La Educacin es una obra de infinito amor }+ = c x dx }+ = C senx xdx cos

}+ = C e dx ex x . ElclculointegraltienesusorgenesenlaantiguaGrecia,unodelosprincipales problemas de su origen fue poder calcular reas de regiones limitadas por curvas. Cauchy, a principios del siglo XIX; Riemann, a mediados del mismo siglo;y Lebesgue, aprincipiosdelsigloXX,hansidolosmatemticosacuyosesfuerzossedebenlos sucesivosrefinamientosquehatenidolateoradelamedidacomocontinuacinnatural del clculo integral.

}+ = C x dxxln1

} } = vdv v u udv .

}+ = C x senhxdx cosh UNIDAD I.LA INTEGRAL INDEFINIDA. MTODOS DE INTEGRACIN INTRODUCCIN Elanlisismatemticoestconstituidopordosgrandesramas:ElClculoDiferencialy El ClculoIntegral. Estas dosgrandes ramas,surgieronen distintas pocas, por distintas matemticos y para resolver distintos problemas. EL CLCULO INTEGRAL La palabra Integrar tiene dos acepciones, la ms profunda y fundamental coincide con el significado corriente dela palabra:se usa para indicareltotal de algo ouna suma de partes. Elsegundosignificadodelapalabraintegrarenmatemticaseshallarunafuncin conociendo su derivada. En esta unidad se estudiar el proceso inverso, es decir, dada la derivada de ( ) x f ' , hallar la funcin ( ) x f. PRIMITIVA DE UNA FUNCIN Unafuncin( ) x F esunaantiderivadadeotrafuncin( )x f,secumpleque ( ) ( ) x f x F = ' Laantiderivadadeunafuncintambinseconoceconelnombredeprimitivadela funcin. Lasantiderivadasdeunafuncin f nosonnicas,yaqueformanunafamiliade funciones cuya representacin grfica se diferencia una de otra solamente en un nmero. Ejemplo: ( ) 3 -2x x f =es una antiderivada de ( )x x g 2 = ( ) ( ) x g x x f = = ' 2. Algunas son: ( )1 , 12= + = c x x h ( )4 , 42- - = = c x x h ( )0 ,2= = c x x h ( )43,432- - = = c x x h Al conjunto de todas las antiderivadas de una funcin f; sele llama integral indefinida de fy se representa por el smbolo }. X Y -4 -3/4 0 1 Ejemplo: ( ) ( )( )( )( )( )+ ==+ ==+ = =C x x Fx x Fx x Fx x Fx x F x x f44444 325322 23 25 2 8

...

.- - Familia de Derivadas Simblicamente la integral indefinida ser ( ) 224 = = 38 = xdxdyy x x fal despejar dy se obtienedx x dy224 = ,entonces 224 dx x dy = INTEGRAL INDEFINIDA. DEFINICIN ( ) ( )+ = C x F dx x f s y solo s ( ) ( ) C ; x f x F = 'es la constante de integracin Significado de la notacin de la integral indefinida: } Integral Signo .......dx f Denota la variable respecto a la cual se realiza el proceso de integracin ( ) Integrando x fPROPIEDADES DELAINTEGRAL INDEFINIDA 1.Factor de Integracin + = C x dx 2.Integral de una constante , + = = constante una es Kdonde C Kx x d K Kdx Ejemplo: +43=43=43C x dx dx 3.Integral Indefinida de una Potencia 11Cnxdx xnn++=+sin es un nmero racional, entonces para 1 = n. Ejemplo: a.C x Cxdx x + = ++=+}61 55611 5 b. 33 1 444313 1 41CxCxCxdx x dxx+ = + = ++= =+-- -- -- c. C x CxCxdx x dx x + = + = ++= =+35353232353213 2 153 d. 4.Integral del mltiplo constante ( ) ( ) tan = te na cons dx, K es u x f K dx x Kf . Ejemplo: ( ) 1 3 3232321 33 3Cxdx x dx x ++= =+C x C x Cx+ = + = + =4 44611224 32 5.Integral de una suma o diferencia algebraica de dos ms funciones Ejemplo: 32 1-231-122 22donde en,5- 3 21 -52245 2 - 4 5-2 - 4)5-2 - 4 (3232313131-232- - -C C C C Cxx xCxCxCxdx x dx x xdx dx x dx x xdxdxxx x+ + = ++ + + ++ = ++ NotaAclaratoria.Otraalternativadesolucinesconsiderarlasumay/odiferencia algebraica de funciones como una solafuncin, procediendo a integrar de forma directa. Ejemplo: Cxx xCx x xdxxx x++ ++5- 3 - 21 -52 -24)5-2 - 4 (32323121 22-32 6.Integral de la Funcin Nula ( ) ( ) = 0 = 0 = , 0 = C dx dx dx x f x fes PROPIEDADES ADICIONALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) = dx x g dx x f dx x g x f7.C x dx x dxx+ = =ln-11 Ejemplo: [ ]C xdxxdxxdx x+ == =ln 31333 1 - 8.Caedx eaxax+ =

Ejemplo: a.C e dx ex x+ = b.Cedx exx+ =333 9.Caadx axx+ =ln

Ejemplo: C dxxx+ =5 ln55 Observacin. Alcalcularlaintegralindefinidanoimportacualseaelsmboloempleadoparala variable de integracin, ya que por ejemplo( ) ( ) ( )du u dt, f t f dx x f , , entre otras, dan lugar a la misma funcin F. Ejercicios Propuestos I-Hallar la integral indefinida de cada funcin algebraica a. ( )1 8 42dx x x + - R/ C x xx+ +23434-b. )2 1(3 2dxx x-R/ Cxx+ +21 1-c. 3 dx xR/ C x x + 2d. ) (2121dx x x-+ R/ C x x + +2123232 e. 3 22dttt t + -R/ C t t t + +21232563254-f. ]1[ duuu u + R/C u u + +2125252 g. ( )21dvvv +R/ C V V V + + +21232523452 h. )212 ( dyyy - R/ C y y + + 2 2323 i. )73 (2dxxex--R/ C x ex+ ln 723-2 --( )( )( ) ( ) ( ) x F x f x x x Fxxx FC x xxx Fde da antideriva 1 8 - 41 8 -3124 -342223+ = '+ = '+ + =j. )1 1 1(3 2dxx xx+ + R/21 1ln - -2x Cx x + II-Verificarencadaunodelosejerciciosanterioresquelarespuestaesla antiderivada de la funcin dada. Ejemplo:

MTODOS DE INTEGRACIN LosMtodosdeIntegracinquesedesarrollanacontinuacin,permitencalculargran parte de las integrales que se estudian en este curso. MTODO DE SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE LaIntegracin por sustitucin tiene su fundamentoenlaregla dela cadena para derivar funciones compuestas. ElMtododeIntegracinporSustitucinconsisteenintroducirunavariableUque sustituyeaunaexpresinapropiadaenfuncindex,deformaquelaintegralse transforme en otra integral de variable U ms fcil de integrar. Definicin.Si F es una antiderivada de fyg es una funcin derivable, entonces: ( ) | |( )( ) x g dux g ux g f F' ===( ) | |( ) ( )du u f dx x g x g f}= ' Ejemplos: a-Evaluar( )2 3432 - 7 dx x x Solucin. Primero, se reescribe la integral como ( )2 3 342 7 dx x x - Segundo, se identifica a u;32 - 7 x u = Tercero, se deriva a u26 - xdxdu=y se despeja26,xdudx dx = Cuarto, se realiza el cambio de variable aplicando la definicin ( ) | | ( ) ( ) du u f du x g x g f = ' ( )( ) C x C uCudu uxdux u =- )xdu( - x u dx x x+ = + =+ = =// |.|

\|=3737373434343432222 2 32 - 7141-423-3761-616162 - 7

b-Hallar la integral de la siguiente funcin

( )( )xdudxC xdxduCudu x uxduu x dx x x231 x 23u 1 -221 - 23232 2222 =+= =+ = = =//// = c-Evaluar ( )22 1 - 21 - 2 1 - 2 21dudxdxdux udx x x dx x x====

Como la integral queda en funcin de dos variables, se procede a encontrar el valor dex despejndola en U para luego sustituirla en la integral. 2111 - 2+=+ ==uxu zxx u ( ) ( )Cx xCu uC du uudu uudu uu+ + =+ + =+ +//=||.|

\|+ =|.|

\|+ = |.|

\| +=61 - 2101 - 26 10]23* 2u25* 2u[21212 21212 21212123252325232521232121 Ejercicios propuestos Hallar la integral de cada funcin por el mtodo de sustitucin

a- 3 4 + xdxR/ C x + + 3 4 ln41 b- 2dx xexR/ C ex+221 c- ( )33228dxxx+R/( )Cx++232 34 d- lndxxxR/( )C x +23ln32 e- ( )2dx e ex x -+ R/ C e e xx x+ +2 221-212- f- 21dxxR/ C x + 2g- 1 22 dx ex+R/ C ex++1 2 h- 4 1 dx e ex x+ R/( )C ex+ +234 161 i-( )72 3- 5 dz z z R/C + +18) 5 (16)9 8 2 2z - z - 5(5 - INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS I-Tabladeintegralesinmediatasparafuncionestrigonomtricas directas. a. cos x+C senxdx=-b. cos xdx=senx+Cc. sec ln tan +C x xdx=d. ln cot +C senx xdx=e. tan sec ln sec +C x x xdx= +f. cot - csc ln csc +C x x xdx=g. tan sec2x+C xdx=h. cot csc2x+C xdx=-i. 241-212x+C sen x xdx= senj. 2 cos2x+C sen x xdx=4121+k. tan tan2x+C x xdx= -l. - cot cot2x+C x xdx=m. ( )cos 22 3x+C x sen xdx= sen +31-n. ( )2 3cos 2 cos senx+C x xdx= +31 o. cos ln tan tan2 3+C x x xdx= +21 p. ln cot cot3+C senx xdx= -21-q. tan sec ln21tan sec sec3+C x x x x xdx= + +21 r. csc ln cot csc csc3+C x x x xdx= cotx -21-21-s. secxtanxdx sec +C x =t. csc cot csc C x xdx= x + - Ejemplos: a-Evaluar 3333 cos 3 cos 3 3 cos 3dudxdxdux uc x sen c senu udu du u xdx====+ = + = = /} } b-Evaluar ( ) ( )4-4 -4 14 - 1 tan41- tan41- sec41-4sec 4 - 1 sec 2 2 2dudxdxdux uC x C u udu )duu(- dx= x== =+ = + = = c-Evaluar x senxdudxdx senx dux sen uC x sen C u duu x senxduux senxdx=x senx sencos 2cos 211 ln ln1cos . 2cos . 212222 ==+ =+ + = + = =+ Nota: Recurdese de las frmulas de ngulo doble que:2 2 cosx senx senx = d-Evaluar ( )xxxx x x xx x x x x x x x x xedudxedxdue uC C e e C u C e udu C ee C e dx e e dx e dx e e e dx= e e===+ = + + = + + + = + + =//+ + = + = + +//2 1 2 1 1x1C C donde , sec ln sec ln tan edutanu tan tan tan 1 Ejercicios propuestos I-Hallar la integral de cada funcin a- ( )1 3 cot dx x + R/( )C x sen + +1 3 ln31 b- 2cscdxxxR/ C + x 2cot - c- 1 tan 2sec2dxxx+R/ C x + +1 tan 2 ln21 d- 2cot dx x xR/ C senx +2ln21 e- ( )tan sec sec dx x x x + R/ C x x + + sec tan f- sec dx e ezx zxR/ C e ezx zx+ + tan sec ln21 g- 5 * 5 cos xdx sen x R/ C x + 5 cos3152-h- tansec2dxxxR/ C x + tan ln i- 2cos 3 2dxx senx +R/ C 3cscx - 2cotx - + j-cossenxe xdx}R/ C esenx+ II-TabladeIntegralesquedancomoresultadofunciones trigonomtricas inversas. Formas que contienen: a-C u sen du + =1 -22u - 11 u - 1 b-C u duu+ =++1 -22tan11 u 1 c-u+C du=- u u - u u-122sec111 Cuando a = nmero real d-+Caudu=sen-u a -u a-12 22 21 e-+Cauadu=u a +u a-12 22 2tan1 1 + f-+Cauadu=-a u u -a u u-12 22 2sec1 1 III-Tabla de integrales de funciones trigonomtricas inversas g-C -u u du=usen u sen- -+ +211 1 h-+C -u u- du=u u- -21 cos cos1 1 i-( )+C u u--du=u u-21 ln21tan tan1 1+ j-+C - u u u--du=u u-1 ln sec sec21 1+ k-+C - u u u--du=u u-1 ln csc csc21 1+ l-( )+C u u-du=u u-21 ln21cot cot1 1+ + Ejemplos: 1. Calcular 5 2 32+ x - xdx Seagrupanlostrminosenfuncindelavariable,seextraefactorcomnysehace completacin de cuadrados

( )532235 223x+)+ - ( xdx=+ x - xdx, entonces como: 91)31(31622)2ab -( .....)32- (2 322 2= = = = = + x xde donde 2) ( )9131-32- (x2x x = + 314)31- ( 3315 )9132- ( 322+=|.|

\| + +=xdxx xdx donde se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto y se reduce a 31- 5 }+ |.|

\|31431332xdx 914)31- (31914)31- ( 3914)31- (2 2 23+=+=+ xdxxdxxdxobtenemosuna integral de la formaR a Caua udx ; tan1a1 -2 2+ =+ de donde 31- )31- ( 3149142 2 2x u x u a a = = = = Aplicando la frmulaCxCxCxxdxxdx+ |.|

\| =+||||.|

\|//= +||.|

\| =+=+141 3tan14131431 3tan143*313 / 143 / 1tan1*31914)31- (315 2x - 31 -1 - 1 -31422 2. Calcular 241dxx -dividir todo el integrado por 2 4x- 42 ]x - 41[2212dx = alintroducir2alarazes22 4x- 4 214x- 112 2dx dx = hacemos un cambio de variabledu dx dx duxu2 212= == )2(u - 112- 1 211 -2 2Cxsen du duu+ = = / = De otra manera Cxsen dx dx + = = )2(21 21 -2 2x - x - 41 3. Calcular tan-121dxxx+

( )dv x dxxdux u221111tan+ =+== Sustituyendo ( )( )( )CxCuudu du x + = + = = ++ 2tan21x 1u 21 - 222

Prueba. Derivamos el resultado obtenido( )21 -21 -21 -1tan11*2tan 22tan

xxxx x+=+='(((

4. Calcular CxxsenCxsenxudu sen du u sendu dxdx duxudxxsen dxxsen+ + =+ +////= = =====49x- 1922331)23x( - 12323*92923231322323

23312331 221 -1 - 1 - 1 -1 - 1 - Ejercicios propuestos Calcule las siguientes integrales a- 221xdx sen1 -R/ C x xsen + +2 1 -4x - 141221 b- 5sec51dxx1 - R/ C x x x + + ) ) 1 ( 1 (5151sec5121 -x25- ln -c- ) 1 2 ( dx x sen +-1R/ C x sen x + + + + + ) ) 1 (21) 1 2 ( ) 1 2 (2121 (2x -1 - d- 4 92+ xdxR/ )23( tan61x1 - e- 2562dxxx+R/ )51( tan1513x1 - f- 2sec 1tan * secdxxx x+R/ ) (sec tan x-1 g- 252- x xdxR/ Cx+5sec511 - h- 239 - x xdxR/ Cx+3sec1 - i- sec dx ex -1R/ C e ex x+ + 1 - e e ln -2x x 1 -sec INTEGRACIN POR PARTES Una razn para transformar una integral en otra, es la de producir una integral queseamsfcildeevaluar.Unadelasformasgeneralesdeevaluarpara lograr dicha trasformacin es el Mtodo de Integracin por Partes. El procedimiento de integracinpor parte tiene su fundamento en la regla de la derivacin del producto de dos funciones. S u y v son funciones derivables de x entonces la diferencial del producto (u.v) =udv+vdu Despejamos }udv y nos queda:

- * vdu v u udv = Frmula para la Integracin por Partes La correcta utilizacin del mtodo de integracin por partes consiste en saber identificar cul de los elementos del integrando ser uy cul ser dv. Cuandoseaplicalafrmulaparalaintegracinporpartesaunaintegral,se empiezaporhacerqueunapartedelintegrandocorrespondaausegnste ( ) .vdu udv v uvdu udv uv+ =+ =} } }orden,laprimeraprioridadserparalasfuncionesinversas,siguenenorden lasfuncioneslogartmicas,luegolasalgebraicasylaltimaprioridad corresponde a las funciones exponenciales. Despus deelegirau, se toma el resto del integrando como dv,el cual debe incluir a la diferencial dx. Paraqusehaceu?yParaqusehacedv?sehaceuparaderivary encontrarduysehacedvparaintegraryencontrarvparaluegosustituir todos estos elementos en la frmula de integracin por partes. Ejemplos: Determine la integral de cada funcin usando integracin por partes. a- xsenxdx Solucin: Sea : dx dux u==

x vsenxdx dvsenxdx dvcos = ==} }

Luego: } } = xdx x x xsenxdx cos cos

}+ + = C senx x x xsenxdx cos b- ln xdx x Solucin: Sea: dxxdux u1ln==

22xvxdx dvxdx dv===

Luego Cx xx xdx xCx xx xdx xxdxxx xdx xdxxx xx xdx x+ =+ ===}4- )2( ) (ln ln2*21- )2( ) (ln ln21- )2( ) (ln ln1*2- )2( ) (ln ln2 22 222 2 c-Enesteejemplorequiereusardosveceselmtodo2dx e xx,hacemos xx=e v xdxdu=dx dv=e u=x22 e integrando por partes 222 22 2xdx xe e x dx e xxdx e e x dx e xx x xx x x2 --==nos queda otra integracin por partes. Hacemos xxeve dv= == =dx dudx x u C x e dx e xC e e e x dx e xC e e e x dx e xdx e e e x dx e xx xx x x xx x x xx x x x+ + =+ + =+ ==2) 2x - (2 2x -) - 2(x -) - 2(x -2 22 22 22 2 d) cos xdx exEnesteejemploaplicamosintegracinporpartesrepetidas,pero con un giro diferente Hacemos enx dx duxdx usv ecos dv exx= == = e integrando por partes a)( ) coscossenxdx e e xdx edx e senx e xdx ex x xx x x- senx- senx== Ahora integramos por partes la integral del lado derecho de la ecuacin a- Hacemosx dx dusenxdx ucos - v edv exx= == = e-Integrando por partes b-( ) coscosxdx e e senxdx edx e x e sexdx ex x xx x x+ ==cosx -- - (-cosx) Sustituyendo ahora la ecuacin b- en el lado derecho de la ecuacin a-, obtenemos: [ ] cos cos coscos cos cosxdx e x e e xdx exdx e x e e xdx ex x x xx x x x- senx- - senx+ =+ = Sumando xdx excos a ambos lados tenemos: x e senx e xdx ex e senx e xdx e xdx ex x xx x x xcos cos 2cos cos cos+ =+ = +Factor comn en el miembro derecho xe( ) x senx e xdx ex xcos cos 2+ = Dividimos ambos lados entre 2 y agregamos la constante de integracin( )Cx senxe xdx ex x++=cos21cos Ejercicios propuestos Evalulassiguientesintegralesaplicandoelmtododeintegracinpor partes a.xdx x lnR/ C +2323x lnx x3294-b.xdx arcsenR/ C + +2x - 1 xarcsenxc. 2 2dx e xxR/ C + +2x 2x 2x 2e41e21- e x21 d. 32xdx sen exR/ x x 3 sin e1323 cos e133-2x 2x+e. 3 cos xdx x R/ x x 3 sin x313 cos91+f. 42xdx sen x R/ x x x x 4 sin81cos4x3214 cos412+ + -g. 2sec dx x R/ C + secx ln - xtanxh. 3dx e x-xR/-x -x -x 2 -x 36e - 6xe - e 3x - e x -i. tan xdx x1 -R/ x tan21x21- x tan x211 - 1 - 2+j. cos 3 xdx x sen R/( )C 3cosxcos3x senxsen3x81- + + INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA El mtodo de sustitucin trigonomtrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrados ciertas expresiones algebraicas tales comoa2 u2 , a2 + u2 y u2 -a2 a > 0 estas se eliminan mediante sustituciones adecuadas. Si la Integral Contieneentonces se sustituyey se utiliza la identidad. a2 u2

u = asen 1- sen2 = Cos2 a2 + u2

u = atan 1+ tan2 = Sec2 u2 -a2 u = asec Sec2 -1 = tan2 La Sustitucin u = asen significa, en trminos mas precisos, la sustitucin trigonomtrica inversa = sen -1 u ,- donde u a a 22 Por ejemplo, supngase que una integral contiene la expresin a2 u2. Entonces la sustitucin implica: a2 u2 =a2 (asen)2 = a2 a2sen2 = a2 (1-sen2)= a2cos2 = acos , 0 Tringulos de Referencia

a) Tringulo de referencia para la sustitucinu = asen a u a2 - u2 b) Tringulo de referenciapara la sustitucinu = atan au a2 + u2 a u c) Tringulo de referencia para la sustitucin u = asec uu2 - a2 a Ejemplos 1) Determine9-x2 dx = 9 (3sen) dxx 3sen usando a2 u2, u= asen , a = 3 , u = x, x = 3sen, dx = 3cosd =u29 9 sen 3cosd=( ) ( )u uuudsensencos1 92} = }0 uu udsencoscos 92 = 3sen 3 uuu dsen2cos =} } } =uuuuuuu udsensendsendsensen2 231313

3 cscd 3 send= 3ln csc cot + 3 cos + C

Para volver a la variable x se usa un tringulo rectngulo de referencia y aplicamos las razones trigonomtricas. 3 = 3 ln 3/x 9-x2/x +39-x2+C x3 = 3 ln 3-9-x2 / x +9-x2 + C 9 x2 2) Determine 2___ dx usamosa2 + u2; u = atan 4+5x2 a = 2,u =5 xu = 2tan 5x= 2tan x =2 tan 5 dx = 2sec2 d 5

Sustituimos ____2____ . 2sec2 d= 4 sec2___d 4 + (2tan)2 554 + 4tan2 4 ___sec2 d=4sec2 d=4sec2d 54(1 + tan2 )

54sec2 52sec = __4__secd= 2 secd=2 ln sec + tan + C2 5 55 4+5x2 2= 2 ln 4+5x2+_5x+C 5 22 5 x =2 ln4+5x2+ 5x+ C52 c) Determine___dx_______usando u2 a2 ,u = asec x16x2 - 25

a = 5 ,x = 4xu = 5secx = 5 sec 4 4x = 5secdx =5 sectand4 Sustituimos 5sec . tan 4 ________________________d= 5.4___sec . tan_____ d 5sec(5sec)2- 25 4 5sec25sec2 - 254 Sec tan______ = _____sec tan __ d= sec tan d sec 25 (sec2 -1 )sec25tan25 sec tan =1d= 1+ C55 =1 sec-1 + C 1 Sec-14x+ C55 5 4x. 16x2- 25 .. Esto es porque no conocemos a , de acuerdo a la frmula usada u2 a2 corresponde5u = asec ; para hallar = sec-1 u a INTEGRALES QUE CONTIENEN UN POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO Muchas integrales que contienen una raz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrtico ax2 + bx +c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.

) )

En general, el objetivo es convertir ax2 + bx +c en una suma o en una diferencia de cuadrados (u2 +

a2a2 u2 ) para que se pueda usar el mtodo de sustitucin trigonomtrica. Recordemos el proceso de completar cuadrado en un polinomio de segundo grado, cuando a= 1 en el polinomio ax2 + bx + c, se completa con la expresin( b/2)2 ,a 0. Ejemplo. Completar el cuadrado en 3x2 + 12x + 20 3x2 + 12 x +20 agrupamos ( 3x2 + 12x) + 20 extraemos factor comn3(x2 + 4x) + 20 y se completa el cuadrado

= 3[x2 + 4x + (4/2)2 ] + 20 3 (4/2)2 = 3 (x2 + 4x + 4) +20 -12 = 3(x2 + 4x +4 ) +8 = 3 (x+2)2 + 8 Ejemplos a) Determine ____1____ dx 9x2 + 6x +5 Solucin ____1____ dx=____1____ dx = ___ 1______ dx9x2 + 6x +5 9 (x2 + 6x +59 (x2 + 2x ) + 5 93 = _______________1 _______________dx = ________1__________dx 9 [ x2 + 2x +2/32]+ 5 9 2/32 9 (x2 + 2x + 1) + 5 -1 32 2 39 ( (

(x+4)2 + 9

=_______1_____ dxAplicando la tabla de integrales que dan como resultado funciones9 ( x + 1 ) 2 + 4 trigonomtricas inversas. 3 u = 3 ( x + 1),a = 2 3 u = 3x +1

du = 3dx dx = du 3=__ 1__du =1__1___du= 1(1 tan -1 u + C ) u2 + 4 3 3 u2 + 4 3 22 =1 tan-1 (3x +1) + C6 2 b) Determine ____dx____ x2 + 8x + 25 Solucin ____dx____ = ________dx_________ = ___dx ___ x2 + 8x + 25 (x2 + 8x + 16) + 25 -16(x+4)2 + 9 por sustitucin trigonomtrica= _3sec2d__ = _3sec2d_=_ 3sec2d_ (3tan)2 + 99tan2 + 9 9 (tan2 +1) u = x = x + 4 = 3tan =_ 3sec2d= sec2 d= secd dx = 3sec2d3 (sec2 ) sec = ln secu + tanu + C x +4 u = ln(x+4)2 + 9 + x+4 + C =ln (x+4)2 + 9+ x + 4 + C 3 3 33 Ejercicios Propuestos Evale las siguientes integrales a) __x2 ___ dx R / 3 sen-1 (x -1) -2 1- (x-1)2 - 1 (x-1)

1-(x-1)2 + C

2x - x2 22

b) ____1____dxR / tan-1(x+2) + Cx2 + 4x + 5 c) 1___dxR / sen-1 1 (x-2) + C 4x - x2 2 ____ 1_____ dx R /1 tan-1 1 (x+2) + Cd) x2 + 4x + 133 3 e)_2x + 3__ dx R / -2 9-8x-x2- 5 sen-1 1(x+4) + C9-8x-x2 5 f)x+4 dx R / 1 ln (x+3)2 + 9 + 1tan-1 x+3 + Cx2 + 6x + 18 23 3 g)x+ 4dxR /1(7x-12) (6x-x2)-1/2 + C (6x x2)3/2 9 h)1dx R / 1 ln x + 2- x___ + C (x2 + 4)232x 28(x2 4) INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES POR EL MTODO DE FRACCIONES PARCIALES Toda funcin racional se puede integrar entrminos de funciones elementales. Recuerde que una funcin racional f(x) es aquella que se expresa como cociente de dos polinomios. Es decir, f(x) = P(x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios. El mtodo de fracciones Q(x) parciales es una tcnica algebraica que descompone R(x) en una suma de trminos. Para calcular una integral de la formaP(x)dx , donde P(x) y Q(x) son polinomios seQ(x) tienen los siguientes casos: Caso 1

Cuando f(x) =P(x)es impropia, o sea que el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) , Q(x) se logran fracciones parciales mediante la divisin de P(x) entre Q(x) obtenindose un cociente C(x) y un residuo R(x) de lo cual se sabe que f(x) =P(x)

= C(x)+ R(x) Q(x)Q(x) Ejemplos: a) Evale 2x3 dx primero dividimos P(x) por Q(x) para obtener el cociente C(x)

x2 4y el residuo R(x). Recordando las tcnicas algebraicas, para dividir polinomios, el dividendo y el divisor deben estar ordenados y completos. 2x3 + 0x2 + 0x x2 + 0x 4 -2x3 + 0x2 + 8x2x 8x C(x) = 2x R(x) = 8x Ahora apliquemos el teorema y resolver la integral obtenida f(x) = P(x) = C(x)+ R (x)

Q(x)Q (x) }dxxx4223 = dxxxx )482 (2+}= } }++ dxxxxdx4822 = }+ + dxxxCx4822212

hacemos u = x2-4 du = 2xdx dx = du

2x = }+ +xduuxC x2812 =x2 + C1 + 8 }duu1 2 12ln 8 C u C x + + +C x x + + 4 ln 82 2 , donde C= C1 + C2 b) Evale}+dxxx3 24 52

-4x2 + 0x+52x +3 4x2 + 6x -2x+3 6x + 5 - 6x - 9 -4) () () () () () (x Qx Rx Cx Qx Px f + = = } } } }+ + =+ + =+dxxdx x dxxx dxxx3 24) 3 2 ( )3 243 2 (3 24 52 }+ + + dxxC xx3 214 32212 Hacemos u=2x+3 du= 2dx dx = 2du }+ + + = + + 2 1212ln 2 3214 3 C u C x xduuC x x =C x x x + + + 3 2 ln 2 32, en donde C= C1+C2 Caso 2Cuando )() () (XXX =QPfes propia, osea que el grado de P(x) es menor que el grado Q(x). De este caso se tiene a su vez dos situaciones: 2.1 Si el denominador Q(x) tiene solo factores lineales repetidos y no repetidosax+b. A cada factor ax+b de Q(x) que aparezca n veces se le hace corresponder la suma parcial ,) (...) ( ) (3322 1nb axAnb axAb aAb axA++ ++++++donde A1 , A2 , A3 , .. An son constantes a buscarse. Ejemplo de factor lineal no repetido. Determine } +dxx x 232primero se factoriza el denominador } }++= +dxxBxAdxx x)1 2() 1 )( 2 (3, Ahora encontramos el valor de A y B 1 2 ) 1 )( 2 (3++= + xBxAx x , buscamos el m.c.d (x+2) (x-1) y nos queda 3 = A (x-1) + B (x+2) Sustituyendo B en1 A + B = 0 3 = Ax - A + Bx + 2BA + 1 = 0 A = -1 3 = (Ax + Bx) A + 2B Otra manera de encontrar A y B es sustituyendo los3 = (A + B) x A + 2B valores de x = -2 . x=13 = A (x-1)3 = B(x+2) Formamos un sistema de Ecuaciones 3 = A (-2 1)3 = B (1+2) 1 A + B = 0 B=3/33 = -3A3 = 3B 2-A + 2B = 3 B=1A = -1B = 13B = 3 Sustituimos los valores de A y B y resolvemos la integral } }|.|

\|++ = +dxx xdxx x 112123 = - } }++dxxdxx 1121 Hacemos u= x+2.u = x-1= -} }+ duuduu1 1 du = dxdu = dx = - 2 1ln ln C u C u + + + =C x x + + + 1 ln 2 ln, donde C = C1 + C2 Ejemplo de factor lineal repetido Determine dxx xx x} 33) 1 (1 4En este ejemplo tenemos factores lineales repetidos y no repetidos. dxx xx x} ) 1 (1 43= ( ) ( )}||.|

\|+++ dxxDxCxBxA3 21 11

3 2 33) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 (1 4+++ = xDxCxBxAx xx x Dx x Cx x Bx x A x x + + + = ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 42 3 3 Dx x Cx x x Bx x x x A x x + + + + + = ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 3 ( 1 42 2 3 3 Dx Cx Cx Bx Bx Bx A Ax Ax Ax x x + + + + + = 2 2 3 2 3 32 3 3 1 4 A Dx Cx Bx Ax Cx Bx Ax Bx Ax x x + + + + + + = ) 3 ( ) 2 3 ( ) ( 1 42 2 2 3 3 3 A x D C B A x C B A x B A x x + + + + + + = ) 3 ( ) 2 3 ( ) ( 1 42 3 3

1 A + B = 1 sustituyendo A = 1 . B = 0 en2 2-3A2B+C = 0-3A2B+C = 0 33A + B C + D = -4- 3(1) 2(0) + C = 0 4-A = -1 / (-1) -3 + C = 0A = 1C = 3 Sustituyendo A = 1 en 1 sustituyendo A, B y C en3 A+B = 1 3A+ B C + D = -4 1+B = 13(1) + 0- 3+ D = -4 B = 0D = -4

} }++ = dxx x x xdxx xx x)) 1 (4) 1 (310 1() 1 (1 43 2 33 } } } } }++ = dxxdxxdxxdxxdxx xx x3 2 33) 1 (4) 1 (310 1) 1 (1 4 = } }+ + + dxxdxxC C x3 22 1) 1 (14) 1 (13 ln Hacemos u = x-1 = } } + + + duuduuC C x3 22 11413 lndu = dx =} } + + + du u du u C C x3 22 14 3 ln =42312 12413 ln CuCuC C x + ++ + + = 423 2 12 3ln CuCuC C x + + + + +=Cx xx ++2) 1 (213ln , donde C = C1 + C2 + C3 + C4 2.2 Si el denominador Q(x) tiene solo factores cuadrticos ax2+ bx+c La parte de la descomposicin en fracciones parciales de f(x) correspondiente al factor cuadrtico irreducible ax2+bx+c de multiplicidad n es una suma de n fracciones parciales de la forma nnc bx axBn x Ac bx axB x AC bx axB x A) (....) (2 2 22 221 1+ + ++ ++ + +++ + + donde A1, A2, , An y B1, B2, .Bn son constantes a buscarse Ejemplo: a) Determine }++dxxx2 22) 1 (3 2 Solucin } } ((

+++++=++dxxD CxxB Axdxxx2 2 2 2 22) 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 2

m. c. d= (x2 + 1)2 2 2 2 2 22) 1 ( 1 ) 1 (3 2+++++=++xD CxxB Axxx ( )( ) D Cx x B Ax x + + + + = + 1 3 22 2 D Cx B Bx Ax Ax x + + + + + = +2 3 23 2) ( ) ( 3 22 3 2D B x C A Bx Ax x + + + + + = + A=0 , B=2 , A+C = 0 ;B+D = 3 , C = 0 , D = 1 ( )} } } }+++=||.|

\|+++++=++dxxdxxdxxxxxdxxx2 2 2 222 2 22) 1 (11211 012 0) 1 (3 2 Usando una sustitucin= } }+++uu uuu ud d2 2222) 1 (tansec1 tansec2Trigonomtrica tenemos = } }+ uuuuuud d4222secsecsecsec2u = x = atanu , a = 1= } }+ uuu u d d2sec12dx = sec2udu = C sen d d + + + = +} }u u u u u u u 241212 cos 22 2 2) 1 ( + xu 1=Cxxx x +((

++ + 2 21 1) 1 (241tan21tan 2 x =Cxxx +++2 21) 1 ( 2tan25 Tambin puede ocurrir que el denominador Q(x) tenga factores lineales y cuadrticos a la vez, en este caso se usan ambos mtodos. Ejemplo: Determine }+ x xdx32

SolucindxxC BxxAx xdxx xdx} } }|.|

\|+++ =+=+ 1 2 ) 1 2 ( 22 2 3 m. c. d. = x (2x2 + 1) 1 2 ) 1 2 (12 2+++ =+ xC BxxAx x ( ) ( )x C Bx x A + + + = 1 2 122 A + B = 0 ; C = 0 , A = 1 A Cx x B ACx Bx A Ax+ + + =+ + + =22 2) 2 ( 12 1 Sust. A = 1 en2 A + B = 0 2(1) + B = 0 B = -2 } } } }+ =|.|

\|++ =+dxxxdxxdxxxx x xdx1 2211 20 2 1) 1 2 (2 2 2 Hacemos u = 2x2+1} + =xduuxC x42 ln1 du = 4xdx 2 1ln21ln C u C x + + = xdudx4= =C x x + + 1 2 ln21ln2donde C = C1+C2 Ejercicios Propuestos Evaluar las siguientes integrales a) }dxx x 312R /Cxx+3ln31 b) } +dxx x 612R /Cxx++32ln51 c)}++dxxx x22) 1 (2 R /( ) C x x + + +11 d) }+ +dxx xx4 512 42 R /( ) C x x + + +11 2 ln e) } + dxx xx15 212R /C x x + + + 3 ln415 ln43 f) } + ++dxx xx) 1 ( ) 4 (52R /C x x x + + + + 1 ln321 ln534 ln151 g) }+dxxx3) 1 (1 2R /Cx x+++ 12) 1 ( 222 h) }++dxx xx2 494R /Cxxx x + + 943tan2749 ln181ln911 2 i) } + dxx xx x) 5 ( ) 1 (33 25 222 R /C xxx + + + 5 ln 3111 ln 5 INTEGRALES RACIONALES DE SENOS Y COSENOS Lasustitucin 2tan xu = permitereducirelproblemadecalcularlaintegraldecualquier funcin racional de senx ycosx al de hallar la integral de una funcin racional de u. Estaasuvezpuederesolversemedianteelmtododedescomposicinenfracciones parciales.Laaplicacindeestemtodoessiemprelaboriosa,seutilizasolocuandohan fallado otros mtodos ms sencillos. Definicin:Siunintegrandoesunaexpresinracionalensenxycosx,lassiguientes sustituciones lo transforman en una expresin racional en u: ,122uusenx+= ,11cos22uux+= duudx212+= donde2tan xu = Ejemplo de Cmo deducir la expresin 212uusenx+=? Sea 2x= uy seau u u cos . 2 2 sen sen =se realiza la siguiente sustitucin 2cos .2222x xsenxsen = |.|

\| 2cos .22x xsen senx = se multiplica ambos miembros por 2cos x por conveniencia2cos .222cos2cos2cos .222 x xsenxsenxx x xsen senx = =((

= despejamos 2cos2cos .222xx xsensenx = separamos 2cos .2cos222 xxxsensenx =2sec2tan 22cos12tan 22cos2tan 2222xxxxxxsenx = =|.|

\|= 2tan 12tan 22 xxsenx+= como2tan xu = entonces nos queda 212uusenx+= L. q . q. d Ejemplos 1) Evaluar }+ xdxcos 4 5 Solucin: se sustituye dx por 212u + yx cospor 2211uu+ } } } }+++=+ + ++=+++=||.|

\|++ +22222 22222222191214 4 5 51214 4512114 512uuduuuu uduuuuduuuuduu = ( )( )} } }+=+=+++duuduuduuuu 9129291122 2 222 Usando la tabla de integrales de funciones trigonomtricas inversas nos queda |.|

\|+Cu3tan3121 =Cx+|.|

\|32tantan321 2) Evaluar }+ +dxx senx cos 11 Solucin } }||.|

\|++|.|

\|+++=+ +duuuuuudxx senx22221112112cos 11

= ( )( )} } }+++=+ + + ++=+ +++duuuuduuu u uuuu uu2 211211 2 11211 21122222 22222 = ( )} } +=+duuduu 111 22 Hacemosv = 1+u dv = du = C u C v dvv+ + = + =}1 ln ln1 =Cx+ +2tan 1 ln 3) Evaluar } x senxdxcos 3 4 Solucin } } }++++=||.|

\|+|.|

\|++=duuuuuuduuuuuux senxdx2222222213 3181211312412cos 3 4

= ( )( )} } +++=+ + +duu uuuduuu uu3 8 311213 3 812222222 = } +duu u 3 . 8 322Resolvemos esta integral aplicando al mtodo de fracciones parciales Factorizamos3 8 32 + u u dando como resultado( )( ) 1 3 3 u + u= ( )( )} }|.|

\|++= +duuBuAduu u 1 3 3 1 3 32 m.c.d =( )( ) 1 3 3 u + u ( )( ) 1 3 3 1 3 32++= + uBuAu u

( ) ( ) 3 1 3 2 + + = u B u AB Bu A Au 3 3 2 + + =( ) B A Bu Au 3 3 2 + + =( ) B A u B A 3 3 2 + + = 13A + B = 02-A + 3B = 2* 3 3A + B = 0 -3A +9B = 6 10 B = 6

106= B;53= B Sustituimos 53= Ben 1 0533 = + A533 = A 51353 == Aentonces duu u}||||.|

\|++1 353351 } }++ = duuduu 1 31533151 Hacemos3 + = u w.1 3 = u w du dw=du dw 3 =

3dwdu = } }+ =3153 151 dwwdww C w w + + = ln51ln51 C u u + = = 3 ln511 3 ln51 CxxCuu++= ++=32tan12tan 3ln5131 3ln51 Ejercicios Propuestos Evale las Siguientes Integrales: } +dxsenxxa1csc)R /Cxx+++2tan 122tan ln}+ xdxbcos 2)R /Cx+||.|

\||.|

\|32tan31tan 3321 }+ senx xdxctan) R /Cx x+ +2tan ln212tan412 } +dxxxdcos 1sec) R /Cx x x+ + + 2tan 1 ln 12tan ln2tan }+ senxdxf2)R /Cx+((

|.|

\|+312tan 2tan321 }+ xdxgcos 2 3)R /Cx+||.|

\||.|

\|52tan51tan 5521 }dxxxhtan 3 4sec)R /Cx x+ |.|

\| |.|

\| + 12tan 22tan 2 ln51 INTEGRALES DE POTENCIAS TRIGONOMTRICAS Algunasintegralestrigonomtricassepuedenevaluarsinintegrarporpartes.Sinesun entero positivo impar, se escribe } }= xsenxdx sen xdx senn n 1 Comoelenteron-1espar,sepuedeaplicarlaidentidadtrigonomtricax x sen2 2cos 1 =para obtener una integral ms fcil. Ejemplo:Evaluar }xdx sen5 Solucin :} }= xsenxdx sen xdx sen4 5 =( ) ( ) senxdx x senxdx x sen} } =2222cos 1=( )senxdx x x}+ 4 2cos cos 2 1 Hacemos x u cos = ( )senxdusenx u u xdx sen} }+ =4 2 52 1 senxdx du = Cu uu + + =5 325 3 C x x x + + =5 3cos51cos32cosParapotenciasimparesdecosxseescribe } }= xdx x xdxn ncos cos cos1yseutilizala identidadx sen x2 21 cos =, para obtener una integral mas sencilla. Cuando el integrando es o bienxncos, para n par, se utiliza la identidadtrigonomtrica22 cos 12xx sen= ,22 cos 1cos2xx+=Ejemplo : Evaluar }xdx sen4 Solucin:( )} } }|.|

\| = = dxxdx x sen xdx sen222 422 cos 1

=( )}+ dx x x 2 cos 2 cos 2 1412 se aplica otra vez la identidad y se escribe ( ) x x x 4 cos21214 cos 1212 cos2+ = + =y se sustituye en la integralsenxdudx =x senn } }|.|

\|+ + = dx x x xdx sen 4 cos21212 cos 2 1414 Hacemos u = 2x }|.|

\|+ = dx x x 4 cos212 cos 22341du = 2dx

|.|

\|+ =} }4cos212cos 22341 duuduu x2dudx = C x sen x sen x + |.|

\|+ = 48122341yu = 4x =C x sen x sen x + + 432124183 du = 4dx 4dudx = Integrales de la Forma }xdx x senn mcos Si uno de los exponentes m n es impar se utiliza la identidad trigonomtrica 1 cos2 2= + x x sen Ejemplo: Evaluar }xdx x sen4 3cos Solucin:( )} }= dx senx x x sen xdx x sen4 2 4 3cos cos( ) ( ) ( )} } = = dx xsenx xsenx dx senx x x6 4 4 2cos cos cos cos 1 Hacemos senxdudxsenxdx dux u= == cos }+ =senxdusenx u4}senxdusenx u6

} }+ + = + = Cu udu u du u7 57 56 4 =C x x + + 7 5cos71cos51 Si los exponentes m y n son pares se usan las identidades trigonomtricas 22 cos 12xx sen= . 22 cos 1cos2xx= Ejemplo : Evaluar }xdx xsen2 4cosSolucin } }|.|

\| |.|

\| += dxx xxdx xsen22 cos 122 cos 1cos22 4 ( )} + + = dx x x x 2 cos 1 ) 2 cos 2 cos 2 1 (812 =( )} + + dx x x x x x 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 1813 2 2 =( )} + dx x x x 2 cos 2 cos 2 cos 1813 2 ( )} } } } + = dx x x x xdx dx 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos812 2 Se aplica otra vez la identidad y se escribe 24 cos 12 cos2xx+= hacemos 222dudxdx dux u=== ( )((

|.|

\| + + =} } } }xdx x sen dxx duu dx 2 cos 2 124 cos 12cos812 ((

+ + =} } } }xdx x sen xdxduu dx senu x 2 cos . 2 2 cos4cos212121812 =((

+ +}xdux u x sen x sen x x sen x2 cos 22 cos 22148121221812 ((

+ + + = Cux sen x sen x x sen x622148121221813 C x sen x sen x sen x x sen x + + + = 2481216146411612161813 hacemos 444dudxdx dux u=== xdudxxdx dux sen u2 cos 22 cos 22=== C x sen x sen x + + = 248146411613 Integrales del tipo }xdx xn msec tan }xdx xn mcsc cot Cuando el exponente m es impar segn la integral se separan los factoresx x sec . tan x x csc . coty se usan las identidades trigonomtricas1 sec tan2 2 = x x 1 csc cot2 2 = x xLuego se realiza un cambio de variable conveniente. Ejemplo. Evaluar }xdx x5 3sec tanSolucin: } }= dx x x x x xdx x ) tan . (sec sec tan sec tan4 2 5 3 ( ) ( )} = dx x x x x tan . sec sec 1 sec4 2Hacemosx xdudxxdx x dux utan sectan . secsec=== ( )} =x xdux x u utan . sectan . sec 14 2 }+ = = Cu udu u u5 75 74 6 C x x + =5 7sec51sec71 Cuando el exponente n es par se separan los factores sec2x csc2xy se utilizan las identidades trigonomtricasx x2 2tan 1 sec + = x x2 2cot 1 csc + = y luego se realiza un cambio de variable conveniente. Ejemplo Evaluar }xdx x 3 csc 3 cot4 Solucin( )} }= dx x x x xdx x 3 csc 3 csc 3 cot 3 csc 3 cot2 2 4 ( ) ( ) ( )} } }+ = + = dx x x dx x x xdx x x 3 csc 3 cot 3 csc 3 cot 3 csc 3 cot 1 3 cot2 3 2 2 2 Hacemos xdudxxdx dux u3 csc 33 csc 33 cot22 = ==

} } =xdux uxdux u3 csc3 csc313 csc3 csc3122 322

C x x C u u + = + = 3 cot1213 cot61121614 2 4 2

Cuando el exponente m es par y el exponente n es impar se usa el mtodo de integracin por partes. - Para las integrales de potencias hiperblicas se consideran situaciones similares usando las identidades hiperblicas anlogas a las trigonomtricas. Ejercicios Propuestos Evale las siguientes integrales: }xdx a 2 cos )5 C x sen x sen x sen R + + 2101231221/5 3 }xdx x b7 5sec tan )C x x x R + + 7 9 11sec71sec92sec111/ }xdx x c2 3csc cot )C x x R + + csc21csc41/4 }xdx x sen d2 3cos )C x x R + 3 5cos31cos51/ }xdx e 2 sec )6 C x x x R + + + 2 tan1012 tan312 tan21/5 3 }xdx x f4 4cot csc )C x x R + 7 5cot71cot51/ }xdx senx g3cos )C x sen x sen R + 27237232/ ( )}+ dx x x h2cot tan ) C x x R + cot tan / INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBOLICAS Integrales de Funciones hiperblicas directas.Ciertascombinacionesdeexye-xaparecentanfrecuentementeenaplicacionesde matemtica que reciben nombresespeciales. Dos deesas funciones sonla funcinseno hiperblico y la funcin coseno hiperblico. Definicin: La funcin seno hiperblico est definida por: Senhx = ex e-x El dominio y el rango son el conjunto de todos los nmeros reales. 2 Definicin: La funcin coseno hiperblico est definida por: Coshx = ex + e-xEl dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y el rango es el 2 Conjunto de todos los nmerosen el intervalo [1, +) Estas combinaciones particulares de exponenciales familiares son tiles en ciertas aplicaciones del clculo y tambin son eficaces para evaluar ciertas integrales. Las otras cuatro funciones hiperblicas: la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperblicas se definen: tanhx = senhx = ex e-x coshxex +e-x cothx = coshx = ex +e-x(x 0) senhxex e-x sechx =1___ =___2___coshx ex + e-x cschx =___1__= ___2____ (x 0) senhxex e-x Tabla de Integrales de Funciones Hiperblicas Directas a) senhxdx = coshx + Cb) coshxdx = senhx + C c) tanhxdx = ln lcoshxl + Cd) cothxdx = ln |senhx| +C e) sechxdx = tan-1 |senhx|+Cf) cschxdx = ln | tanh x | + C 2

g) senh2xdx =1 senh 2x x+Ch) cosh2xdx =1 senh 2x +x+C 424 2

i) tanh 2 xdx = x tanhx + Cj) coth 2 xdx = x cothx + C

k) sech2xdx = tanhx + Cl) csch2xdx = - cothx + C m) sechxtanhxdx = - Sechx + Cn) cschxcothxdx = - cschx + C Ejemplos: a) Demostrar que tanhxdx = ln lcoshx l + C Solucintanhxdx = }xsenhxcoshdx = }senhxduusenhx* Hacemos u = coshx du = senhxdx=}u1 du = ln |u | +C dx = du =ln |coshx| + CL. q. q. d senhx b) Evaluar cosh 3xdx cosh3xdx = coshu 1 du= 1 coshudu 33 Hacemosu = 3x = 1senhu + C du = 3dx3 dx = du= 1senh3x + C 3 3 c) Evaluar senh3cosh2xdx Solucin: Descomponer senh3xensenh2x . senhx senh2x . cosh2x (senhxdx), como cosh2x senh2x = 1 entonces senh2x = cosh2x - 1 (cosh2x 1) cosh2x (senhxdx) = cosh4x (senhxdx) - cosh2x(senhxdx) Hacemosu = coshu4senhxdu - u2 senhx _du_

senhxsenhx du = senhxdx u4du - u4 du dx =_du_ senhx= u5 u3 + C 53 = 1 cosh5x1cosh3x + C 53 d) Evaluar xsenh2(x2)dx =xsenh2udu dx Hacemos u = x2= 1 senh2udu aplicando formulasdu = 2xdx 2 xdudx2= = |.|

\|+ Cuu senh224121 = 1 senh2x2 x2 + C 8 4 Ejercicios Propuestos Hallar la integral de cada funcin a) x2senhx3dxR / 1coshx3 + C 3 b) tanhxln(coshx)dx R/ ln2coshx + C c) tanh23xdx R / x 1 tanh3x + C 3 d) sech xtanh xdx R / 2sechx+C x e) senhx dxR / - 1 sech2x + C cosh3x 2 f) senhxdxR / 2 coshx + C x

g) sech4x dx R / tanhx 1 tanh3x + C 3 h) cosh23uduR / 1 senh6u + 3u + C 122

i) senh3x dx R / 1 cosh3x coshx + C 3j) senh(lnx)dx R / cosh(lnx) + C x INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBLICAS INVERSAS Lasfuncioneshiperblicainversassepuedenaplicarenintegracin,yalgunasvecessu uso simplifica los clculos considerablemente. Debe notarse, que al usarlas no se calculan nuevos tipos de integrales. Solamente se obtienen nuevas formas de los resultados.Por ejemplo Dx(senh -1u) =1Dx U U2 + 1 de lo cual obtenemos la frmula de integracin du__ =senh-1u + C u2 +1 Tabla de integrales que dan como resultado funciones hiperblicas inversas. a) du__ =senh-1u + C u2 +1 b)du__ =cosh-1u + C u2 -1 c) du__ =tanh-1u + C si |u | < 1=1 ln 1+ u +Csi u 1 1 - u2 coth-1u + Csi|u | > 12 1- u d)__du___= - sech-1 | u | + C u 1- u2

e) __du___= - csch-1 | u | + C u 1+ u2 Ejemplos a) Evaluar__dx __ =dx =1du4x2 + 1 (2x)2 +1 u2 + 1 2 Hacemos u = 2x= 1____1____ du aplicando frmula du = 2dx2 u2 + 1 du = du2 = 1 senh-1u + C 2

= 1senh-12x + C 2 b) __ex__dx =__ex___ dx =hacemos u = ex 16 e2x 42 (ex)2 du = exdx dx = du ex __ex___ du= ___1_____ du= aplicando frmula42 u2 ex42 u2 =1 tanh-1 u + C= 1 tanh-1 ex + Ca a 44 c) Evaluar ___dx____= ___dx / 5____=1_dx _____ x x2 + 25x x2/25 + 25/25 5 x(x/5)2 + 1 Aplicamos la frmula1senh-1 x + C 55

En este ejemplo se divide entre 5 para obtener la frmula deseada. Ejercicios propuestos Utilice las funciones hiperblicas inversas para evaluar las integrales de los siguientes problemas. a)__dx _____ x 4 - 9x2 R/ -1 sech-1 (3/2 x )+ C 2

b)__dx _____25 + 9x2R /1 senh-1 3x+ C 35

c)__dx _____ R / senh-1 3x+ C x2+ 9

d) __ex _____ dx R / senh-1ex + C e2x + 91

e) __1_____dxR / -sech-1ex + C 1- e2x

f) __1_____ dxR / 1 senh-1 4 x + C 4 9 81+ 16x2

g)__1____dx R / 1 tanh-1 2 x + C147

24 49 x

h)__ex_____dxR / cosh-1(ex/ 4) + C e2x - 16 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN DE FUNCIONES HIPERBLICAS Las sustitucioneshiperblicasse usan de manera semejante que las trigonomtricas. Las tres sustituciones hiperblicas bsicas son las siguientes: Si la Integral Contieneentonces se sustituyey se utiliza la identidad. a2 u2

u = atanh 1- tanh2 =Sech2 a2 + u2

u = asenh 1+ senh2 = Cosh2 u2 -a2 u = acosh cosh2 -1 = Senh2 Ejemplo: Determine_ 1 __ dx x2 -1 Utilizamos u2 a2 ,u = acosh , cosh2 1 = senh2donde u = x ^ a = 1 , entonces x = acosh dx = senhd Hacemos la sustitucin en la integral. ___ 1 ____ senh d=___senh___ d= __senhd (cosh)2 -1 cosh2 -1senh2 senhd=d= +c = cosh-1x + C senh

Ejercicios Propuesto Utilice sustituciones trigonomtricas e hiperblicas para evaluar las integrales dadas. a)1- 4x2dxR / 1-4x2- ln 1+1-4 x2+ C x 2x b) _x2__

dx 25-x2 R/ 25 sen-1 1 x 1x25-x2 +C25 2 c)___dx____ (4x2 - 9)3/2 R /-1x (4x2 -9)-1 + C9 d)9 x2dxx2 R /-9 x2- sen-1 x+ C x 3 e) x2 x2-1dx R /1 x (2x2 1) x2 1 1 ln x +x2 1 + C 88 f) sec2xdx (4- tan2x )3/2 R /tanx___+ C4 tan2x g) ___1___dx x x2 + 9 R /1 lnx2 +9- 3+ C 3x h) __ 1__ dx 25 + x2 R / senh-1 1x + C 5 i) dxxx224 R /cosh-1 1x-x2 4 + C 2 x j)dx x x}+2 21 R /1 x (1+2x2 ) 1 + x2- 1 senh-1x + C 8