Guia de Integración Indefinida 2014 - I

.INTEGRACION INDEFINIDA

Y SUS APLICACIONES

Hebeth Cueva Valladolid

Marzo del 2014

Docente : Hebeth Cueva Valladolid 1

USMP - FIA

U��N��I V E��R��S��I��D A D��D��E

SAN�MARTIN�DE�PORRES

Guıa de Calculo 2Integracion Indefinida

Definiciones y propiedades basicasMetodos de Integracion

AplicacionesDocente : Hebeth Cueva Valladolid

La presente Guıa esta orientada a incrementar la calidad del proceso de ensenanza-aprendizaje de la Asignatura de Calculo II. Esta Guıa que se presenta, contiene defini-ciones , propiedades basicas , ejercicios resueltos , propuestos y problemas de apli-cacion que se realizaran en la primera unidad del presente semestre academico 2014 -I de acuerdo al silabo correspondiente. El estudiante debe estar familiarizado con ladiferenciabilidad de funciones


0.1. Introduccion

El origen del calculo integral se remonta a la epoca de Arquımedes (287-212 a.C.),matematico griego de la antiguedad, que obtuvo resultados tan importantes como elvalor del area encerrada por un segmento parabolico. La derivada aparecio veinte siglosdespues para resolver otros problemas que en principio no tenıan nada en comun conel calculo integral. El descubrimiento mas importante del calculo infinitesimal (creadopor Barrow, Newton y Leibniz) es la ıntima relacion entre la derivada y la integraldefinida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vezconocida la conexion entre derivada e integral (teorema de Barrow), el calculo de inte-grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Calculoy sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvoel analisis matematico, creando ramas como el calculo diferencial, integral y de varia-ciones. El calculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallisy Newton entre otros. Ası en 1711 Newton introdujo la formula de interpolacion dediferencias finitas de una funcion f(x); formula extendida por Taylor al caso de infinitosterminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el calculo diferencialy el calculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del calculo diferencial era eldesarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema deTaylor, desarrollandose casi todas las funciones conocidas por los matematicos de laepoca. Pero pronto surgio el problema de la convergencia de la serie, que se resolvio enparte con la introduccion de terminos residuales, ası como con la transformacion deseries en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeronnuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintoticasintroducidos por Stirling y Euler. La acumulacion de resultados del calculo diferencialtranscurrio rapidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es-tructura actual Introducir el calculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli,quien escribio el primer curso sistematico de calculo integral en 1742. Sin embargo, fueEuler quien llevo la integracion hasta sus ultimas consecuencias, de tal forma que losmetodos de integracion indefinida alcanzaron practicamente su nivel actual. El calculode integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevo el descubrimientode una serie de resultados de la teorıa de las funciones especiales. Como las funcionesgamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elıpticas. Los creadores del AnalisisInfinitesimal introdujeron el Calculo Integral, considerando los problemas inversos desus calculos. En la teorıa de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob-lemas del calculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz elproblema era mas complejo: la integral surgıa inicialmente como definida. No obstante,la integracion se reducıa practicamente a la busqueda de funciones primitivas. La ideade la integracion indefinida fue inicialmente la dominante. El Calculo Integral incluıaademas de la integracion de funciones, los problemas y la teorıa de las ecuaciones difer-enciales, el calculo variacional, la teorıa de funciones especiales, etc. Tal formulaciongeneral crecio inusualmente rapido. Euler necesito en los anos 1768 y 1770 tres grandesvolumenes para dar una exposicion sistematica de el. Segun Euler el Calculo Integralconstituıa un metodo de busqueda, dada la relacion entre los diferenciales o la relacion


entre las propias cantidades. La operacion con lo que esto se obtenıa se denominaba in-tegracion. El concepto primario de tal Calculo, por supuesto, era la integral indefinida.El propio Calculo tenıa el objetivo de elaborar metodos de busqueda de las funcionesprimitivas para funciones de una clase lo mas amplia posible. Los logros principalesen la construccion del Calculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de-spues a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integracion llevada por esteultimo hasta sus ultimas consecuencias y las cuadraturas por el encontradas, todavıaconstituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Calculo Integral,cuyos textos actuales son solo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo allenguaje. Estos juicios se confirman con la revision concreta del famoso Calculo Inte-gral de Euler y su comparacion con los textos actuales. La palabra calculo proviene dellatın calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve lanecesidad de contar, comienza la historia del calculo. Tales piedrecitas ensartadas entiras constituıan el abaco romano que, junto con el suwanpan japones, constituyen lasprimeras maquinas de calcular en el sentido de contar. El calculo integral, encuadradoen el calculo infinitesimal, es una rama de las matematicas en la que se estudia el pro-ceso de integracion o antiderivacion, es muy comun en la ingenierıa y en la matematicaen general y se utiliza principalmente para el calculo de areas y volumenes de regionesy solidos de revolucion.


0.2. Definiciones y Formulas basicas

Definicion 1. La funcion F : I ! R se le llama Antiderivada o primitiva de f : I ! R

si F

0(x) = f(x),8x≤I = [a, b].

Ejemplo : Si f(x) = 2x) F (x) = x

2 es una antiderivada ,pues F

0(x) = 2x = f(x)

Tambien F

1

(x) = x

2 + 3 es una antiderivada de f(x)

¿Que se Observa? al calcular las antiderivadas de una funcion no se determina unaunica funcion sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.EnGeneral la representacion de su antiderivada mas general de f(x) la representaremospor : F (x) + c

X

Y

Y=X2+C

Definicion 2. Si F (x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I osea

F

0(x) = f(x)

Entonces a su antiderivada general F (x) + c se le denota por :

G(x) =

Zf(x)dx = F (x) + c , 8x≤I


En otras palabras la integral de una funcion que se designa conR

f(x)dx no es masque su antiderivada general F (x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a loque esta dentro de la integral es decir a f(x)dx

NOTA:De la definicion anterior se tiene :

G

0(x) = F

0(x) = f(x)

i.ed

dx

Zf(x)dx = f(x)

Propiedades

De la definicion de integral indefinida se tiene :

1.d

dx

(

Zf(x)dx) = f(x)

2.

d(

Zf(x)dx) = f(x)

3. Zf

0(x)dx = f(x) + c

Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas de

una funcion f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difieren

de una constante


FORMULAS DE INTEGRACION

Siendo u = f(x) una funcion diferenciable en x

1.

Zu

n

du =u

n+1

n + 1+ c , n 6= °1

2.

Zdu

u

= ln|u| + c

3.

Ze

u

du = e

u + c

4.

Za

u

du =a

u

ln a

+ c ; a > 0, a 6= 1

5.

Zdu

u

2 + a

2

=1

a

arctan(u

a

) + c

6.

Zdu

a

2 ° u

2

=1

2aln|u + a

u° a

| + c

7.

Zdu

u

2 ° a

2

=1

2aln|u° a

u + a

| + c

8.

Zdup

a

2 ° u

2

= arcsen(u

a

) + c

9.

Zdup

u

2 + a

2

= ln|u +p

u

2 + a

2| + c

10.

Zdup

u

2 ° a

2

= ln |u +p

u

2 ° a

2| + c

11.

Z pa

2 ° u

2

du =u

2

pa

2 ° u

2 +a

2

2arcsin(

u

a

) + c

12.

Z pu

2 ° a

2

du =u

2

pu

2 ° a

2 ° a

2

2ln|u +

pu

2 ° a

2| + c

13.

Z pu

2 + a

2

du =u

2

pu

2 + a

2 +a

2

2ln|u +

pu

2 + a

2| + c

14.

Zdu

u

pu

2 ° a

2

=1

a

arcosec

|u|a

+ c

15.

Zsin udu = °cosu + c

16.

Zcos udu = senu + c


Ejercicios de Aplicacion

Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales :

1.

Z2x · 3x+1

5x+2

dx

2.

Ze

x(1 + x ln x)

x

dx

3.

Z1° x ln x

xe

x

dx

4.

Zsin x

cos2

x

dx

5.

Ztan y ° sec y

cos y

dy

6.

Z px + 4

x

dx

7.

Zsin x° x ln x · cos x

x sin2

x

dx

8.

Z rsec x° tan x

sec x + tan x

dx

9. Se da la grafica de la derivada de una funcion.Esbozar las graficas de 2 funcionesque tengan por derivada a la funcion dada

2 f ´

x

y

Grafico (1) Grafico (2)

Del grafico (2) se observa que

f

0 = 2 =) f(x) = 2x + k


entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f

0 = 2 son :

f(x) = 2x + 1 , f(x) = 2x° 1

10. En cada caso ,f es una funcion contınua y la figura muestra la grafica de lafuncion y = f

0(x) ,la funcion derivada de f .Bosqueje la grafica de la funciony = f(x),analizando intervalos de monotonıa y de concavidad,valores extremos ypuntos de inflexion ; si :

1 2 3 2

2

−1 3

−1

−2

Figura (1)Figura(2)

Para la figura (1) se tiene que f(1) = 0 y x ∏ 0 ,de la misma forma para la figura (2)se tiene que f(0) = 1 y x ∏ °1


METODOS DE INTEGRACION

0.3. Integracion por sustitucion

Este metodo para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando seaposible encontrar dentro del integrando una funcion y su derivada consiguiendo unaintegral conocida o facil de operar .El metodo consiste en que una vez identificada lafuncion y su derivada se debe elegir a la funcion como la nueva variable y luego usarlas formulas de integracion descritas con anterioridad.Ejemplos

1. Resolver Zx

5

1 + x

3

dx

la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una funcion y su derivadapara lo cual haremos un artificio facil que consiste en descomponer el numeradorde la siguiente forma : Z

x

3

x

2

1 + x

3

dx

si llamamos al denominador u = 1 + x

3 observamos que

du = 3x2

dx =) x

2

dx =du

3

Ası de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene :Z

u° 1

u

du

3=

1

3

Z(1° 1

u

)du

=1

3

Zdu° 1

3

Z1

u

du =1

3u° 1

3ln |u| + c

Luego regresemos a las variables originales

1

3(1 + x

3)° 1

3ln |1 + x

3| + c

2. Resolver Zln(ln x)

x ln x

dx

Escogeremos u = ln x =) du = 1

x

dx Ası de este modo se tendrıa

Zln u

u

du


y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral

v = ln u =) dv =1

u

du

se llega a: Zvdv =

v

2

2+ c

volviendo a las variables originales

=(ln u)2

2+ c

=(ln(ln x))2

2+ c

3. Resolver Z2ex + e

°x

3ex + 4e°x

dx

Es preciso observar que en el integrando no existe relacion entre el numerador yel denominador ,lo unico que pudieramos hacer es separar en dos integrales

Z2ex

3ex + 4e°x

dx +

Ze

°x

3ex + 4e°x

dx

Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numeradory denominador por e

x y en la segunda por e

°x asi se tendrıa :

Z2e2x

3e2x + 4dx +

Ze

°2x

3 + 4e°x

dx

Si en la primera elegimos el cambio de variable

u = 3e2x + 4 °! du = 6e2x

4. Resolver Z1

x

2

(1

x

° 1)23dx

5. Resolver Zx

3(4° x

2)°12

dx

6. Resolver Zx

13 (x

23 + 1)

32dx

7. Resolver Z1

e

x + e

°x

dx

Richard Willians

Richard Willians


8. Resolver Zarctan

pxp

x + 2x2 + x

3

dx

9. Resolver Z2x°

parcsin xp

1° x

2

dx

10. Resolver Ze

x+e

x

dx

11. Resolver Ze

ln(x)+

1x

x

3

dx

12. Resolver Zsin(2x)dx

cos2

x + 4

13. Resolver Zx

3

1 + x

4

dx

14. Resolver Zx

2x(ln(x) + 1)dx

15. Resolver Zdx

sin2

x

3p

cot(x)° 1

16. Resolver Zcos2

x(tan2

x + 1)

(sin x + cos x)2

dx

17. Resolver Zdxp

e

x ° 1

18. Resolver Z p1 + e

°2x

e

°3x

dx

19. Resolver Zdxppx + 1

20. Resolver Zcos3

x

1° sin x

dx

Richard Willians

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Richard Willians

Richard Willians


21. Resolver Zxp

9° x

4

dx

22. Resolver Z rx

2° x

dx

23. Resolver Z q2 +

pxdx

24. Resolver Zdx

x°p

x

2 ° 1dx

25. Resolver Zx

3

pa

2 ° x

2

dx

26. Resolver Z2

x(x4 + 25)12

dx

27. Resolver Z(x2 ° 25)

32

x

6

dx

28. Resolver Z(4° x

2)12

x

2

dx

29. Resolver Zx

2 ° 3

x

px

4 ° 4dx

30. Resolver Z1

x

2

p1 + x

2

dx

31. Resolver Ze

1x

x

2

dx

32. Resolver Z p1 + sin xdx

Richard Willians

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0.4. Integracion por partes

Este metodo es de mucha utilidad en la practica,cuyo procedimiento lo describiremosa continuacion:

Siendo u = f(x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la formulapara la diferencial de un producto de dos funciones se tiene :

d(uv) = udv + vdu

que es equivalente a:udv = d(uv)° vdu

ahora si integramos ambos miembros se tiene:Z

udv = uv °Z

vdu

La cual se denomina Formula para la Integracion por partes

Nota: La eleccion de u y de v es arbitraria no existe una formula especıfica para podertomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrandofunciones trigonometricas ,exponenciales o logarıtmicas es preferible tomarlas como dv.

Ejemplos:

1. Resolver Zx

2 sin(4x)dx

En este caso por la nota anterior considerare

u = x

2 =) du = 2xdx

lo que queda dentro del integrando sera

dv = sin(4x)dx =) v =° cos(4x)

4

Ası que al reemplazar en Formula para la Integracion por partes se tiene:Z

x

2 sin(4x)dx =°1

4x

2 cos(4x)°Z

(° cos(4x)

4)(2xdx)

=°1

4x

2 cos(4x) +1

2

Z(cos(4x))(xdx)

En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi deeste modo en ella eligo

u = x =) du = dx


dv = cos(4x)dx =) v =sin(4x)

4Asi de este modo

Zx cos(4x)dx = x

sin(4x)

4°

Zsin(4x)

4dx

Zx cos(4x)dx = x

sin(4x)

4+

cos(4x)

16

Luego

Zx

2 sin(4x)dx =°1

4x

2 cos(4x) +1

2(x

sin(4x)

4+

cos(4x)

16) + c

2. Resolver Zln(x)dx

Aquı hagamos u = ln(x) =) du = 1

x

dx y dv = dx =) v = x.De esta forma alutilizar la formula de integracion por partes se tiene:

Zln(x)dx = (ln(x))(x)°

Z(x)(

1

x

)dx

Zln(x)dx = (ln(x))(x)°

Zdx

Zln(x)dx = (ln(x))(x)° x

3. Resolver Zln(2 + 3

px)

3p

x

dx

4. Resolver Ze

1x

x

3

dx

5. Resolver Z3x2 + 2x° 1

4e3x

dx

6. Resolver Zarctan

pxdx

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians


7. Resolver Zarctan x

x

2(1 + x

2)dx

8. Resolver Zarctan

pxp

x

dx

9. Resolver Zx sin x cos xdx

10. Resolver Zx cos x

sin2

x

dx

11. Resolver Zsec5

xdx

12. Resolver Zsin2

x

e

x

dx

13. Resolver Zcos(ln x)dx

14. Resolver Zln(cos x)

cos2

x

dx

15. Resolver Zx

2 + 1

(x + 1)2

e

x

dx

16. Resolver Zsin(

p2y)dx

17. Resolver Zln(p

x +p

x + 1)dx

18. Resolver Zx ln(

1° x

1 + x

)dx

19. Resolver Zxe

x

(1 + x)2

dx

20. Resolver Zln(x +

p1 + x

2)dx

Richard Willians

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Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians

Richard Willians


21. Resolver Z(2x° 3)(x2 ° 3x° 1)4 ln(x2 ° 3x° 1)dx

22. Resolver Zsec3

xdx

23. Resolver Zx arctan2

xdx

24. Resolver Zln(x2 + 2)dx

25. Resolver Zx

2 ln(x6 ° 1)dx

Richard Willians

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0.5. Generalizacion del metodo de Integracion porpartes

Presentamos en esta oportunidad la Generalizacion del metodo de integracion porpartes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dosfunciones una de las cuales debe ser un polinomio y la otra una funcion facil de inte-grar,la explicacion del metodo se hara en los ejercicios que a continuacion se muestran

1. Resolver Z(x3 + 2x + 1) cos xdx

Solucion

Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una deellas es un polinomio y la otra es una funcion de facil integracion,el proceso parala resolucion por este metodo consiste en separar convenientemente el polinomioy la funcion mediante dos columnas a partir de la cual se debera en primerlugar a derivar el polinomio tantas veces se llegue a cero y de la misma forma seintegrara la otra funcion tantas veces se derivo la primera ,para luego empezar amultiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivosiendo este el resultado final de la integracion.

EL resultado final sera Z(x3 + 2x + 1) cos xdx

= (x3 + 2x + 1)(sin x) + (3x2 + 2)(cos x)° (6x)(sin x)° (6)(cos x)


2. Zx

5 sin xdx

3. Zx

n

e

x

dx

0.6. Integracion de funciones Trigonometricas

Recordemos algunas identidades trigonometricas :

sin2

µ + cos2

µ = 1

1 + tan2

µ = sec2

µ

1 + cot2

µ = csc2

µ

sin(Æ ± Ø) = sin Æ cos Ø ± cos Æ sin Ø

cos(Æ ± Ø) = cos Æ cos Ø ® sin Æ sin Ø

Apartir de estas se puede deducir algunas mas pero estas son las mas importantes.El procedimiento para resolver Integrales trigonometricas es tratar de que con ayudade las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y susderivadas para ası de esa forma tener integrales conocidas y faciles de integrar medianteun cambio de variables.

1.

Z pcos x(sin5

x)dx

Solucion

Nuestro objetivo es buscar una relacion entre una funcion y su derivada asi deeste modoZ p

cos x(sin5

x)dx =

Z pcos x(sin2

x)2 sin xdx =

Z pcos x(1° cos2

x)2 sin xdx

=

Z pcos x(1°2 cos2

x+cos4

x)dx =

Z pcos x sin x°2

Zcos

52 sin xdx+

Zcos

92 sin xdx

Si en todas las integrales hacemos el cambio

u = cos x =) du = ° sin xdx

asi se tiene :

°Z

u

12du + 2

Zu

52du°

Zu

92

= °2

3u

32 +

4

7u

72 ° 2

11u

112 + k

regresando a las variables originales

= °2

3(cos x)

32 +

4

7(cos x)

72 ° 2

11(cos x)

112 + k


2.

Z ptan x sec6

xdx

Solucion

Z ptan x sec6

xdx =

Z ptan x(sec2

x)2 sec2

xdx

Z ptan x(1 + tan2

x)2 sec2

xdx =

Z ptan x(1 + 2 tan2

x + tan4

x) sec2

xdx

=

Z ptan x sec2

xddx + 2

Z ptan x tan2

x sec2

xd +

Z ptan x tan4

x sec2

xdx

=

Ztan

12 sec2

xdx +

Ztan

52 sec2

xdx +

Ztan

92 sec2

xdx

Si aquı realizamos el cambio de variable

u = tan x =) du = sec2

xdx

3. Resolver Zsin3

x

3p

cos4

x

dx

4. Resolver Z(1 + cos 3x)

32dx

5. Resolver Ztan3(3x) sec4(3x)dx

6. Resolver Z(p

sin(2x)° cos(2x))2

dx

7. Resolver Zsin(10x) sin(20x) sin(30x)dx

8. Resolver Zcos x cos(3x) cos(5x)dx

9. Resolver Zsin3

x cos(3x)dx

10. Resolver Zcos2

x sin2(4x)dx

Richard Willians


11. Resolver Zcos4(2x) sin3(2x)dx

12. Resolver Zcos5

xpsin x

dx

13. Resolver Ztan5

x

pcos3

xdx

14. Resolver Zsin3

x

3p

cos4

x

15. Resolver Z3

rsin2

x

cos14

x

dx

16. Resolver Zsin 2x · sin 3xdx

17. Resolver Zsin x sin(3x) sin(5x)dx

18. Resolver Z(sec x

tan x

)4

dx

19. Resolver Zsin(4x + 7) cos(5x + 8)dx

20. Resolver Zcos x

3p

sin7(2x) cos x

21. Resolver Z pcos2

x + cos xdx

22. Resolver Zdx

sin2

x cos4

x

dx

23. Resolver Zcos4

x + sin4

x

cos2

x° sin2

x

dx

Richard Willians


24. Resolver Zdxp

sin x cos3

x

25. Resolver Z1 + tan x

1° tan x

dx

26. Resolver Zsin4(

x

2) cos2(

x

2)dx

27. Resolver Ztan3 4x sec

92 4xdx

28. Resolver Zx

2 cos 2x3

dx

29. Resolver Zsin6 2xdx


0.7. Formulas de Recurrencia

1. Obtener una formula de recurrencia para la integral I

n

=

Zsinn

xdx

Solucion

En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposicionZ

sinn

xdx =

Zsinn°1

x sin xdx

aquı usaremos integracion por partes :

u = sinn°1

x =) du = (n° 1) sinn°2

x cos xdx

dv = sin x =) v = ° cos x

luego :

I

n

= °(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)

Zsinn°2

x cos x cos xdx

= °(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)

Zsinn°2

x cos2

xdx

I

n

= °(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)

Zsinn°2

x(1° sin2

x)dx

= °(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)

Zsinn°2

xdx + (n° 1)

Zsinn

xdx

I

n

= °(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)In°2

+ (n° 1)In

I

n

=1

2° n

[(sinn°1

x)(cos x) + (n° 1)In°2

]

2. Obtener una formula de recurrencia para la integral I

n

=

Zcosn

xdx

3. Demostrar que

Zx

n

e

°x

dx, n≤N °! I

n

= °x

n

e

°x + nI

n°1

4. Obtener una formula de recurrencia para la integralZ

secn

xdx


5. Halle una formula de recurrencia para la integral

I

n

=

Zx

n

p(ax + b)dx

Donde n es entero ∏ 0.Calcule I

2

6. Obtener una formula de recurrencia de

I

n

=

Z(x° a

x° b

)n

dx

7. Obtener una formula de recurrencia de

I

n

=

Z1

x

n

p1 + xdx


0.8. Integracion de funciones Racionales

No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,poresta razon en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienenfunciones racionales.

1. Integrales del tipo ZP (x)

Q(x)dx

Donde P (x), Q(x) son polinomios del mismo grado

Resolver la siguiente integralZ

x + 2

x + 1dx

Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejablerealizar la division entre polinomios para ası de esta forma obtener integralesconocidas o faciles de integrar

Z(1 +

1

x + 1)dx =

Zdx +

Z1

x + 1dx

= x + ln |x + 1| + k

2. Integrales del tipo ZP (x)

Q(x)dx

Donde P (x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n

,ademas m < n

Resolver la siguiente integral

Z4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2dx

Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio degrado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONESPARCIALES,metodo que a continuacion se detalla .

En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida delo posible a lo mas en factores cuadraticos irreducibles,para el problema se tiene

4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2=

4x2 + 9x° 1

(x + 1)(x° 1)(x + 2)

Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3factores todos lineales se debe realizar una separacion en tres factores cada unode los cuales contendra dentro de cada denominador a uno de los factores lineales


y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomiodel denominador en este caso una constante asi :

4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2=

4x2 + 9x° 1

(x + 1)(x° 1)(x + 2)=

A

x + 1+

B

x° 1+

C

x + 2

Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantesindicadas para asi de este modo simplificar la integracion

4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2=

A(x + 2)(x + 1) + B(x° 1)(x + 1) + C(x° 1)(x + 2)

x

3 + 2x2 ° x° 2

como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda

4x2 + 9x° 1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x° 1)(x + 1) + C(x° 1)(x + 2)

Existen dos formas de conseguir los valores de A,B, C una de ellas es tratando deigualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratandode dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunasde las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizare la segundaopcion y para esto

x = 1 °! A = 2

x = °1 °! C = 3

x = °2 °! B = °3

Por lo tanto

4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2=

A

x + 1+

B

x° 1+

C

x + 2=

2

x + 1° 3

x° 1+

3

x + 2

=)Z

4x2 + 9x° 1

x

3 + 2x2 ° x° 2dx =

Z2

x + 1dx°

Z3

x° 1dx +

Z3

x + 2dx

= 2 ln |x° 1|° 3 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + k

3. Resolver

Z1

1 + x

4

dx

Solucion

En esta integral es necesario recordar algunos metodos de integracion,recordemosque nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como elproductos de factores o lineales o a lo mas en el de factores cuadraticos irreduciblesasi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados setiene :

x

4 + 1 = x

4 + 2x2 + 1° 2x2 = (1 + x

2)2 ° 2x2

x

4 + 1 = (1 + x

2)2 ° (p

2x)2 = (x2 +p

2x + 1)(x2 °p

2x + 1)


asi de este modo usando fracciones parciales

1

x

4 + 1=

Ax + B

x

2 +p

2x + 1+

Cx + D

x

2 °p

2x + 1

de donde

1 = (A + C)x3° (p

2A + B +p

2C + D)x2 + (A°p

2B + C +p

2D)x + (B + D)

se obtiene el sistema de ecuaciones

A + C = 0

°p

2A +p

2C + B + D = 0

A + C °p

2B +p

2D = 0

B + D = 1

Del sistema se obtiene que :

A =

p2

4, C =

°p

2

2, B =

1

2, D =

1

2

=)Z

1

x

4 + 1dx =

p2

4

Zx

x

2 +p

2x + 1dx+

1

2

Z1

x

2 +p

2x + 1dx°

p2

4

Zx

x

2 °p

2x + 1+

1

2

Zdx

x

2 °p

2x + 1

4. Resolver Z(2x + 1)

x

3 ° 7x + 6dx

5. Resolver Z2x2 ° 1

x

3 ° x

dx

6. Resolver Z5x2 ° 11x + 5

x

3 ° 4x2 + 5x° 2dx

7. Resolver Zx + 1

x

3 + 4xdx

8. Resolver Z2x2

x

4 + x

2 + 1dx

9. Resolver Z1

x

2(x + 1)2

dx


10. Resolver Zx

5

(x2 + 4)2

dx

11. Resolver Z1

x(x3 + 1)dx

12. Resolver Z2x2 + 41x° 91

(x° 1)(x + 3)(x° 4)dx

13. Resolver Z2x2 ° 5

x

4 ° 5x2 + 6dx

14. Resolver Z4x3 + 4x2 ° 18x + 6

x

4 ° 3x3 ° x

2 + 3xdx

15. Resolver Zx

2 + x° 1

x

3 ° x

2 ° x + 1dx

16. Resolver Zx

6 ° 2x4 + 3x3 ° 9x2 + 4

x

5 ° 5x3 + 4xdx

17. Resolver Zx

3 + 4x + 1

x

4 + x

2 + 1dx

18. Resolver Z5x2 + 6x + 9

(x° 3)2(x + 1)2

dx

19. Resolver Zx + 1

x

3 ° 2x2 + 3xdx

20. Resolver Zx

3 + x

2 ° 5x + 15

(x2 + 5)(x2 + 2x + 3)dx

21. Resolver Z4x2 ° 8x

(x° 1)2(x2 + 1)2

dx

22. Resolver Z2x2 + 1

x

3 ° x

2 ° 5x° 3dx


23. Resolver Z4x2 + 6

x

3 + 3xdx

24. Resolver Zx

3 + x° 1

(x2 + 2)2

dx

Metodo de Hermite-OstrogradskiUsando para integrales que presentan el tipo :

ZAx + B

(x2 + bx + c)n

dx , n 2 N, n ∏ 1

siendo x

2 + bx + c una cuadratica irreduciblePara esto se debe considerar :

ZAx + B

(x2 + bx + c)n

dx =P (x)

(x2 + bx + c)n°1

+

ZCx + D

x

2 + bx + c

dx

Donde :P (x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C,D 2 R

La explicacion del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo :Z

dx

(x2 + 1)2

=Ax + B

(x2 + 1)+

ZCx + D

x

2 + 1dx

Para hallar las constantes A,B,C,D debemos integrar ambos mienbros ası tenemos:

1

(x2 + 1)2

=A(x2 + 1)° 2x(Ax + B)

(x2 + 1)2

+(Cx + D)

(x2 + 1)

1

(x2 + 1)2

=A(x2 + 1)° 2x(Ax + B)

(x2 + 1)2

+(Cx + D)(x2 + 1)

(x2 + 1)2

Luego

1 = Ax

2 + A° 2Ax

2 ° 2Bx + Cx

3 + Cx + Dx

2 + D

De aquı

A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1

reemplazandoZ

dx

(x2 + 1)2

=x

x

2 + 1+

Z1

x

2 + 1dx =

x

x

2 + 1+ arctan x

=x

2 arctan x + arctan x + x

x

2 + 1


Ademas en el caso en el que el denominador de la fucnion racional P (x)

Q(x)

tengafactores de multiplicidad

P (x)

Q(x)dx =

f(x)

Q

1

(x)+

Zg(x)

Q

2

(x)dx

Donde Q

1

(x) es el maximo comun divisro de los polinomios Q(x) y de su derivadaQ

0(x) y Q

2

(x) = Q(x)

Q1(x)

.Ademas f(x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi-

nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q

1

(x) y Q

2

(x)respectivamente.

Ejemplo : Resolver Zdx

(x + 1)2(x2 + 1)2

Se observa que :

Q(x) = (x + 1)2(x2 + 1)2 =) Q

0(x) = 2(x + 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x + 1)

Luego

Q

1

= (x + 1)(x2 + 1)

yQ(x)

Q

1

(x)= (x + 1)(x2 + 1)

Zdx

(x + 1)2(x2 + 1)2

=Ax

2 + Bx + C

(x + 1)(x2 + 1)+

ZDx

2 + Ex + F

(x + 1)(x2 + 1)dx

Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene :

A =°1

4, B =

1

4, C = 0 , D = 0 , E = °1

4, F =

3

4Z

dx

(x + 1)2(x2 + 1)2

=°x

2 + x

4(x + 1)(x2 + 1)+

Z °x + 3

4(x + 1)(x2 + 1)dx

=°x

2 + x

4(x + 1)(x2 + 1)+

1

2ln |x + 1|° 1

4ln |x2 + 1| + 1

4arctan x + c

Ejercicios

1. Z4x2 ° 8x

(x° 1)2(x2 + 1)dx

2. Z(x2 ° 1)2

(x + 1)(1 + x

2)3

dx


3. Z1

x

4(x3 + 1)2

dx

4. Zx + 2

((x2 + 2x + 2)3)dx

5. Z1

(x4 ° 1)2

dx

6. Z1

(x2 + 1)4

dx


0.9. Integracion de funciones Racionales de Seno yCoseno

Las integrales el tipo Zf(sin x, cos x)dx

donde f es una funcion racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguientecambio de variables:

tan(x

2) = t °! x = 2 arctan t °! dx =

2

1 + t

2

dt

sin(x

2) =

tp1 + t

2

cos(x

2) =

1p1 + t

2

sin x = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2) cos(

x

2) =

2t

1 + t

2

cos x = cos 2(x

2) = cos2(

x

2)° sin2(

x

2) =

1° t

2

1 + t

2

Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta losiguiente :

1. Si f es impar respecto a sin x es decir

f(° sin x, cos x) = °f(sin x, cos x)

entonces realizar la sustitucioncos x = t

2. Si f es impar respecto a cos x es decir

f(sin x,° cos x) = °f(sin x, cos x)

entonces realizar la sustitucionsin x = t

3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir

f(° sin x,° cos x) = f(sin x, cos x)

entonces la sustitucion estan x = t


1. Resolver

Zdx

(2 + cos x° 2 sin x) sin x

dx Usaremos

tan(x

2) = t °! x = 2 arctan t °! dx =

2

1 + t

2

dt

sin(x

2) =

tp1 + t

2

cos(x

2) =

1p1 + t

2

sin x = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2) cos(

x

2) =

2t

1 + t

2

cos x = cos 2(x

2) = cos2(

x

2)° sin2(

x

2) =

1° t

2

1 + t

2

=)Z

dx

(2 + cos x° 2 sin x) sin x

dx =

Z1

(2 + 1

°t

21 + t

2 ° 4t

1+t

2 )(2t

1+t

2 )(

2dt

1 + t

2

)

=

Z1 + t

2

t(t2 ° 4t + 3)dt =

Z1 + t

2

t(t° 3)(t° 1)dt

Usando fracciones parciales

1 + t

2

t(t° 3)(t° 1)=

A

t

+B

t° 3+

C

t° 1

=) A =1

3, B =

5

3, C = °1

=1

3

Z1

t

dt +5

3

Z1

t° 3dt° 2 1

t° 1tdt

=1

3ln |t| + 5

3ln |t° 3|° ln |t° 1| + k

2. Resolver Z2° sin x

2 + cos x

dx

3. Resolver Z1

(2 + cos x)(3 + cos x)dx

4. Resolver Zsin(2x)

sin4

x + cos4

x

dx

5. Resolver Z1

1° sin4

x

dx

6. Resolver Z1

(sin x + 2 sec x)2

dx


7. Resolver Zsec x

2 tan x + sec x° 1dx

8. Resolver Zsin x + 2 cos x° 3

sin x° 2 cos x + 3dx

9. Resolver Zsin2

x

1° tan x

dx

10. Resolver Z1

sin x + cos x + 2dx

11. Resolver Z1

5 + 3 cos x

dx

12. Resolver Z1

(sin x + cos x)2

dx

13. Resolver Zdx

1 + sin x + cos x

14. Resolver Zcos x

1 + 2 cos x

dx

15. Resolver Z1

4 sin x° 3 cos x

dx

16. Resolver Zsec x

2 tan x + sec x° 1dx

17. Resolver Z1

tan2 + sin2

x

dx

18. Resolver Zsin2

x

1° tan x

dx

19. Resolver Zcos(2x)

sin4

x + cos4

x

dx


0.10. Integracion de Funciones Irracionales

De la misma forma que la integracion de funciones Racionales no existe metodogeneral para el calculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integraldel tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con-venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por esta razondetallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora decalcular una integral irracional.

1. Zx

2 +p

1 + x

3p

1 + x

dx

haremos un cambio de variable

1 + x = u

6 =) dx = 6u5

du

Zx

2 +p

1 + x

3p

1 + x

dx =

Z(u6 ° 1)2 + u

3

u

2

(6u5

du) =

Z(u12 ° 2u6 + 1 + u

3)6u3

du

= 6

Z(u15 ° 2u9 + u

3 + u

6)du = 6(u

16

16° 2u10

10+

u

4

4+

u

7

7) + k

regresando a la variable original

= 6((x + 1)16

16° 2(x + 1)10

10+

(x + 1)4

4+

(x + 1)7

7) + k

2. Integrales del tipo Zax + bp

cx

2 + dx + e

dx

Donde cx

2 + dx + e tiene discriminante distinto cero


Zx + 2p

4° 2x° x

2

dx observemos en primer lugar que

el discriminante del polinomio cuadratico que se encuentra dentro del radical es(°2)2 ° 4(°1)(4) = 20 6= 0,primero completemos cuadrados en el polinomio deldenominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresion lineal que seencuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que esta el-evado al cuadrado y que esta en el denominador el cual aparecio al momento decompletar cuadrados

Zx + 2p

5° (x + 1)2

dx =

Z(x + 1) + 1p5° (x + 1)2

dx

Luego de realizar la separacion conveniente realizar un cambio de variable enambas integrales

Zx + 1p

5° (x + 1)2

dx +

Z1p

5° (x + 1)2

dx


En la primera integral hacemos el cambio de variable

u

2 = 5° (x + 1)2 =) 2udu = °2(x + 1)dx

Ası se tieneZ

x + 1p5° (x + 1)2

dx =

Z °u

u

du = °u = °p

5° (x + 1)2

En la segunda integral al hacer

u = x + 1 =) du = dx

se tiene la integral conocidaZ

1p5° (x + 1)2

dx =

Z1p

5° u

2

du = arcsin(up5)

3. Integrales de la forma ZP

n

(x)pax

2 + bx + c

dx

(1)

Donde P

n

(x) es un polinomio de grado n

ZP

n

(x)pax

2 + bx + c

dx = Q

n°1

(x)p

ax

2 + bx + c + ∏

Zdxp

ax

2 + bx + c

Donde Q

n°1

(x) es un polinomio de grado n ° 1 con coeficientes indeterminadosy ∏ se encuentra derivando (1)


Zx

2

px

2 ° x + 1dx

La integral es del tipo en mencion el polinomio que se encuentra en el numeradorP

n

(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene :

Zx

2

px

2 ° x + 1dx = (Ax + B)

px

2 ° x + 1 + C

Zdxp

x

2 ° x + 1

Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizares la derivacion en ambos mienbros

x

2

px

2 ° x + 1= A

px

2 ° x + 1 + (Ax + B)(2x° 1)

2p

x

2 ° x + 1+

Cpx

2 ° x + 1

2x2 = 2A(x2 ° x + 1) + (Ax + B)(2x° 1) + 2C

2x2 = (4A)x2 + (°3A + 2B)x + (2A°B + 2C)


del sistema que se forma se obtiene que :

A =1

2, B =

3

4, C =

°1

8

De aquıZ

x

2

px

2 ° x + 1dx = (

1

2x +

3

4)p

x

2 ° x + 1° 1

8

Zdxp

x

2 ° x + 1

para resolver la integral Zdxp

x

2 ° x + 1

Tan solo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variableZ

dxpx

2 ° x + 1=

Z1q

(x° 1

2

)2 + 3

4

dx

sea

u = x° 1

2=) du = dx

Z1q

(x° 1

2

)2 + 3

4

dx =

Z1q

u

2 + 3

4

du = ln |u +

ru

2 +3

4|

=)Z

1q(x° 1

2

)2 + 3

4

dx = ln |(x° 1

2) +p

x

2 ° x + 1|

LuegoZ

x

2

px

2 ° x + 1dx = (

1

2x +

3

4)p

x

2 ° x + 1° 1

8ln |(x° 1

2) +p

x

2 ° x + 1| + k

4. Integrales de la formaZ

dx

(ex + f)n

pax

2 + bx + c

, n≤Z

+

Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable

t =1

ex + f

Resolver

Zdx

(x + 1)3

px

2 + 2x° 3

t =1

x + 1=) x =

1

t

° 1 =) dx = ° 1

t

2

dt

Zdx

(x + 1)3

px

2 + 2x° 3=

Zt

3

1q(1

t

° 1)2 + 2(1

t

° 1)° 3(°1

t

2

)dt


= °Z

t

2

p1° 4t2

dt

El cambio de variable transformo la integral en una del tipo anterior ası queejecutamos el procedimiento para tal tipo.

Zt

2

dtp1° 4t2

= (At + B)p

1° 4t2 + C

Zdtp

1° 4t2

Derivando ambos mienbros

t

2

p1° 4t2

= A

p1° 4t2 + (At + B)(

°4tp1° 4t2

) + C(1p

1° 4t2)

t

2 = A(1° 4t2)° 4t(At + B) + C

De donde

A =°1

8, B = 0, C =

1

8

5. Integrales de la forma Zx

m(a + bx

n)p

dx

LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL donde m,n, p

son numeros racionales a y b son numeros reales distintos de cero.Para calcularestas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri-terio a la integral se puede expresar como una combinacion finita de funcioneselementales solamente en los tres casos siguientes :

a) Si p es un numero entero ,hacemos

x = z

s

siendo s el comun denominador de los exponentes fraccionarios m y n de lavariable x

b) Cuando m+1

n

es un numero entero en este caso

z

s = a + bx

n

donde s es el divisor de la fraccion de p

c) Cuando m+1

n

+ p es un numero entero ,en este caso hacer

z

s = ax

°n + b

donde s es el divisor de la fraccion de p.


1) Resolver Zx

3(1 + 2x2)°32

dx

Haciendo una identificacion de los datos se tiene :

m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = °3

2

m + 1

n

=3 + 1

2= 2

=) z

2 = 1 + 2x2

Luego 2zdz = 4xdx

Zx

2(1 + 2x2)°32

xdx =

Z(z

2 ° 1

2)(z2)

°32 (

zdz

2)

=1

4

Z(1° z

°2)dz =1

4(z +

1

z

) + k

2) Resolver Zdx

px

3

3p

1 + 4p

x

3

=

Zx

°32 (1 + x

34 )°13

dx

aquı m = °3

2

, n = 3

4

, p = °1

3

m + 1

n

=°3

2

+ 13

4

=°2

3

como el numerador obtenido no es entero se debe considerar

m + 1

n

+ p =°2

3° 1

3= °1

Luego

z

3 = x

°34 + 1 =) x =

1

(z3 ° 1)43

=) dx = °4z2(z3 ° 1)°73

dz

Por lo queZ

x

°32 (1 + x

34 )°13

dx =

Z((z3 ° 1)

°43 )

°32 (1 +

1

z

3 ° 1)°13 (°4z2(z3 ° 1)

°73 )dz

= °4

Z(z3 ° 1)2+

13°

73zdz = °4

Zzdz = °2z2 + k

3) Resolver Zdx

1 +p

1° 2x° x

2


4) Resolver Z3

r1° x

1 + x

dx

x

5) Resolver Zdxp

x( 4p

x + 2)10

6) Resolver Zdx

x

7(1 + x

7)17

7) Resolver Zdx

(x + 2)p

x + 1

8) Resolver Zx

2 +p

1 + x

3p

1 + x

dx

9) Resolver Zx

2

px

2 ° x + 1dx

10) Resolver Zdx

(x + 1)3

px

2 + 2x° 3

11) Resolver Zdxp

x + 3p

x

12) Resolver Ze

2x

dx

4p

e

x + 1

13) Resolver Zdx

x

3p

x

2 + 4

14) Resolver Zdx

(x° 1)3

px

2 + 3x + 1

15) Resolver Zdx

3p

1 + x

3

16) Resolver Ze

2x

4p

e

x + 1dx


17) Resolver Z1°

p3x + 2

1 +p

3x + 2dx

18) Resolver Z1p

x + 1 + 4p

x + 1dx

19) Resolver Z q2 +

pxdx

20) Resolver Z2 + xp

4° 2x° x

2

dx


0.11. Aplicaciones de Integracion Indefinida

Economicas1. PROPENSION MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la funcion de

consumo para cierto paıs es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En-tonces la propension marginal al consumo esc0(x). Suponga que x y c ambas semiden en miles de millones de dolares y

c

0(x) = 0,9 + 0,3p

x

Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de dolares, determine c(x).

2. COSTO MARGINAL En cierta fabrica, el costo marginal es 3(q° 4)2 dolarespor unidad cuando el nivel de produccion es q unidades.

a) Exprese el costo total de produccion en funcion de los gastos indirectos (elcosto de producir 0 unidades) y el numero de unidades producidas.

b) ¿Cual es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436dolares?

3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artıculose estima que sera

R

0(x) = 50 + 3,5xe

°0,01x

2

Dolares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dolares.

a) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.

b) ¿Que ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

4. Depreciacion El ritmo de depreciacion dV

dt

de una maquina es inversamenteproporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t anos de su adquisicion.Siel valor inicial era 500 000 dolares y su valor decrecio 100 000 en el primerano,estimar su valor los cuatro anos despues de su compra.

5. Desembolso El ritmo de desembolso dQ

dt

de una subvencion estatal de 2 millonesde dolares es proporcional al cuadrado de 100 ° t .El tiempo t se mide en dıas(0 ∑ t ∑ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidadque resta por desembolsar tras 50 dıas,suponiendo que el desembolso se realizaen 100 dıas.


6. Funcion de costo

Suponga que la funcion de costo Marginal para el producto de un fabricante estadada por :

dc

dq

=100q2 ° 4998q + 50

q

2 ° 50q + 1

donde C(x) es el Costo Total en dolares cuando se producen q unidades.si losCostos Fijos son de 10 000 dolares encuentre el costo de producir 100 unidades.

7. Funcion de costo

La Funcion de Costo Marginal para el producto de un fabricante esta dada por :

dc

dq

=9

10

pq

q0,04q

34 + 4

donde C es el costo total en dolares cuando se producen q unidades.Los costosfijos son de 360 dolares .

a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades.

b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades.

8. Funcion de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa esta dada por lasiguiente expresion :

R

0(x) =e

2x

p1 + e

x

determine el Ingreso para 200 unidades.

9. Funcion de Ingreso La funcion de Ingreso marginal para el producto de unfabricante esta dado por :

dr

dq

=1

e

q ° 1

Calcule el ingreso total.

10. Produccion Total

La Razon de produccion de un pozo en barriles diarios varıa de acuerdo con lasiguiente formula

P

0(t) =1200000

(t + 1600)32

donde t es el tiempo (en dıas) a partir del inicio de la produccion.Calcule la Pro-duccion Total hasta el tiempo t,tambien encuentre la Produccion Total disponiblees decir

lımt°!1

P (t)


11. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la razonde cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante. Ademas si en uninicio se hizo un deposito de $3500 cuanto se obtiene al cabo de 18 meses.

12. La relacion entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa dedisminucion en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a lacantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio mas unaconstante. Encontrar la funcion de demanda si p = p

0

cuando x = 1.

Geometricas13. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de esta curva es 3

px

, si el punto (9,4) esta en la curva ,encontrar una ecuacion de la curva.

14. Halle una funcion y = f(x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente :

y

00 = 4x°3 y la ecuacion de la recta tangente a su grafica en el punto (1,3) esy + 2x = 5

15. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 10°4xy el punto (1,-1) esta en la curva.Encontrar una ecuacion de la curva

16. Si f

00(x) = °af(x) y g

00(x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar laintegral Z

f(x)g00(x)dx

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f(x) otra curva g(x)sera ortogonal a esta en x

0

si se cumple :

f

0(x0

) · g0(x0

) = °1

17. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas

e

x + e

°y = c

18. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parabolas con vertice en elorigen y foco sobre el eje X


g(x)

f(x)

x0

L T

LT g(x )0

0f(x )

RectaTangenteen g(x )

RectaTangenteen f(x )

19. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centroen el origen de coordenadas

20. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.

a)y = kx

2

b)y = (x + k)°1

c)y = ke

°x

21. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y

3 = kx

2

22. Encuentreel valor de la constante a ,de tal forma que las familias

y

3 = c

1

x , x

2 + ay

2 = c

2

sean ortogonales


Fısicas23. CONTAMINACION DEL AGUA Un derrame de petroleo en el oceano tiene

una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos despues delinicio del derrame. El radio crece a una tasa de

R

0(t) =21

0,07 + 5

a) Determine una expresion para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuandot = 0

b) ¿Cual es el area A = ºR

2 del derrame despues de 1 hora?

24. CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO La concentracion C(t) enmiligramos por centımetro cubico mg

cm

3 de un medicamento en el torrente sanguıneode un paciente es de 0,5 mg

cm

3 inmediatamente despues de una inyeccion y t minutosmas tarde disminuye a la tasa de

C

0(t) =°0,01e0,01t

(e0,01t + 1)2

mg

cm

3 por minuto.

Se aplica una nueva inyeccion cuando la concentracion es menor que 0.05 mg/cm3.Determine una expresion para C(t). ¿Cual es la concentracion despues de 1 hora?¿Cual es despues de 3 horas?

25. Aceleracion :

Un automovil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendoaceleracion constante,calcular:

a) La aceleracion enm

s

2

b) La distancia que recorre en esos 13 segundos.

26. Movimiento

La velocidad de una partıcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante

v(t) = t

p1 + t

2

Determine la distancia recorrida por la partıcula desde el instante t

1

=p

8 hastat

2

=p

24.


27. Movimiento Vertical

Raul arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una alturamaxima de 225 pies.¿Cual era su velocidad inicial?


Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidadinicial de 60 pies/s

2.¿Que altura alcanza? .

(Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = °32pies/s2)


De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funciondel tiempo,determinar la posicion y la velocidad con que cae y,luego , el instanteque toca suelo y la velocidad con que lo hace.


De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical-mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzara la pelota y elinstante que llege al suelo.

31. Crecimiento de un arbolUn vivero suele vender los arboles tras 6 anos decrecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 anos viene dado por :

dh

dt

= 1, 5t + 5

donde t es el tiempo en anos y h es la altura en cm.en el momento de plantarlosmiden 12 cm.

Calcular su altura tras t anos y en el momento de ser vendidos.

32. Crecimiento de una Poblacion El ritmo de crecimiento dP

dt

de una poblacionde bacterias es proporcional a la raız cuadrada de t ,donde p es el tamano de lapoblacion y t es el tiempo en dias (0 ∑ t ∑ 10).El tamano de la poblacion es500.Tras un dıa ha crecido hasta 600.Estimar la poblacion a los 7 dıas

33. Ley de Enfriamiento de Newton Un termometro que marca 18oF ,se llevaa una cuarto cuya temperatura es de 70oF,un minuto despues la lectura deltermometro es de 31oF.Determınese las temperaturas medidasd como una funciondel tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termometrocinco minutos despues que se lleva al cuarto.


34. Ley de Enfriamiento de Newton Un quımico desea enfriar desde 80oC hasta60oC una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi-ente ampilo por el que circula agua a 15oC.Se observa que despues de 2 minutosla temperatura ha descendido a 70oC.Estimar el tiempo total de enfriamiento.

35. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperaturade un cuerpo calentado hasta 100oC descendera hasta 30oC.Si la temperatura dellocal es de 20oC y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuestion se enfrıahasta 60oC.

36. Un termometro que esta inicialmente en el interior de una habitacion se lleva alexterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15oC. Despuesde un minuto marca 30oC y despues de 10 minutos marca 20oC. De acuerdo a laley de Newton ¿Cual era la temperatura de la habitacion?

37. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000oC y se pone a enfriar en un lugarcuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30oC. Despues de10 horas su temperatura desciende a 200oC ¿Cuanto tardara en llegar a 31oC? ¿Llegara en algun instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambientede 30oC? Justifique su respuesta.

LEY DE DESINTEGRACION RADIOACTIVA La rapidez de cambio dedesintegracion de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,encualquier instante,a la cantidad de sustancia que esta presente.

Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurrepara que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia.

38. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tantotiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse.

39. En una poblacion bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro-porcional a B misma , si entre medio dıa y las 2 p.m.la poblacion se triplica.Aque tiempo,sino se efectua ningun control ,B sera 100 veces mayor que el mediodia.

40. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho-ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada deeste material decaiga hasta un decimo de su masa original.


41. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200anos.¿Cual es su vida media?.¿En cuanto tiempo se desintegrara 60 por cientode la cantidad original?

42. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al numero pre-sente.Si el numero original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.¿En cuantotiempo se espera tener dos veces el numero original?

43. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20 % de esta desapareceen 5 anos.

44. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Siinicialmente hay 10 gramos y despues de dos horas se ha perdido el 5% de sumasa original, hallar la cantidad restante de uranio como funcion del tiempo yLa cantidad de uranio despues de 5 horas.

45. Crecimiento de un arbol:

Un vivero suele vender los arboles tras 6 anos de crecimiento.EL ritmo de crec-imiento en esos 6 anos viene dado por:

dh

dt

= 1, 5t + 5

donde t es el tiempo en anos y h la altura en cm.En el momento de plantarlos,miden 12 cm(en t = 0)

a) Calcular su altura tras t anos

b) ¿Que altura tienen en el momento de ser vendidos?

46. Crecimiento de una poblacion:

El ritmo de crecimiento dP

dt

de una poblacion de bacterias es proporcional a laraız cuadrada de t ,donde P es el tamano de la poblacion y t el tiempo en dıas(0 ∑ t ∑ 10).El tamano inicial es 500.Tras un dıa ,ha crecido hasta 600.Estimarla poblacion a los 7 dıas.

47. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Logıstico se supone que altiempo t la tasa de crecimiento

f

0(t) = Af(t)(B ° f(t))

donde A y B son constantes .Si f(0) = C calcular f(t).


48. La poblacion de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millon en1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblacionexistente en ese instante, ¿en que ano la poblacion de Cali excedera los 5 millonesde habitantes?

49. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcionala la cantidad de radio instantaneamente presente. Su vida media, es de 1590 anos.¿Que porcentaje desaparecer´a en 1 ano?

50. Supongase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambiorespecto al tiempo del fenomeno activo y(t) es proporcional a la cantidad exis-tente. Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cuanto puede esperarse al final de 8 horas,a la misma rapidez de crecimiento?

Guia de Integración Indefinida 2014 - I

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