2.Integral Definida, Indefinida y Teo Fundamental

MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Integral definida.Problema del rea.Problema del rea revel importancia desde tiempo de los griegos para calcular la cantidad de material al elaborar diferentes objetos.

Muchas aplicaciones ms, interesantes e importantes. rea bajo la grfica de un movimiento a velocidad constante es la distancia total recorrida.

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MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Problema importante.Cul es el rea debajo de la curva que describe una funcin f(x) en el intervalo [a,b]?Caso fcil.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Caso no tan fcil.

Cul es el rea S?Empecemos con un caso sencillo, cuando f(x)=x2 en el intervalo [0,1]S


Calcule al rea del elemento diferencial mostrado.

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MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*El rea est comprendida entre esos dos valores

La aproximacin se har mejor cuando subdivida el intervalo en una mayor cantidad de subintervalos, digamos n de ellos. Cada uno de ellos de ancho

El rea entonces queda como


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*La aproximacin se har exacta cuando

Para una regin general.Definicin. El rea A de la regin S que se encuentra debajo de la grfica de la funcin continua f, es el lmite de la suma de las reas de los rectngulos de aproximacin.


Integral definida.Definicin. Sea f una funcin continua en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f denotada por , se define como

Donde xi* son los puntos muestra que usamos para definir la altura del rectngulo respectivo.A los puntos a y b se les llaman lmites inferior y superior respectivamente.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Nota importante. La interpretacin geomtrica de la integral definida es un rea bajo una curva, pero que tipo de cantidad da la integral definida depende de lo que modelen tanto la funcin f(x) como la variable independiente x.Qu nos dara la integral definida si f(x) es una fuerza y x es un desplazamiento?TrabajoQu nos dara la integral definida si f(x) es la densidad de masa de una varilla y x denota la longitud de la varilla?Masa total de la varillaQu pasa si f(x)=1 y x denota una cantidad cualquiera?La suma total de esa cantidad en un intervalo.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Propiedades de la integral definidaAlgunas propiedades tiles de la integral definida son:

En el primer caso

Y en el segundo caso


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Propiedad 1.

Propiedad 2. g(x)f(x)+g(x)



Justifquela!

Propiedad 4.

Justifquela!



Propiedad 6.Justifquela!



Justifquela! Propiedad 8.

Justifquela!


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Antiderivadas.Definicin.Una funcin F recibe le nombre de antiderivada de f en un intervalo I si Ejemplo. Si la antiderivada es Teorema. Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada ms general de f en I es


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 1. Determine la antiderivada ms general de las siguientes funciones.

Ejercicio 2. Encuentre la antiderivada F de f que satisfaga la condicin dada. tal que F(0)=4


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 3. Un automvil frena con desaceleracin constante de 40ft/s2 y produce derrapones que miden 160ft hasta detenerse. A qu velocidad corra el vehculo al aplicar los frenos?

Ejercicio 4. Una empresa estima que el costo marginal (cambio en el costo total que surge cuando la cantidad producida cambia una unidad), en dlares por artculo, cuando produce x artculos, es de 1.92-0.002x. Si el costo de produccin unitario es $562, calcule el costo de elaborar 100 artculos.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Integral indefinida.Vamos a llamar a la antiderivada integral indefinida y de manera simblica la operacin se denotar como

El smbolo de la operacin antiderivada o integral indefinida es

y a la funcin que este en el medio de este smbolo se le llama integrando.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Frmulas de integrales indefinidas directas.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Propiedades de la integral indefinida.Si k es una constante

La integral de una suma es la suma de las integrales.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 5. Evale la integral indefinida dada.

Ejercicio 6. Efecte la operacin indicada.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Existe alguna relacin entre la integral definida y la integral indefinida?

PIZARRON Caso y=xCaso general


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Teorema fundamental del clculo.1 parte.Si f es continua en [a,b], la funcin g definida por

Es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*2 parte.Si f es continua en [a,b] entonces

En donde F es cualquier antiderivada de f, esto es:


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 7. Use la parte 2 del teorema fundamental del clculo para hallar la derivada de la funcin dada


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 8. Evale la integral, explique si existe no existe.


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Teorema del cambio total.La integral de una razn de cambio es el cambio total.

Si V(t) es el volumen del agua en un depsito en el instante t, entonces su derivada V(t) es la razn a la que fluye al agua hacia el tanque. De manera que

Es el cambio en el volumen de agua almacenada entre le tiempo t1 y t2


MATEMATICAS PARA LA INGENIERA II*Ejercicio 9. Una poblacin animal crece a razn de 200+5t anualmente (t medidos en aos). Qu tanto aumenta la poblacin entre el ao 4 y el ao 10?

Ejercicio 10. El costo marginal de la produccin de una tela es (en dlares por yarda). Halle el incremento en el costo si el nivel de produccin se eleva de 2000 a 4000 yardas.


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