Ing. Eliézer Martínez - La Integral Indefinida

7/25/2019 Ing. Elizer Martnez - La Integral Indefinida

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LA INTEGRAL INDEFINIDA

por Ing. Elizer Martnez

1 Funcin primitiva. Integral indefinida

Uno de los problemas fundamentales del clculo diferencial consiste en determinar laderivada de una funcin dada. Variadas cuestiones del anlisis matemtico y sus numerosasaplicaciones en la Geometra, la Mecnica, la Fsica y la Tcnica, conducen a la resolucindel problema inverso: Dada una funcin f(x), hallar tal funcinF(x)cuya derivada sea iguala la funcin f(x), o sea, F(x)= f(x).

Cuando se tiene una funcin, puede hallarse su derivada; basta con hallar las reglas queya conocemos. Como sabemos, este clculo es de gran importancia prctica. Por ejemplo, si

se da la ley del movimiento de un cuerpo, hallamos su velocidad como derivada del espaciorespecto al tiempo; por la ecuacin de una curva determinamos, mediante la derivada, elcoeficiente angular de la tangente trazada a esta curva, etc.

Sin embargo, con frecuencia se precisa resolver el problema inverso: por la velocidadconocida del movimiento de un cuerpo, determinar la ley de este movimiento: por elcoeficiente angular dado de la tangente a la curva, hallar la ecuacin de esta curva, etc,es decir, por una derivada dada, hallar la funcin de la que se deriva. Por este motivonecesitamos conocer las reglas para resolver el citado problema. La reconstruccin de unafuncin a partir de su derivada conocida es uno de los problemas fundamentales del clculointegral.

Sealemos que la funcin no solo puede hallarse por su derivada dada, sino tambin porsu diferencial, por cuanto la derivada y la diferencial presentan una correlacin sencilla. Enla prctica, es ms cmodo buscar la funcin por su diferencial, por ello, a continuacinemplearemos la diferencial para resolver el problema inverso.

Definicin 1. Llmasefuncin primitivade una funcin dada f(x) en un intervalo dado,a una funcin F(x) cuya derivada es igual a f(x) o cuya diferencial es igual a f(x)dx en elintervalo considerado.

Sin embargo, a la diferencial de una funcin le corresponde, no una primitiva nica,sino un conjunto de ellas, que se diferencian entre si por un sumando constante. En efecto,sea F(x)la primitiva para la diferencial f(x)dx. Entonces, toda funcin de la formaF(x) + C,

donde C es una constante arbitraria, ser primitiva para f(x)dx, por cuanto(F(x) + C) =F(x) + C = f(x) + 0 = f(x)

y, al contrario, seanF(x)y(x)dos funciones primitivas de la diferencial f(x)dx. Veamos lafuncin (x)=(x)F(x).Por la definicin de la primitiva (x) =(x)F(x) = f(x)f(x) = 0. Por consiguiente (x) =Ces constante, ya que solo la derivada de una magnitudconstante es igual a cero. As pus:

(x) =F(x) + C

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Si se dan a C todos los valores posibles, entonces, conociendo la primitiva F(x),obtendremos todas las primitivas para la diferencial f(x)dx.

Por ejemplo, una de las funciones primitivas para la funcin 3x2 ser x3, porque(x3) =3x2. La funcin primitiva no es nica puesto que(x3 + 1) = 3x2, (x3 5)= 3x2, etc., por eso,las funcionesx

3

+ 1, x3

5, etc., son tambin primitivas de la funcin3x2

. Por consiguiente,la funcin dada tiene un conjunto infinitode funciones primitivas.

Teorema. Dos primitivas distintas de una misma funcin definida en un cierto intervalo,se diferencian entre s en este intervalo en un sumando constante.

Demostracin. Efectivamente, seaf(x) una funcin definida sobre un intervaloa, b, yseanF1(x) yF2(x) sus primitivas, es decir:

F1(x) = f(x)

F2(x) = f(x)

de aqu,

F1(x) =F2

(x)

pero si sus funciones poseen derivadas idnticas, ellas se diferencian entre si en un sumandoconstante. Por consiguiente

F1(x)F2(x) = C ,donde C es una magnitud constante, lo que debiamos demostrar.

Interpretacin geomtrica. Si

y =F1(x)

Y= F2(x)

son primitivas de una misma funcinf(x), las tangentes a sus grficas en puntos de absisacomn x son paralelas: tg =F1

(x) =F2(x) = f(x) (verFigura 1).

Figura 1.

2 Seccin 1


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En tal caso, la distancia entre las curvas tomada a lo largo del eje Oy, permanececonstante:

F2(x)F1(x) =C

es decir, estas curvas son, en cierto sentido, paralelas.

Corolario. Agregando a cualquier primitivaF(x) para la funcin dada f(x), definida en unintervaloa, b, todas las constantes posibles C, obtendremos todas las primitivas para la

funcinf(x).

Efectivamente, por una parte, siF(x) es una primitiva de la funcin f(x), es decir, siF(x)= f(x), entonces la funcin F(x) + C, donde C es una constante arbritraria, debido aque la derivada de una constante es nula, ella es tambin primitiva de la funcin f(x), porque

[F(x) + C] =F(x) + C = f(x)

Por otra parte, acabamos de demostrar que toda primitiva de la funcin f(x)puede serobtenida agregando aF(x)un sumando constante elegido a C, por consiguiente, la frmula:

F(x) + C (1)

donde< C < +, y F(x)es una primitiva cualquiera de la funcin f(x)que agota todoel conjunto de la primitivas de la funcin f(x).

En adelante, supondremos, si no acordamos lo contrario, que la funcin considerada f(x)est definida y es continua sobre un intervalo acotado o infinitoa, b.

Introduzcamos ahora una nocin fundamental del clculo integral, la de Integral

Indefinida.

Definicin 2. Llmese Integral Indefinida de la funcin f(x) o de la expresindiferencialf(x)d x, y se connota con el smbolo

f(x) d x, la expresin general de todas

las primitivas de la funcin continua f(x).

En este caso, la funcin f(x)se denomina funcin subintegraly la expresin f(x)dx sellama expresin subintegral.

Recordando la definicin de la funcin primitiva, se puede decir que la integral indefinida

f(x) d x representa sobre un intervalo dado una funcin de forma general cuya

diferencial es igual a la expresin subintegral f(x)dxy, por consiguiente, una funcin cuyaderivada respecto a la variable xes igual a la funcin subintegral f(x)en todos los puntosdel intervalo examinado.

Sea F(x) una primitiva perfectamente determinada de una funcin f(x). Como hemosvisto, cualquier otra primitiva de esta funcin es de la forma F(x) + C, donde Ces unaconstante. De acuerdo con la definicin de integral indefinida, se puede escribir:

f(x) dx=F(x) + C (2)

Funcin primitiva. Integral indefinida 3


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donde F(x) = f(x)y la constante Cpuede puede tomar cualquier valor y, por eso, se llamaconstante arbitraria.

Ejemplo.Como hemos visto, una de las primitivas de la funcin3x2 es la funcinx3. Por eso:

3x2 dx=x3 + C

Una integral indefinida geomtricamente:

y =F(x) + C

representa una familia de curvas paralelas (Ver Figura 2).

Figura 2.

De la definicion de integral indefinida se deduce que si tenemos unaEcuacin Diferencial(es decir, una ecuacin que contiene diferenciales) de tipo:

dy=f(x) dx

donde la funcin f(x) es continua sobre un intervalo (a, b), la solucin general de estaecuacin, paraa < x< b, es dada por la frmula:

y=

f(x) dx

2 Propiedades principales de la integral indefinida

A partir de la frmula (2) del prrafo precedente, deduzcamos las principales propiedadesde la integral indefinida.

4 Seccin 2


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Primera propiedad. La diferencial de una integral indefinida es igual a la expresinsubintegral, y la derivada de una integral indefinida es igual a la funcin subintegral.

Esta propiedad se deduce inmediatamente de la definicin de la integral indefinida. Deeste modo tenemos:

d

f(x) dx= f(x) dx (3)f(x) dx

= f(x)

Segunda propiedad. La integral indefinida de la diferencia de una funcin continuaderivable es igual a esta funcin, con precisin de hasta un sumando constante.

Efectivamente, sea: d(x) dx=

(x) dx

donde (x)es una funcin continua. La funcin (x)es evidentemente una primitiva de lafuncin (x). Por eso tenemos:

d(x) dx= (x) + C (4)

Observacin. En las frmulas (3) y (4) los signos d y

que siguen una tras otro encualquier orden, se neutralizan (si no se tiene en cuenta el sumando constante). En estesentido, la diferenciacin y la integracin son operaciones matemtivas contrarias.

Tercera propiedad.Se puede sacar un factor constante no nulo del signo de la integral

indefinida.Es decir, si la constante A

0,A f(x)dx=A

f(x) dx (5)

Efectivamente, seaF(x)una primitiva de f(x). En virtud de la frmula (2) de la Seccin1, tenemos:

A

f(x) dx=A[F(x) + C] = A F(x) + C1 (6)

dondeC1= A C;Cy C1son constantes arbitrarias paraA

0. PeroA F(x)es una primitivade la funcin A f(x)porque:[A F(x)] = A F(x) = A f(x)

por eso, de la frmula (6) se obtiene la frmula requerida (5).Obsevacin. Para A = 0, la frmula (5) no es vlida, puesto que su primer miembro es

una constante arbitraria y su segundo miembro es idnticamente igual a cero.

Propiedades principales de la integral indefinida 5


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Cuarta propiedad. La integral indefinida de una suma algebraica de un nmero finitode funciones continuas, es igual a la suma algebraica de integrales indefinidas de estas

funciones.Es decir, si por ejemplo, las funciones f(x), g(x)y h(x)son continuas sobre un intervalo

(a, b), entonces: [f(x) + g(x)h(x)] dx =

f(x) dx +

g(x)dx

h(x)dx (7)

Efectivamente, sean F(x), G(x) y H(x) las primitivas respectivamente de lasfunciones f(x), g(x) y h(x), es decir, F(x) = f(x), G(x) = g(x), H(x) = h(x) parax (a, b). En virtud de la frmula (2) de la seccin 1 tenemos:

f(x) dx +

g(x) dx

h(x)dx= [F(x) + C1] + [G(x) + C2] [H(x) + C3] = [F(x) + G(x)

H(x)] + C (8)

donde C1, C2, C3 son constantes arbitrarias y C = C1 + C2C3 es, evidentemente unaconstante arbitraria. Pero la funcin F(x) +G(x)H(x) es una primitiva de la funcinf(x) + g(x) h(x)porque:

[F(x) + G(x)H(x)] = F(x) + G(x)H(x) = f(x) + g(x)h(x)por consiguiente,

[f(x) + g(x)h(x)]dx = F(x) + G(x)H(x) + C (9)

De las frmulas (8) y (9) se deduce la igualdad (7).

3 Tablas de las integrales indefinidas ms simples

Aprovechando el hecho de que la integracin es una operacin inversa de la diferenciacin,no es difcil obtener una tabla de las integrales ms simples. Para eso partiremos de la frmula(2) de la seccin 1, la cual parafraseamos ahora del modo siguiente: si

dF(x) = f(x)dxentonces:

f(x) dx = F(x) + C

Tratando las frmulas de diferenciacin dadas, obtenemos:

I. Comod

xm+1

m+1

= xm dx, entonces

xm dx =

xm+1

m+1+ C

6 Seccin 3


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II. Como d(ln |x|) = dxx

, entonces

dx

x = ln |x|+ C

III. Comod(ex

) = ex, entonces

ex dx = ex + C

IV. Comod

ax

lna = ax dx, entonces

ax dx =

ax

lna+ C (a > 0, a 1)

V. Comod(sen x) = cos xdx, entonces

cos xdx = sen x + C

VI. Comod(cos x) = sen xdx, entonces sen xdx =cos x + CVII. Comod(tan x) = dx

cos2x, entonces

dx

cos2x= tan x+C

VIII. Comod(ctg x) = dxsen2x

, entonces

dx

sen2x=ctg x+C

IX. Comod(arcsen x) = dx1x2

, entonces

dx

1 x2 = arcsen x + C

X. Comod( arccos x) = dx1x2

, entonces

dx

1x2 =arccos x + C

XI. Comod(arctan x) = dx1+x2

, entonces

dx

1+ x2= arctan x + C

XII. Comod(arctan x) = dx1+ x2

, entonces

dx

1+x2=arctan x + C

XIII.

dx

1 x2= 1

2ln 1+x1x

+CXIV.

dx

x2+ a = ln

x + x2 + a +C, donde la constante a 0XV.

senh xdx = cosh x + C

XVI. cosh xdx = senh x + CXVII.

dx

cosh2x= tanh x + C

XVIII.

dx

senh2x= ctg x + C (x 0)

Hagamos observaciones respecto a las frmulas II, XIII y XIV. La frmula II es vlidapara cualquier intervalos que no comprendex =0. En efecto, si x > 0, entonces, de la frmula

(ln x) = 1x

, deducimos que

dx

x = ln x + C, y si x < 0, entonces, de la frmula [ln (x)] = 1

x

deducimos que

dx

x = ln (x) + C. Por lo tanto, la frmula II. se verifica para cualquier x 0.

Las frmulas XIII y XIV ocupan posicin exclusiva en la tabla puesto que no tiene

frmulas anlogas entre las frmulas de la tabla de las derivadas. Sin embargo, paracomprobar las frmulas XII y XIV basta cerciorarse de que las derivadas de las expresionesde los miembros derechos de estas frmulas, coinciden con las funciones subintegralescorrespondientes.

Las integrales que contiene esta tabla las llamaremos tabuladasy es preciso recordarlasbien. Nuestro objetivo es completar la tablas de las integrales indefinidas con losprocedimientos y mtodos de integracin. Pero antes de realizarlo, hagamos una observacinimportante.

Tablas de las integrales indefinidas ms simples 7


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En el clculo diferencial se introdujo el concepto de funcin elemental1 y se establecique la derivada de cualquier funcin elemental es tambin una funcin elemental. En otraspalabras, hemos establecido que la operacin de diferenciacin no nos permite salir de laclase de funciones elementales. Notemos enseguida que con la operacin de integracin nopasa lo mismo. Se puede demostrar que las integrales de algunas funciones elementales ya

no son funciones elementales. Pueden servir de ejemplo las siguientes integrales:1.

ex2

dx

2.

cos (x2)dx

3.

sen(x2)dx

4.

dx

lnx (0 < x 1)

5.

cosx

x dx (x 0)

6.

senx

x dx

Cada una de las integrales mencionas no es una funcin elemental. Dichas funciones,no solo existen en realidad, sino que desempean un gran papel en varios problemas deFsica. As, por ejemplo, la integral 1 llamada integral de Poisson o integral de errores,se usa ampliamente en Fsica estadstica, en la teora de la conductibilidad calorfica y ladifusin. Las integrales 2 y 3, llamadas integrales de Fresnel, se emplean ampliamente enla ptica. En las aplicaciones se encuentra tambin con feecuencia las integrales 4, 5 y 6,la primera de las cuales se denomina logaritmo integral y las dos ltimas coseno y senointegrales. Para todas estas nuevas funciones numeradas (integral de Posson, integrales deFresnel, logaritmo integral, coseno y seno integrales) estn hechas tablas y grficos. Ya queestas funciones tienen tan importantes aplicaciones, fueron examinadas tan completamentecomo las funciones elementales ms simples. En general, cabe subrayar que el concepto dela funcin elemental ms simple es de caracter convencional.

4 Independencia del tipo de una integral indefinidarespecto a la eleccin del argumento

En la tabla de integrales principales (tabuladas) se supuso que x es una variableindependiente. Sin embargo, esta tabla conserva completamente su valor, si se entiendepor x toda funcin continuamente diferenciable de una variable independiente. En efecto,sean x, una variable independiente, f

(x

), una funcin continua en un intervalo dado y

F(x), su primitiva, es decir, F (x) = f(x). Tenemos:f(x)dx=F(x) + C (10)

1. En las Matemticas aplicadas desempea importante papel la clase de funciones que se obtienen haciendo

un nmero finito de operaciones aritmticas sobre funciones elementales ms simples, as como efectuando

superposiciones de estas funciones. Por ejemplo, las funciones x3 + 3 cos 2x, ln |sen 3x| earc tan x

, pertenecen a

dicha clase. Esta clase de funciones se llama clase de funciones elementales, y toda funcin de sta, funcin elemental.

8 Seccin 4
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Supongamos ahora que:

u = (x)

donde (x)es una funcin continuamente diferenciable y examinemos la integralf(u) du =

f(u) udx (11)

En tal caso, la funcin compuesta

F(u)F((x)) (12)

es primitiva de la funcin subintegral de la integral (11). Efectivamente, en virtud de laindependencia de la diferencial primera respecto a la eleecin de la variable independiente,obtenemos:

dF(u)F(u) du= f(u)du (13)

y, por consiguiente,d

dx[F(u)] =

dF(u)du

du

dx= f(u) u (14)

por eso f(u) du=F(u) + C (15)

donde F(u) = f(u).De este modo, de la validez de la frmula (10) se deduce la validez de la frmula (15); en

este caso la ltima frmula se obtiene a partir de la precedente por una sustitucin formalde x por u. Partiendo de esta propiedad, obtenemos la tabla generalizada de las integralesms simples

um du= um+1

m + 1+ C (m 1),

du

u = ln |u|+ C , etc

donde u es una funcin cualquiera, continuamente derivable de una variable independiente.Esta tabla es el resultado de la inversin de las frmulas generalizadas de diferenciacin.Eligiendo de diferentes modos la funcinu, se puede extender considerablemente la tabla delas integrales ms simples.

Ejemplo.De la frmulo (10) se deduce que:

x dx =x22

+ C (16)

Reemplazando aqu xpor sen xse obtiene: sen xd(sen x) =

sen2x2

+ C

es decir sen x cos xdx=

sen2 x2

+ C

Independencia del tipo de una integral indefinida respecto a la eleccin del argumento 9


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Luego sustituyendo en la frmula (16), por ejemplo, la funcin ln xen lugar dex, tenemos: ln xd(ln x) =

ln2 x2

+ C

o lo que es lo mismo ln x

x dx =ln

2 x2

+ C

Aqu se hace comprensible la importancia de saber reducir la expresin diferencial dadaf(x) dx a la forma de

f(x) dx = g(u) du

donde ues una funcin de x, y g es una funcin ms fcil de integrar que f.Sealemos una serie de transformaciones de la diferencial que sern tiles ms adelante:

1. dx = d(x + b), donde bes una constante;

2. dx = 1a

d(ax), donde la constante a 0;

3. dx = 1a

d(ax + b) (a 0);

4. xdx = 12

d(x2);

5. sen xdx=d(cos x);6. cos xdx=d(sen x)

En general

(x) dx = d(x)

Utilizando estas transformaciones de diferenciales, calculemos algunas integralesindefinidas.

Ejemplo 1 dx

ax + b=

1a

d(ax + b)

ax + b =

1a

ln | ax+b|+C(a 0)

Ejemplo 2 x 2 dx=

(x 2)

1

2 d(x 2) =(x 2)3

2

3

2

=23

(x 2)3

2 +C

Ejemplo 3 sen 5xdx=

15

sen 5xd(5x) =1

5cos 5x + C

10 Seccin 4


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Ejemplo 4 xdx

x2 + 1=

12

d(x2 + 1)

x2 + 1 =

12

ln|x2 + 1 |+ C

Ejemplo 5 tan xdx=

sen x

cos xdx =

d cos x

cos x =ln | cos x|+ C

Ejemplo 6

dx

x2 + 4=

12

d

x

2

x

2 2 + 1

=12

arc tanx

2+ C

Ejemplo 7

dx

3 x2 = d x

3

1

x

32

= arcsen x3

+C

Ejemplo 8

dx

x x2

1

= dx

x2

1 1

x2 =

d1

x

1

1

x2 = arcsen

1x

+ C=arc sen 1

|x

|

+C

Ejemplo 9 xex

2

dx=12

ex

2

d(x2) =12

ex2

+ C

Hemos examinado ejemplos elementales en los que las funciones, despus de sencillastransformaciones, han podido expresarse de forma que permitiera aplicar las frmulas de latabla para calcular la integral. Son muy frecuentes los casos en que no pueden llevarse a cabo

dichas transformaciones, siendo necesario utilizar mtodos especiales, a veces muy complejos,de integracin.As, pues, para la integracin no basta con conocer las frmjulas, se requiere adems

experiencia acumulada gradualmente mediante el ejercicio en la solucin de ejemplos. Adiferencia de la diferenciacin, la integracin exige cierta inventiva y agudeza.

Inde penden cia del tip o de una inte gra l indef ini da r espect o a la elec cin de l

argumento 11


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5 Nocin sobre los mtodos principales de integracin

Para calcular una integral dada se debe, si es posible, reducirla por un procedimiento uotro, a una integral tabulada, para hallar as el resultado buscado. En el presente artculo

estudiaremos solamente los procedientos de integracin que se utilizan ms frecuentementey mostraremos su aplicacin mediante ejemplos simples.Los procedimientos de integracin ms importantes son: 1) Integracin por

descomposicin; 2)Integracin por sustitucin; 3) Integracin por partes.

5.1 Integracin por descomposicin

Sea f(x) = f1(x) + f2(x); en este caso, en virtud de la propiedad IV de la seccin 2tenemos:

f(x) dx =

f

1

(x) dx

f2

(x) dx

Si es posible, los sumandos f1(x) y f2(x) se eligen de tal modo que sus integrales secalculen directamente.

Ejemplo 1 (1 x )2 d x=

(12 x + x) dx=

dx

2 x

dx+

xdx =

dx 2

x

dx+

xdx = dx2x

1

2 dx +xdx=x2

x3

2

3

2

+x2

2

+ C= x

4

3

x x

+x2

2

+ C

Observacin. No es necesario poner despus de cada sumando una constante arbitrariaporque su suma es tambin una constante arbitraria que escribimos al final.

Ejemplo 2

x4 6x3 8x2 + 9x 5

x2 dx=

x2 6x 8 +9

x 5

x2

dx=

x2 dx6

xdx8

dx+

9 dx

x5

dx

x2=

x3

33x28x+9 ln |x|+5

x+C

Ejemplo 3 tan2 xdx=

1

cos2 x1

dx=

dx

cos2 x

dx = tan xx + C

Ejemplo 4 sen 2 xdx

12 Seccin 5


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Puesto que sen2 x= 12

(1 cos 2x), entonces: sen2 xdx=

12

(1 cos 2x) dx=1

2

dx1

4

cos 2xd(2x) =

12

x 14

sen 2x+C

Ejemplo 5 sen x cos 3xdx

Puesto que sen x cos 3x= 12

(sen 4x sen 2x), tenemos sen x cos 3 x d x =

12

(sen 4 xsen 2 x) d x = 1

8

sen 4 xd(4x) 1

4

sen 2 x d(2x) =

18

cos 4x14

cos 2x+C

5.2 Integracin por sustitucin (mtodo de introduccin de unanueva variable)

Sean: f(x), una funcin continua sobre un intervalo (a, b), y x = (t) una funcincontinuamente derivable sobre un intervalo (, ), adems la funcin aplica el intervalo(, ) en el intervalo (a, b). Debido a que la integral indefinida es independendiente dela eleccin del argumento (ver seccin 4) y teniendo en cuenta que d x= (t) dt, obtenemosla frmula de cambio de variable en una integral indefinida

f(x)dx=

f((t))(t) dt (17)

La integral del segundo miembro de la igualdad (17) puede ser ms simple que ladel primer miembro de esta igualdad, o incluso, pertenecer a las frmulas tabuladas.Examinemos algunos ejemplos.

Ejemplo 6

x x 5 dx

Para eliminar la raiz, hacemos x 5 = t. De aqu, x = t2 + 5 y, por consiguiente,dx=2tdt. Efectuando la sustitucin, se obtiene, sucesivamente,

x x 5 dx =

(t2 + 5)t 2tdt=

(2t4 +10t2) dt=2

t4 dt+10

t2 dt=25

t5 +10

3 t3 +

C=25

(x 5)5

2 +10

3(x 5)

3

2 + C

Nocin sobre los mtodos principales de integracin 13


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Ejemplo 7

a2x2

dx (a > 0)

Aqu es cmodo aplicar una sustitucin trigonomtrica x =a sen t, de donde dx = a cos tdt.Por consiguiente

a2x2

=

a2 a2sen2t

a cos t d t =a2

cos2td t= a2

2

(1 +cos 2 t) d t=

a2

2

d t+

a2

4

cos 2td(2t) =

a2

2t +

a2

4sen 2t + C

Volviendo a la variable x, tendremo: sen t = xa

y t = arcsen xa

, luego: sen 2t = 2 sen t cos t =

2 sen t 1 sen2t

= 2 x

a 1 x2

a2 =

2x

a2 a2x2

. Por eso obtendremos definitivamente

a2x2 dx =a2

2 arc senx

a+ x

2 a2x2 + C

A veces es til aplicar la frmula (17) escribindola de derecha a izquierda:f[(x)](x)dx =

f[(x)]d(x) (18)

o f[(x)](x)dx =

f(t)dt

donde

t = (x)

En la prctica es deseable no introducir una nueva variable t, limitndose a aplicar lafrmula (17). Los ejemplos ms simples de este tipo han sido examinados en la seccin 4.Aqu examinaremos algunos ejemplos ms.

Ejemplo 8

1 + ctg x3

sen2 x dx

Tomandot=1 + ctg x, dt = dxsen2x

, tendremos 1 + ctg x3

sen2 x dx =

(1 + ctg x)

1

3 d(1 + ctg x) ;

t1

3dt = 34

t4

3 + C=34

(1 + ctg x)4

3 + C

14 Seccin 5


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Ejemplo 9

ln x +

1ln x

dx

Puesto que dxx

= d(ln x), tenemosln x +

1ln x

dx

x =

ln xd(ln x) +

d(ln x)

ln x =

12

ln2 x + ln | ln x|+ C

Ejemplo 10

exdx

e2x 1=

d(ex)(ex)2 1=

12

ln

ex 1ex + 1+ C

5.3 Integracin por partes

Sean uy v dos funciones de xcontinuamente derivables. De acuerdo con la frmula dela diferencial de un producto, tenemos:

d(uv) = udv + vdu;

donde

udv = d(uv) vdu

integrando obtenemos

u dv =

d(uv)

v du

o definitivamente udv = uv

vdu (19)

Esto es la frmula de integracin por partes.La frmula deducidamuestra que la integral

u d v se reduce a la integral

v d u

que puede resultar ms simple que la integral inicial o incluso pertenecer a las tabuladas.Examinemos algunis ejemplos.

Ejemplo 11 ln xdx

Haciendo aquu=ln x y dv = dx, ontendremos: du = d ln x = d xx

y v = x. Por consiguiente,en virtud de la frmula (19), tendremos

ln xdx = x ln x

xdx

x = x ln x x + C

Nocin sobre los mtodos principales de integracin 15


16/25

Ejemplo 12 x cos xdx

Tomandou = xy dv = cos xdx, tenemos: du = dx y v = cos x dx = sen x. Aplicandola frmula de integracin por partes (19), obtendremos

x cos xdx = x sen x

sen xdx = x sen x + cos x+C

En la prctica se puede aprender a emplear la frmula (19) sin escribir aparte lasexpresiones para las funciones u y v.

Ejemplo 13

x arctan xdx

x arctan xdx =

12

arctan xd(x2 + 1)

12

(x2 + 1) arctan x

(x2 + 1)d arctan x

=

x2 + 12

arctan x12

(x2 + 1)

dx

x2 + 1

= x2 + 1

2 arctan x1

2x + C

6 Integracin de fracciones racionales con denominadoresde segundo grado

Se trata de calcular las integrales de tipo P(x)

ax2 + bx + cdx (20)

donde P(x)es un polinomio entero y a, b, cson constantes, a 0. Al dividir el numeradorP(x) por el denominador a x2 +b x+ c obtenemos un polinomio Q(x) como cociente y unbinomio linealm x + ncomo resto (porque el grado del resto es inferior al grado del divisor),

dondeP(x)

ax2 + bx + c = Q(x) +

mx + nax2 + bx + c

La integral del polinolmio Q(x) se calcula inmediatamente; por eso mostraremos como secalculan las integrales de tipo

mx + nax2 + bx + c

dx

16 Seccin 6


17/25

Deduzcamos primeramente dos integrales fundamentales. dx

x2 + 1

I. dx

x2 + 1 =

1

a d xa

x

a

2 + 1

= 1

aarctan

x

a+ C (a 0)

esdecir

= 1

aarctan

x

a+ C (a 0) (21)

II.

dx

x2 a2

Tenemos

1x2 a2 =

1(x + a)(x a)

= 12a

(x + a) (x a)(x + a)(x a)

= 12a

1

x a 1x + a

de aqu

dxx2

a2

= 1

2a 1

x a 1

x + adx

= 12a

dx

x a

dx

x + a

= 12a

d(x a)

x a

d(x + a)x + a

= 12a

[ln |x a| ln |x + a|+ C]=

12a

ln x a

x + a

+ Centonces

= 1

2aln x a

x + a+ C (a 0) (22)

Los resultados (21) y (22) se deben guardar en la memoria. Agreguemos al als integralesanteriores la integral

III.

xdx

x2 a2 = 1

2

d (x2 a2

x2 a2=

12

ln |x2 a2 |+ C

Integracin de fracciones racionales con denominadores de segundo grado 17


18/25

Ejemplo dx

2x3 + 3 =

d

x 2

x 22 + 3

2

1

2 1

3 arctanx 2

3 + C = 1

6 arctan

x

23

+C

Ejemplo

dx

x2 + 5 =

1

2 5 ln

x 5

x + 5

+ CEl procedimiento principal para calcular la integral (20) es el siguiente: el trinomio de

segundo grado a x2

+b x+ c se completa hasta que haya un cuadrado perfecto2

. Luego, siel coeficiente m = 0, la integral (20) se reduce a la integral I a la integral II. Si m 0, laintegral (20) se reduce a las integrales I y III a las integrales II y III. Con unos ejemplosmostraremos de que modo hay que hacerlo.

Ejemplo dx

x2 10x + 16 =

dx

(x2 2 5x + 25) + ( 16-25)

dx

(x

5)2

32

= 12

3

ln (x 5) 3(x

5) + 3 + C

= 16

ln x 8x 2

+ CEjemplo

dx

x2 + 3x + 4 =

dx

x2 + 3

2x +

9

4

+

4 94

=

d

x +

3

2

x + 3

2 2 +

7

2 2

= 1

7

2

arc tanx + 32

7

2

+ C

= 2

7 arctan2x + 3

7 + C

2. Suponemos que el trinomio de segundo grado no es un cuadrado perfecto.

18 Seccin 6
http://-/?-http://-/?-


19/25

Ejemplo

I=

xdx

x2 + x + 1 =

xdxx +

1

2

2 +

3

4

Hacemos x + 12

= t, donde x = t

12

y

dx = dt

Por consiguiente

I=

t 1

2

dt

t2 + 3

4

=

tdt

t2 + 3

4

12

dt

t2 + 3

4

= 1

2

d

t2 + 3

4

t2 +

3

4

12

dt

t2 +

3

2

2

= 1

2ln

t2 +

34

1

2 2

3 arctan t

3

2

+ C

= 12

ln (x2 + x + 1) 13

arctan2 x + 13

+ C

Ejemplo x4 dx

x2 + 1Al dividir x4 por x2 + 1, tenemos

x4

x2 + 1 = x2 1 + 1

x2 + 1, donde

x4x2 + 1d x =

x2

1 + 1

x2 + 1

dxx2 dx

dx +

dx

x2 + 1 =

x3

3x + arctan x + C

Observacin. Si el trinomio de segundo grado ax2+ bx + c posee races reales y diferentesx1y x2, entonces, como se demuestra en los cursos de anlisis ms detallados, para calcularla integral (20) se puede descomponer la funcin subintegral en fracciones simples:

mx + nax2 + bx + c

= A

x x1 + B

x x2 (23)

donde A y B son coeficientes indefinidos. Los nmeros A y Bse calculan mediante unareduccin de la identidad (23) a un tipo entero e igualando los coeficientes de mismaspotencias de xen la igualdad obtenida.

Ejemplo

Hallar I=

x + 2x2 + 5x 6dx

Integracin de fracciones racionales con denominadores de segundo grado 19


20/25

Igualando el denominador a cero, obtenemos la ecuacin x2 + 5x6 = 0; hallamos susraces: x1 = 1y x2 =6. De acuerdo con la frmula (23) tenemos

x + 2x2 + 5x 6 =

A

x 1+ B

x + 6 (24)

De aqu, al liberarse del denominador y teniendo en cuenta que

x2 + 5x 6 = (x 1)(x 6)obtendremos x + 2 = A(x + 6) + B(x 1), o

x + 2 = (A + B)x + (6AB) (25)Igualando entre s los coeficientes de iguales potencia de x en el primero y en el segundomiembros de la ltima igualdad tendremos

A + B = 16AB = 2

por consiguiente, A = 37

, B = 47

Notemos que los coeficientes Ay Bpueden determinarse de modo muy simple a partirde la identidad (25), considerando primeramente que x = 1de donde 3 = A 7 y A = 3

7, y

luego, considerando que x =6, esto nos da4 = B(7) y B = 47

. Por medio del desarrollo(23) obtenemos

I=37

d(x 1)

x 1 +47

d(x + 6)

x + 6 =

37

ln |x 1 |+47

ln |x + 6 |+ C

= 1

7ln {| x 1|3(x + 6)4}+ C

7 Integracin de irracionalidades simples

1. Si la expresin subintegral contiene solamente una irracionalidad lineal ax + bn

(a 0), es til efectuar la sustitucin

t = ax + bn

Ejemplo.Hallar I=

xdx

x+13

Consideramos que t = x + 13

, de dondex = t3 1 y dx = 3t2 dt. Tenemos

I=

(t3 1) 3t2 dt

t = 3

(t4 t) dt

35

t532

t2 + C = 3

5(x + 1)

5

332

(x + 1)2

3 + C

20 Seccin 7


21/25

2. La integral de una irracionalidad cuadrticasimple

dx

ax2 + bx + c

Con ayuda del complemento del trinomio de segundo grado a x2 + b x + c hasta uncuadrado perfecto, se reduce a una de las dos integrales

dx

ax2cuyo clculo se da ms abajo.

I. Caso

dx

x2 + a (a 0)

Aplicamos aqula sustitucin de Euler

x2 + a

= t xdonde t es una nueva variable. Elevando al cuadrado los dos miembros de esta igualdadtendremos x2 + a = t2 2tx + x2, o sea, a = t2 2tx. Diferenciando los dos miembros de laltima igualdad obtendremos0 = 2tdt 2xdt 2tdx, o sea, tdx = (t x)dt. De aqu

dx

tx = dt

tes decir

dxx2 + a

= dtt

De este modo, tenemos dt

x2 + a =

dt

t

= ln | t|+ CPor ltimo, expresandoten funcin dex, hallamos definitivamente la integral tabulada XIV

dx

x2 + a = ln

x + x2 + a

+ C (a 0) (26)

Hace falta guardar en la memoria esta frmula.

Ejemplo.Hallar

dx

x2 6x+ 13

Aplicando la frmula (26) tenemos dx

x2 6x + 13 =

dx

(x 3)2 + 4

Integracin de irracionalidades simples 21


22/25

Considerando aqu x 3 = t, obtendremos sucesivamente dx

x2 6x + 13 =

dt

t2 + 4

= ln

t + t2 + 4

+ C

Puesto que t = x 3, tendremos definitivamente dx

x2 6x + 13 = ln x 3 + (x 3)2 + 4 + C

= ln x 3 + x2 6x + 13 + C

II. Caso dx

a2 x2 =

dx

a

1

x

a 2

= arcsenx

a+ C (a > 0)

Ejemplo.Hallar

dx

1xx2

dx

1x x2 =

d

x + 1

2

5

4 x + 1

2

2

= arcsen

x + 1

2

5

4 + C

= arcsen2 x + 15

+ C

8 Integracin de funciones trigonomtricas

Para las aplicaciones es importante saber calcular las integrales

I=

sen

m

cos

n

dx

donde my nson nmeros enteros no negativos.Aqu hay dos casos:

1. Por lo menos uno de los exponentes mo nes un nmero impar.

2. Los dos exponentes my nson nmeors pares.

En el primer caso, la integral I se calcula inmediatamente.

22 Seccin 8


23/25

Ejemplo.Hallar I=

sen2x cos2xdx.

Consideramos sucesivamente

I=

sen2

x cos2

x (sen xdx) = (1 cos2x) cos2xd(cos x)=

cos2xd(cos x) +

cos4x (cos x)

= 13

cos2x +15

cos6x + C

En el segundo caso, para calcular la integral I se utilizan las frmulas del argumentodoble:

sen2x =12

(1 cos 2x), cos2x =12

(1 + cos 2x), sen x cos x =12

sen 2x

Ejemplo.Hallar I=

sen2x cos4xdx

Tenemos

I=

(sen x cos x)2 cos2 xdx =

sen 2x

2

2 1 + cos 2x

2 dx

=18

sen2 2x(1 + cos 2x) dx =

18

sen2 2xdx +

18

sen2 2x cos 2xdx

=18

1 cos 4x2

dx + 116 sen

22xd(sen 2x) = 116dx

116 cos 4xdx +

116sen

32x3

= 116

x 164

sen 4x + 148

sen3 2x + C

En la teora de series de Fourier tienen mucha importancia las integrales sen mx sen nxdx,

cos mx cos nxdx,

sen m x cos nxdx

Ellas se calculan a partir de las frmulas trigonomtricas:

sen sen = 1

2[ cos ( ) cos ( + )]

cos cos = 12[ cos ( ) + cos ( + )]sen cos =

12

[ sen( ) + sen( + ) ]

Ejemplo.Hallar

sen x sen 5xdx sen x sen 5xdx =

12

(cos 4x cos 6x)dx = 1

8sen 4x 1

16sen 6x + C

Integracin de funciones trigonomtricas 23


24/25

9 Integracin de algunas funciones trascendentes

La integral P(x) eax dx

dondeP(x)es un polinomio, se calcula por el mtodo de integracin por partes que se aplicaen nmero de veces necesario.

Ejemplo.Hallar

x2 e2x dx

x2 e2x dx =

12

x2 d(e2x)

=x2

2 e2x1

2

e2x 2xdx = x

2

2 e2x1

2

xd(e2x)

=x2

2 e2xx

2e2x +

12

e2x dx =

x2

2 e2xx

2e2x +

14

e2x + C

=

x2

2x

2+

14

e2x + C

Por un procedimiento anlogo se calculan las integrales de tipo

P(x) sen a x d x y P(x) cos axdxdonde P(x) es un polinomio.

10 Teorema de Cauchy. Nocin sobre las integralesincalculables

Hasta aqu hemos sabido hallar para ciertas funciones continuas f(x) sus integralesindefinidas

f(x) dx

Se puede preguntar, si es siempre as, es decir, 1) si toda funcin continua f(x) posee unaintegral indefinida y 2) si esa integral existe, mediante que procedimientos se puede hallarlas.

De respuesta a la primera parte de esta pregunta sirve el Teorema de Cauchy, que es elteorema fundamental del clculo integral.

TEOREMA DE CAUCHY. Toda funcin continua tiene su primitiva.

24 Seccin 10


25/25

En otras palabras, para cada funcin f(x) continua en un intervalo (a, b), existe unafuncin F(x) cuya derivada en el intervalo (a, b) es exactamente igual a la funcin dadaf(x), es decir,

F(x) = f(x)

Por eso existe una integral indefinidaf(x) dx = F(x) + C

donde Ces una constante arbitraria.La demostracin de este teorema, debido a su complejidad, no se incluye en este artculo.Con esto el teorema no responde a la segunda parte de nuestra pregunta: si se da una

funcin continua f(x), de que modo se puede hallar su integral indefinida. El Teorema deCauchy no afirma que la primitiva de una funcin dada puede ser realmente hallada conayuda de un nmero finito de operaciones conocidas y que la respuesta puede ser expresada

por funciones elementales (algebraicas, exponenciales, trigonomtricas, etc.) Adems existenfunciones elementales continuas cuyas integrales no son funciones elementales. Talesintegrales se llaman frecuentemente incalculables, entendindose por esto que ellas nopueden ser expresadas con ayuda de un nmero finito de funciones elementales. Por ejemplo,se puede demostrar que las integrales

ex2

dx ,

sen xx

dx ,

cos xx

dx y

dx

ln x

y muchas otras no se reducen a una combinacin finita de funciones elementales y, porconsiguiente, son incalculables en nuestra acepcin de la palabra.

Teorema de Cauchy. Nocin sobre las integrales incalculables 25

Ing. Eliézer Martínez - La Integral Indefinida

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