Circunferencia y CírculoDefinicionesCircunferencia: línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.Círculo: conjunto de puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia

Relaciones Métricas.

Definición:

Cuando en una figura es posible relacionar de alguna manera las medidas de

sus distintos elementos tales como: lados, alturas, diagonales, etc. Se ha

obtenido una relación métrica en dicha figura.

Proyección ortogonal: Para estudiar las relaciones métricas entre los

elementos de los triángulos es necesario tener un concepto de proyección

ortogonal.

La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la

perpendicular que va del punto al plano.

En la siguiente figura P` es la proyección P sobre el plano.

La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es un

segmento cuyos extremos, son las proyecciones de los extremos del

segmento dado sobre la recta, así en la siguiente figura cada segmento

A` B` es la proyección de cada segmento A B sobre la recta R.

Clasificación.

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

Al trazar una altura sobre la hipotenusa se forman dos triángulos

semejantes al lado.

Si se aumentan los catetos la hipotenusa aumenta proporcionalmente.

En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es

media proporcional entre los segmentos que dicha altura determina

sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se cumple. la

longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual ala suma de los

cuadrados de las longitudes de los catetos.

Relaciones métricas en circunferencia.

Relaciones entre los segmentos de la cuerda: Si dos cuerdas se cortan

en un punto inferior de la circunferencia, entonces el producto de los

segmentos de una cuerda es igual al de los segmentos de otra cuerda

Relación entre los segmentos de dos secantes: Si trazamos dos

secantes desde un punto exterior a una circunferencia, entonces el

producto de una de las secantes por su segmento exterior es igual al

producto de la otra secante por su segmento exterior.

Relación entre una secante y una tangente: Si desde un punto exterior

a una circunferencia trazamos una secante y una tangente, se cumple

que la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su

segmento exterior.

Relaciones entre los polígonos regulares.

Lado del cuadrado inscrito: El lado del cuadrado inscrito en una

circunferencia de radio es igual al producto de R por l raíz cuadrada de

dos, es decir: L4 = R "2

Lado del hexágono regular inscrito: El lado del hexágono inscrito en una

circunferencia es igual al radio: L6= R

Lado del triángulo equilátero inscrito: El lado equilátero inscrito en una

circunferencia de radio F es igual al producto de radio por raíz cuadrada

de tres: L3= R"3.

Comentario:

Las relaciones métricas de la circunferencia, son importantes para resolver

problemas acerca de circunferencias, en el cual muchas veces, nos resulta

difícil desarrollarlos.

GUÍA DE EJERCICIOS Contenido: Relaciones Métricas en una circunferenciaTeoremas sobre relaciones métricas en una circunferenciaTeorema 1: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia determinan arcos congruentes.Asimismo, arcos congruentes determinan cuerdas congruentes.

AB CD AB CD Teorema 2: Cuerdas congruentes de una misma circunferencia son equidistantes (están a la mismadistancia) del centro.

AB CD_OM O_ Teorema 3: La simetral de una cuerda en una circunferencia, contiene al centro de la circunferencia.Del mismo modo, en toda circunferencia, la recta trazada desde el centro al punto mediode una cuerda corresponde a la simetral de la cuerda.

s simetral de AB _ O s , MB MA_OM simetral de AB Teorema 4: Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un mismo punto exterior aella son congruentes.

P: punto exterior a la circunferencia. PA y PB segmentos tangentes _ PA PB

Teorema 5: Si AB y CD son cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P, entonces:AP PB CP PD Teorema de las cuerdas

Teorema 6: Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan dos rectas secantes,intersectándola en los puntos A y B, C y D, respectivamente, entonces:AP PB PD CP

Teorema 7: Si desde un punto P, exterior a un circunferencia, se traza una recta tangente en el punto T, y unarecta secante en el punto en los puntos A y B, entonces:PT PAPB 2

Potencia de un punto: Si desde un punto P cualquiera se traza un secante que intersecta a unacircunferencia en los puntos A y B, se llama potencia del punto P con respecto ala circunferencia, al producto de las longitudes de los segmentos PA y PB

Potencia = PAPB

Observación: La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es constante independiente dela secante trazada.Propiedad: Sea ABCDE un pentágono circunscrito a una circunferencia. Entonces:

mJAmAFmFBmBGmGCmCH mHDmDI

mIEmEJ

Esta propiedad se puede generalizar para cualquier polígono circunscrito.Desarrolle los siguientes ejercicios en su cuaderno:1) En la figura, AP = 6 cm; PD = 4 cm; 2) En la figura, AP 12cm ; AB =9cm PC = 8 cm. ¿Cuánto mide PB ? PD

4cm . ¿Cuánto mide CDA) 3 cm A) 4 cmB) 4 cm B) 5 cm

C) 5 cm C) 9 cmD) 6 cm D) 27 cm

E) 8 cm E) 12 cm3) Las circunferencias de centros O1 y O2 son 4) En la figura , AP 4 cm; PB 12 cmtangentes entre sí. Sus radios miden 4 cm CP 6 cm. ¿Cuánto mide CD?y 3 cm, respectivamente. AP = 18 cm. A) 2 cm¿Cuánto mide PQ? B) 8 cmA) 16 cm C) 14 cmB) 16 3 cm D) 24 cmC) 4 2 cm E) 48 cmD) 4 cmE) 8 2 cm

Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

El punto medio de la hipotenusa es equidistante a los tres vértices.

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

, también se cumple:

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

, es decir:

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

[editar] Área de un triángulo rectángulo

Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal.

donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo citado.

Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.