125098611-EJERCICIOS-Capitulo-4-Teoria-electromagnetica-septima-edicion-de-Hayt.docx

7/26/2019 125098611-EJERCICIOS-Capitulo-4-Teoria-electromagnetica-septima-edicion-de-Hayt.docx

1/55

Ejercicio 4.1

El valor de E en P(=2,=40 , z=3) esta dado por

E=100 a200a+300az V/m .

Determinar el trabajo incremental requerido para mover una carga de

20uC una distancia de6um.

a) En la direccin dea

b) En la direccin dea

c) En la direccin deaz

d) En la direccin de E

e) En la direccin de

G=2ax3ay+4az

Solucin

E=100 a200a+300az V/m

Q = 20uC = 20106

C

a. dW=Q Ed L

d L=da=6106

a

dW=Q Ed L=(20106C)(100a200a+300az) (6106 a)

dW=(20106C)(100a)(6106

a )=12109=12nJ Rta.

b. dW=Q Ed L

d L= da=2da=6106

a

dW=Q Ed L=(20106

C)(100 a200a+300az ) (6106

a)dW=(20106C)(200a)(610

6a )=2410

9=24nJ Rta.

c. dW=Q Ed L


2/55

d L=dz az=6106

az

dW=Q Ed L=(20106 C)(100 a200a+300az ) (6106 az )

dW=(20106C)(300az)(6106 a

)=36109=36nJ Rta.

d. dW=Q Ed L

d L=6106 aE

aE=100a200a+300az

1002+(2002 )+3002=

100a200a+300az374.1657

=0.267a0.5345a+0.8017 az

d L=6106 aE=6106 (0.267a0.5345a+0.8017az )

d L=(

1.602a

3.207a+4.8102a

z )10

6

dW=Q Ed L

dW=(20106C)(100a200a+300az ) ( (1.602a3.207a+4.8102az )106 )

dW=(0.002a+0.004 a0.006 az ) ((1.602a3.207a+4.8102az)106 )

dW=(0.002a1.602a )+(0.004a3.207a )+ (0.006az4.8102az )=44.8932109=

Rta.

e. dW=Q Ed L

d L=6106 aG

aG=2ax3ay+4az

22+(32 )+42=

2ax3ay+4 az5.38

=0.371ax0.557ay+0.7427az

d L=6106 aG=6106 (0.371ax0.557 ay+0.7427az )

d L=(2.226ax3.342ay+4.4562az )106

dW=Q Ed L

dW=(20106C)(100a200a+300az ) ( (2.226ax3.342ay+4.4562az )106 )

dW=(0.002a+0.004 a0.006 az ) ((2.226 ax3.342ay+4.4562az)106 )

dW=(0.002a 2.226ax106 )+(0.002a 3.342ay10

6 )+(0.002a 4.4562az106 )+(0


3/55

a ax=cosa ay=sena az=0

a ax=sena ay=cosa az=0

az ax=0 az ay=0az az=1

dW=(0.0022.226106cos40 )+(0.0023.342106sen 40 )+0+ (0.0042.226106

dW=(3.41109 )+(4.29109 )+(5.72109 )+(10.24109 )+(26.7372109)=41.8172

Rta.

4.2) Un campo elctrico esta dado por

E=10ey(sen 2z ax+x sen2zay+2x cos2zaz) !m. encontrar"

a) Encontrar E en P(5,0,/12)

E=10ey(sen 2z ax+x sen2zay+2x cos2zaz)

E=10e0(sen 2(/12)ax+5 sen2(/12)ay+2(5)cos2(/12)az)

E=5ax25ay503az

b) Cunto trabajo se realia en !o"er una car#a de 2nC a una distanciaincre!ental de 1!! desde P en la direcci$n de

ax %

dW=QEdL

d Wx=QEdLax

d Wx=2109 (5 )(1103 )

d Wx=101012=10pJ

c) En la direcci$nay

dW=QEdL


4/55

d Wy=QEdLay

d Wy=2109 (25 )(1103 )

d Wy=501012=50pJ

d) En direcci$naz

dW=QEdL

d Wz=QEdLaz

d Wz=2109 (503 )(1103 )

d Wz=173.21012=173.2pJ

e) de ( ax+ay+az )%

12+12+12=3 &ector unitario

d Wxyz=QEdLaxyz

d Wy=QEdL(ax+ay+az )

3

d Wxyz=10pJ+50pJ+173.2pJ

3

d Wz=1351012=135pJ

4.3) SiE=120 a V/m, encontrar la cantidad de trabajo incremental realizado para mover una

carga de 50uC una distancia de mm de!

a) "#$,,3) %acia ,$,4)'

dW=QE.aL dL

ClculodeaL :

(Q-P)=(2,1,4)-(1,2,3)=(1,-1,1)


5/55

aL=(1,1,1 )

3

a= 1

3cos

1

3sen

=tan1( 21 )=63.43

a=0.258

dW=(50x 106 )(120 ) (0.258 )(2x103 )=3.09x 106 J

b) ,$,4) %acia "#$,,3)(P-Q)= (1,2,3)- (2,1,4)=(-1,1,-1)

aL=(1,1,1 )

3

a=1

3cos+

1

3sen

=tan1( 12 )=26.56

a=1

3cos+

1

3sen=0.258

dW=(50x 106 )(120 ) (0.258 )(2x103 )=3.09x 106 J

Ejercicio 4.4

Se #a visto que la energ$a necesaria para llevar una carga de 4 C desde

el origen (x ,0,0 ) a lo largo del eje x es directamente proporcional al

cuadrado de la longitud de la tra%ectoria. SiEx=7

Vm en

(1,0,0 ) &

determineEx sobre el eje x como 'uncin de x .


6/55

Solucin"

W=! x2

W=Q0

x

Edx

Ex=Cx

W=QCx

2

2

!=QC

2

W=! x2

(omo la condicin dice que cuando"

x=1Ex=7

Ex=Cx

7=C(1 )

C=7

Ex=7xVm

4.) (alcular el valor de "

P

G . d L para G=2y ax con *+1&,1&2) % -+2&1&2)

utiliando la tra%ectoria" a) segmentos de l$neas rectos entre los puntos


7/55

*+1&,1&2) a /+1&1&2) a -+2&1&2)0 b) segmentos de l$nea rectos entre los

puntos *+1&,1&2) a (+2&,1&2) a -+2&1&2).

Desarrollo

a) 'ene!os los untos

*(1,+1,2)

(1,1,2)

P(2,1,2)

Para calcular "

P

G.d L , analia!os la direcci$n de la co!onente en - desde * a

P, si#uiendo la traectoria desde * a tene!os ue - si#ue una lnea recta no

e-iste un ca!bio, ero del unto a P e-iste una "ariaci$n en -, con 1,

analiando la inte#ral tene!os.

"

P

G.dL

#

P

G.dL

1

2

2ydx

1

2

2dx

2 [21 ]

2

b) 'ene!os los untos

*(1,+1,2)

C(2,+1,2)

P(2,1,2)


8/55

Para calcular "

P

G.d L se#ui!os el !is!o rocedi!iento ue el inciso anterior. a

traectoria desde el unto * a C e-iste una "ariaci$n en -, con un "alor de +1,

a3ora analiando la inte#ral tene!os ue

"

P

G.dL

"

C

G.dL

1

2

2ydx

1

2

2dx

2 [21 ]

,2

4.., Determinar el trabajo realiado en llevar una carga de ,2u( de +2& 1&

,1) a +& 2& ,1) en el campo E3 % ax x ay a lo largo de"

a) la par5bola x=2y2

6esolucin"

x=2y2

y2

=

x2

y=x2


9/55

W=Q"

#

E .dL dL=dx ax+dy ay+dz az

W=2x10

6

[2

8

y dx+1

2

x dy

]W=2x106 [

2

8

(x2 )1

2 dx+1

2

2y2dy ]

W=2x106 [ 232x3 /2| 8

2+2

3y

3|2

1]W=2x106 [( 232 (8)3/ 2 232 (2)3 /2)+ 23[2313 ] ]W=2x106 [(15.11.89 )+ 23[7 ]]W=28uJ !!

b) 7a #iprbolex=

8

(73y)

%3,8

3x 7

3

W=Q"

#

E .dL dL=dx ax+dy ay+dz az

W=2x106 ["

#

(y ax+x ay)(dx ax+dy ay+dz az)]


10/55

W=2x106 [2

8

y dx+1

2

x dy ]

W=2x106

[28

(7

3 8

3x )dx+1

2

( 8

73y )dy

]u=73y du=3dy dy=

du3

W=2x106 [(28

7

3dx

8

32

8

dxx)+81

2

du3u ]

W=2x106 [(73x| 8

28

3

ln(x)|82)83ln (73y)|21]

W=2x106 [(73 (82)83ln ( 82 ))83ln (14 )]

W=2x106

[42

3

11.1

3 +

11.1

3

]W=28uJ !!

c) la l$nea recta x=6y %4

y=x6+2

3

W=Q"

#

E .dL

W=2x106 [2

8

y dx+1

2

x dy ]


11/55

W=2x106 [2

8

(x62

3 )dx+1

2

(6y4 )dy ]

W=2x106

[(x

2

12| 8

2+ 23

x|82)+3y24y|21]

W=2x106 [(8212 22

12 )+ 23 (82 )+3 (2 )23 (1 )24 (21)]W=2x106 [6412 412+ 123 +94]W=28uJ !!

4.8) 4ea G=3x y2ax+2z ay .ado un unto inicial P(2,1,1) un unto 6nal

Q(4,3,1) , encontrar G.dL utiliando la traectoria a) lnea recta

y=x1 , z=1 7b)arbola 6y=x2+2 , z=1 .

a)

G=3x y2 ax+2z ay

y=x1 , z=1

Ree!laando

G=3x (x1 )2ax+2(1)ay

G=3x (x22x+1)ax+2(1)ay

G=(3x36x2+3x)ax+2ay


12/55

G.dL= [ (3x36x2+3x) ax+2ay ] . (axdx+ay dy+az dz )

G.dL=2

4

(3x36x2+3x )dx+1

3

2dy

G.d L=3x4

4|24

6x

3

3|24

+3x

2

2|24

8 2y|13

G.dL=34

(25616 )2 (648 )+3

2(164)+2(31)

G.dL=180112+18+4

G.dL=90

b)

G=3x y2 ax+2z ay

6y=x2+2 , z=1

y=x

2+26

Ree!laando

G=3x (x2+26 )

2

ax+2(1)ay

G=3x (x4+4x2+4

36 )ax+2ay

G= 1

12x (x4+4x2+4 )ax+2ay


13/55

G= 1

12(x5+4x3+4x ) ax+2ay

G.dL=

[

1

12

(x5+4x3+4x )ax+2ay

]. (ax dx+ay dy+az dz )

G.dL= 1122

4

(x5+4x3+4x )dx+1

3

2dy

G.dL= 112 (x

6

6 |24

4x

4

4|24

+4x

2

2|24

) 8 2y|13

G.dL= 112 [(

4096

6 64

6)+(25616 )+2 (164 ) ]+2(31)

G.dL= 112

(672+240+24 )+4

G.dL=82

4. dado E=x ax+y ay encontrar el trabajo necesario para mover una

carga unitaria positiva en un arco circular centrado desde x= a #asta

x=y=a/&2

Tenemos el punto inicial (a ,0,0)

Y el punto fnal (a2 , a2 ,0)

'=a

a& 2

x dx+0

a& 2

y dy

'=[[x2

2]aa& 2

+[y22]aa& 2

]


14/55

'=

a2

2

2 +

a2

2+

a2

2

2=

a2

2

4.9 Una densidad de super:cie uni'orme de 2; n(!m2se encuentra en la

super:cie de la es'era de un radio (=0.6 cm en el espacio libre. a)

Encontrar el potencial absoluto en P ((=1cm,)=25 ,=50 ) . b) Encontrar

V"# dados los puntos "((=2cm,)=30 ,=60 ) % # ((=3cm,)=45 ,=90 )

a) Pri!ero encontra!os el 9ujo el:ctrico de una es;era de radio (=0.6 .

*=+s d =- d

*==0

=2

)=0

)=

- (2sin)d)d

*=- 4 (2

*=4(20109 ) (0.6102 )2=Q


15/55

b) os "alores de otencialV"# se ueden encontrar localiando las distancia

de(" (# radial!ente

V"#= Q4 0(1("1(#)=

4 (20109

) (0.6102

)

2

4 0 ( 1

2102 1

3102 )

V"#=1.36V

4.$0 (prese el campo de potencial de una carga lineal *inita

a) Con referencia cero enp=p

0

V=

pl20p

dp+C1=pl2 0

ln (p )+C1=0

p=p0

pl2 0

ln (p0 )=C1

V= pl

20ln (p0 )

pl

20ln (p)

V= pl20

[ ln (p0 )ln (p)]

V= pl20[ ln(p0p)]

b) ConV=V0 en p=p0

V=V0=pl2 0

ln (p0 )+C2

V0+ pl2 0

ln (p0 )=C2


16/55

V= pl20[ ln(p0p)]+V0

c) Puede localizarse la referencia cero en el infinito?

o

Por!ue?

o, "or!ue tendr#a$os un "otencial indefinidoln(/p )

4.11. Una densidad de carga de super:cie uni'orme de n(!m2esta

presente en el plano 3;& otra densidad de carga de super:cie uni'orme

de n(! m2esta presente en +1&2&?).

Para la car#a untual tene!os

(=|(0,0,5 )(2,0,0 )|=22+52=29

V(( )= Q4 E0 (

V(( )= 2uC

4 (8.85x1012

)24

V(( )=3358.45V

Para el lano tene!os 0

V(p )= Ps2Eo

dz

5n

2 (8.85x1012

)

dz

5n

2 (8.85x1012 )(z )+C


17/55

5n

2 (8.85x1012 )(5 )+C

V(p )=1420.45+C

Para la suer6cie tene!os -0 =.

=|(0,0,5 )(0,0,4 )|=12=1

V(s )= pL2Eo

ada

8nC/m2

2(8.85x 1012)d

8nC/m2

2(8.85x 1012) 1

d

8nC

m2

2(8.85x 1012)(ln (1 ))+C

V(s)=C

Por lo tantoV=V( s)+V( ( )+V(p )

0=C+3358,451420,45+C

0=1937,99+C

C=1937.99

>a obtenido el "alor de la constante se rocede 3acer el estudio de & en ?(1,2,@)

(=1+22+32=14

=11+11=2


18/55

z=3

Entonces ara calcular &n tene!os

Vn= pL2 Eo

ada Ps2Eo

dz+ Q4 E0 (

8nC

m2

2(8.85x 1012)ln (2 )+C

5n

2 (8.85x1012 )(3 )+C+

2nC

4 (8.85x1012 )14

8nC

m2

2(8.85x 1012)ln (2 )

5n

2 (8.85x 1012)(3 )+

2nC

4 (8.85x1012 )141932.99

8nC

m2

2(8.85x 1012)ln (2 )

5n

2 (8.85x 1012)(3 )+

2uC

4 (8.85x1012 )141932.99

49.86847.46+4806.321932.99

Vn=1976.01V

Ejercicio 4.12

E= 2 (

((2+a2 )2a( V/m en coordenadas es'ricas. Encontrar el potencial en

cualquier punto utiliando la re'erencia a) V=0 en el in:nito0 b) V=0

en (=0 c) V=100 en (=a

4oluci$n

a)

V=0n0c0al

10nal

E .dL


19/55

V=0n0c0al

10nal2 (

( (2+a2 )2a( . ( d( a(+( d )a)+(sen)da)

V=0n0c0al

10nal2 (

((2+a2 )2 d(

u=(2+a2

du=2(

V=0n0c0al

10nal2(

(u )2

du2 (

V=1

u+C

V= 1

(2+a2+C

E"aluando V=0 en ( 2/ ara 3allar C

C=0

V= 1

(2+a2

b)

de la arte (a)

V= 1

(2+a2+C

E"aluando V=0 en (=0 ara 3allar C

0= 1

02+a2

+C


20/55

C=1

a2

V= 1

(

2

+a

2

1

a

2

V= (2

a2 ((2+a2 )

c)

de la arte (a)

V= 1

(2+a2+C

E"aluando V=100 en (=a ara 3allar C

100= 1

a2+a2

+C

C=100 1

2a2

V= 1

(2+a2

+100 1

2a2

V= a

2(2

2a2((2+a2)

+100

4.14., Dado un campo electrost5tico E= (y+1 )ax+(x1 ) ay+2az & encontrar la

di'erencia de @potencial entre los puntos.


21/55

a) +2& ,2& ,1) % +;& ;& ;)

V#"="

#

E .dL

(y+1 ) ax+(x1 ) ay+2az

"

#

(dx ax+dy ay+dz az)

V#"=[ ]

Para resol"er esco#e!os una traectoria a lo lar#o de la cual el !o"i!iento ocurre

en una direcci$n de la coordenada. E!eando al ori#en, ri!ero deslaa!os a lo

lar#o del eje x de 0 a 2, d$nde y 0, lue#o a lo lar#o de y de 0 a 2, d$nde

x es 2, lue#o a lo lar#o de z de 0 a +1. Entonces el arre#lo es

V#"=0

2

(y+1 )|y=0 dx0

2

(x1)|x=2 dy + 0

1

2az dz

x

y

|202

z|10

| 2

0 (x1 )|x=2(y+1 )|y=0V#"=

V#"=(0+1 ) (2 )(21 ) (2 )2(1)

V#"=2

b) +?& 2& ,1) % +,2& ,?& 4)

V#"="

#

E .dL


22/55

V#"=2

3

(y+1 )|y=0 dx3

2

(x1)|x=2 dy + 4

1

2az dz

x

y| 232

z|14

| 32 (x1 )|x=2

(y+1 )|y=0 V#"=

V#"=(1)(5) A +1)+) ,2+,) 3 1;

Ejercicio 4.1

Dos l$neas de cargas uni'ormes de 8nC/m & cada una se localian en

x=1 & z=2 % en x=1 & y=2 en el espacio libre. Si el potencial en el

origen en 1;;& encontrar en P(4.1.3) .

4oluci$n

-ara la primera l$nea de carga

es la distancia de la lnea x=1 , z=2 al unto del ca!o

=|(x , y , z )(1,y ,2)|=(x1)2+(z2)2

Para el ori#en

po

=(x1)2+(z2)2

po=(01)2+(02)2

po=5


23/55

Para el unto P

pP=(x1)2+(z2)2

pP=

(4

1

)

2

+(3

2

)

2

pP=10

Vl1=E .dL

Vl1= pL2 3op

ap .(dp ap)

Vl1=pL2 3o

lnp+C1

4e e"ita calcular la constante C1 restando un otencial a otro

Vl1=8

nC

m

2(8.854x1012)ln (510 )

Vl1=49.83V

-ara la segunda l$nea de carga

es la distancia de la lnea x=1 , y=2 al unto del ca!o

=|(x , y , z )(1,2,z )|=(x+1)2+(y2)2

Para el ori#en

po=(x+1)2+(y2)2

po=(0+1)2+(02)2


24/55

po=5

Para el unto P

pP

=(x+1)2+(y2)2

pP=(4+1)2(12)2

pP=26

Vl2=E .dL

Vl2= pL2 3op

ap .(dp ap)

Vl2=pL2 3o

lnp+C2

4e e"ita calcular la constante C2 restando un otencial a otro

Vl1=8

nCm

2(8.854x1012)ln (526 )

Vl1=118.52V

V0VP=Vl1+Vl2

100VP=49.83V+118.52V

VP=68.35V


25/55

VP=68.35V

=.1A. El otencial en cualuier unto del esacio est dado or la e-resi$n

V=(4

2)cos 5

donde

4 ,ason constantes. a) $nde se encuentra la re;erencia

de otencial cero% b) encontrar la intensidad del ca!o el:ctrico "ectorial en

cualuier unto ( , , z ) .

4B


26/55

E=[(243cos (5))a( 453sen (5 ))a+0az ]E=

4

3[(2cos (5))a+(5sen (5 )) a

]

4.18., Dos densidades de carga de super:cie uni'ormes de % 2n(! m2

est5n presentes en =2 % cm respectivamente en el espacio libre.

Suponer que 3; en =4cm % calcular en"

a) =5cm

En =4cm , &07 el otencial en 5c! ser la di;erencia de otencial entre

=5cm =4cm

V5=E .dL E=+0

+=a s

V5=0.04

0.05 a s0

d

V5=[a s0 ln ()|0.050.04]

V5=[ (0.02m)(6x 109)

8.854x 1012 ln( 0.050.04 )]

V5= + [13.553x 0.22314 ] + @.02=&

5=7 cm


27/55

V7= + 0.04

0.06 a sa0

d + 0.06

0.07 a sa+5 a50

d

V7= +

[a sa0 ln()|

0.06

0.04a sa+5 a50

ln ()|0.07

0.06

]V7= + [(0.02m)(6x10

9)

8.854x 1012 ln( 0.060.04 )

(0.02m )(6x 109 )+(0.06m)(2x109)8.854x 10

12 ln( 0.070.06 )]V7= B,.49? A 4.18C 3 ,9.84

4.$+. (ncontrar el potencia en el origen -ue produce una lnea de carga L=4x /(x2

+a2

) -ue se

etiende a lo largo del eje desdex=a

%asta /

, dondea>0.

Suponer -ue el punto de

re*erencia cero est en el in*inito.

Soluci1n!

d8=Ldx

d-=Ldx/4 0x

V=a

/Ldx4 0x

dx

2a2

x

4 0x

4xdx

V=

a

/


28/55

2a2

x

4dx

V= 44

0

a

/

V= 44 0[ 1atan

1

(xa )]V=

44 0 a [ tan1(xa )]/a

%l in&erso de la tan'ente cuando &ale infinito es2 radse'* cuando el in&erso de la tan'ente &ale 1

es4 radse' %ntonces:

V= 44 0 a [

2

4 ]

V= 4160 a

V= 4160 a

9:a .

4.$2 na super*icie anular de1cm


29/55

(=z . az(;=. a da=.d .d

e$"lazando tene$os los li$ites en la inte'ral tene$os

-=0

2

0.01

0.03 5.nC

m

2.

4 3 o2+z2

d.d

e$"lazandoz=2cm=0,02cm

V=2. .5nC4 3o

0.01

0.03

2

2+0,022d=80,84mV

4.0 na carga "untual & se localiza en el rigen. (presar el potencial en coordenadas

Cartesianas cilndricas utilizar gradiente en estos sistemas de coordenadas para encontrar la

intensidad de Campo el6ctrico. "uede veri*icarse el resultado convirti6ndolos a coordenadas

es*6ricas.

Potencial %n C Cartesianas %n C Cil#ndricas

V= Q

4 3 o(2=

Q

4 3 o (x2+y2+z2 )

1

2

= Q

4 3o (2+z2 )

1

2

E=. V=7V7 x

ax7V7 y

ay7 V7 z

az= Q4 3o [

x ax+y ay+z az

(x2+y2+z2)3

2]Con&erti$os la intensidad de ca$"o a coordenadas %sfricas

x=( . sin) .cosy=(.sen).sinz=(.cos)(=x2+y2+z2

E(=E .a(= Q4 3

o

[

( . sin) .cos . (ax . a()+(.sen).sin. (ay . a( )+(.cos). (az .a ( )

(

3

]E(=

Q4 3o

sin ) .cos . (sin) .cos )+sen).sin . (sen) .sin )+cos) . (cos) )

(2


30/55

E(= Q4 3o[ 1(2 ]= Q4 3o (2

E)=E .a)= Q

4 3o

[( . sin) .cos . (ax .a) )+(.sen).sin. (ay . a) )+(.cos).(az . a) )

(3

]E)=

Q4 3o[ sin) .cos. (cos) .cos )+sen). sin . (cos) .sin ).cos). (sin ) )( 2 ]

E)= Q4 3o

[0 ]=0

E=E .a

=

Q4

3o

[

( . sin) .cos . (ax . a )+(.sen).sin . (ay . a )+(.cos). (az .a )

(

3

]E

=

Q4 3 o

sin) .cos . (sin )+sen).sin. (cos ).cos). (0 )

(2

E=

Q4 3 o

[0 ]=0

%ncontra$os % "ara el caso de coordenadas cil#ndricas:

E=. V=7V7 a7 V7 zaz=Q4 3o [

(xa

x+za

z )(2+z2 )

3

2]= Q4 3o [

(x a

x+z a

z )(2+z2 )

3

2]Con&erti$os % a coordenadas esfricas

E(=E .a(= Q4 3o[

( . sin) . (a . a( )+(cos ) (az. a( )(3 ]= Q4 3 o [sin )

2+cos)2

( 2 ]= Q4 3 o( 2

E)= Q4 3o[

( sin) (a .a) )+( cos) (az . a) )(3 ]

= Q4 3o[

sin) cos)+cos) (sin) )(2 ]

=0

E=

Q4 3 o [

( .sin) (a . a )+( cos) (az . a )(3 ]=0


31/55

.bser&a$os !ue la e/"resi0n de intensidad de ca$"o elctrico da el $is$o resultado al con&ertir a

coordenadas esfricas % en coordenadas Cartesianas * % en coordenadas %sfricas

4.22 Un determinado campo de potencial est5 dado por V=V0((

a )sen) encoordenadas es'ricas. Encontrar la carga total contenida dentro de la

regin (


32/55

4i se considera ue 0

sin)cos) d)=0 sin) cos)|0=0

Q=20 V0 a

2

Q=2 0 V0 a C

4.2?) Se sabe que un potencial esta dado por V=800.6

V . Suponiendo

condiciones en el espacio libre& encontrar"

a) E.

E=V

E=7V

7 a

E=800.60.61=480.4V/m

b) a densidad de car#a "olu!:trica en =0.5m

+=0E

-= +=1

7

7 ( +)

-=1

7

7

(480.4+1)

-=1

7

7 (480.6)


33/55

-=1

(480.60.4)

-=(28.81.4) 0

-=673pC/m3

c) a car#a total dentro de la suer6cie cerrada =0.6,0


34/55

E"aluando |E| en el unto P, tene!os

|E|=C(9(7)4+4(25)2+1)

|E|=C(155.27)

Re!laando el "alor de|E|=50V

m desejando el "alor de C, tene!os

50Vm =C(155.27)

C 0.@22

Bbtenido el "alor de C, re!laa!os enEp

E=(0.322)(3x2 ax+2y ay+1az)

E=(0.322)(147 ax+50ay+az)

E=(47.3ax+16.1ay+0.322az)

a constante C1, es necesaria sola!ente ara ase#urar un otencial de 200& en el

unto P.

EE6((F 4.2

Dentro del cilindro =2,0


35/55

*3ora ode!os encontrar E sabiendo ue

E=V

Para coordenadas cilndricas el #radiente es

E=7V7

a+1

7V7

a+

7 V7 z

Re!laando los "alores en la ;$r!ula tene!os

E= 77

[(100+50 )+150s0n]a1

77

[(100+50 )+150s0n] a

E=(50+150sin ) a150cosa

E=(50+150sin60 ) a150cos60 a

E=179.9a75a V/m29:a

Con l "alor de E ode!os encontrar

+=0E

+=(8.854x1012)(179.9a75a )

+=1.59a0.66anC/m229:a

Para deter!inar " ode!os realiar el si#uiente rocedi!iento

-=+

-=0E

a di"er#encia en coordenadas cilndricas es

-=1

7

7 ( + )+

1

7+

7+

7+z7 z

Re!laando los "alores en la ;$r!ula tene!os


36/55

-=[1 77 (50+150sin)1 77(150cos )]0

-=1

(50+150sin )+1

150 (150sin )

-=1

500

-=442.7pC/m329:a

b) Cunta car#a se encuentra dentro del cilindro%

Para encontrar la car#a ode!os realiar la si#uiente inte#ral

Q=-ol

- d-

Q=0

1

0

2

0

21 500dddz

Q=0

1

0

2

5002

0d dz

Q=0

1

0

2

100

0 d

dz

Q=1000(2)

Q=5.56nC29:a

4.2. Supngase que se tiene un plano conductor imper'ecto de 'orma

cuadrada mu% delgado de 2 m de lado& ubicado en el plano 3; con una

esquina en el origen de tal 'orma que se localice totalmente dentro del

primer cuadrante. El potencial en cualquier punto de la placa esta dado

por V=ex

sen (y ) .

a) Un electrn ingresa a la placa por el punto


37/55

tanto& el electrn se mueve apro


38/55

sen (y )cos (y )

dy=dx

sen (y )

cos (y )

dy= dx

tan (y )dy=x+C

ln (cos (y ))+C=x+C

Por lo tanto la ecuaci$n de la lnea de 9ujo es

x=ln (cos (y ))+C

Bbtenido esto rocede!os a encontrar la en ue arte el electron abandona la

laca

Esto se lo#ra e"aluando en el unto del electron -0, /@

Cuando -0 tendre!os

0=ln(cos ( 3 ))+C

0=0.69+C

C=0.69

Entonces con 07 tene!os

x=ln (cos0 )+0.69

x=0.69

Por tanto tene!os el unto de salida "a a ser or +;.9& ;)

ic3o esto tene!os ue la direcci$n de salida "a a ser or la co!onenteay


39/55

4.28) dos cargas puntuales de 1n( en +;& ;& ;.1) % ,1n( en +;& ;& ,;.1) se

encuentran en el espacio libre.

a) (alcular en - +;.?& ;& ;.4).

VP= Q

1

430|((1|+

Q2

430|(( 2|

VP= 1x10

9

430|((1|

1x 109

430|((2|

((1=(0.3,0,0.4) (0,0,0.1 )=(0.3,0,0.3 )=0.32+0.32=0.424264

((2=(0.3,0,0.4) (0,0,0.1 )= (0.3,0,0.5 )=0.32+0.52=0.583095

VP= Q

430 ( 1

91

1

92 )

VP= 1109

48.8541012( 1

0.424

1

0.583 )

VP=8.9875(0.6420 )=5.77034V

b) calcular |E| en -.

E= Q(((;)

43 0|((;|3

E=1109(0.3ax+0.3az)

430|0.4242|3

1109(0.3 ax+0.5az)

430|0.5830|3

E=35.3064+35.306413.60022.666

E=21.7063ax+12.6395az


40/55

|E|=21.72+12.62=25.118

c) supngase que las dos cargas 'orman un dipolo en el origen& calcular

en -.

V=Qdcos)

430 (2

(=0.32+0.42=0.5

cos)=z(=

0.4

0.5

)=cos10.8=36.8699

V=11090.2cos36.8699

4300.52

=5.752

4.+. tilizar la intensidad de campo el6ctrico del dipolo de la #secci1n 4.7, (cuaci1n 38) para

encontrar la di*erencia de potencial entre los puntos 9a 9b, cada uno de ellos teniendo las mismas

coordenadas r K. :(n -u6 condiciones la respuesta cumple con la ecuaci1n #34) para el potencial

en 9a;

Va5=)a

)5Qd

4 0 (3(2cos)a(+sen)a) )a) (d)

Va5= Qd

4 0 (3

)a

)5

(2cos)a(+sen)a) )a) (d)

Va5= Qd4 0 (3)a

)5

( sen)a) )a)(d)

Va5=Qd4 0 (

2cos)

)5)a


41/55

Va5=Qd

4 0 (2(cos) 5cos)a )

Va5= Qd

4 0 (2(cos)acos)5 )

%cuaci0n 34

V=Qdcos)

4 0 (2

i a (el "unto final de la ruta) es 5 (el "lano /*) 6a7o esta condici0n, se obser&a !ue si b8 5, de

traba7o "ositi&o se realiza cuando se $ue&e (contra el ca$"o) "ara el "lano /*, * si b 9 5, traba7o

ne'ati&o se ace *a !ue se $ue&en con el ca$"o

4.29 Un dipolo tiene un momentop=3ax5ay+10az nCm % se localia en

Q (1 ,2 ,4 ) en el espacio libre. Encontrar V en P (2 ,3 ,4 )

El otencial utilindola el !o!ento biolar es

V= 1

4 0|((;|

2p

(( ;

|(( ;|

onde

(=2ax3ay+4az

(;=ax2ay4 az

(( ;=(21 ) ax+(32 ) ay+(4+4 ) az

((;

=ax+ay+8az

|(( ;|=1+1+82=66

((;

|((;|=(ax+ay+8az )

1

66


42/55

V= 1

4 0(66 )

(3 ax5ay+10az)109

(ax+ay+8 az ) 1

66

V= 1

4 0(66 )(310

9

66

5109

66+8010

9

66 )V=1.31V

Ejercicio 4.?;

Un dipolo para el quep=100 azC m se ubica en el origen I(u5l es la

ecuacin de la super:cie en la queEz=0pe(o E =0 J

E= Qd

40 (3(2cos) a(+sen)a))

p=Qd

E= p

40 (3(2cos) a(+sen)a))

E=10 0az40 (

3(2cos) a(+sen)a))

E= 10

4 (3(2cos)a( az+sen)a) az)

a( az=cos)a) az=sen)

E=

10

4 (3 (2cos)cos)sen) sen))

E= 10

4 (3(2cos2 )sen2))


43/55

Por lo ue obser"a!os ue ser 0 cuando 2cos2)sen2 )=0

uald ad an:e(0o( 3cos2)=1

cos2)=13

2)=cos1(1

3)=109.47

)=54.7

Bbser"a!os ue cos2)=cos (2(180)))

)1=180)=18054.7=125.3

a ecuaci$n de la suer6cie en la ueEz=0 nos dar.

Ez= 10

4 (3(2cos2)sen2) )= 10

4 (3(12(1+3cos2) ))


44/55

Ez1= 10

4 (3 ( 12 (1+3cos109.4 ))=0

Ez2= 10

4 (3

(

1

2

(1+3cos250.6 )

)=0

4.3$. n campo de potencial en el espacio libre se epresa como V


45/55

WE=1

23

01

2

1

2

1

2

400( 1x 4y2z2ax+ 1

x2y

4z

2ay+

1

x2y

2z

4az)dxdydz

WE=

200 30

1

2

1

2

1

2

( 1

x4y2z2a

x+

1

x2y4z2a

y+

1

x2y2z4a

z

)dxdydz

WE=200 301

2

1

2

(13 1x3y2z2ax 1

x y4z

2ay

1

x y2z

4az)21dydz

WE=200 301

2

1

2

(13( 18y2z2 1y2z2 )ax( 12y4z2 1y4z2 )ay( 12y2z4 1y2z4 )az)dydz

WE=200 301

2

1

2

(1

3( 78y2z2 )ax+( 1

2y4z

2 )ay+( 12y2z4 )az)dydz

WE=200 301

2

( 724(1y z2 )+((13 ) 12y3z2 )+( 12y z4 ))21dz

WE=200 301

2

(

7

24(12z2+ 1

y z2 )+(( 16 )( 18z21z2 ))+(12z4+ 1y z 4 )

)dz

WE=200 301

2

( 748 (1z2 )+( 748 )(1z2 )+ 14 ( 1z4 ))dz

WE=200 30[( 748 (1z)+( 748 )(1z)+ 14 ((13) 1z3 ))]21WE=200 30[(

7

48 (12 +1)+( 748 )(12 +1)+ 14 ((13)( 181)))]WE=200 30[( 796 + 796+ 796 )]


46/55

WE=200 30 (3 )[ 796 ]

WE=200 (8.854 (10 )12)(3 )

[

7

96

]WE=387pJ

b) C(1;,1;,1;)

WE=1

2 V?L

30E2

d-

WE=1

23

01

2

1

2

1

2

400( 11.541.521.52ax+ 1

1.521.5

41.5

2ay+

1

1.521.5

21.5

4az)dxdydz

WE=200 301

2

1

2

( x1.541.521.52 ax+ x

1.521.5

41.5

2ay+

x

1.521.5

21.5

4az)21dydz

WE=200 301

2

1

2

( (21 )1.541.521.52 ax+ (21 )

1.521.5

41.5

2ay+

(21 )

1.521.5

21.5

4az)dydz

WE=200 301

2

( y1.541.521.52 )2

1dz

WE=200 301

2

( 11.54 1.521.52 )dz

WE=200 30( 11.541.521.52 )

WE=207pJ


47/55

4.?2 a) Utiliando la ecuacin +?)& encontrar la energ$a almacenada en el

campo dipolar en la regin rLa. b) I-or qu no es posible que a se

apro


48/55

4

3(cos3 ) )

0+4

3

(sin3 ) )

02

3

(1 )(23 (1 ))

4

3 (11 )+4

3(0 )+2

3 +

2

3

8

3+4

3

4

We= (Qd )2

48 0 a3(4)

We= (Qd )2

120a3J

b) * artir del resultado anterior, una sin#ularidad en la ener#a se roduce cuando

a F 0. Gs i!ortante, ano uede ser de!asiado eueHa, o el ca!o lejano

ori#inal utiliada ara deri"ar la ecuaci$n (@A) (aII d) no se !antendr, as lae-resi$n de ca!o no ser "lida.

=.@@)


49/55

+=5 uC

4 (2a(

5

WE=1

2-ol

.

+. E d-

En donde

E= Q

40 (2a(

E= 5uC40 (

2a(

WE=1

2-ol

.

(5 uC4 (2a().( 5uC

40(2

a()d-

d-=( 2sin)d(d)d

WE=1

20

2

0

0.04

/

[ (5uC)2

16 20(

4 ](2 sin )d(d)d

WE=1

2(2) (cos) )|0

[(5uC)2

1620 ]0.04

/

[ 1(2 ]d(

WE=1

2 (2)(2)[(5uC)2

1620 ](

1

()|0.04/

WE=[(5uC)2

8 0](1/ + 10.04 )


50/55

WE=0.112345(0+ 10.04 )

WE=2.81J

c

WE=Q

2

2C

C= Q

2

2WE

C= (5uC)2

2(2.81 J)

C=4.45p@

4.?4 Una es'era de radio a contiene una densidad uni'orme de carga

volumtrica de o C/m3

. Encontrar la energ$a total almacenada aplicando

a) la ecuacin +4?)0 b) la ecuacin +4)

Solucin.

E=+0

+=Q"=

4 /30 (3

4 (2

Donde"

-ara (a=(

+=4 /30 (

3

4 (2 =

( 03


51/55

E=( 030

-ara (>a 2 ( enlaca(>a=a

+=4 /30 a

3

4 (2 =

0 a3

3 (2

E=0 a

3

30 (2

a) Ecuaci$n =@

WE=12-ol

- V d-

V=#

"

E dL

-ara (a

V=/

a0 a

3

3 0 (2d(


52/55

V=0 a

3

30

/

a1

(2d(

V=0 a

3

30

[1

(]/

a

V=0 a

2

30

V:=0 a

2

3 0

06((2a2)

V:= 060

(3a2(2)

2WE=1

20

2

0

0

a

(- ) 06 0

(3a2(2)(2 sen)d( d) d

WE=0

2(2)(4 )12

0

0

a

(3a2(2)(2 d(

WE=4 0

2

12 00

a

(3 a2(2(4)d(

WE=4 0

2

12 0 [a2(3(5

5]0a

WE= 0

2

3 0 [a5a5

5]0a

WE= 0

2

3 0 [a5a5

5]0a


53/55

WE=4 0

2a5

150

a) Ecuaci$n =5

WE=1

2-ol

0E2d-

-ara (a

2WE2=1

20

2

0

0

/

( 0 )( 0 a3

3 0 (2 )

2

(2 sen)d( d)d

WE2= 1

180

2

0

0

/0

2a

6

0 (2sen) d( d) d

WE2=0

2(2)(2 )180 [

1(]0

/

=0

2 (4 ) a5

18 0


54/55

WEA=WE1+WE2=0

2 (4 ) a5

180

02 (4 ) a5

180(5)

WEA=4 0

2a5

150

4.35 Cuatro cargas puntuales de 0.+ nC se ubican en el espacio libre en las es-uinas de un

cuadrado de 4cm de lado.

a) (ncontrar la energa potencial total almacenada.

WE=1

2n=1

4

8nVn

V41=0.04 2

V1=V21+V31+V41= 8

2 0

[ 1

0.04

+ 1

0.04

+ 1

0.04 2 ]V1=V21+V31+V41=

8 nC

2 0[ 1

0.04+

1

0.04+

1

0.04 2 ]Co$o tene$os 4 car'as:

WE=1

2(Q1V1+Q2V2+Q3 V3+Q4 V4)

Q1V1=Q 2V2=Q3 V3=Q4V4

WE=1

2(4 ) QV1=

(8nC)2

2 0[ 1

0.04+

1

0.04+

1

0.04 2 ]WE1=7.7910

7J=0.779uJ


55/55

b) a distancia de la !uinta car'a a Q1=Q2=Q3=Q4=0.042/2

B WE2=4 (8nC)2

4 00.042/2=0.013uJ

WEWE1+WE2

WE=0.779uJ+0.813uJ=1.59uJ

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