12. PUNTOS Y GRÁFICAS  

COORDENADAS CARTESIANAS  

Un sistema de ejes cartesianos está           formado por dos ejes de coordenadas           perpendiculares entre sí.  El eje horizontal es el eje X o eje de                   abscisas y el eje vertical es el eje Y o eje                     de ordenadas.  El punto donde se cortan los dos ejes               recibe el nombre de origen de           coordenadas y se le denota por la letra O. 

 

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes, que se leen en sentido contrario a las agujas del reloj.

Recuerda: los puntos se designan con letras mayúsculas.

Cada punto del plano P queda determinado por sus dos coordenadas:

● La primera coordenada es la abscisa o x. ● La segunda coordenada es la ordenada o y.

Por tanto: P (x, y)

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Ejemplo: representa el punto P = ( 2 , 3 )

Las coordenadas del origen de coordenadas son: O (0, 0)

Los puntos que están en el eje de abscisas o eje _______ tienen la ________________ igual a _______. Los puntos que están en el eje Y o eje de ___________________ tienen la ___________ igual a _______. El signo de las dos coordenadas de los puntos que se representan en el primer cuadrantes es ____________________. El signo de la abscisa de los puntos que se representan en el segundo cuadrante es __________________ y el signo de la ordenada ____________________. El signo de las dos coordenadas de los puntos que se representan en el tercer cuadrantes es ____________________. El signo de la abscisa de los puntos que se representan en el cuarto cuadrante es __________________ y el signo de la ordenada ____________________.

Vamos ahora a fijarnos en los puntos A y B de la siguiente imagen:

a) Indica las coordenadas de los puntos A y B.

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b) Observa y formula alguna peculiaridad que relacione ambos puntos respecto del eje de ordenadas. c) Intenta relacionar la característica anterior con las coordenadas de los puntos A y B.

Dos puntos del plano son simétricos respecto del eje de ordenadas si tienen la primera coordenada _________________ y la segunda coordenada __________________

Dibuja ahora dos puntos, P y Q, simétricos respecto del eje de abscisas:

Dos puntos del plano son simétricos respecto del eje de ordenadas si tienen la primera coordenada ____________________ y la segunda coordenada ________________

a) Escribe los pares de puntos simétricos respecto del eje X b) Escribe los pares de puntos simétricos respecto del eje Y c) Escribe las coordenadas de todos los puntos no simétricos

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Las coordenadas de los puntos se pueden escribir mediante una tabla horizontal o vertical. Tabla horizontal: Tabla vertical:

x y

1. Representa los siguientes puntos: A(-1,2), B(7,0), C(-2, -6), D(4,-8), E(0,-2), F(1,9), G(3,0), H(-8,-3), I(-5,0), J(2,5)

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2. Asigna coordenadas a los puntos representados en los ejes:

3. Escribe los siguientes puntos en una tabla horizontal: A(-1,-4), B(9,3), C(6,-2), D(-3,5), E(0,8), F(1,5), G(-2,0), H(3,-4), I(0,-1), J(5,0). Fíjate en el ejemplo. Represéntalos en los ejes.

x -1

y 4

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4. Escribe los siguientes puntos en una tabla vertical: A(2,4), B(-1,-3), C(6,2),

D(-5,-4), E( 6,0), F(-7,5), G(-4,0), H(5,-4), I(0,-7), J(-1,1). Represéntelos en los ejes.

5. Escribe los datos dados en la tabla mediante puntos:

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6. Halla los puntos simétricos, respecto del eje de abscisas, de los puntos representados y luego escribe las coordenadas de todos:

7. Halla los puntos simétricos, respecto del eje de ordenadas, de los puntos representados y luego escribe las coordenadas de todos:

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8. Escribe las coordenadas de los puntos representados:

PUNTOS QUE CONTIENEN INFORMACIÓN El lenguaje gráfico permite transmitir una gran cantidad de información de manera sencilla. Como todo lenguaje es necesario dominar unos códigos propios. Para interpretar correctamente los puntos situados en unos ejes cartesianos que muestran una situación real, es importantísimo comprender y tener en cuenta el significado que va asociado a cada uno de los ejes coordenados, y por tanto a cada coordenada del punto. Vamos a representar en unos ejes de coordenadas la siguiente información: Marta tiene 15 años y pesa 55 kg.

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En primer lugar debemos entender que hay dos variables: edad y peso. Como el peso depende en cierto modo de la edad, decidimos representar en el eje de abscisas la variable edad y en el eje de ordenadas la variable peso. En un segundo paso ajustamos las escalas de los ejes a nuestro problema. En lugar de avanzar de uno en uno, el eje de abscisas irá de 5 en 5 y el eje de ordenadas de 10 en 10.

Ya sólo nos queda interpretar la información que tenemos en un formato adecuado al lenguaje gráfico. Para ello convertimos la información de la edad y peso de Marta en el punto P = ( 15 , 55 ) y lo representamos. No olvides tener en cuenta las unidades de cada variable.

En la gráfica se relacionan la edad y el peso de cinco personas: Andrea, Berto, Candela, David y Eduardo. ¿Quién es la persona más jóven? ¿Quién es la persona de más edad? ¿Quién pesa más: Candela o Andrea? Indica el peso y la edad de cada una de las cinco personas.

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En la gráfica se relacionan la edad y el peso de cinco personas: A-Andrea, B-Berto, C-Candela, D-David y E-Eduardo. ¿Cómo interpretamos la información que hay en los puntos? Andrea es la más joven de todos puesto que es el punto más a la izquierda, es decir, más próximo al origen de coordenadas. Eduardo, es el de mayor edad ya que está más a la derecha. El de mayor peso es Berto porque es el punto más elevado, es decir, el valor de su ordenada es mayor. Andrea es el punto más bajo, luego es la que pesa menos. David es menor que Eduardo pero pesa más.

1.- Trece amigos se han reunido y han puesto un punto que representa la última llamada que han realizado. Con las pistas que van diciendo averigua el punto que le corresponde a cada uno de ellos.

Luisa: se me ha roto el teléfono. Juan: he pagado más que nadie. Julia: he sido la que menos ha pagado. Elena: he hablado el mismo tiempo que Juan. Pablo: he hablado junto con Marta más que nadie, pero he pagado menos que ella. Marta: he hablado el mismo tiempo que Pablo. Nacho: he pagado lo mismo que Pablo. Laura: he hablado más que Nacho y menos que Pablo. Ana: he pagado lo mismo que Laura. Álvaro: he hablado tanto como Nacho. Tomás: he pagado más que Julia y menos que Pablo. Andrés: he pagado menos que Marta y más que Elena Ester: he hablado más que Tomás y menos que Julia.

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2.- En esta gráfica se muestra la relación entre los kilómetros y el número de accidentes que se producen.

¿Cuál es la carretera con menos accidentes? ¿Qué carretera es la más larga? ¿Cuál de las carreteras es en la que se producen más accidentes? ¿Qué carretera tiene menos kilómetros? ¿Qué carretera crees que es mejor G o B? ¿Por qué?

3.- Éstos son los informes de los siguientes alumnos:

MATEO: se ha esforzado muy poco y ha obtenido mala nota en el examen. PAULA: es una niña muy capaz, lo que lo demuestra su buena nota en el examen, pero no se ha esforzado lo suficiente. MARINA: ha trabajado muy bien y ha obtenido una nota estupenda en el examen. LAURA: ha trabajado razonablemente bien y su nota es satisfactoria.

Cada informe escolar está representado por uno de los puntos del gráfico. Marcar cuatro puntos con los nombres de Mateo, Paula, Marina y Laura. Elabora un informe para el punto sobrante.

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4.- Cada punto de este gráfico representa una bolsa de arroz.

a) ¿Qué bolsa es la más pesada? b) ¿Qué bolsa es la más barata? c) ¿Qué bolsas tienen el mismo peso? d) ¿Qué bolsas tienen el mismo precio? e) ¿Qué bolsa sale mejor de precio F ó C? ¿Por qué? f) ¿Qué bolsa sale mejor de precio B ó C? ¿Por qué? g) ¿Qué dos bolsas salen al mismo precio? ¿Por qué?

5.- Marta compró 100 gramos de pipas por 60 céntimos. Completa la tabla y representa los puntos que vas obteniendo P = (peso en gramos, precio en céntimos)

a) ¿Qué puedes decir de los puntos que has representado?

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b) Une los puntos con una línea recta. ¿Dónde tiene su origen esa línea? c) ¿Podrías dibujar el punto correspondiente a un peso de 350 gramos de pipas? d) Intenta estimar el precio de 350 gr de pipas a partir del punto que has dibujado anteriormente. Hay puntos que se relacionan, como por ejemplo los puntos cuyas coordenadas son directamente proporcionales están alineados entre sí y con el origen de coordenadas.

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS  Una gráfica muestra la relación entre dos variables. La variable que se representa en el eje de abscisas es la variable independiente o x y la que se representa en el eje de ordenadas es la variable dependiente o y. La variable y “depende” o es función de la variable x : y = f(x) Cuando se interpreta una gráfica, hay que ver cómo se va comportando la variable y al ir aumentando la variable x, es decir observamos la gráfica de izquierda a derecha.

1. Construye una gráfica que represente lo mejor posible las siguientes

situaciones: a) Altura de una pelota que bota, según pasa el tiempo b) Coste de una llamada telefónica en función de su duración

c) Distancia a casa durante un paseo de ida y vuelta de 30’ de duración d) Nivel del agua en una piscina vacía al llenarla

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2. Realiza la gráfica que representa la siguiente situación: “Javier salió ayer

en bicicleta. En recorrer 22 kilómetros tardó media hora y luego estuvo parado durante 20 minutos. Continuó su ruta recorriendo 15 kilómetros en 45 minutos y tuvo que parar durante 15 minutos para arreglar un pinchazo. Terminó su salida tardando 30 minutos en hacer los últimos 20 kilómetros.”

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3. Realiza la gráfica que representa la siguiente situación: “Esta mañana, Marta salió de su casa a comprar el pan, tardando 10 minutos en llegar a la panadería, que está a 500 m de su casa. Allí estuvo durante 5 minutos y se encontró con su amiga Alicia, a la que acompañó a su casa que está a 200 m de la panadería (a 700 m de casa de Marta) y tardaron 7 minutos en llegar. Estuvieron durante 15 minutos en la casa de Alicia y después Marta regresó a su casa sin detenerse, tardando 12 minutos en llegar.”

4. Beatriz va al instituto de una forma distinta dependiendo del día de la semana:

a. El lunes va en autobús (hace varias paradas). b. El martes va andando. c. El miércoles, va en moto. d. El jueves, va en patines. e. El viernes, va con su madre pero antes dejan a su hermana.

a. Identifica cada gráfica con el día de la semana.

b. ¿Qué día tarda más en llegar? ¿Y menos?

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c. ¿Qué día recorre más distancia? ¿Por qué?

5. En la siguiente gráfica se describe la variación del ruido de una moto, el tiempo está dado en segundos:

a. ¿Durante cuánto tiempo ha durado el ruido?, ¿cuántos decibelios ha producido la moto como máximo?

b. ¿Había ruido antes de llegar la moto?, ¿qué intensidad de ruido se oye cuando la moto ha pasado?

c. ¿Cuál es la intensidad del ruido a los 2 segundos?

d. ¿Cuándo la intensidad del ruido es de 100 decibelios? ¿Hay más de un momento?

e. ¿Cuánto tiempo ha durado el ruido máximo?

Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso 2013-2014.

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