127669538 Solucionario Vallejo 1

8/14/2019 127669538 Solucionario Vallejo 1

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HENRY ALVARADOhttp://todoepn.blogspot.com



Introducción

La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio,superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios propuestos por el libro “FISICA VECTORIAL 1” de los autores Vallejo-Zambrano.

No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el caminode la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide alestudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y físicavectorial.

Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a laobra expuesta.

Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad delrazonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sinembargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán bienvenidas a las siguientes direcciones: www.facebook.com/todoepn [email protected]

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ÍNDICE

EJERCICIO Nº 3 .................................................................................................................................... 4

EJERCICIO Nº 4 .................................................................................................................................. 16

EJERCICIO Nº5 ................................................................................................................................... 38

EJERCICIO Nº6 ................................................................................................................................... 59

EJERCICIO Nº 7 .................................................................................................................................. 66

EJERCICIO Nº8 ................................................................................................................................... 81

EJERCICIO Nº 9 ................................................................................................................................ 112

EJERCICIO Nº10 ............................................................................................................................... 118

EJERCICIO Nº11 ............................................................................................................................... 127

EJERCICIO Nº12 ............................................................................................................................... 133

EJERCICIO Nº13 ............................................................................................................................... 140

EJERCICIO Nº14 ............................................................................................................................... 169

EJERCICIO Nº 15 .............................................................................................................................. 176



EJERCICIO Nº 31. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:

a) m j20i15A

SOLUCIÓN:

A = 15, -20 m

b) B = 130N,125º

SOLUCIÓN:

x

x

x

B = B cos

B =130 Ncos125º

B = -74,56 N

y

y

y

B = B sen

B =130 Nsen125º

B =106,49N

x yB = B , B

B = -74,56;106,49 N

c) C = 37cm, N37º E



x

x

x

B = B sen

B = 37cmsen 37º

B = 22,27cm

y

y

y

B = B cos

B = 37cmcos37º

B = 29,55cm

x yB = B , B

B = 22,27; 29,55 cm

d) D = 25kgf -0,6 i-0,8 j

SOLUCIÓN:

D = 25kgf -0,6 i-0,8 j

D = -15 i-20 j kgf

D = -15, - 20 kgf

2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:

a) A = -14 i+8 j m

SOLUCIÓN:

2 2A = 14 + 8

A =16,12m 1

8tan

14

8tan14

29,74º

180º

180º 29,74150,26º

A = 16,12m;150,26º

b) B= 87,91 N

SOLUCIÓN:

2 2B = 87 + 91

B = 125,90N 1

91tan

87

91tan

87

46,29º

B = 125,90N; 46,29º



c) C = 45kgf 0,707 i-0,707 j

SOLUCIÓN:

1

1

1

1

0,707tan0,707

0,707tan

0,707

45º

1270º

270º 45º

315º

C = 45kgf;315º

d) D= 22N,S28ºO

SOLUCIÓN:

270º

270º 28º

242º

D = 22N, 242º

3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores:

a) A = 52,-25 N

SOLUCIÓN:

2 2A = 52 + 25

A = 57,7 N

1

52tan

25

52tan

25

64,32º

A = 57,7 N; S64,32º E

b) B = 47 N, 245º

270º 245º

25º

B= 47N,S25ºO



SOLUCIÓN:

c) C = -32 im+ 21 jm

SOLUCIÓN:

2 2C = 32 +21

C = 38,28m

1

32tan

21

32tan

21

56,73º

C = 38,28m; N56,73O

d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j

SOLUCIÓN:

1

0,5tan

0,866

0,5tan

0,866

30º

D = 35cm; N30ºE

4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores:

a) A = 44m,340º

SOLUCIÓN:

x

x

x

A = A cos

A = 44mcos340º

A = 41,35m

y

y

y

A = A sen

A = 44msen340º

A = 15,05m

A = 41,35 i-15,05 j m



A

A

A

A=

A

41,35 i-15,05 j m=

44m

= 0,94 i 0,34 j

A = 44m 0,94 i-0,34 j

b) B= 25km,S14ºO

SOLUCIÓN:

270º 14º

284º

x

x

x

B = B cos

B = 25kmcos 284º

B = 6,05km

y

y

y

B = A sen

B = 25kmsen 284º

B = 24,26km

A = 6,05 i-24,26 j km

B

B

B

B=

B

6,05i-24,26 j km=

25km

= 0,24 i 0,97 j

B = 25km 0,242i-0,97 j

c) C = -21, 45 N

SOLUCIÓN:

2 2C 21 45

C 49,66º N



C

C

C

C

C

-21i+ 45 j N

49,66N

-0, 42 i+0,90 j

C 49,66N -0,42 i+ 0,90 j

d) D = 17 i+9 j kgf

SOLUCIÓN:

2 2D = 17 9

D =19,24kgf

D

D

D

D

D

17 i+9 j kgf

19,24kgf

0,88i+0,47 j

D 19,24kgf 0,88i+0,47 j

5. Expresar el vector R = -13,-27 m en:

a) Coordenadas polares b) Función de los vectores basec) Coordenadas geográficasd) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:

R = -13,-27 m

a)



2 2R = 13 +27

R = 29,97m

1

1

1

1

27tan

13

27tan

13

64,29º

64,29º 180º

244,29º

R = 29,97m; 244,29º

b) R = -13 i-27 j m

c) 270º 244,29º

25,71º

R = 29,97m; S25,71º O

d)

R

R

R

R

R

-13i-27 j m

29,97m

-0, 43i- 0,9 j

R = 29,97m -0,43i-0,9 j

6. Expresar el vector V = 200km, 318º en :

a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas rectangularesc) Función de los vectores based) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:

V = 200km, 318º

a) 318º 270º

48º

V = 200km, S48º E



b)

x

x

x

V = V cos318º

V = 200kmcos318º

V =148,63km

y

y

y

V = V sen318º

V = 200kmsen318º

V = -133,83km

V = 148,63; -133,83 km

c) V = 148,63 i-133,83 j km

d)

V

V

V

V

V

148,63 i-133,83 j km

200km

0,743i-0,669 j

V = 200km 0,743i-0,669 j

7. Expresar el vector K = 20N,N47ºO en:

a) Coordenadas polares b) Coordenadas rectangularesc) Función de su modulo y unitariod) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:

a) 90º 47º

137º

K = 20N;137º

b) x

x

x

K = K cos

K = 20Ncos137º

K = -14,63N

y

y

y

K = K sen

K = 20 Nsen137º

K =13,64 N

K = -14,63;13,64 N



c)

K

K

K

K

K

-14,63 i 13,64 j N

20N

0,73i 0,68 j

K 20N 0,73i 0,68 j

d) K = -14,63 i 13,64 j N

8. Expresar el vector L =147cm mi- nj ; Si m = 3 n , en:

a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas polaresc) Coordenadas rectangularesd) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:

L

L

2 2

2 2

mi- nj m 3 n

3ni-nj

1 3 n n

9 n n 1

10 n 1

1n

10

n 0, 316

L

L

L

L

mi- nj m 3n

3ni-nj

3 0,316 i-0,316 j

0,948 i-0,316 j

a)



1

0,948tan

0,316

0,948tan

0,316

71,57º

L 147cm; S71,57º O

b) 270º 71,57º

341,57º

L 147cm; 341,57º

c)

L =147cm 0,948;-0,316

L = 139,36;-19,99 cm

d) L = 139,36 i-19,99 j cm

9. Expresar el vector H = -29 i+35 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares b) Función de su modulo y unitarioc) Coordenadas polaresd) Coordenadas geográficas

SOLUCIÓN:a)

H = -29;35 m s

b) 2 2H 29 35

H 45, 45 m/ s



H

H

H

H

H

-29 i+35 j m s=

45,45m s

= 0,64 i+0,77 j

H 45,45m/ s 0,64i+0,77 j

c)

1

0,64tan

0,77

0,64tan

0,77

39,73º

90º 39,73º

129,73

H 45,45m/s;129,73º

d) H 45,45m/ s; N39,73º O

10. Expresar el vector 2E = 9 i+12 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares

b) Coordenadas polaresc) Coordenadas geográficasd) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:a)

2E = 9;12 m s

b) 2 2

2

E = 9 +12

E =15m/ s 1

12tan9

12tan

9

53,13º

2E = 15m/ s ; 53,13º

c)



90º 53,13º

36,87º

2E = 15m/s ; N36,87º E

d)

E

2

E 2

E

E

E

9 i+12 j m s

15m s

0,6 i+0,8 j

2E =15m/ s 0,6 i+ 0,8 j

11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores:

a) A = 65km/ h,121º

SOLUCIÓN:

x

x

x

A = A cos

A = 65km/ hcos121º

A = 33,48km/ h

y

y

y

A = A sen

A = 65km/ hsen121º

A = 55,72km/ h

A = -33,48i+55,72 j km/ h

b) B = 70N, NE

SOLUCIÓN:

x

x

x

B = B cos

B = 70Ncos45º

B = 49,5 N

B = 49,5 i 49,5 j N

c) C =120km 0,873 i-0,488 j

SOLUCIÓN:



C = 104,76 i-58,56 j km

d) D= -13,40 N

SOLUCIÓN:

D = -13i 40 j N

EJERCICIO Nº 4

1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar:

a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean perpendiculares

d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F-G

SOLUCIÓN:

a)

F = 40 i+0 j m

G = 30 i+ 0 j m

R = 70 i+ 0 j m

2R = 70 = 70m

b)

F = 40 i+0 j m

G = -30 i+ 0 j m

R = 10 i+ 0 j m

2R = 10 =10m

c)

F = 40 i+0 j m

G = 0 i+30 j m

R = 40 i+30 j m

2 2R = 40 30 = 50 m



d)

F = 40 i+0 j m

-G = 30 i+ 0 j m

R = 70 i+0 j m

2

F = 40 i+0 j m G = -30 i+0 j m

R = 70 = 70m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar:

a) El ángulo formado por los vectores

b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G

c) El vector unitario en la dirección de F-2G

SOLUCIÓN:

a) 1

1

F • Gcos

F G

4×-6+6×-1cos

52 37

133,15º

2 2F = 4 + 6

F 7, 21

2G = 6 +1

G = 6,08

b)

24 6Á rea = = -4 +36 = 32 u

-6 -1

c) F = 4 i+6 j G = -6 i- j 2G = -12 i-2 j

F- 2G = 4 i+6 j - -12 i-2 j

F- 2G = 16 i+8 j

F 2G 2 2

F 2G

16 i+8 j

16 8

0,89 i 0,45 j

3. Dado el vector Q = 3, -5 m, encontrar:

a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y la

coordenada Y sea positiva



b) El área del paralelogramo formado por Q y P

c) La proyección de Q sobre P

SOLUCIÓN:

a) Q = 3, -5 m

x y

x y

x y

Q • P = 0

Q • P = 3× P - 5× P

3×P -5×P = 0

3× P 5× P

P 2 2

P

P = 5 i+3 j m

5 i+3 j m

5 3

0,86 i+ 0,51 j

P =17m 0,86 i+0,51 j

P = 14,62 i 8,67 j m

b) 23 -5

Área = = 26, 01+ 73,1 = 99,11m14,62 8,67

c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero

4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15m s,120º , encontrar:

a) P -Q

b) Q + P

c) 3/2P

d) Q • P

e) El ángulo formado entre Q y P

SOLUCIÓN:

Q = 15m s ,120º



x

x

x

Q = Q cos

Q =15m/ scos120º

Q = -7,5m/ s

y

y

y

Q = Q sen

Q =15m/ ssen120º

Q =12,99m/ s

Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

a)

P = 12 i -8 j m s

- Q = 7,5 i-12,99 j m/ s

P- Q 19,5 i- 20,99 j m/ s

b)

Q = -7,5 i 12,99 j m/ s

P = 12 i -8 j m s

Q P 4,5 i 4,99 j m/s

c)

3 3P = 12 i-8 j m s

2 23

P = 18 i-12 j m s2

d)

Q• P = -7,5×12 +12,99×-8 m/ s

Q • P = -193,92 m/ s

e)

-1

2 2

-7,5×12+12,99×-8= cos

15m/s 12 +8

= 93,56º

f)

12 -8P×Q = = 155,88 +60 k = 215,88k

-7,5 12,99

5. Dados los vectores M= 37,25 m N = 41m, 213º , hallar:



a) M + N

b) N - M

c) -2N

d) N • M

e) La proyección de N sobre M f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores

SOLUCIÓN:a)

x

x

x

N = N cos

N = 41mcos213º

N = -34,39 m

y

y

y

N = N sen

N = 41msen213º

N = -22,33m

N = -34,39 i- 22,33 j m

M = 37 i + 25 j m

N = -34,39 i- 22,33 j m

M + N = 2,61i+ 2,67 j m

b)

N = -34,39 i- 22,33 j m

-M = -37 i -25 j m

N - M = -71,39 i- 47,33 j m

c)

-2N = -2 -34,39 i-22,33 j m

-2N = 68,78 i+44,66 j m

d) N • M = -34,39× 37 - 22, 33× 25

N • M = -1830,68

e)



M M

M 2 2 2 2

M

N • M N = ×

M

37i+25 j m-34,39×37-22,33×25 N = ×

37 + 25 37 + 25 N = -33,97 i- 22,95 j m

2 2M

M

N = 33,97 +22,95

N = 40,99 m

f) 237 25

Área = = -826, 21+ 934, 75 = 33, 54 m-34,39 -22,33

6. Dados los vectores E =15N mi+0,48 j ; I = 21N, SE y F= 12N,312º ,

hallar:

a) E + I+ F

b) 2/3I-3E+5/2F

c) 2 / 5 F • E

d) 3I×2F

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F

f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E

SOLUCIÓN:

E =15N mi+0,48 j

I = 21N, SE

2m = 1- 0,48

m = 0,88

270º 45º

315º

E =15 N 0,88i+ 0,48 j

E = 13,2 i+7,2 j

x

x

x

I = I cos

I = 21Ncos315º

I =14,85

y

y

y

I = I sen

I = 21Nsen315º

I = -14,85

I = 14,85 i-14,85 j N



F= 12N,312º

x

x

x

F = F cos

F =12Ncos312º

F =8,03

y

y

y

F = F sen

F =12Nsen312º

F = -15,60

F = 8,03i-15,60 j N

a)

E = 13,2 i+7,2 j N

I = 14,85 i-14,85 j N

F = 8,03 i-15,60 j N

E + I + F 36,08 i-23,25 j N

b)

22 / 3I = 14,85 i-14,85 j N

3

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N

-3E = -3 13,2 i+7,2 j N

-3E = -39,6 i-21,6 j N

55/ 2F = 8,03i-15,60 j N2

5 / 2F = 20,08 i-39 j N

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N

-3E = -39,6i-21,6 j N

5/ 2F = 20,08 i-39 j N

2/3I-3E+5/2F= -9,62i-70,5 j N

c)

22 / 5 F • E = 8, 03 ×13, 2 -15, 60 × 7, 2

5

F•E = -2,53

d)



3I = 3 14,85 i-14,85 j N

3I = 44,55 i-44,45 j N

2F = 2 8,03 i-15,60 j N

2F = 16,06 i-31,2 j N

44,55 -44,55

3I×2F= k = -1389,96+715,47 k = -674,49k 16,06 -31,2

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I + F

I = 14,85 i-14,85 j N

F = 8,03 i-15,60 j N

I + F 22,88 i-30,45 j N

I+F I F

I+F 2 2 2 2

I+F

E • I FE = ×

I F

22,88 i-30,45 j13,2×22,88 7,2× 30,45E = ×

22,88 +30,45 22,88 +30,45

E = 1,30 i-1,73 j m

2 2I+F

I+F

E = 1,30 1,73

E = 2,16

f) 1 8,03 13,2 15,60 7,2

cos15 12

92,01º

7. Dados los vectores A = 31m s 0,2 i+ mj ; B= 43m s,172º y

C= 55,-12 m s , hallar:

a) A - B + C

b) 1 2A + B-2C



c) El área del paralelogramo formado por 2A y2

C3

d) La proyección de A + B sobre C

e) A×C + A×B

f) A • B ×C

SOLUCIÓN:

A = 31m s 0,2 i+ mj

B= 43m s ,172º

2m = 1- 0,2

m = 0,98

x

x

x

B = B cos

B = 43m/scos172ºB = -41,59

y

y

y

B = B sen

B = 43m/ssen172ºB =5,98

A = 31m s 0,2 i+0,98 j

A = 6,2 i+30,38 j m s B= -41,59i+5,98 j m/s

C = 55 i-12 j m s

a)

A = 6,2 i+30,38 j m s

- B = 41,59 i-5,98 j m/ s

C = 55 i -12 j m s

A- B+ C 102,79 i 12,4 j m s

b) 1 2A +B -2C

11/ 2A = 6,2 i+30,38 j m s

2

1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s

-2C = -2 55 i-12 j m s

-2C = -110 i+24 j m s



1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s

B= -41,59i+5,98 j m/s

- 2C = -110 i+ 24 j m s

1 2A + B- 2C -148,49i+ 45,17 j m s

c)

2A = 2 6,2 i+30,38 j m s

2A = 12,4 i+60,76 j m s

22 / 3C = 55 i-12 j m s

3

2 / 3C = 36,66 i-8 j m s

12,4 60,76Área = = -99,2 -934,75 = 2326,6636,66 -8

d) La proyección de A + B sobre C

A = 6,2 i+30,38 j m s

B= -41,59i+5,98 j m/s

A + B = -35,39 i+36,36 j m/ s

C = 55 i-12 j m s

CC

C 2 2 2 2

C

A + B • CA+ B = ×

C

55i-12 j-35,39×55+36,36×-12A+ B = ×

55 +12 55 +12

A+ B = -41,35 i+ 9,02 j

2 2

C

C

A+B = 41,35 9,02

A+ B = 42,32

e)



6,2 30,38

A× C = = -74, 4 -1670, 9 k = -1745, 3k 55 -12

6,2 30,38

A× B = = -37, 08 +1263,5 k = 1226, 42 k

-41,59 5,98

A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k

A×C + A×B = -518,88k

f) B× C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces

A • B× C 0

8. Tomando en consideración los vectores R = 20m, N25ºO ; S = 15 i+9 j m ;

T = 30m, 260º y U =17m 0,5 i-0,866 j , hallar:

a) 3 4 S - 2R +U

b) 5U -1 2T + R -2S

c)

R • S + T • U

d) T × U + R ×S

e) 3 R • 2 T

f) La proyección de R + S sobre T - U

g) El área del paralelogramo formado por R - T y S + U

SOLUCIÓN:

R = 20m, N25ºO T = 30m, 260º

90º 25º

115º



x

x

x

R = R cos

R = 20mcos115º

R = -8,45m

y

y

y

R = R sen

R = 20msen115º

R =18,13m

x

x

x

T = T cos

T = 30mcos 260º

T = -5,21m

y

y

y

T = T sen

T = 30msen 260º

T = -29,54m

R = -8,45 i+18,13 j m T = -5,21i- 29,54 j m

U =17m 0,5 i-0,866 j

U 8,5 i-14,72 j m

a)

33 / 4S = 15 i+ 9 j m

4

3 / 4S = 11, 25 i+ 6,75 j m

-2R = -2 -8,45 i+18,13 j m

-2R = 16,9 i-36,26 j m

3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m

- 2R = 16,9 i-36,26 j m

U 8,5 i-14,72 j m

3 4S-2R + U 36,65 i- 44,23 j m

b)

5U 5 8,5 i-14,72 j m

5U 42,5 i-73,6 j m

1-1/ 2T = - -5,21i-29,54 j m

2

-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

-2S = -2 15 i+9 j m

-2S = -30 i-18 j m



5U = 42,5 i-73,6 j m

-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

R = -8,45 i+18,13 j m

- 2S = - 30 i -18 j m

5U -1 2T + R - 2S = 6,65i-58,7 j m

c) R •S = -8,45×15 +18,13×9

R • S = 3 6 , 4 2

T • U = -5,21×8,5 - 29,54×-14,72T • U = 390,54

R • S + T • U = 36, 4 2 + 3 90, 54

R • S + T • U = 426, 96

d)

-8,45 18,13

R ×S = = -76,05 -271,95 k = -348k 15 9

T× U + R ×S = 327,78k-348k

T×U + R×S = -20,22k

e)

3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m

3R = -25,35 i+54,39 j m

2T = 2 -5,21i- 29,54 j m

2T = -10, 42 i-59,08 j m

-5,21 -29,54T×U = = 76,69 +251,09 k = 327,78k

8,5 -14,72



3R • 2 T = -25,35×-10,42+ 54,39×-59,08

3R • 2 T = -2949,21

f)

R = -8,45 i+18,13 j m

S = 15 i + 9 j m

R + S 6,55 i+ 27,13 j m

T = -5,21i-29,54 j m

- U = -8,5 i+14,72 j m

T - U = -13,71i-14,82 j m

T-UT-U

T-U 2 2 2 2

T-U

R+S•T-UR+S = ×

T- U

-13,71i-14,82 j6,55×-13,71+27,13×-14,82R+S = ×13, 71 +14,82 13, 71 +14,82

R+S = 16,54 i+17,88 j

2 2

T-U

T-U

R+S = 16,54 17,88

R+S = 24,36

g)

R = -8,45 i+18,13 j m

- T = 5,21i+29,54 j m

R -T = -3,24 i+ 47,67 j m

S = 15 i+9 j m

U 8,5 i-14,72 j m

S+ U 23,5i-5,72 j m

3,24 47,67Área = = 18,53-1120,24 =1101,71

23,5 -5,72

9. Considérese los vectores A = 46cm mi-0,23 j ; B = 81cm,155º ,

C = 57cm, N21ºE y D= -32i-29 j m , determinar:

a) 1 2 A + 2 C - B



b) 2D- 3A +1 3C- 2 5B

c) 3B + 2 3 A • -C - 3 4 D

d) D- 3C × 3 2B+ 4A

e) B • A + C • D

f) 2A×C + 5B×D

g) El ángulo formado por D - A y B + C

SOLUCIÓN:

A = 46cm mi-0,23 j B = 81cm,155º

2m = 1- 0,48

m = 0,88

x

x

x

B = B cos

B = 81cmcos155º

B = -73,41cm

y

y

y

B = B sen

B = 81cmsen155º

B = 34,23cm

A = 46cm 0,88 i-0, 23 j

A = 40, 48 i-10,58 j B = -73,41i+34,23 j cm

C = 57cm, N21ºE

90º 21º

69º

x

x

x

C = C cos

C = 57cmcos69º

C = 20,43cm

y

y

y

C = C sen

C = 57cmsen 69º

C = 53, 21cm

C= 20,43i+53,21j cm

a)

11/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm

2

1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm

2C = 2 20, 43i+ 53, 21 j cm

2C = 40,86 i+106, 42 j cm



B = -73,41i+34,23 j cm

1/ 2A = 20,24 i-5,29 j

2C = 40,86 i+106,42 j- B = 73,41i-34,23 j

1 2A + 2C- B = 134,51i+ 66,89 j

b)

2D = 2 -32 i-29 j

2D = -64 i-58 j

-3A = -3 40,48 i-10,58 j

-3A = -121,44 i+31,74 j

11/ 3C = 20,43i+53,21 j

3

1/ 3C = 6,81 i+17,73 j

2-2 / 5B = - -73,41i+34,23 j

5

-2/5B= 29,36i-13,69 j

2D = -64 i-58 j

-3A = -121,44 i+31,74 j

1/ 3C = 6,81i+17,73 j

-2/5B= 29,36i-13,69 j

2D- 3A +1 3C- 2 5B 149,27i-22,22 j

c)

3B = 3 -73,41i+34,23 j

3B = -220,23i+102,69 j

22 / 3A = 40,48i-10,58 j

3

2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j

4-4 / 3D = - -32 i-29 j

3

-4 / 3D = 42,66 i+38,66 j



3B = -220,23i+102,69 j

2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j

3B+ 2 3A = -193,24 i+95,64 j

- C = -20, 43 i-53, 21 j

- 4 / 3D = 42,66 i+38,66 j

-C - 4 3D = 22,23i-14,55 j

3B + 2 3A • -C- 4 3D = -193,24×22, 23+ 95,64×-14,55

3B + 2 3A • -C- 4 3D = -5687,28

d)

-3C = -3 20, 43 i+53,21 j

-3C = -61, 29 i-159, 63 j

33/ 2B = -73,41i+34,23 j

2

3 / 2B = -110,12 i+51,35 j

4A = 4 40,48 i-10,58 j

4A = 161,92 i-42,32 j

D = -32 i-29 j

- 3C = -61, 29 i-159, 63 j

D - 3C = -93, 29 i-188,63 j

3/ 2B = -110,12 i+51,35 j

4A = 161,92 i-42,32 j

3 2B+ 4A 51,8i 9,03 j

-93,29 -188,63

D -3C × 3 2 B+ 4A = = -842, 41+ 9771, 03 k = 8928, 62 k 51,8 9,03

e) B• A = -73, 41× 40, 48+ 34, 23×-10,58

B•A = -3333,79

C • D = 20, 43×-32 + 53, 21×-29

C • D = -2196,85

B• A + C• D = -3333,79- 2196,85

B• A + C• D = -5530,64



f) 2A×C + 5B×D

2A = 2 40,48 i-10,58 j

2A = 80,96 i-21,16 j

5B = 5 -73,41i+34,23 j

5B = -367,05 i+171,15 j

80,96 -21,16

2A×C = = 4307,88+432,30 k = 4740,18k 20,43 53,21

g) El ángulo formado por D - A y B + C

D = -32 i-29 j

- A = -40, 48 i+10,58 j

D - A = -72, 48 i-18, 42 j

B = -73,41i+34,23 j

C = 20,43i+53,21 j

B+ C = -52,98i+87,44 j

-1

2 2 2 2

-72,48×-52,98-18,42×87,44= cos

72,48 +18,42 52,98 +87,44

= 73,05º

10. Dados los vectores D = 5km, 63º , E = -7, -1 km y F= 4km;S70ºE ,

calcular:

a) 2D+E+3F

b) E-D-2F

c) D • E

d) D - E × F

e) La proyección de E sobre D

f) El ángulo comprendido entre E y F

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E

SOLUCIÓN:a)



x

x

x

D = D cos

D = 5kmcos63º

D = 2,27km

y

y

y

D = D sen

D = 5kmsen 63º

D = 4,46km

D = 2,27 i+ 4,46 j km

E = -7 i-1 j km

270º 70º

340º

x

x

x

F = F cos

F = 4kmcos340º

F =3,76km

y

y

y

F = F sen

F = 4kmsen340º

F = 1,37km

F = 3,76 i-1,37 j km

2D = 2 2,27 i+4,46 j km

2D = 4,54 i+8,92 j km

3F = 3 3,76 i-1,37 j km

3F = 11,28 i-4,11 j km

2D = 4,54 i+8,92 j km

E = - 7 i -1 j km

3F = 11,28 i-4,11 j km

2D E 3F 8,82 i 3,81 j km

b) E-D-2F

-2F = -2 3,76 i-1,37 j km

-2F = -7,52 i+2,74 j km



E = -7 i -1 j km

- D = -2,27 i-4,46 j km

-2F= -7,52i+2,74 j km

E-D-2F= -16,79i-2,72 j km

c) D• E = 2,27×-7 + 4,46×-1

D • E = -20,35

d)

-7 -1E×F = k = 9,59 +3, 76 k = 13,35k

3,76 -1,37

D = 2,27 i+ 4,46 j+0k

-E×F = 0 i + 0 j-13,35k

D- E×F 2,27 i+ 4,46 j-13,35k

e)

D E

D

D

E • DE = ×

D

2,27 i+4,46 j-7×2,27 1 4,46E = ×

5 5

E = -1,85 i-3,63 j

2 2

D

D

E = 1, 85 3, 63

E = 4, 07

f) E = -7, -1 km y F= 3,76i-1,37 j km

-1

2

-7×3,76-1×-1,37= cos

4 7 +1

= 86,25º

g) 22,27 4,46

Área = = -2,27+31,22 = 28,95km-7 -1



11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el

ángulo formado por los vectores A y B

SOLUCIÓN:

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

A + B = 2...........(1)

A - B = 6............(2)

De (2)

A = 6 + B .............(3)

(3) en (1)6+B +B = 2

2B = -4

B = -2

Reemplazando el valor de B en (1)

A -2 = 2

A = 4

y y

y y

y y

y y

y

y

y

y

y

A + B = -4.......................(1)

A - B = -10.....................(2)

De (2)

A = -10 + B .............(3)

(3) en (1)-10 + B + B = -4

2B = 6

B = 3

Reemplazando el valor de B en (1)

A +3 = -4

A = -7

A = 4 i-7 j B = -2 i+3 j

1

1

2 2 2 2

cos

4 2 7 3cos

4 7 2 3

176,05º

A B

A B

12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A+B+ C = 0



C= 0i-16 j N

Para que Y=0 y y yA = -C A =16 Calculando xA

x

x

x

16tan37º=

A

16A =

tan37ºA = 21,24como esta en X(-) -21,24

A = -21,24i+16 j N 2 2A = 21,24 +16

A = 26,59N

Para que X=0 x x xB = -A Þ B = 21,24

B = 21,24i+0 j N

B = 21,24N



EJERCICIO Nº5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en lassiguientes horas:

a) 10H10 b) 12H35c) 5H40d) 8H20e) 9H10f) 6H50g) 2H40h) 11H05

i)

4H00

SOLUCIÓN:

Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

Datos:

minL = 1, 2m

hor L = 0, 8m

a)

150º

180º 0º

90º

270º

30º

120º 60º

240º

210º

300º

330º



min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 30º

r =1,2mcos30º

r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 0,6m

minr = 1,04 i+0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 150º

r = 0,8mcos150º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen150º

r = 0,4m

hor r = -0,69 i+0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i+0,4 j m- 1,04 i+0,6 j m

r = -1,73 i-0,2 j m

b) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 30º

r =1,2mcos240º

r = -0, 6m

Ymin

Ymin

r =1,2 msen 240º

r = -1, 04 m

minr = -0,6 i-1,04 j m

hor r = 0 i+0,8 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i+0,8 j m- -0,6 i-1,04 j m

r = 0,6 i 1,84 j m

c)

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 210º

r =1,2mcos210º

r = -1, 04m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = -0,6m

minr = -1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 300º

r = 0,8mcos300º

r = -0, 4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen300º

r = 0,69m

hor r = -0,4 i-0,69 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -1,04 i-0,6 j m- -0,4 i-0,69 j m

r = -0,64 i -0,09 j m

d) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m;30º

r =1,2mcos330º

r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2 msen330º

r = -0,6m

minr = 1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 210º

r = 0,8mcos 210º

r = -0,69m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 210º

r = -0, 4m

hor r = -0,69 i-0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i-0,4 j m- 1,04 i-0,6 j m

r = -1,73 i+0,2 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



e)

min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 30º

r =1,2mcos30º

r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 0,6m

minr = 1,04 i+0,6 j m

hor r = -0,8i+0 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,8i+0 j m- 1,04 i+0,6 j m

r = -1,84 i-0,6 j m

f) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m;150º

r =1,2mcos150º

r = -1, 04m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = -0, 6m

minr = -1,04 i-0,6 j m

hor r = 0 i-0,8 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i-0,8 j m- -1,04 i-0,6 j m

r = 1, 04 i- 0, 2 j m

g)

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 210º

r =1,2mcos210º

r = -1,04m

Ymin

Ymin

r =1,2 msen 210º

r = -0, 6m

minr = -1,04 i-0,6 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 30º

r = 0,8mcos30º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen30º

r = 0,4m

hor r = 0,69 i+0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i+0,4 j m- -1,04 i-0,6 j m

r = 1, 73 i+ j m

h) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 60º

r =1,2mcos60º

r = 0,6 m

Ymin

Ymin

r =1,2msen30º

r = 1, 04 m

minr = 0,6i+1,04 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 120º

r = 0,8mcos120º

r = -0, 4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen120º

r = 0, 69m

hor r = -0,4 i+0,69 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,4 i+0,69 j m- 0,6 i+1,04 j m

r = - i- 0,35 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



i) minr = 0 i+1,2 j m

hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 330ºr = 0,8mcos150º

r = 0, 69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen330º

r = -0, 4m

hor r = 0,69 i-0,4 j m

hor/ min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i-0,4 j m- 0 i+1,2 j m

r = 0,69 i-1,6 j m

2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a latienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar:

a) La posición de la tienda respecto a la ciudad b) La posición de la tienda respecto a la casa de la personac) La distancia en línea recta de la casa a la tienda

SOLUCIÓN:

Datos:Ciudad=origen

casar = 2km; NE 1,41i+1,41 j km

tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km

a)

tienda/casa tienda casa

tienda tienda/casa casa

tienda

tienda

r = r - r

r = r + r

r = 1,41i+1,41 j km+ 0,2i-0,1j km

r = 1,61i+1,31 j km

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



b) tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km

c)

2 2tienda/casa

tienda/casa

r = 200 +100

r = 223,60 m 0, 223km

3. Los vértices de un triangulo son los puntos 1P 0,5 , 2P 2,-1 y 3P 3,6 ,

determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados

SOLUCIÓN:

a)

1 2

1 2

PP = 2 i- j - 0 i+5 j

PP = 2 i-6 j

1 3

1 3

PP = 3 i 6 j - 0 i+5 j

P P = 3 i j



2 3

2 3

P P = 3i+6 j - 2 i- j

P P = i+7 j

-1 1 2 1 3

1 2 1 3

-1

2 2 2

P P • P PA = cos

P P P P

2 3 6 1A = cos

2 6 3 1

A = 90º

-1 1 3 2 3

1 3 2 3

-1

2 2

P P • P PB = cos

PP P P

3 1 1 7B = cos

3 1 1 7

B = 63,43º

63,43º +90º+C =180º

C =180º-90º-63,43º

C = 26,57º

b) Triangulo rectángulo

4. Los vértices de un triangulo son los puntos A 8,9 m , B -6,1 m , C 0,-5m ,

determinar:

a)

El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triangulo ABC

SOLUCIÓN:



b)

2

1Área = AB×AC

2-14 -81

Área = = 196 -64 = 132m-8 -142

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km ,

Q 0,4 km , R 1,1 km , S 5,2 km , determinar:

a) La forma geométrica de la ciudad b) El área de la ciudadc) La posición relativa del punto R respecto del punto Pd) La posición relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIÓN:

a) Paralelogramo

b)

RQ = 0 i+4 j km- i+ j km

RQ = - i+3 j km

RS= 5i+2 j km- i+ j km

RS= 4i+ j km

2

Área = RQ×RS

-1 3Área = = -1-12 =13km

4 1

c)



R/P

R/P

r = i+ j km- 4 i+5 j km

r = -3 i-4 j km

d)

S/R

S/R

r = 5i+2 j km- i+ j km

r = 4 i+ j km

6. tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto aR para los siguientes casos:

a) P/Qr 50km;S60º E y R/Qr 70km; NO

b)

P/Qr 80km;SO y R/Qr 25km; N70ºO c) P/Qr 65km; N15ºO y R/Qr 90km;S30ºO

d) P/Qr 40km; N75º E y R/Qr 100km;S25ºE

SOLUCIÓN:

P/Q P Q

Q P P/Q

r = r - r

r = r - r ...................(1)

R/Q R Q

Q R R/Q

r = r - r

r = r - r ...................(2)

P/R P R r = r -r ..............(3)

P P/Q R R/Q

P R P/Q R/Q

Igualando (1) y (2)

r - r = r - r

r -r = r - r ...............(4)

P/R P/Q R/Q

(3) en (4)

r = r - r

a) P/Qr 50km;S60º E

270º 60º

330º



P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 50kmcos330º

r x = 43,30km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 50kmsen330º

r y = -25km

P/Qr 43,30 i-25 j km

R/Qr 70km; NO

90º 45º

135º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 70kmcos135º

r x = -49,50km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 70kmsen135º

r y = 49,50km

R/Qr -49,50 i 49,50 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 43,30 i-25 j km -49,50 i 49,50 j km

r = 92,50 i- 74,50 j km

b) P/Qr 80km;SO

270º 45º

225º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 80kmcos 225º

r x = -57,57km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 80kmsen315º

r y = -56,57km

P/Qr = -56,57 i-56,57 j km

R/Qr 25km; N70ºO

90º 70º

160º



R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 25kmcos160º

r x = -23,49km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 25kmsen160º

r y = 8,55km

R/Qr -23,49 i 8,55 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -56,57 i-56,57 j km- -23,49 i+8,55 j km

r = -33,08i-48,02 j km

c) P/Qr 65km; N15ºO

90º 15º

105º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 65kmcos105º

r x = -16,82km

P/Q P/ Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 65kmsen105º

r y = 62,79km

P/Qr = -16,82 i+ 62,79 j km

R/Qr 90km;S30ºO

270º 30º

240º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 90kmcos 240º

r x = -45km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 90kmsen 240º

r y = -77,94km

R/Qr = -45 i-77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -16,82 i+62,79 j km- -45 i-77,94 j km

r = 28,18 i+140,73 j km



d) P/Qr 40km; N75º E

90º 75º

15º

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 40kmcos15º

r x = 38,64km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 40kmsen15º

r y =16,82km

P/Qr = 38,64 i+16,82 j km

R/Qr 100km;S25º E

270º 25º

295º

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x =100kmcos295º

r x = 42,26km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y =100kmsen 295º

r y = -90,63km

R/Qr = -45 i-77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i-77,94 j km

r = 83,64 i+94,76 j km

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línearecta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para unauto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo

camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta.

8. Dados los puntos L 8, -6 m y J -4,3 m , determinar:

a) Los vectores posición de L y J respecto al origen

b) La posición relativa de L con respecto a J



c) La distancia entre los puntos L y J

SOLUCIÓN:

a) Lr = 8 i-6 j m

Jr = -4 i+3 j m

b)

L/J L J

L/J

L/J

r = r -r

r = 8i-6 j m- -4 i+3 j m

r = 12 i -9 j m

c) 2 2

L/J

L/J

r = 12 +9

r = 15m

9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente grafico:

Determinar:

a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la

montaña A b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A ala cumbre de la montaña B

SOLUCIÓN:



A

A

AA

A

A

r xtan60º=

r y

r xr y =

tan 60º

3 kmr y =tan 60º

r y = 1,73km

B

B

BB

B

B

r xtan 40º =

r y

r xr y =

tan 40º

2 kmr y =tan 40º

r y = 2,38km

Ar = -1,73i+3 j km Br = 2,38i+2 j km

a)

B/A

B/A

r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+3 j km

r = 4,11i- j km

b) 2

B/A

B/A

r = 4,11 +1

r = 4,23km

Considerando ida y vuelta por cables independientes

4,23km 2 8,46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son 5, -2 m y

-4,7 m respectivamente, determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector E

b) La magnitud del vector E

c) El vector unitario del vector E

SOLUCIÓN:

a)



E -4, 7 m 5, - 2 m

E -9, 9 m

b) 2 2E = 9 + 9

E =12,73m

c)

E

E

E

E

E

-9 i+9 j m

12,73m

-0,706 i+0,706 j m

11. Un avión de aeromodelismo está a 4km,SO de la torre de control. En ese

momento, su dueño desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto

6,-4 km , determinar:

a) La posición del avión respecto al blanco b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósitoc) La distancia del avión al blanco

SOLUCIÓN:

a) 4km,SO

x

x

x

A = A cos

A = 4kmcos 225º

A = -2,83km

y

y

y

A = A sen

A = 4kmsen 225º

A = -2,83km

A = -2,83 i-2,83 j km



x

x

x

A = A cos

A = 200mcos225º

A = -141,42

y

y

y

A = A sen

A = 200msen225º

A = -141,42

A = -141,42 i-141,42 j m

B/A

B/A

r = 93,89 i+176,59 j m- -141,42 i-141,42 j m

r = 235,31i+318,01j m

b) 2 2

B/A

B/A

r = 235,31 +318,01

r = 395,60m

13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote endirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote endirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar:

a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultantec) Los ángulos directores del vector velocidad resultante

SOLUCIÓN:

a) A = 20m/ s; NO

x

x

x

A = A cos

A = 20m/ scos135º

A = -14,14m/ s

y

y

y

A = A sen

A = 20m/ ssen135º

A =14,14m/s

A = -14,14 i+14,14 j m/ s

B = 15m/ s; N25º E



x

x

x

B = B cos

B =15m/ scos65º

B = 6,34m/ s

y

y

y

B = B sen

B =15m/ssen 65º

B =13,59m/s

B = 6,34 i+13,59 j m/ s

V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s

V = -7,8i+27,73 j m/s

2 2V = 7,8 + 27,73

V = 28,81m/ s

1 7,8tan

27,73

15,71º

V = 28,81m/ s; N15,71ºO

b)

V

V

V

V

V

-7,8 i+27,73 j m/ s=

28,81m/s

= -0,27 i+0,96 j m/ s

c) 90º 15,71º

105,71º

15,71º

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E

c) El ángulo formado por los vectores EA y EC



d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D

e) La proyección del vector AE sobre AQ

SOLUCIÓN:

Considerando A como origen:

a) F/Ar = 2,8 i-1,5 j m

b)

cr = 2,8i+0 j m Er = 1,4 i-1,5 j m

C/E C E

C/E

C/E

r = r - r

r = 2,8i+0 j m- 1,4 i-1,5 j m

r = 1,4 i+1,5 j m

c)

EA = A- E

EA = -1,4 i+1,5 j m

EC = C- E

EC = 1,4 i 1,5 j m

1

2 2 2 2

1,4 1,4 1,5 1,5cos

1, 4 1,5 1, 4 1,5

86,05º

d) Q= 2,1i-0,75 j m D = 0 i-1,5 j m

Q/D

Q/D

r = 2,1i-0,75 j m- 0 i-1,5 j m

r = 2,1 i 0,75 j m



e)

AE = 1,4 i-1,5 j m AQ = 2,1i-0,75 j m

AQ AQ

AQ 2 2 2 2

AQ

AE•AQAE =

AQ

1,4 2,1 1,5 0,75 2,1i-0,75 jAE =

2,1 0,75 2,1 0,75

AE = 1,72 i-0,61 j m

AQ

AQ

AE = 1,72 i-0,61 j mAE =1,82m

EJERCICIO Nº6

1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente5cm al Sur; determinar:

a) Los desplazamientos realizados b) El desplazamiento total realizadoc) El modulo del desplazamiento totald) La distancia total recorrida

SOLUCIÓN:

a) 2

2

r x = 12cmcos45º

r x = 8,49cm

2

2

r y =12cmsen45º

r y = 8,49cm

1r 8 i+ 0 j cm 2r 8,49 i+8,49 j cm 3r = 0 i-5 j cm

b)



1 2 3r r r r

r 8 i+0 j cm 8,49 i+8,49 j cm 0 i-5 j cm

r 16,49 i+3,49 j cm

c) 2 2r 16,49 3,49

r 16,85cm

d) d = 8cm+12cm+5cm

d = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientosen el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a200º, todos en línea recta;: determinar:

a) Los desplazamientos realizados b) Los vectores posición en cada puntoc) El desplazamiento total realizado

d) El módulo del desplazamientoe) La distancia recorrida

SOLUCIÓN:

a) 3

3

r x = 76mmcos200º

r x = -71,41mm

3

3

r y = 76mmsen 200º

r y = -25,99m

1r 0 i-45 j mm 2r -30 i+0 j mm 3r = -71,41i-25,99 j mm

b) 1r 0 i-45 j mm

2r -30 i-45 j mm



3 2 3

3

3

r r r

r -30 i- 45 j mm -71,41i- 25,99 j mm

r -100,41i-70,99 j mm

c)

1 2 3r r r r

r 0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71,41i- 25,99 j mm

r -100,41i-70,99 j mm

d) 2 2r 100,41 70,99

r 122,97 mm

e) d = 45mm+30mm+ 76mm

d =152mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -85,204 km y la lectura de su odómetro

es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123,347 km y llega a las 11h10;

determinar:

a) Los vectores posición de cada ciudad b) El desplazamiento realizadoc) La lectura del odómetro cuando llega a B

d) La velocidad mediae) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta

para llegar a las 14h15.

SOLUCIÓN:



a) A

r = -85 i+ 204 j km B

r = 123 i+ 347 j km

b)

B Ar = r - r

r = 123i+347 j km- -85i+204 j km

r = 208 i+143 j km

c) 2 2r = 208 143

r = 252,41km

Lectura =10235km+252,41km

Lectura = 10487,41km

d)

10min 1h= 0,166h

60min

f 0t t - t

t 11,166h-7 h

t 4,166h

m

m

m

r V =

t

208 i+143 j kmV =

4,166h

V = 49,93i+34,33 j km/ h

m

m

m

r V =

t252,41km

V =4,166h

V = 60,58km/ h

e)

15min 1h= 0,25h

60min

f 0t t - t

t 14,25h-11,166h

t 3,084h



mA

mA

mA

r V =

t

835,53i+223,88 j kmV =

2h

V = 417,77 i+116,94 j km/ h

mB

mB

mB

r V =

t

-505i+253 j kmV =

2h

V = -252,5 i+126,5 j km/ h

d) 2 2

mA

mA

V = 417,77 116,94

V = 433,83km/ h

2 2mB

mB

V = 252,5 126,5

V = 282,42km/ h

e)

B Ar r r

r -505 i+253 j km 835,53i+ 223,88 j km

r -1340,53 i+476,88 j km

mA

mA

mA

r V =

t

-1340,53 i+476,88 j km

V = 3h

V = -446,84 i+158,96 j km/ h

2 2mA

mA

V = 446,84 +158,96

V = 474,27km/ h

5. Una partícula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta

rectilínea; determinar:

a) El modulo de la velocidad inicial b) El vector unitario de la velocidad inicial

c) El vector velocidad finald) La aceleración media de la partícula

SOLUCIÓN:

a)



f f

f

f

V x = V cos

V x = 24m/scos300º

V x =12m/ s

f f

f

f

V y = V sen

V y = 24m/ssen300º

V y = 20,78m/s

f V = 12i-20,78 j m/s

0

0

0

0V

0

V2 2

V

V=

V

-21i-18 j m/ s=

21 +18

= -0,76 i- 0,65 j m/ s

f

f

f

f V

f

V

V

V=

V

12 i-20,78 j m/ s=

24m/s

= 0,5i-0,87 j m/s

b)

f 0V - Va =

t

12 i- 20,78 j m/ s- -21i-18 j m/ sa =

10 s

33i-2,78 j m/sa =

10 s

a = 3,3 i-0,278 j m/ s

EJERCICIO Nº 7

1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A -35, 50 km a la ciudad B -25, 45 km

en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar:

a) El desplazamiento realizado b) La velocidad mediac) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje

SOLUCIÓN:

a)

r -25 i- 45 j km- -35 i+50 j km

r 10 i-95 j km



b)

r V =

t

10 i-95 j kmV =2h

V = 5 i- 47,5 j km

c)

40min 1h= 0,666h

60min

r V×t

r 5 i- 47,5 j km/ h 0,666h

r 3,33 i-31,64 j km

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades

constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+20 j y

15 i 30 j m y al instante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 j km

respectivamente; determinar:

a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículoc) La velocidad de A respecto a B

SOLUCIÓN:

a)

A fA 0 A

A

A

r = r - r

r = 20 i+0 j m- -40 i+ 20 j m

r = 60 i-20 j m

B fB 0 B

B

B

r = r - r

r = -10 i+ 0 j m- 15 i-30 j m

r = -25i+30 j m

b)



A

A

A

r V =

t

60 i- 20 j mV =

10s

V = 6 i-2 j m/s

B

B

B

r V =

t

-25i+ 30 j mV =

10s

V = -2,5 i+3 j m/ s

c)

A/B

A/B

V = 6 i-2 j m/ s- -2,5i+3 j m/ s

V = 8,5 i-5 j m/s

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y

desde que penetra la maquina hasta que sale el ultimo vagón demora 30s;determinar:

a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren

SOLUCIÓN:

a) 60 i km 1000m 1h

=16,67m/sh 1km 3600s

r = V× t

r =16,67m/s 30s

r = 500m

r = V× t

r =16,67m/s 60s

r =1000m

r = V× t

r =16,67m/s 90s

r =1500m

b) x = r- 400m

x = 500m-400m

x =100m



4. Una partícula parte del punto 25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al

punto 6, 30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar:

a) La velocidad empleada

b) El tiempo empleadoc) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más.

SOLUCIÓN:

a) 40 km 1000m 1h

=11,11m/sh 1km 3600s

f 0r = r - r

r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m

r = -31i-50 j m

r

2 2

V = V ×

-31i-50 jV = 11,11m/ s

31 50

V = -5,85i-9,44 j m/ s

2 2r = 31 50

r = 58,83m

b)

A

r t =

V

58,83mt =

11,11m/ s

t = 5,30s

c)

r = V× t

r = -5,85i-9,44 j m/s 10s

r = -58,5 i-94,4 j m

1 2r = r r

r = -31i-50 j m -58,5 i-94,4 j m

r = -89,5i-144,4 j m



5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte

en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y

40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:

a) La velocidad media durante las 10 horas b) El desplazamiento en motoc) El tiempo que recorrió en bicicleta

SOLUCIÓN:

a) r

V =

t1000 i km

V =10 h

V = 100 i km/ h

b)

moto bicir r r ................(1) moto bici

bici moto

t = t t

t t t .................(2)

moto moto motor = V t ...............(3) bici bici bicir = V t ...............(4)

moto moto bici bici

(3) y (4) en (1)

r V t V t ..................(5)



moto moto bici moto

moto moto bici bici moto

moto moto bici moto bici

moto moto bici

(2) en (5)

r = V t V t t

V t V t V t = r

V t V t = r V t

t V V = r

bici

bicimoto

moto bici

moto

moto

V t

r V tt =

V V

1000km- 40km/ h×10ht =

120km/ h- 40km/ ht = 7,5h

moto

moto

r =120km/ h×7,5h

r = 900 km

c) bici

bici

t 10 h- 7, 5h

t 2,5h

6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

Determinar:a) La posición inicial b) La rapidez en cada tramo del viajec) El tiempo que permaneció en reposo

d) La posición cuando t=35(s)e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando esta en el origen

SOLUCIÓN:

a)



0r =10m

b)

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3

f 0

f 0

r - r V =

t - t

30m-10mV =

10sV = 2m/ s

Reposo

f 0

f 0

r - r V =

t - t

40m-30mV =

30s-20sV =10m/s

Tramo 4

f 0

f 0

r - r V =

t - t

0m-40mV =

40s-30sV = -4m/ s

c) t 20s-10s

t 10s

d) r = V t

r = 4 m/ s 5 s

r = 20 m

e) Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s

7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x

60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el ejeX(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a unarapidez constante igual a 2m/s ; determinar:



a) La velocidad en cada tramo b) El tiempo que demora en recorrer cada ladoc) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina

opuesta que partió

d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esamisma rapidez

SOLUCIÓN:

a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad encada tramo será:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4

V = 2 i m/s V = 2 j m/ s V = -2 i m/ s V = -2 j m/ s

b) Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4

r t =

V60mt =

2m/st = 30s

r t =

V100m

t =2 m / s

t = 50s

r t =

V60mt =

2m/st = 30s

r t =

V100m

t =2 m / s

t = 50s

c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:

r 60 i 100 j m

2 2r = 60 100

r =116,62m

d)



r t =

V

116,62mt =

2 m / s

t = 58,31s

8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/ h se cruzan y siguen su

camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar:

a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas b) La distancia que los separa al cabo de 6 horasc) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia

SOLUCIÓN:

a) A A

A

A

r = V t

r =10 i km/ h 6h

r = 60 i km

B B

B

B

r = V t

r =12 j km/ h 6h

r = 72 j km

b)

A Br = 60 i 72 j km

2 2A B

A B

r = 60 72

r = 93,72km

c)

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

10km/ h×t + 12km/ h× t =100km

100km / h × t +144km / h × t =100km

244km / h × t =100km

t 244 km/ h = 100 km

100kmt =

244 km/ h

t = 6, 40h



9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con unarapidez constante de 3m/s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la

misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2m/s ;

determinar:

a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m

SOLUCIÓN:

a) B At = t -5s ...............(1) B Ar r 80m...............(2)

A A A

B B B

r V =t

r V t ...............(3)

r V t ...............(4)

B B A A

(3) y (4) en (2)

V t = V t 80m...........(5)

B A A A

B A B A A

A A B A B

A A B B

BA

A B

A

A

(1) en (5)

V t - 5s = V × t - 80 m

V × t - V × 5 s = V × t - 80 m

V × t - V × t = 80 m- V ×5 s

t V - V = 80 m- V × 5s

80m-V ×5st =

V - V

80m-2m/s×5st =

3m/s-3m/s

t = 70 s

A A A

A

A

r = V ×t

r = 3m/ s×70s

r = 210m



r t =

V

50,4kmt =

53km/ h

t = 0,95 h

c) Desde el punto de encuentro

A

B

r t =

V

53km/ h×2,4 ht =

32km/ h

t = 3,98h

11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, siel mas rápido viaja a 63 km/ h ; determinar:

a) La rapidez del mas lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentranal cabo de 3 horas

b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con larapidez dada para el más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro

SOLUCIÓN:

a) Desplazamiento del más rápido Desplazamiento del más lento

A A

A

A

r = V ×t

r = 63km/ h×3h

r =189km

B A

B

B

r = r -134km

r =189km-134km

r =55km

BB

B

B

r V =

t55km

V =3h

V =18,33km/ h



b) A Br + r 134km...............(1) 1 2t = t ...............(2)

A A 1

B B 2r = V × t .............(3)r = V ×t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)

V ×t V × t 134km........(5)

A 1 B 1

1 A B

1

A B

1

1

(2) en (5)

V × t + V × t = 1 34 km

t V + V = 134 km

134kmt =

V + V

134kmt =

63km/ h+18,33 km/ h

t =1,65h

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil conuna rapidez constante de 2m/s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro

móvil a 10km/h , si A y B distan 3km; determinar:

a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN:

Datos:

AV = 2 m/ s

BV =10 km/ h

B-reposot = 5min

r 3km

10 km 1000m 1h= 2,78m/ s

h 1km 3600s

5min 60s= 300s

1min

3km 1000m3000m

1km



a)

A Br + r 3000m...............(1) 1 2t = t +300s...............(2)

A A 1

B B 2

r = V × t .............(3)

r = V ×t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)

V ×t V ×t 3000m........(5)

A 2 B 1

A 2 A B 1

1 A B A

A

1A B

1

1

(2) en (5)

V × t +300s + V ×t = 3000m

V ×t V ×300s+V ×t = 3000m

t V +V = 3000m V ×300s

3000m V ×300s

t = V + V3000m-2m/s×300s

t =2m/s+2,78m/s

t = 502,1s

1

1

t = 502,1s+300s

t =802,1s

A

A

r = 2m/ s×802,1s

r =1604,2m

B

B

r = 3000m-1604,2m

r =1395,8m

b)



EJERCICIO Nº8

1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración 215m/s ; N15º E .Si a

t=0, la partícula se encuentra en la posición -2,3 m y su rapidez es de 8m/s . Para

un intervalo entre 0 y 8s; determinar:

a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media

SOLUCIÓN:

a) 215m/ s ; N15º E

2x

2x

a =15m/ s cos75º

a = 3,88m/ s

2y

2y

a =15m/s sen 75º

a =14,49m/ s

2a = 3,88 i 14,49 j m/ s

0r = -2 i+3 j m

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Gráfico

Móvil A Móvil B



Para que sea retardado

0a V= -

0

a 2 2

a V

3,88i 14,49 j=

3,88 14,49

= 0, 26 i 0, 97 j -0, 26 i- 0,97 j

0

0

V =8m/s -0,26i-0,97 j

V = -2,08i-7,76 j m/s

20

22

1r V t a t

21

r -2,08 i-7,76 j m/s 8s 3,88 i 14,49 j m/s 8s2

r 107,52 i 401,6 j m

b)

m

m

m

r V =t

107,52 i 401,6 j mV =

8s

V = 13, 44 i 50, 2 j m/ s

2. El grafico Vx-t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten dedos partículas A y B que parten de una misma posición inicial y sobre la mismatrayectoria rectilínea.



Determinar:a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s)c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s)

d)

Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamentee) Los gráficos xr - t y xa - t de cada partícula

SOLUCIÓN:

a) Partícula A

0-4s 4-8s 8-16

MRUVA MRU MRUVR

Partícula B

0-8SMRUVA

b) Partícula A:

Intervalo de 0 a 4s



Va =

t

30m/sa =

4 s

a = 7,5 m/ s

0r V t

2

22

1a t

21

r 7,5m/ s × 4s2

r 60 m

Intervalo de 4 a 8s

r = V× t

r = 30m/ s×4s

r =120 m

Intervalo de 8 a 12s

Va =

t

-30m/ sa =

4 s

a = -7,5m/ s

20

22

1r = V t a t

21

r = 30m/ s×4s+ 7,5m/ s × 4s2

r =180m

r = 60m+120m+180m

r = 360m

Partícula B

Intervalo de 0 a 12s

Va =

t

30m/sa =

4 s

a = 7,5 m/ s

20

22

1r V t a t

21

r -30m/s×12 7,5m/s × 12s2

r 180m

c) Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s



20

22

1r V t a t

21

r -30 m/ s× 4s 7, 5m/ s × 4s2

r -60m

A/B

A/B

r = 60m- -60m

r = 120 m

Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s

20

22

1r V t a t

2 1r -30m/s×8s 7,5m/s × 0 s

2r 0m

Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s

r = 60m+120m

r =180m

A/Br =180m

Distancia de A a B a 12s

A/B

A/B

r = 240m-180m

r = 60 m

d)



Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m

A B

0A

= r + r

60 m = V × t

r

2 2

0B

2 2

2 2

2

1 2

1 1+ at + V × t+ at

2 2

60m = 7,5m/s t + 60m/s×t

7,5m/s t + 60m/s×t-60m = 0

-60 ± 60 + 4×7,5×60t =

2×7,5

t = 0,898s t = -8,898

221r = 240m- 7,5m/s 0,898

2

r = 236,98m

e)

-80

-60

-40

-20

020

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260280

300

320

340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Gráfico r(x)-t Partícula A y B



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Gráfico r(x)-t Partícula A



-80

-60

-40

-20

020

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260280

300

320

340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Gráfico r(x)-t Partícula B

-9

-8

-7

-6

-5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

67

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Gráfico a-t Partícula A



3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su

posición para t=0 es 30 i m y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de

15m/s que está disminuyendo a razón de 1,5m/s cada s; determinar:

a) La aceleración b) El gráfico velocidad contra tiempoc) El gráfico posición contra tiempo

d) El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m

SOLUCIÓN:

a) 2a = 1,5 i m/ s

b)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Gráfico a-t Partícula B



c) -16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10 12 14

Gráfico V(x)-t

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

2025

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Gráfico r(x)-t

Series1



d) 2

0

2 2

2 2

2

1r = V ×t- a×t

21

75m =15m/ s×t- 1,5m/ s ×t2

0,75m/s × t -15m/s×t-75m = 0

15 ± 15 - 4×0,75×75t =

2×0,75

t =10s

4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10m/s y

acelerando a 23m/s en línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde

el reposo y con una aceleración constante de2

5m/s también en línea recta. Siinicialmente A y B están separados una distancia horizontal de 1700m; determinar:

a) Dónde y cuándo se encuentran b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también

mientras se alejan

SOLUCIÓN:

a) A B

2 20A A A A B B

r = r + r

1 11700m = V × t + a × t + a ×t ...................(1)

2 2

A Bt = t + 5s....................(2)



2 20A B A B B B

2 2 20A B 0A A B B B B

2 2 20A B 0A A B A B A B B

2 2 2B B

(2) en (1)

1 11700m = V × t +5s + a × t +5s + a × t

2 21 1

1700m = V ×t + V ×5s+ a × t +10s×t + 25s + a ×t2 21 1 1 1

1700m = V ×t + V ×5s+ a ×t + a ×10s×t + a ×25s + a ×t2 2 2 2

1 11700m =10m/ s× t +10m/ s×5s+ 3m/ s ×t + 3m/ s ×10s×

2 22 2 2 2

B B

2B B

2 2B B

2

B

B1 B2

1 1t + 3m/ s ×25s + 5m/ s ×t

2 2

1700m = 87,5m+25×t + 4m/s × t

4m/ s ×t + 25×t -1612,5m = 0

-25 ± 25 +4×4×1612,5t =

8

t = 17,19s t = 23, 44 s

A

A

t =17,19s+5s

t = 22,19s

22

A

A

1r =10m/ s×22,19s+ 3m/s × 22,19s

2r = 960,5m

22B

B

1r = 5m/ s × 17,19s

2r = 738,74m

b)

5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 23m/s y

pasa por el punto P 3, 5 m con una velocidad -3 i- 4 j m/ s , en ese mismo

momento B pasa por el punto Q 1,3 m con una velocidad de -30 j m/s y

desacelera a razón de 22 m/ s ; determinar:

a) La aceleración de cada uno de los vehículos b) La posición de A y de B después de 7s

SOLUCIÓN:

a)



A

A

A

AV

A

V 2 2

V

V=

V

-3 i-4 j

3 4-0,6i-0,8 j

A A

A

V a

A A V

2

A

2

A

a = a ×

a = 3 m/ s -0, 6 i- 0, 8 j

a = -1,8 i- 2,4 j m/ s

2Ba = 2 j m/ s

b)

A A A

A

A

2f 0 0 A

22f

f

1r = r + V t+ a t

2

1r = 3 i 5 j m -3 i- 4 j m/ s 7 s -1,8 i- 2, 4 j m/ s 7 s

2

r = -62,1i-81,8 j m

B B B

B

B

2f 0 0 B

22f

f

1r = r + V t+ a t

21

r = - i 3 j m -30 j m/ s 7s+ 2 j m/ s 7s2

r = - i-158 j m

6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como seindica en los gráficos siguientes:



Determinar:

a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3sc) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo

SOLUCIÓN:

a) Para t=0s Para t=2s Para t=3s

V = 20 i+10 j m/ s V = 20 i+30 j m/ s V = 20 i+ 40 j m/ s

b) Para t=0s Para t=2s Para t=3s

2a = 0 i+10 j m/ s 2a = 0 i+10 j m/ s 2a = 0 i+10 j m/ s

c) No es movimiento rectilíneo

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m

desde el reposo y acelera a razón de 25m/s hasta que alcanza el punto 12m y

entonces mantiene la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hastadetenerse 5s mas tarde; determinar:



a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado b) La distancia que recorrió con MRUc) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s

SOLUCIÓN:

a)

0r = V t

2

2 2

1+ at

21

12m- -8m = 5m/ s t2

t = 8 = 2,83

Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado

t = 7,83

b) 2 2

f 0V = V

2

f

f

+ 2a r

V = 10m/s ×20m

V =14,14m/s

r = V×t

r =14,14m/s 5s

r = 70,70m

c) Durante los últimos 5s Desplazamiento Total

0r = V t

2

22

1+ at

21

r =14,14m/ s×5s+ -2,83m/ s 5s2

r = 35,33

r = 20m+70,70m+35,33m

r =126,03m

d)



f V 0

0

2

= V + a t

- Va =

t

-14,14 m/ sa =

5sa = -2,83m/ s

8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanzaverticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzadaverticalmente hacia abajo; determinar:

a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo

SOLUCIÓN:

“La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección de la aceleración

de la gravedad su rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hastaque su rapidez sea 0 y volver a bajar nuevamente.”

9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración

cuyo modulo es 22 m/ s .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s;

determinar:

a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2

SOLUCIÓN:

a) 2

0

2 2

2

2

1r = V t+ at

21

100m = 5m/ s×t+ 2m/ s ×t2

t 5m/s× t 100m 0

-5± 5 + 4×100t =

2t = 7,81s

20

2 2

2

2

1r = V t+ at

21

50m = 2,5m/ s×t+ 2m/ s ×t2

t 2, 5m/ s× t 50 m 0

-2,5 ± 2,5 + 4×50t =

2t = 5,93s



b)

0A

0B

0B 0 A

2 2

2 2

2

2

V + at3=

2 V + at

3 V + at = 2 V + at3 2,5m/ s+ 2m/ s t = 2 5 m/ s+ 2m/ s t

7,5m/s+6m/s t =10m/s+4m/s t

2m/s t = 2,5m/s

2,5m/st =

2m/ s

t =1,25s

10. Un avión toma la pista con una aceleración de 220 i m/ s y recorre en línea recta

200 i m antes de detenerse; determinar:

a) Con qué velocidad toca la pista b) Qué tiempo demora en detenersec) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese

tiempo

SOLUCIÓN:

a) 2f V 2

0

0

20

0

= V -2a r

V = 2a r

V = 2×20m/ s ×200m

V =89,44m/s

b)



Vf a = 0

0

2

- V

t

- Vt =

a

-89, 44m/ st = -20m/ s

t = 4, 47s

c)

r V =

t

200mV =

4,47s

V = 44,74 m/ s

11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto haciaarriba y 3s después lo ve pasar hacia abajo; determinar:

a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio

SOLUCIÓN:

a) Análisis desde que es visto por la ventana:

Total ascenso descenso ascenso descensot = t + t como t = t

Total ascenso ascenso

ascenso Total

Totalascenso

t = t + t

2 t = t

tt =

2

Análisis del ascenso:



f V

0 ascenso

0 ascenso

Total0

2

0

0

= V + gt

V = -gt

tV = - g

2

3sV = - -9,8m/ s

2

V = 14,7m/ s

Análisis desde la base del edificio:

La 0V =14,7m/s desde la ventana pasa a ser f V =14,7m/s desde la base hasta la

ventana, entonces:

2 2f 0

20 f

20 f

2 20

0

V = V + 2gDr

V = V -2gDr

V = V - 2gDr

V = 14,7m/ s - 2 -9,8m/ s 50m

V = 34,58m/ s

b) 2 2

f 0

2

f

V = V + 2g r

Vr =

2

0

2

2

- V

2g

- 34,58r =

2 -9,8m/ s

r = 61,0 m

12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados unocontra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar:

a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube

SOLUCIÓN:



a)

A B

A B

65m = r r

r = 65m r ...................(1)

A Bt = t ...............(2)

A

2A 0 A A A

1r = V t a t ................(3)

2

A

A

2B 0 A A

2B 0 A A

(1) en (3)

165m r = V t + gt

21

r = 65m V t gt ..........................(4)2

B

B

2B 0 B B A B

2B 0 A B

1r = V t + gt como t = t

21

r = V t + g t .............................(5)2

A

20 A A

Igualando (4) y (5)

165m V t gt

2

B

20 A B

1= V t + g t

2

A B

A B

0 A 0 A

A

0 0

A

A

65m V t = V t

65mt =

V ` V

65mt =

16m/ s`+12m/ s

t = 2,32m/ s

B

2B 0 A B

22B

B

1r = V t + g t

21

r =12m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,32s2

r = 54,21m



A

A

r = 65m 54,21m

r = 10,79m

b)

A

2A 0 A A

22A

A

1r = V t + g t

21

r =16m/ s×2,32s+ 9,8m/ s 2,322

r = 63,49m

B

B

r = 65m 63,49m

r = 1,51m

13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto;determinar:

a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/sc) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s

SOLUCIÓN:

a)

0r = V t

2

2

1+ gt

2

2 r t =

g

2 100mt =

9,8m/ s

t = 4,52s

b)



20

2 2

1r = V t+ gt

21

9,8m/ s t + -1m/ s t-100m = 02

1 1 4 4,9 100t = 2 4,9

t = 4,62s

c)

20

2 2

1r = V t+ gt

21

9,8m/ s t + 1m/ s t-100m = 02

1 1 4 4,9 100t =

2 4,9

t = 4,42s

14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar:

a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes

c)

La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores

SOLUCIÓN:

a)

0 Br = V t

2B B

2

1+ g t

21

r = 9,8 m/ s 5s2

r =122,5m

b)



0 Br = V t

2B B

2

1+ g t

21

r = 9,8m/ s 10s2

r = 490m

c) f 0V = V

2f

f

+ gt

V =9,8m/s ×5s

V =10m/s

f 0V = V

2f

f

+ gt

V = 9,8m/ s ×10s

V =98m/s

15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y

desde el reposo con una aceleración constante de2

2 i m/ s cada uno y B parte 2smás tarde; determinar:

a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido Ac) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A

SOLUCIÓN:

a) 0 Br = V t

2

B B

22

1+ a t

2

1r = 2 m/ s 2s

2

r = 4m

b)

B A

2 2B B A A

2 22 2

r = r r

1 1r = a t a t2 21 1

r = 2m/ s 4s 2m/ s 2s2 2

r =12m

c)



B A

2 2B B A A

2 22 2

r = r r

1 1r = a t a t

2 21 1

r = 2m/ s 6s 2m/ s 4s2 2r = 20m

16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a1m a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y at=5s se encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar:

a) La aceleración de la partícula b) El instante en que retorna al origen

SOLUCIÓN:

a) Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m

r = 15m- -1m

r =16m

r = 20m- -1m

r = 21m

En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces:

Cuando t=3s Cuando t=5s

20

2

0

20

2

0

1r = V t+ at

21

16m = V 3s + a 3s2

16m = V 3s + a 4,5s

16m a 4,5sV = ........................(1)

3s

20

2

0

20

2

0

1r = V t+ at

21

21m = V 5s + a 5s2

21m = V 5s + a 12,5s

21m a 12,5sV = ...................(2)

5s

Igualando (1) y (2)



2 2

3 3

3 3

3

2

16m a 4,5s 21m a 12,5s=

3s 5s

80ms- a 22,5s = 63ms- a 37,5s

a 22,5s - a 37,5s = 80ms- 63ms

17msa =

-15s

a = -1,133m/ s

b) Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidadfinal sea 0

Determinando la velocidad inicial:

2 2

0

0

1716m m/ s 4,5s

15V =

3sV = 7,033m/ s

f V 0

0

2

= V +at

-Vt =

a-7,033m/ s

t =-1,133m/ s

t = 6,21s

20

22

1r = V t+ at

21

r = 7,033m/ s 6,21s + -1,133m/ s 6,21s2

r = 21,83m

Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso laaceleración tiene la misma dirección que la velocidad por tanto es positiva:

0r = V t

2

2 2

2

1+ at2

121, 83 m 1,133 m/ s t

2

2×21,83mt =

1,133m/ s

t = 6,21s

t = 6,21s 6,21s

t =12,42s



17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una

aceleración de 25 i m/ s hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le

somete a una aceleración de 210 i m/ s hasta que la distancia total recorrida desde

que partió del reposo es 30m; determinar:

a) La velocidad media para todo el recorrido b) El grafico Vx contra t

SOLUCIÓN:

a) Desde que parte del origen:

f 0V = V

f

2

+ at

Vt =

a10m/ s

t =5m/s

t = 2s

0r = V t

2

22

1+ at

2

1r = 5 m/ s 2s

2

r =10m

Desde que se le somete la aceleración de 210 i m/ s (MRUVR):

2

f V

2

0

2

0

2

2

= V + 2 a r

- Vr =

2a

10m/ sr =

2 10m/ s

r = 5m

r =10m 5m

r =15m

Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como ladistancia recorrida es independiente del desplazamiento entonces:



Total

Total

r = 15m 15m

r = 0

m

m

m

r V =

t

0V =

t

V = 0

b)

18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempocomo indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo

Determinar:

-22

-20-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

24

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

Vx-t



a) Los valores de 1t y 2t

b) La velocidad con la que llega al suelo

SOLUCIÓN:

a)

2 2f 0

0

20

0

V = V - 2g r

V = 2a r

V = 2 9,8m/ s 15m

V = 294 = 17,15m/ s

20 1 1

2 21 1

21 1

2

1

1

1r = V t at

21

15m = 294 m/ s t 9,8m/ s t2

4,9 t 294 m/ s t 15m 0

294 294 4 4,9 15

t = 2 4,9

294t = s 1,75s

9,8

0 1r = V t

2

1

2

2 2

2

1at

2

2 r t =

g

2 20mt =- -9,8m/ s

t = 2,02s

b) 2 2

f 0V = V

f

2f

f

2g r

V = 2g r

V = 2 9,8m/ s 20m

V = 19,80m/ s

19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con

una velocidad constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el



punto 5 i m con una velocidad de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es

8 i m/ s . Si se mueve con aceleración constante; determinar:

a) La aceleración de B

b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B

SOLUCIÓN:

20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de sudesplazamiento de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar:

a) La magnitud de la aceleración

b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s

SOLUCIÓN:

21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración

constante de modo que en 0 0t = 0s, r = -300 i m y 0v =30im/s y en

1 1t =10s, r = 10 i m , B se mueve con velocidad constante de modo que en

0 0t = 0s, r = 200 jm y en 1 1t =10s, r = 300 i m ; determinar:

a) La velocidad de A en 1t =10s

b) La velocidad de A respecto a B en 1t =10s

SOLUCIÓN:

22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo,

en ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de190m; determinar:

a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso almismo tiempo

SOLUCIÓN:



23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente grafico:

Si parten del origen; determinar:

a)

La posición de cada móvil para t=10s b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vezluego de partir

SOLUCIÓN:

24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta endirecciones contrarias. De manera simultanea los choferes se ven y frenan de

inmediato, el auto disminuye su rapidez a razón de 22m/s y el bus a 23m/s ;

determinar:

a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar quecolisionen

SOLUCIÓN:

25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el

borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanzaotro objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s enllegar al fondo; determinar:

a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b) La altura del precipicio



SOLUCIÓN:

26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una

velocidad de 10 j m/ s ; determinar:

a) La velocidad con la que fue disparado b) La altura que alcanzac) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar

nuevamente por dicha posición

SOLUCIÓN:

27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su

aceleración es constante e igual a 22 i m/ s ; determinar:

a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s

SOLUCIÓN:

28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 24 i m/ s , un

objeto desliza sin rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s

respecto a tierra; determinar:

a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición original

b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierrac) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón

SOLUCIÓN:

29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una

aceleración constante de 214,7 i m/ s durante 8s, en ese momento se le acaba el

combustible y el cohete continua moviéndose de manera que únicamente quedasujeta a la gravedad de la tierra; determinar:



a) La altura máxima que alcanza el cohete b) El tiempo que tarde en regresar a la tierrac) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº 9

1. Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de 30 i m/ s , si impacta

en la superficie del río con un ángulo de 45º; determinar:

a) En cuánto tiempo impacta el proyectil b) La altura del puente respecto a la superficie del ríoc) La aceleración tangencial y centrípeta al momento del impacto

SOLUCIÓN:

2. Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de 480 i km/ h , a una

altura de 5500m dispara a un auto que se mueve a una velocidad constante de

125 i km/ h , en el mismo plano vertical. Para que el proyectil impacte en el blanco;

determinar:

a) El ángulo que forma la visual del avión al auto con la horizontal en elinstante en que el avión debe soltar la bomba

b) El tiempo que tarda la bomba en impactar el autoc) La distancia que recorre el avión desde que suelta la bomba hasta que

impacta en el blanco

SOLUCIÓN:

3. Se lanza una pelota desde una altura de 5m con una velocidad de 12 i m/ s ;

determinar:



a) La distancia a la que debe colocarse una persona que alzando los brazos alcanza2,20m de altura, para cogerla

b) El tiempo que la pelota permanece en el airec) Las aceleraciones tangencial y centrípeta en el momento que la persona recepta

SOLUCIÓN:

4. Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto con una velocidad de 100 i m/ s ;

determinar:

a) En qué tiempo el módulo de la aceleración tangencial es igual al módulo de laaceleración centrípeta

b) La velocidad en ese instante

c) La posición en ese instante respecto al punto de lanzamiento

SOLUCIÓN:

5. En una mesa de 0,75m de altura un objeto desliza y cae describiendo una trayectoriasemiparabólica. Sabiendo que cuando se encuentra a 0,15m de altura, la distanciahasta el borde de la mesa es 80cm; determinar:

a) La velocidad con la que el objeto abandona la mesa

b) El tiempo en el que llega a la posición indicada y el tiempo en que impacta en elsuelo

c) La velocidad en la posición indicada y la velocidad con que choca contra elsuelo

SOLUCIÓN:

6. Una pelota de tenis se impulsa con una raqueta de tal modo que su velocidad inicial

es 56 i km/ h desde el borde de una cancha que mide 23,77m de largo y desde unaaltura de 2,5m; determinar:

a) La distancia a la que rebota por primera vez respecto a la red central cuya alturaes de 0,92m

b) La velocidad mínima que se le debe comunicar a la pelota para que justamentelogre pasar la red



c) La velocidad que se le debe comunicar a la pelota para que caiga justamente al borde opuesto de la cancha

SOLUCIÓN:

7. Un proyectil es disparado con una rapidez de 45m/s y un ángulo de 40º sobre lahorizontal; determinar:

a) La velocidad del proyectil cuando forma un ángulo de 30º sobre la horizontal b) El desplazamiento cuando alcanza dicho puntoc) La altura máxima que alcanzad) El alcance horizontal

SOLUCIÓN:

8. Se impulsa una pelota desde el suelo con una rapidez de 50m/s y con un ángulo de45º desde la horizontal; determinar:

a) La velocidad de la pelota cuando su componente en el eje y es de -20 j m/ s

b) La posición de la pelota cuando dicha alcanza velocidadc) La aceleración total, tangencial y centrípeta en dicho instanted) La altura máxima

SOLUCIÓN:

9. Un avión que lleva una velocidad de 50 i+60 j m/ s deja caer una bomba;

determinar:

a) La altura máxima que alcanza la bomba desde el nivel de lanzamiento b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

c) La altura por debajo del nivel de lanzamiento a la que la bomba tiene unavelocidad de 50 i 100 j m/ s

SOLUCIÓN:



10. Un proyectil es lanzado desde una altura de 80m desde el suelo formando un ángulode 40º sobre la horizontal, si cae al suelo a una distancia horizontal de 300m desdeel punto de lanzamiento; determinar:

a) La velocidad inicial del proyectil

b) La posición del proyectil en el punto mas alto respecto al punto de lanzamientoc) El tiempo que demora en llegar al suelo

SOLUCIÓN:

11. De un cañón se dispara un proyectil con una rapidez de 200m/s y un ángulo de 50º yluego se dispara otro con la misma rapidez y un ángulo de 30º sobre la horizontal;determinar:

a) El intervalo de tiempo con que deben realizarse los disparos para que los proyectiles choquen

b) La altura máxima que alcanza cada proyectil respecto al cañónc) El alcance horizontal de cada proyectild) Dónde chocan los proyectiles respecto al cañón

SOLUCIÓN:

12. Un proyectil con movimiento parabólico se encuentra en el punto A, donde suvelocidad instantánea es de 20m/s y forma un ángulo de 30º sobre la horizontal. Siel proyectil demoró 1,2s en llegar a A desde su lanzamiento; determinar:

a) La velocidad inicial del lanzamiento b) La altura máximac) Las aceleraciones: total, tangencial y centrípeta en el punto Ad) El ángulo de lanzamiento

SOLUCIÓN:

13. Un proyectil es disparado con una rapidez de 100m/s y con un ángulo de 60º sobre

la horizontal desde un punto A -10,-2 m ; determinar:

a) La velocidad en el instante en que X=0m



b) La aceleración tangencial en Y=0m por primera vezc) Las coordenadas del punto donde la altura es máximad) La coordenada en Y cuando X=2m

SOLUCIÓN:

14. Desde lo alto de un edificio de 20m de altura se lanza una pelota con una velocidadde 5m/s y un ángulo de 45º sobre la horizontal; determinar:

a) A que distancia horizontal de la base del edificio impacta la pelota b) La altura máxima que alcanzac) A que distancia horizontal de la base del edificio alcanza la altura máximad) La velocidad con la que llega al suelo

SOLUCIÓN:

15. Una persona con patines sube por una rampa de 20º, cuando abandona la rampa,salta hasta una grada situada a 2m de distancia horizontal y 0,5m abajo del puntodonde abandona la rampa; determinar:

a) La velocidad mínima con la que debe abandonar la rampa para llegar justamentea la grada sin problema

b) La máxima altura que alcanza desde el punto donde abandona la rampac) Si con la misma rapidez calculada en el punto a) abandona una rampa de 15º,

¿Logra alcanzar la grada sin problema?

SOLUCIÓN:

16. Una pelota es lanzada a 20m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal; a 10mdel punto de lanzamiento se encuentra un obstáculo de 14m de altura; determinar:

a) Si la pelota supera el obstáculo; si no lo hace a que altura del mismo impacta b) La máxima altura que alcanzac) En qué puntos podrían colocarse dos vallas de 10m de altura, para que la pelota

los pase exactamente

SOLUCIÓN:



17. Se lanza un balón de manera que pasa exactamente sobre dos barreras cada una de

2m de altura que están separadas 10m. Si el tiempo que demora el balón en recorrerla distancia entre las barreras es 1s; determinar:

a) La velocidad inicial con que fue lanzado el balón b) La altura máximac) El alcance horizontald) El tiempo total desde que es lanzado hasta que llega nuevamente al nivel del

lanzamiento

SOLUCIÓN:

18. Se dispara una flecha a 20m/s y 30º sobre la horizontal, para dar en un árbol que seencuentra a 25m de distancia; determinar;

a) La altura a la que se elevará la flecha b) En ángulo que formarán la flecha con el árbolc) El tiempo que tarda la flecha hasta dar en el árbol

SOLUCIÓN:

19. Desde la base de una montaña cuya pendiente es 35º se lanza hacia la cima una piedra a 30m/s y 60º sobre la horizontal; determinar:

a) La altura a la que impacta la piedra (desde la base de la montaña) b) El tiempo que tarda en impactarc) Si el impacto sucede antes o después de que la piedra a alcanzado su altura

máximad) La velocidad con la que impacta la piedra

SOLUCIÓN:

20. Desde una cancha de futbol ubicada al pie de una colina de 30º de pendiente, serealiza un lanzamiento desde un punto ubicado a 10m de la base de la colina y haciaella; determinar:



a) La velocidad inicial con que se debe lanzar la pelota para que impacte en lacolina a una altura de 3m justo cuando llega a su altura máxima

b) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10m/s y 30º sobre lahorizontal

c) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15m/s y 30º sobre la

horizontal

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº10

1. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto 3,5 cm y gira

antihorariamente, con centro en el origen, 1000º en 12s. Determinar:

a) El desplazamiento angular b) La velocidad angular mediac) La posición angular iniciald) La posición final

SOLUCIÓN:

a) 1000º 17,45rad

180º

b)

=t

17,45rad=

12 s

= 1, 45rad/ s

c) 1 5

tan3

59,04º



168radvueltas

2 rad

vu eltas 26,74

4.

Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constantede 8 rad/s. Determinar:

a) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000º b) El tiempo necesario para dar una revoluciónc) El ángulo girado en un minutod) El numero de revoluciones que da por minuto

SOLUCIÓN:

a) 1000º

17,45rad180º

t =

17,45radt =

8rad/ s

t = 2,18s

b)

t =

2 radt =

8rad/s

t = 0, 79s

c) = t

=8rad/s×60s

= 480rad



d) 8rad 1rev 60s

76,39RPMs 2 rad 1min

5. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular media b) El ángulo girado en 3sc) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600º

SOLUCIÓN:

a) 25vueltas 2 rad

50 rad1vuelta

=t

50 rad=

6 s

= 26,18rad/ s

b) = t

= 26,18rad/s 3s

= 78,54rad

c)

1600º rad 27,93rad180º

t =

27,93radt =

26,18rad/s

t =1,07s



6. Una partícula parte del punto -5, -6 cm y gira en sentido antihorario con una

velocidad angular constante de 18 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen,determinar:

a) La posición angular inicial b) El desplazamiento angular en 4sc) La posición angular finald) La posición final

SOLUCIÓN:

a) 1 6180º tan

5

129,80º

129,80º rad

2,27rad180º

b) = t

=18rad/s 4s

= 72rad

c) f 0

f

f

72rad 2,27rad

74,27rad

74,27rad 180º

4255,36ºrad

d) 2 25 6

7,81cm

0

0

r x = 7,81cmcos4255,36ºr x =3,35cm

0

0

r = 7,81cmsen 4255,36ºyr y = 7,06cm

0r = 3,35i-7,06 j cm



7. La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en5s. Determinar:

a) La aceleración angular b) La velocidad angular media

c) El desplazamiento angular

SOLUCIÓN:

a) 1200rev 2 rad 1min

=125,66rad/smin 1rev 60 s

2100rev 2 rad 1min= 219,91rad/ s

min 1rev 60 s

f 0

2

t219,91rad/ s-125,66rad/ s

5s

18,85rad/s

b) f 0

2125,66rad/ s+219,91rad/ s

2172,79rad/ s

c) = t

=172,79rad/s 5s

= 863,95rad

8. Un cuerpo parte del punto 4,7 cm en sentido antihorario por una trayectoria

circular y gira un ángulo de 120 rads en 8 seg, alcanzando una velocidad angular de25 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar:

a) La velocidad angular media



b) La velocidad angular inicialc) La posición angular finald) La aceleración angular

SOLUCIÓN:

a)

=t

120rad=

8s

=15rad/s

b) f 0

0

0

0

0

2

25rad/ s+15rad/ s

2

25rad/ s 30rad/ s

30 rad/s 25rad/ s

5rad/s

c) 1

0

0

7tan

4

60,26º

60,26º rad

1,05rad180º

f 0

f

f

120rad 1,05rad

121,05rad

d) f 0

2

=t

25rad/s-5rad/s=

8s

= 2,5 rad/s



9. Un cuerpo parte del punto 3,-6 cm en sentido antihorario por una pista circular

con centro en el origen, con una velocidad angular de 6rad/s y se mueve durante 10s

con una aceleración angular de 22rad/s ; Determinar:

a) La velocidad angular final b) La velocidad angular mediac) El desplazamiento angulard) La posición final

SOLUCIÓN:

a) f 0

f 0

2f

f

= t= t

= 2 rad/s ×10s+6 rad/s

= 26rad/ s

b) f 0

2

26rad/ s+6 rad/ s

2

16rad/ s

c) = t

=16rad/s 10s

=160rad

d)

160rad 180º9167,32º

rad

1 6tan

3

63,43º

f

f

9167,32º 63,43º

9103,89º



2 23 6 6,71m

f

f

r x = 6,71cos9103,89º

r x = 1,61m f

f

r y = 6,71sen9103,89º

r y = 6,51m

f r = -1,61i+6,51j m

10. Desde un mismo punto de la circunferencia parten dos móviles en sentido opuesto.El primero recorre la circunferencia en 1h45min y el segundo recorre un ángulo de10º30’ en un minuto Determinar dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN:

1h :45min = 6300s 10º31' 10,52º

1min = 60s

10,52º rad= 0,184rad

180º

11

1

1

4

1

=t

2 rad=

6300s

= 9,97 10 rad/ s

22

2

2

3

2

=t

0,184rad=

60 s

= 3,07 10 rad/ s

Para determinar el encuentro:

1 2 2 rad................(1) = t............(2) 1 2t t .........(3)



1 2

1 2

1 2

4 3

(2) y (3) en (1)

t t 2 rad

t 2 rad

2 radt

2 radt

9,97 10 rad/ s 3,07 10 rad/ s

t 1544,92s

1 1

41

1

= t

= 9,97 10 rad/ s 1544,92s

=1,54rad

2 2

32

2

= t

= 3,07 10 rad/ s 1544,92s

= 4,74rad

EJERCICIO Nº11

1. Un volante cuyo diámetro es de 1,5m está girando a 200RPM, determinar:

a) La velocidad angular b) El periodoc) La frecuenciad) La rapidez de un punto del bordee) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

2. Un cuerpo que gira con MCU está provisto de una velocidad angular de 2rad/s.Determinar:

a) El ángulo girado en 4s b) El número de vueltas que da en 4sc) El tiempo necesario para girar un ángulo de 500ºd) El periodoe) La frecuencia

SOLUCIÓN:



3. Las manecillas de un reloj miden: el horero=4cm, minutero =7cm y

segundero=10cm. Para cada una, determinar:

a) El periodo

b) La frecuenciac) La velocidad angulard) La rapidez del extremae) El módulo de la aceleración centrípeta del extremo

SOLUCIÓN:

4.

Un cuerpo gira en una trayectoria circular de 70 cm de radio y da 750 rev cada 2,5minutos. Determinar:

a) La velocidad angular b) La distancia recorridac) La rapidez del cuerpod) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

5. Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2m de radio con una velocidadangular constante de 22 rad/s durante 6s. Determinar:

a) El desplazamiento angular b) La distancia recorridac) El periodod) La rapidez del móvile) El modulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

6. Una rueda de bicicleta tiene 60cm de diámetro y recorre una distancia de 12m en15s. Determinar:



a) El ángulo girado b) El número de vueltas que dioc) La velocidad angulard) El periodo

e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

7. La tierra cuyo radio aproximado tiene 6375km, gira sobre su propio eje (rotación).Determinar:

a)

El periodo de rotación b) La frecuenciac) La velocidad angulard) La rapidez de un punto del ecuador en km/he) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

8. El radio de la orbita seguida por la tierra en su movimiento alrededor del sol(traslación), mide 111,49x10 m . Determinar:

a) El periodo de revolución b) La frecuenciac) La velocidad angulard) La rapidez en km/he) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

9. La luna orbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de

la tierra es de 83,84x10 m . Determinar:



a) El periodo de revolución b) La frecuenciac) La velocidad angulard) La rapidez en km/he) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

10. El Sol efectúa un movimiento de traslación de la Vía Láctea; el radio de la orbita es202,4x10 m y su periodo de revolución es de 156,3x10 s . Determinar:

a) La frecuencia

b) La distancia recorrida en 50 añosc) La velocidad angulard) La rapidez en km/he) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

11. Una partícula animada de MCU parte del punto 2, 7 m y gira alrededor del origen

en sentido antihorario describiendo un ángulo de 215º en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular b) La posición angular inicialc) La posición angular finald) La posición finale) El periodof) La frecuenciag) La velocidad en la posición final

h) La aceleración centrípeta en la posición inicial

SOLUCIÓN:



12. Un cuerpo animado de MCU se encuentra en la posición indicada en la figura ent=2s. Si se mueve en sentido horario 6s, determinar:

a) La velocidad angular b) El desplazamiento angularc) Cuántas vueltas da

d) La distancia recorridae) La posición finalf) El periodog) La velocidad en t=2sh) La aceleración centrípeta en t=8s

SOLUCIÓN:

13. Un cuerpo parte del punto 4, -3 m en sentido antihorario por una trayectoria

circular con centro en el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constantede 3rad/s. Determinar:

a) El desplazamiento angular b) La posición angular inicialc) La posición angular finald) La posición finale) Cuántas vueltas da

f) El periodog) La velocidad en la posición inicialh) La aceleración centrípeta en la posición final

SOLUCIÓN:



14. Una partícula animada de MCU se encuentra en la posición que indica la figura en

t=4s. Si gira en sentido horario con una velocidad angular de 5rad/s durante 10s,determinar:

a) El desplazamiento angular b) La posición angular inicialc) La posición angular finald) La posición finale) Cuántas vueltas daf) El periodog) La velocidad en t=14sh) La aceleración centrípeta en t=4s

SOLUCIÓN:

15. Una partícula parte del punto -4,1 m en sentido horario con MCU. Si gira con una

rapidez de 2m/s durante 15s. Determinar:

a) El desplazamiento angular b) El periodoc) La posición angular iniciald) La posición angular finale) La posición finalf) Cuántas vueltas dag) La velocidad en la posición inicialh) La aceleración centrípeta en la posición final



SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº12

1. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio con MCUVhasta que alcanza una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. Determinar:

a) La velocidad angular final b) La velocidad angular mediac) La aceleración angulard) El desplazamiento angulare) La distancia recorrida

f) El tiempo que tarda en dar 100 vueltasg) El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

2. Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20s. Si el radio de la turbina es1,2m, determinar:

a) La velocidad angular final b) La velocidad angular mediac) La aceleración angulard) La rapidez mediae) El desplazamiento angularf) La distancia recorrida por el extremo de la turbinag) El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

3. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m, determinar:

a) La rapidez inicial



b) La velocidad angular finalc) La aceleración angulard) El desplazamiento angulare) Cuántas vueltas diof) La distancia recorrida

g) El módulo de la aceleración total inicial

SOLUCIÓN:

4. Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1m de radio con una aceleración

angular de 21,3rad/s . Cuando ha girado un ángulo de 7 / 3rad alcanza una

velocidad angular de 42 RPM. Determinar:

a) La velocidad angular inicial b) La velocidad angular mediac) La rapidez iniciald) El tiempo empleado

SOLUCIÓN:

5. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se lecomunica una aceleración angular de 2 22,8rad/s durante 1 min. Si el radio de la

trayectoria circular es de 0,6m, determinar:

a) La rapidez inicial b) La velocidad angular finalc) La rapidez finald) La velocidad angular mediae) El desplazamiento angular

f) Cuántas vueltas dag) El módulo de la aceleración total inicial

SOLUCIÓN:



6. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 1000 RPM en 7s.Si el radio de la curvatura es de 25cm, determinar:

a) La rapidez inicial b) La velocidad angular media

c) La aceleración angulard) El desplazamiento angulare) Cuántas vueltas daf) Qué tiempo será necesario para que el volante se detengag) El modulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

7. Un volante de 10cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15s. Determinar:

a) La velocidad angular inicial b) La rapidez en el momento de aplicar el frenoc) La velocidad angular mediad) El desplazamiento angulare) Cuántas vueltas da hasta detenersef) La distancia recorrida

g) El modulo de la aceleración total inicial

SOLUCIÓN:

8. Una partícula describe una trayectoria circular de 0,8 m de radio en sentidoantihorario. Si parte del reposo y del punto A, realizando un desplazamiento angularde 10 rad en 3s, determinar:



a) La aceleración angular b) La posición angular finalc) La posición finald) La velocidad angular media

e) La distancia recorridaf) La velocidad finalg) La aceleración total final

SOLUCIÓN:

9. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 1,4m de radio en sentido

horario. Si parte del reposo y del punto B, alcanzando una velocidad angular de7rad/s en 4s, determinar:

a) La aceleración angular b) El desplazamiento angularc) La velocidad angular mediad) La posición angular finale) La posición finalf) La velocidad finalg) La aceleración total final

SOLUCIÓN:

10. Una partícula animada de MCUV, parte del punto A, como indica la figura, con unarapidez de 4m/s y luego de 3s pasa por el punto B con una rapidez de 10m/s.Determinar:



a) La velocidad angular inicial b) La aceleración angularc) El desplazamiento angulard) La posición iniciale) La velocidad en Bf) La aceleración total en Ag) La aceleración total en B

SOLUCIÓN:

11. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una rapidez de

10m/s y una aceleración angular de 2-2 / 5 rad/ s hasta detenerse. Determinar:

a) La velocidad angular inicial b) La velocidad inicialc) El tiempo hasta detenersed) El desplazamiento angular

e) La posición angular finalf) La posición finalg) La aceleración total inicial

SOLUCIÓN:



12. Una partícula animada de MCUV está en la posición que indica la figura. Si se

mueve durante 4s con una aceleración angular de 2-1rad/s , determinar:

a) La velocidad angular inicial b) La velocidad angular final

c) El desplazamiento angulard) La posición angular finale) La posición finalf) La velocidad finalg) La aceleración total final

SOLUCIÓN:

13. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una V=4m/s ent=0s y una aceleración angular de 20,8rad/s . Determinar:

a) El desplazamiento angular b) El espacio angular recorridoc) El espacio lineal recorrido

d) La posición cuando 0V = 0

e) La posición final de la partícula



f) La velocidad en t=8sg) La aceleración total en t=8s

SOLUCIÓN:

14. Una partícula que tiene movimiento circular, se encuentra en la posición que indica

la figura en t=4s. Si gira con una aceleración angular de 2-1rad/s durante 10s.

Determinar:

a) El desplazamiento angular b) El espacio angular recorridoc) El espacio lineal recorridod) La posición cuando V=0

e) La posición final de la partículaf) La velocidad en t=14sg) La aceleración total en t=14s

SOLUCIÓN:

15. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura con una 0V = 3m/ s en

t=0s y una aceleración angular de

2

- / 3 rad/ s durante 7s. Determinar:



a) El desplazamiento angular b) El espacio angular recorridoc) El espacio lineal recorridod) La posición cuando V=0e) La posición final de la partícula

f) La velocidad en t=7sg) La aceleración total en t=7s

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº13

1. Un cuerpo de 200kg adquiere una velocidad de 108km/h en 10s, cuando se lecomunica una fuerza constante de 98[N]. Determinar:

a) La aceleración producida b) Qué velocidad llevaba al empezar a acelerar

SOLUCIÓN:

Datos:

m=200kgV=108km/ht=10sF=98[N]

a)



2

F = m× a

Fa =

m

98[N]a =

200kg

a = 0,49m/s

b) 108km 1000m 1h

= 30m/sh 1km 3600s

f 0

0 f

0

0

V = V +a×t

V = V -a× t

V = 30m/s-0,49m/ s×10sV = 25,1m/ s

2. A un automóvil de 1000kg que va por una carretera recta se le acciona con unafuerza constante de 490[N] durante 8s, llegando a tener una velocidad de 36m/s.Determinar:

a) La velocidad que tenia el automóvil antes de empezar a acelerar b) Qué velocidad lleva cuando ha recorrido 150m

SOLUCIÓN:

Datos:

m=1000kg

F=490[N]

t=8s

f V = 36m/s

a)



2

Fx = m×a

F-fr = m×a

fr = F-m×a

fr =1568[N]- 400kg×2,44m/sfr = 592[N]

fr = N

fr

N592[N]

3920[N]

0,15

4. Un cuerpo de 6kg parte del reposo y adquiere una velocidad de 36km/h en unadistancia horizontal de 28m. Si 0,25 , determinar:

a) La aceleración producida b) El valor de la fuerza horizontal aplicada

SOLUCIÓN:

Datos:

m=6kg

f V = 36km/ h

r = 20m 0,25

a) 36km 1000m 1h

=10m/sh 1km 3600s

2 2

f 0

2 2

f 0

V = V + 2a r

V Va =

2

2

2 r

10m/sa =

2×28m

a =1,79m/s

b)



Fx = m×a

F-fr = m×a

F = m×a+fr...............(1)

Fy = 0

N-mg = 0

N = mg...................(2)

fr = N............(3)

2 2

(2) y (3) en (1)F = ma+ mg

F = 6kg×1,79m/ s + 0,25×6kg×9,8m/ s

F = 25,44[N]

5. En un lugar de la superficie terrestre, un cuerpo de 500g pesa 4,89[N]. Determinar:

a) El valor de la aceleración de la gravedad en dicho punto b) La masa de un cuerpo de 200[N] en dicho lugar

SOLUCIÓN:

Datos:

m=500g=0,5kg

P=4,89[N]

a)

2

P = m×gP

g =m

4,89[N]g =

0,5kg

g = 9,78m/ s

b)

2

P = m×g

Pm = g

200[N]m =

9,78m/s

m = 20, 45kg



Datos:

m=8kg

0r = 4,-7 m

F = -8 i+16 j [N]

a)

2

F = m×a

Fa =

m

-8 i+16 j [N]

a = 8 kg

a = - i+ 2 j m/ s

f 0 0r = r + V × t

2

2f 0

22f

f

f

1+ a× t

21

r = r + a×t2

1r = 4 i-7 j m+ - i+2 j m/s 8s

2

r = 4i-7 j m+ -32i+64 j m

r = -28i+57 j m

b)

2

2

Va =

tV = a× t

V = - i+ 2 j m/ s ×12s

V = -12 i+24 j m/ s

8. Un cuerpo de 2kg se encuentra en el punto 5,2 m en t=2s con una velocidad de

-7 i+3 j m/ s . Si se le aplica sobre él una fuerza constante de -175 i+ 75 j N

durante 6s; determinar:

a) La posición final del cuerpo

b)

El desplazamiento realizado por el cuerpoc) La velocidad final del cuerpo

SOLUCIÓN:



9. En la figura, un cuerpo de 20kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal lisa

con una aceleración constante de 21m/s . Determinar:

a) El valor de la fuerza normal b) Qué fuerza F se necesita para producir esa aceleración

SOLUCIÓN:

Datos:

m=20kg

2a =1m/ s

a) Fy = 0

N- P = 0

N = P

N = m×g

N = 20 kg× 9,8[N]

N = 196[N]

b) 2

F = m×a

F = 20kg×1m/ s

F = 20[N]

10. Un bloque de 15kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal como

indica la figura. Cuando sobre él actúa una fuerza de 60[N] durante 3s y si 0,2c

, determinar:

a) La aceleración del bloque b) La velocidad final del bloque



SOLUCIÓN:

11. En la figura, si el cuerpo es de 10kg y 0,15c

, determinar:

a) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con velocidadconstante

b) Qué valor debe tener la fuerza para que el cuerpo se mueva con una aceleración

de 22m/s

SOLUCIÓN:

Datos:

m=10kg

0,15c

a) Fy = 0

N-P+Fsen 25 = 0

N = P-Fsen 25.............(1)

2

fr = N................(2)

P = m×g

P =10kg×9,8m/s

P = 98[N]



Fx = 0Fcos 25- fr = 0..............(3)

(1) y (2) en (3)

Fcos25º - P- Fsen 25º = 0

Fcos25º + Fsen 25º - P = 0

F cos 2 5º + sen 25º = P

PF =

cos 25º + msen 25º

0,15×98[N]F =

cos 25º +0,15sen 25º

F =15,16[N]

b)

Fx = m×a

Fcos25-fr = m×a..............(4)

2

(1) y (2) en (4)

Fcos 25º - P- Fsen 25º = m×a

Fcos 25º + Fsen 25º - P = m×a

F cos 25º + sen 25º = P m× a

P m× aF =

cos 25º + msen 25º

0,15×98[N] 10kg× 2 m/ sF =

cos 25º +0,15sen 25º

F = 35, 78[N]

12. Un cuerpo de 5kg es empujado hacia arriba de un plano inclinado liso mediante unafuerza de 30[N] como indica la figura. Determinar:

a) La fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo b) La aceleración del bloque

SOLUCIÓN:



13. En la figura, si el bloque es de 30 kg y 0,2c

, determinar-.

a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constante

c) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 21m/s

d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 21m/s

SOLUCIÓN:Datos:

m=30kg

0,2c

a) Fx = 0

Fx- fr-Px = 0

Fcos15º-fr-mgsen28º= 0............(1)

Fy = 0

N+ Fy- Py = 0

N = Py-Fy N = mgcos 28º-Fsen15º..............(2)

fr = N.............(3)



(2) y (3) en (1)

Fcos15º -fr- mgsen 28º = 0

Fcos15º- mgcos28º -Fsen15º - mgsen 28º = 0

Fcos15º - mgcos 28º + mFsen15º - mgsen 28º = 0

Fcos15º+ Fsen15º = mgcos28º + mgsen28ºF cos15º + sen15º = mg cos 28º +sen 28º

mg cos 28º +sen 28ºF =

cos15º + s

2

en15º

30kg×9,8m/ s 0,2 cos 28º+ sen 28ºF =

cos15º +0, 2sen15º

F = 186, 64[N]

b) Fx = 0

Px- Fx-fr = 0

mgsen 28º -Fcos15º-fr = 0............(4)

(2) y (3) en (4)

mgsen 28º- Fcos15º -fr = 0

mgsen28º- Fcos15º- mgcos28º -Fsen15º = 0

mgsen 28º - Fcos15º - mgcos 28º + mFsen15º = 0Fsen15º- Fcos15º = mgcos28º - mgsen 28º

F sen15º -cos15º = mg cos 28º -sen 28º

mg cos 28º -sen 28ºF =

sen15º-c

2

os15º

30kg×9,8m/ s 0,2 cos 28º-sen 28ºF =

0,2sen15º-cos15º

F = 94,19[N]

c)

Fx = m×a

Fx-fr- Px = m×a

Fcos15º-fr- mgsen 28º= m×a............(5)



d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 22m/s

SOLUCIÓN:

15. En la figura, si el bloque es de 10kg y 0,15c

, determinar:

a) El valor de F para que el bloque suba con velocidad constante

b) El valor de F para que el bloque baje con velocidad constantec) El valor de F para que el bloque suba con una aceleración de 20,7m/s

d) El valor de F para que el bloque baje con una aceleración de 20,7m/s

SOLUCIÓN:

Datos:

m=10kg

0,15c

a) Fx = 0

Fx- fr-Px = 0

Fcos10º -fr-mgsen20º= 0............(1)

Fy = 0

N+ Fy- Py = 0 N = Py-Fy

N = mgcos 20º-Fsen10º..............(2)

fr = N.............(3)



(2) y (3) en (1)

Fcos10º - fr- mgsen 20º = 0

Fcos10º- mgcos20º- Fsen10º - mgsen20º = 0

Fcos10º - mgcos20º + mFsen10º- mgsen 20º = 0

Fcos10º + Fsen10º = mgcos20º+ mgsen 20ºF cos10º + sen10º = mg cos 20º+sen 20º

mg cos 20º +sen 20ºF =

cos10º+ s

2

en15º

10kg×9,8m/ s 0,15cos 20º+ sen 20ºF =

cos10º +0,15sen10º

F = 46,82[N]

b) Fx = 0

Px-Fx- fr = 0

mgsen 20º-Fcos10º -fr = 0............(4)

(2) y (3) en (4)

mgsen- 20º Fcos10º - fr = 0

mgsen20º- Fcos10º- mgcos20º- Fsen10º = 0

mgsen 20º - Fcos10º - mgcos20º + mFsen10º = 0Fsen10º - Fcos10º = mgcos 20º - mgsen 20º

F sen10º -cos10º = mg cos 20º -sen 20º

mg cos 20º -sen 20ºF =

sen10º-c

2

os10º

10kg×9,8m/ s 0,15cos20º-sen 20ºF =

0,15sen10º-cos10º

F = 20,55[N]

c)

Fx = m×a

Fx- fr- Px = m×a

Fcos10º -fr- mgsen 20º= m×a............(5)



(2) y (3) en (5)

Fcos10º -fr-mgsen 20º = m×a

Fcos10º- mgcos20º- Fsen10º - mgsen20º = m×a

Fcos10º - mgcos 20º + mFsen10º- mgsen 20º = m×aFcos10º+ Fsen10º= mgcos 20º+ mgsen 20º m×a

F cos10º + sen10º = mg cos20º +sen 20º m×a

mg cos 20º + sF =

2 2

en 20º m× a

cos10º + sen10º

10kg×9,8m/ s 0,15cos 20º +sen 20º 10kg×0,7m/sF =

cos10º +0,15sen10º

F = 53,75[N]

d) Fx = m×a

Px-Fx-fr = m×a

mgsen 28º -Fcos15- fr = m×a ............(6)

(2) y (3) en (4)

mgsen 20º -Fcos10º-fr = m×a

mgsen20º-Fcos10º- mgcos20º- Fsen10º = m×a

mgsen 20º -Fcos10º- mgcos 20º +mFsen10º= m×a

Fsen10º -Fcos10º= mgcos20º- mgsen20º m×a

F sen10º -cos10º = mg cos20º -sen 20º m×a

mg cos20º-sF =

2 2

en 20º m×a

sen10º-cos10º

10kg×9,8m/ s 0,15cos 20º-sen 20º 10kg×0,7m/sF =

0,15sen10º-cos10º

F =13,25[N]

16. Se lanza un cuerpo hacia arriba, en un plano inclinado de 28º respecto a la

horizontal, con una velocidad inicial de 10m/s. Si 0,2c

, determinar:

a) La distancia recorrida por el cuerpo sobre el plano hasta detenerse



b) El tiempo empleado en subir

SOLUCIÓN:

17. Dos cuerpos del mismo peso, inicialmente en reposo, se dejan en libertad sobre un plano inclinado de 30º, hallándose separados 25cm. Si el coeficiente de rozamientoentre el cuerpo superior y el plano es 0,1 y entre el inferior y el plano es 0,25,determinar:

a) En qué tiempo el cuerpo superior alcanza al inferior b) La distancia recorrida por el cuerpo inferior hasta que es alcanzado por el

cuerpo superior

SOLUCIÓN:

Datos:

A Bm = m

30º

e = 25cm = 0,25m

A 0,1

B 0,25

a)

CUERPO A

A A

A A A A

A A A A A

A

Fx = m ×a

P x-fr = m ×a

m gsen30º - m gcos30º = m ×am

A A× a = m A Agsen30º- m

A A

2A

2A

gcos30º

a = g sen30º - cos30º

a = 9,8m/s sen30º -0,1cos30º

a = 4,05m/ s

A

Fy = 0

N-Py = 0

N = Py

N = m gcos30º



B B

B B B B

B B A B B

B

Fx = m ×a

P x-fr = m × a

m gsen30º - m gcos30º = m ×a

m

B B× a = m B Bgsen30º- m

B B

2B

2B

gcos30º

a = g sen30º - cos30º

a = 9,8m/s sen30º -0,25cos30º

a = 2,77m/ s

De la ecuación

20

1r V × t+ a× t

2

Cuerpo A Cuerpo B

0r V × t 2

A

2

A

2

A

1+ a × t

2

1x+ e = a t

2

1x = a t - e.......................(1)

2

0r V × t 2

B

2B

1+ a × t

21

x = a t ....................(2)2

Igualando (1) y (2)

2 2A B

2 2A B

2A B

A B

2 2

1 1a t - e a t

2 21 1

a t - a t e2 2

t a - a 2e

2et

a - a

2×0,25mt4,05m/ s - 2,77m/ s

t 0,63s

b)



2

A

2 2

1x = a × t - e

2

1x = 4,05m/ s ×0,63s - 0,25m

2

x = 0,56m

18. En la figura los bloques A y B son de 100 y 30 kg respectivamente. Determinar laaceleración de cada bloque y la tensión de la cuerda cuando:

a) No hay rozamiento b) El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el plano es 0,15

SOLUCIÓN:

19. En la figura los bloques A y B son de 5 y 8kg respectivamente. Si el plano inclinado

es liso, determinar:

a) La aceleración en cada bloque b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloquesc) La tensión de la cuerdad) La velocidad del bloque B a los 2s de dejarlo en libertad

SOLUCIÓN:



Datos:

Am = 5kg

Bm = 8 k g

a) CUERPO A CUERPO B

A

A A

A A

Fx = m ×a

T- P x = m ×a

T-m gsen30 = m ×a......................(1)

B

B B

B B

Fy = m ×a

P - T = m ×a

T = m g-m ×a............(2)

A A

B B A A

A B B A

A B B A

B A

A B

2

2

(2) en (1)

T-m gsen30º= m ×a

m g-m ×a-m gsen30º = m ×am ×a+m ×a = m g-m gsen30º

a m +m = g m -m sen30º

g m -m sen30ºa =

m + m

9,8m/ s 8kg-5kgsen30ºa =

5kg+8kg

a = 4,15m/ s

b) A=hacia arribaB=hacia abajo

c) B B

2 2

T = m g- m ×a

T = 8kg×9,8m/s -8 kg×4,15m/ s

T = 45,20[N]

d)

2

Va =

t

V = a× t

V = 4,15m/ s ×2 s

V = 8,3m/ s



20. En la figura el bloque B es de 10kg. Si el coeficiente de rozamiento cinético para

todas las superficies es 0,3, determinar:

a) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con velocidad

constante b) La masa del bloque A para que los dos bloques se muevan con una aceleración

de 21,5m/s

SOLUCIÓN:

21. En la figura los bloques A y B son de 45 y 15kg respectivamente. Si 0,2c

para

todas las superficies, determinar:

a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueven los bloquesc) La velocidad del bloque A, 4s después de partir del reposo

SOLUCIÓN:

Datos:

Am = 45kg

Bm =15kg

0,2c



a) CUERPO A

A

A AB A A

AB A A A

Fx = m ×a

P x-T -fr = m ×aT = m gsen30º -fr - m ×a .............(1)

A

Fy = 0

N-Py = 0 N = m gcos30º...............(2)

fr = × N...........(3)

AB A A A

(2) y (3) en (1)

T = m gsen 30º -mm gcos30º -m × a...........(4)

CUERPO B

AB B B B

AB B B B

Fx = 0

T -P x-fr = m ×a

T = m gsen60+ fr +m × a...............(5)

B B

B B

Fy = 0

N - P y = 0

N = m gcos60º...............(6)

AB B B B

(3) y (6) en (5)

T = m gsen60º + m gcos60º +m × a..............(7)

A A A B B B

A B A A B B

A A B B

A B

2

Igualando (4) y (7)m gsen30º - m gcos30º -m a = m gsen 60º + m gcos60º +m a

m a+ m a = m gsen30º - m gcos30º- m gsen 60º - m gcos60º

m gsen30º- m gcos30º -m gsen60º - m gcos60ºa =

m + m

45kg 9,8m/s sen30º -0,2 45kg 9,8a =

2 2 2

2

m/ s cos30º -15kg 9,8m/ s sen 60º -0,2 15kg 9,8m/ s cos60º

45kg+15kg

a = 0,035m/ s

b) A=hacia arribaB=hacia abajo

c)



2

Va =

tV = a t

V = 0,035m/ s 4s

V = 0,14m/s

22. Dos cuerpos A y B de 20 y 12kg respectivamente están unidos por una cuerda

flexible e inextensible como indica la figura. Si 0,25 A

y 0,32 B

, determinar:

a) La tensión de la cuerda cuando se dejan libres los cuerpos b) La aceleración de cada bloquec) La distancia recorrida por el bloque A 3s después de partir del reposo

SOLUCIÓN:

23. Dos esferas iguales y lisas de 15kg cada una, están apoyadas como se indica en lafigura. Si las paredes son lisas, determinar las reacciones producidas en los puntosde apoyo A, B, C, D.

SOLUCIÓN:

Datos:

1 2m = m =15kg

CUERPO 1



A D

Fy = 0

R cos50º+R sen 20º- mg = 0.............(1)

A D

AD

Fx = 0

R sen50º -R cos20º = 0

R sen50ºR = ..................(2)

cos20º

AA

A A

A

A

2

A

Reemplazando (2) en (1)

R sen50ºR cos50º + sen 20º -mg = 0

cos20º

R cos50º cos 20º +R sen50ºsen 20º = mgcos20º

R cos50ºcos20º +sen50ºsen 20º = mgcos20º

mgcos20º

R = cos50ºcos20º+sen50ºsen20º

15kg 9,8m/ s cos 20ºR =

cos50ºcos

A

20º+sen50ºsen20º

R =159,50[N]

A

D

D

Reemplazando el valor de R en (2)

159,50[N]sen50ºR =

cos20º

R =130,03[N]

CUERPO 2

B D

B D

Fy = 0

R - R sen 20º -mg = 0

R = R sen 20º +mg..............(3)

D C

C D

Fx = 0

R cos20º- R = 0

R = R cos20º.............(4)

D

2B

B


R =130,03[N]sen 20º +15kg 9,8m/s

R =191,47[N]

D

C

C


R =130,03[N]cos20º

R =122,19[N]



24. Dos cilindros lisos e iguales de 20kg cada uno y de radio 10cm, tienen conectadossus centros por medio de una cuerda AB de 25cm de longitud, descansando sobreun plano horizontal sin rozamiento, Un tercer cilindro, también liso de 30kg y de10cm de radio, se coloca sobre los dos anteriores como indica la figura. Determinar:

a) La tensión de la cuerda AB b) Las fuerzas ejercidas sobre el piso en los puntos de contacto D y E

SOLUCIÓN:

25. Dos cuerpos A y B de 35 y 30 kg respectivamente, están sujetos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento. Si los cuerpos parten del reposo, determinar:

a) La aceleración de cada bloque b) La tensión de la cuerda

c) La distancia recorrida por el cuerpo A en 6s

SOLUCIÓN:

Datos:

Am = 35kg

Bm =30kg



0V = 0

a) CUERPO A CUERPO B

A

A A

A A

Fy = m a

P - T = m a

T = m g-m a...........(1)

B

B B

B B

Fy = m a

T- P = m a

T = m g+m a..................(2)

A A B B

A B A B

A B A B

A B

A B

2 2

2

Igualando (1) y (2)

m g- m a = m g+m a

m a+ m a = m g- m g

a m + m = m g- m g

m g-m ga = m + m

35kg 9,8m/ s -30kg 9,8m/ sa =

35kg 30kg

a = 0,75m/ s

b) 2 2

Reemplazando el valor de a en (1)

T = 35kg9,8m/ s - 35kg0,75m/ s

T = 316,64[N]

c) 0r = V t

2

2

22

1+ at

2

1r = at

2

1r = 0, 75 m/ s 6 s

2

r =13,5 m

26. Dos cuerpos A y B de 300g cada uno, están sujetos a los extremos de una cuerdaque pasa por una polea sin rozamiento. Si sobre el cuerpo B se coloca otro de 100g.Determinar:

a) La aceleración de cada cuerpo



B 0,15

28. Tres cuerpos A, B y C de 40, 20 y 60 kg respectivamente, están unidos mediantedos cuerdas como indica la figura. Si todas las superficies son lisas; determinar:

a) La aceleración del cuerpo C b) En qué sentido se mueve cada uno de los cuerposc) Las tensiones en las cuerdas

SOLUCIÓN:

29. En el sistema de la figura se tiene que B Cm = m =15kg . Si 0,1; 0, 2 A B

y

0,3C , determinar:

a) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con velocidadconstante

b) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con velocidadconstante

c) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la derecha con una

aceleración de 21,3m/s

d) La masa de A para que el cuerpo B se mueva hacia la izquierda con una

aceleración de 21,3m/s



SOLUCIÓN:

Datos:

B Cm = m =15kg

0,1 A

0,2 B

0,3C

a) CUERPO A

A A A

A A A

Fy = 0 N - m gcos = 0

N = m gcos

1 A A A A A

1 A A A A A

Fx = 0T -m gsen m gcos 0

T m gsen m gcos ...................(1)

CUERPO B

B

B

Fy = 0

N-m g = 0

N = m g

2 1 B B

Fx 0

T -T - m g = 0....................(2)

CUERPO C

C C C

C C C

Fy = 0

N - m gcos = 0

N = m gcos

C 2 C C C

2 C C C C

Fx = 0

m gsen -T - m gcos = 0

T = m gsen - m gcos ..................(3)



C C C C A A A A A B B

A A A A A C C C C B B

A A A A C C C C B B

A

(3) y (1) en (2)

m gsen - m gcos - m gsen m gcos - m g = 0

m gsen m gcos m gsen - m gcos - m g

m g sen cos g m sen - m cos - m

gm

C C C C B Bm sen - m cos - m

g

A A A

C C C C B BA

A A A

sen cos

m sen - m cos - mm

sen cos

b)

30. En el sistema de la figura los cuerpos A y B son de 18 y 6kg respectivamente. Si

0,25C

; determinar:

a) La aceleración de cada bloque b) En qué sentido se mueve cada uno de los bloquesc) Las tensiones en las cuerdas C y D

SOLUCIÓN:

EJERCICIO Nº14

1. Un cuerpo de 2kg atado al extremo de una cuerda de 1,5m de longitud, gira sobre un plano horizontal liso con una aceleración angular de 10rad/s2. Determinar:

a) La aceleración tangencial del cuerpo



b) La fuerza tangencial a que esta sometido el cuerpoc) Que fuerza neta actúa sobre el cuerpo, cuando su rapidez es 3m/s

SOLUCIÓN:

2. Un automóvil de 1200kg recorre una curva horizontal de 350m de radio con unarapidez de 36km/h. Si la curva no tiene peralte, determinar:

a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el cuerpo b) La fuerza ejercida por las ruedas sobre la carretera, para mantener el

movimiento sobre la curva

SOLUCIÓN:

3. Un cuerpo de 500g atado al extremo de una cuerda de 1m de longitud, gira sobre un plano horizontal liso con una velocidad angular de 40 rad/s. Determinar:

a) La aceleración centrípeta del cuerpo b) La tensión de la cuerdac) La máxima rapidez con la que puede girar, si la tensión de rotura es 1000[N]

SOLUCIÓN:

4. Un avión lleva una rapidez de 648km/h en una curva horizontal. Si la fuerzacentrípeta que actúa sobre el piloto de 65kg es de 1000[N], determinar:

a) La aceleración centrípeta que actúa sobre el piloto b) El radio de la curva en que se mueve el avión

SOLUCIÓN:



5. Un cuerpo de 15kg parte del reposo y se mueve alrededor de una circunferenciahorizontal de 40m de radio, por la acción de una fuerza tangencial de 1200[N] queactúa durante 8s. Determinar:

a) La aceleración tangencial que actúa sobre el cuerpo

b) La aceleración angularc) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo al término de los 8s.

SOLUCIÓN:

6. Un cuerpo de 10kg atado a una cuerda de 1,6 m de longitud, gira con velocidadconstante en círculos horizontales. Si el periodo es de 3s, determinar:

a) La velocidad del cuerpo b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo

SOLUCIÓN:

7. Un cuerpo de 8kg atado a una cuerda de 1,3 m de la longitud, gira por unatrayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar:

a) La aceleración centrípeta b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo

SOLUCIÓN:

8. Un péndulo de 1,5 m de longitud, describe un arco de circunferencia sobre un planovertical. Si la tensión de la cuerda es cuatro veces el peso del cuerpo, cuando estánen la posición indicada en la figura, determinar:

a) La aceleración tangencial del cuerpo b) La aceleración centrípetac) La rapidez del cuerpo



SOLUCIÓN:

9. Se lanza un proyectil de 5kg con una velocidad de sm j32i26

. Determinar a los

2s de vuelo:

a) El valor de la fuerza tangencial que actúa sobre el proyectil. b) El valor de la fuerza centrípeta que actúa sobre el proyectilc) El valor de la fuerza neta que actúa sobre el proyectil

SOLUCIÓN:

10. El cuerpo de un péndulo cónico es de 2kg y cuelga de una cuerda de 8m de

longitud, describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpose desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical,determinar:

a) La tensión de la cuerda b) Cual es la rapidez del cuerpo

SOLUCIÓN:

11. Un motociclista y su maquina, que pesan 1500[N], describen un rizo de 4m deradio. Si 0μ , determinar:

a) La velocidad critica b) La fuerza que ejerce el rizo sobre el mo9vil en la parte superior



15. Un vehículo de 800kg describe una curva horizontal de 35m de radio. Si 20,μ ,

determinar:

a) La máxima velocidad en km/h con que podrá tomar la curva sin derrapar, si nohubiese peralte

b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 108m/h

SOLUCIÓN:

16. Sobre un disco se coloca un cuerpo de 50g a una distancia de 15cm del centro. Si el

sistema gira en el plano horizontal partiendo del reposo, con una aceleraciónangular de 2,5rad/s2 y si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el disco es0,2, determinar:

a) El tiempo que el cuerpo permanecerá sin deslizar, respecto del disco b) Que rapidez tendrá el cuerpo cuando comienza a deslizarse

SOLUCIÓN:

17. Un cuerpo de 15kg se mueve con rapidez constante de 4m/s por la pista de la figura.Determinar la reacción que ejerce la pista sobre el cuerpo en los puntos A, B y C.

SOLUCIÓN:

18. Un cuerpo de 1,5kg cuelga de una cuerda de 1,8m de longitud. Cuando la cuerdaforma un ángulo de 40º con la vertical, el cuerpo tiene una velocidad de 6m/s.Determinar-.



a) La aceleración tangencial b) La aceleración centrípetac) El valor de la aceleración totald) La tensión en la cuerda

e) El valor de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo

SOLUCIÓN:

19. Un móvil de 4kg se desplaza con una rapidez constante de 5m/s por la pista de lafigura. Determinar el valor de la fuerza centrípeta en los puntos A, B y C

SOLUCIÓN:

20. El sistema de la figura gira alrededor de un eje vertical con velocidad constante.

Conociendo que el coeficiente de rozamiento entre el pequeño bloque A y la paredcilíndrica es 0,2, determinar la mínima velocidad para la cual el bloque permaneceráen contacto con la pared

SOLUCIÓN:



EJERCICIO Nº 15

1. Calcular el torque de la fuerza F de la figura respecto del punto o por tres métodosdiferentes.

SOLUCIÓN:

2. En la figura: . N40F, N50F, N03F, N35F 4321 Calcular el torque

resultante respecto a los puntos O y P

SOLUCIÓN:

3. La viga horizontal AB de la figura es uniforme y pesa 200[N]. Determinar latensión en cada una de las cuerdas que soportan la viga, cuando se cuelga un pesoW=100[N] en la posición indicada en la figura.



SOLUCIÓN:

4. Una regla graduada de 1m, se equilibra con un apoyo en su centro. Si se coloca un

cuerpo de masa 100g en la marca de 80 cm, ¿En que marca deberá colocarse otramasa de 60g para que la regla siga en equilibro?

5. En la figura representada, ¿Cuál debe ser el mayor de la distancia x en metros, paraque el sistema permanezca en equilibrio? Se considera despreciable el peso de la barra.

SOLUCIÓN:

6. En la figura, determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargasque actúan sobre la viga, cuyo peso es despreciable.

SOLUCIÓN:



7. En la figura determinar las reacciones en los apoyos A y B, causadas por las cargasque actúan sobre la viga de peso despreciable.

SOLUCIÓN:

8. En la figura, la barra AB pesa 150[N] por metro de longitud y esta sostenida por elcable BC y un pasador en A. Determinar la tensión en el cable y la reacción en A.

SOLUCIÓN:

9. La viga homogénea de la figura, tiene un peso de 400[N]. Determinar



a) La fuerza que hace el pasador sobre la viga b) La tensión en el cable horizontal

SOLUCIÓN:

10. Una viga uniforme de 15kg está articulada en A y sostenida en su otro extremo porun alambre, como se muestra en la figura. Si la tensión en el alambre es 500[N],determinar:

a) El valor de la masa M, que sostiene la viga b) Cual es la fuerza que hace el pasador A, sobre la viga

SOLUCIÓN:

11. En la figura, la viga AB tiene un peso de 300[N] por metro de longitud. Determinar:

a) La tensión sobre el cable



SOLUCIÓN:

17. En la figura, la barra AB tiene un peso de 400[N]. Determinar la tensión en el cabley la reacción en A.

SOLUCIÓN:

18. Una escalera de 5m longitud y 100[N] de peso, esta apoyada contra una paredvertical, como se indica en la figura: Cuando un hombre de 700[N] de peso alcanzaun punto a 4m del extremo inferior A, la escalera está a punto de resbalar. Si elcoeficiente de rozamiento entre la escalera y la pared es 0,3 calcular el coeficientede rozamiento entre el piso y la escalera.



SOLUCIÓN:

19. En la figura, la viga AB de peso despreciable y 10m de longitud, está apoyada enuna pared vertical A y en una esquina C perfectamente lisas. Determinar:

a) El ángulo θ para que la viga este en equilibrio b) Las reacciones en los puntos de apoyo

SOLUCIÓN:

20. En el sistema de la figura, si 3m es mayor que 2m , demuestre que:

2321321 L.m.m4Lmmm , para que la varilla AB de masa despreciable esté en

equilibrio



SOLUCIÓN:

127669538 Solucionario Vallejo 1

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