ò . x es la Integral indefinida, técnicas de integración ...

Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Una función se dice que es una de una función en un intervalo cerrado I si ' . Observar que si donde es alguna

constante entonces es una antiderivada de f pues '' .

Del teorema del valor medio(5.19) se tiene que si es una función tal que 0'para todo x I (intervalo) entonces es constante en I.

Si y son dos antiderivadas de f en un intervalo I entonces existe una constante C tal que .

El item (2) nos indica que las antiderivadas de una función f se ferencian solo en una constante. Luego si es una antiderivada de entonces es llamada la

notar que es una familia de funciones pues varía con cada antiderivada.

El proceso para hallar la antiderivada mas general es llamado escribiremos: = ' = f(x)+ ó

= G(x)+ ; G’(x)=g(x).

Donde: - es llamado .

- se llama ò . - es la .

= x+C.

En general n =1

1

+C, n ? -1, n

Si 1 ,….., son funciones definidas en un intervalo y 1 ,…., constantes:

Entonces: ................. 1111

1) Obvio pues si F(x)=1

1

+C

F’(x)=2) Se sigue por inducción veamos para = 2

Por demostrar 2211211

8.1. ANTIDIFERENCIACION Ó INTEGRAL INDEFINIDA.

Definición 8.1. antiderivada

Observación:1)

2)

3)

antiderivada mas general de

Definición 8.2 integración

signo de integral

- 118 -

g(x) función integrante integrandox variable de integración

Teorema 8.1. ( Integrales iniciales )1.

2.

Demostración: F fxfxF Ix CxFxG C

G xGxF

f f xf

f

f g

CxGxF

xF F CxF

f CxF C

xfd dxxf C

dxxg C

dx

x dxn

x n

f nf a na

dxxfdxfadxfaxfa nnn

n

x n

nxn

dxxfaxfadxxfaxfa

( ) ( )= ∈ ( ) ( )+=( ) ( )=

( )=∈

( ) ( )+=

( ) ( )+

( )+

( )( )∫ ( )∫( )∫

∫

∫

∫

∫ +

+

∈

( )[ ] ( )∫∫∫ ±±=±

+

+

⇒

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=+

Q


Si )(][ 1111 2211''

111 1111 ''

222 2222 ''

Por definición: 22112211

42221

4212

24243

2

1

25

3

3

2 252/33/2

Sea u una función diferenciable de x. Si f es una función definida en u(x) con antiderivada F

entonces:

Si pero )('))(('''

)2(21

21

2 22

Cambiando: 2

12 ,

2 y

2/3

3

2 Antiderivada mas general

3

221

21

2 222/3

21

32

: Consideremos la función tal que '

entonces '' ' ecuación diferencial.

21

; 12

Como ya vimos se tiene una familia de funciones de pendientes de C que se pueden representar en el plano y cada punto (x1, y1) pertenece a una sola curva.

( ) ( )∫ +=+ ⇒ ( ) ( )( ) +=+=

( ) ( )( )+=∫ ⇒ ( ) ( )( ) ( )=+=

( ) ( )( )+=∫ ⇒ ( ) ( )( ) ( )=+=

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=+

+++=++

+

=

++∫

( )( ) +++=++∫

( ) ( )∫ +=

( ) ( )( )+= ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )==⇒=

∫∫ +=+

( ) +=

= ( )=

( ) +=⇒

⇒ ( ) ( )+==+=+ ∫∫∫ +

+=

( )= ( ) ( )=

( ) ( )=== ⇒ ( ) ( )=⇒=

( )∫ ∫= ⇒ ( )+=+

⇒ ( )+= −=

CxFdxxfaxfa fafaCxFxF

cxGadxxfa xfacxGaxGa

cxHadxxfa xfacxHaxHa

dxxfadxxfadxxfaxfa

Cxxx

Cxxx

dxxx

Cxxx

dxxxx

CuFduuf

CxuFxG xuxufxuxuFxGxufxuF

xdxxdxxx

xxu

xdxdu uuf

CuuF

CuFduufxdxxdxxx Cx

xgy xfxg

yxfdx

dyxg dxxfdydxxfdxy

dxxfdy cxgcy

cxgy ccc

Ejemplo:

1)

2)

Teorema 8.2. (Regla de la cadena para la integral indefinida).

Demostración:

Ejemplo:

- 119 -

8.2. ANTIDIFERENCIACIÓN EN ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES.

1.- Ecuaciones diferenciales con variables separadasi)


c = -1

c = 0

c = 1

c = 2

Se quiere la solución completa de la ecuación diferencial 2Luego encontrar la solución particular que satisfaga la condición (x1, y1) = (2,6).Según lo anterior 2

21

2 es la solución completa de la ecuación diferencial.

Para la solución particular:

2

26,2,2

11

Consideremos la función tal que: ''''

Entonces 1'''' 11 '''

21 depende de dos parámetros.

Encontrar la solución completa de la ecuación diferencial.

342

2

ó sea 34' integrando 12 32 de aquí

12 32 integrando se tiene 21

23

2

3

3

2

Consideremos la ecuación diferencial '

Esta puede solucionarse multiplicando por

Ósea '

Como ya sabemos el movimiento de una partícula a lo largo de una recta es dado por la

función del tiempo = ( ), la velocidad instantánea y la aceleración instantánea se

pueden determinar a partir de ' y ''2

2

Luego con algunas condiciones de frontera es posible determinar la ecuación del movimiento por integración.

Una partícula se mueve en la línea recta, s es la distancia instantánea dirigida de la partícula desde el origen en t segundos, v esta en p/seg. De la partícula en t segundos y a esta en p/seg2 y a = 2t-1, s = 3, s = 4 cuando t es igual a 1 expresar v y s en función de t.

Ejemplo:

ii)

Ejemplo:

iii)

- 120 -

2.- Integración y movimiento rectilíneo.

Ejercicio

Solución:

xdxdy

cxcy

cxy

xy

cyx

xgy yxfxg

cxgydxxfdxydxcdxxgdxcxgdxy

cxcxgy

xdx

yddxxdy cxxy

dxcxxdy cxcxxy

yyg

xf

dx

dy

dxyg

dxxfdyygdxxfdxyyg dxxfdyyg

s f t

tfdt

dsv tf

dt

dv

dt

sda

=

+==

⇒ +=

( ) ( )+=⇒

=⇒=

( )= ( ) ( )==

( ) ( )+=⇒=⇒ ( )( ) ( ) +=+=⇒ ( ) ++=

+= ( )+= ++=

( )++= +++=

( )( )

==

( )( ) ( ) ( ) ( )=⇒= ( ) ( )∫ =⇒

( )== ( )===


Como 1212 22

Sustituyendo v=3, t = 1 3 = 1-1+c1 , c1 = 3

También 33 222

23 32

1

3

1

Sustituyendo s = 4, t = 1 c2 = 7/6 se tiene la distancia s en función de t

6

73

2

1

3

1 23

:

Si 1 sabemos ;1'

Entonces: ;1

1

, 1

Si sabemos '

Entonces:

Si Sabemos '

Entonces:

Si Sabemos 1

' ; u > 0

Entonces: 1

:

Si Sabemos cos'

Entonces: cos

Si cos Sabemos '

Entonces: cos

Si Sabemos 2sec'

Entonces: 2sec

Si Sabemos 2csc'

Entonces: 2

Si sec Sabemos sec'

Entonces: secsec

Si csc Sabemos csc'

Entonces: csccsc

Si sec Sabemos '

( )−=⇒−== ⇒ +−=

( )+−=⇒+−== ++−=⇒

( ) ++−=

( ) += ( ) ( ) ∈+=

∈++

=+

∫ −≠

( )= ( ) =

+=∫( )= ( ) =

+∫

( ) ( )= ( ) =

( )+=∫

( )= ( ) =

∫ +=

( )= ( ) −=

∫ +−=

( )= ( ) =

+=∫( )= ( ) −=

+−=∫( )= ( ) =

∫ +=

( )= ( ) −=

∫ +−=

( )= ( ) =

dttdvtdt

dva cttv

dtttdsttdt

dsv cttts

tttts

nuxF nundxxF n

nCn

uduu

nn n

uexF duedxxF u

Cedue uu

uaxF LnaduadxxF u

CLna

au

uLnxF duu

dxxF

CuLnduu

senuxF ududxxF

Csenuudu

uxF senududxxF

Cusenudu

tguxF ududxxF

Ctguudu

ctguxF ududxxF

Cctguuducsc

uxF utgududxxF

Cuutgudu

uxF uctgududxxF

Cuuctgudu

uLnxF tgududxxF

8.3. INTEGRALES INDEFINIDAS BÁSICAS.

Primer Bloque de formulas básicas

1)

2)

3)

4)

Segundo bloque de formulas básicas

- 121 -

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Q

Q


Entonces: sec

Si Sabemos '

Entonces:

Si sec Sabemos sec'

Entonces: secsec

Si csc Sabemos csc'

Entonces: csccsc

Si Sabemos cosh'

Entonces: cosh

Si cosh Sabemos '

Entonces: cosh

Si Sabemos 2sec'

Entonces: 2sec

Si Sabemos 2csc'

Entonces: 2csc

Si sec Sabemos sec'

Entonces: secsec

Si csc Sabemos csc'

Entonces: csccsc

Si cosh Sabemos '

Entonces: cosh

Si Sabemos cot'

Entonces:

:

Si 1 sabemos 21

1'

Entonces: 1

21

1

Consecuencia:

11

2222 1

11

1

11; , a > 0

1

22

1 ; a > 0

∫ +=

( )= ( ) =

∫ +=

( ) += ( ) =

∫ ++=

( ) −= ( ) =

+−=∫( )= ( ) =

∫ +=

( )= ( ) =

+=∫( )= ( ) =

∫ +=

( )= ( ) −=

+=∫( )= ( ) −=

∫ +−=

( )= ( ) −=

+=∫( )= ( ) =

∫ +=∫( )= ( ) =

∫ +=

( ) −= ( )−

=

+=−

−∫

( ) +

=+=−

=

−

=−

−−∫∫∫ =

⇒ +

=+

−∫

CuLntgudu

senuLnxF ctgududxxF

CsenuLnctgudu

tguuLnxF ududxxF

CtguuLnudu

ctguuLnxF ududxxF

CctguuLnudu

senhuxF ududxxF

Csenhuudu

uxF senhududxxF

Cusenhudu

tghuxF uduhdxxF

Ctghuuduh

ctghuxF uduhdxxF

Cctghuuduh

huxF hutghududxxF

Chuhutghudu

huxF huctghududxxF

Chuctghuduhu

uLnxF tghududxxF

CuLntghudu

senhuLnxF ghududxxF

CsenhuLnctghudu

usenxFu

dxxF

Cusenduu

Ca

usenCzsen

zdu

a

a

udu

ua a

uz

Ca

usendu

ua

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

- 122 -

18)

Tercer bloque de formulas básicas

1)


Si 1 sabemos 21

1'

Entonces: 121

1

Consecuencia:

22222 1

111

1

11 ; 0

1

= 11 11 1

22

11 ; a>0

Si 1sec sabemos 1

1'

2 ; u>0

Entonces: 1

2sec

1

1 a>0

Consecuencia:

22222

1

1

11

1

11: a > 0: u > 0

=1

1

112

: a > 0: u > 0

=1

112

;1

: a>0: u>0

= 11 sec1

sec1

; a > 0: u > 0 = 11 secsec ; a > 0: u > 0

Entonces: 1

22sec

11 ; a > 0: u > 0

Sean u y v definidas y diferenciables en un intervalo queremos hallar

Sabemos: 1 11

121 3121

; 32

Esta es llamada formula de .

Esta fórmula es muy útil para resolver muchas integrales solo tenemos que realizar una elección adecuada de y .A veces favorece escoger u talque al diferenciar se tenga simplificación.

2)

3)

- 123 -

8.4. INTEGRACIÓN POR PARTES.

integración por partes

Observación:1)

( ) −= ( )+

=

+=+

−∫

∫∫∫ +=

+

=+

= >

= ( ) +

=+ −− ⇒ +

=+

−∫

( ) −= ( )−

=

+=−

−∫

∫∫∫−

=

−

=

−

∫−

( )∫−

=⇒=

+

=+ −− +

=+ −−

+

=−

−∫

∫+=∫ ⇒ ( )( ) ( )++=+

( ) ( )∫ ∫ +−++=⇒ ∫ −−−++=

∫ ∫ +−=⇒ −=

utgxFu

dxxF

Cutgduu

dzza

dua

a

udu

ua a

uz a

dua

dz Ca

utg

aCztg

aC

a

utg

adu

ua

uxF duuu

dxxF

Cuduuu

dua

a

u

a

udu

a

a

uu

duauu

dua

a

u

a

ua

dzzza

dua

dza

uz

Cu

Cz Caa

Cza

Ca

u

adu

auu

udv

cvdv ducvudvcvud

ducvccvuudv cucvducucuv

cvduuvudv ccc

u dv


Como ya vimos al hallar 1 , no es necesario considerar c1.

2 Consideremos , 2

1

3

3

1

332 1

33

31

3331

3

32

12

33

considerar ,

1

1coscos1

Considerar 1 , cos1

1 , 1

1

12

1cos

1

cos22

cos , cosh

1) Si m es un entero impar 012 estas integrales pueden resolverse:

coscos1coscos 22

cosh1coshcoshcosh 22

2) Si n es entero impar 012 los integrales pueden resolverse:

cos1coscoscos 22

cosh1coshcoshcosh 22

3) Si 0;0 enteros para las integrales se pueden resolver con: 21 2,2 .

2)

Ejemplo:

Ejemplo:

- 124 -

8.5. INTEGRALES DE PRODUCTOS DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS.

a) Integrales de la forma:

∫ +=

∫ = =

= =

∫∫ +−=⇒

+

−=⇒++

−= ∫

∫ = =

= −=

∫ ∫ ++−=⇒

= =

= =

+

+−+−=⇒ ∫ ∫

( )∫ +−+

=⇒

∫ ∫

>+=

( ) ( )∫ ∫ ∫ −==

( ) ( )∫ ∫ ∫ −==

>+=

( )( ) ( )( )∫ ∫ ∫ −==

( ) ( )∫∫ ∫ −==

>> ==

cvdv

Lnxdxx Lnxu dxxdv

dxx

dux

v

cdxx

xLnx

xLnxdxx

cLnxx

Lnxdxxccx

Lnxx

senbxeax axeu senbxdxdv

dxaedu ax senbxb

v

cbxdxeb

abxe

bsenbxdxe axaxax

axeu bxdxdv

dxaedu ax senbxb

v

ccsenbxdxeb

asenbxe

bb

abxe

bsenbxdxe axaxaxax

cbxbasenbxba

esenbxdxe

axax

xdxxsen nm xdxxsenh nm

km

xsenxdxxxsenxdxxsenxdxxsen nknknm

xsenhxdxxxsenhxdxxsenhxdxxsenh nknknm

kn

xdxxsenxsenxdxxxsenxdxxsenkmkmnm

xdxxsenhxsenhxdxxxsenhxdxxsenhkmkmnm

nm knkm


2

2cos1

2

2cos1coscos

2121 22

2

12cosh

2

12coshcoshcosh

2121 22

Desarrollando los últimos integrando obtenemos integrales del caso (1), (2) Y también (3) donde volvemos aplicar el proceso.

sec , sec

1) Si 12 entero impar positivo:

secsec1secsecsecsec 1212

secsecsec1secsecsec 1212

2) Si 2 entero par positivo:

212212 sec1secsecsec

212212 sec1secsecsec

csc , csc

1) Si 12 entero impar positivo.

csccsc1csccsccsccsc 121

2

csccsccsc1

csccsccsc

12

12

2) Si n = 2k entero par positivo.212212 csc1csccsccsc

212212 csc1csccsccsc

cos , , coscos

cosh , , coshcosh

Basta usar las formulas como: 2

1cos

22225 cos1

coscoscos21 42 53 cos5

1cos

3

2cos

b) Integrales de la forma:

c) Integrales de la forma:

- 125 -

d) Integrales de la forma:

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

+−==

( ) ( ) ( ) ( )+−==∫ ∫ ∫

∫ ∫

+=

( ) ( )∫ ∫ ∫ −− −==

( ) ( )∫ ∫ ∫ −− −==

=

( ) ( )∫ ∫ ∫−−

+==

( ) ( )∫ ∫ ∫−−

−==

∫ ∫+=

( ) ( )∫ ∫∫ −−

−==

( )( )∫

∫ ∫−

−

+=

=

∫

( ) ( )∫ ∫ ∫−−

+==

( ) ( )∫∫ ∫−−

−==

( ) ( )∫ ( ) ( )∫ ( ) ( )∫( ) ( )∫ ( ) ( )∫ ( ) ( )∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ]+−−=

( ) ( )∫ ∫ ∫ −==

( ) ( )∫ +−−= +−+−=

dxxx

dxxxsenxdxxsenkk

kknm

dxxx

dxxxsenhxdxxsenhkk

kknm

xdxtg nm xdxhtgh nm

km

xdxxtgxxxdxxtgxxtgxdxxtg nknknm

hxdxxtghxhxhhxdxxtghxhxtghxdxhxtgh nknknm

kn

xdxxtgxtgxdxxxtgxdxxtgkmkmnm

xdxhxtghxtghxdxhxhxtghxdxhxtghkmkmnm

xdxxctg nm xdxhxctgh nm

km

xdxxctgxxxdxxctgxxctgxdxxctg nknknm

hxdxxctghxhxh

hxdxxctghxhxctghxdxhxctgh

nk

nknm

xdxxctgxctgxdxxxctgxdxxctgkmkmnm

xdxhxctghxctghxdxhxhxctghxdxhxctghkmkmnm

dxnxmxsen dxnxsenmxsen dxnxmx

dxnxmxsenh dxnxsenhmxsenh dxnxmx

xnmsenxnmsennxmxsen

senxdxxsenxdxxsenxdxsen

xdxx kxxx


3cos3 42 Considerar :2

6cos132 ,

2

6cos13cos 2

2

6cos12

6cos13cos3 42

6cos168

16cos16cos1

8

1 22

18

62

cos181

6cos6681 32

22

144

6

24

12

16

3

6sec considerar: 22 1sec

Entonces 246 secsecsec

42222 21sec1

2/92/52

11

2

7

4

3

2 2/112/72/3

Dado ,, dos polinomios:

Si /,

O sea integrando: O sea integrando:

La 1ra integral del 2do miembro es fácil de hallar, aquí estudiaremos

Consideremos la función racional

Tal que (función racional propia).

Si se expresa como producto de expresiones de la forma:1

112

12

11 ,,, ; 04;04 112

12

Usando fracciones parciales siempre es posible expresar como una suma de expresiones de la forma.

,,,,11

21

112

11

donde:

1) Por cada factor lineal en habrá un solo termino en la suma .

2) Por cada factor lineal 11 en habrá una suma de n términos:

Ejemplo:

Ejemplo:

8.6. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES.

i) Usando fracciones parciales.

- 126 -

( ) ( )∫ ( ) −= ( ) +

=

( ) ( )

+

−=∫ ∫

( )( ) ( )∫ ∫ +=+−=

[ ]

++

−=+= ∫∫ ∫

++−=

∫ +=

∫ ∫=

( ) [ ] ( )∫ ∫ ++=+=

( ) ( )∫ ++=

+++=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+=∃⇒<

( )( )

( ) ( )( )

+=( )( )

( ) ( )( )∫ ∫ ∫+=

( )( )

( )+=

( )( )

( )∫ ∫ ∫+=

( )( )∫

( ) ( )( )

=

( ) ( )<( )

( ) ( )( )++++++ <−<−( ) ( )

( ) ( )++

+

++

+

++

+ ( )+

( )

( )+ ( )

dxxxsenx

xsenx

x

dxxx

dxxxsen

dxxxsendxxx

Cxsen

dxxdx

xdxxsenxdxsen

Cxsenxsenx

xdxtgx xtgx

xdxxtgxxdxtgx

tgxdxtgxtgtgxxdxxtgtgx

tgxdxtgxtgtgx

Cxtgxtgxtg

xgxf

xrxgxqxfrqfgradggrad

xg

xrxq

xg

xfdx

xg

xrdxxqdx

xg

xf

xgxq

xgdx

xgdxxqdx

xg

dxxg

xr

xg

xrxh

ggradrgrad

xgnn

exdxcedxcxbxabax ecdced

xh xS

jiexdxc

DxC

edxcx

DCX

bxa

B

bax

A

bax xgbax

AxS

nbxa xg


11

211

1

11

1 en la suma .

3) Por cada factor cuadrático 2 ; 042 en habrá un solo termino

2 en la suma .

4) Por cada factor cuadrático 1

112

1 ; 04 112

1 en g(x) habrá una

suma de n, términos 1

112

1112

1

11 en la suma .

Para hallar los ,,, ,2,1

- Igualamos coeficientes en los numeradores de ó

- Como la igualdad vale en el recorrido de damos valores adecuados.

Finalmente:

Para: 22 1

1

Consideremos: 22

222

1122 111

1

Debemos iguales coeficientes en los numeradores de

22

222

11

22

22 1

11

1

1

222

11

22 111

212

213

14

1 21

0,1,0,1,1 2211

Por tanto.22222 11

1

1

1

12

1

121

22

2

Se quiere la integral ; , polinomios

Donde es una fracción racional propia.

Si 211

21

11 donde los factores lineales

cuadráticos irreducibles pueden estar repetidos. Usando fracciones parciales siempre es posible expresar:

2

2

1

1 …………………………………….…. ( )

( ) ( )+++

++

+( )

++ <− ( )

++

+ ( )

( )++ <− ( )

( )++

+++

++

+ ( )

=

( ) ( )=

( )

( ) ( )( )

( )∫ ∫ ∫==

( )∫+

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )=+

++

+

++=

+==

( ) ( )=

( )( ) ( )( ) ( )

( )+

++++++=

+

( ) ( )( ) ( )++++++=⇒

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ++++++++=

=−==−==⇒

( ) ( )∫ ∫

+−

+−=

+ ( )++

++

=

( )( )∫ ( ) ( )

( ) ( )( )

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )++++−−=

( )( )

( )( )

( )( )∫ ∫+=

nn

bxa

B

bxa

B

bxa

BxS

edxcx ced xg

edxcx

DCxxS

nexdxc ecd xg

nnn

exdxc

DxC

exdxc

DxCxS

iiii DCBA i

xSxh

xh

dxxSdxxg

xrdxxh

dxxx

xSx

DxC

x

DxC

x

A

xxxg

xrxh

xSxh

xx

DxCxxDxCxxA

xx

DxCxxDxCxxA

AxDDxCCAxDxCA

DCDCA

dxx

x

x

x

xdx

xxC

xx

xLn

dxxg

xfxgxf

xg

xfxh

sr

ssr qxpxqxpxaxaxxg i

dxxg

xf

xg

xfdx

xg

xf

KKK

KKK

KK

KK

Ejemplo:

- 127 -

ii) Usando el método de Hermite.

bbaa

*


El polinomio 1 es el máximo común divisor entre el polinomio y su derivada ' .

Donde 1

2 )( en la cual ya no se repite ningún factor.

Para hallar 21 , cuyos grados son menores en una unidad a lo más que los grados de

los polinomios 21 , ; se derivan ambos miembros de (*) y se igualan coeficientes según el método estudiado anteriormente.

Para 22

2

84

242

Considerar: 848484

2422222

2

Derivando ambos miembros:

22

22

22

2

84

844284

84

242

Igualando coeficientes del numerador 10;3;5;0

42

5

84

103

84

2422222

2

=2

225

84

103 12

2

; n +

Podrían intentar resolverse usando la sustitución:1

2

1

Para 2/16 1

2/1233

2

2/1611

Hacemos 3 23

2/12 131

Hacemos 2

11

131

31

131 11

2

31 1

31

,,,1

1

Donde ,,,,,, 11

Podrían intentar resolverse considerando Mínimo común múltiplo ,,, 21

( ) ( ) ( )( )( )

=

( ) ( )( ) ( )

( )∫+−

+

( )∫ ∫ +−

++

+−

+=

+−

+

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )+−

+−+++−−+−=

+−

+

−====

( ) ( )∫ ∫ +−+

+−

−=

+−

+⇒ +

−+

+−

− −

( )∫++−

∈

=− −=⇒

( )∫−

( ) ( )( )∫ ∫−

=−

⇒ = ⇒ =

( )∫−

= −=⇒=

∫ +

−=+−=−

−= −− +

−= −

∫

++

++

∈

= ( )

xg xg xg

xg

xgxg

xfxf

xgxg

dxxx

x

dxxx

MKx

xx

BAx

xx

x

xx

xxMKxBAxxxxA

xx

x

BAMK

dxxxx

xdx

xx

xC

xtg

xx

x

rqxpxax

dxn

uax du

udx

xx

dx

xx

dxx

xx

dxxz dxxdz

zz

dzdu

udz

uz

Cz

senCusenu

duC

xsen

dxdxc

bxa

dxc

bxaxR

k

k

n

m

n

m

kk nnmm

n knnn

Ejemplo:

iii) Integrales del tipo

- 128 -

Ejemplo:

iv) Integrales del tipo

Z

Z

KK

KKKK

KK


Luego hacemos el cambio de variables

Hallar 3/12/1 11

se tiene 6 ; m.c.m(2,3)

Hacemos 61 , 56

1

116

6

112

23

5

3/12/1

16632 23

116161312 662

Las integrales 2,

Pueden intentar resolverse como sigue:

a) Si 0 Hacemos 2

b) Si 0 Hacemos 2

c) Si el trinomio 2 tiene dos raíces reales ,

Hacemos 2 o

Para232

como 12232

Considerar 1232 12 2

Obteniéndose 2

2

1

2 , 221

2 ,

22

123

22 1222

22

1322 2

2

2

2

122

122

22

: ,,

Estas integrales se reducen al caso (iii) basta hacer la sustitución: 2 , 2 .

11 hacemos: 2

1 2

11

11

112

11

En (iv) 12

11 21

21

21 21

2

1 2

1

2

2

1 2

1 ,

2

1

2

11

22

12

1

nudxc

bxa

xx

dxn

ux duudx

duu

uuuu

duu

xx

dx

CuLnuuu

CxLnxxx

dxrqxpxxR

p uxprqxpx

r ruxrqxpx

rqxpx

xurqxpx xu

xxx

dxxxxx

xxx xx

u

ux

u

ududx

u

uxx

dudx u xx

u

du

xxx

dxC

u

uLn C

xx

xxLn

dxdcxbaxxR

baxu dcxu

xx

dxxu

uu

duu

xx

dx

uuu uuuuuu

uu

duu

udu

u

uu

u

uuuu

=+

+

( ) ( )∫ −+−=

=− =

( ) ( )∫ ∫ ∫

+

++−=+

=−+−

⇒

++−+−=

++−−−+−−−=

( )∫ ++

≥ +=++

≥ +=++

++

( )−=++ ( )−

∫+−

( )( )−−=+−

( )−=+− ⇒ ( )−=−

−

−=

( )−=

−=+−

− ( )−+−∫ ∫ −

−=+−

++

−=

( )( )

+−−−

−+−=

( )∫ ++

+= +=

∫ +++= ∫ ∫

+++=

+++⇒

+=+ ⇒ ++=+ ⇒−

=

⇒+

−=+

=+−

=+=+

Ejemplo:

v) Integración por sustitución de Euler:

Ejemplo:

- 129 -

vi) Integrales de la forma

Ejemplo:

ba

a b

m m


21

21

1

21

21

211

211 22

2

2

2

211

11

1

22111

121 2

2

1

111

2

1221

21

12

1

4

1212

: ……………….……………………….(*)

Donde ,, son números racionales. Estas integrales pueden ser resueltas bajo ciertas condiciones debido al matemático en las cuales:

1) Si p es un número entero. Para resolver (*) sustituimos donde es mínimo común múltiplo de los

denominadores de las fracciones , .

2) Si no es entero y 1

es un entero.

Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de la fracción .

3) Si no es entero y (1

) es un entero.

Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción . Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción .

594

Aquí 2,21

,5,1 como 05

111

Sustituimos 5

252

94

94

5

42

94

452

21

101

452

9425

5

25

9294

101

∫∫ ∫ ++

−+

−+−

=+++

=+++

⇒

( )∫ +

++−=

−+−=

( ) ( ) +

−++−++++−

+−+=

( ) ( )+−++++−+

=

( )∫ +

= ( )

+

+= ( )

++

+= − ( )+= − ( )

∫+

=−==−= =+−

=+

∈

−=⇒+=

−

−=

∫ ∫ ++−

=−

=+

⇒

( )+

−+=

du

u

u

u

uu

u

u

u

uu

duu

xx

dx

Cu

uLnuu

duuu

u

Cxx

xxLnxxxxx

CxxLnxxxx

dxbxaxpnm

pnm

sux snm

pn

m

ns bxau s p

p pn

m

baxu ns s pbaxu ns s p

xx

dx

spnmn

m

uxxu

uduu

dx

Cu

uLn

u

du

xx

dx

Cx

xLn

vii) Las integrales de la forma

Chebyshev

- 130 -

Ejemplo:

Z


136

Aquí 2,21

,3,21

Como 02

1

32

3

2

1

3

12

11

Sustituimos 3632362 13/22

2

32

6

11

3/422 1

3

2

22

136

132

132

11

31

363

363

31

cos,

Donde es una función racional en y cos . Estas integrales pueden ser resueltas

usando la 2

, 222

Según el triangulo rectángulo:

212

; 21

12

cos

Por propiedad: 21

2

2cos

22

22

22 11coscos

u21

1

t

222

22

1

1

11

1

22coscos

212

, 2

2

1

1cos

Además 22

1

1

2

1

122

21

2

1) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución cos .2) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución u

3) Si cos,cos, suele ser conveniente la sustitución

Ejemplo:

viii) Integrales de la forma:

sustitución universal

- 131 -

Observación:

( )∫−

+

=−=== =−=−+

=++

+=⇒+= −

( )−=

−=⇒

( )−−−=

( ) ∫ ∫∫ −=

−−=+

−+

−+

=

( )( )

+++

++=

( )∫

= <<−

+=

+=

( )+

==

( ) −=−=−=

+

( )+

−=

+−

+=−=

( )+

=∴ ( )+

−=

( )+

=+

=⇒= −

⇒+

=

( ) ( )−=− =( ) ( )−=− =

( ) ( )=−− =

dxxax

spnm pn

m

xaxuxauu

a

u

ax

uduuadx

u

du

u

dudxxax C

u

uLn

Cxax

xaxLn

dxxsenxR

R senx xx

tgux

u

uxsen

u

x

u

uxxsenxsen

uuxsen

xx

u

u

u

u

u

u

xsen

xx

u

uxsen

u

ux

duu

duu

dxutgx

duu

dx

xsenxRxsenxR xu

xsenxRxsenxR senxu

xsenxRxsenxR tgxu

pp


u

1

21

x

22cos2

cos

Como cos,cos,

Sustituimos 2

1

1

1.

21

; 21

1cos

Por lo tanto 22

2

2

2

22

22 1.

11

12

1

1

1cos2

cos

2112 2222

22

11

2

1 22

2

121

2

2

2

121

2

2

Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales:Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales:

22, , 22, , 22,

Donde es racional en las variables , 2222 ,

Para la integral : 22, ; >0

Hacemos la sustitución trigonometrica

1 ,

y las demás funciones trigonometricas de obtienen del triangulo rectángulo.

t

ua

22

u

dxxsenx

xsenx

xsenxRxsenxR

duu

dxutgxtgxu

u

usenx

ux

u

du

u

u

u

uu

u

dxxsenx

xsenx

duu

u

u

u

uu

udu

CuLnuLn

Cu

uLn

Cxtg

xtgLn

u xu x

duuauR duuauR duauuR

R u auua

duuauR a

asentu

a

usent

a

utsen ua

+

∫ +

( ) ( )=−−

( )+

=⇒=⇒= −

+=⇒

+=

∫ ∫ +

++

+

+

+=+

( )( )∫ ∫

+

−+

=++

=

( ) ( )++−+=

+

+

+=

+

+

+=

( )∫ − ( )∫ + ( )∫ −

−±

( )∫ −

=

=⇒ − ( )= −

Ejemplo:

8.7. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA E HIPERBÓLICA.

- 132 -

i)


Para la integral 22, ; >0

Hacemos la sustitución trigonometrica

1 ,

y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulo rectángulo.

Para la integral 22, ; >0

Si

Hacemos la sustitución trigonometricas sec

1sec , sec

y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulo rectángulo.

Si Cambiamos la variable Luego aplicamos el caso (1)

Las integrales dadas también se pueden intentar resolverse por sustitución hiperbólicas siguiendo los modelos (i), (ii), (iii).

2/3222 ; >0

Sustituimos cos

, 1

xa

t

22u

at

u

22

a

t

, 1

22

cos

coscos2/32222/3222

=2

2cos12

2cos1cos 6426

= 248

46416

3666

= 36

3366

cos6

coscos1616

=

3226322

3226

16

61616

22

t

ii)

iii)

Caso (1):

Caso (2):

Observación:

Ejemplo:

- 133 -

( )∫ +

( )=

=⇒ − ( )=

( )∫ −

>

( )=

=⇒ − ( )=

−< >−⇒−= −=⇒

( )∫ −

=⇒=

=

= −

−

+

=

= −

−=

( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ −=−⇒

∫ ∫

+

−=

( ) ( )++−

[ ] ( ) ++−−

+

−+

−−

−−

−

−

duuauR a

tatgu

a

utgt

a

uttg

duauuR a

au

tau

a

ut

a

ut

au auuv dudv

dxxax a

tdtadxasentx

xsent

xsent

au

ua

a

xsent

a

xsent

a

xat

tdtataaasentdxxax

dttt

atdttsena

Ctsena

tsena

ta

Ctsenta

ttsentsenta

ta

Ca

xa

a

xa

a

x

a

xa

a

xa

a

xa

a

xsen

a

xa


Las integrales de la forma:

22, ; 22, ; 22,

Donde es entero impar positivo es más fácil usando las sustituciones 222 . 222 , 222 Respectivamente

Para 92

5

; 5

Haciendo 922 y 922

Entonces 99 2

4

2

5

22

22

99

8165

8118 35

24

8165

24

Observación:

Ejemplo:

- 134 -

( )∫ − ( )∫ + ( )∫ −

−= += −=

∫−

=

−= =⇒ +=

( )∫ ∫

−=

−

( ) ( )∫ ∫ +=+

=

( )∫ +++=++=

+

++=

dxxaxR n dxxaxR n dxaxxR n

nxau xau axu

dxx

xn

xu xdxudu ux

x

xdxxdx

x

x

duuduu

uu

Cuuu

duuu

Cuu

u


I.- Encontrar las soluciones completas de las ecuaciones diferenciales dadas

1) 213

2) 313 3)

Encontrar la solución particular según las condiciones dadas

4) 21 ; y = -2

3 , x = -3

5) 22

2

314 ; y = -1 , y ́= -2 cuando x = -1

II.- 1) Los puntos (-1, 3) y (0, 2) están en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva

422

2

. Encontrar la ecuación de la curva.

2) En cualquier punto (x,y) de una curva 22

2

1 y una ecuación de la recta

tangente a la curva en el punto (1, 1) es y = 2 – x encontrar la ecuación de la curva. 3) Sí una pelota rueda sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 20p/seg. y si la

rapidez de la pelota decrece a razón de 6p/seg2 debido a la fricción ¿Qué tan lejos rodará la pelota ?

III. Hallar las integrales indefinidas.

1)3 ln1

2) 21

ln 3)

ln1

4) ln

5) 2ln

6) 429

18

7) sen

8) cossen 9) 7) cos

8) cossen 9) tg1cos2

IV.- Usar las técnicas de integración para resolver las siguientes integrales:

A.- 1) 237 2) 2

2

1

1 3) 2arcsen

4) 42

1

1

tg 5)

11

ln1 2

5

6) 11

ln

B.- 1)22 3cos3sen 2)

2

3

2sensen 3) 53 sencos

4) 32

3

coscos

sen 5)

sen

cos5

6) 34 tgsec

C.- 1) 233

2) 22

3

)102( 3)

3

3

4

1

8.8. RELACIÓN DE EJERCICIOS.

- 135 -

y

yx

dx

dyx

dx

dy

yy

xx

dx

dy

xxdx

dy

xdx

yd

xdx

yd

xdx

yd

dxx

xdx

a

aax

x

dxx

xxxe

dxx

xx

xx

dxdx

xx

dxxxe

dxxa x dxdx

xxe

edxxa x

xx

dxxxx e dxx

x xedxx

dxx

xxdx

x

x

x

xdx

x

xx

dxxx dxxx

dxxx

dxxx

xdx

x

xdxxcx

dxxx

xdx

xx

xdx

xx

x

+= ( )+=

−

+=

( )( )++=

( )+=

−=

−=

∫+

∫ +

( )∫

+

∫+

∫ ∫ −

∫+

∫ ∫∫−

+∫ ∫ +

( )∫ −−+( )

( )∫ +

+∫

( )∫ +

−

∫

−+

− ∫

+−

( )∫ + ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ +− ∫ +− ∫ −

−


4) 23 3

5) 1

1424

3

6) 45

224

2

7) 124

8) 13

5

9)1

123

4

D.- 1) 42 )1(

2) 234 )1(

3) 322 )23(5

9

4) 222

2

1)1(

84 5)

32

2

)1(

13

E.- 1) 22 1)1(

1 2)

23

2 )32(

32 3)

3

2 4

4) 2

2

23

442 5)

2

3

4 6)

11

ln1 2

5

F.- 1) 2) 24

3) 32

2

32

32

4) 3

32ln 5)

142

12

6) 42

122

7) ln

ln1 8)

55

14

9) tg

10)1

11)3 41

12) 1

10)12

1 11)

1 12)

4 41

1

G.- 1)coscos

1 2)

1coscos3

1 3)

sen1

sen

4) 2cossen

1 5)

tg1

tg1 6)

2

2

cos1

sen

7) sencos5sen

12

8)sen6sen5

cos2

9) 22

44

cossen

cossen 10)

33 cossen

tg1 11)

tg5121

∫ + ∫ ++

++∫ ++

−+

∫ ++ ∫ − ∫ −+−

+

∫ + ∫ + ∫ −

( )( )∫ −+

−∫ −

+

∫ −+ ∫−+

−∫

−

∫ −+

+−∫ − ∫ −

+

−

∫ −

−∫ +

− ( )

( )∫+−

−

( )∫

+

( )∫ +−− ∫ +−

∫+

∫ −+− ∫

∫ ∫+

∫( )∫ −− ∫+

∫ +

∫ − ∫ +− ∫ +

∫ +− ∫ −

+∫ +

∫ − ∫ −+

∫ −

+∫ −

+∫ +

xx

dxdx

xx

xxdx

xx

xx

xx

dxdx

x

xdx

xxx

x

x

dx

xx

dxdx

xx

dxxx

xxdx

x

x

dxxx

dx

xx

xdx

x

xx

dxxx

xxdx

x

xdx

x

x

x

x

dxxa

xadx

x

xdx

x

x

dxx

xdx

xxxdx

xxx

dxxx

xdx

xxdxx

dx dxx

dxdxxx

dxx

xdx

x

dxax

dxxx

dxx

x

dxxx

dxx

xdx

x

x

dxxxx

dxxx

x

dxx

xxdx

xx

xdx

x

- 136 -

ò . x es la Integral indefinida, técnicas de integración ...

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