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La Matemtica en Grecia Antigua .

LA MATEMTICA EN LA GRECIA ANTIGUA

1. Antecedentes:

La matemtica surge desde la aparicin del hombre como sujeto pensante, es

decir, desde la evolucin de su esquema mental. Inicialmente la matemtica

practicada por los hombres primitivos se deba a la necesidad de

alimentacin, recoleccin o caza. Sea para contabilizar o hacer diferencias en

al reparticin, la matemtica entonces entraba a jugar un papel importante en

su vida cotidiana.

Los datos histricos que tenemos fehacientemente consideran a

Mesopotmica (Babilonia, incluyendo los Sumerios y Acadios) y Egipto comolas culturas con un avanzado conocimiento del nmero y la forma. Cabe

mencionar que el conocimiento de estas culturas eran una consecuencia de

sus antecesores, una especie de herencia. La tentativa de tiempo vara, estn

en duda. Se especula que en Egipto se inici en 424 +/- 200 aos a.C. (fecha

ms remota) y 2781 a.C. (fecha ltima), tambin sealan 5700 a.C. para

Mesopotmica. Ambas culturas se centran en el estudio de los calendarios

justificndolos con nociones de astronoma.1

1.1.Aparicin de las matemticas

Los pueblos generan su historia, en su historia se encuentran

indefectiblemente estudios de matemticas. Estas matemticas tienen un

origen similar al lenguaje y el arte, de los cuales conjeturamos mediante

las caractersticas de los hombres primitivos.

1 Bell, E.T. (1996). Historia de la matemtica. Mxico: Fondo de Cultura Econmica. Pg. 13.

Autor: Carlos Torres N.. 1

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La matemtica aparece inicialmente con la Aritmtica, generalizado por el

lgebra, ambos estudian el nmero en su forma aplicativa y general,

respectivamente. La Geometra nace como consecuencia del estudio de la

forma, que a su vez generar en el siglo XVII corrientes de estudio, como

las conocidas geometras no eulideanas.

El sentido de la forma espacial y del nmero no es un privilegio exclusivo

del hombre. Mucho de los animales demuestra un sentido rudimentario del

nmero, en tanto que otros nos asombran con sus apreciaciones de la

forma. Recordemos a las ratas de laboratorio que encuentran la salida de

los laberintos inventados por los psiclogos y aprueban difciles exmenes

de topologa. Lo que resulta evidente es que el ser humano tiene falencias

en ese campo.

Las culturas estudian los conocimientos matemticos de acuerdo a su

concepcin de matemtica (filosofa de la matemtica), y tambin

mediante esa concepcin aprueban lo que debe ser llamado matemtica.

As por ejemplo, a inicios de las grandes civilizaciones antiguas (conocidas)

el enfoque de la matemtica eran dos: empirismo y deduccionismo.

1.1.1.Empirismo versus deduccionismo

El empirismo se desarrollo en Babilonia y Egipto, mientras que el

deduccionismo en Grecia. Debemos resaltar que son referencias

conocidas, tal vez hayan otras culturas que las desarrollasen, pero

que no tenemos documentos probatorios, solo son especulaciones.

Presentamos en un cuadro comparativo las diferencias de ambos.


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Empirismo prctico.Deduccionismo de la

geometra.En Babilonia y Egipto En Grecia

Precedi a las matemticas

formales.

No aplican el razonamiento

deductivo de forma conciente.

Su razonamiento es inductivo

(prctico).

Sus conocimientos no eran

incorporados hasta encontrar su

demostracin

Sienten la necesidad de una

necesaria demostracin.

La demostracin est supeditada

a la cultura.

La tcnica de la agrimensurautilizaba clculos matemticos

simples

Inician las matemticas formales.

Utilizan el mtodo deductivo

(razonamiento deductivo).

El razonamiento deductivo se

caracteriza por su formalidad y

practicidad.

Abstraen la experiencia prctica.(EUCLIDES)

La abstraccin genera utilidad,

generalidad y formalidad.

Heredamos de EUCLIDES la

insistencia en la demostracin

deductiva.

EUCLIDES tuvo errores en su

demostracin, que no fueron

alertados sino en un tiempo ms

prximo a nuestra era.

1.1.2.Desarrollo de la matemtica

Presentamos dos tipos de divisin del conocimiento matemtico.

1.1.2.1.Divisin Heterodoxa: Considerada por muchos tericos

como la mejor)


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Autor: Carlos Torres N..

DIVISINHETERODOXA

PERIODO

REMOTO

PERIODO

MEDIO

PERIODO

RECIENTE

4

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PERIODO REMOTO PERIODO MEDIO PERIODO RECIENTEExtensin:

Primeros tiempo 1637

d.C.

Extensin:

1638 d.C. 1800 d.C.

Extensin:

1801 d.C. Presente

Se debe a que en 1637

nace la geometraanaltica (publicacin de

la obra maestra de Ren

Descartes).

El Clculo hace su

aparicin gracias a

Newton y Leibniz.

Dinmica de

Galileo y Newton. Se origina el

tratamiento

abstracto de la

matemtica.

Lagrange piensa

que la matemtica

se agot en su era.

Se adecua el desarrollo

del pensamiento

abstracto.

Publicacin en 1801 de

la obra de Gauss. En 1821 se presenta

Cauchy con el

desarrollo del Clculo

Diferencial e Integral

Desarrollo de las

geometras no

Euclidianas

1.1.2.2.Divisin Convencional: Consta de siete periodos.


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1. Primeros tiempos a la antigua Babilonia y Egipto,

inclusive.

2. La contribucin griega, desde cerca del ao 600 a.C.,

hasta aproximadamente el ao 300 d.C. Siendo el

mejor en los siglos IV y III a.C.

3. Los pueblos orientales y semticos (indio, chino,

musulmn, persa, judo, etc.) Junto con los griegos

contribuyeron al Renacimiento.

4. Europa durante el Renacimiento y la Reforma,

aproximadamente los siglos XV y XVI.

5. Los siglos XVII y XVIII, poca ilustre de las

matemticas modernas puras, as como la ciencia

moderna.

6. El siglo XIX.

7. El siglo XX.

2. EL PREMBULO GRIEGO: (EGIPTO MESOPOTAMIA)

2.1.Necesidad de la matemtica

La base de la civilizacin Egipcia y Mesopotmica fue la agricultura. Los

pobladores de estas grandes ciudades sentan la necesidad de controlar

el pronstico del tiempo, tal vez por experiencia, pues cada desastre que

asolaba a sus tierras los dejaba con ms de un problema.

Entonces se puede hablar de los calendarios como solucin a ellos, como

en Mesopotmica y Egipto. Relacionemos dicha solucin con la

matemtica:


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CALENDARIO

Se necesita deconocimientos matemticos

Su antecedente es laastronoma

Soluciona problemasde la agricultura

Toma tiempo

Se genera deobservaciones casuales

Surgen investigadores

Se genera aritmticatil



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COMERCIO

Desarrolla conocimientosmatemticos

Intercambiode insumos

Intercambio deconocimientos

Se genera porprocesos agrcolas

necesidades

Sumeriosantecesores

Agrcolas Astronoma

Ejemplo:Obras de riego

La invencinde la escritura

Artes Ciencias bsicas

8

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9/41

77679

1

50

1

97

2++=


A continuacin hacemos un cuadros comparativos entre la cultura Babilnica y Egipcia acerca del desarrollo de los

conocimientos matemticos.

2.2.Aparicin de la aritmtica

Babilonia (incluido los Sumerios

hacia 2500 a.C.)

En los Egipcios (hacia 3500 a.C.)

Se familiarizaron con los pesos y

medidas, generado por el comercio.

Crean el sistema de numeracin

sexagesimal (Sumerios transmiten a

los Babilonios).

Las huellas de este sistema perduran

en la actualidad, como en el clculo

del tiempo y en la divisin de la

circunferencia en 6x60 grados.

Se usa cifras de millar para contabilizar muertos u cosechas.

Usaron el sistema decimal no posicional.

Su aritmtica de 1650 era apta para la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin,

aplicados a problemas sencillos.

Las divisiones e efectuaban por medio de las fracciones continuas, como expresar m/n,

m>1 como una suma de fracciones unitarias.

Ejemplo:

Smil de una tabla de logaritmos

Su aritmtica se caracteriz por la comprobacin ocasional de sus resultados. (Indicios de

necesidad de la demostracin)

Algunos conocimientos aritmticos estaban adelantados para su poca, como en notacin

actual sera un sistema de ecuaciones. La falta de simbolizacin dificultaba el trabajo.


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2.3. Aparicin del lgebra

De los registros de los Babilonios de hacia 2000 a.C. En Egipto

Se observa la falta de demostracin.

El lgebra se desarrolla por medio de reglas y sin smbolos algebraicos.

Los problemas eran particulares y no contenan una universalidad.Expresadas en trminos actuales las ecuaciones del tipo:

Se reduce a su forma normal:

Que se origina multiplicando a la

ecuacin original por

* Si el valor resultante de r es positivo,

* El valor de Y, y por consiguiente deX

* Puede deducirse de valores tabulados de,

siempre que est en las tablas.

No se desarrollo en gran magnitud, pues no hay

muestras de ello.

Estaban menos adelantados que los Babilonios.

En 1850 y 1650 a.C. se resolva ecuaciones de

cualquier grado por tanteo, o por lo que se

llamara falsa suposicin.


023 =++ qpxx

3

23 /p

qr

p

xyryy ===+

3

1

p

23 nn +

10

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2.4.Desarrollo de la geometra

En Babilonia En Egipto Los conocimientos de hacia 2200 a.C. carecan de demostracin.

Se aplicaba reglas para hallar reas como las del tringulo,

rectngulo, tringulo recto, tringulo issceles entre otras

figuras.

Toman el valor de pi igual a 3.

Se resolvan problemas aplicados a la vida cotidiana.

Conocan diversos teoremas de geometra como:

El ngulo en un semicrculo es u ngulo recto. (Demostrado por

Tales hacia el ao 500 a.C.)

El teorema pitagrico

en el que c, a y b son los lados de un tringulo rectngulo, paraciertos valores numricos como 20, 16, 12 y 17, 15, 8.

El teorema los lados de los ngulos correspondientes de

tringulos semejantes son proporcionales.

Esto enmarcado dentro de los orgenes del anlisis

matemtico.

Algunos sealan que no aportaron mucho a esta ciencia.

Sus obras magnas, las pirmides, se construa en base a la

fuerza de mano de obra, ms que cuestiones matemticas y

fsicas.

Calculaban el rea de cualquier tringulo mediante la regla

base por la altura.

Existi un matemtico mstico, este egipcio descubri o crey

descubrir el resultado ms extraordinario en la geometra

anterior a los griegos.

Dio un ejemplo numrico de la formula correcta

Para el volumen de un tronco de pirmide cuadrada, siendo

h la altura; a y b, respectivamente los lados de la base

superior e inferior.


222 bac +=( )

3

22 babah ++

11

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2.5. Aportaciones de Babilonia y Egipto

Aportaciones de Babilonia y Egipto (Resumen)

Babilonia Egipto Nos dejaron el horscopo

zodiacal de 360 partes.

Heredamos la divisin del

tiempo en 60 minutos, 60

segundos.

Utilizan el sistema posicional.

Tablillas con problemas y ternas

pitagricas.

El papiro de Rhin con ms de 100

problemas.

La pirmide de Keops tiene la

propiedad de que el cuadrado

de su altura coincide con el rea

de una de sus caras.

Lo anterior genera el nmero de

ORO.

3. La matemtica griega

3.1.La cultura griega

La historia de Grecia, durante sus primeros aos, desarroll una de las ms

grandes civilizaciones de la Antigedad, poseedora de una rica cultura.

Vista por muchos como la cuna de la civilizacin occidental, Grecia tiene una

larga y rica historia durante la cual extendi su influencia sobre tres

continentes.

Las costas del mar Egeo vieron el surgimiento de las primeras civilizaciones

europeas, la minoica y la micnica. Despus de su desaparicin, volvi a

resurgir otra alrededor del 800 a.C.. Esta ltima estableci colonias desde sus

polis (ciudades-estado) a lo largo de todo el mediterrneo, resisti las

invasiones de Persia y su cultura sera la base de la civilizacin helenstica que

sucedi al imperio de Alejandro Magno.

Fue conquistada por Roma en 168 a.C. aunque la superioridad de la cultura

griega modific profundamente la romana. De hecho, en la parte oriental del

imperio la cultura y el griego siguieron siendo ms influyentes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Civilizaci?n_mic?nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/800_adChttp://es.wikipedia.org/wiki/Colonia_(administrativa)http://es.wikipedia.org/wiki/Mediterr?neohttp://es.wikipedia.org/wiki/Persiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per?odo_helen?sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alejandro_Magnohttp://es.wikipedia.org/wiki/Romahttp://es.wikipedia.org/wiki/168_adChttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Civilizaci?n_mic?nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/800_adChttp://es.wikipedia.org/wiki/Colonia_(administrativa)http://es.wikipedia.org/wiki/Mediterr?neohttp://es.wikipedia.org/wiki/Persiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Per?odo_helen?sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alejandro_Magnohttp://es.wikipedia.org/wiki/Romahttp://es.wikipedia.org/wiki/168_adChttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego

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El Imperio Griego Medieval se constituye como uno de los imperios ms

grandes de la historia de Europa; abarca desde el Mar Adritico y el Sur de

Italia hasta Oriente Medio; Constantinopla se erige como la Segunda Roma y

como el centro de la civilizacin heredera de las antiguas Grecia y Roma. El

Imperio Griego de Bizancio tambin es uno de los imperios ms longevos de

la Historia: dura casi 1.000 aos, desde el siglo V hasta el siglo XV.

Grfico 1. Mapa de la Grecia antigua

http://es.wikipedia.org/wiki/Constantinoplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Constantinopla

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3.2.La divisin de la cultura griega

Periodos Hechos relevantesHelnico

Desde los primeros das hasta la muerte de Alejandro el Grande, muerte de

Aristteles y la culminacin del Siglo de Pericles.

Se caracteriza por las constantes guerras.

Se desarrolla la matemtica en conexin con la filosofa

Helenstico

Hasta principios de la era cristiana.

La cultura griega llega un exorbitante esplendor.

La matemtica obtiene su autonoma de la filosofa.

Los ms importantes centros matemticos de esa poca son:

Alejandra, Perga y Rodas.

Lo mximos exponentes son Euclides, Arqumedes y Apolonio.

Greco Romano o de la

decadencia Desde los primeros siglos de la era cristiana a la conquista romana.

La matemtica se centra a los epgonos y comentaristas


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Del Periodo Helnico(640 a.C. 550 a.C.)

Escuela Jnica

Escuela Pitagrica

Los Sofistas o los Eleatas

El Periodo Greco Romanoo de la Decadencia

(30 a.C. 640 d.C.)

Mximo representante

Tolomeo

Del Periodo Helenstico

o de Alejandra(300 a.C. 30 a.C.)

Atenas

Cicico

La Academia El Liceo

La Escuela de Alejandra


3.3.Cronologa de las escuelas matemticas griegas.

Presentamos grficamente las diferentes escuelas:


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Desarrollo de las Escuelas:

Escuela Jnica

Hechos relevantes Mximorepresentante

Aportes

Se gua por la

filosofa naturalista.

Todo est lleno de

Dioses

El agua es

principio de todas

las cosas

Tales de Mileto (624

550) fue su

mximorepresentante.

Entre otros

miembros estaban:

o Anaxmenes y

Anaximandro.

Fundaron las

matemticas como

sistema deductivo.

Matematizaron los

fenmenos

naturales.

Tales de Mileto

Naci en Mileto

alrededor del ao 624

a.C. y muri en la

misma ciudad

alrededor del ao 545a.C.

Se le conoce como el

padre de las

matemticas,

astronoma y la

filosofa griega.

Se cuenta que

pronostic un eclipse

lunar (probablemente

el del 28 de mayo del

585 a.C.) fue

considerado como uno

de los Siete Sabios de

Grecia.

Se le atribuye los

siguientes

descubrimientos:

El ngulo inscrito en

una semicircunferencia

es recto.

Lo ngulos en la base

de un tringulo issceles

son iguales.

Si dos rectas se cortan,

los ngulos opuestos por

el vrtice son iguales.

Todo dimetro divide al

crculo en dos partes

iguales.

Toda recta paralela a

uno de los dos lados de

un tringulo divide a los

otros dos en partes

proporcionales.


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Graficando:

Grfico 2. Aportes de Tales

Cmo logr medir la pirmide?

El proceso consista en levantar un bastn en el extremo de la sombra

proyectada por la pirmide y habiendo formado de este modo dos

tringulos con los rayos del sol, mostrase que la pirmide est con el bastn

en la misma razn que la sombra de la pirmide est con la sombra del

bastn.

Grficamente


Grfico 3. Aplicando geometra

18

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Escuela PitagricaHechos relevantes Mximo representante Aportes

Secta filosfica, cientfica y

religiosa.

El nmero es principio de todas las

cosas

Se funda en Crotona (Italia). Su

mximo exponente es Pitgorasde Samos.

Relacionan la msica con la

matemtica.

Matematizan fenmenos

naturales.

Fundan las matemticas como

sistema deductivo.

Los pitagricos hacen de la

matemtica una ciencia por

excelencia y hacen su primera

divisin (ver grfico)

Pitgoras de Samos

Naci en la isla de Samos,

alrededor del ao 570 a.C. y

muere por el ao 500 a.C.

Sobre su vida se sabe msde leyenda que realidad, es

confusa.

De joven se instala en

Crotona y funda su escuela.

Entre sus discpulos se

encontraba Teano, con la

que se cas.

Dividieron los nmeros naturales en pares e

impares ( femenino y masculino,

respectivamente).

Dividen la Aritmtica como ciencia.

Inventan la denominacin de nmeros

amigos y nmeros perfectos.

Conocan las proporciones aritmticas,

geomtricas y armnicas, as como las

medias aritmticas, geomtricas y

armnicas.


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Divisin de la matemtica por los pitagricos


Matemticas

Cuntos(Cantidad discreta)

Cunto(Cantidad continua)

Aritmticasi se estudia a s mismo

Msica(Si se estudia con otro)

Geometra(fija)

Astronoma(mvil)

Teora de Nmeros

Logstica (Clculo)

21

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El Quadrivium, materias de enseanza designada por los pitagricos,

usada hasta mediados de la edad media


QUADRIVIUM

ARITMTICA MSICA ASTRONOMA GEOMETRA

22

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Grfico 4. Smbolo de la escuela pitagrica


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Grfico 5. Aportes de los pitagricos

Grfico 6. Relaciones encontradas por los pitagricos

Grfico 7. Relaciones en el tringulo

Escuela EleticaHechos relevantes Mximo

representante

Aportes


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En el siglo V a.C.,

Parmnides fund una

escuela de filosofa en

Elea, colonia griega

en la pennsula Itlica

(Magna Grecia).

Parmnides adopt

una actitud opuesta a

la de Herclito en la

relacin entre

estabilidad y cambio

y mantuvo que el

universo o lo que es,

es decir, el ente, se

puede describir como

una esfera indivisible

e inmutable y que

toda referencia a

cambio o diversidad

es por s misma

contradictoria.

Mantena que nada

puede ser realmente

afirmado excepto "lo

que es" (el ente).

Zenn de Elea,

discpulo de

Parmnides, intent

probar la unidad del

ser afirmando que la

Se sabe poco de su

vida, sin embargo

sus aportesayudaron bastante

al desarrollo de la

matemtica.

Se caracteriz por

ser crtico a las

concepcionespitagricas. Por

medio de

paradojas, que

iban dirigidas a los

planteamientos

pitagricos

siguientes:

1. Suma de puntos.

2. El tiempo como

suma de instantes.

3. Movimiento como

suma de pasajes de

un lugar a otro.

Aporto a la

matemtica

recursos de orden

lgico, metodolgico

y hasta tcnico.

Su proceso

dicotmico se usa

como recurso de

demostracin y el

mtodo de

reduccin al

absurdo, es una

consecuencia del

principio de

contradiccin eje de

sus raciocinios.

Desecha la

concepcin

mondica de los

pitagricos.

http://personales.com/espana/sevilla/moral/parmenides.htmhttp://personales.com/espana/sevilla/moral/zenon.htmhttp://personales.com/espana/sevilla/moral/parmenides.htmhttp://personales.com/espana/sevilla/moral/zenon.htm

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creencia en la

realidad de cambio, la

diversidad y el

movimiento lleva a

paradojas lgicas.

Las aporas de Zenn

llegaron a ser

enigmas intelectuales

que filsofos y lgicos

de todas las pocas

posteriores han

intentado resolver. El

inters de los

eleticos por el

problema de la

consistencia racional

propici el desarrollo

de la ciencia de la

lgica.

Paradojas de Zenn

a. Argumento dicotmico.

El movimiento es imposible en efecto para que un mvil pueda

recorrer una distancia dada , antes deber haber recorrido la

mitad de de ella, y antes de recorrer dicha mitad habr tenido que

atravesar la cuarta parte de la distancia dada, y antes de cubrir

dicha cuarta parte deber haber atravesado la octava parte de la


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distancia dada, etc. Es obvio que retrocediendo de este modo, el

mvil nunca iniciar el movimiento.

Grfico 8. Argumento dicotmico

b. Paradoja de Aquiles

Aquiles el del lo pies ligeros nunca podr dar alcance a una

lenta tortuga, aunque la velocidad de aquel sea muy superior a la del

simptico quelonio.

Cuando Aquiles llegue al punto desde donde parti la tortuga,

sta habr avanzado una determinada distancia, despus, Aquiles

deber recorre dicha distancia; mientras tanto la tortuga de nuevo


Grfico 9. Paradoja de Aquiles

27

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habr tomado ventaja sobre l. Es claro que este proceso puede

repetirse Ad infinitud, con lo que el rpido corredor nunca podr

alcanzar al torpe animalito.

Escuelas de Atenas: La Academia y El Liceo

La AcademiaHechos relevantes Mximo representante Aportes

Fue fundada por

Platn en el siglo IV

a.C. En la entrada a la

Academia se lea:

Nadie que ignore

geometra penetre

bajo mi techo

En los dilogos de

Platn aparece

consideraciones

matemticas.

Platn sintetiza su

amor a la

matemtica con

la

frase:

Dios geometriza

constantemente

Platn fue un filsofo

griego, alumno de

Scrates y maestro deAristteles, de familia

nobilsima y de la ms

alta aristocracia. Su

influencia como autor y

sistematizador ha sido

incalculable en toda la

historia de la filosofa, dela que se ha dicho con

frecuencia que alcanz

identidad como disciplina

gracias a sus trabajos.

Durante su juventud luch

como soldado en las

guerras del Peloponeso delas cuales Atenas sali

derrotada, y el poder y la

economa que ostentaba

sobre el mundo griego

cay en las manos de

Esparta. Entre sus obras

ms importantes secuentan los dilogos La

Euclides asigna a

Platn las

siguientescontribuciones:

1. El mtodo

analtico (mtodo

de

demostracin).

2. Una

solucin de la

ecuacin

pitagrica.

3. El

problema de laduplicacin del

cubo (dudosa).

http://es.wikipedia.org/wiki/Fil?sofo_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil?sofo_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/S?crateshttp://es.wikipedia.org/wiki/Arist?teleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_filosof?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Guerras_del_Peloponesohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Di?logo_(g?nero)&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil?sofo_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil?sofo_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/S?crateshttp://es.wikipedia.org/wiki/Arist?teleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_filosof?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Guerras_del_Peloponesohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Di?logo_(g?nero)&action=edit

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La cosmologa

platnica

influenciada de

pitagorismo, comopresenta en el

Tineo, se

fundamenta sobre

las proporciones,

los polgonos y los

poliedros regulares

(slidos

geomtricos).

Los poliedros eran

conocidos como

cuerpos

platnicos.

Con el desarrollo de

su pensamiento

contribuyeron a

diferenciar el campo

abstracto de los

nmero y la

aplicacin

concreta de ellos.

Repblica, en la cual

elabora la filosofa poltica

de un estado ideal; el

Fedro, en el que desarrolla

una compleja e influyente

teora psicolgica; el

Timeo, un influyente

ensayo de cosmologa

racional influida por las

matemticas pitagricas;

y el Teeteto, el primer

estudio conocido sobre

filosofa de la ciencia.

Fue fundador de la

Academia de Atenas,

donde estudi Aristteles.

Particip extensivamente

en la enseanza en la

Academia y escribi sobre

muy diversos temas

filosficos, especialmente

los que trataban de la

poltica, tica, metafsica

y epistemologa. Las

obras ms famosas de

Platn fueron sus

dilogos. Si bien varios

epigramas y cartas

tambin han sobrevivido.

Se cree que todos los

dilogos de Platn que se

conocen son autnticos.

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Grfico 10. Mtodo analtico de Platn

Escuela de Cicico

Mximo representante Aportes Naci en Cicico alrededor

del ao 408 a.C. y muri

en la misma ciudad por el

ao 355 a.C. Fue

Astrnomo, gemetra y

legislador.

A lo largo de su vida viajo

mucho, esto lo ayudo a

consolidar sus

conocimientos de ese

momento

Su vida la disfrut entre

la ciencia y la legislatura.

Teora de

Proporcionalidad

El mtodo de

exhaucin

(equivalente al

clculo integral)


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Segn Proclo, Eudoxo fue

discpulo de Platn, y que

luego se retir a fundar

su propia escuela enCicico.

Las cantidades

inconmensurables fueron

aceptas en Grecia gracias

a Eudoxo.

Teora de proporcionalidad

Dos magnitudes tienen razn mutua cuando se puede encontrar un

mltiplo de la menor que excede a la mayor

Se dice que la razn de una primera magnitud con una segunda es la

misma que la de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier

mltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda,

segn que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta


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Mtodo de Exhaucin

Es un mtodo de demostracin equivalente a una doble reduccin al

absurdo, segn el cual para demostrar que una cantidad A es igual a una

cantidad B o que una figura A es equivalente a una figura B, basta probar

que A no puede ser ni mayor ni menor que B.

Se fundamenta as el axioma de Eudoxo

Los tres problemas clsicos

La cuadratura del crculo.

La duplicacin del cubo.

Triseccin de un ngulo.

La solucin slo con regla y comps, tuvo que pasar ms de 2200

aos para demostrar que eran insolubles utilizando nicamente regla y

comps.


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La escuela de Alejandra

En esta etapa la matemtica griega se caracteriz por su autonoma

respecto a la filosofa, es la etapa donde se llega a un esplendor mximo.

Se creo muchos centros de investigacin como en Alejandra, Prgamo y

Rodas siendo sus mximos representantes Euclides, Arqumedes y

Apolonio.

Con la muerte de Alejandro se modifica el mbito territorial de Grecia, sin

embargo en el campo cultural se vivi una expansin por oriente de los

conocimientos, esto debido al derrumbe del imperio Persa.

Atenas perdiendo su importancia poltica pierde, a su vez, la supremaca

cultural. A la par surgen otros focos culturales al oriente de Grecia. Uno de

estos focos es Alejandra. En esta etapa las escuelas de filosofa y

medicina se multiplican y las diferentes ciencias como la matemtica,

astronoma, geografa, mecnica cobran independencia y personalidad.

En Alejandra se construyen bibliotecas y museos, siendo la primera una

de las ms reconocidas hasta la actualidad, donde centenares de sabios y

estudiosos ensean, trabajan e investigan. A su vez se levantan

observatorios para estudiar los fenmenos celestes. En este ambiente,

cientficos de Alejandra se vinculan directa e indirectamente, entre ellos

las tres figuras mximas de la matemtica antigua: Euclides, Arqumedes

y Apolonio.

Euclides:

Se presume que naci hacia el ao 300 a.C. y que public numerosas

obras cientficas, destacndose entre ellas los clebres Elementos.

Los Elementos, es un conjunto de libros que sistematiza una parte de los

conocimientos griegos acerca de la geometra. Recopila aportes de


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culturas anteriores a las griegas, como la de Babilonia y Egipto, y sirve

para las posteriores investigaciones en el campo de la matemtica, por

ejemplo sirve para la creacin de una serie de geometras no euclidianas.

De los trece libros que componen Los

Elementos, los seis primeros corresponden a lo

que se entiende como geometra elemental,

donde se recoge las tcnicas geomtricas

utilizadas por los pitagricos para resolver

problemas referidos a ecuaciones lineales y

cuadrticas, e incluyen tambin la teora

general de las proporciones, atribuida a Eudoxo.

Los libros del sptimo al dcimo tratan de

cuestiones numricas (Teora de Nmeros) y los

tres restantes se ocupan de la geometra de los

slidos, hasta culminar en la construccin de los

cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que haba sido ya

objeto de estudio de Teeteto.

En Los Elementos se hace un estudio deductivo cientfico de los

conocimientos matemticos, los principios que se toman como punto de

partida son veintitrs definiciones (llamados trminos), cinco postulados y

cinco axiomas (llamados nociones comunes).

Los axiomas de Euclides:

Por cualquier punto se puede trazar una recta que pasa por otro

punto cualquiera.

Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma

direccin.

Con un centro dado y un radio dado se puede trazar un crculo.

Todos los ngulos rectos son iguales entre s.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ngulos internos de un

mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas

indefinidamente se cortan del lado con que estn los ngulosmenores que dos rectos.


Grfico 11. Los Elementos

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Los dos primeros postulados establecen la existencia de la recta

determinada por dos puntos.

El tercer postulado establece la existencia y la unicidad de unacircunferencia dado su centro y su radio.

Los primeros cuatro postulados admiten la existencia de rectas y

circunferencias.

El quinto postulado fija las condiciones para que dos rectas determinen un

punto, cuya unicidad queda asegurada por el postulado ya citado.

Se observa que para los griegos la geometra estaba constituida

esencialmente por el punto, la recta y la circunferencia.

Contenido de Los Elementos

Citamos algunos ejemplos

En el libro II se encuentran las primeras 10 proporciones de lgebra

geomtrica y traducen geomtricamente las propiedades algebraicas

elementales de las sumas y productos. En notacin actual sera:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]2222

22

22

22

222

22

2

222

2

22

222

4

2

2

22

2

........

baabba

bbaba

ba

abababa

babaaba

baabba

bab

baab

abbaba

abaaba

mcmbmacbam

++=++

++

+=+

++=++

++=++

+=++

+=

++

++=+

+=+

+++=+++

En el libro VIII se exponen propiedades de las proporciones continuas y de

las progresiones geomtricas y continan en el libro IX, donde figuran

teoremas importantes de la aritmtica de Los Elementos.


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La serie de los nmeros primos es limitado.

Suma de los trminos de una progresin geomtrica en la siguiente

forma:

12

111321 ...

aaaaaaaaa nn =++++

Que en la actualidad sera

1

1...1 12

=++++ q

qqqq

nn

En el libro XII (sobre geometra del espacio) incluye los teoremas que

exige el Mtodo de Exhaucin para su demostracin. Son las cuatro

siguientes: Una pirmide es equivalente a la tercera parte de un prisma de igual

base y altura.

Dos crculos estn entre s como los cuadrados construidos sobres

sus respectivos dimetros.

Un cono es equivalente a la tercera parte de un cilindro de igual

base y altura.

Dos esferas estn entre s como los cubos construidos sobre susrespectivos dimetros.

Arqumedes

Naci alrededor del ao 289 a.C. en Siracusa (la parte sur de Sicilia), hijo

del astrnomo y matemtico Fidias. De su padre aprendi cuestiones de

ciencia, ms adelante trabajando en Alejandra obtiene perfeccionamiento

en sus conocimientos en colaboracin con otros grandes matemticos.Sus inventos gozaban de admiracin, por ejemplo aquello que facilit agua

a ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba agua durante las

inundaciones. En la ltima etapa de su vida particip en al defensa de sus

ciudad natal de los invasores romanos, confeccionando mquinas para la

defensa e inventando armas.


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Durante el ataque y toma de Siracusa en 212 a.C., Arqumedes fue

asesinado y su biblioteca e instrumentos saqueados. A raz de ese hecho

se cuenta la historia acerca de su asesinato:

un grupo de soldados romanos irrumpi en la casa de Arqumedes

al que encontraron concentrado e inmutable trazando en la arena

complicadas figuras geomtricas no toques mis crculos exclamo

Arqumedes cuando uno de los soldados pis sobre sus figuras. En

respuesta, el soldado traspas con su espada el cuerpo del anciano

Arqumedes.

Las obras de Arqumedes fueron escritos fundamentalmente en cartas.

Hasta nosotros han llegado diez obras grandes y algunas ms pequeas

de carcter matemtico. La caracterstica fundamental de sus obras

matemticas son aplicaciones de mtodos matemticos rigurosos en al

mecnica y la fsica.

Numerosos inventos y descubrimientos mecnicos de Arqumedes son

ampliamente conocidos como:

El tornillo sin fin.

Los sistemas de palancas.

Bloques y tronillos para el levantamiento y movimiento de grandes

pesas

Tratados tericos como:

Sobre el equilibrio de las figuras planas.

Sobre los cuerpos que flotan.

El libro de los soportes.Una de sus hazaas matemticas fue demostrar que, dando un crculo y la

esfera en l inscrito, que las superficies as como los volmenes de esos

dos slidos estn en la misma proporcin que la razn simple de 3:2.

Apolunio de Perga

Apolonio naci en Prgamo alrededor del ao 202 a.C. y falleci el 190

a.C. Estudi en Alejandra siguiendo la tradicin de Euclides y escribiocho libros, de los cuales lo primeros cuatro abarcan la Teora General de


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las Cnicas y sus propiedades ms importantes, son los nicos

sobrevivientes del texto original. En cambio los otros cuatro se refieren a

propiedades especiales y pueden considerarse como monografas-

En sus obras sobre las cnicas introduce el nombre de parbola, hiprbola

y elipse a las secciones del cono. Tambin se le atribuye la invencin del

reloj solar y es uno de los precursores de los descubrimientos

astronmicos.

Adems de las cnicas, su obra mxima, se le atribuye otros escritos

cientficos de los que se tiene noticia a travs de los comentarios y

posteriores, en especial a Pappus.

Otros escritos de Apolunio (coleccin de problemas)

Sobre las secciones de razn.

Sobre las secciones determinadas.

Sobre las secciones del espacio.

Problemas relacionados con lugares geomtricos.

Los griegos clasificaban los lugares geomtricos en tres tipos:Lugares planos Rectas y circunferencias.

Lugares slidos Slidos.

Lugares lineales Cnicas y otras lneas.

El atribuido a Apolunio fue el de lugares planos y otro denominado de De

Las Inclinaciones (estudiaba los problemas de insercin) y Sobre Los

Contactos (estudiaba numerosos casos particulares de un problema

generalizado, que se conoce actualmente con el nombre de Problema deApolunio y que consiste en encontrar una circunferencia tangente a tres

circunferencias dadas.

Por ltimo, se le atribuye, tambin, los escritos sobre Los Elementos de

Euclides, esto sobre los poliedros regulares, sobre la cuadratura del

crculo, sobre un sistema de numeracin, y una solucin del problema de

Dlos (o problema de la duplicacin del cubo).


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Tolomeo:

Naci alrededor de 85 d. C. en Egipto y muri alrededor de 165 d. C. en

Alejandra, Egipto.

Vivi y trabaj en Alejandra, Egipto (se cree que en la famosa Biblioteca

de Alejandra). Fue astrlogo y astrnomo, actividades que en esa poca

estaban ntimamente ligadas. Es autor del tratado astronmico conocido

como Almagesto (El gran tratado). Se preserv, como todos los tratados

griegos clsicos de ciencia, en manuscritos rabes (de ah su nombre) y

slo disponible en la traduccin en latn de Gerardo de Cremona en el siglo

XII.

Heredero de la concepcin del Universo dada por Platn y Aristteles, su

mtodo de trabajo difiri notablemente del de stos, pues mientras Platn

y Aristteles dan una cosmovisin del Universo, Ptolomeo es un empirista.

Su trabajo consisti en estudiar la gran cantidad de datos existentes sobre

el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo

geomtrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de

predecir sus posiciones futuras.

La ciencia griega tena dos posibilidades en su intento de explicar la

naturaleza: la explicacin realista, que consistira en expresar de forma

rigurosa y racional lo que realmente se da en la naturaleza; y la

explicacin positivista, que consistira en expresar de forma racional lo

aparente, sin preocuparse de la relacin entre lo que se ve y lo que en

realidad es. Ptolomeo afirma explcitamente que su sistema no pretende

descubrir la realidad, siendo slo un mtodo de clculo. Es lgico que

adoptara un esquema positivista, pues su Teora geocntrica se opone

flagrantemente a la fsica aristotlica: por ejemplo, las rbitas de su

sistema son excntricas, en contraposicin a las circulares y perfectas de

Platn y Aristteles.

Ptolomeo catalog muchas estrellas, asignndoles un brillo y magnitud,

estableci normas para predecir los eclipses.

Su aportacin fundamental fue su modelo del universo: crea que laTierra

estaba inmvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los

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planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante

la tcnica del epiciclo-deferente, cuya invencin se atribuye a Apolonio,

trat de resolver con bastante xito los dos grandes problemas del

movimiento planetario:

1.- la retrogradacin de los planetas y su aumento de brillo, mientras

retrogradan.

2.- la distinta duracin de las revoluciones siderales.

Sus teoras astronmicas influyeron en el pensamiento astrnomo y

matemtico cientfico hasta el siglo XVI.

Aplic sus estudios de trigonometra a la construccin de astrolabios y

relojes de sol. Y tambin aplic el estudio de la astronoma al de la

astrologa, creando los horscopos. Todas estas teoras y estudios estn

escritos en su obra Tetrabiblon.

Fue tambin un buen ptico y gegrafo. En el campo de la ptica explor

las propiedades de la luz, sobre todo de la refraccin y la reflexin. Su

obra ptica es un buen tratado sobre la teora matemtica de las

propiedades de la luz. Otra gran obra suya es la Geografa, en que

describe el mundo de su poca. Utiliza un sistema de latitud y longitud por

lo que sirvi de ejemplo a los cartgrafos durante muchos aos. Una de

las ciudades descrita en esta obra es La Meca, en la Pennsula Arbiga, a

la que llama Makoraba.

El mundo de la msica tampoco fue ignorado por Ptolomeo. Escribi un

tratado de teora musical llamado Harmnicos. Pensaba que las leyes

matemticas subyacan tanto los sistemas musicales como en los cuerpos

celestes, y que ciertos modos y aun ciertas notas correspondan a

planetas especficos, las distancias entre estos y sus movimientos. La idea

haba sido propuesta por Platn en el mito de la msica de las esferas, que

es la msica no escuchada producida por la revolucin de los planetas.

Actualmente la NASA ha comprobado que el sol produce un sonido, no

audible por el odo humano, ya que su frecuencia es muy alta.

http://es.wikipedia.org/wiki/Epiciclohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Deferente&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_P?rgamohttp://es.wikipedia.org/wiki/Retrogradaci?n_de_los_planetashttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astrolabiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reloj_de_solhttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astrolog?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Hor?scopohttp://es.wikipedia.org/wiki/?pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/?pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/La_Mecahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pen?nsula_Ar?bigahttp://es.wikipedia.org/wiki/M?sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plat?nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Epiciclohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Deferente&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_P?rgamohttp://es.wikipedia.org/wiki/Retrogradaci?n_de_los_planetashttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astrolabiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Reloj_de_solhttp://es.wikipedia.org/wiki/Astronom?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Astrolog?ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Hor?scopohttp://es.wikipedia.org/wiki/?pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/?pticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Luzhttp://es.wikipedia.org/wiki/La_Mecahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pen?nsula_Ar?bigahttp://es.wikipedia.org/wiki/M?sicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plat?n

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