12 icneencias ccs 12 CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS...2020/05/12 · La circunferencia y la rueda 1....

12 Circunferencias y círculos

368Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Después de trabajar los polígonos en la unidad anterior, esta unidad trabaja las figuras circulares centrándose en el círculo y la circun-ferencia. Muchos de los conceptos trabajados en la unidad son conocidos por los alumnos pero siguen confundiéndolos, este es el momento de afianzarlos. La unidad trabaja dos conceptos que son nuevos para los alumnos, los ángulos en la circunferencia y sus

relaciones, y el área y el perímetro de figuras circulares.

Se intenta que todos los contenidos se trabajen de una forma manipulativa para que los alumnos pueden ver las relaciones entre ellos.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacio-nados con circunferencias y círculos.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con circunferencias y círculos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es las diferentes medidas de las ruedas de las bicicletas, se profundizará en el cálculo de la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Diferenciar circunferencias y círculos e identificar los elementos principales de la circunferencia y el círculo.❚❚ Identificar y construir ángulos centrales e inscritos en la circunferencia.❚❚ Relacionar la medida de los ángulos centrales e inscritos con la del arco que abarcan.❚❚ Identificar las posiciones relativas de un punto, una recta y una circunferencia respecto de una circunferencia.❚❚ Conocer la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.❚❚ Calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.❚❚ Calcular la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular.❚❚ Calcular el área y la longitud de figuras circulares.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario conocer los elementos y propiedades de la circunferencia y el círculo.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando circunferencias y círculos.

CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS12

369

12Circunferencias y círculos

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Circunferencia y círculo

1. Reconocer y describir circunferencias y círculos, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

1.1. Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la circunferencia.

1.2. Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los puntos del círculo.

1-3, 53-55Matemáticas vivas 1, 24-6, 52, 55, 56

CMCTCLCSCCAACSIEE

Ángulos en la circunferenciaÁngulo centralÁngulo inscrito

2. Reconocer y describir ángulos en la circunferencia y sus propiedades para clasificarlos, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.3. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría plana para la resolución de problemas de ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado y expresar el procedimiento seguido en la resolución.

2.1. Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los ángulos de la circunferencia.

3.1. Resuelve problemas relacionados con ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

7, 1357-61

8-1262-65

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Posiciones relativas 4. Reconocer y describir posiciones relativas de elementos geométricos y sus propiedades características para clasificar, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

4.1. Identifica las posiciones relativas que caracterizan a distintos elementos geométricos.

14-2366-71

CMCTCLCSCCAA CSIEE

Longitud de una circunferencia

5. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría plana para la resolución de problemas de perímetros de figuras, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución.

5.1. Calcula la longitud de la circunferencia y lo aplica para resolver problemas geométricos.

24-31, 49-5171, 73, 74, 76, 77, 80Matemáticas vivas 3, 5Trabajo cooperativoPV1, PV2

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Área de un círculo 6. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría plana para la resolución de problemas de áreas de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado y expresar el procedimiento seguido en la resolución.

6.1. Calcula el área del círculo y lo aplica para resolver problemas geométricos.

32-4048, 5172-7577-80Matemáticas vivas 4Trabajo cooperativo

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Longitud y área de figuras circulares

7. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado y expresar el procedimiento seguido en la resolución.

7.1. Calcula la longitud de un arco y lo aplica para resolver problemas geométricos.7.2. Calcula el área de un sector circular y lo aplica para resolver problemas geométricos. 7.3. Resuelve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies y ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

41-4381, 8544, 4582-84, 8646, 4787-89

CMCTCLCSCCAACSIEE

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de circunferencias y círculos. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un re-paso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre circunferencias y círculos, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos. Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con circunferencias y círculos pueden acceder a las lecciones 1083, 1088 y 1118 de la web .

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

3. Posiciones relativas

4. Longitud de una circunferencia

5. Área de un círculo

6. Longitud y área de figuras circulares

¿Qué tienes que saber? • Ángulos centrales y ángulos inscritos • Posiciones relativas • Longitud de una circunferencia y área

de un círculo • Longitud de un arco y área de un

sector

Matemáticas vivasLas ruedas de las mountain bike • Estudio de longitudes de

circunferencias y áreas de círculos en situaciones cotidianas

Lee y comprende las matemáticasEl misterio de la laguna que desapareció en Bosnia

AvanzaÁngulo interior y ángulo exterior

Percepción visualRodando círculos

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. La circunferencia y la rueda

1. Circunferencia y círculo

GeoGebra. Medida de un ángulo inscrito

GeoGebra. Área del círculo

GeoGebra. Longitud de la circunferencia

Actividades interactivas

2. Ángulos en la circunferencia • Ángulo central • Ángulo inscrito

MisMates.esLecciones 1083, 1088 y 1118 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas


Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO370

371



Sugerencias didácticas

La unidad se inicia con circunferencias y círculos que no son tan visibles a simple vista pero que dotan de una belleza especial a estructuras y obras arquitectónicas.

Un ejemplo de esta belleza está en las escaleras de caracol, cuando se tiene la posibilidad de subir por una de ellas es impresionante buscar con la mirada el círculo y la circunfe-rencia que dibujan en el hueco de su interior.

Contenido WEB. LA CIRCUNFERENCIA Y LA RUEDA

En la sección Matemáticas en el día a día se expone la relación entre la longitud de la circunferencia y el número p, y la apli-cación de la rueda para la medición de distancias y áreas con el odómetro.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos que muestren un in-terés especial.

241

12 CIRCUNFERENCIASY CÍRCULOS

Existen numerosos objetos con forma circular: botones, anillos, relojes, señales de tráfico…

Pero también hay circunferencias y círculos escondidos, como si no se atrevieran a mostrar la belleza de su forma. Por ejemplo, cuando subimos o bajamos por una escalera de caracol y miramos hacia arriba o hacia abajo, intuimos circunferencias o círculos en diferentes tramos de la escalera. ¿Eres capaz de distinguir estas formas en la imagen?

REPASA LO QUE SABES1. ¿Cuáles de estas figuras son polígonos? Explica por qué.

2. Utiliza una regla y una escuadra para medir la distancia entre el punto y la recta en cada caso. Explica cómo lo has hecho.

a) b)

•

•

3. Resuelve estas expresiones con números decimales.

a) 4,2 3,5

3

⋅ c) 4 ⋅ 5,71 ⋅ 4,52

b) 2,71 ⋅ 152 d) 4 5,3

18

2⋅

Existen numerosos objetos con forma circular: botones, anillos, relojes, señales de tráfico…

Pero también hay circunferencias y círculos escondidos, como si no se atrevieran a mostrar la belleza de su forma. Por ejemplo, cuando subimos o bajamos por una escalera de caracol y miramos hacia arriba o hacia abajo, intuimos circunferencias o círculos en diferentes tramos de la escalera. ¿Eres capaz de distinguir estas formas en la imagen?

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Líneas poligonales

y líneas curvas.

❚ Distancia entre dos

puntos, y entre un punto

y una recta.

❚ Operaciones con

números decimales.

ma1e46

El 14 de marzo se celebra el Día mundial de Pi, por su escritura anglosajona de la fecha 3/14. El número pi relaciona la longitud de una circunferencia con la longitud de su diámetro.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. ¿Cuáles de estas figuras son polígonos? Explica por qué.

La segunda figura es un polígono porque es una región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

2. Utiliza una regla y una escuadra para medir la distancia entre el punto y la recta en cada caso. Explica cómo lo has hecho.

a) b)

•

•

Para medir la distancia trazamos una perpendicular a la recta que pase por el punto y medimos la distancia entre este y el punto de corte de las rectas.

a) 2 cm b) 1,9 cm

3. Resuelve estas expresiones con números decimales.

a) 4,2 ⋅3,5

3 b) 2,71 ⋅ 152 c) 4 ⋅ 5,71 ⋅ 4,52 d)

4,5 ⋅32

18

a) 4,2 ⋅3,5

3=

14,7

3= 4,9 c) 4 ⋅ 5,71 ⋅ 4,52 = 22,84 ⋅ 20,25 = 462,51

b) 2,71 ⋅ 152 = 2,71 ⋅ 225 = 609,75 d) 4 ⋅5,32

18=

4 ⋅28,09

18=

112,36

18= 6,2422...



1. Circunferencia y círculo

243

12Actividades12 Circunferencias y círculos

242

Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio. Marca su centro, un radio y un diámetro.

Indica el nombre de los elementos dibujados en rojo en cada circunferencia.a) c) e)

•

•

•

•

•

•

b) d) f)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Observa los segmentos que se han dibujado en esta circunferencia. ¿Cómo se llaman?

•

•

•

•

A

B

C

D

Dibuja en tu cuaderno un círculo de 2,5 cm de radio. Señala en él un semicírculo y un sector circular de 45º de amplitud.

Indica el nombre de los elementos que aparecen en estos círculos.a) c) e)

•

•

•

b) d) f)

•

•

•

1

2

3

4

5

1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Observa estas figuras.

Se trata de líneas curvas cerradas y planas, pero solo en una de ellas se cumple que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo es siempre la misma.

Una circunferencia es una línea cerrada y plana, cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro de la circunferencia.

Los elementos de una circunferencia son:

••

•

••

•

Si observas con atención esta figura, puedes ver que está formada por la circunferencia y su interior. Es un círculo.

El centro, el radio y el diámetro de un círculo coinciden con los de la circunferencia.

Un círculo es una figura plana formada por una circunferencia y todos los puntos interiores a ella.

En un círculo encontramos las siguientes figuras geométricas:

Semicírculo Segmento circular Sector circular

Región del círculo limitada por un diámetro.

Región del círculo limitada por una cuerda

y su arco.

Región del círculo limitada por dos radios.

Aprenderás a… ● Diferenciar circunferencias y círculos.

● Identificar los elementos principales de la circunferencia y el círculo.

Presta atención

Para dibujar una circunferencia, situamos la aguja del compás sobre un punto y, con la abertura deseada, lo giramos.

La abertura que hemos dado al compás define el radio de la circunferencia.

Presta atención

En un círculo o circunferencia, el diámetro mide el doble que el radio.

Centro: punto que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

Cuerda: segmento que une dos puntos de

la circunferencia.

Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

Arco: parte de la circunferencia

comprendida entre dos de sus puntos.

Cuando los dos puntos son los extremos de un diámetro,

el arco es una semicircunferencia.

Diámetro: cuerda que pasa por el centro.

• •

•

•

En tu vida diaria

Para trazar circunferencias

sobre el terreno, se utiliza

una cuerda que se hace

girar en torno a un punto

fijo. Esta forma de construir

una circunferencia se

denomina método del

jardinero.

Si has viajado por una zona de cultivos quizás hayas visto algunas plantaciones de forma circular. Investiga sobre las ventajas de este tipo de plantación frente a las tradicionales de formas poligonales.

6

Investiga

Soluciones de las actividades1 Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio. Marca su centro, un radio y un diámetro.

Comprobar que los alumnos trazan una circunferencia de 3 cm de radio, marcan su centro, un segmento que una el centro con cualquier punto de la circunferencia (radio) y un segmento que una dos puntos de la circunferencia pasando por su centro (diámetro).


El comienzo del epígrafe tiene que centrarse en la diferen-cia que hay entre el círculo y la circunferencia. Los dos con-ceptos son conocidos de cursos anteriores, pero algunos alumnos siguen dudando cuál es cada uno. Se puede hacer un pequeño juego en el que tengan que decir varios obje-tos cotidianos con forma de círculo y varios con forma de circunferencia en un determinado tiempo.

Para la identificación de los elementos principales de la cir-cunferencia y el círculo es conveniente primero trabajarlos por separado y al final acabar relacionándolos, si es posible. En estos casos, lo primero que tienen que decidir es de qué figura se trata, una circunferencia o un círculo.

También trabajar los conceptos de radio y diámetro, que aparecen tanto en la circunferencia como en el círculo.

373



2 Indica el nombre de los elementos dibujados en rojo en cada circunferencia.

a) c) e)

•

•

•

•

•

•

b) d) f)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

a) Radio c) Cuerda e) Centro

b) Arco d) Semicircunferencia f) Diámetro3 Observa los segmentos que se han dibujado en esta circunferencia. ¿Cómo se llaman?

•

•

•

•

A

B

C

D

AD → Radio

BC → Diámetro

CD → Cuerda

4 Dibuja en tu cuaderno un círculo de 2,5 cm de radio. Señala en él un semicírculo y un sector circular de 45º de amplitud.

•

•

•

•

•

Semicírculo

Sectorcircular 45º

5 Indica el nombre de los elementos que aparecen en estos círculos.

a) c) e)

•

•

•

b) d) f)

•

•

•

a) Semicírculo c) Sector circular e) Sector circular

b) Radio d) Diámetro f) Segmento circular

Investiga6 Si has viajado por una zona de cultivos habrás visto que hay plantaciones de forma circular. Investiga sobre las ventajas de

este tipo de plantación frente a las tradicionales de formas poligonales.

Respuesta abierta.



2. Ángulos en la circunferencia

245


244

Fíjate en el vértice de estos ángulos. Según su posición en la circunferencia, ¿cómo se denomina cada ángulo? a) b) c) d)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio y traza en ella estos ángulos.a) Un ángulo central de 30º de amplitud.b) Un ángulo inscrito con una amplitud de 30º.c) Un ángulo central de 270º de amplitud.d) Un ángulo inscrito que tenga una amplitud de 45º y un lado que pase por

el centro de la circunferencia.

Calcula la amplitud del ángulo desconocido.a) c)

•110º

•

126º

b) d)

•80º

35º•

Traza una circunferencia en tu cuaderno y un ángulo central con una amplitud de 90º. Dibuja el ángulo inscrito correspondiente y calcula su amplitud sin utilizar el transportador.

Dibuja en tu cuaderno una circunferencia. Traza sobre ella un ángulo inscrito con una amplitud de 90º y su ángulo central correspondiente. ¿Cuánto mide el ángulo central? Calcúlalo sin utilizar el transportador.

¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que aparecen en esta figura? Explica con tus palabras cómo lo has calculado.

7

8

9

10

11

12

2. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Según la posición que ocupe un ángulo en una circunferencia, recibe un nombre diferente.

Ángulo central

Estos ángulos tienen su vértice en el centro de la circunferencia y la cortan en dos puntos que determinan un arco.

• •

••

• • •

••

En una circunferencia, un ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados están determinados por dos radios.

Ángulo inscrito

Estos ángulos tienen su vértice sobre la circunferencia y la cortan en dos puntos que determinan un arco.

• • •

•

•

•

•

•

•

•

••

En una circunferencia, un ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma.

Medida de un ángulo inscrito

1 Dibujamos un ángulo inscrito que pase por el centro de la circunferencia.

•

•

• •

40º

O

A B

C

2 Unimos C con A. El triángulo es isósceles porque CO y CA son radios de la circunferencia.

•

•

•

•

40º

40º

O

A B

C

3 El ángulo central ACB mide 180 − 100 = 80º, el doble que el ángulo inscrito.

•

•

•

•

40º

40º 80º

100º

O

A B

C

Si un lado del ángulo inscrito no pasa por el centro de la circunferencia, podemos dividirlo en dos ángulos con un lado común que pase por el centro.

Cada ángulo inscrito mide la mitad que su ángulo central correspondiente.

La medida de cualquier ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida de su arco, es decir, a la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente.

Aprenderás a… ● Identificar y construir ángulos centrales e inscritos en la circunferencia.

● Relacionar la medida de los ángulos centrales e inscritos con la del arco que abarcan.

•

•

•

•

Presta atención

❚ La medida de un arco es la de su ángulo central.

• •

•

45º

❚ Todo ángulo inscrito tiene un ángulo central correspondiente. Ambos ángulos comparten el mismo arco de circunferencia.

•

•

•

•

Presta atención

Si varios ángulos inscritos diferentes abarcan el mismo arco de circunferencia, todos ellos tienen la misma amplitud.

DESAFÍOSi las dos cuerdas azules del dibujo son paralelas, los cuatro ángulos marcados tienen la misma amplitud. Justifícalo.

13

ma1e47

•

•

•

•

58º

29º

Soluciones de las actividades7 Fíjate en el vértice de estos ángulos. Según su posición en la circunferencia, ¿cómo se denomina cada ángulo?

a) b) c) d)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

a) Central b) Inscrito c) Central d) Inscrito8 Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio y traza en ella estos ángulos.

a) Un ángulo central de 30º de amplitud.

b) Un ángulo inscrito con una amplitud de 30º.

c) Un ángulo central de 270º de amplitud.

d) Un ángulo inscrito que tenga una amplitud de 45º y un lado que pase por el centro de la circunferencia.


Es aconsejable que los alumnos comprueben con GeoGe-bra cómo todas las relaciones entre los ángulos de una cir-cunferencia son ciertas. También es posible llevar algunos ángulos marcados en varias circunferencias de cartulina y que los alumnos comprueben las relaciones con un trans-portador de ángulos.

GeoGebra. MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO

En este recurso aparece un ángulo inscrito y el arco determinado por él. Tras acceder a él, se puede comprobar que moviendo el vértice del ángulo, el arco, y por tanto el ángulo, no varía.

375



Comprobar que los alumnos trazan una circunferencia de 3 cm de radio y dibujan estos ángulos:

a) b) c) d)

•

• •30º

•

•

•

•

30º

•

•

•270º

•

•

•45º

9 Calcula la amplitud del ángulo desconocido.

a) b) c) d)

•110º

•80º

•

126º

35º•

a) 110º : 2 = 55º b) 80º ⋅ 2 = 160º c) 126º : 2 = 63º d) 35º ⋅ 2 = 70º10 Traza una circunferencia en tu cuaderno y un ángulo central con una amplitud de 90º. Dibuja el ángulo inscrito corres-

pondiente y calcula su amplitud sin utilizar el transportador.

•

•

•

•

45º

90º

La amplitud del ángulo inscrito es de 90º : 2 = 45º.

11 Dibuja en tu cuaderno una circunferencia. Traza sobre ella un ángulo inscrito con una amplitud de 90º y su ángulo central correspondiente. ¿Cuánto mide el ángulo central? Calcúlalo sin utilizar el transportador.

•

•

••

180º

90º

La amplitud del ángulo central es de 90º ⋅ 2 = 180º.

12 ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que aparecen en esta figura? Explica con tus palabras cómo lo has calculado.

•

•

•

•

58º

29º

El triángulo marcado es isósceles ya que tiene dos lados iguales que son los radios de la circunferen-cia. Entonces, otro de los ángulos del triángulo mide 29º.

El ángulo que falta por saber es el complementario a 58º.

180º − (29º + 29º) = 180º − 58º = 122º

Entonces, los ángulos del triángulo miden 29º, 29º y 122º.

Desafío13 Si las dos cuerdas del dibujo son paralelas, los cuatro ángulos marcados tienen la misma amplitud. Justifícalo.

Los cuatro ángulos miden la mitad del central y los centrales son iguales. Entonces, los ángulos inscri-tos también los son.



3. Posiciones relativas

247


246

Indica si los siguientes puntos son interiores, exteriores o están sobre la circunferencia.

•

•

••

•

•A

BE

D

C

Traza en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio y dibuja:a) Dos puntos interiores a la circunferencia.b) Dos puntos sobre la circunferencia.c) Dos puntos exteriores a la circunferencia.

Indica la posición relativa de cada recta con respecto a la circunferencia.

•

r

u

t

s

Dibuja una circunferencia de 2 cm de radio en tu cuaderno y traza:a) Una recta exterior a la circunferencia.b) Una recta secante a la circunferencia.c) Una recta tangente a la circunferencia.

Traza dos rectas azules y secantes en tu cuaderno.a) Dibuja una circunferencia secante a las dos

rectas azules.b) Traza una recta que pase por el centro de la

circunferencia y por el punto de corte de las dos rectas azules. ¿Qué nombre tiene esta recta con respecto al ángulo que forman las rectas azules?

c) ¿Puedes dibujar otra circunferencia tangente a las dos rectas azules que no pase por la recta que has trazado en el apartado anterior? Muéstralo.

14

15

16

17

18

En el siguiente dibujo aparecen tres circunferencias. Indica la posición relativa de cada par de ellas.

••

•

C1

C2

C3

Dibuja en tu cuaderno tres circunferencias en cada caso.a) Son tangentes interiores dos a dos.b) Son tangentes exteriores dos a dos.c) Son secantes dos a dos.d) Son interiores dos a dos.

Dibuja en tu cuaderno dos circunferencias de 3 cm y 4 cm de radio, respectivamente. Calcula la distancia entre los centros en los siguientes casos.a) Las circunferencias son tangentes exteriores.b) Las circunferencias son tangentes interiores.

En el siguiente dibujo aparecen varios puntos, rectas y circunferencias. Estudia las siguientes posiciones relativas.

A B

s

r

••

C1

C2

a) El punto A y la circunferencia C1. b) El punto B y la circunferencia C2.c) La recta r y la circunferencia C1.d) La recta r y la circunferencia C2.e) La circunferencia C1 y la circunferencia C2.

19

20

21

22

3. POSICIONES RELATIVAS

Emma traza una circunferencia y le pide luego a un amigo que dibuje un punto, una recta y otra circunferencia donde quiera.

❚ Circunferencia y punto: existen tres posibilidades en relación con la posición de la circunferencia con respecto al punto.

Punto exterior a la circunferencia

•

•

d

r

P

Punto sobre la circunferencia

•

•d

r

P

Punto interior a la circunferencia

•

•d

r

P

La distancia del punto al centro es mayor que la longitud del radio.

La distancia del punto al centro es igual que la longitud del radio.

La distancia del punto al centro es menor que la longitud del radio.

❚ Circunferencia y recta: existen tres posibilidades en relación con la posición de la circunferencia con respecto a la recta.

Recta exterior a la circunferencia

•

d

r

Recta tangente a la circunferencia

•

•d

r

Recta secante a la circunferencia

•

•

•dr

La distancia de la recta al centro es mayor que la longitud del radio.

La distancia de la recta al centro es igual que la longitud del radio.

La distancia de la recta al centro es menor que la longitud del radio.

❚ Circunferencia y circunferencia: existen tres posibilidades en relación con los puntos de corte de las dos circunferencias.

Dos puntos de corteSecantes

•

• ••

Un punto de corteTangentes interiores

••

•

Tangentes exteriores

•

•

•

Ningún punto de corteInteriores

••

Exteriores

•

•

Aprenderás a… ● Identificar las posiciones relativas de un punto, una recta y una circunferencia respecto de una circunferencia.

Una recta es tangente a una circunferencia si ambas se cortan en un solo punto.

Lenguaje matemático

Presta atención

La distancia de un punto a una recta se mide sobre la perpendicular a la recta que pasa por el punto.

•

•

•

•

•

A

r

El problema de Apolonio, llamado así en honor al geómetra griego Apolonio de Pérgamo, consiste en encontrar las circunferencias tangentes a otras tres dadas. a) Investiga el número de soluciones que existen a este problema.b) Observa el dibujo y escribe la posición relativa entre cada circunferencia y la

solución dada.

23

Investiga

Soluciones de las actividades14 Indica si los siguientes puntos son interiores, exteriores o están sobre la circunferencia.

•

•

••

•

•A

BE

D

C

A y E están sobre la circunferencia.

B y D son exteriores a la circunferencia.

C es interior a la circunferencia.

15 Traza en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm de radio y dibuja:

a) Dos puntos interiores a la circunferencia.

b) Dos puntos sobre la circunferencia.

c) Dos puntos exteriores a la circunferencia.

Comprobar que los alumnos trazan una circunferencia de 3 cm de radio y dibujan:

a) Dos puntos cuya distancia al centro de la circunferencia sea menor que la longitud del radio.

b) Dos puntos cuya distancia al centro de la circunferencia sea igual que la longitud del radio.

c) Dos puntos cuya distancia al centro de la circunferencia sea mayor que la longitud del radio.


No suele ser difícil para los alumnos comprender las posi-ciones relativas entre circunferencias y puntos o rectas, el problema está en la relación que existe entre las distancias del centro de la circunferencia y el punto o la recta. Es acon-sejable trabajar cómo se mide la distancia de un punto a una recta, los alumnos no suelen trazar la perpendicular y medir la distancia entre dos puntos.

Comprender el concepto de posición relativa de dos circun-ferencias suele ser bastante sencillo.

Puede resultar útil llevar anillas de varios tamaños y que los alumnos vayan construyendo las diferentes posiciones relativas entre ellas.

377



16 Indica la posición relativa de cada recta con respecto a la circunferencia.

•

r

u

t

s

r → tangente a la circunferencia t → exterior a la circunferencia

s → secante a la circunferencia u → secante a la circunferencia17 Dibuja una circunferencia de 2 cm de radio en tu cuaderno y traza:

a) Una recta exterior a la circunferencia.

b) Una recta secante a la circunferencia.

c) Una recta tangente a la circunferencia.

Comprobar que los alumnos trazan una recta de 2 cm de radio y dibujan:

a) Una recta cuya distancia al centro de la circunferencia sea mayor que la longitud del radio.

b) Una recta cuya distancia al centro de la circunferencia sea menor que la longitud del radio.

c) Una recta cuya distancia al centro de la circunferencia sea igual que la longitud del radio.18 Traza dos rectas azules y secantes en tu cuaderno.

a) Dibuja una circunferencia secante a las dos rectas azules.

b) Traza una recta que pase por el centro de la circunferencia y por el punto de corte de las dos rectas azules. ¿Qué nom-bre tiene esta recta con respecto al ángulo que forman las rectas azules?

c) ¿Puedes dibujar otra circunferencia tangente a las dos rectas azules que no pase por la recta que has trazado en el apartado anterior? Muéstralo.

a) b) c)

•

•

•

•

La recta roja es la bisectriz del ángulo que forman las rectas azules.19 En el siguiente dibujo aparecen tres circunferencias. Indica la posición relativa de cada par de ellas.

••

•

C1

C2

C3

C1 y C2 son secantes.

C1 y C3 son tangentes interiores.

C2 y C3 son tangentes exteriores.



20 Dibuja en tu cuaderno tres circunferencias en cada caso.

a) Son tangentes interiores dos a dos.

b) Son tangentes exteriores dos a dos.

c) Son secantes dos a dos.

d) Son interiores dos a dos.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) b) c) d)

•

••

••

•

••

•

•••

21 Dibuja en tu cuaderno dos circunferencias de 3 cm y 4 cm de radio, respectivamente. Calcula la distancia entre los centros en los siguientes casos.

a) Las circunferencias son tangentes exteriores.

b) Las circunferencias son tangentes interiores.

Comprobar que los alumnos trazan dos circunferencias de 3 cm y 4 cm de radio.

a) La distancia entre los centros es de: 4 cm + 3 cm = 7 cm

b) La distancia entre los centros es de: 4 cm − 3 cm = 1 cm22 En el siguiente dibujo aparecen varios puntos, rectas y circunferencias. Estudia las siguientes posiciones relativas.

A B

s

r

••

C1

C2

a) El punto A y la circunferencia C1.

b) El punto B y la circunferencia C2.

c) La recta r y la circunferencia C1.

d) La recta r y la circunferencia C2.

e) La circunferencia C1 y la circunferencia C2.

a) El punto A es exterior a la circunferencia C1.

b) El punto B está en la circunferencia C2.

c) La recta r es tangente a la circunferencia C1.

d) La recta r es secante a la circunferencia C2.

e) Las circunferencias C1 y C1 son tangentes interiores.

Investiga23 El problema de Apolonio, llamado así en honor al geómetra griego Apolonio de Pérgamo, con-

siste en encontrar las circunferencias tangentes a otras tres dadas.

a) Investiga el número de soluciones que existen a este problema.

b) Observa el dibujo y escribe la posición relativa entre cada circunferencia y la solución dada.

a) En total hay 8 soluciones.

b) Las circunferencias con mayor y menor radio son tangentes exteriores a la circunferencia morada, y la otra, es tangente interior.

379



4. Longitud de una circunferencia

249


248

Calcula la longitud de las siguientes circunferencias.a) Circunferencia de 5 cm de radio.b) Circunferencia de 22 cm de diámetro.c) Circunferencia de 12 cm de diámetro.d) Circunferencia de 4,5 cm de radio.

Mide para calcular la longitud de estas circunferencias.

Un ayuntamiento quiere vallar un jardín circular que mide 3,25 m de radio. ¿Cuántos metros de valla se deben utilizar?

La rueda de un coche tiene 30 cm de radio. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido cuando la rueda haya dado 100 vueltas?

Calcula la longitud de una circunferencia inscrita en un cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

El resultado de medir con una cuerda la longitud de una circunferencia ha sido de 22 cm. ¿Cuánto mide su diámetro?

Halla el número de vueltas que tiene que dar la circunferencia más pequeña para completar una vuelta sobre la circunferencia más grande.

•

•

4,5 cm

1,5 cm

24

25

26

27

28

29

30

4. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

Bruno dibuja dos circunferencias en una lámina con ayuda de un compás. Los radios de las circunferencias miden 4 cm y 6 cm, respectivamente.

Como quiere medir la longitud de las dos circunferencias, utiliza una cuerda para bordearlas.

Al estirar las cuerdas, observa que la longitud de cada circunferencia mide algo más de 3 veces su diámetro.

Al observar esta relación, Bruno divide la longitud obtenida de la circunferencia entre el diámetro. En ambos casos obtiene el mismo cociente: un número que aproximado a las centésimas es 3,14.

❚ Circunferencia de 4 cm de radio.

Longitud = 25,1 cm

Diámetro = 8 cm

25,1 : 8 = 3,137…


Longitud = 37,7 cm

Diámetro = 12 cm

37,7 : 12 = 3,141…

El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro se mantiene constante y es aproximadamente 3,14.

Este número recibe el nombre de pi y se designa por medio de la letra griega π.

Con el número π podemos calcular la longitud de cualquier circunferencia si conocemos su diámetro o su radio.


Longitud = 2 ⋅ 4 ⋅ 3,14 = 8 ⋅ 3,14 = 25,12 cm


Longitud = 2 ⋅ 6 ⋅ 3,14 = 12 ⋅ 3,14 = 37,68 cm

La longitud de una circunferencia es igual al diámetro multiplicado por el número π.

L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π = 2 ⋅ π ⋅ r

Aprenderás a… ● Conocer la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

● Calcular la longitud de una circunferencia.

Presta atención

El valor real de π es un número con infinitos decimales cuya aproximación a las centésimas es 3,14.

Presta atención

Una circunferencia está inscrita en un polígono si cada lado del polígono toca a la circunferencia en un solo punto.

Investiga

La relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una de las grandes constantes universales conocidas por el ser humano desde la Antigüedad.

En el papiro de Rhind, que data de alrededor de 1650 a. C., ya se daba un valor de este número: 3,15.

Investiga cómo han ido evolucionando las diferentes aproximaciones del número pi a lo largo de la historia.

31

ma1e48

Soluciones de las actividades24 Calcula la longitud de las siguientes circunferencias.

a) Circunferencia de 5 cm de radio.

b) Circunferencia de 22 cm de diámetro.

c) Circunferencia de 12 cm de diámetro.

d) Circunferencia de 4,5 cm de radio.

a) L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 = 31,4 cm

b) L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 22 = 69,08 cm

c) L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 12 = 37,68 cm

d) L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4,5 = 28,26 cm


Para que los alumnos comprueben la relación entre la lon-gitud de la circunferencia y su diámetro es útil pedir a los alumnos que lleven algún objeto circular. Con una cuerda pueden medir la longitud de su perímetro y después medir el diámetro de la figura. Los alumnos comprueban que al hacer el cociente entre ambas medidas se obtiene aproxi-madamente el número p.

Hay que trabajar con los alumnos que el número 3,14 es tan solo una aproximación de p.

GeoGebra. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

En este recurso puede comprobarse geométricamente la fórmula de la longitud de la circunferencia. Al mover el deslizador ver-de, la circunferencia se estira sobre el eje permitiendo medir su longitud. También puede variarse el radio de la circunferencia y obtener sus longitudes correspondientes.



25 Mide para calcular la longitud de estas circunferencias.

El diámetro de la circunferencia morada es de 4 cm, y el de la azul, de 3 cm.

Lmorada = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 4 = 12,56 cm

Lazul = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 3 = 9,42 cm26 Un ayuntamiento quiere vallar un jardín circular que mide 3,25 m de radio. ¿Cuántos metros de valla se deben utilizar?

Hallamos la longitud del jardín circular.

L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3,25 = 20,41 m

Se deben utilizar 20,41 m de valla.27 La rueda de un coche tiene 30 cm de radio. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido cuando la rueda haya dado 100 vueltas?

Hallamos los centímetros que recorre el coche cuando la rueda da una vuelta:

L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 30 = 188,4 cm

Calculamos lo que recorre el coche cuando la rueda da 100 vueltas:

100 ⋅ 188,4 cm = 18 840 cm = 0,1884 km

Habrá recorrido 0,1884 km.28 Calcula la longitud de una circunferencia inscrita en un cuadrado cuyo lado mide 8 cm.

Si la circunferencia está inscrita en un cuadrado de lado 8 cm de lado, su diámetro mide 8 cm.

L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 8 = 25,12 cm29 El resultado de medir con una cuerda la longitud de una circunferencia ha sido de 22 cm. ¿Cuánto mide su diámetro?

L = p ⋅ d → 22 = 3,14 ⋅ d → d = 22 : 3,14 = 7,006 cm

El diámetro mide 7,006 cm.30 Halla el número de vueltas que tiene que dar la circunferencia más pequeña para completar una vuelta sobre la circunfe-

rencia más grande.

•

•

4,5 cm

1,5 cm

Calculamos la longitud de las circunferencias:

Lgrande = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4,5 = 28,26 cm

Lpequeña = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,5 = 9,42 cm

Dividimos la longitud de la circunferencia grande entre la de la circunferencia pequeña para obtener el número de vueltas que da la circunferencia pequeña.

28,26 : 9,42 = 3

Luego la circunferencia pequeña tiene que dar 3 vueltas para completar una vuelta de la circunferencia grande.

Investiga31 La relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una de las grandes constantes universales

conocidas por el ser humano desde la Antigüedad.

En el papiro de Rhind, que data de alrededor de 1650 a. C., ya se daba un valor de este número: 3,15.

Investiga cómo han ido evolucionando las diferentes aproximaciones del número pi a lo largo de la historia.

Respuesta abierta.

381



5. Área de un círculo

251


250

Dibuja en tu cuaderno estos círculos y calcula el área de cada uno de ellos. a) Círculo de 7 cm de radio.b) Círculo de 10 cm de diámetro.c) Círculo de 7 cm de diámetro.d) Círculo de 3,2 cm de radio.

Mide para calcular el área de estos círculos.

• •

En el pueblo de Lidia se va a remodelar la plaza principal. Esta es circular y tiene un radio de 6,5 m. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas se tienen que comprar para cubrir toda la plaza?

Una corona circular es la zona delimitada por dos circunferencias concéntricas. Calcula el área de estas coronas circulares.

• •

•

6 cm

5 cm

4 cm

2 cm6 cm

6 cm

Alrededor de una fuente se quiere plantar un camino de césped de 2 m de ancho. Si la fuente tiene un diámetro de 12 m, ¿cuántos metros cuadrados de césped se tienen que plantar?

Calcula el área de un semicírculo cuyo diámetro mide 24 cm.

El área de un círculo es de 78,5 cm2. ¿Cuál es su diámetro?

Calcula el área de un círculo circunscrito en un cuadrado de 12 cm de lado.

32

33

34

35

36

37

38

39

5. ÁREA DE UN CÍRCULO

¿Cómo podemos calcular el área de un círculo?

1 Dibujamos un polígono inscrito en la circunferencia, por ejemplo un hexágono regular que divide el círculo en 6 sectores circulares iguales.

2 Cortamos los 6 sectores circulares y los colocamos sobre una línea recta. Esta línea tiene una longitud igual a la longitud de la circunferencia, es decir, 2 ⋅ π ⋅ r.

3 Colocamos los sectores de modo que rellenen los huecos para formar una especie de rectángulo.

• • • •

• • • •

r

2 · r · 2

= · rπ π

Área del rectángulo = base ⋅ altura = π ⋅ r ⋅ r = π ⋅ r2

Observamos que, a medida que vamos dividiendo el círculo en muchos más sectores circulares, cada uno de ellos se aproxima a un triángulo cuya altura es el radio del círculo.

Podemos aproximar el área del círculo mediante un rectángulo que tenga π ⋅ r de base y cuya altura sea r.

Área del rectángulo = base ⋅ altura = π ⋅ r ⋅ r = π ⋅ r2

El área de un círculo es la longitud de la circunferencia por el radio dividido entre 2.

AL r r r

r2

2

22= = =

ππ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

Aprenderás a… ● Calcular el área de un círculo.

••

• •

• •

•

Presta atención

Un círculo está circunscrito en un polígono si cada vértice del polígono toca a la circunferencia.

Dos circunferencias son concéntricas si tienen el mismo centro.

Lenguaje matemático

DESAFÍOPara calcular el área de un círculo, necesitamos poder medir su radio o su diámetro. Para ello, es preciso conocer el centro del círculo.

Utiliza algún objeto para dibujar un círculo en tu cuaderno y localiza su centro empleando herramientas de dibujo.

40

ma1e49

Soluciones de las actividades32 Dibuja en tu cuaderno estos círculos y calcula el área de cada uno de ellos.

a) Círculo de 7 cm de radio.

b) Círculo de 10 cm de diámetro.

c) Círculo de 7 cm de diámetro.

d) Círculo de 3,2 cm de radio.

Comprobar que los alumnos dibujan los círculos correctamente.

a) A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 72 = 153,86 cm2

b) 10 : 2 = 5; A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

c) 7 : 2 = 3,5; A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 3,52 = 38,465 cm2

d) A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 3,22 = 32,1536 cm2


Del mismo modo que los alumnos dudan entre qué es una circunferencia y qué es un círculo, tienen problemas con el área del círculo y la longitud de la circunferencia. Para ayudar a los alumnos se les puede indicar que recuerden que el área se mide en unidades cuadradas y lo asocien con la fórmula que tiene cuadrados, la del área del círculo, dejando la que no tiene cuadrados para la longitud de la circunferencia.

GeoGebra. ÁREA DEL CÍRCULO

En este recurso puede comprobarse geométricamente la relación entre el área del círculo y el rectángulo formado por los polígonos que se aproximan a él moviendo los deslizadores azules. Con el deslizador naranja se puede variar el número de triángulos para demostrar como mejora la aproximación al aumentar su núme-ro. Mediante el deslizador negro se puede modificar el radio del círculo y realizar nuevas comprobaciones.



33 Mide para calcular el área de estos círculos.

• •

El radio del círculo azul es 1,5 cm, y el del círculo rosa, 2 cm.

Aazul = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 1,52 = 7,065 cm2

Arosa = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 22 = 12,56 cm2

34 En el pueblo de Lidia se va a remodelar la plaza principal. Esta es circular y tiene un radio de 6,5 m. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas se tienen que comprar para cubrir toda la plaza?

Hallamos el área de la plaza: A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 6,52 = 132,665 m2

Se tienen que comprar 132,665 m2 de baldosas.35 Una corona circular es la zona delimitada por dos circunferencias concéntricas. Calcula el área de estas coronas circulares.

• •

•

6 cm

5 cm

4 cm

2 cm6 cm

6 cm

❚❚ Corona circular morada: Acorona = Acircunferencia grande − Acircunferencia pequeña = 3,14 ⋅ (62 − 52) = 3,14 ⋅ 11 = 34,54 cm2

❚❚ Corona circular rosa claro: Acorona = Acircunferencia grande − Acircunferencia pequeña = 3,14 ⋅ (62 − 42) = 3,14 ⋅ 20 = 62,8 cm2

❚❚ Corona circular rosa oscuro: Acorona = Acircunferencia grande − Acircunferencia pequeña = 3,14 ⋅ (62 − 22) = 3,14 ⋅ 32 = 100,48 cm2

36 Alrededor de una fuente se quiere plantar un camino de césped de 2 m de ancho. Si la fuente tiene un diámetro de 12 m, ¿cuántos metros cuadrados de césped se tienen que plantar?

Los metros cuadrados de césped que se tienen que plantar son los de una corona circular de radios 14 m y 12 m.

Acorona = 3,14 ⋅ (142 − 122) = 3,14 ⋅ (196 − 144) = 3,14 ⋅ 52 = 163,28 m2

Se tienen que plantar 163,28 m2 de césped.37 Calcula el área de un semicírculo cuyo diámetro mide 24 cm.

Calculamos el área del círculo completo y lo dividimos por dos.

24 : 2 = 12; Acírculo = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 122 = 452,16 cm2

Asemicirculo = Acírculo : 2 = 452,16 : 2 = 226,08 cm2

38 El área de un círculo es de 78,5 cm2. ¿Cuál es su diámetro?

A = p ⋅ r2 → 78,5 = 3,14 ⋅ r2 → r2 = 78,5 : 3,14 = 25 → r = 5 cm → d = 5 ⋅ 2 = 10 cm Su diámetro es de 10 cm.39 Calcula el área de un círculo circunscrito en un cuadrado de 12 cm de lado.

El diámetro del círculo coincide con la diagonal del cuadrado, d.

Calculamos el radio del círculo aplicando el teorema de Pitágoras:

d2 = l2 + l2 = 122 + 122 → d2 = 144 +144 = 288 → d = 16,97 r = d : 2 → r = 16,97 : 2 = 8,49 cm

Hallamos el área del círculo: A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 8,492 = 226,33 cm2

Desafío40 Para calcular el área de un círculo, necesitamos poder medir su radio o su diámetro.

Para ello, es preciso conocer el centro del círculo. Utiliza algún objeto para dibujar un círculo en tu cuaderno y localiza su centro empleando herramientas de dibujo.

Para localizar el centro de un círculo, dibujamos dos cuerdas y trazamos sus mediatri-ces. La intersección de estas es el centro del círculo.

•

•

•

•

•

383



6. Longitud y área de figuras circulares

253


252

Calcula la longitud de los siguientes arcos de circunferencia.a) Arco de 60º de amplitud y 10 cm de radio.b) Arco de 300º de amplitud y 4 cm de radio.c) Arco de 120º de amplitud y 6 cm de radio.d) Arco de 15º de amplitud y 12 cm de radio.

Utiliza la regla y el transportador de ángulos para calcular la longitud de este arco de circunferencia.

¿Cuánto mide el siguiente arco de circunferencia?

• 3 cm

60º

¿Cuál es el área de los sectores circulares propuestos?a) Sector de 45º de amplitud y 15 cm de radio. b) Sector de 100º de amplitud y 10 cm de radio.c) Sector de 180º de amplitud y 7 cm de radio.d) Sector de 135º de amplitud y 5 cm de radio.

Un trapecio circular es la zona delimitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. Calcula el área del siguiente trapecio circular.

•

12 cm

4 cm 110º

41

42

43

44

45

Calcula el área y la longitud de estas figuras.a) c)

2 cm

10 cm

b) d)

12 cm

4 cm

4 cm

46

6. LONGITUD Y ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

Patricia quiere saber qué distancia ha recorrido en un tiovivo desde que ve a Miguel hasta que puede ver a Juan.

Para ello, calcula la longitud del arco de circunferencia que tiene 175º de amplitud y cuyo radio mide 6 m.

La amplitud del arco y su longitud son directamente proporcionales.

Así, planteamos una proporción para calcular la longitud del arco.

Amplitud (º)

Longitud (m)

Circunferencia 360 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6

Arco 175 L

La longitud de un arco de circunferencia de radio r y amplitud nº es:

=Ln r2

360

π° ⋅ ⋅ ⋅

°

¿Cómo podemos calcular el área de un sector circular que tiene 25º de amplitud y 15 m de radio?

La amplitud del sector circular y su área son directamente proporcionales.

Planteamos, pues, una proporción para calcular el área del sector.

Amplitud (º)

Área (m2)

Círculo 360 3,14 ⋅ 152

Sector 25 A

El área de un sector circular de radio r y amplitud nº es:

An r

360

2

=π° ⋅ ⋅°

Aprenderás a… ● Calcular la longitud de un arco de circunferencia.

● Calcular el área de un sector circular.

● Calcular el área y la longitud de figuras circulares.

} Calcula el área y el perímetro de esta figura.

•

6 cm

SoluciónDescomponemos la figura en dos círculos, uno de 6 cm de radio y otro de 6 cm de diámetro.

• •6 cm 6 cm

Para calcular el área de la figura, hallamos el área del círculo grande y restamos el área del círculo pequeño.

A = 3,14 ⋅ 62 − 3,14 ⋅ 32 = 84,78 cm2

A continuación, calculamos el perímetro, determinando la longitud de círculo grande y sumando la longitud del círculo pequeño.

L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3 = 56,52 cm

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOCalcula el área sombreada. Ten en cuenta que el diámetro de cada circunferencia mide 4 cm.

47

360

175=

2 ⋅3,14 ⋅6

L

360

25=

3,14 ⋅152

A

= =⋅ ⋅

→ A25 3,14 15

36049,06 m

22

= =⋅ ⋅ ⋅

→ L175 2 3,14 6

36018,32 m

Soluciones de las actividades41 Calcula la longitud de los siguientes arcos de circunferencia.

a) Arco de 60º de amplitud y 10 cm de radio.

b) Arco de 300º de amplitud y 4 cm de radio.

c) Arco de 120º de amplitud y 6 cm de radio.

d) Arco de 15º de amplitud y 12 cm de radio.

a) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

60 ⋅2 ⋅3,14 ⋅10

360=

3 768

360= 10,47 cm

b) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

300 ⋅2 ⋅3,14 ⋅ 4

360=

7 536

360= 20,93 cm

c) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

120 ⋅2 ⋅3,14 ⋅6

360=

4 521,6

360= 12,56 cm

d) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

15 ⋅2 ⋅3,14 ⋅12

360=

1130,4

360= 3,14 cm


Antes de comenzar este epígrafe es conveniente recordar cuáles son los elementos de círculo y de la circunferencia así como el cálculo del área del círculo y la longitud de la circunferencia.

También conviene recordar cómo se plantean proporciones ya que se van a utilizar la calcular longitudes y áreas de al-gunas figuras circulares.

Se les puede decir a los alumnos que no es necesario apren-derse una nueva fórmula para la longitud de un arco o el área de un sector, tan solo tienen que aplicar una relación de proporcionalidad. En el caso del sector circular relacio-nándola con el área del círculo y en el caso del arco de circunferencia con la longitud de la circunferencia.



42 Utiliza la regla y el transportador de ángulos para calcular la longitud de este arco de circunferencia.

La amplitud del ángulo es 30º y la medida del radio es 3 cm.

L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

30 ⋅2 ⋅3,14 ⋅3

360=

565,2

360= 1,57 cm

43 ¿Cuánto mide el siguiente arco de circunferencia?

• 3 cm

60º

L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

60 ⋅2 ⋅3,14 ⋅3

360=

1130,4

360= 3,14 cm

44 ¿Cuál es el área de los sectores circulares propuestos?

a) Sector de 45º de amplitud y 15 cm de radio.

b) Sector de 100º de amplitud y 10 cm de radio.

c) Sector de 180º de amplitud y 7 cm de radio.

d) Sector de 135º de amplitud y 5 cm de radio.

a) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

45 ⋅3,14 ⋅152

360=

31792,5

360= 88,31 cm2

b) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

100 ⋅3,14 ⋅102

360=

31400

360= 87,22 cm2

c) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

180 ⋅3,14 ⋅72

360=

27 694,8

360= 76,93 cm2

d) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

135 ⋅3,14 ⋅52

360=

10 597,5

360= 29,44 cm2

45 Un trapecio circular es la zona delimitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. Calcula el área del siguiente trapecio circular.

•

12 cm

4 cm 110º

Calculamos el área del sector circular grande y le restamos el área del sector circular pequeño.

Afigura = Asector circular grande − Asector circular pequeño

Asector circular grande = nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

110 ⋅3,14 ⋅122

360=

49 737,6

360= 138,16 cm2

Asector circular grande = nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

110 ⋅3,14 ⋅ 42

360=

5 526,4

360= 15,35 cm2

Afigura = 138,16 − 15,35 = 122,8 cm2

El área del trapecio circular es 122,81 cm2.

385



46 Calcula el área y la longitud de estas figuras.

a) b) c) d)

2 cm

12 cm 10 cm

4 cm

4 cm

a) La figura es media corona circular.

Afigura = Acorona : 2

Calculamos el área de la corona circular.

Acorona = Acircunferencia grande − Acircunferencia pequeña

Acircunferencia grande = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

Acircunferencia pequeña = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 12 = 3,14 cm2

Acorona = 78,5 − 3,14 = 75,36 cm2

Por tanto, el área de la figura es:

Afigura = Acorona : 2 = 75,36 : 2 = 37,68 cm2

L = 3,14 ⋅ (5 + 1) + 2 ⋅ 3,14 ⋅ (3 + 2) + 8 = 58,14 cm

b) Moviendo los semicírculos se completa un cuadrado de lado 12 cm.

A = l ⋅ l = 122 = 144 cm2

L = 4 ⋅ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 = 150,72 cm

c) Hay que calcular el área de un cuarto de círculo de 10 cm de radio y restarle el área de un semicírculo de 10 cm de diámetro.

A =3,14 ⋅102

4−

3,14 ⋅52

2=

314

4−

78,5

2= 78,5− 39,25 = 39,25 cm2

L = 10 +1

2⋅2 ⋅3,14 ⋅5 +

1

4⋅2 ⋅3,14 ⋅10 = 324 cm

d) La figura coloreada es un semicírculo de radio 8 cm.

A =3,14 ⋅82

2=

200,96

2= 100,48 cm2

L =1

2⋅2 ⋅3,14 ⋅8 + 2 ⋅3,14 ⋅ 4 + 16 = 66,24 cm

Desafío47 Calcula el área sombreada. Ten en cuenta que el diámetro de cada circunferencia mide 4 cm.

Como el triángulo es equilátero, cada sector circular tiene una amplitud de 60º. Los tres sectores forman un semicírculo de 4 cm de radio. Este semicírculo más los otros tres que se ven en la figura, forman dos círculos de radio 4 cm.

A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 42 = 100,48 cm2



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades48 Marcos es un enamorado de la pizza y ha leído este artículo.

El secreto de la verdadera pizzaConoce cómo ha de cocinarse este plato y qué ingredientes tiene que llevar para que sea delicioso. Puede que la pizza se haya convertido en la comida más exportada y globalizada del mundo. Fueron los primeros inmigrantes italianos en Estados Unidos, Venezuela y Argentina de principios y mediados del siglo xx los que, con mucha morriña, no podían pensar en una vida sin la base de su alimentación. Y fue así como la pizza llegó a todo el mundo, por la nostalgia, por la sencillez de cocinarla y la facilidad de consumirla. Gusta a todos. […] Conocer las cantidades precisas es tan básico como tener un buen brazo para amasar la base. […] Un chef de un restaurante madrileño […], establece las siguientes dosis para cuatro pizzas de 30 cm de diámetro: 20 g de sal, 1 kg de harina, 25 g de levadura de pana-dería, 600 ml de agua y 6 cucharadas de aceite de oliva virgen extra. Fuente: abc.es

a) ¿Qué superficie tienen las cuatro pizzas de la noticia?

b) Marcos quiere realizar una sola pizza y se pregunta qué tamaño debe tener para poder mantener las mismas dosis que aconseja el artículo. Ayúdale a calcularlo.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se les plantea alguna situación que pueden encontrarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia. Para llegar a la solución del problema pro-puesto deben seguir los estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para resolver la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo afrontar problemas en los que intervienen circunfe-rencias y círculos para conseguir que sean capaces de ma-nejarlos a la hora de resolver problemas cotidianos.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

12 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

254 255

12Actividades

El misterio de la laguna que desapareció en Bosnia

Los vecinos de Sanica, una remota localidad del departamento de Kljuc, en Bosnia, tratan de buscar explicaciones a la misteriosa desaparición de una laguna de 20 m de diámetro y unos 8 m de profundidad.

En el lugar en el que estaba la laguna, rica en peces, hay ahora un enorme agujero de 50 m de diámetro y 30 m de profundidad, que va creciendo.

Según los habitantes de la zona, el fenómeno sucedió de un día para otro.

Los peces empezaron a saltar y el agua desapareció, tragándose incluso a algunos árboles cercanos.

Los científicos aseguran que se trata de un fenómeno natural debido a que la zona donde ocurrió es cárstica, con formaciones producidas por la acción erosiva o disolvente del agua y que el fenómeno pudo producirse por las corrientes de agua subterránea.

Otra teoría más popular —y que los expertos rechazan— es que un pez podría haber accionado una de las bombas alemanas de la Segunda Guerra Mundial que una anciana arrojó al lago.

Fuente: bbc.com

Míriam ha leído esta información y le parece increíble que la laguna haya podido desvanecerse.

Piensa que la superficie de tierra que ha desaparecido alrededor de la laguna es mucho mayor que la superficie que ocupa la propia laguna.

¿Es cierto que ha desaparecido mucha más superficie de tierra que de agua?

Analiza la pregunta

¿Es cierto que ha desaparecido mucha más superficie de tierra que de agua?

Hay que elegir una unidad de medida de superficie, por ejemplo el metro cuadrado; identificar qué figura plana forman el agua y la parte de tierra desaparecidas y calcular la superficie de ambas.

Busca los datos

Agua: […] desaparición de una laguna de 20 m de diámetro.

Tierra: En el lugar en el que estaba la laguna […] hay ahora un enorme agujero de 50 m de diámetro.

20 m

50 m

Agua: cÍrculo de radio 10 m.

Tierra: corona circular de 25 m y 10 m de radio, respectivamente.

Utiliza las matemáticas

❚ Agua:

• 10 m

A = 3,14 ⋅ 102 = 628 m2

❚ Tierra:

•10 m

25 m

A = 3,14 ⋅ 252 − 3,14 ⋅ 102 = 1 648,6 m2

Por consiguiente, ha desaparecido mucha más tierra que agua (más del doble).

Marcos es un enamorado de la pizza y ha leído este artículo.

48 Lee la siguiente noticia y responde.49

a) ¿Qué superficie tienen las cuatro pizzas de la noticia?

b) Marcos quiere realizar una sola pizza y se pregunta qué tamaño debe tener para poder mantener las mismas dosis que aconseja el artículo. Ayúdale a calcularlo.

El secreto de la verdadera pizza

Conoce cómo ha de cocinarse este plato y qué ingredientes tiene que llevar para que sea delicioso.

Puede que la pizza se haya convertido en la comida más exportada y globalizada del mundo. Fueron los primeros inmigrantes italianos en Estados Unidos, Venezuela y Argentina de principios y mediados del siglo XX los que, con mucha morriña, no podían pensar en una vida sin la base de su alimentación. Y fue así como la pizza llegó a todo el mundo, por la nostalgia, por la sencillez de cocinarla y la facilidad de consumirla. Gusta a todos.

[…]

Conocer las cantidades precisas es tan básico como tener un buen brazo para amasar la base. […] Un chef de un restaurante madrileño […], establece las siguientes dosis para cuatro pizzas de 30 cm de diámetro: 20 g de sal, 1 kg de harina, 25 g de levadura de panadería, 600 ml de agua y seis cucharadas de aceite de oliva virgen extra.

Fuente: abc.es

a) ¿Cuántos metros recorres si rodeas la sartén?

b) Si Marta y Yamil se comieron uno de los trozos de tortilla, ¿qué superficie, en centímetros cuadrados, le tocó a cada uno?

Vitoria entra en el Guinness con una tortilla de patata descomunal

El récord se ha batido con una sartén de 5 m de diámetro, 840 kg de huevos, 1 600 kg de patatas, 30 kg de cebollas, 10 kg de sal y 150 L de aceite de oliva.

Habrá que esperar unos meses para que los jueces del Guinness certifiquen esta hazaña gastronómica que ya este sábado saborearán más de 10 000 personas.

Fuente: elperiodico.com

Mario trabajó en las emergencias de este siniestro.50

El equipo de emergencia decidió acordonar el agujero dejando 2 m de margen al borde del agujero. ¿Cuántos metros de valla necesitó?

Un agujero de 60 metros se traga tres edificios en Guatemala

El gobierno de Guatemala ha colgado en su página de Flickr esta impresionante imagen en la que se aprecia el agujero circular y de sesenta metros de profundidad que se abrió repentinamente en un barrio de la capital del país, apenas unas horas después del paso de la tormenta tropical Agatha.

El agujero, de unos 30 m de diámetro, se tragó literalmente tres casas y arrastró a las profundidades al menos a dos personas. Una tercera ha desaparecido y los evacuados se cuentan por centenares en la zona.

Fuente: abc.es

Cambia solo una de las expresiones subrayadas y completa estas oraciones en tu cuaderno, para que sean correctas.a) El área de una circunferencia de radio … es … centímetros.b) La longitud de un círculo de radio … es … centímetros.c) La longitud de un círculo de radio … es … centímetros cuadrados.

51

387



a) Cada pizza tiene mide 30 cm de diámetro → r = 15 cm

A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 152 = 706,5 cm2

4 ⋅ 706,5 cm2 = 2 826 cm2 Las cuatro pizzas tienen una superficie de 2 826 cm2.

b) Hay que calcular el radio de un círculo de área 2 826 cm2.

A = p ⋅ r2 → 2 826 = 3,14 ⋅ r2 → r2 = 2 826 : 3,14 = 900 → r = 30 cm

La pizza de Marcos tiene que tener 30 cm de radio.49 Lee la siguiente noticia y responde.

Vitoria entra en el Guinness con una tortilla de patata descomunal El récord se ha batido con una sartén de 5 m de diámetro, 840 kg de huevos, 1 600 kg de patatas, 30 kg de cebollas, 10 kg de sal y 150 L de aceite de oliva. Habrá que esperar unos meses para que los jueces del Guinness certifiquen esta hazaña gastronómica que ya este sábado saborearán más de 10 000 personas.

Fuente: elperiodico.com

a) ¿Cuántos metros recorres si rodeas la sartén?

b) Si Marta y Yamil se comieron uno de los trozos de tortilla, ¿qué superficie, en centímetros cuadrados, le tocó a cada uno?

a) La sartén tiene 5 m de diámetro. Hallamos la longitud de la circunferencia: L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 5 = 15,7 m

b) Hallamos la superficie de la tortilla: A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 2,52 = 19,625 m2 = 196 250 cm2

Dividimos la superficie entre los 10 000 asistentes: 196 250 : 10 000 = 19,625

A cada uno le toca 19,625 cm2.50 Mario trabajó en las emergencias de este siniestro.

Un agujero de 60 metros se traga tres edificios en GuatemalaEl gobierno de Guatemala ha colgado en su página de Flickr esta impresionante imagen en la que se aprecia el agujero circular de 60 m de profundidad que se abrió repentinamente en un barrio de la capital del país, apenas unas horas después del paso de la tormenta tropical Agatha.El agujero, de unos 30 m de diámetro, se tragó literalmente tres casas y arrastró a las profundidades al menos a dos personas. Una tercera ha desaparecido y los evacuados se cuentan por centenares en la zona.

Fuente: abc.es

El equipo de emergencia decidió acordonar el agujero dejando 2 m de margen al borde del agujero. ¿Cuántos metros de valla necesitó?

El agujero tiene 30 m de diámetro, es decir, de 15 m de radio. Como hay que dejar un margen de 2 m, tenemos que calcular la longitud de una circunferencia de 17 m de radio: L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 17 = 106,76 m

Necesitó 106,76 m de valla.51 Cambia solo una de las expresiones subrayadas y completa estas oraciones en tu cuaderno, para que sean correctas.

a) El área de una circunferencia de radio ... es ... centímetros.

b) La longitud de un círculo de radio ... es ... centímetros.

c) La longitud de un círculo de radio ... es ... centímetros cuadrados.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) La longitud de una circunferencia de radio 2 cm es 12,56 centímetros.

b) La longitud de una circunferencia de radio 3 cm es 18,84 centímetros.

c) El área de un círculo de radio 4 cm es 50,24 centímetros cuadrados.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Hallar la medida de ángulos centrales y ángulos inscritos de una circunferencia.

❚❚ Identificar las posiciones relativas de un punto, una recta y una circunferencia respecto de una circunferencia.

❚❚ Calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo.

❚❚ Hallar la longitud de un arco y el área de un sector.

Actividades finalesSoluciones de las actividades52 ¿Cuánto mide el radio de un círculo que tiene un diámetro de 7 cm?

r = d : 2 = 7 : 2 = 3,5 cm

El radio mide 3,5 cm.53 ¿Cuál es la mayor distancia entre dos de los puntos de una circunferencia de 4,2 cm de radio?

La mayor distancia es la de dos puntos que se encuentran sobre un diámetro.

d = 2 ⋅ r = 2 ⋅ 4,2 = 8,4 cm

La mayor distancia es de 8,4 cm.54 Una circunferencia tiene 5,8 cm de diámetro. ¿Cuál es la distancia de cualquiera de sus puntos al centro?

La distancia al centro es la mitad del diámetro, es decir: 5,8 : 2 = 2,9 cm

¿Qué tienes que saber?

256 257

¿QUÉ12 tienes que saber? Actividades Finales 12

Halla la medida de los ángulos desconocidos en estas circunferencias.

a) b)

•

A

40º

•B

30º

a) = = °A40

220 b) B = 2 ⋅ 30 = 60°

Ángulos centrales y ángulos inscritosTen en cuenta

❚ Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

❚ Ángulo inscrito: tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y los lados son dos cuerdas.

❚ La medida de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente.

Identifi ca la posición relativa de los siguientes elementos geométricos.

a) b) c)

•

a) El punto está sobre la circunferencia.

b) La recta es tangente a la circunferencia.

c) Las dos circunferencias son tangentes interiores.

Posiciones relativasTen en cuenta ❚ Circunferencia y punto: punto exterior a la circunferencia, situado sobre ella o interior.

❚ Circunferencia y recta: exterior, tangente o secante a la circunferencia.

❚ Circunferencia y circunferencia: secantes, tangentes interiores o exteriores, o interiores o exteriores.

Calcula la longitud de una circunferencia de 4,7 cm de radio y el área de un círculo de 12,4 cm de diámetro.

❚ Longitud de la circunferencia:

L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4,3 = 25,52 cm

❚ Área del círculo:

A = 3,14 ⋅12,4

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 3,14 ⋅6,22 = 120,70 cm2

Longitud de una circunferencia y área de un círculoTen en cuenta ❚ Longitud de una circunferencia

L = d ⋅ π = 2 ⋅ π ⋅ r

❚ Área de un círculo

A = π ⋅ r2

Calcula la longitud de un arco que tiene una amplitud de 80º y un radio de 2 cm. Halla luego el área de un sector de 10º de amplitud y 5 cm de radio.

❚ Longitud del arco:

= =L80 2 3,14 2

3602,79 cm

⋅ ⋅ ⋅

❚ Área del sector:

= =A10 3,14 5

3602,18 cm

22⋅ ⋅

Longitud de un arco y área de un sectorTen en cuenta ❚ Longitud de un arco

Ln r2

360=

π° ⋅ ⋅ ⋅

°

❚ Área de un sector

An r

360

2

=π° ⋅ ⋅°

Circunferencia y círculo

¿Cuánto mide el radio de un círculo que tiene un diámetro de 7 cm?

¿Cuál es la mayor distancia entre dos de los puntos de una circunferencia de 4,2 cm de radio?

Una circunferencia tiene 5,8 cm de diámetro. ¿Cuál es la distancia de cualquiera de sus puntos al centro?

Indica el nombre de los elementos destacados en azul en estas figuras.

•

•

•

•

• ••

• •

••

Dibuja en tu cuaderno un segmento circular cuya cuerda sea un diámetro. ¿Qué nombre recibe esta figura?

Ángulos en una circunferencia

En tu cuaderno, traza una circunferencia de 3 cm de radio y dibuja en ella los siguientes ángulos.

a) Un ángulo central de 60º de amplitud.

b) Un ángulo inscrito de 45º de amplitud.

c) Un ángulo inscrito de 30º de amplitud.

d) Un ángulo central de 70º de amplitud.

Dibuja en una circunferencia los ángulos inscritos que abarcan arcos con las siguientes amplitudes.

a) 40º b) 120º

Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.

Arco Ángulo central Ángulo inscrito

53º O O

O 21º O

O O 52º

Si un ángulo central de una circunferencia tiene una amplitud de 45º, ¿cuál será la amplitud del ángulo inscrito correspondiente? Explica por qué.

Determina el valor de un ángulo central de una circunferencia y del ángulo inscrito correspondiente. Realiza un dibujo de cada uno.

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

Halla la amplitud del ángulo desconocido.

•

•

•

•

130º

70º

20º240º

Calcula el valor del ángulo inscrito desconocido.

•

40º

En un hexágono regular, ¿cuánto mide el ángulo que forman dos diagonales de vértices consecutivos?

Alberto, María y Javier están en una plaza circular con 10 columnas en su perímetro. Cada uno se coloca en una de las columnas de la plaza como muestra la figura.

¿Qué ángulo forma la visual de Alberto a Javier y la visual de Alberto a María?

62

63

64

65

389



55 Indica el nombre de los elementos destacados en azul en estas figuras.

•

•

•

•

• ••

• •

••

•

•

•

•

• ••

• •

••

•

•

•

•

• ••

• •

••

56 Dibuja en tu cuaderno un segmento circular cuya cuerda sea un diámetro. ¿Qué nombre recibe esta figura?

Comprobar que los alumnos dibujan un semicírculo.57 En tu cuaderno, traza una circunferencia de 3 cm de radio y dibuja en ella los siguiente ángulos.

a) Un ángulo central de 60º de amplitud. c) Un ángulo inscrito de 30º de amplitud.

b) Un ángulo inscrito de 45º de amplitud. d) Un ángulo central de 70º de amplitud.

Comprobar que los alumnos dibujan una circunferencia de 3 cm de radio.

a) c)

•

••60º

•

•

•

30º

b) d)

•

•

•45º

••

•

70º

58 Dibuja en una circunferencia los ángulos inscritos que abarcan arcos con las siguientes amplitudes.

a) 40º b) 120º

a) b)

•

•

•

•

40º

•

•

•

•

120º

59 Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.

Arco Ángulo central Ángulo inscrito Arco Ángulo central Ángulo inscrito

53º O O 53º 53º 26,5º

O 21º O 21º 21º 10,5º

O O 52º 104º 104º 52º

60 Si un ángulo central de una circunferencia tiene una amplitud de 45 º, ¿cuál será la amplitud del ángulo inscrito corres-pondiente? Explica por qué.

La amplitud del ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente. Como el ángulo central mide 45º, el ángulo inscrito tiene una amplitud de 45º : 2 = 22,5º.

sector circular

diámetro

arco

radio

cuerdasemicírculo



61 Determina el valor de un ángulo central de una circunferencia y del ángulo inscrito correspondiente. Realiza un dibujo de cada uno.

Comprobar que los alumnos determinan un ángulo central cualquiera, saben que la amplitud de su ángulo inscrito es la mitad y dibujan correctamente el ángulo central que han elegido y su inscrito correspondiente.

62 Halla la amplitud del ángulo desconocido.

•

•

•

•

130º

70º

20º240º

•

•

•

•

130º

70º

20º240º

De izquierda a derecha:

A =130°

2= 65° B = 70° C =

240°

2= 120° D = 20°

63 Calcula el valor del ángulo inscrito desconocido.

•

40º

La amplitud del ángulo central correspondiente al ángulo inscrito de 40º es:

40º ⋅ 2 = 80º

El ángulo central opuesto mide 360º − 80º = 280º y la amplitud del inscrito correspondiente es:

280º : 2 = 140º

El valor del ángulo desconocido mide 140º.

64 En un hexágono regular, ¿cuánto mide el ángulo que forman dos diagonales de vértices consecutivos?

•

•

•

• •

•

•

60º

30º

El hexágono regular se descompone en 6 triángulos equiláteros.

Cada ángulo del triángulo equilátero tiene una amplitud de 60º.

El ángulo inscrito correspondiente mide 60º : 2 = 30º.

Luego el ángulo que forman dos diagonales de vértices consecutivos mide 30º.

65 Alberto, María y Javier están en una plaza circular con 10 columnas en su perímetro. Cada uno se coloca en una de las columnas de la plaza como muestra la figura.

¿Qué ángulo forma la visual de Alberto a Javier y la visual de Alberto a María?

El ángulo central que se forma entre dos columnas consecutivas mide 360º : 10 = 36º.

El ángulo central del arco de la figura mide 3 ⋅ 36º = 108º, y el inscrito, 108º : 2 = 54º.

El ángulo formado tiene una amplitud de 54º.

391



66 Copia y completa estas frases para que sean verdaderas.

a) En una circunferencia de 3 cm de radio, un punto que está a § cm del centro es interior.

b) En una circunferencia cuyo diámetro mide 10 cm, un punto que está a § cm del centro está sobre la circunferencia.

c) Un punto exterior a una circunferencia de 6 cm de radio está a § cm del centro.

a) Respuesta abierta, por ejemplo:

En una circunferencia de 3 cm de radio, un punto que está a 2 cm del centro es interior.

b) En una circunferencia cuyo diámetro mide 10 cm, un punto que está a 5 cm del centro está sobre la circunferencia.

c) Respuesta abierta, por ejemplo:

Un punto exterior a una circunferencia de 6 cm de radio puede estar a 7 cm del centro.67 Indica la posición relativa de cada recta respecto a la circunferencia del dibujo.

•

a

b

c

d

a → tangente a la circunferencia

b y c → secantes a la circunferencia

d → exterior a la circunferencia

259

Actividades Finales 12

258


Raúl ha comprado una pizza con un diámetro de 52 cm. Si la van a repartir entre 6 amigos, ¿qué superficie comerá cada uno?

Sara se está preparando para una carrera. Cada día da 17 vueltas a la plaza de su pueblo, que tiene un radio de 22 m. Si entrena todos los días de la semana, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en 4 semanas de entrenamiento?

Copia y completa la siguiente tabla.

Radio Longitud de la circunferencia Área del círculo

O O 50,24 cm2

O 119,32 cm O

O O 254,34 cm2

O 69,08 cm O

Xoan y Lucía quieren construir una diana sobre una madera circular de 25 cm de radio. Empiezan pintando de rojo un pequeño círculo que tiene 5 cm de radio y van alternando el rojo y el blanco en franjas de 5 cm de ancho. ¿Cuántos centímetros cuadrados pintarán de cada color?

Calcula la superficie de un camino de 2,3 m de ancho, que rodea un campo circular de 25,4 m de radio.

Un estanque circular está rodeado por césped. El jardinero ha plantado 37,68 m2 y la longitud de la circunferencia que forma el exterior del camino mide de 25,12 m. ¿Cuál es la superficie del estanque?

Longitud y área de figuras circulares

Halla la longitud de estos arcos.a) Arco de 220º de amplitud y 3 cm de radio.b) Arco de 30º de amplitud y 2 cm de diámetro.c) Arco de 20º de amplitud y 16 cm de radio.d) Arco de 115º de amplitud y 8 cm de diámetro.

75

76

77

78

79

80

81

Posiciones relativas

Copia y completa estas frases para que sean verdaderas.a) En una circunferencia de 3 cm de radio, un

punto que está a § cm del centro es interior.b) En una circunferencia cuyo diámetro mide

10 cm, un punto que está a § cm del centro está sobre la circunferencia.

c) Un punto exterior a una circunferencia de 6 cm de radio puede estar a § cm del centro.

Indica la posición relativa de cada recta respecto a la circunferencia del dibujo.

•

a

b

c

d

En la siguiente figura se ha dibujado una circunferencia y tres rectas: una secante, una tangente y otra exterior a la circunferencia.

•

••

•

A

B

C

Si r es el radio de la circunferencia, copia y completa con el signo adecuado estas expresiones. ❚ d(OA) § r ❚ d(OB) § r ❚ d(OC) § r

Indica un ejemplo de cada una de las cinco posibles posiciones relativas entre dos circunferencias.

•

•••

•

A

BC

D

E

66

67

68

69

Calcula el área de los sectores circulares.

a) Sector de 10º de amplitud y 5 cm de diámetro.



d) Sector de 300º de amplitud y 2 cm de diámetro.

Halla el área de un sector circular de 5 cm de radio y cuya amplitud es un cuarto de la amplitud de la circunferencia total.

Halla el diámetro de un círculo que tiene un sector de 120º que mide 37,68 cm2.

Calcula el radio de una circunferencia si uno de sus arcos tiene 30º y mide 6,28 cm.

Desde una torre de observación, Paloma tiene un ángulo de visión de 120º. Si con unos prismáticos puede alcanzar a ver hasta una distancia de 4,2 km, ¿qué superficie puede divisar desde la torre?

Calcula el perímetro de la línea de color.

12 cm 6 cm 3 cm 1,5

cm

¿Cuál es el área de esta figura?

10 cm

Halla el área y la longitud de estas figuras.

a) b)

8 cm

82

83

84

85

86

87

88

89

Observa la figura y completa la tabla en tu cuaderno.

•

•

A C1

C2

C3

s

rB

Posición relativa

A C2 O

B C1 O

r C1 O

s C2 O

C1 C2 O

C1 C3 O

Longitud de una circunferencia y área de un círculo

Calcula la longitud de estas circunferencias.a) Radio: 6 cmb) Diámetro: 6 cmc) Diámetro: 8 cmd) Radio: 8 cm

Halla el área de los siguientes círculos. a) Radio: 10 cm c) Diámetro: 18 cmb) Diámetro: 10 cm d) Radio: 18 cm

Copia y completa la tabla en tu cuaderno.

Radio DiámetroLongitud

de la circunferencia

Área del círculo

3,2 cm O O O

O 12,2 cm O O

6,7 cm O O O

O 4,1 cm O O

Utiliza una regla para medir y calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo de la figura.

70

71

72

73

74

12 cm



68 En la siguiente figura se ha dibujado una circunferencia y tres rec-tas: una secante, una tangente y otra exterior a la circunferencia. Si r es el radio de la circunferencia, copia y completa con el signo adecuado estas expresiones.

❚❚ d(OA) § r ❚❚ d(OB) § r ❚❚ d(OC) § r

❚❚ d(OA) = r ❚❚ d(OB) > r ❚❚ d(OC) < r

69 Indica un ejemplo de cada una de las cinco posibles posiciones relativas entre dos circunferencias.

•

•••

•

A

BC

D

E

Secantes → E y C

Tangentes interiores → A y D

Tangentes exteriores → D y E

Exteriores → Respuesta abierta, por ejemplo: A y C

Interiores → B y C

70 Observa la figura y completa la tabla en tu cuaderno.

•

•

A C1

C2

C3

s

rB

Posición relativa

A C2 O

B C1 O

r C1 O

s C2 O

C1 C2 O

C1 C3 O

Posición relativa

A C2 Exterior

B C1 En la circunferencia

r C1 Tangente

s C2 Exterior

C1 C2 Secantes

C1 C3 Tangentes exteriores

71 Calcula la longitud de estas circunferencias.

a) Radio: 6 cm b) Diámetro: 6 cm c) Diámetro: 8 cm d) Radio: 8 cm

a) L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 = 37,68 cm

b) L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 6 = 18,84 cm

c) L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 8 = 25,12 cm

d) L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 = 50,24 cm72 Halla el área de los siguientes círculos.

a) Radio: 10 cm b) Diámetro: 10 cm c) Diámetro: 18 cm d) Radio: 18 cm

a) A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 102 = 314 cm2

b) 10 cm : 2 = 5 cm; A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

c) 18 cm : 2 = 9 cm; A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 92 = 254,34 cm2

d) A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 182 = 1 017,36 cm2

•

••

•

A

B

C

393



73 Copia y completa la tabla en tu cuaderno.

Radio DiámetroLongitud

de la circunferencia

Área del círculo Radio Diámetro

Longitud de la

circunferencia

Área del círculo

3,2 cm O O O 3,2 cm 6,4 cm 20,096 cm 32,15 cm2

O 12,2 cm O O 6,1 cm 12,2 cm 38,308 cm 116,84 cm2

6,7 cm O O O 6,7 cm 13,4 cm 42,076 cm 140,95 cm2

O 4,1 cm O O 2,05 cm 4,1 cm 12,874 cm 13,20 cm2

74 Utiliza una regla para medir y calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo de la figura.

d = 3 cm → r = 1,5 cm

L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,5 = 9,42 cm

A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 1,52 = 7,065 cm2

75 Raúl ha comprado una pizza con un diámetro de 52 cm. Si la van a repartir entre 6 amigos, ¿qué superficie comerá cada uno?

Calculamos la superficie de la pizza:

d = 52 cm → r = 26 cm

A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 262 = 2 122,64 cm2

Dividimos la superficie entre los 6 amigos:

2 122,64 : 6 = 353,77 cm2

Cada uno comerá 353,77 cm2

76 Sara se está preparando para una carrera. Cada día da 17 vueltas a la plaza de su pueblo, que tiene un radio de 22 m. Si entrena todos los días de la semana, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en 4 semanas de entrenamiento?

Calculamos los metros que recorre en una vuelta:

L = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 22 = 138,16 m

Hallamos los metros que recorre cada día:

138,16 ⋅ 17 = 2 348,72 m

Calculamos los kilómetros recorridos en 4 semanas:

4 semanas = 28 días

2 348,72 ⋅ 28 = 65 764,16 m = 65,9736 km

En 4 semanas de entrenamiento habrá recorrido 65,9736 km.77 Copia y completa la siguiente tabla.


O O 50,24 cm2

O 119,32 cm O

O O 254,34 cm2

O 69,08 cm O


50,24 = 3,14 ⋅ r2 → r = 4 cm L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12 cm 50,24 cm2

119,32 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → r = 19 cm 119,32 cm A = 3,14 ⋅ 192 = 1 133,54 cm2

254,34 = 3,14 ⋅ r2 → r = 9 cm L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 = 56,52 cm 254,34 cm2

69,08 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → r = 11 cm 69,08 cm A = 3,14 ⋅ 112 = 379,94 cm2



78 Xoan y Lucía quieren construir una diana sobre una madera circular de 25 cm de radio. Empiezan pintando de rojo un pequeño círculo que tiene 5 cm de radio y van alternando el rojo y el blanco en franjas de 5 cm de ancho. ¿Cuántos centímetros cuadrados pintarán de cada color?

Hallamos el área de la zona roja esto es, un circulo de 5 cm de radio y dos coronas circulares de radios 10 cm y 15 cm, y 20 cm y 25 cm:

Arojo = 3,14 ⋅ 52 + 3,14 ⋅ (152 − 102) + 3,14 ⋅ (252 − 202) = 78,5 + 3,14 ⋅ 125 + 3,14 ⋅ 225 = 78,5 + 392,5 + 706,5 = 1 177,5 cm2

Hallamos el área de la zona blanca esto es, dos coronas circulares de radios 5 cm y 10 cm, 15 cm y 20 cm:

Ablanco = 3,14 ⋅ (102 − 52) + 3,14 ⋅ (202 − 152) = 3,14 ⋅ 75 + 3,14 ⋅ 175 = 235,5 + 549,5 = 785 cm2

Pintarán 1 177,5 cm2 de color rojo y 785 cm2 de color blanco.79 Calcula la superficie de un camino de 2,3 m de ancho que rodea un campo circular de 25,4 m de radio.

Calculamos el área de una corona circular de radios 25,4 m y 25,4 + 2,3 = 27,7 cm:

A = 3,14 ⋅ (27,72 − 25,42) = 3,14 ⋅ (767,29 − 645,16) = 3,14 ⋅ 122,13 = 383,49 cm2

El área del camino es de 383,49 cm2.80 Un estanque circular está rodeado por césped. El jardinero ha plantado 37,68 m2 y la longitud de la circunferencia que

forma el exterior del camino mide de 25,12 m. ¿Cuál es la superficie del estanque?

Hallamos el radio de la circunferencia exterior sabiendo que su longitud es 25,12 m:

L = 2 ⋅ p ⋅ r → 25,12 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r → r = 25,12 : 6,28 = 4 m

Calculamos el radio de la circunferencia interior, es decir, del estanque, sabiendo que el área de la corona circular es 37,68 m2:

37,68 = 3,14 ⋅ (42 − s2) → 37,68 = 50,24 − 3,14s2 → 3,14s2 = 50,24 − 37,68 → 3,14s2 = 12,56 → s2 = 4 → s = 2

Hallamos el área del estanque:

A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 22 = 12,56 m2

La superficie del estanque mide 12,56 m2.81 Halla la longitud de estos arcos.

a) Arco de 220º de amplitud y 3 cm de radio.

b) Arco de 30º de amplitud y 2 cm de diámetro.

c) Arco de 20º de amplitud y 16 cm de radio.

d) Arco de 115º de amplitud y 8 cm de diámetro.

a) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

220 ⋅2 ⋅3,14 ⋅3

360=

4 144,8

360= 11,51 cm

b) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

30 ⋅2 ⋅3,14 ⋅1

360=

188,4

360= 0,52 cm

c) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

20 ⋅2 ⋅3,14 ⋅16

360=

2 009,6

360= 5,58 cm

d) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

115 ⋅2 ⋅3,14 ⋅ 4

360=

2 888,8

360= 8,02 cm

395



82 Calcula el área de los sectores circulares.

a) Sector de 10º de amplitud y 5 cm de diámetro.



d) Sector de 300º de amplitud y 2 cm de diámetro.

a) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

10 ⋅3,14 ⋅2,52

360=

196,25

360= 0,55 cm2

b) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

30 ⋅3,14 ⋅82

360=

6 028,8

360= 16,75 cm2

c) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

240 ⋅3,14 ⋅162

360=

192 921,16

360= 535,89 cm2

d) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

300 ⋅3,14 ⋅12

360=

942

360= 2,62 cm2

83 Halla el área de un sector circular de 5 cm de radio y cuya amplitud es un cuarto de la amplitud de la circunferencia total.

Un cuarto de la amplitud de la circunferencia son: 360º

4= 90º

A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

90 ⋅3,14 ⋅52

360=

7 065

360= 19,625 cm2

84 Halla el diámetro de un círculo que tiene un sector de 120º que mide 37,68 cm2.

A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º→ 37,68 =

120 ⋅3,14 ⋅ r2

360 → 13 564,8 = 376,8 ⋅ r2 → r2 = 36 → r = 6 cm → d = 12 cm

85 Calcula el radio de una circunferencia si uno de sus arcos tiene 30º y mide 6,28 cm.

L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º→ 6,28 =

30 ⋅2 ⋅3,14 ⋅ r

360 → 2 260,8 = 188,4 ⋅ r → r = 12 cm

86 Desde una torre de observación, Paloma tiene un ángulo de visión de 120º. Si con unos prismáticos puede alcanzar a ver hasta una distancia de 4,2 km, ¿qué superficie puede divisar desde la torre?

La superficie es la de un sector circular de amplitud 120º y radio 4,2 km.

A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

120 ⋅3,14 ⋅ 4,22

360=

6 646,752

360= 18,46 km2

Puede divisar una superficie de 18,46 km2.87 Calcula el perímetro de la línea de color.

12 cm 6 cm 3 cm 1,5

cm

La línea la forman cuatro semicircunferencias de diámetros 12 cm, 6 cm, 3 cm y 1,5 cm.

L = p ⋅ d

L = 3,14 ⋅ 12 + 3,14 ⋅ 6 + 3,14 ⋅ 3 + 3,14 ⋅ 1,5 == 3,14 ⋅ (12 + 6 + 3 + 1,5) = 6,28 ⋅ 22,5 = 141,3 cm

El perímetro es de 141,3 cm.



88 ¿Cuál es el área de esta figura?

10 cm

Hay que calcular el área de un semicírculo de 10 cm de diámetro.

Calculamos el área del círculo de 5 cm de radio:

A = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

El área de la figura es:

78,5 cm2 : 2 = 39,25 cm2

89 Halla el área y la longitud de estas figuras.

a) b)

8 cm 12 cm

a) Hallamos el área del cuadrado donde está inscrita la figura:

Acuadrado = l ⋅ l = 8 ⋅ 8 = 64 cm2

Hallamos el área del cuarto de círculo de radio 8 cm:

Acuarto de círculo = π ⋅ r2

4=

3,14 ⋅82

4=

200,96

4= 50,24 cm2

Restamos al área del cuadrado la del cuarto de círculo. Así conseguiremos el área de la una de las zonas blancas:

64 cm2 − 50,24 cm2 = 13,76 cm2

Restamos al área del cuarto de círculo el área de la zona blanca y obtenemos el área de la figura:

Afigura = 50,24 cm2 − 13,76 cm2 = 36,48 cm2

La longitud de la figura es la de un semicírculo de radio 8 cm:

L =2 ⋅ π ⋅8

2=

2 ⋅3,14 ⋅8

2=

50,24

2= 25,12 cm

b) El área de la figura es la suma del área de un semicírculo de 12 cm de diámetro (6 cm de radio) y de la de un cuarto de círculo de 12 cm de radio.

Asemicírculo = π ⋅ r2

2=

3,14 ⋅62

2=

113,04

2= 56,52 cm2

Acuarto de círculo = π ⋅ r2

4=

3,14 ⋅122

4=

452,16

4= 113,04 cm2

Afigura = 56,52 + 113,04 = 169,56 cm2

La longitud de la figura es la suma de la longitud de una semicircunferencia de diámetro 12 cm y de un cuarto de circunferencia de radio 12 cm.

L =3,14 ⋅d

2+

2 ⋅3,14 ⋅ r

4=

3,14 ⋅12

2+

2 ⋅3,14 ⋅12

4=

37,68

2+

75,36

4= 18,84 + 18,84 = 37,68 cm

397



Matemáticas vivas

Las ruedas de las mountain bikeSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se pre-senta una situación cotidiana, la medida en pulgadas de las ruedas de bicicleta, en la que intervienen las circunferencias y los círculos.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Piensa y razona, Utiliza las TIC o Argumenta.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos investigarán el significado de los números que aparecen en la cubierta de las ruedas de los coches.

Desde hace más de 30 años, todas las mountain bike se fabrican con ruedas de 26 pulgadas. Sin embargo, últimamente han aparecido en el mercado dos medidas más: las bicicletas con ruedas de 27,5 y 29 pulgadas.

Los tres tamaños de las ruedas se refieren a la rueda completa, es decir, la cubierta más la llanta.

En la fotografía podemos observar la diferencia de tamaños.

RELACIONA

Al pasar por un charco, se moja una parte de la rueda que después va dejando marcas en el camino cada cierta distancia.

a. Calcula la distancia de estos espacios con cada una de las ruedas.

PIENSA Y RAZONA

b. Halla el porcentaje en el que se incrementa la distancia recorrida al dar una vuelta con una rueda de 27,5 y de 29 pulgadas, en comparación con la tradicional de 26 pulgadas.

RESUELVE

3

COMPRENDE

Una pulgada equivale a 2,54 cm.

a. ¿Cuál es la altura de cada tipo de rueda en centímetros?

RESUELVE

b. ¿Cuánto mide el radio de cada rueda en centímetros?

Las ruedas de 26 pulgadas suelen incluir una cubierta que mide 2 pulgadas. Sin embargo, las de 27,5 y 29 pulgadas usan cubiertas de 2,25 pulgadas.

a. ¿Cuánto mide cualquier radio de una bicicleta de 26 pulgadas?

b. ¿Cuánto mide el diámetro de la llanta de una rueda de 27,5 pulgadas?

c. ¿Y en el caso de las de 29 pulgadas?

¿Y en el caso de las de 29 pulgadas?

PIENSA Y RAZONA

1

2

REFLEXIONA

El peso de la bicicleta es muy importante. Los fabricantes intentan hacer máquinas más ligeras, pues, cuanto menor sea el peso, mayor será la velocidad alcanzada por la bicicleta.

En general, una bicicleta con las ruedas más grandes necesita más material y pesa más. Para ver en cuánto se incrementa aproximadamente el peso de los distintos tipos de rueda, hacemos la siguiente representación plana de cada una de ellas.

En la zona blanca están los radios, mientras que la zona gris es la de la cubierta. Según esto, ¿qué porcentaje de zona de radios y de cubierta se incrementa en cada uno de estos casos?

a. Al pasar de una rueda de 26 pulgadas a una de 27,5 pulgadas.

b. Al pasar de una rueda de 27,5 pulgadas a una de 29 pulgadas.

c. Al pasar de una rueda de 26 pulgadas a una de 29 pulgadas.

Observa el siguiente gráfico y explica con cuál de las ruedas será más fácil pasar un bache en el camino.

ARGUMENTA

4

5

12Las ruedas de las mountain bike

UTILIZA LAS TIC

TRABAJO

COOPERATIVO

12 MATEMÁTICAS VIVAS

26pulgadas

27,5pulgadas

29pulgadas

Cubierta

RadiosFreno de disco

Llanta

Horquilla

Buje

260 261



Soluciones de las actividades

Desde hace más de 30 años, todas las mountain bike se fabrican con ruedas de 26 pulgadas. Sin embargo, últimamente han aparecido en el mercado dos medidas más: las bicicletas con ruedas de 27,5 y 29 pulgadas.

Los tres tamaños de las ruedas se refieren a la rueda completa, es decir, la cubierta más la llanta. En la fotografía podemos observar la diferencia de tamaños.

Cubierta

RadiosFreno de disco

Llanta

Horquilla

Buje

26 pulgadas

27,5 pulgadas

29 pulgadas

Comprende1 Una pulgada equivale a 2,54 cm.

a) ¿Cuál es la altura de cada tipo de rueda en centímetros?

b) ¿Cuánto mide el radio de cada rueda en centímetros?

a) 26 pulgadas → 26 ⋅ 2,54 = 66,04 cm

27,5 pulgadas → 27,5 ⋅ 2,54 = 69,85 cm

29 pulgadas → 29 ⋅ 2,54 = 73,66 cm

b) 26 pulgadas → r = 66,04 : 2 = 33,02 cm

27,5 pulgadas → r = 69,85 : 2 = 34,925 cm

29 pulgadas → r = 73,66 : 2 = 36,83 cm2 Las ruedas de 26 pulgadas suelen incluir una cubierta que mide 2 pulgadas. Sin embargo, las de 27,5 y 29 pulgadas usan

cubiertas de 2,25 pulgadas.

a) ¿Cuánto mide cualquier radio de una bicicleta de 26 pulgadas?

b) ¿Cuánto mide el diámetro de la llanta de una rueda de 27,5 pulgadas?

c) ¿Y en el caso de las de 29 pulgadas?

a) 2 pulgadas → 2 ⋅ 2,54 = 5,08 cm

El radio de una bicicleta de 26 pulgadas mide 33,02 cm → 33,02 − 5,08 = 27,94 cm

b) 2,25 pulgadas → 2,25 ⋅ 2,54 = 5,715 cm

La altura de una rueda de 27,5 pulgadas mide 69,85 cm → 69,85 − 5,715 ⋅ 2 = 69,85 − 11,43 = 58,42 cm

c) La altura de una rueda de 29 pulgadas mide 73,66 cm → 73,66 − 5,715 ⋅ 2 = 73,66 − 11,43 = 62,23 cm

399



Relaciona3 Al pasar por un charco, se moja una parte de la rueda que después va dejando marcas en el camino cada cierta distancia.

a) Calcula la distancia de estos espacios con cada una de las ruedas.

b) Halla el porcentaje en el que se incrementa la distancia recorrida al dar una vuelta con una rueda de 27,5 y de 29 pul-gadas, en comparación con la tradicional de 26 pulgadas.

a) 26 pulgadas → L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 26 = 81,64 pulgadas → 81,64 ⋅ 2,54 = 207,37 cm

27,5 pulgadas → L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 27,5 = 86,35 pulgadas → 86,35 ⋅ 2,54 = 219,33 cm

29 pulgadas → L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 29 = 91,06 pulgadas → 91,06 ⋅ 2,54 = 231,29 cm

b) 27,5 pulgadas frente a 26 pulgadas → 219,33

207,37= 1,056 → Se incrementa el 5,6 %.

c) 29 pulgadas frente a 26 pulgadas → 231,29

207,37= 1,115 = 1,115 → Se incrementa el 11,5 %.

Reflexiona4 El peso de la bicicleta es muy importante. Los fabricantes intentan hacer máquinas más ligeras, pues, cuanto menor sea

el peso, mayor será la velocidad alcanzada por la bicicleta.

En general, una bicicleta con las ruedas más grandes necesita más material y pesa más. Para ver en cuánto se incrementa aproximadamente el peso de los distintos tipos de rueda, hacemos la siguiente representación plana de cada una de ellas.

En la zona blanca están los radios, mientras que la zona gris es la de la cubierta. Según esto, ¿qué porcentaje de zona de radios y de cubierta se incrementa en cada uno de estos casos?

a) Al pasar de una rueda de 26 pulgadas a una de 27,5 pulgadas.

b) Al pasar de una rueda de 27,5 pulgadas a una de 29 pulgadas.

c) Al pasar de una rueda de 26 pulgadas a una de 29 pulgadas.

Calculamos el área de la zona de radios y de cubierta de cada bicicleta.

Zona de radios Zona de cubierta

26 pulgadas A = 3,14 ⋅ 27,942 = 2 451,22 cm2 A = 3,14 ⋅ (33,022 − 27,942) = 972,39 cm2

27,5 pulgadas A = 3,14 ⋅ 29,212 = 2 679,12 cm2 A = 3,14 ⋅ (34,932 − 29,212) = 1 152,06 cm2

29 pulgadas A = 3,14 ⋅ 31,122 = 3 039,95 cm2 A = 3,14 ⋅ (36,832 − 31,122) = 1 218,30 cm2

a) Zona de radios → 2 679,12

2 451,22= 1,093 → Se incrementa un 9,3 %.

Zona de cubierta → 1152,06

972,39= 1,185 → Se incrementa un 18,5 %.

b) Zona de radios → 3 039,95

2 679,12= 1,135 → Se incrementa un 13,5 %.


1152,06= 1,057 → Se incrementa un 5,7 %.



c) Zona de radios → 3 039,95

2 451,22= 1,24 → Se incrementa un 24 %.


972,39= 1,253 → Se incrementa un 25,3 %.

5 Observa el siguiente gráfico y explica con cuál de las ruedas será más fácil pasar un bache en el camino.

Cuanto más ancho sea el apoyo de la rueda, más fácil será pasar el camino porque el plano de la rueda cubre el bache del camino.

Es más fácil pasarlo con la rueda de 29 pulgadas.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

401



262


Un ángulo interior a una circunferencia es aquel que tiene su vértice en un punto interior cualquiera de la circunferencia.

•

••

•• A

BC

D

Su medida es igual a la semisuma de los arcos que abarca.

AB CD

2

+

Un ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia y cuyos lados son secantes con la circunferencia.

•

•

•

•

•A

B

C

D

Su medida es igual la semidiferencia de los dos arcos que abarca.

AB CD

2

−

AVANZA Ángulo interior y ángulo exterior

A1. Halla el valor de los ángulos desconocidos.

• •20º 130º 100º 40º

A2. Calcula el valor de los ángulos desconocidos.

• • •

•

•

•

•

•

• •• •

••

PERCEPCIÓN VISUAL Rodando círculos

Imagina que construyes un círculo con una madera de cierto grosor y que dibujas en él un punto de color.

Si, a continuación, haces rodar el círculo sobre el plano de una mesa y te fijas en la posición que va ocupando el punto que dibujaste, comprobarás que se genera una curva.

Pues bien, esa curva recibe el nombre de cicloide.

PV1. Dibuja en tu cuaderno el tipo de curva que describirían los puntos de estos círculos.

a) b)

•

•

PV2. ¿Qué tipo de curva describe un círculo al rodar por dentro o por fuera de una circunferencia?

a) b)

•

•


En la sección Avanza de esta unidad se introducen los án-gulos interiores y los ángulos exteriores a una circunferencia para completar lo aprendido sobre ángulos y su aplicación al relacionarlos con la circunferencia.

Este concepto será ampliado en cursos superiores.


A1. Halla el valor de los ángulos desconocidos.

• •20º 130º 100º 40º

❚❚130º−20º

2=

110º

2= 55º

❚❚100° + 40°

2=

140º

2= 70º

A2. Calcula el valor de los ángulos desconocidos.

• • •

•

•

•

•

•

• •• •

••

❚❚ Cada arco de la circunferencia mide 360º : 6 = 60º.

60º−30º

2=

30º

2= 15º

❚❚ Cada arco de la circunferencia mide 360º : 8 = 45º.

180° + 45°

2=

225º

2= 112,5º

Percepción visual. Rodando círculosSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la percepción visual a través de las curvas que se forman al hacer rodar un círculo.


PV1. Dibuja en tu cuaderno el tipo de curva que describirían los puntos de estos círculos.

a) b) a) b)

•

•

PV2. ¿Qué tipo de curva describe un círculo al rodar por dentro o por fuera de una circunferencia?

a) b) a) b)

•

•

•

•

Avanza. Ángulo interior y ángulo exterior



1. Indica el nombre de los elementos destacados en cada figura.

a) b) c)

•

•

•

•

•

a) Cuerda b) Sector circular c) Cuerda y arco

2. Calcula la amplitud del ángulo desconocido.

a) b)

•

•

•

•A

112º

••

•

•

B

17º

a) La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central correspondiente: A =112°

2= 56°

b) La amplitud de un ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito correspondiente: B = 17° ⋅2 = 34°

3. Indica la posición relativa de los siguientes elementos geométricos.

a) b) c)

•

a) Las circunferencias son tangentes interiores.

b) La recta es tangente a la circunferencia.

c) El punto es interior a la circunferencia.

4. Javier está rodando un aro de 52 cm de diámetro. ¿Cuántos centímetros recorre el aro cuando da una vuelta completa?

Calculamos la longitud de la circunferencia de 52 cm de diámetro.

L = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 52 = 163,28 cm

Recorre 163,28 cm.

5. Calcula la longitud y el área de esta corona circular.

Calculamos la longitud total sumando las longitudes de las dos circunferencias.

Lgrande = 2 ⋅ p ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 15 = 94,2 cm

Lpequeño = p ⋅ d = 3,14 ⋅ 24 = 75,36

Ltotal = Lgrande + Lpequeño = 94,2 + 75,36 = 169,56 cm

El área de una corona circular es la diferencia entre el área del círculo grande y el del pequeño.

Agrande = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 152 = 706,5 cm2

Apequeño = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 122 = 452,16 cm2

Acorona = Agrande − Apequeño = 706,5 − 452,16 = 254,34 cm2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

•24 cm

15 cm

403



1. Calcula la amplitud de estos ángulos.

a) b)

•

• •

••

A

•

•

••

•

•

B

a) Cada ángulo central tiene una amplitud de 360º : 5 = 72º. Por tanto: A =72 ⋅3

2=

216

2= 108°

b) Cada ángulo central tiene una amplitud de 360º : 6 = 60º. Por tanto: B =60 ⋅2

2=

120

2= 60°

2. Dibuja tres circunferencias que se corten en un solo punto. ¿Cuál es la posición relativa de todas ellas?

••

• •• •

Existen dos posibilidades: dos tangentes interiores y una tangente exte-rior, o las tres tangentes interiores.

3. Halla el diámetro de una circunferencia de longitud 15,7 dm.

L = p ⋅ d → 15,7 = 3,14 ⋅ d → d = 15,7

3,14= 5 dm

4. Calcula el área de esta figura.

Calculamos la medida del radio de cada círculo.

d1 = 24 m → r1 = 12 m d2 = 54 dm = 5,4 m → r2 = 2,7 m

Para hallar el área de la figura, calculamos el área del círculo grande y le restamos el del pequeño.

Agrande = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 122 = 452,16 cm2 Apequeño = p ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 2,72 = 22,89 cm2

Afigura = Agrande − Apequeño = 452,16 − 22,89 = 429,27 cm2

5. Halla la longitud y el área de esta figura.

La figura esta formada por tres sectores circulares de amplitud 30º, 45º y 90º.

La longitud total es la suma de los arcos de circunferencia correspondientes y de dos radios.

Lsector circular =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º

Lfigura = L30º + L45º + L90º + 2 ⋅ r = 30 ⋅2·3,14 ⋅12

360+

45 ⋅2·3,14 ⋅12

360+

90 ⋅2·3,14 ⋅12

360=

= 6,28 + 9,42 + 18,84 = 34,54 cm

El área total es la suma de las áreas de los sectores: Asector circular =nº ⋅ π ⋅ r2

360º

Afigura = A30º + A45º + A90º = 30 ⋅3,14 ⋅122

360+

45 ⋅3,14 ⋅122

360+

90 ⋅3,14 ⋅122

360= 37,68 + 56,52 + 113,04 = 207,24 cm2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

24 m

54 dm

45º

30º12 cm

12 icneencias ccs 12 CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS...2020/05/12 · La circunferencia y la rueda 1....

Documents

Transcript of 12 icneencias ccs 12 CIRCUNFERENCIAS Y CÍRCULOS...2020/05/12 · La circunferencia y la rueda 1....