1.2 Movimiento Curvilineo

1

Cinemá)ca de la Par0cula

Movimiento Curvilíneo

1. Posición, velocidad y aceleración

2. Derivada de funciones vectoriales

3. Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración

4. Movimiento rela)vo a un sistema de referencia en

translación

2

•  Cuando una par0cula se mueve en una curva diferente a una línea recta describe un movimiento curvilíneo.

•  El vector de posición de una par0cula en un )empo t, está definido por un vector entre el origen de un sistema de referencia fijo y la posición ocupada por la par0cula.

•  Considere una par0cula que ocupa una posición P definida por el vector en un )empo t y P’ definida por en un )empo t + Δt,

r! r ʹ′!

=

=ΔΔ

=

=

=ΔΔ

=

→Δ

→Δ

dtds

tsv

dtrd

trv

t

t

0

0

lim

lim!!

!

Velocidad instantánea (vector)

Rapidez instantánea (escalar)


=

=ΔΔ

=→Δ dt

vdtva

t

!!!

0lim

Aceleración instantánea (vector)

•  Considere la velocidad de la par0cula para un )empo t y la velocidad para un )empo t + Δt,

v!

v!ʹ′

•  En general, el vector velocidad es tangente a la trayectoria de la par0cula, mientras que el vector aceleración no lo es.


3

( )uP!

•  Sea una función vectorial de una variable escalar u,

( ) ( )u

uPuuPuP

duPd

uu Δ−Δ+

=ΔΔ

=→Δ→Δ

!!!!

00limlim

•  Derivada de una suma,

( )duQd

duPd

duQPd

!!!!+=

+

( )duPdfP

dudf

duPfd

!!

!+=

•  Derivada de un producto de una función escalar f y vectorial P

•  Derivada de un producto escalar y producto vectorial,

( )

( )

d P Q dP dQQ Pdu du du

d P Q dP dQQ Pdu du du

⋅= ⋅ + ⋅

×= × + ×

rr rr r r

rr rr r r


•  Cuando el vector de posición de una par)cula P está definido por sus componentes rectangulares

kzjyixr!!!!

++=

•  Vector velocidad,

kvjviv

kzjyixkdtdzj

dtdyi

dtdxv

zyx!!!

!"

!"

!"

!!!!

++=

++=++=

•  Vector aceleración,

kajaia

kzjyixkdtzdj

dtydi

dtxda

zyx!!!

!""

!""

!""

!!!!

++=

++=++= 2

2

2

2

2

2


4

•  Las componentes rectangulares son par)cularmente efec)vas cuando las componentes de la aceleración pueden integrarse de manera independiente. p.e. movimiento de proyec)les.

0, , 0x y za x a y g a z= = = = − = =&& && &&

•  Integrando dos veces,

( ) ( )

( ) ( )

0 0

20 00 0

, , 0

1, , 02

x x y y z

x t

v v v v gt v

x x v t y y v t gt z

= = − =

= + = + − =

•  El movimiento en la dirección horizontal es uniforme

•  El movimiento en la dirección ver)cal es uniformemente acelerado.

•  El movimiento de un proyec)l puede remplazarse por dos movimientos rec)líneos independientes.


Considere:

Oxyz: Tierra

Ax’y’z’: Vehículo espacial

B: una mosca

Es la velocidad de la mosca rela)va al punto A, observada por una persona en la )erra, La misma velocidad de la mosca observada por una persona en el vehículo ?

Importa la velocidad rotacional del vehículo?

' '/ /

/

Ax yB A B A

B A

Oxyd ddt dtr r rω= + ×

u rrr r

Qué sucede si el vehículo no rota?


5

•  Sean los vectores de posición de las par)culas A y B, , y el vector posición de B rela)va a A, la posición de B rela)va a 0 viene dada por:

, A Br rr r

ABAB rrr !!!+=

•  Derivando,

ABAB vvv !!!+=

ABAB aaa !!!+=

El movimiento absoluto de B se puede obtener combinando el movimiento de A y el movimiento de B rela)vo a A, observado en el sistema de referencia fijo Oxyz o el sistema Ax’y’z’ el cual está vinculado a A y en movimiento translacional rela)vo al marco de referencia fijo.

B Arr


Una maquina lanzadora dispara pelotas de beisbol a una velocidad horizontal v0. Si la altura h varía entre 788 y 1068 mm, determine:

a) El rango de valores de v0

b) Los valores de α correspondientes a h = 788 mm y h = 1068 mm.


6

a)  Del movimiento ver)cal

Para h = 788 mm (0.788 m)

Para h = 1068 mm (1.068 m)


a)  Del movimiento horizontal

De la figura tenemos que xB = 12 m, por lo tanto:

b)


7

a)  Para h = 788 mm (0.788 m)

Para h = 1068 mm (1.068 m)


Los aviones A y B vuelan a la misma altura y rastrean el ojo del huracán C. La velocidad rela)va de C con respecto a A es VC/A = 470 km/h a 255º y la velocidad rela)va de C con respecto a B es VC/B = 520 km/h a 320 º. Determine:

a) la velocidad rela)va de B respecto a A.

b) la velocidad de A si el radar ubicado en la )erra indica que el huracán se mueve con una rapidez de 48 km/h rumbo al norte.

c) el cambio de la posición de C respecto a B durante un intervalo de 15 min.


8

Igualando Vc,

A par)r de la ley de los cosenos


a) A par)r de la ley de los senos

b)


9

a) A par)r de la ley de los cosenos,

A par)r de la ley de lo senos,


b)

c)


10

Unas ruedas pequeñas están unidas a los extremos de la barra AB y giran a lo largo de dos superficies. Si en el instante mostrado la velocidad vA de la rueda A es de 4.5 h/s a la derecha, y la velocidad rela)va vB/A de la rueda B respecto a la rueda A es perpendicular a la barra AB, determine,

a) la velocidad rela)va de vB/A b) la velocidad vB de la rueda B.


La velocidad inicia v0 de un disco de hockey sobre hielo es de 170 km/h. Determine:

a) el valor más alto (menor a 45º) del ángulo α para el cual el disco entra en la portería

b) el )empo correspondiente requerido para que el disco llegue a la portería.

R./ a) 14.9º, b) 0.1052 s


11

En el avión A los instrumentos indican que, respecto al aire, la dirección del vuelo es de 30º al noreste con una velocidad del aire de 480 km/h. Al mismo )empo, el radar del barco B señala que la velocidad rela)va del avión respecto a la embarcación es 416 km/h hacia el noreste a 33º. Si el barco se dirige hacia el sur a 20 km/h, determine:

a) la velocidad del avión.

b) la velocidad y la dirección del viento.

R./ a) 405 km/h a 30.6º

b) 74.7 km/h a 206.6º


1.2 Movimiento Curvilineo

Documents

Transcript of 1.2 Movimiento Curvilineo