Integral Indefinida PPT

CLCULOINTEGRALES INDEFINIDAS

Rubn Zrate RojasIngeniero Civil Ingeniero IndustrialMagster en Ingeniera IndustrialMagster en Ingeniera Civil

Ing. Rubn Zrate Rojas 2

El Problema

Dada una funcin f(x), hallar otrafuncin F(x) cuya derivada sea igual af(x), es decir F(x)=f(x)


Primitiva

Si en todos los puntos del intervalo[a,b] se verifica que F(x)=f(x), lafuncin F(x) se llama PRIMITIVA de lafuncin f(x).Si F1(x) y F2(x) son dos funcionesprimitivas de la funcin f(x) en elintervalo [a,b], su diferencia es unaconstante, es decir F1(x) - F2(x)=C.


Definicin

Si la funcin F(x) es una funcinprimitiva de la funcin f(x), laexpresin F(x)+C se llamaINTEGRAL INDEFINIDA de lafuncin f(x)


Definicin

Dondef(x): integrandof(x) dx: elemento de integracinC: constante arbitraria

( ) ( )f x dx F x C= +Se designa mediante el smbolo


Propiedades

( )( ) ( )1. f x dx ' f x=( )( ) ( )2. d f x dx f x dx=( )( ) ( )3. d F x F x C= +


Propiedades

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 24. f x f x dx f x dx f x dx+ = + ( ) ( )5. af x dx a f x dx=

( ) ( )16. f ax dx F ax Ca

= +( ) ( )7. f x b dx F x b C+ = + +( ) ( )18. f ax b dx F ax b C

a+ = + +


Casos de Integracin

1. Inmediatas2. Sustitucin3. Trinomio cuadrado4. Por partes5. Racionales6. Irracionales7. Trigonomtricas8. Exponenciales


I. Inmediata

n 1n x1. x dx C

n 1

+

= ++

dx2. lnx Cx

= +

3. senx dx cos x C= +

4. cos x dx senx C= +25. sec x dx tgx C= +


I. Inmediata

26. cosec x dx cot gx C= +

( )7. tgx dx ln cosx C= +

xx a9. a dx C

lna= +

( )8. cotgx dx ln senx C= +

x x10. e dx e C= +


I. Inmediata

= ++ 2dx11. arc tgx C

1 x= +

+ 2 2dx 1 x12. arc tg C

a x a a

= +

2 2dx 1 a+x13. ln C

a x 2a a-x= +

2 2dx 1 x-a14. ln C

x a 2a x+a


I. Inmediata

= +

2dx15. arc senx C

1 x= +

2 2dx x16. arc sen C

aa x

= + +

2 22 2

dx17. ln x x a Cx a


I. Inmediata

= +18. senhx dx coshx C

= +19. coshx dx senhx C

= + 2dx20. tanhx C

cosh x= + 2

dx21. cothx Csenh x


es f(x) continua

II. Integracin por sustitucin

Sea g(x) una funcin cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f(x) una funcin continua en I. Si g(x) es derivable en su dominio y F(x) es una primitiva de f(x) en I, entonces:

( ) ( ) ( ) = + f g x g' x dx F g x CSi u = g(x), entonces du = g(x) dx y

( ) ( )= + f u du F u C


II. Integracin por sustitucin

Tcnica de integracin por sustitucinEscoger una expresin para u = g(x). Calcular du = g(x) dx.Reemplazar todos los trminos en el integrando original con expresiones que involucren a u y du.Calcular la integral resultante en u. Reemplazar todos los trminos en u, con la correspondiente expresin en x.Verificar la respuesta por derivacin.


III. Integrales que contienen un trinomio de segundo grado

A. Integrales de la forma + + 2dx

ax bx cSe transforma el denominador en suma o diferencia de cuadrados

+

=

22

2

1

ka

bx

dxa ++ cbxax

dx2

22

2

4k

a

ba

c =

= 22

1kt

dta ++ cbxax

dx2

ta

bx =+

2dtdx =Sustitucin de:



B. Integrales de la forma ( ) +++

cbxaxdxBAx

2

Transformamos la integral completando cuadrados y agrupando trminos

( )++ + 2

Ax B dxax bx c

( ) + +

=

+ + 2

A Ab2ax b B2a 2a dx

ax bx c

considerando como la suma de dos integrales ser

( )+ = + = + + + + +

o 1 22 22ax bA Ab 1I dx B dx I I

2a 2aax bx c ax bx crealizando cambio de variables en la integral en la I1

+ + =2ax bx c t ( )+ =2ax b dx dt



( )+=

+ +1 22ax bAI dx

2a ax bx c=

A dt2a t

La integral I2 se resuelve como el caso III.A

C. Integrales de la forma

D. Integrales de la forma

+ + 2

dxax bx c( )+

+ + 2

Ax B dxax bx c


IV. Integracin por partes

Se basa en la frmula de la derivada de un producto

donde u y v son funciones derivables de x. Si u y v son continuas podemos integrar la ecuacin

[ ]dxdu

vdxdv

uuvdxd

+=

'' vuuv +=

[ ]d dv duuv u v ;dx dx dx= + uv udv vdu= + reescribiendo la ecuacin tendremos que:

= vduuvudv



Estrategia para integrar por partesTomar como dv la porcin ms complicada del integrando que se ajuste a una regla bsica de integracin y como u el factor restante del integrando.

Tomar como u la porcin del integrando cuya derivada es una funcin ms simple que u y como dv el factor restante del integrando.



En integrales de los tiposn axx e dx

nx senax dxnx cosax dx

nxu =axdv e dx= dv senax dx=dv cosax dx=

Hacer la sustitucin



En integrales de los tiposnx lnx dx

nx arcsenax dxnx arctgax dx

xu ln= axu arcsen= axu arctg=

dxxdv n=

Hacer la sustitucin



En integrales de los tipos

axe senbx dxaxe cosbx dx

u senbx= u cosbx=axdv e dx=

Hacer el cambio de variable


V. Integracin de funciones racionales

Caso I: Factores lineales distintos

Q(x) dxP(x)

1 2 n

1 1 2 2 n n

A A AQ(x)...

P(x) a x b a x b a x b= + + ++ + +Caso II: Factores lineales repetidos

( ) ( )1 2 n

2 n1 1 1 1 1 1

A A AQ(x)...

P(x) a x b a x b a x b= + + +

+ + +

Descomposicin en fracciones simples


V. Integracin de funciones racionales

Caso III: Factores cuadrticos distintos

Q(x) dxP(x)

1 1 2 2 n n2 2 2

1 1 1 2 2 2 n n n

A x B A x B A x BQ(x)...

P(x) a x b x c a x b x c a x b x c+ + +

= + + ++ + + + + +

Caso IV: Factores cuadrticos repetidos

Descomposicin en fracciones simples

( ) ( )1 1 2 2 n n

2 2 n2 21 1 1 1 1 1 1 1 1

A x B A x B A x BQ(x)...

P(x) a x b x c a x b x c a x b x c+ + +

= + + ++ + + + + +


VI. Integracin de funciones irracionales

Caso I:

rm

snR x,x ,...,x dx

k es el MCM de los denominadores de las fracciones m r,...,n s

La sustitucin ser: ktx = dtktdx k 1=



Caso II: dxdcxbax

dcxbax

xRs

r

n

m

+

+

+

+,...,,

Hacer la sustitucin de: ktdcxbax

=

+

+

Donde k es el MCM de los denominadores de las fraccioness

r

n

m...,



( )dxcbxaxxR ++2,Caso III. Integrales de la formaSustituciones de EULER

21. ax bx c a x t , a 0+ + = + >

22. ax bx c x t c , c 0+ + = + >

( )23. ax bx c x t+ + =



( )dxcbxaxxR ++2,1- En integrales que contienen sustituiras ser , donde

22 ua senau =cos22 aua = 0

2pi

ua

22 ua

Caso IV. Integrales de la forma

Sustituciones Trigonomtricas



2- En integrales que contienen sustituiras ser , donde

22 ua + tgau =sec22 aua =+ 0

2pi

u

a

22 ua +



3- En integrales que contienen sustituiras ser , donde

22 au secau =2 2u a a tg =

20 pi

Se toma el valor + si u > a y el valor negativo si u < -a.

u

a

22 au


VII. Integrales trigonomtricas

1. Integrales de la forma ( )R senx,cosx dx

Haciendo la sustitucin de =xtg t2

Expresando sen x y cos x en funcin a

=

+ 22t

sen x1 t

=

+

2

21 t

cosx1 t

=x 2arc tgt =+ 22dtdx

1 txtg2

2t

x

+ 21 t

21 t



2. Integrales de la forma ( ) xdxxR cossenSe sustituye dtxdx =costx =seny la integral se reduce a la forma racional ( ) dttR3. Integrales de la forma: ( ) xdxxR sencosSe sustituye tx =cos dt sen x dx=

y la integral se reduce a la forma racional ( ) dttR

2 1 cos2xsen x2

=



4. Integrales de la forma m nsen xcos x dx

Si n es impar positivo =; dt cos x dxsen x t=

Si m es impar positivo cos x t= = ; dt sen x dx

m y n nmeros enteros

Si m y n son pares positivos

2 1 cos2xcos x2

+=


VIII. Integrales no integrables

2xe dxsenx dx

xcosx dx

x

dxlnx

2 21 k sen x dx

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