig$racin del *$ndo en otro. #n el M*$ndo de loL$esN, 2or eDe*2lo, i*agina*os $n *$ndo de alg$nos loL$es etiL$etadoscolocados en $na *esa o $no sore otro ) $n root consistente en $na c'*ara detele..isin) $n rao ) *ano *vil L$e es ca2a de to*ar ) *over loL$es. #nalg$nas sit$aciones, el root es $n ve@+c$lo *vil con $na c'*ara de T/ L$ee(ecta tareas tales co*o e*2$Dar oDetos de $n sitio a otro en $n entorno L$econtiene otros oDetos.

#n l ca2+t$lo 3E introd$ci*os alg$nos *todos 'sicos 2ara la resol$cin de2role*as ) s$s a2licaciones a la 2lani(icacin de roots. "a disc$sin @acen(asis en la resol$cin del 2role*a o as2ectos de 2lani(icacin de $n root. Un2lani(icador de root intenta encontrar $na tra)ectoria desde n$estro *$ndo delroot inicial @asta $n *$ndo del root (inal. #l ca*ino consiste en $na sec$enciade o2eraciones L$e se consideran 2ri*itivas 2ara el siste*a. Una sol$cin a $n2role*a 2odr+a ser la ase de $na sec$encia corres2ondiente de acciones (+sicasen el *$ndo (isico. "a 2lani(icacin de roots, L$e 2ro2orciona la inteligencia )la ca2acidad de resol$cin de 2role*as a $n siste*a rotica, es todav+a $n

'rea de investigacin *$) activa. 7ara a2licaciones de roots en tie*2o real,necesitare*os algorit*os de 2lani(icacin 2otentes ) e(icaces L$e se eDec$tar'n2or siste*as de co*2$tadoras de $so es2ecial a alta velocidad.

1.7 R#F#R#CIAS

las re(erencias generales citadas a contin$acin son re2resentativas de 2$lica

ciones L$e tratan con te*as de inters en rotica ) en ca*2os relacionados. "asre(erencias L$e se dan al (inal de los ca2+t$los L$e sig$en se clasi(ican segn losternas es2ec+(icos L$e se est$dian en el te8to. "a iliogra(+a al (inal del liro seOrgania en orden al(atico 2or a$tores, ) contiene toda la in(or*acin 2ertinente 2ara cada re(erencia citada en el te8to.

Alg$nas de las *eDores revistas ) actas de con(erencia L$e de (or*a r$tinariacontienen art+c$los sore los diversos as2ectos de la rotica incl$)en:0EEE 1ournal o2 $obotics and 3utomation:0nternational 1ournal of $obotics$esearc45


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39 ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

1ournal of $obotic 6#stems5 $obotica: 0EEE ransactions on 6#stems, &an and#bernetics5 3rtificial 0ntelligence: 0EEE ransactions on 7attern 3nal#sis and&ac4ine 0ntelligence5 ompute, (rap4ics, 89sion, and 1mage7rocessing57rocee-dings of t4e 0nternational 6#mposium on 0ndustrial $obots5 7roceedings of t4e0nternational 1oint onference on 3rtificial 0ntel/igence5 7roceedings of 0EEE0nternational onference on $obotics and 3utomation5 0EEE ransactions on3utomatic ontrol5 &ec4anism and &ac4ine 4eor#5 7roceedings of t4e 6ociet#of 74oto-ptical and 1nstrumentation Engineers5 36&E 1ournal of &ec4anical;esign5 36&E 1ournal of 3pplied &ec4anics: 36&E 1ournal of ;#namic6#stems, &easurement and ontrol: and 36&E 1ournal of &ec4anisms, rans-missions, and 3utomation in ;esign.

"ect$ras co*2le*entarias al *aterial de este liro se 2$ede encontrar en losliros de %odd ) Rossol X3>Y, #ngelerger X3?EY, 7a$l X3?3Y, %or( X3?Y,

Sn)der X3?


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CA7I

TU"O

DOS/

CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT

W *ire c*o se agita, se 2oneen *arc@a, se des2laa 2arece

sentir $na e*ocin vitalJ

Henr#


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siste*a de coordenadas de re(erencia, _2$ede el *ani2$lador alcanar la2osicin ) orientacin de la *ano L$e se desea` W si 2$ede, _c$'ntascon(ig$raciones di(erentes del *ani2$lador satis(acer'n la *is*a condicin`


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"a 2ri*era 2reg$nta se s$ele conocer co*o el 2role*a cinem*tico directo,*ientras la seg$nda es el 2role*a cinem*tico inverso 2o solucin del brazo>.Co*o las variales inde2endientes en $n rao de root son las variales deartic$lacin ) $na tarea se s$ele dar en tr*inos de las coordenadas de re(erencia,el 2role*a cine*'tico inverso se $tilia de (or*a *'s (rec$ente. #n la (ig$ra 9.lse *$estra $n si*2le diagra*a de loL$es L$e indica las relaciones entre estosdos 2role*as.

Co*o los ele*entos de $n rao 2$eden girar )4o trasladarse con res2ecto a$n siste*a de coordenadas de re(erencia, el des2laa*iento es2acial total dele(ector (inal se dee a las rotaciones ang$lares ) traslaciones ang$lares de losele*entos. %enavit ) 1artenerg X 3


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT 3 ' iG7G < > ' Bv7v < > ' C=7= 9.9;-


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT 17

Oe82resado en (or*a *atricial,

Xp,

Y-

X6.)T:

Z5.F

i . ,D) . ,

-'.

)"

U. V,. l X27v

l9.9-

o p., \ D,.. 5 +, Z D) v U V, 9.9?-p,. k,.. 1.)) k,. . D) 6 V., U V,

Co*o los 2rod$ctos escalares son con*$tativos, se 2$ede ver de las ec$aciones 9.9=- a 9.9?- L$e

9.9-

6W ! 9 .9F3O-

donde 13 es la *atri identidad 8 . "a trans(or*acin en la ec$acin 9.99- o9.9>- se lla*a $na trans(or*acin ortogonal, ) co*o los vectores en los 2rod$c

tos escalares son todos vectores $nitarios, se lla*a ta*in $na trans(or*acinortonormal.

#l inters 2ri*ario en desarrollar la *atri de trans(or*acin anterior esencontrar las *atrices de rotacin L$e re2resentan rotaciones del siste*a decoordenadas %8< res2ecto a cada $no de los tres eDes 2rinci2ales del siste*ade coordenadas de re(erencia ?@A. Si el siste*a de coordenadas %8< se giraun 'ng$lo a res2ecto al eDe ? 2ara llegar a $na n$eva 2osicin en el es2acio,entonces el 2$nto 7$vG, L$e tiene coordenadas 2., p.,,p,.>D con res2ecto al siste*a

l

iZ. , iZ. V,l X^:Y3 9....


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%8


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17 RblJOTICA: COTRO", %#T((CIO. /ISIO # IT#"IG#CIA

con i - i., )i . /.

.: LV, . #,

,

s5n e,.Y 9.939-cos E.

An'loga*ente, las *atrices de rotacin 8 2ara rotaciones res2ecto al eDe @ con 'ng$lo F7 ) res2ecto al eDe A con 'ng$lo fJ son, res2ectiva*entevase (ig$ra 9.-,

6R) . .. \ X

cos F7

O

sen F/G

O sen 4lI O

o cos F7!$. \

cos e

X

se~()cos e O 9 .93-

O 3

"as *atrices R8. ,, !, . .,. ! !:. se lla*an las matrices de rotacin b*sicas.Se 2$eden otener otras *atrices de rotacin (initas a 2artir de estas *atrices.

" E/0plo% %ado dos 2$ntos a.,.... \ ;, , 9-> .v,.. \ =, 9, ;-> con res2ecto6 al siste*a de coordenadas girado %8


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT 1&

3

3

3

3

u lwo # X

V

X Ff1 8 FE

8

? 8 8 Ef ?

Figura9. Siste*as de coordenadas en rotacin.

X


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9E ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

E,


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Ade*'s de girar res2ecto de los eDes 2rinci2ales del siste*a de re(erencia

?@A, el siste*a de coordenadas giratorio %8


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Y. V

4 --------------------~/ 43

4 F / 3/

44

---.. / 1

4 34

l. R,.a9. R,.7. !,.;. R)."5. (...#a

T4 6F 4 33

1

11

31

3 ,. , -, B I I 4FFFFFFFFFF5FF3 s -'

9

9.


32/241

sen f \\ cos f 1r5 <


33/241

CI#&A TICA %#" BRA!O %#" ROBOT B&

S$stit$)endo en las ec$aciones anteriores,

'*'0V - ',S,;V < C

'0',V < '*S

'*',V

=1 \ Oi, < cos e8D. sen e8V,.. \ O, cos e8, sen e8->V, \ Oi. < sen e8D. < cos e8VG 8 O, sen e8, cos e8->

A2licando la 2ro2iedad 3 ) considerando stos co*o (ilas de la *atri deo :8 seno :8

lrotacin, la *atri R_ I se 2$ede reconstr$ir co*o

cos

sen e8 cos e8

L$e es la *is*a L$e la tras2$esta de la ec$acin 9.939-. o)).

2.2.? Coor-6a-a7o0og6a7 y 0ari- ra67or0a4i56

1Co*e, $na *atri de rotacin " no nos da ning$na 2osiilidad 2ara latraslacin ) el escalado, se introd$ce $na c$arta coordenada o co*2onente alvector de 2osicin p \ 2p", pf p,>D en $n es2acio tridi*ensional L$e lo trans(or*a en p \ 2=pRS =p,. =pv G- . %eci*os L$e el vector de 2osicin p se e82resa encoordenadas 4omogMneas. #n esta seccin $tilia*os $n Mcirc$n(leDoN es decir, p&2ara indicar la re2resentacin de $n vector cartesiano en coordenadas @o*ogneas.

7osterior*ente, si no e8iste con($sin, se eli*inar'n estos Mcirc$n(leDosN. #lconce2to de $na re2resentacin en coordenadas @o*ogneas en $n es2acioe$cl+deo tridi*ensional es til 2ara desarrollar trans(or*aciones *atriciales L$eincl$)an rotacin, traslacin, escalado ) trans(or*acin de 2ers2ectiva. #n general, la re2resentacin de $n vector de 2osicin de co*2onentes 2or $n vectorde 2 h 3- co*2onentes se lla*a representacin en coordenadas 4omogMneas. #n$na re2resentacin en coordenadas @o*ogneas, la re2resentacin de $n vectordi*ensional se e(ecta en el es2acio ( < J-di*ensionar ) el vector (isicodi*ensional se otiene dividiendo las coordenadas @o*ogneas 2or la coordenada < 3 L$e es . As+, en $n es2acio tridi*ensional, $n vector de 2osicinp \ 2pRS p, 7:f se re2resenta 2or $n vector a*2liado 2=pRS =p,,. =pR =f en lare2resentacin de coordenadas @o*ogneas. "as coordenadas (isicas se relacionan a las coordenadas @o*ogneas co*o sig$e:

7" 7: \=V,

G'


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT B5

o e8iste $na re2resentacin en coordenadas @o*ogneas nica 2ara $nare2resentacin en $n es2acio tridi*ensional. 7or eDe*2lo, N1 \ G12,.., =p,.=Ep., G3-> N9 \ (Wp,.., Wp,, Wpz, w9-> son todas coordenadas @o*ogneasre2resentando el *is*o vector de 2osicin 2 \ 2 ...,p.,, p,>D. As+ se 2$ede ver a lac$arta co*2onente de las coordenadas @o*ogneas = co*o $n (actor de escaa.

Si esta coordenada es la $nidad \ 3-, entonces las coordenadas @o*ogneastrans(or*adas de $n vector de 2osicin son las *is*as L$e las coordenadas(isicas del vector. Jn a2licacion5..d$:otica, este (actor de escala ser' sie*2reig$al a 3, a$nL$e se $tilia nor*al*ente en in(or*'tica gr'(ica co*o $n (actor deescala $niversal L$e to*a c$alL$ier valor 2ositivo.

"a *atri de trans(or*acin @o*ognea es $na *atri ; 8 ; L$e trans(or*a U$n vector de 2osicin e82resado en coordenadas @o*ogneas desde $n siste*ade coordenadas @asta otro siste*a de coordenadas. Una *atri de trans(or*acin

@o*ognea se 2$ede considerar L$e consiste en c$atro s$*atrices:*atri de

rotacin

trans(or*acin

de 2ers2ectiva

vector de

2osicin

escalado

9.99E-

"a s$*atri 8 s$2erior iL$ierda re2resenta la *atri de rotacin^ las$*atri s$2erior derec@a " I re2resenta el vector de 2osicin del origen delsiste*a de coordenada rotado con res2ecto al siste*a de re(erencia^ la s$*atriin(erior iL$ierda 3 8 re2resenta la trans(or*acin de 2ers2ectiva^ ) el c$artoele*ento diagonal es el (actor de escala gloal. "a *atri de trans(or*acin@o*ognea se 2$ede $tiliar 2ara e82licar la relacin geo*trica entre el siste*aligado al c$er2o %8< ) el siste*a de coordenadas de re(erencia ?@A.

Si $n vector de 2osicin 2 en $n es2acio tridi*ensional se e82resa en coordenadas @o*ogneas Xes decir, N 8 2,..,p,. 7z, 3 ->Y, entonces, $tiliando el conce2to

de *atri de trans(or*acin, $na *atri de rotacin 8 se 2$ede a*2liar a U$na *atri de rotacin @o*ognea ; 8 ; Trot 2ara o2eraciones de rotacin 2$ra.As+, las ec$aciones 9.939- ) 9.93-, e82resadas co*o *atrices de rotacin@o*ognea, se @acen

[I Oo

~]

5X c^s5 o sen XGT \ O cos C( sen C( o

8, 5 O sen C( cos C( sen i1G o cos XGo o o o o o

sen a oT sen cos e o

Z. , o oo o o

9.993-~]

Xoos = ~]

T,.Z

3


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&, ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

#stas *atrices de rotacin ; 8 ; se lla*an las matrices de rotacin 4omogMneasb*sicas.

"a s$*atri s$2erior derec@a 8 l de la *atri de trans(or*acin @o*ognea tiene el e(ecto de trasladar el siste*a de coordenadas %8< L$e tiene eDes

2aralelos al siste*a de coordenadas de re(erencia ?@A, 2ero c$)o origen est'en (&*, &0, dz> del siste*a de coordenadas de re(erencia:

l

ol O

oO

&0Tt,ans 8 O O l dz

o o o l9.999-

#sta *atri de trans(or*acin ; 8 ; se lla*a matriz de traslacin 4omogMneab*sica.

"a s$*atri in(erior iL$ierda l 8 de la *atri de trans(or*acin @o*ognea re2resenta la trans(or*acin de 2ers2ectiva, L$e es til 2ara visin 2orco*2$tadora ) la caliracin de *odelos de c'*ara tal co*o se 2resenta en elca2+t$lo >. 7or a@ora, los ele*entos de esta *atri se (iDan a cero 2ara indicar latrans(or*acin de 2ers2ectiva n$la.

"os ele*entos de la diagonal 2rinci2al de $na *atri de trans(or*acin

@o*ognea 2rod$cen escalado local ) gloal. "os 2ri*eros tres ele*entos diagonales 2rod$cen $n alarga*iento o escalado local, co*o en

9.9F9-

As+, los valores de las coordenadas se alargan *ediante los escalares a, b ) e,res2ectiva*ente. Osrvese L$e las *atrices de rotacin 'sicas, T,,1 no 2rod$cen ningn e(ecto de escalado local.

#l c$arto ele*ento diagonal 2rod$ce escalado gloal co*o en

9.99;-

donde s P O. "as coordenadas cartesianas (isicas del vector son?

sP,

>S

sP, z s

s

s\ 9.99


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT &)

7or tanto, el c$arto ele*ento diagonal en la *atri de trans(or*acin @o*ognea tiene el e(ecto de gloal*ente red$cir las coordenadas sis 3 ) de alargartas coordenadas si O F s F 3.

#n res$*en, $na *atri de trans(or*acin @o*ognea ; 8 ; trans(or*a $nvector e82resado en coordenadas @o*ogneas con res2ecto al siste*a de coorde

nadas O7V+ en el siste*a de coordenadas de re(erencia OXYZ. #sto es, con= \ 3,

78-6! \ T7$vG)

,U D.^ R-...56" =>

T 8 n#6# a# e, \ X6 s a

nz 6z az 7z O o oo o o 1

9.99=a-

9.99=-

2.2. Inter2retacin geo*trica de las *atricesde trans(or*acin @o*ogneas

#n general, $na *atri de trans(or*acin @o*ognea 2ara $n es2acio tridi*ensional se 2$ede re2resentar co*o en la ec$acin 9.99=-.#scoDa*os $n 2$nto 2

+tDo en el siste*a de coordenadas O7V+ ) e82resado en coordenadas @o*ogneas co*o O, O, O, 3 ->^ esto es, 7$vG es el origen del siste*a de coordenadasOVV+. #ntonces la s$*atri s$2erior derec@a 8 I indica la 2osicin delorigen del siste*a O7V+ con res2ecto al siste*a de coordenadas de re(erenciaOXYZ. #scoDa*os el 2$nto 2 co*o 3, O, O, 3->^ esto es, 7$vG 8 i$. &'s aKn,s$2one*os L$e los or+genes de a*os siste*as de coordenadas coinciden en $n2$nto O. #ste tiene el e(ecto de @acer los ele*entos en la s$*atri s$2eriorderec@a 8 I $n vector n$lo. #ntonces la 2ri*era col$*na o vector 6& de la*atri de trans(or*acin @o*ognea re2resenta las coordenadas del eDe O7 deO7V+ con res2ecto al siste*a de coordenadas OXYZ. An'loga*ente, cogiendopco*o O, l, O, 3-> ) O, O, 3, 3->, se 2$ede identi(icar L$e la seg$nda col$*na ovector s- o la tercera col$*na o vector a- de los ele*entos de la *atri @o*ognea re2resentan, res2ectiva*ente, los eDes 8 ) < del siste*a de coordenadasO7V+ con res2ecto al siste*a de coordenadas de re(erencia. As+, dado $nsiste*a de re(erencia OXYZ ) $na *atri de trans(or*acin @o*ognea T, losvectores col$*nas de la s$*atri rotacin re2resentan los eDes 2rinci2ales delsiste*a de coordenadas O7V+ con res2ecto al siste*a de coordenadas de

re(erencia, se 2$ede di$Dar la orientacin de todos los eDes 2rinci2ales delsiste*a de coordenadas O7V+ con res2ecto al siste*a de coordenadas dere(erencia. #l vector c$arta col$*na de la *atri de trans(or*acin @o*ogneare2resenta la 2osicin del origen del siste*a de coordenadas O7V+ con res2ecto al siste*a de re(erencia. #n otras 2alaras, $na *atri de trans(or*acin@o*ognea geo*trica*ente re2resenta la localizacion de $n siste*a de coorde

4

P,JJ


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& ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

nadas rotado 2osicin ) orientacin- con res2ecto a $n siste*a de coordenadasde re(erencia.

Co*o la inversa de $na s$*atri de rotacin es eL$ivalente a s$ tras2$esta, los vectores (ila de $na s$*atri rotacin re2resentan los eDes 2rinci2ales del

siste*a de coordenadas de re(erencia con res2ecto al siste*a de coordenadasO7V+. Sin e*argo, la inversa de $na *atri de .trans(or*acin @o*ognea noes eL$ivalente a s$ tras2$esta. "a 2osicin del origen en el siste*a de coordenadas de re(erencia con res2ecto al siste*a de coordenadas O7V+ se 2$ededed$cir sola*ente des2$s de L$e se deter*ine la inversa de la *atri de trans(or*acin @o*ognea. #n general, la inversa de $na *atri de trans(or*acin@o*ognea se 2$ede encontrar L$e es

o o o6

9 .99>-

As+, de la ec$acin 9.99>-, los vectores col$*na de la inversa de $na *atri detrans(or*acin @o*ognea re2resentan los eDes 2rinci2ales de los eDes de re(erencia con res2ecto al siste*a de coordenada rotado O7V+, ) la s$*atri 8 3s$2erior derec@a re2resenta la 2osicin del origen del siste*a de re(erencia conres2ecto al siste*a O7V+. #sta inter2retacin geo*trica de las *atrices de

trans(or*acin @o*ognea es $n conce2to i*2ortante $tiliado (rec$ente*entea lo largo de este liro.

2.2. Ma2ri3-. 2ra67or0a4i56 1o0og6.a 4o0pu.72a

"as *atrices de rotacin ) traslacin @o*ogneas se 2$eden *$lti2licar D$ntas

2ara otener $na *atri de trans(or*acin @o*ognea co*2$esta la lla*are*os la *atri T- . Sin e*argo, co*o la *$lti2licacin de *atrices no es con*$tativa, se dee 2restar $na atencin c$idadosa al orden en el c$al se *$lti2licanestas *atrices. "as reglas L$e sig$en son tiles 2ara deter*inar $na *atri detrans(or*acin @o*ognea co*2$esta:

l. Inicial*ente, a*os siste*as de coordenadas son coincidentes, )a L$e la*atri de trans(or*acin @o*ognea es $na *atri identidad ; 8 ;, 19.

9. Si el siste*a de coordenadas rotante O7V+ est' rotando4traslad'ndose

res2ecto de los eDes 2rinci2ales del siste*a ?@A, entonces premultiplicarla *atri de la trans(or*acin @o*ognea 2revia res$ltante- 2or $na*atri de traslacin4rotacin 'sica a2ro2iada.

. Si el siste*a de coordenadas rotantes O7V+ est' rotando4traslad'ndoseres2ecto de s$ 2ro2io eDe2rinci2al, entonces postmultiplicar la *atri detrans(or*acin @o*ognea res$ltante- 2or $na *atri de rotacin4traslacin 'sica a2ro2iada.

nR n n,

T3 YS,;

K a,S0

a# s,a,


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CI#&A TICA %#" BRA!O %#" ROBOT &&

#De*2lo: %os 2$ntos aD._ \ ;, , 9( ) %"""'\ =, 9, ;( se trasladan a $na5 distancia de < < $nidades a lo largo del eDe OX ) $nidades a lo largo

5 del eDe OZ. Utiliando la *atri de trans(or*acin @o*ognea a2ro2iada,deter*inar los n$evos 2$ntos 8) ) b"#z

. SO"UCI:

ll8)\

5

?) -J3 5l-3-


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cos (X sen F b c5s ZY

o o 3

#n el *todo ortodo8o, sig$iendo las reglas dic@as anterior*ente, @a) L$edarse c$enta L$e co*o la *atri T, .Z girar' el eDe @ res2ecto del eDe 8,


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& ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

entonces la traslacin a lo largo del eDe O 8 c$*2lir' el *is*o oDetivo,esto es,

T TZZ T,,

Fl5 )Jl) 5YFcos (X sen a 1 osen a cos (X o 1o o o o

Fl5

o ocos (X sen (X 4 ,5soYsen a cos (X b sen (Xo o 1 o

E/0plo% #ncontrar $na *atri de trans(or*acin @o*ognea T L$e re2resente $na rotacin de 'ng$lo '.l res2ecto del eDe ?, seg$ida 2or $natraslacin de a $nidades a lo largo del eDe ?, seg$ida 2or $na traslacinde d $nidades a lo largo del eDe O!, seg$ida 2or $na rotacin de 'ng$o res2ecto del eDe O!.

SO"UCI:

T

sen a

sen j cos o do

Yllo 3 o

l6do6"

o

o I O O o 3o O I O o o

5YF

Fl53 o

)H)o o

cos (X sen :8 5YFo 3 sen a cos o o o oeos esen a

\ cos

cos

(X sen (X cos a

sen sen e

sen :8 cos

a sen a

o sen (X cos (X do o o 1

1e*os identi(icado dos siste*as de coordenadas, el siste*a de coordenadasde re(erencia (iDo ?@A ) el siste*a de coordenadas *vil traslacin ) rotacin-O7V+ 7ara descriir la relacin del des2laa*iento es2acial entre estos dos

o oo o

o o

o o

l

a cos ZN


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; 8 ;. "as *atrices de trans(or*acin @o*ognea tienen el e(ecto co*inado derotacin, traslacin, 2ers2ectiva escalado gloal c$ando o2eran sore vectoresde 2osicin e82resados en coordenadas @o*ogneas.

Si estos dos siste*as de coordenadasse asignan a cada ele*ento del rao delroot, 2or eDe*2lo,el ele*ento - 3 el ele*ento , res2ectiva*ente, entonces el


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Artic$lacin i < l

Fig$ra 9.3E Siste*a de coordenadas de ele*entos ) s$s 2ar'*etros.

ele*entos ad)acentes, res2ectiva*ente. %eter*inan la 2osicin relativa de losele*entos vecinos.

Un ele*ento (i \ l, ... , =- se conecta a lo *'s a otros dos ele*entos 2oreDe*2lo, el ele*ento i - 3 ) el ele*ento i h l-^ as+ se estalecen dos eDes deartic$lacin en a*os e8tre*os de la cone8in. #l signi(icado de los ele*entos,desde $na 2ers2ectiva cine*'tica, es L$e *antienen $na con(ig$racin (iDa entres$s artic$laciones, L$e se 2$eden caracteriar 2or dos 2ar'*etros: a5 ) 33Z #l2ar'*etro a5 es la distancia *'s corta *edida a lo largo de la nor*al co*nentre los eDes de la artic$lacin es decir, los eDes Q9 1 ) Q9 2ara las artic$laciones ie i h 3, res2ectiva*ente-, ) IXM es el 'ng$lo entre los eDes de artic$lacin *edidosen $n 2lano 2er2endic$lar a a5 As+, aT ) IX9 se 2$eden lla*ar la longitud ) el *n-gulo de torsin del ele*ento i, res2ectiva*ente. %eter*inan la estr$ct$ra del ele

*ento i.#n res$*en, se asocian c$atro 2ar'*etros, a.5 IX9 d, ) QE, con cada ele*ento de$n *ani2$lador. Si se @a estalecido $n convenio de signo 2ara cada $no deestos 2ar'*etros, entonces constit$)en $n conD$nto s$(iciente 2ara deter*inarco*2leta*ente la con(ig$racin cine*'tica de cada ele*ento del rao del root.Osrvese L$e estos c$atro 2ar'*etros van a2areados: los 2ar'*etros del ele*ento a^, IX) L$e deter*inan la estr$ct$ra del ele*ento ) los 2ar'*etros de laartic$lacin (&, - L$e deter*inan la 2osicin relativa de los ele*entos vecinos.

2.2.1 "a re2resentacin de %enavit1artenerg

7ara descriir la relacin traslacional ) rotacional entre ele*entos ad)acentes,%cnavit ) 1artenerg 3


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? ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

cada $no de los siste*as de coordenadas de los ele*entos en la artic$lacin conres2ecto al siste*a de coordenadas del ele*ento 2revio. As+, *ediante trans(or*aciones sec$enciales,el e(ector (inal e82resado en las Mcoordenadas de la *anoNse 2$ede trans(or*ar ) e82resar en las Mcoordenadas de aseN L$e constit$)en el

siste*a inercial de este siste*a din'*ico.Se 2$ede estalecer 2ara cada ele*ento en s$s eDes de artic$lacin $n siste*a de coordenadas cartesiano ortonor*al 8_ ), .-, donde i 8 3, 9, ... , n(A 8 n*ero de grados de liertad-, *'s el siste*a de coordenadasde la ase.Co*o $na artic$lacin giratoria tiene sola*ente $n grado de liertad, cadasiste*a decoordenadas 8_ W^, ^- del rao de $n root corres2onde a la artic$lacin i < 3) est' (iDa en el ele*ento i. C$ando el act$ador de la artic$lacin activa laartic$lacin , el ele*ento i se *over' con res2ecto al ele*ento i - 1. Co*o el

siste*a de coordenadas isi*o est' (iDo en el ele*ento , se *$eve D$nto con elele*ento . As+ 2$es, el siste*a de coordenadas nsi*o se *$eve con la *anoele*ento n-. "as coordenadas de la ase se de(inen co*o el siste*a de coordenadas n*ero O 8E, )E, E-, L$e ta*in es el siste*a de coordenadas inercial delrao. As+, 2ara $n rao co*o el 7U&A de seis eDes, tene*os siete siste*as decoordenadas, L$e re2resentarnos con 8E, Wo, E-, 8_ ) 3, 3-, ... , 8=, W=, =-.

Cada siste*a de coordenadas se deter*ina ) estalece sore la ase de tresreglas:

3. #l eDe :; ? 3 )ace a lo largo del eDe de la artic$lacin.9. #l eDe X9 es nor*al al eDe A5 _

1) a2$nta @acia a($era de l.

. #l eDe ) co*2leta el siste*a de coordenadas de8trgiro segn se reL$iera.

&ediante estas reglas, $no es lire de escoger la lcaliacin del siste*a decoordenadas O en c$alL$ier 2arte de la ase so2orte, rllientras L$e el eDe E est alo largo del eDe de *ovi*iento de la 2ri*era artic$lacin. #l lti*o siste*a decoordenadas el nsi*o- se 2$ede colocar en c$alL$ier 2arte de la *ano, *ientras L$e el eDe 8, sea nor*al al eDe 5P 3.

"a re2resentacin de %1 de $n ele*ento r+gido de2ende de c$atro 2ar'*etros geo*tricos asociados con cada ele*ento. #stos c$atro 2ar'*etros descri

en co*2leta*ente c$alL$ier artic$lacin 2ris*'tica o de revol$cin. Re(irindonos a la (ig$ra 9.3O, estos c$atro 2ar'*etros se de(inen co*o sig$e:

5: #s el 'ng$lo de la artic$lacin del eDe X9 3 al eDe X9 res2ecto del eDe :;? 3$tiliando la regla de la *ano derec@a-.

&; #s la distancia desde el origen del siste*a de coordenadas (i - 3-si*o@asta la interseccin del eDe P3 con el eDe X9 a lo largo del eDe 3P 3.

a #s la distancia de se2aracin desde la interseccin del eDe Q9-1 con el eDeX9 @asta el origen del siste*a isi*o a lo largo del eDe 81 ( o la distancia*'s corta entre los eDes Q9 1 ) 1).

E?E: #s el 'ng$lo de se2aracin del eDe , P 3 al eDe z, res2ecto del eDe 8$tiliando la regla de la *ano derec@a-.

Z 83, $i - real*ente re2resentan los vectores $nitarios a lo largo de los eDes 2rinci2ales delsiste*a de coordenadas i, res2ectiva*ente, 2ero se $tilian aL$+ 2ara denotar el siste*a de coordenadas i.


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT &5

7ara $na artic$lacin giratoria, d.5 a; ) IXM son los 2ar'*etros de artic$lacin'2er*anecen constantes 2ara $n root, *ientras L$e JT es la variale artic$lacin L$e ca*ia c$ando el ele*ento i se *$eve o gira- con res2ecto al ele*ento+ - l. 7ara $na artic$lacin 2ris*'tica, JT, a5 ) IX9 son los 2ar'*etros de la

artic$lacin ) 2er*anecen constantes 2ara $n root, *ientras L$e dT es la variale de la artic$lacin. 7ara el resto de este liro, la variable de la articulacin sere(iere a JT o dT>, esto es, la cantidad L$e var+a, ) lospar*metros de articulacin sere(ieren a los restantes tres valores geo*tricos constantes (&;, a., et- 2ara $naa5tic$lacin giratoria o (!;, a.5 IX)2ara $na artic$lacin 2ris*'tica.

Con las tres reglas 'sicas anteriores 2ara estalecer $n siste*a de coordenadas ortonor*al en cada ele*ento ) la inter2retacin geo*trica de los 2ar'*etros de la artic$lacin ) del ele*ento, se 2resenta en el algorit*o 9.3 $n 2roced+

...

!; (6)

= *a)

7ar'*etros de coordenadas de los ele*entosde $n root 7U&A F

Ar3ic$Jacin ^ !5 a; IP &,

Rango de laartic$lacin

3 E E o o 3=E a h3=EW o o ;3.? ** 3;,E ** 99< a ;< E E 9E,9 ** o ;< a 99 ** 33E a 3>E

s o E 3 o 3EE a 3EE= o o o


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, ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

!K

Centro de la *ano O1 = Barrido- 5; Z9 ---s ------ los or+genes

Alcance- =5 v ,.,.,. 8< coinciden.....PR . X /--- ); 2dX 8 ds 8 O)

#levacin- 8= ! 4,.4 ~ JX ,-..:.---

d~ &

9))'9

7B

2,/~r \RS e,

! (FF\:8X

o

7ar'*etros de las coordenadas los ele*entos de $n root Stan(ord

Artic$lacin i JT a, a;

dT

1 ?3 8 E E o &,9 ?9 8 E E o d9 E o o dT

; 7E 8 o E o os J) 8 O E o o= 33= 8 O o o dt,

Fig$ra 9.39 #staleci*iento del siste*a de coordenadas de ele*entos 2ara $n rootStan(ord.

*iento 2ara estalecer $n siste*a de coordenadas ortonor*al consistente 2ara$n root #De*2los de a2licacin de este algorit*o a $n root ti2o 7U&A deseis eDes ) $n rao Stan(ord se dan, res2ectiva*ente, en las (ig$ras 9.33 ) 9.39.

Algorit*o 9.3: Asignacin del siste*a de coordenadas de los ele*entos. %ado $nrao con n grados de liertad, este algorit*o asigna $n siste*a de coordenadasortonor*al a cada ele*ento del rao de ac$erdo a con(ig$raciones de raossi*ilar a aL$ellas de la geo*etr+a del rao @$*ano. #l etiL$etado del siste*a decoordenadas co*iena desde la ase so2orte @asta el e(ector (inal del rao. "asrelaciones entre ele*entos ad)acentes se 2$eden re2resentar *ediante $na *atri

T

/,,

d

!0--M--0

P-

t\


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT ;3

de trans(or*acin @o*ognea ; 8 ;. "a i*2ortancia de esta asignacin es L$ea)$dar' al desarrollo de $n 2rocedi*iento consistente 2ara derivar la sol$cin dela artic$lacin tal co*o se 2resenta en secciones 2osteriores. Osrvese L$e laasignacin de los siste*as de coordenadas no es nica.-

E3. Establecer el sistema de coordenadas de la base. #stalecer $n siste*ade coordenadas ortonor*al de8trgiro 8E, Wo, E- en la ase so2ortecon el eDe E estando a lo largo del eDe de *ovi*iento de la artic$lacin 3 ) a2$ntando @acia a($era del @o*ro del rao del root. "oseDes 8E e Wo se 2$eden estalecer conveniente*ente ) son nor*ales aleDe EZ

E9. 0nicializar # repetir. 7ara cada t. i \ I, ... , n - l, realiar los 2asosE a E=.

E. Establecer los eBes de la articulacin. Alinear el Q9 con el eDe de *ovi*iento giratorio o desliante- de la artic$lacin i < l. 7ara rootsL$e tengan con(ig$raciones de rao levgiras, los eDes 3 ) 9 est'na2$ntando @acia a($era del @o*ro ) el MtroncoN del rao del root.

E;. Establecer el origen del sistema de coordenadas i-Msimo. "ocaliar elorigen del siste*a de coordenadas isi*o en la interseccin de los eDesQ9 , P 1 o en la interseccin de las nor*ales co*$nes entre los eDes Q ^P 1 ) el eDe Q9.

E. Establecer el sistema de coordenadas de la mano. or*al*ente laartic$lacin nsi*a es de ti2o giratorio. #stalecer , a lo largo de ladireccin del eDe , P 3 ) a2$ntando @acia a($era del root. #stalecer8, tal L$e sea nor*al a a*os eDes P 3 ) . Asignar Wn 2ara co*2le

tar el siste*a de coordenadas de8trgiro. /ase la seccin 9.9.33 2ara*'s detalle.-E?. Encontrar los par*metros de la articulacin # del elemento. 7ara ,

i 8 3, ... ,n, realiar los 2asos E a E39E. Encontrar d5 d, es la distancia del origen del siste*a de coordenadas

(i - lsi*o a la interseccin del eDe Q- i ) el eDe XM a lo largo del eDeQ9 3. #s la variale de la artic$lacin si i es 2ris*'tica.

% 3 O. Encontrar a.. aT es la distancia de la interseccin del eDe Q9 1

) el eDe al origen del siste*a de coordenadas isi*o a lo largo del eDe X9.

%I l. Encontrar JB J es el 'ng$lo de rotacin desde el eDe ^P 3 @asta el eDe8, res2ecto del eDe Q9O1 #s la variale de artic$lacin si i es giratoria.

% 39. Encontrar 1X1 IX9 es el 'ng$lo de rotacin desde el eDe Q- 1 @asta el eDe3 res2ecto del eDe .

Una ve estalecido el siste*a U de coordenadas %1 2ara cada ele*ento,se 2$ede desarrollar ('cil*ente $na *atri de trans(or*acin @o*ognea L$erelacione el siste*a de coordenadas isi*o con el siste*a de coordenadas


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;9 ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

(i - 3-si*o.Oservando la (ig$ra 9.3E, es ovio L$e bn 2$nto r, e82resado en elsiste*a de coordenadas iFsi*o se 2$ede e82resar en el siste*a de coordenadas(i - 3-si*o co*o rP 3 realiando las sig$ientes trans(or*aciones s$cesivas:

l.Girar res2ecto del eDe

Q9-1 $n 'ng$lo de

O9

2ara alinear el eDeX-

1 con eleDe X9 el eDe X9 1 es 2aralelo a X9 ) a2$nta en la *is*a direccin-.9. Trasladar a lo largo del eDe Q9 3 $na distancia de &, 2ara llevar en

coincidencia los eDes X9 1 ) 8,. Trasladar a lo largo del eDe 8, $na distancia de a,2ara traer en coinciden

cia ta*in los dos or+genes de los eDes 8.;. Girar res2ecto del eDe X9 $n 'ng$lo 9 2ara traer en coincidencia a los

siste*as de coordenadas.

Cada $na de estas c$atro o2eraciones se 2$ede e82resar *ediante $na *atrirotacintraslacin @o*ognea 'sica ) el 2rod$cto de estas c$atro *atrices detrans(or*acin @o*ogneas 'sicas da $na *atri de trans(or*acin @o*ognea co*2$esta, i- 3 A^, conocida co*o la *atri de trans(or*acin %1 2arasiste*as de coordenadas ad)acentes i e i - l. As+,

i-1A9\ T. dT,.s". .r^ EE \X5

o

)lXcos J5 sen O9 o

o ol

(

l

\

l o sen ], cos T o

o o o o o

oI o o

\ X5

l d 5Y

[~

cos (X9 sen 49

5Y \o l o sen 43 cos (X9o o l o o

Xcos J5 cos IX9 sen 5 sen X9 sen 5 a; cos ?^3P sen T cos (X9 cos JT sen X9 cos J5 aT sen JT o sen

49 cos (X9 &, 9.99-

o o o 3

Utiliando la ec$acin 9.99>- se 2$ede encontrar la inversa de esa trans(or*acin co*o

4- 1A9J-1

cos sen JT cos cos J sen

sae5

l

o o


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X cos J5sen J5 o

9A9-1 IX9 (X9 i 49 -9 49sen IX9 sen J, sen IX5 cos J, COS IX5 -&5 COS IX9

o o o l9.9E-

donde 49 a, &, son constantes *ientras L$e JT es la variale de la artic$lacin2ara $na artic$lacin ti2o revol$cin.


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT &

7ara $na artic$lacin 2ris*'tica, la variale artic$lacin es d.5 *ientras L$e

:;

I.

,, ].3 !5 son constantes. #n este caso, i- 4 A se @ace

i

X6sden6!55

cos 33 sen ? sen 33 sen ?

cos 33 cos ? sen Jl cos ?

A T,.Q,. d" .EE - Osen 33 cos il (l

s$ inversa es

.0 0 09.93-

23A^Y3^AF3

X cos 5 sen ? 0 cos 33 sen JT cos 33 cos JT sen MET

-d5 5en g^l

cos il sen JT sen Jl cos J5 cos a5 -dT cos 330 0 0 1

9 .99-

Utiliando la *atri i- 3 A se 2$ede relacionar $n 2$nto 2 en re2oso en el

ele*ento i e82resado en coordenadas @o*ogneas con res2ecto al siste*ade coordenadas i en el siste*a de coordenadas i - 3 estalecido en el ele*entoi - 3 2or

9.9-

donde 7^F i 8 8.^ 3, W^F,:P 3, l-r ) 7^ 8 8_ @5, !, l(."as. seis *atrices de trans(or*acin i- 1 A^ 2ara el root 7Ur)tA de seis eDes

@an sido deter*inadas sore la ase del siste*a de coordenadas estalecido en la(ig$ra 9.33. #stas *atrices ^ 3 A^ se dan en la (ig$ra 9.3.

9.9.33 #c$aciones cine*'ticas 2ara los *ani2$ladores ]~E,La *atri @o*ognea dT L$e es2eci(ica la localiacin del siste*a de coordenadas isi*o con res2ecto al siste*a de coordenadas de la ase es el 2rod$cto encadena de *atrices de trans(or*acin de coordenadas s$cesivas ^ 3 A ) se e82re

sa co*o

i

T \ A33A9 ... i3A l D3A. 2ara i \ 3, 9, ... .nJ


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X5 ) ! 5Y \j 3

X5d5Y 9.9;-o o


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;; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

A3 \

ilA^ \

X e,

cos T cos 33 sen 2^T sen 33 sen T aT cos T

sen T cos CD5 cos T sen 33 cos T aT sen T

oa,c,ai6W

,.P,..,

.:

C o S o S;

S o C aS S; o C;iA \ o l o o 5\ o -1 o

o o o l o o o

4 ;As-

o 6s

o l o M 1

s= o

s~Y o o l

X e6s

,! o -s X e, c= oo o o o o o

X e, e,, s, ,6i! aBC1 CB < a&C1 C& - dW6, 1S3 C9 66i! a9S3 i < aS3 i! < diC,

T3 s A33Ai

iA \ Sn o i! Fa9S9 a!6i!

oo

ol

T9 Z 5;Ass5 \ SsC= SsS= s ds < d;o o o 3

donde C^ Z cos .^ S; 11 sen .^ C;5 ,JJJJ #%s(E; < E5); S;5 \ sen?^ < !5),

Fi2n 9.3 &atrices de trans(or*acin de coordenadas de los ele*entos del root

o -1 o o o l do o o o o l

S3

ol

a,c, 1 X e,

As

AC; s C= S;S= C;CsS= S;C= C;Ss d=C;S- 2ara invertir la *atri T2) otene*os la

aseT \ X5 -1)))1?))

o


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*atri de trans(or*acin res$ltante:

o 1 Oo o

3E16

c$o O

oo 3 3E O O O 1 1o O 1 O O o o 1


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CI#&A TICA %#" BRA!O %#" ROBOT D, o es(rica 2rS?6`!, r6a.6f!, r`!>D. 7ara

descriir la orientacin del e(ector (inal con res2ecto al siste*a de coordenadas de

lea O O1 53o o 3

l


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la ase, tene*os cartesianas Xn. s, aY, 'ng$los de #$ler (


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. #stos ele*entos se conectan ) se

accionan de (or*a tal L$e se ($eran a *overse relativa*ente $no res2ecto de otrocon el (in de 2osicionar el e(ector (inal $na *ano o @erra*ienta- en $naposicin orientacin particular.

7or tanto, $n *ani2$lador, considerado co*o $na co*inacin de ele*entos) de artic$laciones, con el 2ri*er ele*ento conectado a la ase ) el lti*oconteniendo la M*anoN, se 2$ede clasi(icar 2or el tipo de articulaciones ) s$orden desde la ase @asta la *ano-. Con este convenio, el root 7U&A se

2$ede clasi(icar co*o =R ) el rao de Stan(ord co*o 9R7R, donde R es $naartic$la cin de revol$cin ) 7 es $na artic$lacin 2ris*'tica.

B.& #" P!819:;A CI#&ATICO I/#RSO

#n esta seccin se 2lantea el seg$ndo 2role*a de la cine*'tica del root: lacine*'tica inversa o sol$cin del rao 2ara $n *ani2$ladorcon seis artic$laciones . "os roots asados en co*2$tadora se s$elen controlar en el es2acio de lasvariales de artic$lacin, *ientras L$e los oDetos L$e se *ani2$lan se s$elen


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e82resar en el siste*a de coordenadas de *$ndo. Con el (in de controlar la2osicin ) orientacin del e(ector (inal de $n root 2ara alcanar s$ oDeto, es *'s


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CI#&A TICA %#" BRA!O %#" ROBOT

Utiliando las ec$aciones 9.F3-, 9.(- ) 9.@-, $na sol$cin a las n$eveec$aciones anteriores es:

\ cos 3

a`-

VI \ cos 3 ^5-

E> \ cos l 5^)-

9.;-

9.


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O nr s, a,

\ O C(H -S2HSVI

^ nz s, a, Z S(J C(H Z -SVICVIo

OY Kn" s, I"N Xl O O Y ?CI


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odYX o3 cOe -seO YI O 6J


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT 2> 6F1G6Na# 8 6FB> FB>2> - FB>6 9.3 \ are tg9 2n,, s,-s.

9.3>-

Ig$alando los ele*entos , 9- , - de a*as *atrices tene*os:

se \ n,6i/E h s,iBTC() \ a,

9.3?a-

9.3?-

1L$e nos cond$cen a la sol$cin 2ara ,

3

- 8 tg 3 2n,6iBT =

8 are tg9 2n,6iBT < s,iBT, a,- 9.3-

Ig$alando los ele*entos 3, 3- 9, 3- de a*as *atrices tene*os:FB> 8 n"i/E - s"6i/E

6FB> \ n#i/E - s#6i/E9.9Ea-

9.9E-

L$e da

n"i/E - s"6i/E

\ are tg9 2n#t/E - s#6t/E, n"t/E - s"6i/E> 9.93-

Corres2onde al $s$ario la liertad de 2re*$lti2licar o 2ost*$lti2licar $na ec$acin *atricial dada.

A2liL$e*os esta tcnica trans(or*ada inversa 2ara resolver los 'ng$los de#$ler 2ara $n root ti2o 7U&A sol$cin OAT de $n root 7U&A-. "os roots


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;, ROBOTICA: CE36TRO", %#T#CCO, /ISIO:,4# IT#"IG#CIA

7U&A $tilian los s+*olos O, 3, 2ara indicar los 'ng$los de #$ler ) s$sde(iniciones se dan a contin$acin con re(erencia a la (ig$ra 9.3>-:

O 2orientacin> es l 'ng$lo (or*ado desde el eDe !0 @asta la 2ro)eccin deleDe a de la @erra*ienta sore el 2lano ?@ res2ecto del eDe E.

3 2altitud> es el 'ng$lo (or*ado desdPe.et2lanoW @asta l eDe a de la@erra*ienta res2ecto del eDe s de 3.+6f,.,@erra*ienta.

24erramienta> tool- es l 'ng$lo (or*ado desde el 2lano ?@ @asta el eDesde la @erra*ienta res2ecto del eDe a de la @erra*ienta.

..

-( -(

...

,

r

SZS

Fv,

...,GP.. ....F5o

'

,[ @

'l$0 -. -

T. $na *edida del 'ng$lo (or*adoentre la 1#RRA&I#TA @ $n 2lano 2aralelo al 2lano&U%O XY

-. ..

..

Figura 2.1 %e(inicin de los 'ng$los de #$ler :,3 ) T. To*ado del *an$al del root7U&A ?1.-

1#RRA&I#TA

,

.... S+,.

..55[D-

..,.,E

S+,. . ...5[D-.....

~N) ...

FDDDMMDMM(MD- O, $na *edida del 'ng$lo S; .

(or*ado entre el eDe '&U%O @ ) $na 2ro)eccinde la 1#RRA&I#TA Zsore el 2lano &U%O XY

P $na *edida del 'ng$lo (or*adoent e la 1#RRA&I#TA Z $n 2lano 2aralelo al 2lano&U%O XY

..... ..


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT =3

Q0

(ig$ra B.17 Alinea*iento inicial del siste*a de coordenadas de la @erra*ienta.

Inicial*ente el siste*a de coordenadas de la @erra*ienta o el siste*a decoordenadas de la *ano- est' alineado con el siste*a de coordenadas de la asedel root, co*o se nos *$estra en la (ig$ra 9.3?. #sto es, c$ando 8 3 8 8 O,los 2$ntos de la *ano en el eDe )E negativo con los dedos en $n 2lano @oriontal )el eDe s est'n a2$ntando al eDe 8E 2ositivo. "a trans(or*acin necesaria L$edescrie la orientacin del siste*a de coordenadas de la *ano (3 s, a- con res2ectoal siste*a de coordenadas de la ase 8E, E, E- est' dado 2or

-

)J3 O O9.99-

%e la de(inicin de los 'ng$los 3 ) la *atri de alineacin inicial Xec$acin 9.99-Y, la relacin entre la trans(or*acin de la *ano ) los 'ng$los 3 est' dada 2or

's,.

a,

l @1

FJYca

SEGP 6# => 8 .O on: s, = o

R, ,R.6 \

-so\ so co @ O1 3dY K .3

O SAJ

XC6

-6 O

o o o o O 3 O O I

7ost*$lti2licando la ec$acin *atricial anterior 2or la trans(or*acin inversa?G' s, a,l?

CT ST

dY caso

@nY sY a# -6 o \ so co Z1 3dYXn,

s. = o o I O O o o

X

~]

dYI O

\TZ


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o s^YK 3X-63 o 3

Z 3


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; ROBOTICA : COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

) *$lti2licando las *atrices tene*os: 63PN6 -3

O -63

Ig$alando los ele*entos , 9- de dic@a ec$acin *atricial tene*os:9.9-

n,6 < s, \ O 9.9;-

lo L$e la da sol$cin de ,

\ tgF3 55.- \ are tg9 (s,, -3) 9.9 iY are tg9 2-a,, -n, < s,6>- n, < s:6 ,P,S

9.9>-

Ig$alando los ele*entos l, 9- ) 9, 9- de a*as *atrices tene*os:

8 n.6NS < s"6 \ n#6 < s>S

9.9?a-

9.9?-

L$e dan la sol$cin de O,

8 tg 3 2n#6 < s#>n"6 9.9-

"a 2re*$lti2licacin o la 2ost*$lti2licacin anterior de las trans(or*adas inver

sas desconocidas se 2$eden ta*in a2licar 2ara encontrar la sol$cin de lasartic$laciones de $n root 7U&A. "os detalles res2ecto a la sol$cin del root7U&A se 2$eden encontrar en 7a$l ) col. X3?3Y.

A$nL$e la tcnica de la trans(or*ada inversa 2ro2orciona $n *todo general2ara deter*inar la sol$cin de las artic$laciones de $n *ani2$lador, no da $naindicacin clara sore c*o seleccionar $na sol$cin a2ro2iada de las diversassol$ciones 2osiles 2ara $na con(ig$racin de rao 2artic$lar. #sto tiene L$edescansar sore la int$icin geo*trica del $s$ario. As+, $n *todo geo*trico


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT =

es *'s til 2ara derivar $na sol$cin de 'ng$los de artic$lacin consistentes,dada la *atri del rao co*o en la ec$acin 9.9-, ) 2ro2orciona $n *edio2ara L$e el $s$ario 2$eda seleccionar $na sol$cin nica 2ara $na con(ig$racinde rao 2artic$lar. #ste *todo se 2resenta en la seccin 9..9.

9..9 Un *todo geo*trico

#sta seccin 2resenta $n *todo geo*trico 2ara la resol$cin del 2role*acine*'tico inverso de *ani2$ladores de seis ele*entos con artic$laciones giratorias. "a disc$sin se en(oca sore $n *ani2$lador ti2o 7U&A. Basado en elsiste*a de coordenadas del ele*ento ) en la geo*etr+a del rao @$*ano, se

2$eden identi(icar diversas con(ig$raciones de rao de $n root ti2o 7U&AFig. 9.33- con la a)$da de tres indicadores de con(ig$racin BRA!O, CO%O )&Ul6,I#CA- dos asociados con la sol$cin de las tres 2ri*eras artic$laciones )el otro con las tres Klti*asF. 7ara $n root de seis eDes ti2o 7U&A , e8istenc$atro sol$ciones 2osiles 2ara las tres 2ri*eras artic$laciones ) 2ara cada $nade las c$atro sol$ciones @a) dos sol$ciones 2osiles 2ara las tres lti*as. "os dos2ri*eros indicadores de con(ig$racin 2er*iten deter*inar $na sol$cin de lasc$atro sol$ciones 2osiles 2ara las tres 2ri*eras artic$laciones. An'loga*ente, eltercer indicador selecciona $na sol$cin de las dos 2osiles 2ara las tres lti*asartic$laciones. "os indicadores de artic$lacin del rao se es2eci(ican 2or el$s$ario 2ara encontrar la sol$cin inversa. "a sol$cin se calc$la en dos eta2as.7ri*ero, se deriva $n vector de 2osicin a2$ntando desde el @o*ro @asta la*$Qeca. #sto se $tilia 2ara otener la sol$cin de cada artic$lacin i (i 8 3, 9, -2ara las tres 2ri*eras artic$laciones e8a*inando la 2ro)eccin del vector de2osicin sore el 2lano P 3)P 3. "as tres artic$laciones lti*as se res$elven$tiliando la sol$cin de la artic$lacin calc$lada de las tres 2ri*eras artic$laciones, las s$*atrices de orientacin de T^ ) i- 3 A (i 8 ;,


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=; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO:S:, /ISIO # IT#"IG#CIA

%e(inicin de las diversas con(ig$raciones de rao. 7ara $n root 7U&A *ostrado en la (ig$ra 9.33 ( otros roots giratorios-, se de(inen diversas con(ig$racionesde rao de ac$erdo con la geo*etr+a del rao @$*ano el siste*a de coordenadas de ele*entos L$e se estaleci $tiliando el algorit*o 9.3 co*o Fig. 9.3-:

BRA!O %#R#C1O @o*ro-: ]W 2ositivo *$eve la *$Qeca en la direccin Epositivo *ientras la artic$lacin tres no se activa.

BRA!O I!0UI#R%O @o*ro-: ]W 2ositivo *$eve la *$Qeca en la direccinE negativa *ientras la artic$lacin tres no se activa.

BRA!O ARRIBA codo 2or enci*a de la *$Qeca-: 7osicin de la *$Qeca del

rao %#R#C1O[I!0UI#R%Ocon res2ecto al si

.ste*a de coordenadas del @o*ro

tiene valor de coordenada negativo. .2osi$vo

a lo largo del .eDe

)B.

BRA!O ABAO codo 2or deaDo de la *$Qeca-: 7osicin de la *$Qeca del

rao %#R#C1O[I!0UI#R%O

con res2ecto al .siste*a de coordenadas del @o*ro

tiene valor de coordenada 2ositivo[negativo

a lo largo del eDe )B

&U#CA ABAO: #l vector $nitario s del siste*a de coordenadas de la *ano' el vector $nitario < del siste*a de coordenadas 8., @s.


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT =-S@. J$ YtOFB>OS@. (.&-&+)

r \1p5 < p5 - dW $ \1p5 < p5 (.&-&7)

sen F7 \ 7# cos F7 \ 7" (.&-&5)$ $

sen IXdW$

COS IX \ r(B.&-E,)

$

donde los s$2er+ndices' ) $ sore los 'ng$los de las artic$laciones indican lascon(ig$raciones de rao I!0UI#R%O4%#R#C1O .%e las ec$aciones (B.&-&+)a(B.&-E,) otene*os las ($nciones seno ) coseno de ?1 2ara las con(ig$racionesde

rao I!0UI#R%O4%#R#C1O:

sen ef \ sen 2F7 - >.- \ sen F7 cos :8 cos F7 sen S@. (B.&-E1)

cosra

3.

\ cos (P. )- IX 8 cos ,, cos a < sen F7 sen a -_ 7"S


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\ COS3t < F/>< IX) \

- 7"S < 7#dW\$

5W

(.&-)


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT ;+

7lano 8E)E

3 8 d9

3J \ r \ JpW,

< pW#

d99

/I

13N I Brao iL$ierdo 4

! 8 J29, < 29# 8

6 ,.....P ./ 44

....

Cilindro interior con radio &,

!0

2p,. p_,.>J

4/II

3 8 di

3J 8 r 8 J79 < 7~-dW

~YrO,t,Oa

3

! 8 Jp; < p;o

,

Brao derec@o

Figura9.9E Sol$cin 2ara la artic$lacin 3.

Co*inando las ec$aciones 9.;3- a 9.;;- ) $tiliando el indicador de BRA

QO 2ara indicar las con(ig$raciones de rao I!0UI#R%O %#R#C1O, otene*os, res2ectiva*ente, las ($nciones seno ) coseno de ?1

BRA!O p#B p5 < p5 - dT - 7"Szsen 81p;


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=? ROBOTICA : COTRO", %#T#CCIE36, /ISIO # 366T#"IG#CIA

'.. p; p,)

P \ &E QR \ 3.," \ aE Q \3,. C \ a.3 Q \3,;Y dX

!

3; \ $ \ J7: < 75 < 75 - diE 8 ' 8 pl < pW -dl

r (*' W

Fig$ra 9.93 Sol$cin 2ara la artic$lacin 9.

donde se to*a la ra+ c$adrada 2ositiva en estas ec$aciones ) se de(ine BRA!Oco*o en la ec$acin 9.F3-. Con el (in de eval$ar ?3 2ara -n ~ JE ~ n, se$tiliar' tal co*o se de(ini en la ec$acin 9.F +) $na ($ncin arco tangente. %elas ec$aciones 9.;-, se enc$entra L$eJE es:

!, \ tP 3 sen J3-

g cos !5

\ tgP3 2-$3Ap#Bp5 < p5 - d1 - 7"di>

BRA!O 7"1p5 < p5 - dSf < p#dW 9.;>5

6olucin de la articulacin W. 7ara encontrar la artic$lacin 9, 2ro)ecta*os elvector de 2osicin 2 sore el 2lano 8 3) 3 tal co*o se *$estra en la (ig$ra 9.93. %eesta (ig$ra encontra*osL$e tene*osc$atro con(ig$racionesdi(erentes de rao.

Cada $na corres2onde a valores di(erentes de la artic$lacin 9 co*o se *$estraen la tala 9., donde O 5 :8 5 =E ) oc 5 f ~ E.

Tala 9. %iversas con(ig$raciones de rao 2ara la artic$lacin 9

Con(ig$raciones de rao 82 BRA!O CO%O BRA!O CO%O

Brao I!0UI#R%O ARRIBA IX - f -1 +I -1Brao I!0UI#R%O ABAO : + f -1 F3 +(Brao %#R#C1O ARRIBABrao %#R#C1O ABAO

IX + fIX - f

+'+)

+IF3

+)-1

O P"

3

J


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT ;5

#n la tala anterior, JW se 2$ede e82resar en $na ec$acin 2ara di(erentescon(ig$raciones de rao ) codo $tiliando los indicadores de BRA!O ) CO%Oco*o:

JW \ a < BRA!O U CO%E-4 \ a < P /! 9.;?-

donde el indicador de con(ig$racin de rao co*inado \ BRA!O CO%Odar' $n valor de signo a2ro2iado ) el M2$ntoN re2resenta $na o2eracin de*$lti2licacin sore los indicadores. %e la geo*etr+a del rao en la (ig$ra 9.93otene*os:

$ \ 1 p5 < p5 < p5 r \ Jp; < p; - df 9.;-

sen X \ P,

\

P, 9.


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6olucinpara la articulacin !. 7ara la artic$lacin , 2ro)ecta*os el vector de7sicin 2 sore el 2lano 89)9 tal co*o se *$estra en la (ig$ra 9.99. %e esta(i5$ra otene*os c$atro con(ig$raciones de raos di(erentes. Cada con(ig$raCton corres2onde a valores di(erentes de la artic$lacin co*o se *$estra en latala 9.;, donde 92;-) es la co*2onente # del vector de 2osicin desde el origen


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+, ROBOTICA: co^^TRO". U#T#C6C6IO, WISIO # IT#"IG#CIA

T

3~T

o.,Y e( /Brao iL$ierdo aaDo

.l

1pW < pW < pl - di.{ y ~

P ].E \ e(, / \ EfBrao iL$ierdo aaDo

e

TBrao iL$ierdo arria

Figura 2.22 Sol$cin 2ara la artic$lacin .

de *


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Ta:la 2.9 %iversas 4o6igura4io6.7 - :rao7 para la ar2i4ula4i56 3

Con(ig$raciones de rao 92;-) ]! BRA!O CO%O BRA!OCO%O

Brao I!0UI#R%O ARRIBA - o $j)-2 -1 +' -1

Brao I!0UI#R%O ABAO 5o $j)-2 -l -1 +'

Brao %#R#C1O ARRIBA 5 o $j)-2 +I +' +'

Brao %#R#C1O ABAO *O $j)-2 +' -1 -1

D la tala 9.; 2ode*os e82resar ? en $na ec$acin 2ara con(ig$raciones deraos di(erentes:

9.=E-

D la ec$acin 9.=E-, las ($nciones seno ) coseno de ? son, res2ectiva*ente:

sen ? \ sen 4g 4- \ sen F/G cos /! - cos sen /!

cos ? 8 cos 4g 4- \ cos F/G cos /! < sen F/G i /!1

9.=3-

9 .=9-

D las ec$aciones 9.=l- 9.=9-, $tiliando las ec$aciones 9.-a 9.


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. FiDar la artic$lacin = 2ara alinear el vector de orientacin dado o vectorde deslia*iento o )=- ) el vector nor*al.


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+B ROBOTICA: COTRO", O#T#CCIO, 3SIO # IT#"IG#CIA

&ate*'tica*ente, los criterios anteriores signi(ican. res2ectiva*ente:

a \ !D (.&-;)

dado a \ 2a,,, a, az>D (.&-;K)dado s \ 2s..,,s,s.>D n 8 2n..,, n, n.>D (.&-;;)

#n la ec$acin (B.&-;E) se 2$ede to*ar el vector 2rod$cto vectorial co*o2ositivo o negativo.Co*o res$ltado de esto, e8isten dos sol$ciones 2osiles 2ara

;. Si el vector 2rod$cto vectorial es cero es decir, es 2aralelo a a-, indica elcaso degenerado. #sto s$cede c$ando los eDes de rotacin son 2aralelos 2ara las

artic$laciones ;. Indica L$e en esta con(ig$racin de rao 2artic$lar ser+as$(iciente $n root de cinco eDes en l$gar de $no L$e tenga seis.

6olucin de la articulacin X. A*as orientaciones de la *$Qeca ARRIBA ABAO- se de(inen oservando la orientacin del siste*a de coordenadas de la*ano *n, 6 a) con res2ecto al siste*a de coordenadas (


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT >

%iversas orientaciones 2ara la *$Qeca

UH de *$Qeca +l\s U )< o n U )< &U#CA &\&U#CA sign (])

5 o +I +IF o +1 -15 o -1 3F o -1 +1

nitario ; direccin 2ositiva- a 2artir de la asignacin de los siste*asdas de los ele*entos, *ientras L$e el indicador &U#CA es2eci(ica

a del $s$ario en la orientacin del s$siste*a &U#CA de ac$erdoicin dada en la ec$acin 9.F-. Si a*os indicadores tienen el, entonces la @i2tesis del signo dl 2rod$cto vectorial en la ec$acin

orrecta. #n la tala 9.< se ta$lan diversas orientaciones de &U#$ltan de la co*inacin de alg$nos valores de los indicadores de' s$ orientacin., oservando la 2ro)eccin del siste*a de coordenadas (^ ;, ;-

no 8) ) de la tala 9.< ) la (ig$ra 9.9, se 2$ede de*ostrar L$e es$iente vase Fig. 9.9-:

9.=-

e son los vectores col$*nas " e #. de ET, res2ectiva*ente,#CA sigo Jl-, ) la ($ncin sigo se de(ine co*o:

s3.gn 8- \ [ P< 3SI X ~

Z

SI X F Z

9.F >E-

( 5-

3 z,3

3

3

3

1

Sol$cin 2ara la artic$lacin ;.

3ala 9.; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

As+, la sol$cin 2ara ?; con los indicadores de &U#CA ) orientacin es:

9.F>3-

Si oc$rre el caso degenerado, se 2$ede escoger 2ara ?; c$alL$ier valor conveniente *ientras se satis(aga la orientacin de la *$Qeca ARRIBA4ABAO-. #sto se

2$ede aseg$rar sie*2re (iDando ?; ig$al al valor act$al de ?;. Ade*'s de esto, el

$s$ario 2$ede activar el con*$tador F"I7 2ara otener la otra sol$cin de ?;,esto es, ?; \ ?; < 3?E.

6olucin de la articulacin ). 7ara encontrar J), $tilia*os el criterio L$e alineael eDe de rotacin de la artic$lacin = con el vector de a2ro8i*acin o a \


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Fig$ra 9.9; Sol$cin 2ara la artic$lacin


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT +K

esto es (iDar s 8 '=. &irando la 2ro)eccin del siste*a de coordenadas de la*ano (3 s, a) sore el 2lano


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+; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

laciones ?3, JW, ?- 2osicionan el rao *ientras L$e las sol$ciones de las lti*astres artic$laciones (7;, J), 7=- 2ro2orcionan la orientacin a2ro2iada de la *ano.1a) c$atro sol$ciones 2ara las tres 2ri*eras artic$laciones. %os 2ara la con(ig$racin del rao del @o*ro derec@o ) dos 2ara la con(ig$racin del raodel @o*ro iL$ierdo. 7ara cada con(ig$racin de rao, las ec$aciones 9.;>-,9.3-, 9.>-) 9.F> es la 2ro)eccin del vector de 2osicin p X#c. 9.=-Ysore el 2lano 8E)E, 3 sen eB cos J, E-> del vector tercera col$*na de ET3

, ) E \ O, O, 3->. Tene*os las 2osiilidades sig$ientes:l. Si M(!, 2- O, entonces el rao est' en la con(ig$racin de rao

%#R#C1O.9. Si M(!, p& O, entonces el rao est' en la con(ig$racin de rao

I!0UI#R%O.. Si M(!, p) \ O, entonces el criterio 2ara encontrar la con(ig$racin de

rao I!0UI#R%O4%#R#C1O no se 2$ede deter*inar $n+voca*ente .#l rao est' dentro del cilindro de radio &W en el es2acio de traaDovase Fig. 9.3-. #n este caso se to*a 2or de(ecto el rao a la %#R#C1A BRA!O \ h 3-.

Co*o el deno*inador de las ec$aciones de decisin anteriores es sie*2re2ositivo, la deter*inacin de la con(ig$racin del rao I!0UI#R%O4%#R#C1O se red$ce a co*2roar el signo del n$*erador de M(!, p&%

BRA!O 8 sign Kg2J, p&K 8 sigo 2-7" cos J -

A sen ?1)

9.>>-


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CI#&ATICA %#" BRA!O %#" ROBOT ++

donde la ($ncin signo se de(ini en la ec$acin 9.>E-. S$stit$)endo las co*2onentes* e# de 2 de la ec$acin 9.=-, la ec$acin 9.>>- se @ace:

BRA!O 8 sign Kg2, 2-Y 8 sign XgO-Y 8 sign Fd;S9 aC9 a9C9-

9.>?-

D aL$+ L$e a 2artir de la ec$acin de decisin en la ec$acin 9.>?- se 2$ederelacionar s$ signo con el indicador de BRA!O 2ara la con(ig$racin %#R#C1O4I!0UI#R%O co*o:

h 1 > rao %#R#C1O[ 3 > rao I!0UI#R%O

(B.&-+5)

7ara el indicador de rao CO%O, seg$i*os la de(inicin de rao ARRIBA4ABAO 2ara (or*$lar la corres2ondiente ec$acin de decisin.Utiliando 92;)P. el indicador BRA!O en la tala 9.;, la ec$acin de decisin 2ara el indicadorCO%O se asa en el signo de la co*2onente ) el vector de 2osicin 9 A A; ) elindicador de BRA!O:

> CO%O enci*a *$Qeca

> CO%O deaDo *$Qeca

(B.&-7,)

7ara el indicador &U#CA, seg$i*os la de(inicin de &U#CA ARRIBA4ABAO 2ara otener $n 2rod$cto escalar 2ositivo de los vectores $nitarios se ')O !;-:

h 1&U#CA [ -1

si S U ; P E 9.?3-Si S U !; F Z

An$los de artic$lacin

EU, EU->.#stalecer el siste*a de coordenadas del ele*ento ortogonal , ), -2ara i l, 9, ... , =

2ara este rao ) co*2letar la tala.

7ar'*etros de coordenadas de losele*entos del root Stan(ord

Anic$lacin ^

9

;)

=

9.l Utiliando las seis *atrices i-3

A i 8 l, 9, .... =- del root 7W&A de la (ig$ra 9.3,encontrar s$ error deposicin al (inal del ele*ento deido al error de *edida de los tres733*eros 'ng$los de artic$lacin (;,1 ;,B ;,&). #s s$(iciente $na sol$cin a2ro8i*adade 2ri*er orden.

9.3; Re2etir el 2role*a 9.3 2ara el root Stan(ord L$e se *$estra en la (ig$ra 9.39 .


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U5n la (ig$ra se *$estra $n *ani2$lador con dos grados de liertad. Si la longit$dde cada ele*ento es de $n *etro, estalecer s$s siste*as de coordenadas de ele*entos )encontrar OA I )

I A9Z #ncontrar la sol$cin cine*'tica inversa 2ara este *ani2$lador.


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?; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO. /ISIO # IT#"IG#CIA

/~ -*

----l+ 7ara el root 7U&A L$e se *$estra en la (ig$ra 9. 3, s$2oner L$e @e*osencontra do correcta*ente la sol$cin de las tres 2ri*eras artic$laciones ?1 !W, ?&) )L$e se dan -

1 A^, i 8 3, 9, ... , = ) T;. Utiliar la tcnica de trans(or*acin inversa 2ara encontrar lasol$cin de los tres lti*os 'ng$los de las artic$laciones E;, ]), E=-. Co*2ares$s sol$ciones con las ec$aciones dadas 9.F>3 -. 9.>- ) 9.> 7ara el root Stan(ord de la (ig$ra 9.39, otener la sol$cin de los tres 2ri*eros'ng$los de artic$lacin. 7$ede $tiliar c$alL$ier *todo con el L$e se sienta c*odo.

9.3? Re2etir el 2role*a 9.3= 2ara el root Stan(ord de la (ig$ra 9.39.

3

/


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CA7ITU"O

TRES

%IA&ICA %#" BRA!O %#" ROBOT

.l ITRO%UCCIO 53

"o inevitale se s$2era *ediante el es($ero

licer


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7; ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

di(erir 2orL$e se otienen 2or diversas raones ) oDetivos. Alg$nas se otienen2ara lograr tie*2os de c'lc$lo r'2ido en la eval$acin de los 2ares de lasartic$laciones no*inales 2ara controlar el *ani2$lador, otras se otienen 2ara(acilitar el an'lisis ) la s+ntesis de control, ) todav+a otras se otienen 2ara

*eDorar la si*$lacin en $na co*2$tadora del *ovi*iento del root."a otencin del *odelo din'*ico de $n *ani2$lador asado en la (or*$lacin de "# es si*2le ) siste*'tica.S$2oniendo el *ovi*iento del c$er2o r+gido,las ec$aciones de *ovi*iento res$ltante, e8cl$)endo la din'*ica de los dis2ositivos de control electrnico, @$elgo ) el roa*iento de los engranaDes, son $nconD$nto de ec$aciones di(erenciales no lineales aco2ladas de seg$ndo orden.BeDc) X3>;Y, $tiliando la re2resentacin de la *atri de trans(or*acin @o*ognea ; 8 ; de la cadena cine*'tica ) la (or*$lacin lagrangiana, @a de*ostrado L$e las ec$aciones de *ovi*iento din'*ico 2ara $n root ti2o Stan(ord deseis artic$laciones son ($erte*ente no lineales ) constan de carga inercial, ($erasde reaccin de aco2lo entre las artic$laciones Coriolis ) centr+($ga- ) e(ectos decarga de la gravedad. &'s an, estos 2ares4($eras de2enden de los 2ar'*etros(isicos del *ani2$lador, de la con(ig$racin instant'nea de las artic$laciones, dela velocidad ) aceleracin de las artic$laciones ) de la carga L$e est' so2ortand54el root. "as ec$aciones de *ovi*iento "# 2ro2orcionan ec$aciones de estadoe82l+citas 2ara la din'*ica del root ) se 2$eden $tiliar 2ara analiar ) diseQarestrategias de control avanadas en el es2acio de las variales de artic$lacin.#n

$na *enor *edida se est'n $tiliando 2ara resolver el 2role*a din*mico directo,esto es, dadas las ($eras42ares deseadas, se $tilian las ec$aciones din'*icas2ara resolver las aceleraciones de las artic$laciones, L$e se integran a contin$acin 2ara otener las coordenadas ) velocidades generaliadas^ o 2ara elproble-ma din*mico inverso, esto 6es,dadas las coordenadas generaliadas deseadas ) s$s2ri*eras dos derivadas res2ecto del tie*2o, se calc$lan las ($eras42ares generaliados. #n a*os casos se 2$ede necesitar calc$lar los coe(icientes din'*icos ;5,;,,. ) C; de(inidos en las ec$aciones .93-, .9- ) .9;-, res2ectiva*ente.%esgraciada*ente, el c'lc$lo de estos coe(icientes reL$iere $na relativa cantidadde o2eraciones arit*ticas. As+ las ec$aciones de "# son *$) di(icilesde $tiliarcon (ines de cr .rol en tie*2o real a *enos L$e se si*2li(iL$en.

Co*o $na alternativa 2ara derivar ec$aciones de *ovi*ientos *'s e(icientes,se dirigi la atencin a desarrollar algorit*os 2ara calc$lar las ($eras42aresgeneraliados asados en las ec$aciones de *ovi*ientos de # ArrnstrongX3>Y, Or+n ) col. X3>Y, "$@ ) col. XJ?EaY-. "a otencin es si*2le, 2eroengorrosa, e i*2lica tr*inos de 2rod$cto vectorial. "as ec$aciones din'*icasres$ltantes, e8cl$)endo la din'*ica del dis2ositivo de control, @$elgo ) roa

*iento de los engranaDes, son $n conD$nto de ec$aciones rec$rsivas @acia adelante ) @acia atr's. #ste conD$nto de ec$aciones se 2$ede a2licar sec$encial*ente alos ele*entos del root. "a rec$rsin @acia adelante 2ro2aga la in(or*acincine*'tica tal co*o velocidades lineales, velocidades ang$lares, aceleracionesang$lares ) aceleraciones lineales del centro de *asa de cada ele*ento desde lsiste*a de coordenadas inercial @asta el siste*a de coordenadas de la *ano. Larec$rsin @acia atr's 2ro2aga las ($eras ) *o*entos eDercidos sore cadaele*ento desde el e(ector (inal del *ani2$lador @asta el siste*a de re(erencia de


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%IA&ICA %#" BRA!O %#" ROBOT ?>

la ase. #l res$ltado *'s signi(icativo de esta (or*$lacin es L$e el tie*2o dec'l 6c$lo de las ($eras42ares generaliados se enc$entra L$e es lineal*ente 2ro2orcional al n*ero de artic$laciones del rao e inde2endiente de la con(ig$racin del *is*o. Con este algorit*o se 2$ede realiar el control en tie*2o real

sirn2le del root en el es2acio de las variales de artic$lacin."a ine(icacia de las ec$aciones de *ovi*iento de "# s$rge 2arcial*ente de

las *atrices @o*ogneas ; 8 ; L$e descrien la cadena cine*'tica, *ientras L$ela e(icacia de la (or*$lacin de # se asa en la (or*$lacin vectorial ) en s$nat$ralea rec$rsiva. 7ara *eDorar an *'s el tie*2o de c'lc$lo de la (or*$lacin Iagrangiana. 1ollerac@ 3?EY @a e82lotado la nat$ralea rec$rsiva de la(or*$lacin lagrangiana . Sin e*argo, las ec$aciones rec$rsivas destr$)en laMestr$ct$raN del *odelo din'*ico L$e es astante til en darnos co*2rensin

2ara el diseQo del controlador en el es2acio de estados. 7ara el an'lisis delcontrol en el es2acio de estado, ser+a interesante otener $n conD$nto e82l+cito deec$aciones di(erenciales en (or*a cerrada ec$aciones de estado- L$e descrian lacond$cta din'*ica del *ani2$lador. Ade*'s, se deer+an identi(icar ('cil*entelas ($eras de interaccin ) de reaccin de los aco2ios en las ec$aciones, de*anera L$e se 2$diese diseQar $n controlador a2ro2iado 2ara co*2ensar s$se(ectos 1$ston ) Kell) 3?9Y-. Otro *todo 2ara otener $n conD$nto e(icientede ec$aciones de *ovi*iento e82l+cito se asa en el 2rinci2io de d6Ale*ertgeneraliado 2ara ded$cir las ec$aciones de *ovi*iento L$e se e82resan e82l+cita

*ente en (or*a vectorial *atricial a2ro2iadas 2ara el an'lisis del control. Ade*'s, 2ara 2er*itir $n c'lc$lo *'s r'2ido de los coe(icientes din'*icos L$e lasec$aciones de "# , las ec$aciones de *ovi*iento de G% e82l+cita*ente identi(iFcan las contri$ciones de los e(ectos traslacionales ) rotacionales de los ele*entos . Tal in(or*acin es til 2ara diseQar $n controlador en el es2acio de estado.La e(icacia co*2$tacional se consig$e a 2artir de $na (or*$lacin co*2acta$tiliando *atrices de trans(or*acin de #$ler o *atrices de rotacin- ) vectores de 2osicin relativos entre artic$laciones.

#n este ca2+t$lo se otienen ) analian las ec$aciones de *ovi*iento de "#,# ) G% de $n root ) se est$dia $n *ani2$lador con dos ele*entos 2arail$strar el $so de estas ec$aciones. Co*o el c'lc$lo de los coe(icientes din'*icosde las ec$aciones de *ovi*iento es i*2ortante tanto en el an'lisis del controlco*o en la si*$lacin 2or co*2$tadora,se ta$lan las o2eraciones *ate*'ticasW la carga co*2$tacional de estas ec$aciones de *ovi*ientos. #l c'lc$lo de las($eras42ares a2licadas a 2artir de las ec$aciones de *ovi*ientos de d6Ale*ertgeneraliadas es del orden On-, *ientras L$e en las ec$aciones # son delorden de On;- Xo del orden On- si se o2ti*ianY ) las ec$aciones de # son

del orden de On-, donde n es el n*ero de grados de liertad del rao.

.9 FOR&U"ACIO %# "AGRAG##U"#R 2J~

las ec$aciones de *ovi*iento general de $n *ani2$lador se 2$eden e82resarconveniente*ente *ediante la a2licacin directa de la (or*$lacin de "agrange#$ler a siste*as no conservativos . &$c@os investigadores $tilian la re2resenta


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?? ROBOTICA: COTRO", %#T#CCIO, /ISIO # IT#"IG#CIA

cin *atricial de %enavit1artenerg 2ara descriir el des2laa*iento es2acialentre los siste*as de coordenadas de ele*entos vecinos 2ara otener la in(or*a.cin cine*'tica del ele*ento, e*2lean la tcnica din'*ica lagrangiana 2araded$cir las ec$aciones din'*icas de $n *ani2$lador. "a a2licacin directa de la(or*$lacin din'*ica lagrangiana, D$nto con la re2resentacin de coordenadas

de ele*entos de %enavit1artenerg, res$lta en $na descri2cin algor+t*icaconveniente ) co*2acta de las ec$aciones de *ovi*iento del *ani2$lador. #lalgorit*o se e82resa *ediante o2eraciones *atriciales ) (acilita tanto el an'lisisco*o s$ realiacin en $na co*2$tadora. "a eval$acin de la din'*ica ) de lasec$aciones de control en tr*inos ($ncional*ente e82l+citos se asar' en elalgorit*o *atricial co*2acto ded$cido en esta seccin.

"a derivacin de las ec$aciones din'*ic

11519777 Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

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