Unidad 13. Integral indefinida
34
329 13. Integral indefinida 1. Reglas de integración Aplica la teoría Piensa y calcula Calcula: a) y = x 5 , y ′ = ■ b) y ′ = 3x 2 , y = ■ c) y = cos x, y ′ = ■ d) y ′ = cos x, y = ■ Solución: a) y ′ = 5x 4 b) y = x 3 c) y ′ = – sen x d) y = sen x Unidad 13. Integral indefinida Calcula: 1 ∫ 3(3x – 5) 7 dx Solución: Se aplica la integral de una función polinómica. (3x – 5) 8 8 + k 2 ∫ dx (3x + 5) 3 Solución: Se aplica la integral de una función racional. – 1 6(3x + 5) 2 + k 3 ∫ cos x 6 dx Solución: Se aplica la integral de una función trigonométrica. 6 sen x 6 + k 4 ∫ e x dx Solución: Se aplica la integral de una función exponencial. e x + k 5 ∫ dx x + 3 Solución: Se aplica la integral de una función logarítmica. ln |x + 3| + k 6 ∫ (e x – sen x) dx Solución: Se aplica la integral de las operaciones. e x + cos x + k 7 ∫ 2 6x dx Solución: Se aplica la integral de una función exponencial. 2 6x – 1 3 ln 2 + k 8 ∫ x dx x 2 – 1 Solución: Se aplica la integral de una función logarítmica. 1 2 ln |x 2 – 1| + k
Transcript of Unidad 13. Integral indefinida
32913. Integral indefinida
1. Reglas de integración
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Calcula:
a) y = x5, y ′ = ■ b) y ′ = 3x2, y = ■
c) y = cos x, y ′ = ■ d) y ′ = cos x, y = ■
Solución:
a) y ′ = 5x4 b) y = x3
c) y ′ = –sen x d) y = sen x
Unidad 13. Integral indefinida
Calcula:
1 ∫3(3x – 5)7 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.(3x – 5)8
8 + k
2 ∫ dx(3x + 5)3
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– 16(3x + 5)2 + k
3 ∫cos x6
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
6 sen x6 + k
4 ∫ex dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
e x + k
5 ∫ dxx + 3
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
ln |x + 3| + k
6 ∫(e x – sen x) dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
e x + cos x + k
7 ∫26x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
26x – 1
3 ln 2 + k
8 ∫ x dxx2 – 1
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.12 ln |x2 – 1| + k
330 Bloque III. Análisis
9 ∫2x sen x 2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–cos x 2 + k
10 ∫ 7 dx
2√7x + 5
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
√7x + 5 + k
11 ∫3 cos 3x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
sen 3x + k
12 ∫ dx9 + x2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.13 arc tg
x3 + k
13 ∫sec2 (3x + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.13 tg (3x + 1) + k
14 ∫dx
√9 – x2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
arc sen x3 + k
15 ∫5 sen x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–5 cos x + k
16 ∫(x3 – 6x2 + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.x4
4 – 2x3 + x + k
17 ∫cosec2 (5x – 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 15 cotg(5x – 1) + k
18 ∫ dx
√x – 1
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
2√x – 1 + k
19 ∫ex/2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
2 ex/2 + k
20 ∫(sen x + cos x) dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
–cos x + sen x + k
21 ∫ 3(x – 3)4 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– 1(x – 3)3
+ k
22 ∫(4x + 1)5 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.(4x + 1)6
24 + k
23 ∫cotg (–2x + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 12 ln |sen (2x – 1)| + k
24 ∫3 · 23x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.23x
ln 2 + k
33113. Integral indefinida
25 ∫ dx(2x – 1)4
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– 16(2x – 1)3 + k
26 ∫3 cotg 3x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
ln |sen 3x| + k
27 ∫ 2x – 3x2 – 3x + 5
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
ln |x2 – 3x + 5| + k
28 ∫5 sen 5x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–cos 5x + k
29 ∫2 tg 2x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– ln |cos 2x| + k
30 ∫2 5√2x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
5x 5√2x3 + k
31 ∫ 2 dx
√1 – (2x)2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
arc sen 2x + k
32 ∫ex sen ex dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–cos ex + k
33 ∫e–7x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– e–7x
7 + k
34 ∫ dx1 – x
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
– ln |1 – x| + k
35 ∫2x tg x2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– ln |cos x2| + k
36 ∫cos (5x – 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.15
sen (5x – 1) + k
37 ∫ 3 dx1 + (3x)2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
arc tg 3x + k
38 ∫sen x2
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–2 cos x2 + k
39 ∫(x4 – 2x – 5) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
x5
5 – x2 – 5x + k
40 ∫ex cos ex dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
sen ex + k
332 Bloque III. Análisis
2. Integración por partes
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Calcula la derivada de: y = ex(x2 – 2x + 2)
Solución:
y ′ = ex(x2 – 2x + 2) + ex(2x – 2) = x2ex
Calcula:
41 ∫xex dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:u = x
dv = exdx
El resultado es:ex(x – 1) + k
42 ∫x sen x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:u = x
dv = sen x dx
El resultado es:–x cos x + sen x + k
43 ∫(x + 5) cos x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:u = x + 5
dv = cos x dx
El resultado es:(x + 5) sen x + cos x + k
44 ∫sen (ln x) dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = sen (ln x)
dv = dx
Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación.
El resultado es: x2 (sen (ln x) – cos (ln x)) + k
45 ∫arc sen x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = arc sen x
dv = dx
El resultado es:
x arc sen x + √1 – x2 + k
46 ∫x2 e–x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2
dv = e–xdx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
–e–x(x2 + 2x + 2) + k
47 ∫x3 ln x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln x
dv = x3 dx
El resultado es:x4
4 ln |x| – x4
16 + k
33313. Integral indefinida
48 ∫(x2 – 1) sen x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2 – 1
dv = sen x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es:
(–x2 + 3) cos x + 2x sen x + k
49 ∫(x2 + 1) ln x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln x
dv = (x2 + 1)dx
El resultado es:
( x3
3 + x) ln |x| – x3
9 – x + k
50 ∫x2 cos x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2
dv = cos x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes. El resultado es:
(x2 – 2) sen x + 2x cos x + k
51 ∫(x + 2) ex dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x + 2
dv = exdx
El resultado es:
ex(x + 1) + k
52 ∫e–x sen x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = sen x
dv = e–x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación. El resultado es:
– 12 e–x(sen x + cos x) + k
53 ∫ ln (x + 1) dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln (x + 1)
dv = dx
El resultado es:
(x + 1) ln |x + 1| – x + k
54 ∫(x2 + 4) ex dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2 + 4
dv = exdx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
ex(x2 – 2x + 6) + k
55 ∫ex cos x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = cos x
dv = ex dx
Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación.
El resultado es:12 e
x(sen x + cos x) + k
56 ∫arc tg x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = arc tg x
dv = dx
El resultado es:
x arc tg x – 12 ln |x2 + 1| + k
334 Bloque III. Análisis
Calcula las siguientes integrales:
57 ∫ x2 – x + 3x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
x – 1 + 3x
La integral es:x2
2 – x + 3 ln |x| + k
58 ∫ 3x2 – 5x – 3x – 1
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
3x – 2 + 5
1 – x
La integral es:3x2
2 – 2x – 5 ln |x – 1| + k
59 ∫ 5x + 2x2 + x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:2x +
3x + 1
La integral es:
2 ln |x| + 3 ln |x + 1| + k
60 ∫ x2 – 3x + 5x3 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:1x – 3
x2 + 5x3
La integral es:
ln |x| + 3x
– 52x2
+ k
61 ∫ 5x + 13x2 + 6x + 9
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:5
x + 3 – 2
(x + 3)2
La integral es:
5 ln |x + 3| + 2
x + 3 + k
62 ∫ x2 + 8x + 10x3 + 9x2 + 27x + 27
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:1
x + 3 + 2
(x + 3)2 – 5
(x + 3)3
La integral es:
ln |x + 3| – 2
x + 3 + 52(x + 3)2
+ k
3. Integración de funciones racionales con raíces reales en el denominador
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Realiza la siguiente división entera y haz la prueba: 39 5
Solución:
39 54 7
Prueba: 39 = 5 · 7 + 4
33513. Integral indefinida
63 ∫ 3x2 – x – 9x + 2
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
3x – 5 + 1
x + 2
La integral es:3x2
2 – 5x + ln |x + 2| + k
64 ∫ x3 – 2x2 – 3x + 10x2 – 1
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
x – 2 + 3
x – 1 – 5
x + 1
La integral es:x2
2 – 2x + 3 ln |x – 1| – 5 ln |x + 1| + k
65 ∫ 8x + 7x2 + x – 2
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:3
x + 2 +
5x – 1
La integral es:
3 ln |x + 2| + 5 ln |x – 1| + k
66 ∫ 2x + 3x2 – 2x + 1
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:2
x – 1 + 5
(x – 1)2
La integral es:
2 ln |x – 1| – 5
x – 1 + k
67 ∫ x2 – 7x + 15x3 – 6x2 + 12x – 8
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:1
x – 2 – 3(x – 2)2
+ 5(x – 2)3
La integral es:
ln |x – 2| + 3
x – 2 – 5
2(x – 2)2 + k
68 ∫ x2 – 12x + 12x3 – 4x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
– 3x –
1x – 2 +
5x + 2
La integral es:
–3 ln |x| – ln |x – 2| + 5 ln |x + 2| + k
4. Integración de funciones racionales con raíces complejas o de varios tipos
Piensa y calcula
Halla mentalmente las raíces imaginarias de la siguiente ecuación:
x2 + 9 = 0
Solución:
x = ±3i
336 Bloque III. Análisis
Calcula las siguientes integrales:
73 ∫ dxx (ln x)2
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ln x = t
x = et
dx = et dt
Se obtiene:
– 1ln x + k
5. Integración por cambio de variable o sustitución y de funciones definidas a trozos
Piensa y calcula
Resuelve mentalmente las siguientes integrales inmediatas.
a) ∫ dxx
b) ∫ ex
ex + 3 dx
Solución:
a) ln |x| + k b) ln |ex + 3| + k
Calcula las siguientes integrales:
69 ∫ 2x + 1x2 – 2x + 5
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
Raíces del denominador:
x = 1 ± 2i
Son imaginarias simples.
La integral es:
ln |x2 – 2x + 5| + 32 arc tg
x – 12 + k
70 ∫ 8x2 – 18x + 1x3 – 3x2 + 4
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
Raíces del denominador:
x = –1 real simple, x = 2 real doble.
La descomposición es:3
x + 1 + 5
x – 2 – 1(x – 2)2
La integral es:
3 ln |x + 1| + 5 ln |x – 2| + 1
x – 2 + k
71 ∫ 3x2 – 5x + 1x3 – 3x2 + 4x – 12
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
Raíces del denominador:
x = 3 real simple.
x = ±2i imaginarias simples.
La descomposición es:1
x – 3 + 2x + 1x2 + 4
La integral es:
ln |x – 3| + ln |x2 + 4| + 12 arc tg
x2 + k
72 ∫ 2x + 5x2 + 4x + 5
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
Raíces del denominador:
x = –2 ± i imaginarias simples.
La integral es:
ln |x2 + 4x + 5| + arc tg (x + 2) + k
Aplica la teoría
Aplica la teoría
33713. Integral indefinida
74 ∫ ln xx[(ln x)2 – 1]
dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ln x = t
x = et
dx = et dtSe obtiene:
12 ln [(ln x)2 – 1] + k
75 ∫ 1ex + 2
dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ex = t
x = ln t
dx = dtt
Se obtiene:x2
– 12 ln (ex + 2) + k
76 ∫ e2x
ex – 4 dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ex = t
x = ln t
dx = dtt
Se obtiene:
ex + 4 ln |ex – 4| + k
77 ∫ x
√x + 1 dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x + 1 = t
x + 1 = t2
x = t2 – 1
dx = 2t dtSe obtiene:
23 (x + 2)√x + 1 + k
78 ∫ dx
1 + √x + 3
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x + 3 = t
x + 3 = t2
x = t2 – 3
dx = 2t dt
Se obtiene:
2√x + 3 – 2 ln |√x + 3 + 1| + k
79 ∫ dx
1 – √—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x = t
x = t2
dx = 2t dt
Se obtiene:
–2√x – 2 ln |√x – 1| + k
80 ∫ dx
x + √—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x = t
x = t2
dx = 2t dt
Se obtiene:2 ln |√x + 1| + k
81 ∫ dx
√—x +
3√—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.6√x = t
x = t6
dx = 6t5 dt
Se obtiene:
2√x – 33√x + 6
6√x – 6 ln |6√x + 1| + k
82 ∫ dx
√—x +
4√—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.4√x = t
x = t4
dx = 4t3 dt
Se obtiene:
2√x + 4 4√x + 4 ln |
4√x – 1| + k
83 Sea f (x) = ⎧⎨⎩x si x ≤ 1– 3 si x > 1
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
x2/2 + k si x ≤ 1
–3x + k si x > 1
338 Bloque III. Análisis
84 Sea f (x) = ⎧⎨⎩sen x si x ≤ 01/x si x > 0
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
–cos x + k si x ≤ 0
ln |x| + k si x > 0
85 Sea f (x) = ⎧⎨⎩x2 si x ≤ 1ex si x > 1
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
x3/3 + k si x ≤ 1
ex + k si x > 1
6. Integración de funciones trigonométricas
Aplica la teoría
Piensa y calcula
Escribe la fórmula fundamental de la trigonometría.
Solución:
sen2 x + cos2 x = 1
Calcula:
86 ∫sen x cos x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x y en el cos x
La integral es: 12 sen2 x + k
87 ∫sen3 x cos x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x y en el cos x
La integral es: 14 sen4 x + k
88 ∫sen4 x cos x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el cos x
La integral es: 15 sen5 x + k
89 ∫sen3 x cos2 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x
La integral es:
– cos3 x3
+ cos5 x
5 + k
90 ∫sen2 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es par en el sen x
La integral es:
12 (x –
12 sen 2x) + k
91 ∫sen4 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es par en el sen x
La integral es: 3x8
– sen 2x4 +
sen 4x32 + k
33913. Integral indefinida
92 ∫sen2 5x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es par en el sen 5x
La integral es:
x2
– sen 10x20 + k
93 ∫√1 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = sen t
dx = cos t dt
La integral es:
12 (arc sen x + x √1 – x2 ) + k
94 ∫√16 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 4 sen t
dx = 4 cos t dt
La integral es:
8 arc sen x4 +
12 x √16 – x2 + k
95 ∫√2 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = √2 sen t
dx = √2 cos t dt
La integral es:
arc sen √22 x +
12 x √2 – x2 + k
96 ∫ dx
x2√1 + x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = tg t
dx = sec2 t dt
La integral es:
– √1 + x2
x + k
97 ∫ dx
x2√16 + x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 4 tg t
dx = 4 sec2 t dt
La integral es:
– √16 + x2
16x + k
340 Bloque III. Análisis
Ejercicios y problemas
Preguntas tipo testCalcula las siguientes integrales y señala la solución correcta:
1 ∫ (2x – 1)2
4x2 + 1 dx
❏ arc tg 2x + k
❏ 12
ln |4x2 + 1| + k
❏ x + k
❏✘ x – 12
ln |4x2 + 1| + k
2 ∫ 2x3 – 9x2 + 7xx2 – x
dx
❏ 2x2 – x + k
❏✘ x2 – 7x + k
❏ 2x2 – 7x + ln |x| + ln |x – 1| + k
❏ x2 + ln |x| + ln |x – 1| + k
3 ∫ 1x(x + 1)
dx
❏ ln |x| + ln |x + 1| + k
❏ ln |x| + ln |x – 1| + k
❏✘ ln |x| – ln |x + 1| + k
❏ ln |x| · ln |x – 1| + k
4 ∫ x(x + 1)3 dx
❏ ln |x + 1| – 2x + 1
2x2 + 4x + 2 + k
❏✘ – 2x + 12x2 + 4x + 2
+ k
❏ ln |x + 1| – 1
2x2 + 4x + 2 + k
❏ –1
2x2 + 4x + 2 + k
5 ∫ 1 + x
1 + √—x
dx
❏✘ 23
x √x – x + 4√x – 4 ln |√x + 1| + k
❏ x2
– √x + 2 ln |√x – 1| + k
❏ 23√x – x – 4 ln |√x + 1| + k
❏ 23
x √x + 4√x – ln |√x + 1| + k
6 ∫ x3 + 2x2 + 3x + 2
dx
❏ x2
2 – 3x + ln |x – 1| + 6 ln |x – 2| + k
❏ x2 – 3
2 + ln |x – 1| + 6 ln |x – 2| + k
❏✘ x2
2 – 3x + ln |x + 1| + 6 ln |x + 2| + k
❏ x2
2 – 3x + ln |x2 + 3x + 2| + k
7 ∫ x3
√1 + x2 dx
❏ x2
3 √x2 + 1 + k
❏✘ x2 – 2
3 √x2 + 1 + k
❏ (x2 – 2)√x2 + 1 + k
❏ x2 – 2
3 + √x2 + 1 + k
8 ∫ex + ex dx
❏✘ eex + k ❏ x ex + k
❏ x eex + k ❏
eex
x + k
9 ∫ x3 + 1x2 + 4
dx
❏ x2
2 +
12
arc tg x2
+ k
❏ x2
2 + 2 ln |x2 + 4| + k
❏ x2
2 + 2 ln |x2 + 4| +
12
arc tg x2
+ k
❏✘ x2
2 – 2 ln |x2 + 4| +
12
arc tg x2
+ k
10 ∫ 4 – 2x2
x ln x dx
❏ 4(ln x)2 – x2 ln x – x2
2 + k
❏✘ 2(ln x)2 – x2 ln x + x2
2 + k
❏ 4(ln x)2 – x2 – x2
2 + k
❏ 2(ln x)2 – ln x + x2
2 + k
Preguntas tipo test
34113. Integral indefinida
1. Reglas de integración
Calcula las siguientes integrales:
98 ∫4(4x – 1)5 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.(4x – 1)6
6 + k
99 ∫ dx(x – 1)5
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– 14(x – 1)4
+ k
100 ∫cos 3x2
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.23 sen
3x2 + k
101 ∫e–x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
–e–x + k
102 ∫ dxx – 1
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
ln |x – 1| + k
103 ∫(cos x – e– x) dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
e–x + sen x + k
104 ∫2– 4x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– 2–4x
4 ln 2 + k
105 ∫ x dxx2 + 9
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.12 ln |x2 + 9| + k
106 ∫sen (5 – 2x) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.12 cos (2x – 5) + k
107 ∫ 3 dx
√3x
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
2√3x + k
108 ∫x cos (x2 + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.12 sen (x2 + 1) + k
109 ∫ dx3 + x2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
√33 arc tg
√33 x + k
110 ∫x sec2 x2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.12 tg x2 + k
111 ∫ dx
√2 – x2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
arc sen √22 x + k
Ejercicios y problemas propuestos
342 Bloque III. Análisis
112 ∫5 sen 7x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 57 cos 7x + k
113 ∫(10x4 + 2x3 – x – 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.
2x5 + x4
2 – x2
2 – x + k
114 ∫cosec2 (3 – 4x) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.14 cotg (3 – 4x) + k
115 ∫5√x3 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
5x 5√x3
8 + k
116 ∫ex/3 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
3ex/3 + k
117 ∫(sen x – cos x) dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
–cos x – sen x + k
118 ∫(3x2 + 1 – 1
x + 2 +
8x5 ) dx
Solución:
Se aplica la integral de las operaciones.
x3 + x – ln |x + 2| – 2x4
+ k
119 ∫(2x – 1)3 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.(2x – 1)4
8 + k
120 ∫–x cotg x2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 12 ln |sen x2| + k
121 ∫5 · 7–5x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.
– 7–5x
ln 7 + k
122 ∫ dx(x + 7)2
Solución:
Se aplica la integral de una función racional.
– 1x + 7 + k
123 ∫2x cotg x2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
ln |sen x2| + k
124 ∫ 3x2 + 5x3 + 5x – 1
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
ln |x3 + 5x – 1| + k
125 ∫sen (3x + 2) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 13 cos (3x + 2) + k
34313. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
126 ∫tg x4
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–4 ln |cos x4 | + k
127 ∫3
√5x + 1 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
3(5x + 1) 3
√5x + 120 + k
128 ∫ 7 dx
√4 – x2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
7 arc sen x2 + k
129 ∫e–x sen e–x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
cos e–x + k
130 ∫e5x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función exponencial.e5x
5 + k
131 ∫ 5 dx5x + 4
Solución:
Se aplica la integral de una función logarítmica.
ln |5x + 4| + k
132 ∫tg (4x + 5) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 14 ln |cos (4x + 5)| + k
133 ∫cos (4 – x) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–sen (4 – x) + k
134 ∫ 6 dx1 + (2x)2
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
3 arc tg 2x + k
135 ∫sen 4x5
dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
– 54 cos
4x5 + k
136 ∫(x3 + 34
x2 – 8x + 1) dx
Solución:
Se aplica la integral de una función polinómica.x4
4 + x3
4 – 4x2 + x + k
137 ∫e–x cos e–x dx
Solución:
Se aplica la integral de una función trigonométrica.
–sen e–x + k
138 Calcula tres primitivas de la función:
y = sen x
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y = –cos x
y = 2 – cos x
y = –3 – cos xY
X
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
344 Bloque III. Análisis
139 Dada la función:
y = cos x
a) Calcula su integral indefinida.
b) Halla la primitiva que pasa por el punto P(0, 3)
c) Dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior.
Solución:
a) ∫cos x dx = sen x + k
b) sen 0 + k = 3 ⇒ k = 3
y = 3 + sen x
c) Y
X
2. Integración por partes
Calcula las siguientes integrales:
140 ∫x e3x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x
dv = e3x dx
El resultado es:
e3x ( x3
– 19 ) + k
141 ∫(x – 1) sen x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x – 1
dv = sen x dx
El resultado es:
(–x + 1) cos x + sen x + k
142 ∫(x – 2) cos x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x – 2
dv = cos x dx
El resultado es:
(x – 2) sen x + cos x + k
143 ∫x ln (x + 5) dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln (x + 5)
dv = x dx
El resultado es:12 (x2 – 25) ln |x + 5| –
x2
4 + 5x2 + k
144 ∫x arc tg x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = arc tg x
dv = x dx
El resultado es:12 (x2 + 1) arc tg x –
x2 + k
145 ∫x2 e–3x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2
dv = e–3x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
– 127 e
–3x(9x2 + 6x + 2) + k
34513. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
146 ∫x4 ln x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln x
dv = x4 dx
El resultado es:x5
5 ln |x| –
x5
25 + k
147 ∫(x2 + 3) sen x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2 + 3
dv = sen x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
(x2 + 1) cos x + 2x sen x + k
148 ∫(x2 – 1) ln x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln x
dv = (x2 – 1)dx
El resultado es:
( x3
3 – x) ln |x| – x3
9 + x + k
149 ∫(x2 – 1) cos x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2 – 1
dv = cos x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
(x2 – 3) sen x + 2x cos x + k
150 ∫(x – 1) ex dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x – 1
dv = ex dx
El resultado es:
ex(x – 2) + k
151 ∫e2x sen x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = sen x
dv = e2x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes, y planear una ecuación.
El resultado es: 15 e2x(2 sen x – cos x) + k
152 ∫ ln (x – 1) dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln (x – 1)
dv = dx
El resultado es:
(x – 1) ln |x – 1| – x + k
153 ∫(x2 – 3) ex dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = x2 – 3
dv = exdx
Hay que hacerla otra vez, por partes.
El resultado es:
ex(x2 – 2x – 1) + k
346 Bloque III. Análisis
154 ∫e–x cos x dx
Solución:
Se resuelve aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:u = cos x
dv = e–x dx
Hay que hacerla otra vez, por partes, y plantear una ecuación.
El resultado es:12 e–x(sen x – cos x) + k
155 ∫arc tg 2x dx
Solución:
Se ha de resolver aplicando el método de integración por partes.
Se hacen los cambios:
u = arc tg 2x
dv = dx
El resultado es:
x arc tg 2x – 14 ln |4x2 + 1| + k
3. Integración de funciones racionales con raíces reales en el denominador
Calcula las siguientes integrales:
156 ∫ x2 + x – 2x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales. La descomposición es:
x + 1 – 2x
La integral es:x2
2 + x – 2 ln |x| + k
157 ∫ x2 – 6x + 25 – x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales. La descomposición es:
–x + 1 – 3
5 – x
La integral es:
– x2
2 + x + 3 ln |x – 5| + k
158 ∫ 3x – 4x2 – 4
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
12 ( 1
x – 2 + 5
x + 2 )La integral es:
12 (ln |x – 2| + 5 ln |x + 2|) + k
159 ∫ 5x2 – 2x – 3x3 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:5x
– 2x2
– 3x3
La integral es:
5 ln |x| + 2x + 3
2x2 + k
160 ∫ 4x – 11x2 – 6x + 9
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:4
x – 3 + 1
(x – 3)2
La integral es:
4 ln |x – 3| – 1
x – 3 + k
161 ∫ – 2x2 + 14x – 31x3 – 9x2 – 27x + 27
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:
– 2x – 3
+ 2(x – 3)2
– 7(x – 3)3
La integral es:
–2 ln |x – 3| – 2x – 3
+ 72(x – 3)2
+ k
34713. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
162 ∫ 2x2 – 10x + 13x – 3
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
La descomposición es:
2x – 4 + 1
x – 3La integral es:
x2 – 4x + ln |x – 3| + k
163 ∫ x3 – 2x2 + 6x – 2x2 – x
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales. El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
x – 1 + 2x +
3x – 1
La integral es:x2
2 – x + 2 ln |x| + 3 ln |x – 1| + k
164 ∫ 11x + 13x2 + x – 6
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:4
x + 3 +
7x – 2
La integral es:
4 ln |x + 3| + 7 ln |x – 2| + k
165 ∫ 3x – 1x2 + 2x + 1
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:3
x + 1 – 4
(x + 1)2
La integral es:
3 ln |x + 1| + 4
x + 1 + k
166 ∫ 3x2 + 8x + 5x3 + 6x2 + 12x + 8
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene una raíz real múltiple.
La descomposición es:3
x + 2 – 4
(x + 2)2 + 1
(x + 2)3
La integral es:
3 ln |x + 2| + 4
x + 2 – 1
2(x + 2)2 + k
4. Integración de funciones racionales con raíces complejas o de varios tipos
Calcula las siguientes integrales:
167 ∫ 2x – 3x2 + 2x + 10
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
Raíces del denominador:
x = –1 ± 3i
Son imaginarias simples.
La integral es:
ln |x2 + 2x + 10| – 53 arc tg
x + 13 + k
168 ∫ 2x2 + 18x + 25x3 + 3x2 – 4
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
Raíces del denominador:
x = 1 real simple.
x = –2 real doble.
La descomposición es:5
x – 1 – 3
x + 2 + 1(x + 2)2
La integral es:
5 ln |x – 1| – 3 ln |x + 2| – 1
x + 2 + k
169 ∫ 2x2 + x + 7x3 + 2x2 + 9x + 18
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
Raíces del denominador:
x = –2 real simple.
x = ±3i imaginarias simples.
La descomposición es:1
x + 2 + x – 1x2 + 9
348 Bloque III. Análisis
La integral es:
ln |x + 2| + 12 ln |x2 + 9| –
13 arc tg
x3 + k
170 ∫ 3xx2 – 4x + 8
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
Raíces del denominador:
x = 2 ± 2i imaginarias simples.
La integral es:32
ln |x2 – 4x + 8| + 3 arc tg x – 2
2 + k
5. Integración por cambio de variable o sustitución y de funciones definidas a trozos
Calcula las siguientes integrales:
171 ∫ dxx ln x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ln x = t
x = et
dx = et dt
Se obtiene:
ln (ln x) + k
172 ∫ ln xx [(ln x)2 + 1]
dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ln x = t
x = et
dx = et dt
Se obtiene:12 ln [(ln x)2 + 1] + k
173 ∫ 1ex – 3
dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ex = t
x = ln t
dx = dtt
Se obtiene:
– x3
+ 13
ln |ex – 3| + k
174 ∫ e2x
ex + 5 dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
ex = t
x = ln t
dx = dtt
Se obtiene:
ex – 5 ln |ex + 5| + k
175 ∫ x
√x – 1 dx
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x – 1 = t
x – 1 = t2
x = t2 + 1
dx = 2t dt
Se obtiene:23 (x + 2)√x – 1 + k
176 ∫ dx
2 – √—x – 3
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x – 3 = t
x – 3 = t2
x = t2 + 3
dx = 2t dt
Se obtiene:
–2 √x – 3 – 4 ln |√x – 3 – 2| + k
177 ∫ dx
1 + √—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x = t
x = t2
dx = 2t dt
Se obtiene:
2 √x – 2 ln |√x + 1| + k
34913. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
178 ∫ dx
2x – √—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.
√x = tx = t2
dx = 2t dt
Se obtiene: ln |2 √x – 1| + k
179 ∫ dx
√—x –
3√—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.6√x = tx = t6
dx = 6t5 dt
Se obtiene: 2 √x + 3 3√x + 6
6√x + 6 ln |6√x – 1| + k
180 ∫ dx
√—x +
4√—x
Solución:
Se aplica el método de sustitución o cambio de variable.4√x = tx = t4
dx = 4t3 dt
Se obtiene: 2 √x – 4 4√x + 4 ln |
4√x + 1| + k
181 Sea f (x) = ⎧⎨⎩
2x si x ≤ 1
–1 si x > 1
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
x2 + k si x ≤ 1
–x + k si x > 1
182 Sea f (x) = ⎧⎨⎩
2/x si x < 0
cos x si x ≥ 0
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
2 ln |x| + k si x < 0
sen x + k si x ≥ 0
183 Sea f (x) = ⎧⎨⎩
1/x2 si x ≤ 1
ex/2 si x > 1
Calcula ∫ f (x) dx
Solución:
⎧⎨⎩
–1/x + k si x ≤ 1
2ex/2 + k si x > 1
6. Integración de funciones trigonométricas
Calcula las siguientes integrales:
184 ∫sen x cos2 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x
La integral es:
– 13
cos3 x + k
185 ∫sen x cos3 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x y en el cos x
La integral es:
– 14
cos4 x + k
186 ∫sen x cos4 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el sen x
La integral es:
– 15
cos5 x + k
187 ∫sen2 x cos3 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es impar en el cos x
La integral es:
sen x5 (–cos4 x +
cos2 x3 +
23 ) + k
188 ∫tg2 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas. Es par en el sen x y en el cos x
La integral es: (–x + tg x) + k
350 Bloque III. Análisis
189 ∫cos4 x dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Es par en el cos x
La integral es:
14 [ 3x
2 + sen x cos x (cos2 x + 32 )] + k
190 ∫√9 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 3 sen t
dx = 3 cos t dt
La integral es:12
(9 arc sen x3
+ x √9 – x2 ) + k
191 ∫√25 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 5 sen t
dx = 5 cos t dt
La integral es:12
(25 arc sen x5
+ x √25 – x2 ) + k
192 ∫√3 – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = √3 sen t
dx = √3 cos t dt
La integral es: 12 (3 arc sen
√33 x + x √3 – x2 ) + k
193 ∫ dx
x2 √—4 + x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 2 tg t
dx = 2 sec2 t dt
La integral es:
– √4 + x2
4x + k
194 ∫ dx
x2 √—25 + x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones trigonométricas.
Se aplica el cambio de variable.
x = 5 tg t
dx = 5 sec2 t dt
La integral es:
– √25 + x2
25x + k
35113. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
195 Calcula tres primitivas de la función:
y = x
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y = x2
2
y = x2
2 + 1
y = x2
2 – 3
Y
X
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
196 Dada la función:
y = –x + 1
a) Calcula su integral indefinida.
b) Halla la primitiva que pasa por el punto P(4, –1)
c) Dibuja la función inicial y la pri mitiva que se pide en el apartado anterior.
Solución:
a) ∫ (–x + 1)dx = –x2
2 + x + k
b) –42
2 + 4 + k = –1
k = 3
y = –x2
2 + x + 3
c) Y
X
197 Halla la integral de la siguiente fun ción definida a trozos:
f (x) = ⎧⎨⎩
1 si x < 2
x si x ≥ 2
Solución:
∫ f (x) dx = ⎧⎨⎩
x + k si x < –2
x2/2 + k si x ≥ 2
198 Calcula la integral de la función:
f (x) = x2 + 3x + 1
x
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales. La descomposición es:
x + 3 + 1x
La integral es:x2
2 + 3x + ln |x| + k
199 Calcula la integral de la función:
f (x) = x3 – 4x
Solución:
Es la integral de un polinomio.x4
4 – 2x2 + k
200 Calcula la integral indefinida:
∫ 11 + ex
dx
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex = t ⇒ x = ln t
dx = dtt
La integral es:
x – ln |ex + 1| + k
201 Calcula la integral de la función:
f (x) = x ln x
Solución:
Se calcula por partes.
Se hacen los cambios:
u = ln x
dv = x dx
El resultado es:
x2
2 (ln |x| –
12 ) + k
202 Calcula la integral de la función:
y = ex + 2
Solución:
Es la integral de una función exponencial.
ex + 2 + k
Para ampliar
352 Bloque III. Análisis
203 Calcula la integral de la función:
f (x) = (1 + x) ex
Solución:
Se calcula por partes. Se hacen los cambios:
u = 1 + x
dv = ex dx
El resultado es:
xex + k
204 Calcula:
∫ 2x3 – x2 – 12x – 3x2 – x – 6
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
2x + 1 + 15 ( 6
x – 3 – 1
x + 2 )La integral es: x2 + x +
65
ln |x – 3| – 15
ln |x + 2| + k
205 Halla una función f (x) sabiendo que f ′(x) = x2ex
Solución:
Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios:
u = x2
dv = ex dx
El resultado es: ex(x2 – 2x + 2) + k
206 Calcula la integral de la función:
f (x) = √x – 1
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.23 (x – 1)√x – 1 + k
207 Calcula ∫x3 ex2
Solución:
Se calcula por partes; tiene que aplicarse dos veces el método.
La primera vez se hacen los cambios:
u = x2
dv = x ex2
El resultado es: 12
ex2
(x2 – 1) + k
208 Calcula ∫ x dxex2
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex2
= t ⇒ 2x ex2
dx = dt
x dx = dt2t
La integral es: –12 e–x2
+ k
209 Calcula una primitiva de la función:
y = 11 – x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
12 ( 1
x + 1 – 1
x – 1 )La integral es:
12 (ln |x +1| – ln |x – 1|) + k
210 Calcula una primitiva de la función:
y = √x
Solución:
Es la integral de una función irracional.23 x √x + k
Problemas211 Calcula tres primitivas de la función:
y = –x
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y = –x2
2
y = –x2
2 + 4
y = –x2
2 – 1
Y
X
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
35313. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
212 Dada la función: y = ex
a) Calcula su integral indefinida.
b) Halla la primitiva que pasa por el punto P(1, 1)
c) Dibuja la función inicial y la pri mitiva que se pide en el apartado anterior.
Solución:
a) ∫ ex dx = ex + k
b) e1 + k = 1 ⇒ k = 1 – e ⇒ y = ex + 1 – e
c) Y
X
213 Halla la integral de la siguiente fun ción definida a trozos:
f (x) = ⎧⎨⎩
– x si x ≤ 1
ex si x > 1
Solución:
∫ f (x) dx = ⎧⎨⎩
–x2/2 + k si x ≤ 1
ex + k si x > 1
214 Calcula ∫ ex dx
√1 – ex
Solución:
Es la integral de una función irracional.
–2√1 – ex + k
215 Calcula la integral de la función:
f (x) = 1
1 – ex
mediante un cambio de variable.
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex = t ⇒ x = ln t
dx = dtt
La integral es:
x – ln |ex – 1| + k
216 Calcula la integral de la función f (x) = 2x
x – 1
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
La descomposición es:
2 + 2
x – 1
La integral es: 2x + 2 ln |x – 1| + k
217 Calcula la integral de la función f (x) = x
x2 + 1
Solución:
Es la integral de una función logarítmica.12 ln |x2 + 1| + k
218 Calcula ∫ 1x + 1 dx
Solución:
Es la integral de una función logarítmica.
ln |x + 1| + k
219 Calcula la integral de la función:
f (x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x
Solución:
Es la integral de un polinomio.
x5
5 – x4 + x3
3 + 3x2 + k
220 Calcula la integral de la función:
f (x) = x2 – 3x + 2
x
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
x – 3 + 2x
La integral es:x2
2 – 3x + 2 ln |x| + k
221 Calcula la integral de la función:
f (x) = 4x2 + 3x – 9
x + 2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
4x – 5 + 1
x + 2La integral es:
2x2 – 5x + ln |x + 2| + k
354 Bloque III. Análisis
222 Calcula ∫ x2 + x + 2x2 – 1
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
1 + 2
x – 1 – 1
x + 1La integral es:
x + 2 ln |x – 1| – ln |x + 1| + k
223 Calcula ∫(x2 + 5) e–x dx
Solución:
Se calcula por partes, hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios:
u = x2 + 5
dv = e–x dx
El resultado es: –e–x(x2 + 2x + 7) + k
224 Calcula la integral de la función f (x) = 16
(x + 1)2
Solución:
Es la integral de una función racional.
– 16x + 1 + k
225 Calcula la integral de la función:
y = e–x
Solución:
Es la integral de una función exponencial.
–e–x + k
226 Calcula la integral de la función:
f (x) = xe2x
Solución:
Se calcula por partes.
Se hacen los cambios:
u = x
dv = 2e2x dx
El resultado es: 12
e2x(x – 12 ) + k
227 Calcula ∫x cos x2 dx
Solución:
Es la integral de una función trigonométrica.12 sen x2 + k
228 Sea la integral:
∫e2x sen ex dx
a) Intégrala mediante el cambio t = ex
b) Calcula la constante de integración para que la función integral pase por el origen de coordenadas.
Solución:
a) Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex = t ⇒ x = ln t
e2x = t2
dx = dtt
Luego hay que hacerla por partes.
La integral es:
–ex cos ex + sen ex + k
b) Para x = 0, y = 0
–e0 cos e0 + sen e0 + k = 0
–cos 1 + sen 1 + k = 0
k = cos 1 – sen 1
229 La recta que pasa por los puntos (0, –6) y (1, 0) (observa el dibujo) es la gráfica de la función derivada segunda f ″ de una cierta función f : ℝ → ℝ. Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f (x) y que en ese punto la recta tangente tienen pendiente igual a 3. Determina una expre sión de la función f
Y
Xy = f 0(x)
Solución:
f ″(x) = 6x – 6
f ′(x) = 3x2 – 6x + k1
f ′(0) = 3 ⇒ k1 = 3
f ′(x) = 3x2 – 6x + 3
f (x) = x3 – 3x2 + 3x + k2
f (0) = 0 ⇒ k2 = 0
f (x) = x3 – 3x2 + 3x
Y
X
35513. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
230 Calcula la integral de la función:
f (x) = x4 + x + 1
x2 + x
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
x2 – x + 1 + 1x –
1x + 1
La integral es:13 x
3 – 12 x
2 + x + ln |x| – ln |x + 1| + k
231 Calcula: ∫ x2 – x + 1x2 – x – 2
dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
1 + 1
x – 2 – 1
x + 1
La integral es:
x + ln |x – 2| – ln |x + 1| + k
232 Calcula la integral de la función y = x2
x3 – 2
Solución:
Es la integral de una función logarítmica.13 ln |x3 – 2| + k
233 Calcula la integral de la función y = 1
x2 + 2
Solución:
Es la integral de una función trigonométrica.
√22 arc tg
√22 x + k
234 Calcula la integral de la función f (x) = (x + 1)e2x
Solución:
Se calcula por partes. Se hacen los cambios:
u = x + 1
dv = e2x dx
El resultado es:
12
e2x
(x +
12 ) + k
235 Calcula∫x sen x cos x dx
Solución:
Se llama I a la integral buscada.
Se aplica la integración por partes.
u = x sen x
dv = cos x dx
Se obtiene la siguiente ecuación:
I = x sen2 x – ∫sen2 x – I
Se resuelve la integral trigonométrica que es par en el seno.
∫sen2 x = 12 ∫(1 – cos 2x) dx =
12 x –
14 sen 2x
Queda:
2I = x sen2 x – 12 x +
14 sen 2x + k
I = x sen2 x
2 –
14
x + 18
sen 2x + k
236 Calcula ∫ e3x
2 + ex dx
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex = t ⇒ x = ln t
e3x = t3
dx = dtt
La integral es:12 e2x – 2ex + 4 ln |ex + 2| + k
237 Calcula una primitiva de la función f (x) = x ln (1 + x2)
Solución:
Se calcula por partes. Se hacen los cambios:
u = ln (1 + x2)
dv = x dx
El resultado es:12 [(x2 + 1) ln |x2 + 1| – x2] + k
238 Calcula∫x √1 + x2 dx
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.13 (x2 + 1)√1 + x2 + k
356 Bloque III. Análisis
Para profundizar
239 Calcula tres primitivas de la función:
y = ex
Represéntalas. ¿En qué se parecen?
Solución:
y = ex
y = ex + 2
y = ex – 3 Y
X
Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante.
240 Dada la función:
y = sen x
a) Calcula su integral indefinida.
b) Halla la primitiva que pasa por el punto P(π, 3)
c) Dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior.
Solución:
a) ∫ sen x dx = –cos x + k
b) –cos π + k = 3 ⇒ k = 2
y = –cos x + 2
c) Y
X
241 Halla la integral de la siguiente función definida a trozos:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩
sen x si x ≤ – 1ex si – 1 < x < 2cos x si x ≥ 2
Solución:
∫ f (x)dx = ⎧⎪⎨⎪⎩
–cos x + k si x ≤ – 1ex + k si – 1 < x < 2sen x + k si x ≥ 2
242 Calcula la integral de la función:
f (x) = 1
x2 + 3
Solución:
Es la integral de una función trigonométrica.
√33 arc tg
√33 x + k
243 Calcula la integral de la función:
f (x) = xe–x
Solución:
Se calcula por partes. Se hacen los cambios:
u = x
dv = e–x dx
El resultado es: –e–x(x + 1) + k
244 Calcula la integral de la función:
y = 2x + 21 – x
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
La descomposición es:
–2 – 4
x – 1
La integral es:–2x – 4 ln |x – 1| + k
245 Calcula la integral de la función:
f (x) = 1
x – 1
Solución:
Es la integral de una función logarítmica.
ln |x – 1| + k
246 Calcula:
∫x2 ln x dx
donde ln x denota el logaritmo ne periano de un número positivo x
Solución:
Se calcula por partes. Se hacen los cambios:
u = ln xdv = x2 dx
El resultado es:x3
3 (ln |x| –
13 ) + k
35713. Integral indefinida
Ejercicios y problemas propuestos
247 Calcula la integral de la función f (x) = 2 + x – x2
Solución:
Es la integral de un polinomio.
– x3
3 +
x2
2 + 2x + k
248 Halla una función f (x) sabiendo que:
f ′(x) = x2 ex
Solución:
Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método. La primera vez se hacen los cambios:
u = x2
dv = ex dxEl resultado es:
ex(x2 – 2x + 2) + k
249 Calcula ∫ dxx2 + 4x + 3
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racionales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
12 ( 1
x + 1 – 1
x + 3 )La integral es:
12
(ln |x + 1| – ln |x + 3|) + k
250 Calcula la integral de la función:
f (x) = sen √x
Usa el cambio de variable √x = t
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
√x = t ⇒ x = t2 ⇒ dx = 2tdt
Luego hay que hacerla por partes.
La integral es:
2 sen √x – 2 √x cos √x + k
251 Calcula la integral de la función f (x) = 1x2
Solución:
Es la integral de una función racional.
– 1x + k
252 Haciendo el cambio de variable ex = t, calcula:
∫ ex
e2x – 1
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ex = t ⇒ x = ln t
e2x = t2
dx = dtt
La integral es:12
(ln |ex – 1| – ln |ex + 1| + k
253 Calcula f (x) = ∫ x3 – 2x + 3x – x2 dx
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
El denominador tiene raíces reales simples.
La descomposición es:
–x – 1 + 3x
–
2x – 1
La integral es:
– 12
x2 – x + 3 ln |x| – 2 ln |x – 1| + k
254 Calcula la integral de la función:
f (x) = x√5 – x2
Solución:
Se aplica la integral de una función irracional.
– 13 (5 – x2) √5 – x2 + k
255 Calcula una primitiva de la función:
y = tg x
Solución:
Es la integral de una función trigonométrica.
– ln |cos x| + k
256 Calcula ∫x3 ex2
dx
Solución:
Se calcula por partes; hay que aplicar dos veces el método.
La primera vez se hacen los cambios:
u = x2
dv = xex2
dx
El resultado es:12 e
x2
(x2 – 1) + k
358 Bloque III. Análisis
257 Calcula una primitiva de la función y = x2
4 – x2
Solución:
Se aplica el método de integración de funciones racio nales.
La descomposición es:
–1 + 1
x + 2 – 1
x – 2
La integral es: –x + ln |x + 2| – ln |x – 2| + k
258 Utiliza el cambio de variable ln x = t para calcular la integral:
∫ 1 + ln x2 + (ln x)2
x(1 + ln x) dx
Solución:
Se aplica el método de integración por cambio de variable o sustitución.
ln x = t ⇒ x = et
dx = et dt
I = ∫ 1 + 2t + t2
et(1 + t) et dt =∫ 1 + 2t + t2
1 + t dt =
= ∫ (1 + t)2
1 + t dt =∫(t + 1) dt =
12 t2 + t + k =
= 12 (ln x)2 + ln x + k
259 Calcula la integral:
∫ cos xsen3 x
dx
Solución:
Se aplica la integral de la función racional.
I = ∫ cos xsen3 x
dx = –1
2 sen2 x + k
35913. Integral indefinida
PracticaCalcula las siguientes integrales:
264 ∫x cos x dx
Solución:
265 ∫ ln x dx
Solución:
266 ∫x 2 ex dx
Solución:
267 ∫ex sen x dx
Solución:
En los siguientes ejercicios haz la descomposición en fracciones simples del integrando y calcula la integral.
268 ∫ 3x 2 + 2x + 3x 2 + 1
dx
Solución:
269 ∫ 12x + 1x 2 + x – 6
dx
Solución:
270 ∫ 3x + 5x 2 – 4x + 13
dx
Solución:
271 ∫ 5x 2 – 21x + 12x 3 – 7x 2 + 11x – 5
dx
Solución:
272 ∫ 5x 2 – 4x + 3x 3 – 2x 2 + x – 2
dx
Solución:
273 ∫ 1(x 2 – x)(x – 1)
dx
Solución:
Windows/Linux
360 Bloque III. Análisis
274 ∫ x 3 + 1x 2 + 1
dx
Solución:
275 ∫ x 3 – 2x 2
x 2 – 2x + 1 dx
Solución:
Calcula las siguientes integrales:
276 ∫ ln xx
dx
Solución:
277 ∫ 6e x + 3
dx
Solución:
278 ∫ dxx √x + 1
Solución:
279 ∫ dx√
—x –
3√—x
Solución:
280 ∫ |x| dx
Solución:
281 ∫sen2 x cos x dx
Solución:
282 ∫cos3 x dx
Solución:
283 ∫cos2 x dx
Solución:
284 ∫ x√2x –1
dx
Solución:
36113. Integral indefinida
285 ∫√4 – x 2 dx
Solución:
286 ∫ dxx 2√9 + x 2
Solución:
287 ∫x 3 ln x dx
Solución:
288 ∫ ln xx 2 dx
Solución:
289 ∫e–x(x 2 + 1) dx
Solución:
290 ∫ 21 + √
—x
dx
Solución:
291 ∫ ln(ln x)x ln x
dx
Solución:
292 Calcula la integral:
F (x) = ∫(3x 2 – 4x – 1) dx
Halla la primitiva que pase por el punto P(2, 1). Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto.
Solución:
362 Bloque III. Análisis
293 Calcula la integral:
∫x sen 2x dx
Sustituye la constante k por los números: –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Representa la fami-lia de funciones que obtienes. ¿Qué observas en las gráficas?
Solución:
294 Calcula la integral:
∫sen3 x cos x
Sustituye la constante k por los números: –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Representa la fami-lia de funciones que obtienes. ¿Qué observas en las gráficas?
Solución:
