1.2 CONTROLADOR PID1.2 CONTROLADOR PID

( ) ( )

( )

2 2 1 10 4 2

3 1 2 2

1 1 2 24 1 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

. . 1 . . . 1( ) .( ) .

( ) . . .

. . .( . . ) 1( ) (1 )

. ( . . ) ( . . )

1( ) (1 )

ci

c

ic p d p d

i

R C S R C SV s R RG s

V s R R R C S

R C R C SR R C R CG s

R RC R C R C S R C R C

KG s K T S K K S

T S S

+ += =

+= + +

+ +

= + + = + +

EjemploEjemploSe tiene:

Donde:

Diseñar controlador PID,Se impone al sistema unas especificaciones de respuesta temporal transitoria de:

ts = 1 segundo y Mp = 10%.

Para cumplir dichas especificaciones primero Para cumplir dichas especificaciones primero calculamos controlador PD:calculamos controlador PD:

ρωn =4 y Para lograr que el punto -4±5.458×j

pertenezca al LGR. se añade un control proporcional derivativo (PD), introduciendo el cero del control en una posición desde la cual sea capaz de atraer las ramas del LGR. hacia la izquierda, de manera que el punto -4±5.458× j pertenezca al LGR. F.T. del controlador PD será:

Gc(s)=k×(1+Td×s)=kd(s+a)

Para fijar la posición del cero se Para fijar la posición del cero se impone la condición de ánguloimpone la condición de ángulo

Pto deseado

0

Calculamos el valor de la ganancia kd en dicho Calculamos el valor de la ganancia kd en dicho punto. Para ello se aplica la condición de módulopunto. Para ello se aplica la condición de módulo

Se tiene:

Gc(s)=kd(s+a)=0.0609(s+11.36)

Gc(s)=kd(s+a)=0.6774(1+S/11.36)

CALCULO DEL CONTROLADOR PI CALCULO DEL CONTROLADOR PI

PUNTO DESEADO

SELECIONAMOS EL CERO EN S= -0.1

ANGULO =0.69°

53.76

54.45

( 0.1)( )

1

( 0.1)( )

c

p

c

Kp SG s

SK

SG s

S

+=

+=

;

( ) ( )

( )

( )

1 1 2 24 1 1 2 2

3 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

4 1 1 2 21 1 2 2

3 1 2

1 1 2 2

1 1

11.36 . 0.1( ) 0.0609

1( ) 0.6842(1 0.089 )

9.89. . .( . . ) 1

( ) (1 ). ( . . ) ( . . )

( . . )0.6842 ;9.89 ( . . )

.

. .0.089

( .

c

c

c

S SG s

S

G s SS

R C R C SR R C R CG s

R RC R C R C S R C R C

R R C R CR C R C

R RC

R C R C

R C R

+ +=

= + +

+= + ++ +

+= = +

=+ 2 2

;. )C

1 2

1 2

91 2

1 2

4 1

3 1 2

3

4

C 10

989 K

8.8021 10

de las dos ecuaciones anteriores

890 y 99

8900.6842 0.6842 0.6157

( ) 989

Tomando R 1

R 0.6842

Tomando C uF

R R

R R X

R K R K

R R K

R R R K

K

K

= =+ = Ω

=

= Ω = ΩΩ= = =

+ Ω= Ω= Ω

Método de Diseño PID para Velocidad del Método de Diseño PID para Velocidad del Motor de CC Motor de CC

Un actuador mecánico muy difundido es el motor de CC. Provee directamente movimiento rotacional y, adecuadamente acondicionado, movimiento traslacional.

El circuito eléctrico de armadura y el diagrama mecánico rotacional, se muestran en la figura:

Requerimientos de DiseñoRequerimientos de Diseño

El motor sin controlador puede rotar solamente a 0,1rad/s con una entrada de 1 Volt(ver simulación de la planta ). Uno de los requerimientos es que en estado estacionario presente un error respecto de la velocidad deseada menor que el 1%. Dinámicamente se espera un tiempo de establecimiento de 2 seg y un sobrepaso menor que el 5% para evitar daños en la máquina. Es decir :Los requerimientos de diseño:

· tiempo de establecimiento de 2 seg· sobrepaso menor que el 5%· Error de estado estacionario 1%

Para el ejemplo se consideran los Para el ejemplo se consideran los siguientes parámetros:siguientes parámetros: * momento de inercia del sistema (J) = 0.01 kg.m^2/s^2 * coeficiente de friccion (B) = 0.1 Nms * constante de fuerza electromotriz (K=Km=Kb) = 0.01

Nm/Amp * resistencia de armadura (R) = 1 ohm * inductancia de armadura (L) = 0.5 H * entrada (V): Fuente de Tensión * posición del eje: θ * Se supone rotor y eje rígido

el esquema del sistema se ve: el esquema del sistema se ve: Incluyendo controlador

la función transferencia a lazo abierto del la función transferencia a lazo abierto del Motor de CC Motor de CC

2

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

m

a m b

m b

a

ks

V s Js b Ls R k k

k k

W s k

V s Js b Ls R k

θ•

=+ + +

=

=+ + +

De la figura se observa que se obtiene una salida 10 veces más chica que la deseada (0,1 rad/s) y 3 seg de establecimiento, sin cumplir las especificaciones

Control ProporcionalControl ProporcionalProbemos primero un control

Proporcional con ganancia 100 . Para ello hay que agregar los siguientes comandos al final del archivo anterior

J=0.01;b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5;num=K;den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];Kp=100; numa=Kp*num; dena=den; [numac,denac]=cloop(numa,dena); t=0:0.01:5; step(numac,denac,t);gridtitle( 'Respuesta al escalón con Control Proporcional')

De la figura de arriba vemos que tanto el error de estado estacionario y el sobrepico son muy grandes

Recordemos del Recordemos del PID PID que incorporando un término que incorporando un término integral se eliminará el error de estado estacionario y un integral se eliminará el error de estado estacionario y un término derivativo reducirá el sobrepico. término derivativo reducirá el sobrepico.

un controlador PID con Ki y Kd pequeños.

Recordemos que la función de transferencia para un controlador PID es:

J=0.01; b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; Kp=100; Ki=1; Kd=1; numc=[Kd Kp Ki]; denc=[0 1 0]; numa=conv(num,numc); dena=conv(den,denc); [numac,denac]=cloop(numa,dena); step(numac,denac);grid title('Control PID con pequeño Ki and Kd')

J=0.01; b=0.1;K=0.01;R=1;L=0.5; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)]; Kp=100; Ki=1; Kd=1; numc=[Kd Kp Ki]; denc=[0 1 0]; numa=conv(num,numc); dena=conv(den,denc); [numac,denac]=cloop(numa,dena); step(numac,denac);grid title('Control PID con pequeño Ki and Kd')

Ahora vemos que la respuesta es mucho más rápida que antes, pero el Ki grande ha empeorado la respuesta transitoria (gran sobrepico). Incrementemos Kd para reducir el sobrepico. Vuelva al archivo-m y cambie Kd a 10

Entonces sabemos que si usamos un controlador PID con Kp=100,Ki=200,Kd=10,

todos nuestros requerimientos de diseño serán satisfechos.