Guia de Integración Indefinida 2015 - i

.INTEGRACION INDEFINIDA

Y SUS APLICACIONES

Hebeth Cueva Valladolid

Marzo del 2015

Docente : Hebeth Cueva Valladolid 1

USMP - FIA

UNI V ERSID A DDE

SANMARTINDEPORRES

Gua de Calculo 2Integracion Indefinida

Definiciones y propiedades basicasMetodos de Integracion

AplicacionesDocente : Hebeth Cueva Valladolid

La presente Gua esta orientada a incrementar la calidad del proceso de ensenanza-aprendizaje de la Asignatura de Calculo II. Esta Gua que se presenta, contiene defini-ciones , propiedades basicas , ejercicios resueltos , propuestos y problemas de apli-cacion que se realizaran en la primera unidad del presente semestre academico 2015 -I de acuerdo al silabo correspondiente. El estudiante debe estar familiarizado con ladiferenciabilidad de funciones


0.1. Introduccion

El origen del calculo integral se remonta a la epoca de Arqumedes (287-212 a.C.),matematico griego de la antiguedad, que obtuvo resultados tan importantes como elvalor del area encerrada por un segmento parabolico. La derivada aparecio veinte siglosdespues para resolver otros problemas que en principio no tenan nada en comun conel calculo integral. El descubrimiento mas importante del calculo infinitesimal (creadopor Barrow, Newton y Leibniz) es la ntima relacion entre la derivada y la integraldefinida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vezconocida la conexion entre derivada e integral (teorema de Barrow), el calculo de inte-grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Calculoy sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvoel analisis matematico, creando ramas como el calculo diferencial, integral y de varia-ciones. El calculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallisy Newton entre otros. As en 1711 Newton introdujo la formula de interpolacion dediferencias finitas de una funcion f(x); formula extendida por Taylor al caso de infinitosterminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el calculo diferencialy el calculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del calculo diferencial era eldesarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema deTaylor, desarrollandose casi todas las funciones conocidas por los matematicos de laepoca. Pero pronto surgio el problema de la convergencia de la serie, que se resolvio enparte con la introduccion de terminos residuales, as como con la transformacion deseries en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeronnuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintoticasintroducidos por Stirling y Euler. La acumulacion de resultados del calculo diferencialtranscurrio rapidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es-tructura actual Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli,quien escribio el primer curso sistematico de calculo integral en 1742. Sin embargo, fueEuler quien llevo la integracion hasta sus ultimas consecuencias, de tal forma que losmetodos de integracion indefinida alcanzaron practicamente su nivel actual. El calculode integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevo el descubrimientode una serie de resultados de la teora de las funciones especiales. Como las funcionesgamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elpticas. Los creadores del AnalisisInfinitesimal introdujeron el Calculo Integral, considerando los problemas inversos desus calculos. En la teora de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob-lemas del calculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz elproblema era mas complejo: la integral surga inicialmente como definida. No obstante,la integracion se reduca practicamente a la busqueda de funciones primitivas. La ideade la integracion indefinida fue inicialmente la dominante. El Calculo Integral incluaademas de la integracion de funciones, los problemas y la teora de las ecuaciones difer-enciales, el calculo variacional, la teora de funciones especiales, etc. Tal formulaciongeneral crecio inusualmente rapido. Euler necesito en los anos 1768 y 1770 tres grandesvolumenes para dar una exposicion sistematica de el. Segun Euler el Calculo Integralconstitua un metodo de busqueda, dada la relacion entre los diferenciales o la relacion


entre las propias cantidades. La operacion con lo que esto se obtena se denominaba in-tegracion. El concepto primario de tal Calculo, por supuesto, era la integral indefinida.El propio Calculo tena el objetivo de elaborar metodos de busqueda de las funcionesprimitivas para funciones de una clase lo mas amplia posible. Los logros principalesen la construccion del Calculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de-spues a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integracion llevada por esteultimo hasta sus ultimas consecuencias y las cuadraturas por el encontradas, todavaconstituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Calculo Integral,cuyos textos actuales son solo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo allenguaje. Estos juicios se confirman con la revision concreta del famoso Calculo Inte-gral de Euler y su comparacion con los textos actuales. La palabra calculo proviene dellatn calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve lanecesidad de contar, comienza la historia del calculo. Tales piedrecitas ensartadas entiras constituan el abaco romano que, junto con el suwanpan japones, constituyen lasprimeras maquinas de calcular en el sentido de contar. El calculo integral, encuadradoen el calculo infinitesimal, es una rama de las matematicas en la que se estudia el pro-ceso de integracion o antiderivacion, es muy comun en la ingeniera y en la matematicaen general y se utiliza principalmente para el calculo de areas y volumenes de regionesy solidos de revolucion.


0.2. Definiciones y Formulas basicas

Definicion 1. La funcion F : I R se le llama Antiderivada o primitiva de f : I Rsi F (x) = f(x),xI = [a, b].Ejemplo : Si f(x) = 2x F (x) = x2 es una antiderivada ,pues F (x) = 2x = f(x)

Tambien F1(x) = x2 + 3 es una antiderivada de f(x)

Que se Observa? al calcular las antiderivadas de una funcion no se determina unaunica funcion sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.EnGeneral la representacion de su antiderivada mas general de f(x) la representaremospor : F (x) + c

X

Y

Y=X2

+C

Definicion 2. Si F (x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I osea

F (x) = f(x)

Entonces a su antiderivada general F (x) + c se le denota por :

G(x) =

f(x)dx = F (x) + c , xI


En otras palabras la integral de una funcion que se designa conf(x)dx no es mas

que su antiderivada general F (x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a loque esta dentro de la integral es decir a f(x)dx

NOTA:De la definicion anterior se tiene :

G(x) = F (x) = f(x)

i.ed

dx

f(x)dx = f(x)

Propiedades

De la definicion de integral indefinida se tiene :

1.d

dx(

f(x)dx) = f(x)

2.

d(

f(x)dx) = f(x)

3. f (x)dx = f(x) + c

Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas deuna funcion f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difierende una constante


Ejercicios de Aplicacion

Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales :

1.

2x 3x+15x+2

dx

2.

ex(1 + x lnx)

xdx

3.

1 x ln x

xexdx

4.

sinx

cos2 xdx

5.

tan y sec y

cos ydy

6.

x+ 4

xdx

7.

sinx x ln x cosx

x sin2 xdx

8.

secx tan xsecx+ tan x

dx

9. Se da la grafica de la derivada de una funcion.Esbozar las graficas de 2 funcionesque tengan por derivada a la funcion dada

2 f

x

y

Grafico (1) Grafico (2)

Del grafico (2) se observa que

f = 2 = f(x) = 2x+ k


entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f = 2 son :

f(x) = 2x+ 1 , f(x) = 2x 1

10. En cada caso ,f es una funcion contnua y la figura muestra la grafica de lafuncion y = f (x) ,la funcion derivada de f .Bosqueje la grafica de la funciony = f(x),analizando intervalos de monotona y de concavidad,valores extremos ypuntos de inflexion ; si :

1 2 3 2

2

1 3

1

2

Figura (1)Figura(2)

Para la figura (1) se tiene que f(1) = 0 y x 0 ,de la misma forma para la figura (2)se tiene que f(0) = 1 y x 1


METODOS DE INTEGRACION

0.3. Integracion por sustitucion

Este metodo para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando seaposible encontrar dentro del integrando una funcion y su derivada consiguiendo unaintegral conocida o facil de operar .El metodo consiste en que una vez identificada lafuncion y su derivada se debe elegir a la funcion como la nueva variable y luego usarlas formulas de integracion descritas con anterioridad.Ejemplos

1. Resolver x5

1 + x3dx

la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una funcion y su derivadapara lo cual haremos un artificio facil que consiste en descomponer el numeradorde la siguiente forma :

x3x2

1 + x3dx

si llamamos al denominador u = 1 + x3 observamos que

du = 3x2dx = x2dx = du3

As de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene :u 1u

du

3=

1

3

(1 1

u)du

=1

3

du 1

3

1

udu =

1

3u 1

3ln |u|+ c

Luego regresemos a las variables originales

1

3(1 + x3) 1

3ln |1 + x3|+ c

2. Resolver ln(ln x)

x lnxdx

Escogeremos u = ln x = du = 1xdx As de este modo se tendra

lnu

udu


y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral

v = lnu = dv = 1udu

se llega a: vdv =

v2

2+ c

volviendo a las variables originales

=(ln u)2

2+ c

=(ln(ln x))2

2+ c

3. Resolver 2ex + ex

3ex + 4exdx

Es preciso observar que en el integrando no existe relacion entre el numerador yel denominador ,lo unico que pudieramos hacer es separar en dos integrales

2ex

3ex + 4exdx+

ex

3ex + 4exdx

Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numeradory denominador por ex y en la segunda por ex asi se tendra :

2e2x

3e2x + 4dx+

e2x

3 + 4exdx

Si en la primera elegimos el cambio de variable

u = 3e2x + 4 du = 6e2x

4. Resolver 1

x2(1

x 1) 23dx

5. Resolver x3(4 x2)12 dx

6. Resolver x13 (x

23 + 1)

32dx

7. Resolver 1

ex + exdx


8. Resolver arctan

x

x+ 2x2 + x3dx

9. Resolver 2xarcsin x

1 x2 dx

10. Resolver ex+e

x

dx

11. Resolver eln(x)+

1x

x3dx

12. Resolver sin(2x)dx

cos2 x+ 4

13. Resolver x3

1 + x4dx

14. Resolver x2x(ln(x) + 1)dx

15. Resolver dx

sin2 x 3cot(x) 1

16. Resolver cos2 x(tan2 x+ 1)

(sinx+ cos x)2dx

17. Resolver dxex 1

18. Resolver 1 + e2x

e3xdx

19. Resolver dxx+ 1

20. Resolver cos3 x

1 sinxdx


21. Resolver x

9 x4dx

22. Resolver x

2 xdx

23. Resolver 2 +

xdx

24. Resolver dx

xx2 1dx

25. Resolver x3a2 x2dx

26. Resolver 2

x(x4 + 25)12

dx

27. Resolver (x2 25) 32

x6dx

28. Resolver (4 x2) 12

x2dx

29. Resolver x2 3

xx4 4dx

30. Resolver 1

x21 + x2

dx

31. Resolver e1x

x2dx

32. Resolver 1 + sin xdx

33. Resolver sinxetan

2 x

cos3 xdx


34. Resolver cos3 x

1 sinxdx

35. Resolver 1

x 1 +x+ 1dx

36. Resolver 4

cosx1 sin 2x+ 2 cos2 xdx

37. Resolver lnx

x3((ln(x) 1))3dx


0.4. Integracion por partes

Este metodo es de mucha utilidad en la practica,cuyo procedimiento lo describiremosa continuacion:

Siendo u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la formulapara la diferencial de un producto de dos funciones se tiene :

d(uv) = udv + vdu

que es equivalente a:udv = d(uv) vdu

ahora si integramos ambos miembros se tiene:udv = uv

vdu

La cual se denomina Formula para la Integracion por partes

Nota: La eleccion de u y de v es arbitraria no existe una formula especfica para podertomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrandofunciones trigonometricas ,exponenciales o logartmicas es preferible tomarlas como dv.

Ejemplos:

1. Resolver x2 sin(4x)dx

En este caso por la nota anterior considerare

u = x2 = du = 2xdxlo que queda dentro del integrando sera

dv = sin(4x)dx = v = cos(4x)4

As que al reemplazar en Formula para la Integracion por partes se tiene:x2 sin(4x)dx =

14x2 cos(4x)

( cos(4x)

4)(2xdx)

=14x2 cos(4x) +

1

2

(cos(4x))(xdx)

En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi deeste modo en ella eligo

u = x = du = dx


dv = cos(4x)dx = v = sin(4x)4

Asi de este modo x cos(4x)dx = x

sin(4x)

4

sin(4x)

4dx

x cos(4x)dx = x

sin(4x)

4+cos(4x)

16

Luego x2 sin(4x)dx =

14x2 cos(4x) +

1

2(xsin(4x)

4+cos(4x)

16) + c

2. Resolver ln(x)dx

Aqu hagamos u = ln(x) = du = 1xdx y dv = dx = v = x.De esta forma al

utilizar la formula de integracion por partes se tiene:ln(x)dx = (ln(x))(x)

(x)(

1

x)dx

ln(x)dx = (ln(x))(x)

dx

ln(x)dx = (ln(x))(x) x

3. Resolver ln(2 + 3

x)

3x

dx

4. Resolver e1x

x3dx

5. Resolver 3x2 + 2x 1

4e3xdx

6. Resolver arctan

xdx


7. Resolver arctan x

x2(1 + x2)dx

8. Resolver arctan

x

xdx

9. Resolver x sinx cosxdx

10. Resolver x cosx

sin2 xdx

11. Resolver sec5 xdx

12. Resolver sin2 x

exdx

13. Resolver cos(ln x)dx

14. Resolver ln(cos x)

cos2 xdx

15. Resolver x2 + 1

(x+ 1)2exdx

16. Resolver sin(

2y)dx

17. Resolver ln(x+

x+ 1)dx

18. Resolver x ln(

1 x1 + x

)dx

19. Resolver xex

(1 + x)2dx

20. Resolver ln(x+

1 + x2)dx


21. Resolver (2x 3)(x2 3x 1)4 ln(x2 3x 1)dx

22. Resolver sec3 xdx

23. Resolver x arctan2 xdx

24. Resolver ln(x2 + 2)dx

25. Resolver x2 ln(x6 1)dx

26. Resolver sin2(lnx)dx

27. Resolver esinx cos4 x 1

cos3 xdx

28. Resolver x2 sin2 x

x sinx cosx+ x cosx sinxdx

29. Resolver x arctan x

(1 + x2)dx

30. Resolver x2 sec2 x

(tan x x sec2 x)2dx


0.5. Generalizacion del metodo de Integracion por

partes

Presentamos en esta oportunidad la Generalizacion del metodo de integracion porpartes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dosfunciones una de las cuales debe ser un polinomio y la otra una funcion facil de inte-grar,la explicacion del metodo se hara en los ejercicios que a continuacion se muestran

1. Resolver (x3 + 2x+ 1) cos xdx

Solucion

Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una deellas es un polinomio y la otra es una funcion de facil integracion,el proceso parala resolucion por este metodo consiste en separar convenientemente el polinomioy la funcion mediante dos columnas a partir de la cual se debera en primerlugar a derivar el polinomio tantas veces se llegue a cero y de la misma forma seintegrara la otra funcion tantas veces se derivo la primera ,para luego empezar amultiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivosiendo este el resultado final de la integracion.

EL resultado final sera (x3 + 2x+ 1) cos xdx

= (x3 + 2x+ 1)(sin x) + (3x2 + 2)(cos x) (6x)(sinx) (6)(cos x)


2. x5 sinxdx

3. xnexdx

4. (3x2 2x+ 6)e2xdx

5. (4x3 + 2x2 + x+ 1) sin(2x)dx

0.6. Integracion de funciones Trigonometricas

Recordemos algunas identidades trigonometricas :

sin2 + cos2 = 1

1 + tan2 = sec2

1 + cot2 = csc2

sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin

Apartir de estas se puede deducir algunas mas pero estas son las mas importantes.El procedimiento para resolver Integrales trigonometricas es tratar de que con ayudade las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y susderivadas para as de esa forma tener integrales conocidas y faciles de integrar medianteun cambio de variables.

1.

cosx(sin5 x)dx

Solucion

Nuestro objetivo es buscar una relacion entre una funcion y su derivada asi deeste modo

cosx(sin5 x)dx =

cosx(sin2 x)2 sinxdx =

cosx(1 cos2 x)2 sinxdx

=

cosx(12 cos2 x+cos4 x)dx =

cosx sinx2

cos

52 sinxdx+

cos

92 sinxdx

Si en todas las integrales hacemos el cambio

u = cos x = du = sinxdx


asi se tiene :

u12du+ 2

u52du

u92

= 23u32 +

4

7u72 2

11u112 + k

regresando a las variables originales

= 23(cosx)

32 +

4

7(cosx)

72 2

11(cosx)

112 + k

2.

tanx sec6 xdx

Solucion

tan x sec6 xdx =

tan x(sec2 x)2 sec2 xdx

tanx(1 + tan2 x)2 sec2 xdx =

tan x(1 + 2 tan2 x+ tan4 x) sec2 xdx

=

tanx sec2 xddx+ 2

tanx tan2 x sec2 xd+

tanx tan4 x sec2 xdx

=

tan

12 sec2 xdx+

tan

52 sec2 xdx+

tan

92 sec2 xdx

Si aqu realizamos el cambio de variable

u = tan x = du = sec2 xdx

3. Resolver sin3 x3cos4 x

dx

4. Resolver (1 + cos 3x)

32dx

5. Resolver tan3(3x) sec4(3x)dx

6. Resolver (sin(2x) cos(2x))2dx

7. Resolver sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx


8. Resolver cosx cos(3x) cos(5x)dx

9. Resolver sin3 x cos(3x)dx

10. Resolver cos2 x sin2(4x)dx

11. Resolver cos4(2x) sin3(2x)dx

12. Resolver cos5 xsinx

dx

13. Resolver tan5 x

cos3 xdx

14. Resolver sin3 x3cos4 x

15. Resolver 3

sin2 x

cos14 xdx

16. Resolver sin 2x sin 3xdx

17. Resolver sinx sin(3x) sin(5x)dx

18. Resolver (secx

tan x)4dx

19. Resolver sin(4x+ 7) cos(5x+ 8)dx

20. Resolver cosx

3sin7(2x) cos x


21. Resolver cos2 x+ cos xdx

22. Resolver dx

sin2 x cos4 xdx

23. Resolver cos4 x+ sin4 x

cos2 x sin2 xdx

24. Resolver dx

sinx cos3 x

25. Resolver 1 + tan x

1 tan xdx

26. Resolver sin4(

x

2) cos2(

x

2)dx

27. Resolver tan3 4x sec

92 4xdx

28. Resolver x2 cos 2x3dx

29. Resolver sin6 2xdx


0.7. Formulas de Recurrencia

1. Obtener una formula de recurrencia para la integral In =

sinn xdx

Solucion

En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposicionsinn xdx =

sinn1 x sinxdx

aqu usaremos integracion por partes :

u = sinn1 x = du = (n 1) sinn2 x cosxdx

dv = sin x = v = cosxluego :

In = (sinn1 x)(cosx) + (n 1)

sinn2 x cosx cosxdx

= (sinn1 x)(cosx) + (n 1)

sinn2 x cos2 xdx

In = (sinn1 x)(cos x) + (n 1)

sinn2 x(1 sin2 x)dx

= (sinn1 x)(cosx) + (n 1)

sinn2 xdx+ (n 1)

sinn xdx

In = (sinn1 x)(cos x) + (n 1)In2 + (n 1)InIn =

1

2 n [(sinn1 x)(cosx) + (n 1)In2]

2. Obtener una formula de recurrencia para la integral In =

cosn xdx

3. Demostrar que xnexdx, nN In = xnex + nIn1

4. Obtener una formula de recurrencia para la integralsecn xdx


5. Halle una formula de recurrencia para la integral

In =

xn(ax+ b)dx

Donde n es entero 0.Calcule I26. Obtener una formula de recurrencia de

In =

(x ax b )

ndx

7. Obtener una formula de recurrencia de

In =

1

xn1 + xdx


In =

1

xn

a+ bxdx


In =

(x2 a2)ndx


0.8. Integracion de funciones Racionales

No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,poresta razon en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienenfunciones racionales.

1. Integrales del tipo P (x)

Q(x)dx

Donde P (x), Q(x) son polinomios del mismo grado

Resolver la siguiente integralx+ 2

x+ 1dx

Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejablerealizar la division entre polinomios para as de esta forma obtener integralesconocidas o faciles de integrar

(1 +1

x+ 1)dx =

dx+

1

x+ 1dx

= x+ ln |x+ 1|+ k2. Integrales del tipo

P (x)

Q(x)dx

Donde P (x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n,ademas m < n

Resolver la siguiente integral4x2 + 9x 1

x3 + 2x2 x 2dx

Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio degrado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONESPARCIALES,metodo que a continuacion se detalla .

En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida delo posible a lo mas en factores cuadraticos irreducibles,para el problema se tiene

4x2 + 9x 1x3 + 2x2 x 2 =

4x2 + 9x 1(x+ 1)(x 1)(x+ 2)

Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3factores todos lineales se debe realizar una separacion en tres factores cada unode los cuales contendra dentro de cada denominador a uno de los factores lineales


y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomiodel denominador en este caso una constante asi :

4x2 + 9x 1x3 + 2x2 x 2 =

4x2 + 9x 1(x+ 1)(x 1)(x+ 2) =

A

x+ 1+

B

x 1 +C

x+ 2

Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantesindicadas para asi de este modo simplificar la integracion

4x2 + 9x 1x3 + 2x2 x 2 =

A(x+ 2)(x+ 1) + B(x 1)(x+ 1) + C(x 1)(x+ 2)x3 + 2x2 x 2

como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda

4x2 + 9x 1 = A(x+ 2)(x+ 1) +B(x 1)(x+ 1) + C(x 1)(x+ 2)

Existen dos formas de conseguir los valores de A,B,C una de ellas es tratando deigualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratandode dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunasde las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizare la segundaopcion y para esto

x = 1 A = 2x = 1 C = 3x = 2 B = 3

Por lo tanto

4x2 + 9x 1x3 + 2x2 x 2 =

A

x+ 1+

B

x 1 +C

x+ 2=

2

x+ 1 3x 1 +

3

x+ 2

=

4x2 + 9x 1x3 + 2x2 x 2dx =

2

x+ 1dx

3

x 1dx+

3

x+ 2dx

= 2 ln |x 1| 3 ln |x+ 2|+ 3 ln |x+ 1|+ k

3. Resolver

1

1 + x4dx

Solucion

En esta integral es necesario recordar algunos metodos de integracion,recordemosque nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como elproductos de factores o lineales o a lo mas en el de factores cuadraticos irreduciblesasi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados setiene :

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 2x2 = (1 + x2)2 2x2x4 + 1 = (1 + x2)2 (

2x)2 = (x2 +

2x+ 1)(x2

2x+ 1)


asi de este modo usando fracciones parciales

1

x4 + 1=

Ax+B

x2 +2x+ 1

+Cx+D

x2 2x+ 1de donde

1 = (A+C)x3 (2A+B+

2C +D)x2+ (A

2B+C +

2D)x+ (B+D)

se obtiene el sistema de ecuaciones

A+ C = 0

2A+

2C +B +D = 0

A+ C 2B +

2D = 0

B +D = 1

Del sistema se obtiene que :

A =

2

4, C =

22

, B =1

2, D =

1

2

=

1

x4 + 1dx =

2

4

x

x2 +2x+ 1

dx+1

2

1

x2 +2x+ 1

dx2

4

x

x2 2x+ 1+1

2

dx

x2 2x+ 14. Resolver

(2x+ 1)

x3 7x+ 6dx

5. Resolver 2x2 1x3 x dx

6. Resolver 5x2 11x+ 5

x3 4x2 + 5x 2dx

7. Resolver x+ 1

x3 + 4xdx

8. Resolver 2x2

x4 + x2 + 1dx

9. Resolver 1

x2(x+ 1)2dx


10. Resolver x5

(x2 + 4)2dx

11. Resolver 1

x(x3 + 1)dx

12. Resolver 2x2 + 41x 91

(x 1)(x+ 3)(x 4)dx

13. Resolver 2x2 5

x4 5x2 + 6dx

14. Resolver 4x3 + 4x2 18x+ 6x4 3x3 x2 + 3x dx

15. Resolver x2 + x 1

x3 x2 x+ 1dx

16. Resolver x6 2x4 + 3x3 9x2 + 4

x5 5x3 + 4x dx

17. Resolver x3 + 4x+ 1

x4 + x2 + 1dx

18. Resolver 5x2 + 6x+ 9

(x 3)2(x+ 1)2dx

19. Resolver x+ 1

x3 2x2 + 3xdx

20. Resolver x3 + x2 5x+ 15

(x2 + 5)(x2 + 2x+ 3)dx

21. Resolver 4x2 8x

(x 1)2(x2 + 1)2dx

22. Resolver 2x2 + 1

x3 x2 5x 3dx


23. Resolver 4x2 + 6

x3 + 3xdx

24. Resolver x3 + x 1(x2 + 2)2

dx

Metodo de Hermite-OstrogradskiUsando para integrales que presentan el tipo :

Ax+B

(x2 + bx+ c)ndx , n N, n 1

siendo x2 + bx+ c una cuadratica irreduciblePara esto se debe considerar :

Ax+B

(x2 + bx+ c)ndx =

P (x)

(x2 + bx+ c)n1+

Cx+D

x2 + bx+ cdx

Donde :P (x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C,D RLa explicacion del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo :

dx

(x2 + 1)2=

Ax+B

(x2 + 1)+

Cx+D

x2 + 1dx

Para hallar las constantes A,B,C,D debemos integrar ambos mienbros as tenemos:

1

(x2 + 1)2=A(x2 + 1) 2x(Ax+B)

(x2 + 1)2+(Cx+D)

(x2 + 1)

1

(x2 + 1)2=A(x2 + 1) 2x(Ax+B)

(x2 + 1)2+(Cx+D)(x2 + 1)

(x2 + 1)2

Luego

1 = Ax2 + A 2Ax2 2Bx+ Cx3 + Cx+Dx2 +DDe aqu

A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1

reemplazandodx

(x2 + 1)2=

x

x2 + 1+

1

x2 + 1dx =

x

x2 + 1+ arctan x

=x2 arctan x+ arctan x+ x

x2 + 1


Ademas en el caso en el que el denominador de la fucnion racional P (x)Q(x)

tengafactores de multiplicidad

P (x)

Q(x)dx =

f(x)

Q1(x)+

g(x)

Q2(x)dx

Donde Q1(x) es el maximo comun divisro de los polinomios Q(x) y de su derivada

Q(x) y Q2(x) =Q(x)Q1(x)

.Ademas f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi-

nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q1(x) y Q2(x)respectivamente.

Ejemplo : Resolver dx

(x+ 1)2(x2 + 1)2

Se observa que :

Q(x) = (x+ 1)2(x2 + 1)2 = Q(x) = 2(x+ 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x+ 1)

Luego

Q1 = (x+ 1)(x2 + 1)

yQ(x)

Q1(x)= (x+ 1)(x2 + 1)

dx

(x+ 1)2(x2 + 1)2=

Ax2 +Bx+ C

(x+ 1)(x2 + 1)+

Dx2 + Ex+ F

(x+ 1)(x2 + 1)dx

Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene :

A =14

, B =1

4, C = 0 , D = 0 , E = 1

4, F =

3

4dx

(x+ 1)2(x2 + 1)2=

x2 + x4(x+ 1)(x2 + 1)

+

x+ 34(x+ 1)(x2 + 1)

dx

=x2 + x

4(x+ 1)(x2 + 1)+1

2ln |x+ 1| 1

4ln |x2 + 1|+ 1

4arctan x+ c

Ejercicios

1. 4x2 8x

(x 1)2(x2 + 1)dx

2. (x2 1)2

(x+ 1)(1 + x2)3dx


3. 1

x4(x3 + 1)2dx

4. x+ 2

((x2 + 2x+ 2)3)dx

5. 1

(x4 1)2dx

6. 1

(x2 + 1)4dx


0.9. Integracion de funciones Racionales de Seno y

Coseno

Las integrales el tipo f(sin x, cosx)dx

donde f es una funcion racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguientecambio de variables:

tan(x

2) = t x = 2arctan t dx = 2

1 + t2dt

sin(x

2) =

t1 + t2

cos(x

2) =

11 + t2

sinx = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2) cos(

x

2) =

2t

1 + t2

cosx = cos 2(x

2) = cos2(

x

2) sin2(x

2) =

1 t21 + t2

Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta losiguiente :

1. Si f es impar respecto a sin x es decir

f( sinx, cosx) = f(sinx, cosx)

entonces realizar la sustitucioncosx = t

2. Si f es impar respecto a cos x es decir

f(sinx, cosx) = f(sinx, cosx)

entonces realizar la sustitucionsinx = t

3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir

f( sinx, cosx) = f(sinx, cosx)

entonces la sustitucion estan x = t


1. Resolver

dx

(2 + cos x 2 sin x) sin xdx Usaremos

tan(x

2) = t x = 2arctan t dx = 2

1 + t2dt

sin(x

2) =

t1 + t2

cos(x

2) =

11 + t2

sinx = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2) cos(

x

2) =

2t

1 + t2

cosx = cos 2(x

2) = cos2(

x

2) sin2(x

2) =

1 t21 + t2

=

dx

(2 + cos x 2 sin x) sin xdx =

1

(2 + 1t21 + t2 4t

1+t2)( 2t

1+t2)(2dt

1 + t2)

=

1 + t2

t(t2 4t+ 3)dt =

1 + t2

t(t 3)(t 1)dt

Usando fracciones parciales

1 + t2

t(t 3)(t 1) =A

t+

B

t 3 +C

t 1

= A = 13

, B =5

3, C = 1

=1

3

1

tdt+

5

3

1

t 3dt 1

t 1tdt

=1

3ln |t|+ 5

3ln |t 3| ln |t 1|+ k

2. Resolver 2 sinx2 + cos x

dx

3. Resolver 1

(2 + cos x)(3 + cos x)dx

4. Resolver sin(2x)

sin4 x+ cos4 xdx

5. Resolver 1

1 sin4 xdx

6. Resolver 1

(sinx+ 2 sec x)2dx


7. Resolver secx

2 tan x+ sec x 1dx

8. Resolver sinx+ 2 cosx 3sinx 2 cos x+ 3dx

9. Resolver sin2 x

1 tan xdx

10. Resolver 1

sinx+ cos x+ 2dx

11. Resolver 1

5 + 3 cos xdx

12. Resolver 1

(sinx+ cos x)2dx

13. Resolver dx

1 + sin x+ cos x

14. Resolver cosx

1 + 2 cos xdx

15. Resolver 1

4 sin x 3 cos xdx

16. Resolver secx

2 tan x+ sec x 1dx

17. Resolver 1

tan2+sin2 xdx

18. Resolver sin2 x

1 tan xdx

19. Resolver cos(2x)

sin4 x+ cos4 xdx


0.10. Integracion de Funciones Irracionales

De la misma forma que la integracion de funciones Racionales no existe metodogeneral para el calculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integraldel tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con-venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por esta razondetallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora decalcular una integral irracional.

1. x2 +

1 + x

31 + x

dx

haremos un cambio de variable

1 + x = u6 = dx = 6u5dux2 +

1 + x

31 + x

dx =

(u6 1)2 + u3

u2(6u5du) =

(u12 2u6 + 1 + u3)6u3du

= 6

(u15 2u9 + u3 + u6)du = 6(u

16

16 2u

10

10+u4

4+u7

7) + k

regresando a la variable original

= 6((x+ 1)16

16 2(x+ 1)

10

10+(x+ 1)4

4+(x+ 1)7

7) + k

2. Integrales del tipo ax+ b

cx2 + dx+ edx

Donde cx2 + dx+ e tiene discriminante distinto cero

Resolver la siguiente integral

x+ 2

4 2x x2dx observemos en primer lugar queel discriminante del polinomio cuadratico que se encuentra dentro del radical es(2)2 4(1)(4) = 20 6= 0,primero completemos cuadrados en el polinomio deldenominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresion lineal que seencuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que esta el-evado al cuadrado y que esta en el denominador el cual aparecio al momento decompletar cuadrados

x+ 25 (x+ 1)2dx =

(x+ 1) + 15 (x+ 1)2dx

Luego de realizar la separacion conveniente realizar un cambio de variable enambas integrales

x+ 15 (x+ 1)2dx+

1

5 (x+ 1)2dx


En la primera integral hacemos el cambio de variable

u2 = 5 (x+ 1)2 = 2udu = 2(x+ 1)dx

As se tienex+ 1

5 (x+ 1)2dx = u

udu = u =

5 (x+ 1)2

En la segunda integral al hacer

u = x+ 1 = du = dx

se tiene la integral conocida1

5 (x+ 1)2dx =

15 u2du = arcsin(

u5)

3. Integrales de la forma Pn(x)

ax2 + bx+ cdx

(1)

Donde Pn(x) es un polinomio de grado nPn(x)

ax2 + bx+ cdx = Qn1(x)

ax2 + bx+ c+

dx

ax2 + bx+ c

Donde Qn1(x) es un polinomio de grado n 1 con coeficientes indeterminadosy se encuentra derivando (1)

Resolver la siguiente integral

x2

x2 x+ 1dx

La integral es del tipo en mencion el polinomio que se encuentra en el numeradorPn(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene :

x2x2 x+ 1dx = (Ax+B)

x2 x+ 1 + C

dx

x2 x+ 1Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizares la derivacion en ambos mienbros

x2x2 x+ 1 = A

x2 x+ 1 + (Ax+B) (2x 1)

2x2 x+ 1 +

Cx2 x+ 1

2x2 = 2A(x2 x+ 1) + (Ax+B)(2x 1) + 2C2x2 = (4A)x2 + (3A+ 2B)x+ (2AB + 2C)


del sistema que se forma se obtiene que :

A =1

2, B =

3

4, C =

18

De aqu x2

x2 x+ 1dx = (1

2x+

3

4)x2 x+ 1 1

8

dx

x2 x+ 1para resolver la integral

dxx2 x+ 1

Tan solo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variabledx

x2 x+ 1 =

1(x 1

2)2 + 3

4

dx

sea

u = x 12= du = dx

1(x 1

2)2 + 3

4

dx =

1

u2 + 34

du = ln |u+u2 +

3

4|

=

1(x 1

2)2 + 3

4

dx = ln |(x 12) +

x2 x+ 1|

Luegox2

x2 x+ 1dx = (1

2x+

3

4)x2 x+ 1 1

8ln |(x 1

2) +

x2 x+ 1|+ k

4. Integrales de la forma dx

(ex+ f)nax2 + bx+ c

, nZ+

Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable

t =1

ex+ f

Resolver

dx

(x+ 1)3x2 + 2x 3

t =1

x+ 1= x = 1

t 1 = dx = 1

t2dt

dx

(x+ 1)3x2 + 2x 3 =

t3

1(1t 1)2 + 2(1

t 1) 3

(1t2)dt


=

t21 4t2dt

El cambio de variable transformo la integral en una del tipo anterior as queejecutamos el procedimiento para tal tipo.

t2dt1 4t2 = (At+B)

1 4t2 + C

dt

1 4t2

Derivando ambos mienbros

t21 4t2 = A

1 4t2 + (At+B)( 4t

1 4t2 ) + C(1

1 4t2 )

t2 = A(1 4t2) 4t(At+B) + CDe donde

A =18, B = 0, C =

1

8

5. Integrales de la forma xm(a+ bxn)pdx

LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL dondem,n, pson numeros racionales a y b son numeros reales distintos de cero.Para calcularestas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri-terio a la integral se puede expresar como una combinacion finita de funcioneselementales solamente en los tres casos siguientes :

a) Si p es un numero entero ,hacemos

x = zs

siendo s el comun denominador de los exponentes fraccionarios m y n de lavariable x

b) Cuando m+1n

es un numero entero en este caso

zs = a+ bxn

donde s es el divisor de la fraccion de p

c) Cuando m+1n

+ p es un numero entero ,en este caso hacer

zs = axn + b

donde s es el divisor de la fraccion de p.


1) Resolver x3(1 + 2x2)

32 dx

Haciendo una identificacion de los datos se tiene :

m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = 32

m+ 1

n=

3 + 1

2= 2

= z2 = 1 + 2x2Luego 2zdz = 4xdx

x2(1 + 2x2)32 xdx =

(z2 12

)(z2)32 (

zdz

2)

=1

4

(1 z2)dz = 1

4(z +

1

z) + k

2) Resolver dx

x331 +

4x3

=

x32 (1 + x

34 )

13 dx

aqu m = 32, n = 3

4, p = 1

3

m+ 1

n=

32+ 134

=23

como el numerador obtenido no es entero se debe considerar

m+ 1

n+ p =

23 13= 1

Luego

z3 = x34 + 1 = x = 1

(z3 1) 43 = dx = 4z2(z3 1)73 dz

Por lo quex32 (1 + x

34 )

13 dx =

((z3 1)43 )32 (1 + 1

z3 1)13 (4z2(z3 1)73 )dz

= 4(z3 1)2+ 13 73 zdz = 4

zdz = 2z2 + k

3) Resolver dx

1 +1 2x x2


4) Resolver 3

1 x1 + x

dx

x

5) Resolver dx

x( 4x+ 2)10

6) Resolver dx

x7(1 + x7)17

7) Resolver dx

(x+ 2)x+ 1

8) Resolver x2 +

1 + x

31 + x

dx

9) Resolver x2

x2 x+ 1dx

10) Resolver dx

(x+ 1)3x2 + 2x 3

11) Resolver dx

x+ 3x

12) Resolver e2xdx4ex + 1

13) Resolver dx

x 3x2 + 4

14) Resolver dx

(x 1)3x2 + 3x+ 115) Resolver

dx31 + x3

16) Resolver e2x

4ex + 1

dx


17) Resolver 13x+ 21 +

3x+ 2

dx

18) Resolver 1

x+ 1 + 4x+ 1

dx

19) Resolver 2 +

xdx

20) Resolver 2 + x

4 2x x2dx


0.11. Aplicaciones de Integracion Indefinida

Economicas1. PROPENSION MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la funcion de

consumo para cierto pas es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En-tonces la propension marginal al consumo es c(x). Suponga que x y c ambas semiden en miles de millones de dolares y

c(x) = 0,9 + 0,3x

Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de dolares, determine c(x).

2. COSTO MARGINAL En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q 4)2 dolarespor unidad cuando el nivel de produccion es q unidades.

a) Exprese el costo total de produccion en funcion de los gastos indirectos (elcosto de producir 0 unidades) y el numero de unidades producidas.

b) Cual es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436dolares?

3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artculose estima que sera

R(x) = 50 + 3,5xe0,01x2

Dolares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dolares.

a) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.

b) Que ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

4. Depreciacion El ritmo de depreciacion dVdt

de una maquina es inversamenteproporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t anos de su adquisicion.Siel valor inicial era 500 000 dolares y su valor decrecio 100 000 en el primerano,estimar su valor los cuatro anos despues de su compra.

5. Desembolso El ritmo de desembolso dQdt

de una subvencion estatal de 2 millonesde dolares es proporcional al cuadrado de 100 t .El tiempo t se mide en das(0 t 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidadque resta por desembolsar tras 50 das,suponiendo que el desembolso se realizaen 100 das.


6. Funcion de costo

Suponga que la funcion de costo Marginal para el producto de un fabricante estadada por :

dc

dq=

100q2 4998q + 50q2 50q + 1

donde C(x) es el Costo Total en dolares cuando se producen q unidades.si losCostos Fijos son de 10 000 dolares encuentre el costo de producir 100 unidades.

7. Ingreso MarginalEl ingreso marginal derivado de la produccion de q unidadesde cierto artculo es :

dR

dq= 4q 12q2

dolares por unidad.Si el ingreso derivado de la producon de 20 unidades es de 30000.Cual sera el ingreso esperado por la produccion de 40 unidades?

8. Funcion de costo

La Funcion de Costo Marginal para el producto de un fabricante esta dada por :

dc

dq=

9

10

q

0,04q

34 + 4

donde C es el costo total en dolares cuando se producen q unidades.Los costosfijos son de 360 dolares .

a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades.

b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades.

9. PRODUCCION La Corporacion Bejax ha preparado una lnea de produccionpara fabricar un nuevo tipo de telefonos celulares .La tasa de produccion de lostelefonos es :

dP

dt= 1500(2 t

2t+ 5)

unidades por mes.Cuantos telefonos se producen durante el tercer mes?

10. PUBLICIDADUna agencia de publicidad inicia una campana para propmoverun producto nuevo,y determina que t das despues ,el numero de personasN(t)queha escuchado acerca del producto cambia a una tasa dada por personas por da

N (t) = 5t2 0,04tt2 + 3

personas por da.Cuantas personas han odo sobre el producto durante la primerasemana?.cuantas personas durante la segunda semana?


11. Funcion de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa esta dada por lasiguiente expresion :

R(x) =e2x1 + ex

determine el Ingreso para 200 unidades.

12. Funcion de Ingreso La funcion de Ingreso marginal para el producto de unfabricante esta dado por :

dr

dq=

1

eq 1Calcule el ingreso total.

13. DEMANDAEl gerente de una zapatera determina que el precio p dolares porcada par de zapatos deportivos de cierta marca popular,cambia a una tasa de :

dp

dx=

300x(x2 + 9)

32

cuando los consumidores demandan x(miles) de pares.Cuando el precio es de75 dolares por par,son demandados 4000 pares.Aque precio se demandaran 5000pares de zapatos deportivos?.Aque precio no se demandaran zapatos deportivos?

14. VALOR DE LA TIERRA Se estima que dentro de t anos ,el valor V (x) deun acre de tierra cultivable crecera a una tasa de :

dV (x)

dx=

0,4x30,2x4 + 8000

dolares por ano.Actualmente la tierra vale 500 dolares por acre.Cuanto valdra latierra dentro de 10 anos?

15. Produccion Total

La Razon de produccion de un pozo en barriles diarios vara de acuerdo con lasiguiente formula

P (t) =1200000

(t+ 1600)32

donde t es el tiempo (en das) a partir del inicio de la produccion.Calcule la Pro-duccion Total hasta el tiempo t,tambien encuentre la Produccion Total disponiblees decir

lmt

P (t)


16. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la razonde cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante. Ademas si en uninicio se hizo un deposito de $3500 cuanto se obtiene al cabo de 18 meses.

17. La relacion entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa dedisminucion en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a lacantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio mas unaconstante. Encontrar la funcion de demanda si p = p0 cuando x = 1.

Geometricas18. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de esta curva es 3

x

, si el punto (9,4) esta en la curva ,encontrar una ecuacion de la curva.

19. Halle una funcion y = f(x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente :

y = 4x3 y la ecuacion de la recta tangente a su grafica en el punto (1,3) esy + 2x = 5

20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 104xy el punto (1,-1) esta en la curva.Encontrar una ecuacion de la curva

21. Si f (x) = af(x) y g(x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar laintegral

f(x)g(x)dx

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f(x) otra curva g(x)sera ortogonal a esta en x0 si se cumple :

f (x0) g(x0) = 1

22. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas

ex + ey = c

23. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parabolas con vertice en elorigen y foco sobre el eje X


g(x)

f(x)

x0

L T

LT g(x )0

0f(x )

RectaTangenteen g(x )

RectaTangenteen f(x )

24. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centroen el origen de coordenadas

25. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.

a)y = kx2

b)y = (x+ k)1

c)y = kex

26. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y3 = kx2

27. Encuentre el valor de la constante a ,de tal forma que las familias

y3 = c1x , x2 + ay2 = c2

sean ortogonales


Fsicas28. CONTAMINACION DEL AGUA Un derrame de petroleo en el oceano tiene

una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despues delinicio del derrame. El radio crece a una tasa de

R(t) =21

0,07 + 5

a) Determine una expresion para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuandot = 0

b) Cual es el area A = piR2 del derrame despues de 1 hora?

29. CONCENTRACION DE UNMEDICAMENTO La concentracion C(t) enmiligramos por centmetro cubico mg

cm3de un medicamento en el torrente sanguneo

de un paciente es de 0,5 mgcm3

inmediatamente despues de una inyeccion y t minutosmas tarde disminuye a la tasa de

C (t) =0,01e0,01t(e0,01t + 1)2

mgcm3

por minuto.

Se aplica una nueva inyeccion cuando la concentracion es menor que 0.05 mg/cm3.Determine una expresion para C(t). Cual es la concentracion despues de 1 hora?Cual es despues de 3 horas?

30. CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTOLa concentracion C(t) enmiligramos por centmetro cubico de un medicamento en el torrente sanguneo deun paciente es de 0.5 miligramos por centmetro cubico inmediatamente despuesd euna inyeccion y t minutos mas tarde disminuye a la tasa de :

dC

dt=0,01e0,01t(e0,01t + 1)2

miligramos por centmetro cubico.Se aplica una nueva inyeccion cuando la con-centracion es menor que 0.05 mg

cm3.Determine una expresion para C(t) y la con-

centracion una hora y 3 horas despues.

31. FLUJO SANGINEO Una de las leyes de Posieuille para el flujo sanguneo enuna arteria establece que si v(r) es la velocidad del flujo a r cm del eje central dela arteria,entonces la velocidad disminuye a una tasa proporcional a r .Es decir

dv

dr= ar


donde a es una constante positiva.Determine una expresion para v(r).Supongaque v(R) = 0,donde R es el radio de la arteria.

32. Aceleracion :

Un automovil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendoaceleracion constante,calcular:

a) La aceleracion enm

s2

b) La distancia que recorre en esos 13 segundos.

33. Movimiento

La velocidad de una partcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante

v(t) = t1 + t2

Determine la distancia recorrida por la partcula desde el instante t1 =8 hasta

t2 =24.

34. Movimiento Vertical

Raul arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una alturamaxima de 225 pies.Cual era su velocidad inicial?


Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidadinicial de 60 pies/s2.Que altura alcanza? .

(Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = 32pies/s2)


De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funciondel tiempo,determinar la posicion y la velocidad con que cae y,luego , el instanteque toca suelo y la velocidad con que lo hace.


De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical-mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzara la pelota y elinstante que llege al suelo.


38. Crecimiento de un arbolUn vivero suele vender los arboles tras 6 anos decrecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 anos viene dado por :

dh

dt= 1, 5t+ 5

donde t es el tiempo en anos y h es la altura en cm.en el momento de plantarlosmiden 12 cm.

Calcular su altura tras t anos y en el momento de ser vendidos.

39. Crecimiento de una Poblacion El ritmo de crecimiento dPdt

de una poblacionde bacterias es proporcional a la raz cuadrada de t ,donde p es el tamano de lapoblacion y t es el tiempo en dias (0 t 10).El tamano de la poblacion es500.Tras un da ha crecido hasta 600.Estimar la poblacion a los 7 das

40. Ley de Enfriamiento de Newton Un termometro que marca 18oF ,se llevaa una cuarto cuya temperatura es de 70oF,un minuto despues la lectura deltermometro es de 31oF.Determnese las temperaturas medidasd como una funciondel tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termometrocinco minutos despues que se lleva al cuarto.

41. Ley de Enfriamiento de Newton Un qumico desea enfriar desde 80oC hasta60oC una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi-ente ampilo por el que circula agua a 15oC.Se observa que despues de 2 minutosla temperatura ha descendido a 70oC.Estimar el tiempo total de enfriamiento.

42. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperaturade un cuerpo calentado hasta 100oC descendera hasta 30oC.Si la temperatura dellocal es de 20oC y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuestion se enfrahasta 60oC.

43. Un termometro que esta inicialmente en el interior de una habitacion se lleva alexterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15oC. Despuesde un minuto marca 30oC y despues de 10 minutos marca 20oC. De acuerdo a laley de Newton Cual era la temperatura de la habitacion?

44. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000oC y se pone a enfriar en un lugarcuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30oC. Despues de10 horas su temperatura desciende a 200oC Cuanto tardara en llegar a 31oC? Llegara en algun instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambientede 30oC? Justifique su respuesta.


LEY DE DESINTEGRACION RADIOACTIVA La rapidez de cambio dedesintegracion de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,encualquier instante,a la cantidad de sustancia que esta presente.

Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurrepara que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia.

45. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tantotiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse.

46. En una poblacion bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro-porcional a B misma , si entre medio da y las 2 p.m.la poblacion se triplica.Aque tiempo,sino se efectua ningun control ,B sera 100 veces mayor que el mediodia.

47. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho-ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada deeste material decaiga hasta un decimo de su masa original.

48. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200anos.Cual es su vida media?.En cuanto tiempo se desintegrara 60 por cientode la cantidad original?

49. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al numero pre-sente.Si el numero original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.En cuantotiempo se espera tener dos veces el numero original?

50. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20% de esta desapareceen 5 anos.

51. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Siinicialmente hay 10 gramos y despues de dos horas se ha perdido el 5% de sumasa original, hallar la cantidad restante de uranio como funcion del tiempo yLa cantidad de uranio despues de 5 horas.

52. Crecimiento de un arbol:

Un vivero suele vender los arboles tras 6 anos de crecimiento.EL ritmo de crec-imiento en esos 6 anos viene dado por:

dh

dt= 1, 5t+ 5


donde t es el tiempo en anos y h la altura en cm.En el momento de plantarlos,miden 12 cm(en t = 0)

a) Calcular su altura tras t anos

b) Que altura tienen en el momento de ser vendidos?

53. Crecimiento de un arbol: Un ecologista encuentra que cierto arbol crece detal forma que su altura h(t)despues de t anos cambia a una razon de

dh

dt= 0,2t

23 +

t

pies por ano.Si cuando se planto el arbol este tena una altura de 2 pies.Cualsera su altura dentro de 27 anos?

54. Crecimiento de una poblacion:

El ritmo de crecimiento dPdt

de una poblacion de bacterias es proporcional a laraz cuadrada de t ,donde P es el tamano de la poblacion y t el tiempo en das(0 t 10).El tamano inicial es 500.Tras un da ,ha crecido hasta 600.Estimarla poblacion a los 7 das.

55. Crecimiento de una poblacion: Se ha estimado que dentro de t meses lapoblacion de una cierta ciudad cambiara a razon de 4 + 5t

23 personas por mes.Si

la poblacion actual es de 10 000.Cual sera la poblacion dentro de 8 meses ?

56. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Logstico se supone que altiempo t la tasa de crecimiento

f (t) = Af(t)(B f(t))donde A y B son constantes .Si f(0) = C calcular f(t).

57. La poblacion de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millon en1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblacionexistente en ese instante, en que ano la poblacion de Cali excedera los 5 millonesde habitantes?

58. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcionala la cantidad de radio instantaneamente presente. Su vida media, es de 1590 anos.Que porcentaje desaparecera en 1 ano?

59. Supongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambiorespecto al tiempo del fenomeno activo y(t) es proporcional a la cantidad exis-tente. Si y(t) se duplica en dos horas, cuanto puede esperarse al final de 8 horas,a la misma rapidez de crecimiento?

Guia de Integración Indefinida 2015 - i

Documents

Transcript of Guia de Integración Indefinida 2015 - i