FORMULACIN Y NOMENCLATURA

Elementos del movimiento

Unidad 10

Contenidos.-

1.- Introduccin.

2.- Magnitudes escalares y vectoriales.

3.- Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.

4.- Operaciones con vectores.

5.- Trayectoria, posicin y desplazamiento.

6.- Velocidad media e instantnea (introduccin al concepto de derivada).

7.- Aceleracin media e instantnea.

8.- Componentes intrnsecas de la aceleracin: tangencial y normal.

Magnitudes escalares y vectoriales

Escalares:

Quedan perfectamente definidas con una cantidad (nmero) y una unidad.

Ejemplo: el tiempo ( 3 s; la masa ( 8 kg.

Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:

Mdulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud del vector. Es la parte escalar.

Direccin: es la recta que contiene el vector.

Sentido: indicado por la punta de la flecha.

Punto de aplicacin: origen de la flecha.

Ejemplo: la posicin, velocidad, fuerza...Sistema de referencia y movimiento

Es un punto del espacio respecto al cual describimos el movimiento.

Un objeto se encuentra en movimiento si cambia su posicin respecto al sistema de referencia.

Los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z), perpendiculares entre s, segn trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.

Representacin de un sistema de referencia tridimensional.

Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (mdulo igual a 1):

i sobre el eje x

j sobre el eje y

k sobre el eje zVectores

Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud.

Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas:

( ( ( (

a = ax i + ay j + az k

A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y azul para mayor comodidad:

a = ax i + ay j + az ken donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

Suma de vectores

Sean dos vectores: a = ax i + ay j + az k y b = bx i + by j + bz kEl vector suma vendr dado por:

a + b = (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)kEjemplo:

Sean: a = 3 i + 2 j y b = 2 i 3 j

a + b = (3+2) i + (2 3) j = 5 i j

Clculo del mdulo de un vector.

Sean un vector: a = ax i + ay j + az kEl mdulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitgoras:

|a| = (ax2 + ay2 + az2)1/2

Ejemplo:

En el vector anterior: c = a + b = 5 i j

|a| = (ax2 + ay2 + az2)1/2 = [52 + (1)2 + 02]1/2 = (26)1/2 = 5,1

Vector Posicin (r).

Para un punto P de coordenadas (x,y,z) el vector posicin viene dado por: r = x i + y j + z k Representacin de vectores posicin

Ecuacin del movimiento

La ecuacin que proporciona la posicin de un objeto con respecto al tiempo se llama ecuacin del movimiento:

r(t) = x(t) i + y(t) j +z(t) kEjemplo:

r(t) = [2t i + (1t) j + (3t2+4) k] mEn el S.I. la unidad ser el m.

Ejercicio:

Sea el movimiento definido por la siguiente ecuacin r = 2t i + 8 j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posicin en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.

Ecuaciones paramtricas.

Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo.

x = f(t); y = g(t); z = h(t)

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:

En el vector: r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m, las ecuaciones paramtricas seran:

x = 2t; y = 1 t ; z = 3t2 + 4Trayectoria

Es la lnea que sigue el movimiento.

Los diferentes puntos de dicha lnea se obtienen dando valores a t en la ecuacin del movimiento (paramtricas).

Ecuaciones de la trayectoria.

Se obtienen despejando el parmetro (tiempo) en una ecuacin y sustituyendo el valor en la otra.

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:

r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] mx = 2t; y = 1 t;z = 3t2 + 4

t = x/2 ( y = 1 x/2 ; z = 3x 2/4 + 4

En el caso del espacio bidimensional, nicamente existe una ecuacin de la trayectoria: y = f(x).

Ejercicio:

Determinar las ecuaciones paramtricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuacin: r(t) = [(t 2) i + (2t2 + 4t 3 ) j] m

Ecuaciones paramtricas: x = t 2 ; y = 2t2 + 4t 3

Despejando tde la 1 ecuacin: t = x + 2, y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)2 + 4(x + 2) 3 = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4(x + 2) 3

y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 3

Ecuacin de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13Ejercicio:

Determina el valor del vector posicin del vector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el mdulo de dichos vectores y la ecuacin de la trayectoria.

t (s)r(t) (m)(r(t)( (m)

0 6 j(6)1/2 = 6,00

26 i + 2 j(62 + 22)1/2 = 6,32

412 i + 26 j(122 + 262)1/2 = 28,63

618 i + 66 j(182 + 662)1/2 = 68,41

Despejando t de x = 3 t ( t = x/3, y sustituyendo en y = 2 t2 6 queda:

y = 2(x/3)2 6; y = 2x2/9 6 Ejercicio:

Representa grficamente la ecuacin anterior: (0,6); (6,2); (12,26); (18,66).

Vector desplazamiento ((r)

Es el vector diferencia de dos vectores de posicin en dos momentos distintos.

Sean r0 = x0 i + y0 j + z0 k y r1 = x1 i + y1 j + z1 k dos vectores posicin.

Se llama vector desplazamiento (ra:(r = r1 r0 = (x1x0) i + (y1y0) j + (z1z0) k

(r = (x i + ( y j + (z kEn el S.I. la unidad ser el m.

Ejercicio:

Cul ser el vector desplazamiento y cunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior: r(t) = 3t i + (2t2 6) j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m ;r2 (t= 4 s) = (12 i + 26 j) m(r = r2 r1 = (x i + (y j + (z k = [(12 6) i + (26 2) j] m

(r = (6 i + 24 j) m ((r(= (62 + 242)1/2 m = (36 + 576)1/2 m = 24,74 mEspacio recorrido ((s)

Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria recorrida.

NO hay que confundir con el vector desplazamiento; normalmente (s > ((r(, aunque en trayectorias rectilneas y que no cambien de sentido el movimiento: (s = ((r(En el S.I. la unidad ser el m.

Velocidad media (vm)

(r (x i + ( y j + (z k vm = =

(t (t

(x (y (z vm = i + j + k

(t (t (t

vm = vmx i + vmy j + vmz k

El mdulo del vector vm toma el valor:

(vm(= (vmx2 + vmy2 + vmz2)1/2

La direccin y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento (r ya que (t es un escalar.NO hay que confundir vm con el escalar (s/(t que, en Fsica, llamaremos rapidez o celeridad media.

Ni siquiera (vm(tiene porqu coincidir con la rapidez o celeridad media. Por ejemplo, un corredor que da una vuelta completa a un circuito tendr vm=0 ya que (r = 0. Sin embargo tiene una rapidez que viene determinada por la longitud de la pista ((s) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta ((t).

En el S.I. la unidad ser el m/s.

Ejercicio:

Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t= 5, as como su mdulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 4) i + (1 4t) j] m

r1 (t =2 s) = (4 i 7 j) m

r2 (t =5 s) = (46 i 19 j) m

(r (2s(5s) = r2 r1 = (42 i 12 j) m

(r (42 i 12 j) m vm (2s(5s) = = = (14 i 4 j) m/s

(t 5 s 2 s

(vm (2s(5s)(= [(14 m/s)2 + ( 4 m/s)2]1/2 = 14,56 m/sVelocidad instantnea (v)

Es el vector valor lmite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo (t van aproximndose a 0.

(r03 tiene un mdulo ms cercano al espacio recorrido (s03 que (r02 a (s02 y (r01 a (s03.

A medida que (t se hace ms pequeo tambin es menor (s y ((r( y adems ambos valores se van aproximando cada vez ms, por lo que en el lmite cuando (t ( 0, (r ser tangente a la trayectoria y su mdulo coincidir con (s.

Ejemplo:

Calcular la velocidad instantnea aproximada en el instante t = 2s, as como su mdulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m

Sea ( t = 0,1 s, suficientemente pequeo: deberemos conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en r2 (t =2,1 s)

r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m ; r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) m

(r = r2 r1 = (0,3 i + 0,82 j) m

(r (0,3 i + 0,82 j) m vaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,2 j) m/s

(t 0,1 s

(vaprox (t=2 s)(= (32 + 8,22)1/2 m/s = 8,73 m/sEjemplo:

Calcular la velocidad instantnea ms aproximada en el instante t = 2s, as como su mdulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2 6) j] mSi queremos calcular v (t = 2 s) de forma ms aproximada deberemos tomar un (t an menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en r3 (t=2,01 s).

r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m

r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) m

(r = r3 r1 = (0,03 i + 0,0802 j) m

(r (0,03 i + 0,0802 j) m vaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,02 j) m/s

(t 0,01 s

(vaprox (t=2 s)(= (32 + 8,022)1/2 m/s = 8,56 m/s

Componentes cartesianas de la velocidad instantnea v

(r (x i + ( y j + (z k v = lim = lim

(t(0 (t (t(0 (t

dr dx dy dz v = = i + j + k

dt dt dt dt

v = vx i + vy j + vz k

La direccin de v es tangente a la trayectoria en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento.

Ejemplo:

Calcular la expresin del vector velocidad del movimiento anterior: r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

(r (x i + ( y j + (z k v = lim = lim

(t(0 (t (t(0 (t

3(t+(t) 3t [2(t+(t)26 [2t26] v = i + j =

(t

(t

3t + 3 (t 3t [2t2 + 4t (t + 2((t)26][2t26]= i + j =

(t

(t

Ecuacin de la velocidad: v = dr/dt = 3 i + 4t j t (s)v(t) (m/s)(v(t)( (m/s)

03 i(32)1/2 = 3

23 i +8 j(32 + 82)1/2 = 8,43

43 i +16 j32 + 162)1/2 = 16,28

63 i + 24 j(32 + 242)1/2 = 24,19

Mtodo prctico de derivacin de polinomios

Por ahora slo se necesitar derivar polinomios, lo cual en la prctica es bastante sencillo: basta multiplicar el exponente de la variable dependiente por el coeficiente y rebajar en un grado el exponente de la variable dependiente; y eso con cada uno de los trminos del polinomio. Lgicamente, la derivada del trmino independiente es nula.

En general, sea y = a xn + b xn1 + ... + f x + g

La derivada dy/dx se obtiene:

dy/dx = na xn1 + (n 1)b xn2 + ... + f

Ejemplo:

Obtener dx/dt sabiendo que: x = 5 t3 + 4 t2 3 t + 2

dx/dt = 15 t2 + 8t 3Aceleracin media (am)La definicin es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variacin de velocidad con el tiempo.

(v (vx i + ( vy j + (vz k am = =

(t (t

am = amx i + amy j + amz k

En el S.I. la unidad ser el m/s2.

Aceleracin instantnea (a).

(v (vx i + (vy j + (vz k a = lim = lim

(t(0 (t (t(0 (t

dv dvx dvy dvz a = = i + j + k

dt dt dt dt

a = ax i + ay j + az k

La direccin y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad (v ya que (t es un escalar.

Ejemplo:

Calcular la expresin del vector acelera-cin del movimiento anterior r(t) = 3ti + (2t26)j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

Ecuacin del movimiento (de la posicin): r(t) = 3ti + (2t26)jEcuacin de la velocidad: v = 3 i + 4t jEcuacin de la aceleracin: a = dv/dt = 4 jPara todos los valores de tiempo a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de t.

(a( (m/s2) = (42 m/s2 = 4 m/s2Componentes intrnsecas de la aceleracin (at y an)nicamente en los movimientos rectilneos a tiene la misma direccin y sentido que v. En general, atiene una direccin y sen-tido hacia dentro de la curva, con o que normal-mente se descompone en dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

a = at + an = at ut + anun

siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleracin.

((v( d(v( (v(2 at=(at(= lim = ; an=(an(= (t(0 (t dt

R

siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.

Suele llamarse v = (v(por lo que:

dv

v2 at = ; an = dt

R

Igualmente llamamos a = (a(= (at2 + an2)1/2

Ejemplo:

Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El mdulo de la velocidad aumenta segn la ecuacin: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a) la aceleracin tangencial; b) la aceleracin normal y el mdulo del vector a a los 6 s.a) dv 7(t+(t) 7t 7t + 7 (t 7t 7 (t

at = = = = = 7 m/s2

dt (t

(t (t

at = 7 ut m/s2

b) v2 49 t2 m2s-2

an = = = 0,049 t2 m/s2

R 1000 m

an (t = 6 s) = 0,049 62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; an = 1,76 un m/s2 a (t = 6 s) = (at2 + an2)1/2 = (72 + 1,7642)1/2 m/s2 = 7,2 m/s2 x

y

j

z

i

k

a

y

x

5

b

j

x

y

z

i

k

P

y

x

i

j

r

P

En dos dimensiones En tres dimensiones

r = 4 i + 3 j r = 3 i + 2 j + 2 k

t (s) r (m) Coordenadas

0 8 j (0,8)

2 4 i + 8 j (4,8)

4 8 i + 8 j (8,8)

6 12 i + 8 j (12,8)

y

x

5

5

10

5

y

x

i

i

j

trayectoria

50

y

x

25

5

10

15

y

x

i

j

r1

r2

(r

(s

(r01

y

x

r1

r2

(r02

r0

(r03

r3

V2

y

x

r1

r2

V1

V2x

V2y

v = vx + vy = vx i + vy j

(v = v2 v1

V2

y

r1

r2

V1

(V

V2