56

12 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

P A R A E M P E Z A R

Expresa el número —27

1�

682

3

�

�

243

�2

— como potencia de base 2.

�27

1�

682

3

�

�

243

�2

� � �27 �

(

(

2

24

3

)

)2

3

�

�

2

(3

22)�2

� � �27 �

28

2�

9 �

23

2�4

� � �22

1

1

2

1� � 2

Calcula los siguientes logaritmos.a) log3 27

b) log5 625

c) log9 3

a) log3 27 � 3, ya que 33 � 27

b) log5 625 � 4, ya que 54 � 625

c) log9 3 � �12

�, ya que 9�12�

� �9� � 3

Si log 5 � 0,699, ¿cuánto valdrá log 500?

log 500 � log (5 � 100) � log 5 � log 100 � 0,699 � 2 � 2,699

La superficie de un bosque en un parque natural se duplica cada 50 años. Si actualmente es de3 kilómetros cuadrados, ¿cuál será dentro de dos siglos?

3 � 24 � 3 � 16 � 48

La superficie dos siglos después será de 48 kilómetros cuadrados.

La función exponencial bx (b � 1)

P A R A P R A C T I C A R

Calcula los valores que toman las funciones f y g para x � �2, x � �1, x � 0, x � 1 y x � 2.

f (x) � 3x g (x) � 7x

Para la función f tenemos que:

f (�2) � 3�2 � �19

� f (�1) � 3�1 � �13

� f (0) � 1 f(1) � 3 f (2) � 32 � 9

Para la función g tenemos que:

g (�2) � 7�2 � �419� g (�1) � 7�1 � �

17

� g (0) � 1 g (1) � 7 g (2) � 72 � 49

Utiliza la calculadora para obtener los valores de la función f(x) � 6x en x � �2� y x � �.

f ��2�� � 6�2� � 12,603; f (�) � 6� � 278,376

Ejercicio resuelto

Muy importante en matemáticas por sus numerosas aplicaciones es lafunción exponencial f(x) � ex, en la que la base es el número irracionale � 2,7182… Representa esta función gráficamente.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Con ayuda de estos puntos trazamos la gráfica.

12.3

12.2

12.1

4

3

2

1

1

1

y = ex

O X

Y

x �1 0 1 2

ex 0,37 1 2,72 7,39

ex

Utiliza la tecla de la calculadora para representar la función exponencial de base 10.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Representa gráficamente las funciones f(x) � 4x y g(x) � 9x. ¿Cuál crece más rápido? ¿Por qué?

Crece más rápido g (x) � 9 x, ya que su base es mayor.

¿Qué gráfica crece más deprisa, la de y � ��2� �x

o la de y � ��3� �x? ¿Por qué?

Crece más rápido y � ��3��x, ya que su base es mayor.

Ejercicio resuelto

A partir de la gráfica de la función y � 2x, dibuja las gráficas de las funciones:

f(x) � 2x � 3 g(x) � 2x � 2

La gráfica de f se obtiene desplazando la de y � 2x

tres unidades hacia arriba.

La gráfica de g se obtiene trasladando la de y � 2x

dos unidades hacia la izquierda.

A partir de la gráfica de y � 3x, representa las funciones siguientes.

f(x) � 3x � 2 g(x) � 3x � 2 h(x) � 3x � 2 � 4

La gráfica de la función f se obtiene trasladando la gráfica dela función y � 3x dos unidades hacia arriba.

La función g se obtiene desplazando la gráfica de y � 3x dosunidades hacia la derecha.

La gráfica de h se obtiene desplazando la gráfica de y � 3x

dos unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia arriba.

12.8

12.7

12.6

12.5

10x12.4

57

2

2

Y

XO

y = 10x

1

Y

XO

f (x) = 4x

g (x) = 9x

1

y = 2x

g

f

O X

Y

1

1

2

Y

XO

3

f (x) = 3x + 2

y = 3x

h (x) = 3x + 2 + 4

g (x) = 3x – 2

x �1 0 0,5 1

10x 0,1 1 3,16 10

x �2 �1 0 0,5 1

f(x) �116� �

14

� 1 2 4

g(x) �811� �

19

� 1 3 9

10x

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

Una persona ingresa en un banco 2000 euros a un interés anual del 3%. Si no retira el capital ni losintereses, ¿qué capital tendrá al final del quinto año?

Al irse añadiendo al final de cada año los intereses al capital inicial (interés compuesto), podemos aplicar la fórmula de losaumentos exponenciales:

Cf � Ci �1 � �in

1te0r0és

��t

� 2000 �1 � �1300��

5

� 2000 � 1,035 � 2318,55 €

Realiza una gráfica que muestre el capital que se iría generando a lo largo del tiempo al colocar 5000 euros en un banco al 4% de interés compuesto.

Seguiría la función y � 5000 · (1,04)x, donde x son los años transcurridos.Su gráfica es:

¿Es lo mismo un interés compuesto mensual del 1% que un interés compuesto anual del 12%? Aplícalos a un capital de 1000 euros.

No es lo mismo.Con un 12% anual, en un año 1000 euros se convierten en: 1000 · 1,12 � 1120 €.Con un 1% mensual, en un año 1000 euros se convierten en: 1000 · 1,0112 � 1126,83 €.

Un bosque tarda aproximadamente 20 años en duplicar la cantidad de madera que produce. Escribe lafórmula que expresa la cantidad de madera producida al cabo de t años.

Llamamos Ci a la cantidad inicial de madera producida y Cf a la cantidad final de madera producida, entonces la formula quedaría así: Cf � Ci · 2 .

Un alcalde ha prometido en la campaña electoral que las inversiones del Ayuntamiento en políticas sociales aumentarán un 3% cada año durante la nueva legislatura. Sabiendo que el año anterior a suelección, el Ayuntamiento gastaba 1 000 000 de euros en dichas políticas, elabora una gráfica que represente la cantidad de dinero que invertirá a lo largo de los próximos cuatro años de mandato.

La cantidad invertida es: y � 1 000 000 · 1,03x, donde x es el número de años transcurridos.Su gráfica es la siguiente:

12.13

�2t0�

12.12

12.11

12.10

12.9

58

10

5000

Y

XO

y = 5000 · 1,04x

100

Y

XOy = 1000000 · 1,03x

106

La evolución de la población mundial tiene un comportamiento que se aproxima a una función exponencial, como muestra la siguiente gráfica.

a) Resume los datos de la gráfica en una tabla.

b) ¿En torno a qué año ha comenzado la poblacióna crecer más rápidamente?

c) Describe las características de la función.

a)

b) En torno al año 1900.

c) Su dominio es R.Su recorrido es R�.No corta el eje OX.Cortan el eje OY en el punto (0, 225).Es continua.Es creciente.Cuando los valores de x tienden a �, los de y tienden a �.Cuando los valores de x tienden a �, los de y tienden a 0, es decir, la recta y = 0 es una asíntota horizontal.

La función exponencial bx (0 b 1)

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Obtén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x � �2, x � �1,x � 1 y x � 2.

f (x) � ��13

��x

g (x) � 3�x

Se sustituyen los valores de x en las fórmulas y se aplican las propiedades de las potencias:

f (�2) � ��13

���2

� 32 � 9 g(�2) � 3�(�2) � 32 � 9

f (�1) � ��13

���1

� 3 g(�1) � 3�(�1) � 3

f (1) � ��13

��1

� �13

� g(1) � 3�1 � ��13

��f (2) � ��

13

��2

� �19

� g(2) � 3�2 � ��13

��2

� �19

�

Obtén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x � �2, x � �1,x � 0, x � 1 y x � 2.

f (x) � 7�x g (x) � 10�x

f (�2) � 72 � 49 f (�1) � 71 � 7 f (0) � 70 � 1 f (1) � 7�1 � �17

� f (2) � 7�2 � �419�

g (�2) � 102 � 100 g (�1) � 101 � 10 g (0) � 100 � 1 g (1) � 10�1 � �110� g (2) � 10�2 � �

1100�

12.16

12.15

12.14

59

0

2

4

6

250 500 750 1000 1250 1500 1750Año

2000

Pobl

ació

n(m

iles

de m

illon

es)

1

3

5

Año 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000

Población 225 250 300 375 400 425 500 900 � de 6000

Halla con la calculadora los valores que toma la función f(x) � �—14

—�x

en x � �3� y x � �.

f ��3�� � ��14

�� � 0,091; f (�) � ��14

���

� 0,0128

Representa gráficamente las siguientes funciones.

a) y � 4�x b) y � 12�x

Ejercicio resuelto

A partir de la gráfica de la función y � 2�x, dibuja las gráficas de las funciones siguientes.

f(x) � 2�x � 3 g(x) � 2�x � 2

La gráfica de f se obtiene trasladando la de y � 2�x tres unidades hacia arriba. Como g(x) � 2�x � 2 � 2�(x � 2),la gráfica de g se obtiene desplazando la gráfica de y � 2�x

dos unidades hacia la derecha.

A partir de la gráfica de y � 5�x, representa las funciones siguientes.

f(x) � 5�x � 2 g(x) � 5�x �2 h(x) � 5�x � 3 � 4

Como f(x) � 5�x�2 � 5�(x�2), la gráfica de f se obtienedesplazando la gráfica de y � 5�x dos unidades hacia la de-recha.

Como g(x) � 5�x � 2, la gráfica de g se obtiene trasladan-do la gráfica de y � 5�x dos unidades hacia abajo.

Como h(x) � 5�x � 3 � 4 � 5�(x � 3) � 4 la gráfica de h seobtiene desplazando la gráfica de y � 5�x tres unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba.

12.20

12.19

12.18

12.17

60

x �1 �0,5 0 0,5 1

f(x) 4 2 1 0,5 �14

�

g(x) 12 3,47 1 0,28 �112�

1

1

y � 2�x

O X

Y

g

f

2

Y

XO

2

f(x) = 4–x

g(x) = 12–x

2

Y

X

2

O

y = 5–x

f (x) = 5–x +2

g (x) = 5–x –2

h (x) = 5–x +3 +4

�3�

P A R A A P L I C A R

Los núcleos de los elementos radiactivos se transforman en otros más estables mediante la emisiónde diferentes partículas subatómicas. La figura muestra la curva de desintegración del uranio 238.

a) Se llama período de semidesintegración altiempo necesario para que se desintegren lamitad de los núcleos. ¿Cuál es el período desemidesintegración del uranio 238?

b) ¿Cuánto tardará una muestra de 500 gramosde uranio 238 en reducirse a 62,5 gramos?

a) El período de semidesintegración es 4500 millones de años.

b) Tenemos que 62,5 gramos corresponde al 12,5% de 500 gramos, por lo que observando en la gráfica el tiempo que tardaráen reducirse será 4500 � 3 � 13 500 años.

Un cubito de hielo de 2 centímetros cúbicos se introduce en una bebida. Cada minuto que pasa, el 10% de su volumen se transforma en agua líquida. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que se derrita la mitad del cubito de hielo?

El volumen del cubito sigue la función y � 2 (0,9)x; donde x son los minutos transcurridos desde que se introdujo en la bebida. Todo se reduce a resolver la ecuación:

2 (0,9)x � 1 ⇒ (0,9)x � 0,5 ⇒ x � log 0,9 0,5 � �lloo

gg

00,,59

� � 6,58 minutos

Desde el momento en que se compra un automóvil, su valor se deprecia a razón de un 20% anual. Sihoy compramos un coche cuyo valor es de 30 000 euros:

a) ¿En cuánto estará valorado al cabo de un año?

b) ¿Y al cabo de dos años?

c) ¿Y al cabo de tres años y medio?

d) Escribe la fórmula de la función que relaciona el valor en euros del coche con el tiempo en añostranscurrido desde su compra.

e) Representa gráficamente la función y describe sus características principales.

a) 30 000 � 0,80 � 24 000 €

b) 30 000 � (0,80)2 � 19 200 €

c) 30 000 � (0,80)3,5 � 13 738,40 €

d) y � 30 000 � (0,80)x, donde x son los años transcurridos desde la compra.

e) Su dominio es R.Su recorrido es R�.No corta el eje OX.Corta el eje OY en el punto (0, 30 000).Es continua.Es decreciente.

Cuando los valores de x tienden a �, los de y tienden a 0, es decir, la recta y � 0 es una asíntota horizontal.Cuando los valores de x tienden a �, los de y tienden a �.

12.23

12.22

12.21

61

0

25

Tiempo (millones de años)

Porc

enta

je

4500

Uranio 238

5

20000

Y

XO

La función logarítmica logb x (b � 1)P A R A P R A C T I C A R

Sin utilizar la calculadora, halla los valores que toma la función f(x) � log2 x para x � 1, x � 32,

x � —116— y x � �2�.

f (1) � log21 � 0, ya que 20 � 1 f (32) � log2 32 � 5, ya que 25 � 32

f��116�� = log2��

116�� � �4, ya que 2�4 � 1/16 f ��2�� � log2 �2� � 1/2, ya que 2 � �2�

Ejercicio resuelto

Representa la función logaritmo neperiano y � lnx.

Formamos una tabla de valores utilizando la tecla de la calculadora.

Con estos puntos trazamos la gráfica:

Representa las siguientes funciones empleando la fórmula de cambio de base y la calculadora:

f(x) � log5 x g(x) � log3 x

f (x) � log5 x � �lloogg

5x

�

g (x) = log3 x � �lloogg

3x

�

Ejercicio resuelto

A partir de la gráfica de la función y � log2 x, representa las gráficas de las funciones siguientes.

f(x) � log2 (x � 1) g(x) � log2 x � 1

La gráfica de la función f se obtiene trasladando la gráfica de la función y � log2 x una unidad a la izquierda.La gráfica de la función g se obtiene trasladando la gráfica de la funcióny � log2 x una unidad hacia abajo.

A partir de la gráfica de la función y � log5 x, representa las funciones siguientes.

f(x) � log5 (x � 3) g(x) � log5 x � 4

La gráfica de f se obtiene desplazando la gráfica de la función y tres unidadeshacia la izquierda.

La gráfica de g se obtiene desplazando la gráfica de la función y cuatro unidadeshacia arriba.

12.28

12.27

12.26

ln

12.25

1�2

12.24

62

1

1

y = ln x

O X

Y

1

1

Y

XO

g (x) = log3 x

f (x) = log5 x

1

1y = log2 x

O X

Y

f

g

1

1

Y

XOy = log5

x

g (x) = log3 x +4

f (x) = log5 (x +3)

x 0,1 0,5 1 5 10 50 100

y �2,30 �0,69 0 1,61 2,30 3,91 4,61

x 1 2 3 4 5

f(x) 0 0,43 0,68 0,86 1

g(x) 0 0,63 1 1,26 1,46

A partir de la gráfica de la función f (x) � log2 x, representa gráficamente la de g(x) � 2log2 (x � 1) � 3.

Para representar esa función vamos representando las funciones y� � log2 (x � 1),desplazando f una unidad a la derecha; y� � 2 log2 (x � 1), multiplicando por dos y�; fi-nalmente, desplazando y� tres unidades hacia abajo tendríamos la función g.

P A R A P R A C T I C A R

Problema resuelto

La superficie de un bosque aumenta un 3,5% al año. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse?

Como la superficie aumenta exponencialmente: Sf � Si �1 � �10

i0

��t

Si se duplica la superficie: Sf � 2 Si ⇒ 2 Si = Si �1 � �130,50

��t

⇒ 2 � 1,035t ⇒ t � log2 1,035 � �log

lo1g,0235

� � 20,15 años

Tardará, aproximadamente, 20 años y 55 días.

La tasa de crecimiento anual de la población de una ciudad es del 4%. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la población se triplique?

Como la población aumenta exponencialmente: Pf � Pi �1 � �10

i0

��t

Si se triplica la población Pf � 3Pi ⇒ 3Pi � Pi �1 � �1400��

t

⇒ 3 � 1,04t ⇒ t � log3 1,04 � �lo

lgog

1,304

� � 28,01 años

Tardará aproximadamente 28 años.

Se invierte una cantidad de 1 000 000 de euros al 6% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo debetranscurrir para que el capital supere 1 500 000 euros?

1 000 000 �1 � �1

600��

t

� 1 500 000 ⇒ 1,06t � 1,5 ⇒ t � log1,5 1,06 � �lologg

11,,056

� � 6,95 años

Deberán transcurrir casi siete años.

Debido a las campañas publicitarias, las donaciones particulares a las ONG en una zona de España están creciendo a razón de un 10% anual. En el año 2006, en dicha zona alcanzaron la cantidad de 1 000 000 de euros.

a) ¿Qué función proporciona los años transcurridos desde 2006 en función de las donaciones particulares recibidas en millones de euros?

b) ¿Qué dominio tendrá la función del apartado anterior para que se ajuste a la realidad?c) Representa dicha función.

a) La función que nos da las donaciones recibidas conociendo losaños transcurridos es y � 1 000 000 (1,1)x.Si pretendemos que la variable x dependa de y, lo que tene-mos que hacer es despejar x de la función anterior.

�1 000

y000� � (1,1)x ⇒ x = log1,1 ��1 000

y000��

La función será y � log1,1 x � log1,1 1 000 000

b) Su dominio será [1 000 000, �), ya que si no obtendríamosun número de años negativo.

12.33

12.32

12.31

12.30

12.29

63

1

1

Y

XO

f (x) = log2 x

g (x) = 2 log2 (x –1) –3

106

20

Y

XO 3·106 6·106

c)

Noelia introduce un termómetro en el interior de un horno apagado, y este marca una temperaturade 15 �C. Las instrucciones del horno indican que su temperatura aumenta un 40% cada minuto quetranscurre desde el encendido.

a) ¿Cuánto tardará el horno en alcanzar la temperatura de 184 �C?

b) ¿Qué función nos permite obtener el tiempo que debe estar encendido el horno para alcanzar unatemperatura determinada?

c) Representa la función del apartado anterior y describe sus características.

a) Se trata de resolver la ecuación: 15 � (1,4)x � 184

15 � (1,4)x � 184 ⇒ (1,4)x � �11854

� ⇒ (1,4)x � 12,267 ⇒ x log 1,4 1,4 � log 1,4 12,26 ⇒ x � 7,45 min � 7 min 27 s

b) y � log 1,4 ��1x5�� donde y es el tiempo que debe estar encendido el horno y x la temperatura alcanzada.

c) El dominio, teniendo en cuenta el contexto del problema, será [15, �).Su recorrido es R.No corta el eje OY y corta el eje OX en el punto (15, 0).Es continua y creciente.Cuando los valores de x tienden a 0 por la derecha, los de y tienden a �.Cuando los valores de x tienden a �, los de y tienden a �.

La función logarítmica logb x (0 b 1)

P A R A P R A C T I C A R

Halla, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las siguientes funciones en los puntos que seindican.

a) f (x) = log—13— x en x � —217—, x � 1 y x � �

39�

b) g (x) = log0,5 x en x � —116—, x � �

32� y x � 4

a) f��217�� � log�

13

���217�� � 3, f (1) � log�

13

�(1) � 0, f ��3

9�� � log�13

���3

9�� � �2/3

b) g��116�� � log0,5��

116�� � 4, g ��

32�� � log0,5��

32�� � ��

23

�, g (4) � log0,5(4) � �2

Escribe la expresión algebraica de las siguientes funciones.

La expresión algebraica de la gráfica verde es f (x) � log2 x,ya que f (2) � 1. La gráfica roja corresponde a la expresión g (x) � log 0,3 x, ya que g (0,3) � 1; y la azul es h (x) � log 0,8 x,porque h(0,8) � 1.

12.36

12.35

12.34

64

2

Y

XO 15

1

1O X

Yf

gh

Con ayuda de la calculadora científica, representa gráficamente las siguientes

funciones.

f(x) � log0,25 x g(x) � log0,75 x

¿Cuál de ellas decrece más rápido? ¿Por qué?

Decrece más rápido g(x) � log0,75 x, ya que la base es mayor.

A partir de la gráfica de la función y � log0,5 x, representa las gráficas de las siguientes funciones.

f(x) � log0,5 (x � 2) h(x) � log0,5 x � 3

g(x) � log0,5 (x � 3) i(x) � log0,5 x 2

f : Se traslada la gráfica de y dos unidades a la izquierda.

g : Se traslada la gráfica de y tres unidades a la derecha.

h : Se traslada la gráfica de y tres unidades hacia arriba.

La gráfica de i (x) � log0,5 x2 es la misma quei (x) � 2 log0,5 x, con lo que cada valor se duplica.

¿En cuántos puntos se cortan las gráficas de dos funciones logarítmicas de base b � 0?

Dos funciones logarítmicas y � logb x, con b � 0, se cortan únicamente en el punto (1, 0).

Dibuja la gráfica de la función y � log0,75 x y, apoyándote en ella, dibuja la gráfica de la función

f(x) � log0,75 (x � 3)3.

La gráfica de la función f se obtendrá desplazando lagráfica de y tres unidades hacia la izquierda y, luego,cada valor se multiplica por tres.

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

La superficie de bosque del planeta está decreciendo a razón de un 2% anual.

¿Cuántos años pasarán hasta que dicha superficie represente el 65% de la actual?

Como la superficie de bosque decrece exponencialmente:

Sf � Si �1 � �10

i0

��t

La superficie final va a representar el 65% de la actual, es decir, Sf � 0,65 Si.

0,65 Si � Si �1 � �1

200��

t

⇒ 0,65 � 0,98t ⇒ t � log0,98 0,65 � �lloo

gg

00,,6958

� � 21,3 años

Pasarán 21 años y 4 meses, aproximadamente.

12.41

12.40

12.39

12.38

12.37

65

1

Y

XO 1

g (x) = 2 log0,75 x

f (x) = log0,25 x

1

Y

X1O

f

g

y

h

i

1

5

Y

XO

y

f

En los últimos años, el precio de un producto ha descendido a razón de un 4% anual. Si actualmenteel precio es de 25 euros:

a) ¿Cuánto costaba hace 3 años?

b) Halla la fórmula que expresa el tiempo transcurrido en función del precio del producto.

c) Representa gráficamente la función del apartado anterior.

a) Como el precio del producto decrece exponencialmente:

Pf � Pi �1 � �10

i0

��t

⇒ 25 � Pi �1 � �1400��

3

⇒ 25 � Pi (0,96)3 ⇒ Pi � �0,

29563� � 28,25 €

Hace 3 años el precio del producto era 28,25 euros.

b) La función que nos da el precio de un producto conociendolos años transcurridos es 25 � Pi (0,96)t.Si pretendemos que la variable t dependa de Pi, lo que tenemos que hacer es despejar t de la función anterior.

25 � Pi (0,96)t ⇒ �2P5i

� � (0,96)t ⇒ t � log0,96 ��2P5i

��

En el proceso de combustión de la madera, la cantidad de esta se reduce a razón de un 15% por minuto. Echamos un trozo de madera de 2 kilogramos al fuego. Transcurrido un tiempo, únicamentequedan 140 gramos de madera.

a) ¿Cuánto tiempo hace que arrojamos el trozo de madera al fuego?

b) ¿Cuál es la función que nos proporciona el tiempo transcurrido desde que se echó el trozo de madera al fuego en función de la madera que aún no se ha quemado?

c) ¿Qué dominio tendrá esa función desde el punto de vista práctico?

a) Resolvemos la ecuación:

Cf � Ci �1 � �10

i0

��t

⇒ 0,140 � 2(0,85)t ⇒ �0,1

240� � (0,85)t ⇒ x � log 0,85 0,07 � �

lloo

gg

00,,0875

� � 16,36 min

Hace 16 minutos y 22 segundos.

b) y � log 0,85 ��2x

��, donde y representa el tiempo transcurrido en minutos y x la cantidad de madera sin quemar en kilogramos.

c) Su dominio será (0, 2].

Al principio de una operación se administran a un paciente 50 miligramos de un fármaco anestésicocuya concentración en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la función f (t) � k � 0,95t, donde k es la cantidad inicial en miligramos, y t, el tiempo en minutos transcurridodesde el momento de su administración.

a) ¿Cuántos miligramos de anestésico quedan en la sangre del paciente a la hora y media?

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo su concentración se reduce a la mitad?

c) ¿Cuál es la fórmula de la función g que nos da el tiempo transcurrido, conocida la concentración?

a) Una hora y media son 90 minutos, por lo que: f(90) � 50 (0,95)90 � 0,50 mg de anestésico.

b) 25 � 50 (0,95)t; �25

50� � (0,95)t; 0,5 � (0,95)t; log0,95 0,5 � t; t � 13,51 min.

c) g (t) � log0,95 c, donde c es la concentración.

12.44

12.43

12.42

66

25

10

t

PiO

c)

Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas

P A R A P R A C T I C A R

Dada la tabla de valores correspondiente a la función f, copia y completa la tabla de la función recíproca.

La función f le hace corresponder a cada número su quinta parte. ¿Cuál es la función recíproca?

La fórmula de f es f(x) � �5x

� y la de la función recíproca es f�1(x) � 5x.

Ejercicio resuelto

Halla la función recíproca de y � 2x � 1.

En casos sencillos se puede obtener la función recíproca siguiendo los siguientes pasos.

1. Se intercambian las variables. x � 2y � 1

2. Se despeja y. y � �x �

21

�

Obtén las funciones recíprocas de las siguientes funciones.

f (x) � 3x � 2 g (x) � �x � 2 h (x) � —x2

— � 5

f (x) ⇒ x � 3y � 2 ⇒ x � 2 � 3y ⇒ y � �x �

32

�

g (x) ⇒ x � �y � 2 ⇒ y � �x � 2

h (x) ⇒ x � �2y

� � 5 ⇒ x � 5 � �2y

� ⇒ y � 2x � 10

Halla la función recíproca de cada una de las siguientes.

f (x) � log5 x g (x) � 3x

f�1(x) � 5x g�1(x) � log 3 x

Considera la función f dada por la siguiente gráfica.

a) ¿De qué tipo de función se trata?

b) Dibuja la gráfica de la función recíproca f �1.

a) Es una función exponencial.

12.50

12.49

12.48

12.47

12.46

12.45

67

1

1O X

Y

2

1

Y

XO

f -1 (x) = log10 x

x 1 2 3 4 5

f(x) 3 5 2 1 4

x 1 2 3 4 5

f�1(x) 4 3 1 5 2

b) Para dibujar f�1 tenemos en cuen-ta que las gráficas de dos funcio-nes reciprocas son simétricas res-pecto a la bisectriz del primer cua-drante.

¿Cuál es la función recíproca de f (x) � ex?

La función logaritmo neperiano: f�1(x) � ln x

Identifica las siguientes funciones, dibuja en tu cuaderno la gráfica de sus funciones recíprocas e indica también su fórmula.

a) b)

a) La función corresponde a la expresión f (x) � log5 x. b) La función corresponde a g (x) � 3x

Su función recíproca es f�1(x) � 5x. Su función recíproca es g�1(x) � log3 x

P A R A A P L I C A R

Para llenar un depósito, se abre un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto.

a) ¿Cuál es la función que representa los litros que hay en el depósito en función del tiempo transcurrido?

b) ¿Cuál es la función recíproca de la obtenida en el apartado anterior? ¿Qué representa?

a) y � 10x, donde x representa el tiempo transcurrido.

b) x � 10y ⇒ y � �1x0�.

Representa el tiempo en minutos que hace que se abrió el grifo, en función del volumen de agua en litros que hay en el depósito.

Una población de parásitos se reproduce duplicando su número cada día. Considerando que todos viven y que inicialmente hay un único parásito:

a) Escribe la función que representa el número de parásitos en función de los días transcurridos.

b) Obtén su recíproca e indica qué representa.

a) y � 2x

b) y � log2 x. Representa los días transcurridos en función del número de parásitos que hay.

12.54

12.53

12.52

12.51

68

1

1O X

Y

1

1O X

Y

1

1

Y

XO

1

1

Y

XO

El volumen de madera en un bosque es de 15 000 metros cúbicos. Los estudios muestran que su tasade crecimiento anual es del 5%. El Gobierno autonómico ha encargado a dos organizaciones un informe analizando este crecimiento.

• La primera organización estudia la evolución de la cantidad de madera del bosque a medida quetranscurre el tiempo.

• La segunda organización estudia los períodos de tiempo que han de transcurrir para que el bosqueproduzca determinado volumen de madera.

Obtén las expresiones de las funciones empleadas en cada estudio y represéntalas. ¿Cómo son sus gráficas? ¿Por qué?

La primera organización utilizó la función y � 15 000 � 1,05x, mientras quela segunda representó la su función recíproca, que es:

x � 15 000 � 1,05y ⇒ �15

x000� � (1,05)y ⇒ y � log1,05��15

x000��

Las gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadran-te, por ser funciones recíprocas.

M A T E M Á T I C A S A P L I C A D A S

P A R A A P L I C A R

A un laboratorio especializado en datar fósiles mediante la técnica del carbono 14 han llegado variosfósiles. Después de medir el carbono 14 que conservan, han resultado los siguientes datos.

Completa la tabla para poder catalogarlos en un museo.

80% ⇒ t � �log 0

lo,8g0

0�

,55730

� � 1844,64 ⇒ 1845 años 10% ⇒ t � �log 0

lo,1g00�

,55730

� � 19 034,64 ⇒ 19 035 años

25% ⇒ t � �log 0

lo,2g5

0�

,55730

� � 11 460 ⇒ 11 460 años 99% ⇒ t � �log 0

lo,9g9

0�

,55730

� � 83,1 ⇒ 83 años

Al mismo laboratorio ha llegado un fósil fechado en el Neolítico de cuya datación se desconfía. Se realiza la prueba pertinente y resulta que conserva el 90% del carbono 14. ¿Realmente pertenece alNeolítico?

Como el fósil conserva el 90% del carbono 14, se sustituye el dato en la función y se obtiene:

t � log ��CC

f

i�� � � �

log 0lo,9g0

0�

,55730

� � 871,16

El fósil tendría una antigüedad de 870 años, por lo que sería demasiado reciente para pertenecer al Neolítico. La cronologíadel Neolítico, que se inicia en el Próximo Oriente y Mesopotamia, varía según las zonas, pero se sitúa por lo general entre losaños 6000 a. C. y 3000 a. C.

5730�

log �12

�

12.57

12.56

12.55

69

Porcentaje de carbono 14 80% 25% 10% 99%

Tiempo transcurrido

y = 15 000 . 1,05x

y = log1,05 =x

15 000

y = x

500

500

Y

XO

Actividades Finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Con ayuda de la calculadora, halla los siguientes logaritmos.

a) log4 15 c) log3,4 4,55 e) log—23

— 8,73

b) log7 30,2 d) log0,77 3,39 f) log�7� �5

9�

a) log4 15 � 1,953 c) log3,4 4,55 � 1,238 e) log�23

� 9,73 � �5,344

b) log7 30,2 � 1,751 d) log0,77 3,39 � �4,671 f) log�7� �5

9� � 0,452

Indica razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) log 2 � log 3 � log 5

b) log�2� 5 log�3� 5

c) El dominio de las funciones logarítmicas es el conjunto de los números reales.

d) Las funciones f(x) � 2x y g(x) � �—12

—�x

son recíprocas.

e) Las funciones recíprocas son simétricas respecto a la recta y � x.

a) Falsa, log 2 + log 3 = log (2 � 3) = log 6

b) Falsa, ya que �2� �3�c) Falsa, es el conjunto de los números reales positivos.

d) Falsa, la función inversa de y = 2x es y = log2 x.

e) Verdadera.

Elabora una tabla de valores para representar las siguientes funciones y describe sus principales ca-racterísticas.

f(x) � �—32

—�x

g(x) � 3�x h(x) � log3 x

Características de f:

• Su dominio es R.

• Su recorrido es R�.

• Es continua.

• Es creciente.

• Cuando x → � y → � y cuando x → � y → 0

Características de g:

• Su dominio es R.

• Su recorrido es R�.

• Es continua.

• Es decreciente.

• Cuando x → � y → 0 y cuando x → � y → �

Características de h:

• Su dominio es R�.

• Su recorrido es R.

• Es continua.

• Es creciente.

• Cuando x → � y → � y cuando x → 0+ y → �

12.60

12.59

12.58

70

x 0,1 0,5 1 2

h(x) � log3 x �2,1 �0,6 0 0,6

x �2 �1 0 1 2

f (x)��—32

—�x

�49

� �23

� 1 �32

� �94

�

x �2 �1 0 1 2

g(x) � 3�x 9 3 1 �13

� �19

�1

Y

XO

h(x) = log3 x

g(x) = 3–x

32f (x) = ( )x

1

La función exponencial f (x) � kbx verifica que f (0) � 4 y que f (3) � 108.

Calcula la constante k y la base b, y representa gráficamente la función.

f (0) � 4 ⇒ k � b0 � 4 ⇒ k � 4

f (3) � 108 ⇒ 4 � b3 � 108 ⇒ b3 � 27 ⇒ b � 3

Con lo que f (x) � 4 � 3x

A partir de la gráfica de y � 2x, representa las siguientes funciones.

f (x) � 2x � 3 g (x) � 2x � 3 h (x) � log2 x

Para representar f desplazamos la gráfica de y tres unidadeshacia abajo.Para representar g desplazamos la gráfica de y tres unidadeshacia la derecha.h es la función reciproca de y. Su gráfica es la simétrica respecto a y � x.

A partir de la gráfica de y � �—13

—�x

, representa las siguientes funciones.

f (x) � �—13

—�x

� 3 g (x) � ��13

��x�3

h (x) � log

Para representar f desplazamos la gráfica de y tresunidades hacia arriba.Para representar g desplazamos la gráfica de y tresunidades hacia la derecha.h es la función reciproca de y. Su gráfica es la simé-trica respecto a y � x.

A partir de la gráfica de la función y � log5 x, representa las gráficas de las siguientes funciones.

f (x) � log5 (x � 2) g (x) � log5 x � 2 h (x) � 5x

Para representar f desplazamos la gráfica de y dos unidades hacia la izquierda.Para representar g desplazamos la gráfica de y dosunidades hacia arriba.h es la función reciproca de y. Su gráfica es la simé-trica respecto a y � x.

Las gráficas que se muestran pertenecen a funciones exponenciales.

¿Qué podemos decir del valor de sus bases?

La gráfica de f es de una función exponencial de base b � 1. Además pasa por(0,1) y (1,4), es por tanto y � 4x.

La gráfica de g es de una función exponencial de base 0 b 1. Además pasapor (0, 1) y (�1, 5), es por tanto y � 5�x.

12.65

12.64

12.63

12.62

12.61

71

1

1

Y

XO

y

f

g

h

1

1

Y

XO

y = 4 · 3 x

1

1O X

Yf

g

1

1

Y

XO

f

h

y

g

1

1

Y

XOh

f

g

y

�—13

—�x

Las gráficas que se muestran a continuación representan dos funciones logarítmicas.

¿Qué podemos decir del valor de sus bases?

La gráfica de g es creciente, por lo que su base será b � 1. Además pasa por (4, 1), espor tanto g (x) � log4 x

La gráfica de f es decreciente, por lo que su base será 0 b 1. Además pasa por

(7, �2), por tanto será f (x) � loga 7 � �2 ⇒ 7 � a�2. Así, a � ��1

7�� ⇒ f (x) � log �

�1

7��

En la grafica se han representado las funciones f (x) � 2x, g (x) � 3x y h (x) � log0,3 x.

Identifícalas.

La gráfica de f es la verde, la de g es la azul y la de h es la roja.

Una de las funciones representadas en la gráfica es exponencial, y otra, logarítmica.

a) ¿Cuál es la exponencial y cuál la logarítmica?b) ¿Son funciones recíprocas?

a) La logarítmica es g, ya que pasa por el punto (1, 0). La exponencial es f ya que pasa por (1, 0).

b) Sí, porque son simétricas respecto a la recta y � x.

¿Por qué punto pasan las gráficas de todas las funciones exponenciales? ¿A qué se debe esto?

Pasa por el punto (0, 1), ya que b0 � 1.

¿Por qué punto pasan todas las funciones logarítmicas? ¿A que se debe esto?

Pasa por el punto (1, 0) ya que logb 1 � 0

La población de España crece a un ritmo del 3% anual. En el año 2006, en España vivíamos 45 millonesde personas.

a) ¿Cuántas personas vivirán en España a mediados de 2015?b) Expresa algebraicamente el número de habitantes de España en función de los años transcurridos

desde 2006.c) Expresa algebraicamente los años transcurridos desde 2006 en función del número de habitantes de

España.

a) Pf � Pi �1 � �10

i0

��t

⇒ 45 000 000 (1,03)9,5 � 59 589 007 personas.

b) y � 45 000 000 (1,03)x, siendo x la diferencia, en años, con 2006.

c) y � log1,03 ��45 00x0 000��

12.71

12.70

12.69

12.68

12.67

12.66

72

1

1O X

Y

f

g

1

1O X

Y

1

1O X

Y

g

f

El radio Ra226 tiene un período de semidesintegración de 1600 años.

a) ¿Cuánto tardarán 4 gramos de Ra226 en reducirse a la mitad?b) Escribe la función que da la masa resultante de la desintegración de m gramos de Ra226 en función

de los años transcurridos.c) ¿Cuántos años tardarán esos 4 gramos de Ra226 en transformarse en 3 gramos?

a) Tardarán 1600 años, ya que esa es precisamente la definición de período de semidesintegración.

b) f (x) � m ��12

��c) 3 � 4 ��

12

�� ⇒ 0,75 � ��12

�� ⇒ log0,5 0,75 � �16

x00� ⇒ x � 1600 log0,5 0,75 � 664 años

P A R A R E F O R Z A R

Calcula las siguientes potencias y logaritmos.

a) 3�3 c) log5 25 e) log2 �8�

b) �—15

—��3

d) log3 —217— f) log�2� 4

a) 3�3 � �31

3� � �217� c) log5 25 � 2 e) log2 �8� � �

32

�

b) ��15

���3

� 125 d) log 3 �217� � �3 f) log�2� 4 � 4

Representa gráficamente las funciones f(x) � 4x y g(x) � log4 x, e indica:

a) Cuál es el dominio de cada una.

b) Cuál es el recorrido de cada una.

c) Si son crecientes o decrecientes.

d) Si presentan sus gráficas alguna simetría.

a) El dominio de f es R y el de g es R�.

b) El recorrido de f es R� y el de g es R.

c) Las dos son estrictamente crecientes.

d) Son simétricas respecto a la recta y � x, puesto que son recíprocas.

Explica las diferencias que hay entre las gráficas de las funciones f(x) � log2 x y g(x) � log0,5 x.

Las diferencias principales son:

• f es creciente y g es decreciente.

• Cuando x → �, f tiende a � y g tiende a �.

• Cuando x → 0�, f tiende a � y g tiende a �.

12.75

12.74

12.73

x�1600

x�1600

x�1600

12.72

73

1

1

Y

XO

f

g

Representa la gráfica de la función y � �—25

—�x

y halla su:

a) Dominio a) Rb) Recorrido b) R�

c) Función recíproca c) y�1 � log��35

�� x

Una ameba se duplica cada hora. a) ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 4 horas?b) Halla la función exponencial que expresa esta situación.

a) 24 � 16 amebas b) f(x) � 2x

Al cabo de 11 años, un capital colocado al 4% de interés compuesto anual se ha convertido en10 006,45 euros.a) ¿Qué capital se ingresó hace 11 años? b) ¿Qué función proporciona el tiempo transcurrido desde el ingreso en función del capital generado?

a) Se trata de resolver la ecuación: 10 006,45 � x (1,04)11 ⇒ x � 6500 €

b) y � log1,04 ��65x00��

P A R A A M P L I A R

Calcula la siguiente suma: log2 2 � log2 4 � log2 8 � ... � log2 250

log2 2 � log2 4 � ... � log2 250 � 1 � 2 � ... � 50 � S50 y esto es la suma de los 50 primeros términos de una

progresión aritmética, por lo que S50 � 50 � ��1 �2

50�� � 1275.

Calcula la siguiente suma infinita: log2 �2� � log2 �4

2� � log2 �8

2� � log2 �16

2� � ...

log2 �2� � log2 �4

2� � log2 �8

2� � ... � �12

� � �14

� � �18

� � ... � S y esto es la suma de los infinitos términos de una progresión

geométrica de razón �12

�, por lo que S � � � � 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2 log x � log 12 � log —x3

— b) log (x � 1) � log x � 1

a) 2 log x � log 12 � log �3x

� ⇒ �1x2

2

� � �3x

� ⇒ �La solución x � 0 está fuera del dominio, con lo que no es válida.

b) log (x � 1) � log x � 1 ⇒ �x �

x1

� � 10 ⇒ x � 1 � 10x ⇒ x � �19

�

En 1980, la población de China era de 995 millones de personas, con un crecimiento anual del 1,4%.Ese mismo año, la población de todo el continente africano era de 470 millones de personas, con uncrecimiento anual del 2,9%.Si se mantienen estos ritmos de crecimiento, ¿cuántos años pasarán para que China y África tengan elmismo número de habitantes? Ensaya con tu calculadora.

La población de China será, en millones de habitantes: 995 (1,014)t y la de África será: 470 (1,029)t.Ensayando con la calculadora, vemos que estas expresiones coinciden cuando t está entre 51 y 52.

La población de una ciudad en el año 2000 era de 1 500 000 habitantes, y en 2006, de 1 750 000.Si su crecimiento es exponencial, halla la función que expresa el número de habitantes en función delos años transcurridos desde el 2000.

La población en función del tiempo viene dada por f(t) � k � ax.t � 0 ⇒ f(0) � k � 1 500 000t � 6 ⇒ f(6) � 1 750 000 � 1 500 000 � a6 ⇒ 1,16 � a6 ⇒ a � 1,026

Luego la función es: Pf � Pi �1 � �10

i0

��t

⇒ Pf � 1 500 000 (1,026)t

12.83

12.82

x � 0x � 4

12.81

�12

�

�1��

12

�

12.80

12.79

12.78

12.77

12.76

74

1

1

Y

XO

En un laboratorio se cultivan dos tipos de bacterias.Las del tipo A tardan un día en dividirse, y las del tipo B, dos días.Supongamos que inicialmente se tiene una bacteria del tipo A y 16 del tipo B.a) ¿Cuántos días tienen que pasar para que la población de ambos tipos sea la misma?b) Escribe la función que proporciona el número total de bacterias que hay en el laboratorio en

función de los días transcurridos.

a) 2x � 16 � 2 ⇒ 2x

2� 16 ⇒ 2 � 16 ⇒ �

2x

� � 4 ⇒ x � 8 días

b) f(x) � 2x � 16 � 2

El número de habitantes de una determinada población en millones viene dado por la siguiente expresión, en la que t es el número de años transcurridos desde 1900.

P(t) � —1 � 70

1,6,1

� 3�0,08t—

¿Cuál era el número de habitantes en el año 1900? ¿Y en el 2000?

P(0) � �711,1,6� � 0,015 363 millones de habitantes ⇒ 15 363 habitantes.

P(100) � 1,088 289 millones de habitantes ⇒ 1 088 289 habitantes.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

El deshielo

Debido al cambio climático, la superficie de hielo en la cima de una montaña disminuye cada año.En la gráfica se señalan las líneas de nivel donde comenzaba la existencia de hielo en tres años diferentes: 1995, 2000 y 2005.

a) Utilizando la fórmula para calcular el área lateral de un cono, calcula la superficie de hielo existenteen la cima cada uno de los tres años.

b) Con la ayuda de los datos correspondientes a los años 1995 y 2000, establece un modelo de decrecimiento de la superficie de hielo del tipo: AL � A � Ba � 1995 donde a representa el año, y A yB son valores que debes determinar.

c) Comprueba que el modelo se ajusta también al año 2005.

a) Los tres conos, correspondientes a los tres años, verifican que �gr� � �

115200

� � 1,25 ⇒ r � �1,

g25�.

Los datos para los tres años son:

b) � ⇒ AL � 59 411 � 0,995a�1995

c) Para el año 2005: AL � 59 411 � 0,99510 � 56 506 m2 que se ajusta bastante bien a la superficie real.

12.86

12.85

x�2

x�2

x�2

x�2

12.84

75

Año g (m) r (m) AL � � � r � g (m2)

1995 153,75 123 59 411

2000 151,85 121,48 57 952

2005 150 120 56 549

59 411 � A � B0 ⇒ A � 59 411

57 952 � A � B5 ⇒ B � �5 �55

79

94

51

21

�� � 0,995

La escala de Richter

Para medir la magnitud M de un terremoto se utiliza la escala de Richter, que queda determinada porla siguiente relación empírica:

log E � C � 1,5 � MSiendo E la energía liberada por el seísmo, medida en ergios (1 ergio � 107 julios), y C, una constante.a) Calcula el valor de C sabiendo que un terremoto de magnitud 2,4 libera una energía de 1015 ergios.b) Calcula la relación entre las energías liberadas por dos terremotos cuya diferencia de magnitudes es

de una unidad.c) Se estima que, en un determinado planeta, la energía liberada cada año por los terremotos es de

5 � 1025 ergios. Si todos los terremotos son de magnitud 5, aproximadamente, ¿cuántos ocurren enun año?

a) log E � C � 1,5 � M ⇒ log 1015 � C � 1,5 � 2,5 ⇒ C � 15 � 3,6 � 11,4

b) log ��EE

1

2�� � log E1 � log E2 � C � 1,5 � M1 � C � 1,5 � M2 � 1,5 � (M1 � M2) � 1,5 � 1 � 1,5 ⇒ �

EE

1

2� � 101,5 � 31,6

c) La energía liberada por un terremoto de magnitud 5 es log E � 11,4 � 7,5 � 18,9 ⇒ E � 1018,9 ergios.

En un año: 5 � �1100

1

2

8

5

,9� � 6 294 627 terremotos

A U T O E V A L U A C I Ó N

Decide cuáles de las siguientes funciones son exponenciales, y de las que lo sean, obtén su recíproca.

f (x) � x3 g(x) � �x h(x) � 42x

Son exponenciales las funciones g y h, y sus recíprocas son g�1(x) � log� x y h�1(x) � �log4 x.

En la siguiente gráfica se representan dos funciones exponenciales de distinta base.

¿Cuál de las dos tiene una base mayor?

Tiene base mayor la función f, ya que es mayor que 1, mientras que la de g estáentre 0 y 1.

Representa las funciones f (x) � log —12— x y g(x) � log2 x, y contesta a estas cuestiones.

a) ¿Tienen el mismo dominio?b) ¿Tienen el mismo recorrido?c) ¿Tienen algún punto en común?d) ¿Son recíprocas?

a) Síb) Síc) Sí, el (1, 0)d) No, porque no son simétricas respecto a la recta y � x.

12.A3

12.A2

12.A1

12.87

76

1

1O X

Yfg

1

1

Y

XO

f

g

Indica qué tipo de funciones se representan en la siguiente gráfica.

La función f es la logarítmica, ya que pasa por el punto (1, 0). La función g es la exponencial ya que pasa por el punto(0, 1).

Un fabricante aumenta el precio de sus productos según el IPC, que en los últimos años ha aumentadoun 2% anual. Si un televisor cuesta este año 350 euros:

a) Expresa su precio en función del tiempo.b) ¿Cuál es la función recíproca de la del apartado anterior? ¿Qué significado tiene?

a) y � 350 (1,02)x con x el tiempo en años.

b) y � log1,02 ��35

x0

��Proporciona el tiempo que tiene que transcurrir para que el televisor alcance un precio determinado.

E N T R E T E N I D O

Investiga con calculadora

Aunque tu calculadora tenga la tecla , el resul-tado de 759 no cabe en la pantalla.Calcula los valores de la función exponencial de base7 para los primeros números naturales, busca regu-laridades y haz tu conjetura.¿Quién de los dos tiene razón?

Hallamos con la calculadora los valores de la función exponencial de base 7 para los primeros números naturales.

Observamos que se producen regularidades en las últimas cifras y vemos que la terminación del resultado de 759 dependerá del resto de la división entera 59 : 4, es decir del exponente entre 4.Como al efectuar este cociente el resto que obtenemos es 3, podemos conjeturar que la potencia buscada termina en 43. Por lo tanto, la chica tiene razón.

yx

12.A5

12.A4

77

1

O X

Y

1

g

f

71 7

72 49

73 343

74 2401

7 5 16 807

7 6 117 649

7 7 823 543

7 8 5 764 801

79 40 353 607

...

El resultado de 759

termina en 1.

No es verdad. Acaba en 43.