PROYECTO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON PROGRAMACIÓN

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESTabla de contenido

1. Antecedentes históricos de la IO.

2. Metodología de la Investigación de Operaciones

3. Aplicaciones de la Investigación de Operaciones

4. Referencias Bibliográficas

George Dantzig Rusell L. Ackoff

George Dantzig y Rusell Ackoff , investigadores de origen norteamericano, se consideran pioneros en el nacimiento y desarrollo de metodologías científicas, en el campo de la Programación Lineal e Investigación de Operaciones , respectivamente, desde el pasado siglo XX

También se conoce como Ciencia de la Administración, debido a que su aplicación se restringe a sistemas creados por el hombre como son organizaciones de todo tipo, institutos y empresas, en general es utilizada para tomar decisiones en problemas con características de complejidad para resolverlos, por lo que es necesaria la intervención de personal interdisciplinario actuando en equipo, para aplicar el método científico, con el objetivo común de buscar una solución integral y óptima.

Actualmente, una persona con cualquier formación profesional, desempeñando la función de administrador en cierta área de la organización, sea del sector público o privado, requiere de la utilización de las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales al enfrentar los problemas. El mundo complicado de mercado en que se vive ahora, exige la aplicación de estrategias refinadas y aún sofisticadas que aseguren la buena conducción de la empresa; para una buena parte de las organizaciones ya no es suficiente confiar a la experiencia personal las decisiones adecuadas, pues depende por lo general de la evaluación de alternativas de acción que pueden consumir mucho tiempo valioso, además, que pueden ser demasiadas para esperar el buen juicio de una sola persona. De esta manera se impone el uso del procesador electrónico, capacitado para manejar cantidades masivas de información, pero requiere de software que se elabora a partir de la interpretación abstracta o modelo matemático construido por los técnicos responsables.

En resumen, personas con formación interdisciplinaria actuando en equipo, emplean la Investigación de Operaciones (IO), aplicando procedimientos, técnicas y herramientas científicas a problemas operativos de las organizaciones con el propósito de desarrollar y ayudar a evaluar alternativas de solución.

DEFINICIONES DE DIFERENTES AUTORES.

En el libro de Shamblin y Stevens llamado Investigación de Operaciones.

Un Enfoque Fundamental de la editorial Mc Graw Hill impreso en México, 1991.

La Investigación Operacional es un enfoque científico de la toma de decisiones

En el libro de Ackoff y Sasieni llamado Fundamentos de Investigación de Operaciones de la editorial Limusa impreso en México en 1994.

La Investigación de Operaciones es: La aplicación del método científico, por equipos interdisciplinarios, a problemas que comprenden el control de sistemas organizados hombre-máquina, para dar soluciones que sirvan mejor a los propósitos de la organización como un todo.

En el libro de Thierauf y Grosse llamado Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones de la editorial Limusa impreso en México en 1977.

La investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (método científico) y un grupo interdisciplinario, a fin de representar las complicadas relaciones funcionales en modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa para la toma de decisiones, y descubrir nuevos problemas para su análisis cuantitativo.

Libro de Moskowitz y Wright. Investigación de Operaciones. Prentice Hall 1979.

Método científico aplicado a problemas y la toma de decisiones por la gerencia.

En el libro de Winston llamado Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos 2ª edición. Grupo Editorial Iberoamérica impreso en México en 1994.

Planteamiento científico a la toma de decisiones, que busca determinar cómo diseñar y operar mejor un sistema, normalmente bajo condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.

1. Antecedentes históricos de la IO.

La búsqueda de la mejor solución (máxima, mínima, o también la óptima) para una variedad de problemas ha divertido e intrigado al hombre a través de las épocas. Euclides en su libro III, describió formas de encontrar las líneas rectas de mayor y menor longitud, desde un punto hasta la circunferencia de un círculo; y en el libro IV, el paralelogramo de mayor área para un perímetro dado. Los grandes matemáticos de los siglos XVI a XVIII

desarrollaron la teoría y proceso de optimización que resuelven difíciles problemas geométricos, dinámicos y físicos, tales como las curvas de revolución mínima o la curva de descenso más rápido.

En general, la historia no se escribe con exactitud, pero si se pueden recopilar hechos que describan de alguna manera la evolución conocida de acuerdo con escritos, estudios e investigaciones encontradas. Las técnicas utilizadas en la aplicación de la IO conducen al pasado siglo XX, pero también al pasado remoto de siglos como antecedentes. Para ello es conveniente fijarse en la idea fundamental de la IO que es el método científico cuyo origen exacto se desconoce. En escritos hechos hace milenios como es el Antiguo Testamento se menciona a Jetro, suegro de Moisés, como autor de un tratado de principios de organización y más recientemente, en el antepasado siglo XIX, Charles Babbage es autor del trabajo On the Economy of Machinery and Manufactures. Al ingeniero Frederick Winslow Taylor, norteamericano de origen, se le reconoce la paternidad de la Administración Científica debido a sus investigaciones sobre las obligaciones y tareas de los jefes de taller, así como también de la producción diaria individual según la capacidad del obrero para tareas específicas, definiendo así la división del trabajo mediante capacitación, selección y adiestramiento de los trabajadores. Además, Taylor aplicó el análisis científico a los problemas de manufactura, estableciendo normas de trabajo y la especialización. Por su parte Henry L. Gant, planeó las tareas de las máquinas para evitar demoras de producción. Así es posible fijar fechas de entrega con más seguridad. También contribuyó al enfoque científico incluyendo el aspecto humano como integrante.

Con el inicio del siglo XX, los investigadores también utilizaron procedimientos científicos para analizar problemas localizados fuera de las ciencias puras como son la Física, la Química, la Biología, entre otras más, pero en la década que se inicia en 1910, Taylor se dedicó a buscar la eficiencia para las tareas haciendo valer los estudios de tiempos y movimientos de Frank y Lillian Gilbreth eliminando movimientos innecesarios y desperdicios en cada tarea. En la misma década durante la 1ª. Guerra Mundial, se le confió a Thomas A. Edison el averiguar las maniobras más eficaces de los barcos mercantes para disminuir los embarques perdidos por ataques de los submarinos enemigos. Edison empleó un "tablero táctico" como modelo para simular las operaciones reales.

Un ingeniero danés A. K. Erlang hizo experimentos relacionados con las fluctuaciones de la demanda telefónica en equipo automático quedando estos trabajos como fundamento de muchos modelos matemáticos que se usan actualmente en los estudios de Teoría de Colas o Líneas de Espera. En 1937, a punto de empezar la Segunda Guerra Mundial, se juntó en el Reino Unido a un equipo de matemáticos, ingenieros y científicos en áreas básicas, para estudiar los problemas estratégicos y tácticos asociados con la defensa del país. Se formó un equipo cuyo objetivo era determinar la utilización más efectiva de los limitados recursos militares. En consecuencia, a las actividades de este grupo se le llamó Investigación Operacional, que es terminología común en el medio militar. Primero se les pidió ayuda para los militares en la utilización eficiente del radar para localizar aviones enemigos; después en 1940 se reunió otro grupo, el circo de Blackett encabezado por el distinguido físico inglés P. Blackett para estudiar la actuación del equipo de control de cañones en el campo; había tres fisiólogos, cuatro matemáticos, un físico, un astrofísico, un oficial militar y un agrimensor.

En los Estados Unidos de Norteamérica se motivaron por los éxitos alcanzados por los grupos británicos, en Abril de 1942 se decidió introducir la IO a nivel superior, emprendiendo también estudios tales como: problemas logísticos complejos, el desarrollo de patrones de vuelo para aviones y la planeación de maniobras navales. En la Fuerza Aérea se le dio el nombre de Análisis de Operaciones y en el Ejército y la Marina los de

Investigación de Operaciones y Evaluación de Operaciones, respectivamente. Cuando terminó la guerra, la necesidad de reconstruir en la Gran Bretaña, dio lugar al surgimiento de otros problemas de administración en sectores de gobierno e industria los cuales demandaron la actuación de los mismos científicos especializados en la IO.

También en los Estados Unidos de Norteamérica, en la década de 1950 con el desarrollo y comercialización de las computadoras, los investigadores de operaciones y la gente asociada con las operaciones de la última guerra, se percataron que los estudios realizados en la misma eran de gran utilidad, aplicados a los problemas industriales. La computadora y el desarrollo de la IO motivaron a los ejecutivos industriales y a los especialistas de esta disciplina para reunirse y provocar su rápido crecimiento.

La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las técnicas Pert, control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y la estadística tan útiles en cualquier estudio moderno.

Actualmente el uso de la IO es extenso en áreas de: contabilidad, compras, planeación financiera, mercadotecnia, planeación de producción, transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de competencia para los presupuestos y contratos.

La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas en que se apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina.

Antecedente histórico de Investigación de Operaciones.- Desde el siglo XVI:

Figura 1. Técnicas utilizadas en IO

Se puede observar que la IO fue desarrollada en el siglo XX con el apoyo, siglos atrás, de importantes aportaciones de científicos que con su talento y dedicación, dejaron sólidos cimientos para los estudios de solución en los sistemas actuales.

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FUNDAMENTACIÓN

Investigacion de Operaciones

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2. Metodología de la Investigación de Operaciones

El enfoque de sistemas a un problema, es característico en la IO, consiste en examinar toda el área que es responsabilidad del administrador y no una en particular; esto permite que el grupo de IO observe los efectos de acciones fuera del área de localización del problema, lo que puede permitir resolver el problema verdadero y no sólo sus síntomas. Además, debe incluirse una base cuantitativa o modelo para la toma de decisión en la solución del problema, pero en algunos casos, las respuestas dadas por la computadora conducirán a la necesidad de ciertas modificaciones que reflejen la futura condición del negocio o bien será una guía a seguir por el administrador sin necesidad de hacer cambios.

La investigación de operaciones proporciona la oportunidad de que sus resultados se utilicen en la toma de decisiones a niveles administrativos superiores, medianos y bajos. La experiencia del administrador, las futuras condiciones del negocio y los resultados de un modelo matemático forman la mejor combinación para la planeación, organización, dirección y control de las actividades de la empresa. El procedimiento de siete pasos mostrado en el siguiente diagrama, puede constituir una metodología de acción al aplicar la IO.

Figura 2. Diagrama con metodología de la investigación de operaciones

Paso 1.- Identificar el problema.

Comienza con la observación de los fenómenos que rodean el problema; hechos opiniones y síntomas relativos al mismo. Esto incluye la especificación de los objetivos de la organización y de las partes a

analizar de la misma. En algunas ocasiones puede que el problema no esté bien definido porque entran en conflicto los objetivos, como es maximizar la utilidad, pero también es deseable minimizar los costos totales, lo cual es improbable lograr simultáneamente; por tal motivo se requiere diálogo y acuerdos entre los miembros del equipo de IO y la parte corporativa para decidir un objetivo global. También las primeras observaciones pueden resultar con objetivos en conflicto como es un departamento de producción que desea programar grandes y prolongadas campañas de un sólo artículo para disminuir los costos de preparación y montaje de sus máquinas. Pero en contraste, si se cumple lo anterior, crecerían los inventarios de materia prima y de producto, tanto en proceso como terminado, causando serios problemas en departamentos de: ventas, contabilidad y finanzas. De este modo, ventas desea un gran inventario pero muy variado, con una producción muy flexible; por su parte finanzas desea mantener el inventario bajo y mejorar las inversiones de capital. Cuando muchos factores de esta clase concurren en el problema es indispensable la aportación de la interdisciplina del equipo de IO, pues es razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento especial, necesario en los campos apropiados. Por ejemplo, un banco desea reducir los gastos relacionados con los salarios de los cajeros, pero manteniendo un nivel adecuado de servicio a los clientes (tiempo de espera razonable para el cliente y de ocio para los cajeros). Los aspectos funcionales del banco que influyen para conseguir los objetivos pueden ser los que siguen:

Llegadas promedio al banco de clientes por hora, pues conforme aumenta se deben instalar cajeros adicionales para tener el nivel deseado de servicio.

Promedio de clientes servidos por hora de uno o más cajeros. Efecto sobre los objetivos del banco, de mantener filas (colas) para cada caja o formar una sola

que distribuye clientes conforme se desocupan las cajas. Intercambio entre filas de clientes, con desorden, en sistema de cola por caja.

Paso 2.- Observar el sistema

Se determinan aquellos factores que afectan, como son: variables, limitaciones y suposiciones. Los factores variables que requieren decisiones como es el nivel de inventario y la necesidad de publicidad; las limitaciones restringen el uso de recursos como: dinero, tiempo, personal, capacidad productiva, existencias de materia prima; las suposiciones pueden ser para: precios de producto y competencia del mercado. Hay que reunir datos para estimar valores de los parámetros que afectan el problema de la organización. En el ejemplo del banco, algunos parámetros pueden ser:

Llegadas promedio de clientes por hora (tasa), durante la jornada bancaria. Promedio de clientes servidos por hora en caja con diferente tamaño de fila.

Paso 3.- Formular un modelo matemático del problema

Consiste en el desarrollo de cursos alternativos de acción o hipótesis, en la forma de modelo matemático que generalmente se diseña para usarse en computadora con el software correspondiente para obtener la solución óptima o una aproximación a ella. Frecuentemente en este paso, hay necesidad de desarrollar varios modelos que a primera vista parecen prometedores, posteriormente se van desechando conforme

muestran sus deficiencias para seleccionar el que se ajusta más a los objetivos planteados, los que no deben descuidarse especificando una ecuación como medida de efectividad con el objetivo preciso. Se puede construir (formular) un modelo que represente la estructura del sistema real en términos cuantitativos para manipularse y experimentar cambiando ciertas variables y manteniendo como constantes a otras para conocer los efectos sobre el sistema que se estudia. De esta manera, se puede experimentar con el mundo real en términos abstractos. La construcción de los modelos matemáticos puede ser muy difícil incluyendo expresiones complejas con variables controlables como son: precios de venta, número de unidades producidas, algunos costos, número de vendedores, restricciones presupuestadas; por otra parte, las variables no controlables por la administración pueden ser: precios de los competidores, costo de las materias primas, costos de mano de obra, demanda de los clientes y su localización. Las variables controlables y las no controlables se relacionan con matemáticas en forma precisa, el conjunto de expresiones forman lo que se llama modelo matemático cuya solución es función de los valores que tomen dichas variables. La construcción del modelo debe incluir una ecuación objetivo, con la previa definición del significado cuantitativo de las variables involucradas y puede necesitar el complemento de un grupo de expresiones restrictivas para los valores posibles de las variables controlables. Por ejemplo, unidades que se producen, dinero gastado, demanda de clientes, asignación de recursos, disponibles o requeridos, como son las desigualdades (<= ó >=) para no exceder lo especificado o para cumplir el mínimo requerido. Hay dos procedimientos para obtener la mejor solución a un problema partiendo de un modelo: el analítico y el numérico. El analítico emplea la deducción matemática con base en el álgebra y/o cálculo para lograr la solución óptima de acuerdo a las consideraciones de diseño; por otro lado, el numérico prueba diversos valores de las variables de control del modelo, compara los resultados obtenidos y selecciona la serie de valores que optimizan. Estos procedimientos varían, desde los de tanteo hasta los iterativos. Para ciertas situaciones complejas no hay modelo analítico que las represente en forma válida, en estos casos se puede recurrir a un modelo de simulación que permite, con la ayuda de la computadora, aproximar el comportamiento del sistema y buscar la mejor solución. En este paso es común el regreso al paso 2 para ajustes de observación.

Paso 4.- Verificar el modelo y usarlo en predicciones

Se trata ahora de verificar si el modelo matemático diseñado en el paso 3 anterior, es una buena representación de la realidad que se estudia, calificando su validez para situaciones actuales. Cuando sea posible, se debe obtener información respecto al comportamiento del modelo al cambiar valores en sus variables y parámetros, especialmente si estos últimos no se pueden determinar con exactitud, esto se conoce como análisis de sensibilidad o experimentación sobre el modelo y con ayuda de la computadora, cambiando los valores a variables y parámetros, que representen las situaciones reales, incluyendo las desventajosas. Frecuentemente, si la experimentación es muy limitada, se pueden tener resultados engañosos que posteriormente en aplicación a población mayor, se debe regresar a corregir los criterios equivocados en los pasos precedentes 2 y 3. Con el análisis de sensibilidad se puede ajustar:

La medida de efectividad u objetivo como es el dinero como utilidad o costo. Revisión de las variables bajo control o de decisión. Revisión de las variables no controlables y ambientales como demanda y ubicación de clientes,

precios de la competencia, o nivel de actividad económica. Relación de los factores ya mencionados con las restricciones propuestas.

En particular para el ejemplo del banco, si los valores de predicción para el tiempo de espera en cola y el nivel de servicio no están cerca de los valores reales obtenidos en la observación del paso 2, seguramente se necesitará otro modelo o al menos revisar los parámetros considerados al mismo. Este caso es para analizar, si el modelo es válido para las situaciones de poca demanda de clientes y para los días de pago acostumbrados.

Paso 5.- Seleccionar una alternativa

Si existe una alternativa que se adapte mejor a los objetivos de la organización con el modelo matemático propuesto, entonces debe seleccionarse para su presentación a los responsables de decidir, pero frecuentemente la situación no es clara para hacerlo así, porque el conjunto de opciones resultantes está sujeta a restricciones difíciles de cumplir o imposibles.

Paso 6.- Presentar resultados a la organización

Al terminar la etapa de pruebas y desarrollo de un modelo con solución aceptable, se puede presentar una recomendación o bien varias alternativas para que la organización seleccione la que mejor se ajusta a sus necesidades. Generalmente hay necesidad de mostrar varias corridas de computadora, en cuyo caso es conveniente instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la administración. Este sistema debe incluir, tanto el modelo como el procedimiento de solución, análisis de sensibilidad y los procedimientos operativos para su probable implantación. Pero dado el caso muy frecuente de rechazo a la solución propuesta, ya sea por definición incorrecta o debido a la poca participación del tomador de decisión, entonces será necesario regresar al paso 1,2 ó 3.

Paso 7.- Implantar y evaluar las recomendaciones

Si la organización acepta el estudio con la propuesta de solución, se procede a la implantación que incluye el sistema de computo y la vigilancia constante para las actualizaciones por cambios en el sistema. Con frecuencia se requiere un número considerable de programas integrados. Las bases de datos y los sistemas de información administrativos puede proporcionar información actualizada cada vez que el modelo se utilice, en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (interacción con el usuario) para hacer amigable la operación del sistema propuesto. También se pueden instalar programas adicionales que manejen los resultados del implante de manera automática o bien un sistema interactivo de computadora denominado sistema de soporte de decisiones, para ayudar a la dirección con información relevante en sus decisiones. Se puede generar informes con la terminología usual en el medio, que relacionen los resultados entregados por el sistema implantado y las implicaciones. Dependiendo del tamaño del estudio se pueden requerir meses o años para implantar (desarrollar, probar e instalar) el sistema computarizado y posteriormente su mantenimiento en las indispensables actualizaciones de programas, modelo y aún de equipo (hardware). Cualquier falla o rechazo en la implantación puede hacer necesario la revisión y ajuste en los pasos 1, 2, 3 y 4.

UBICACIÓN DE LA IO EN LAS ORGANIZACIONES.- La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mundo, al mejorar la eficiencia de muchas organizaciones. Ha hecho

contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de muchos países, de ellos más de 30 que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS). Al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería la 3ª área profesional, de más rápido crecimiento para los egresados graduados entre 1990 y 2005 en Estados Unidos, con 100,000 personas laborando como analistas de IO en el 2005.

El problema de la localización de un grupo de IO dentro de la empresa ha merecido una gran atención, sin embargo, no hay una posición preferida para las organizaciones; pero se puede decir que los que han tenido éxito dependen de los niveles jerárquicos superiores de la institución, lo cual da una base firme para su funcionamiento con obligaciones de enfrentar los problemas de tomar decisiones y de utilidad inmediata para la administración. Teniendo el respaldo de la autoridad superior con prestigio dentro de la empresa, se podrán cruzar los linderos departamentales y obtener la información necesaria para dar soluciones.

Generalmente el grupo de IO se asocia con el de sistemas de procesamiento de datos, pues el acceso a las computadoras es el apoyo indispensable para sus actividades, por lo que no es raro que estén integrados dada la posibilidad de tener el mejor manejo de la información deseada y ordenada como convenga. De este modo ambos grupos, el de IO y el de sistemas de procesamiento de datos, se complementan en términos de los objetivos de la institución.

Para la mayoría de los estudios de IO, se recomienda un equipo compuesto de analistas y de personal involucrado en el problema que se enfrenta, este grupo informa a un Comité Directivo de la Administración integrado por los directivos departamentales que están afectados en el problema estudiado de IO, los cuales a su vez se reúnen con la administración superior para reportar los progresos. Los comités allanan el camino del personal de IO para obtener la cooperación del personal de operación y su aceptación.

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INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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3. Aplicaciones de la Investigación de OperacionesÁreas funcionales

Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación:

Personal

La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción.

Mercado y distribución

El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores.

Compras y materiales

Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.

Manufactura

La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad.

Finanzas y contabilidad

Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones.

Planeación

Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse.

La lista de áreas funcionales de la organización que son de posible aplicación de la IO, es ilustrativa del potencial que tiene para resolver el problema de la empresa.

Problemas ejemplo de aplicación con éxito de la IO.- En los siguientes problemas el gobierno o empresa, ahorraron millones de dólares en la aplicación de la IO:

1. Programación del horario de las rondas de policías de San Francisco.-En 1989 Taylor y Huxley diseñaron un método para programar el horario de las rondas de oficiales de la Policía de San Francisco, usando un modelo de programación lineal, la programación de metas y la programación entera. El ahorro sumó 11 millones de dólares anuales.

2. Reducción de gastos de combustible en la industria de la energía eléctrica.- En 1989 Chao y Cols ahorraron a 79 empresas de servicio de energía eléctrica más de 125 millones de dólares en costos de compras y de déficit, usando programación dinámica y simulación.

3. Diseño de una instalación para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989 Vasko y Cols ayudaron a esta empresa siderúrgica con el diseño del sistema de quitar lingoteras a los lingotes de acero con un modelo de programación entera ahorrando 8 millones de dólares anuales.

4. Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programación lineal y no lineal Dewit y Cols diseñaron un modelo de mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de dólares al año; aplicando análisis de sensibilidad calcularon el efecto de cambios al modelo.

5. Programación del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989 Powell y Cols, con modelos de redes y programación dinámica, formularon la asignación de carga a chóferes, reduciendo costos en 2.5 millones de dólares, con mejor servicio.

6. Administración del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con programación lineal y modelos probabilísticos de inventario redujeron el nivel medio de inventario de ropa deportiva y de oficina en un 31%.

7. Determinación de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986) utilizaron la programación lineal para máxima ganancia con restricciones de riesgo y de la diversificación de la cartera.

8. Planeación de producción en lechería.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron programación lineal con utilidad de 48000 dólares, al determinar el proceso: del suero, la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener: queso crema, requesón, crema agria y crema de suero.

9. Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron modelos (Waddell, 1983), que se estima ahorraron 90000 dólares por año.

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Metodología de la Investigación de Operaciones

Subir Referencias Bibliográficas

4. Referencias BibliográficasACK68.- Ackoff Rusell L. & Sasieni Maurice W.

Fundamentals of Operations Research. Wiley. New York. 1968.

DAN63.- Dantzig George B.

Linear Programming and Extensions. Princenton University Press. Princenton N.J. 1963.

GAS74.- Gass Saul I.

Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974

HIL95.- Hillier-Lieberman.

Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.

SHA78.- Shamblin - Stevens.

Investigación de Operaciones. Un enfoque Fundamental.- Mc Graw Hill. Primera edición. 1978.

THI77.- Thierauf-Grosse.

Toma de decisiones por medio de la Investigación de Operaciones.-Limusa.- 1ª edición, 4ª Reimpresión.- 1977.

WAG75.- Wagner H.

Principles of Operation Research. 2d. edition. Englewood Cliffs. N. J. Prentice Hall. 1975.

WIN94.- Winston Wayne.

Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.- Grupo Editorial Iberoamérica.- 2ª Edición.-1994.

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Aplicaciones de la Investigación de Operaciones

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Capítulo 1. PROGRAMACION LINEAL (PL).Tabla de contenido

1.1. Objetivo.

1.2. Antecedentes históricos y definición.

1.3. Modelo de programación lineal general.

1.4. Formulación de problemas con programación lineal.

1.5. Solución para el modelo de programación lineal.

1.6. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo [MAT96]

1.7. Referencias bibliográficas

1.1. Objetivo.

Iniciarse en la técnica de programación lineal con el aspecto más importante del método científico: la representación o modelo en formulación matemática lineal de algunos problemas elegidos, los agrupados en "clásicos"; también debe aprender los conceptos teóricos fundamentales utilizando la metodología gráfica en sólo dos variables.

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Referencias Bibliográficas Antecedentes históricos y definición.

1.2. Antecedentes históricos y definición.

El desarrollo de la programación lineal se considera entre los avances científicos más importantes del siglo XX, pues su impacto ha sido extraordinario. Actualmente es una herramienta de uso común que ha beneficiado a muchas organizaciones en distintos países con ahorros de cualquier índole, por lo que su uso se está ampliando rápidamente a todos los sectores de la sociedad. Una gran mayoría de los cálculos científicos en computadoras usan la programación lineal proliferando las publicaciones y libros sobre esta materia de gran aplicación.

Uno de sus antecedentes se registra con el método de análisis de insumo-producto que desarrolló el economista W. Leontief; también se debe reconocer al economista y matemático soviético L.V. Kantorovich, quien ya en 1939 formuló y resolvió un problema de programación lineal para la organización y planeación de la producción; otro antecedente es, la interpretación de Hitchcock a "un problema de tipo de transportación" en 1941. El problema de la dieta, fue analizado por Stigler en 1945. El gran impulso de la programación lineal para la industria y los negocios se identifica con el doctor George Dantzig, matemático norteamericano de origen, que desarrolló el algoritmo Simplex, un método sistemático de resolución para problemas modelados con programación lineal. Esto ocurrió en 1947 cuando se ocupó, con Marshal Wood y asociados, de un proyecto para la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Se organizó un grupo de investigación con el título de Proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). Actualmente las principales aplicaciones de la PL son del área industrial; también, aunque en menor parte, en el campo urbano y social.

A partir de 1950, un número cada vez mayor de investigadores (matemáticos y economistas) aislados o constituyendo grupos contribuyen al desarrollo de las diferentes ramificaciones de la programación lineal; en particular, la "Rand Corporation" con G. B. Dantzig y W. Orchard-Hays, después L. R. Ford, D. R. Fulkerson, y D. Gale; el departamento de matemáticas de la Universidad de Princenton con A. W. Tucker y H. W. Kun; la "Graduate School of Industrial Administration" del "Carnegie Institute of Technology" con A. Charnes y W. Cooper. Los dos primeros grupos trabajan en la teoría matemática de los programas y su instalación en computadoras; los resultados se publicaron en la "Rand Corporation" en la serie de "Rand notes on linear programming and extensions" (desde 1953 a 1961); se deben mencionar las de Dantzig sobre los desarrollos teóricos, las de W. Orchard_Hays sobre la instalación de los programas de cálculo en máquinas, las de L. R Ford y D. R. Fulkerson sobre las redes de transporte; es necesario citar especialmente en el activo del grupo de Princenton, el método "húngaro" de H. W. Kun, para los problemas de asignación, la publicación de la notable colección de notas "Linear Inequalities and Related Systems" en 1956 y el método de Gomory para el cálculo de los problemas lineales en números enteros a finales del año 1958. El equipo del "Carnegie Tech" desarrolló la PL en aplicaciones industriales, se interesó en aspectos teóricos particulares como: degeneración, errores de redondeo, el Simplex revisado, variables acotadas.

En los últimos años, lo notable y más prometedor parece ser: La programación lineal en números enteros por R. Gomory, el principio de descomposición de Dantzig y Wolfe, los programas lineales estocásticos, el algoritmo de punto interior de Narendra Karmarkar, con aportaciones importantes de un matemático ruso I. Dikin en 1967, redescubierto, después de la publicación de Karmarkar por varios investigadores: E.R.Barnes, T. M.Cavalier y A.L.Soyster. Además R.J.Vanderbei, M.S.Meketon y B.A.Freedman publicaron en 1986, "A modification of Karmarkar's Linear Programming Algorithm". Al inicio la programación lineal se llamó "programación en estructura lineal". En 1948, Tjalling Koopmans sugirió a George Dantzing simplificar el nombre.

DEFINICIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una de las técnicas agrupadas como programación matemática, aplicable a problemas de asignación de recursos limitados, con actividades competitivas hacia un objetivo común, que puede ser de maximizar beneficios (por ejemplo utilidades o bien rendimientos); también se puede desear minimizar el esfuerzo (por ejemplo los costos, el personal asignado a tareas, o el desperdicio en procesos). Se usa un modelo matemático con representación válida de la problemática en estudio; sus relaciones deben ser lineales o de "línea recta", que significa utilizar, sólo una variable de primer grado en cada término.

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PROGRAMACION LINEAL (PL). Subir Modelo de programación lineal general.

1.3. Modelo de programación lineal general.

El modelo de PL es una representación simbólica (abstracción) de la realidad que se estudia, se forma con expresiones lógicas matemáticas conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo), al costo (con mínimo), al consumo de recurso (disponible con desigualdad <=), al recurso requerido (con desigualdad >=), recurso especificado (con igual = ). Contiene las siguientes cuatro partes:

1a parte

Definición con el significado cuantitativo de las variables de decisión (controlables).

2a parte

Función económica u objetivo a optimizar (máximo o bien mínimo):

3a parte

Sujeta a restricciones:

4a parte

Condición de no negativo a variables:

PROPIEDADES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir las propiedades siguientes:

I. Proporcionalidad.-Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 4X1 es proporcional, porque contribuye al valor de la función Z con 4, 8, 12, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de X1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 4 conforme crece el valor de X1. En contraste, el término no lineal 4X1

2, contribuye con 4, 16, 36, etc., para los mismos valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de la variable X1; Aquí se observa que el aumento en la contribución no es constante y por lo tanto no hay proporcionalidad.

II. Aditividad.- Significa que se puede valorar la función objetivo Z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función Z y en las restricciones.

III. Divisibilidad.- Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero.

IV. Certidumbre.- Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos

El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales.

APLICACIONES TÍPICAS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Aparentemente, las estructuras de organización complejas propias de la sociedad moderna han reconocido interesantes problemas de optimización tales como la manera más eficiente de manejar la economía de un país o también la mezcla de ingredientes de un fertilizante para satisfacer las especificaciones agrícolas a costo mínimo. Ambos problemas utilizan el modelo de programación lineal (PL), para optimizar una función lineal condicionada a restricciones lineales, que es sencillo en su estructura matemática, pero poderoso por su gran adaptación a una amplia variedad de problemas.

La programación lineal es una técnica matemática de resolución de problemas, su desarrollo representa una ayuda a los administradores para tomar decisiones en la asignación de recursos. A continuación aparecen algunas aplicaciones típicas de la PL:

1. Un fabricante desea desarrollar un programa de asignación en producción y una política de inventario que satisfagan la demanda de ventas de periodos futuros. Así se podría cumplir la demanda con mínimo costo total de producción y de inventario.

2. Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de una diversidad de alternativas en acciones y bonos. Se debe establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión asignada.

3. Un administrador de mercadotecnia desea determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximice la efectividad de la publicidad.

4. Una empresa tiene almacenes en varias. ubicaciones en todo el país. Para un conjunto de demandas de sus productos por parte de sus clientes, la empresa desearía determinar cuánto debe asignar en embarques a cada uno de los almacenes y a cada cliente, de manera que los costos totales de transporte resulten mínimos.

Estas aplicaciones representan unas cuantas situaciones en las que se ha utilizado con éxito la programación lineal, pero ilustran su potencial en la solución de problemas. Un estudio detallado revela las características comunes de ellas. En el ejemplo 1, el fabricante desea minimizar costos; en el 2, el analista financiero desea maximizar el rendimiento sobre la inversión; en el 3, el gerente de mercadotecnia desea maximizar la efectividad de la publicidad, y en el ejemplo 4, la empresa desea minimizar los costos totales de transporte. En todos los problemas de programación lineal, el objetivo es el máximo o bien el mínimo de alguna cantidad en la acción de asignar recursos.

Los problemas de programación lineal se caracterizan, además, por las condiciones impuestas o restricciones de recursos, que limitan el grado en que se puede cumplir algún objetivo. En el ejemplo 1, el fabricante está limitado por restricciones que requieren que la demanda de producto quede satisfecha y por restricciones respecto a la capacidad de producción. El problema de la cartera del analista financiero está limitado por la cantidad total de fondos de inversión disponibles y las cantidades máximas que se pueden invertir en cada acción o bono. La decisión en la selección de medios del gerente de mercadotecnia, está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la disponibilidad de los varios medios. En el problema de transportación, el programa de embarques de costo mínimo está restringido al suministro de productos disponibles en cada almacén. La diversidad de condiciones mencionadas, es parte de lo que puede esperar aquel que decida enfrentar un problema, pues las restricciones son otra característica general en todo problema de programación lineal.

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Antecedentes históricos y definición. Subir Formulación de problemas con

1.4. Formulación de problemas con programación lineal.

La formulación de un problema de cualquier tamaño con programación lineal debe sujetarse al formato del modelo de PL general ya presentado antes.

Se empieza como parte 1, con la observación y análisis necesario para definir el significado cuantitativo de las variables de decisión o controlables que se pueden representar, en símbolos como X1, X2, X3,... ,o bien, identificar con nombre específico de producto o bienes de manufactura, almacén o venta, disponibilidad y/o requerimiento de recurso o materia prima.

Se continúa con la parte 2, para construir la función objetivo o medida de efectividad, representada por una variable (denotada con Z, G, U, etc.) cuyo valor se desea maximizar(utilidad, rendimiento, ingreso, producción) o bien minimizar (costo, tiempo, mano de obra, inventario). Puede ocurrir en algún caso, que la formulación resulte no lineal, pero con las transformaciones adecuadas se puede hacer la conversión a lineal.

Como parte 3 debe considerarse la construcción de las restricciones que limitan el valor óptimo que puede tomar la función objetivo, o sea, definen las soluciones admisibles o región factible del problema. Las restricciones pueden ser de una o todas las clases siguientes: Si no se debe exceder el recurso disponible, de la forma <=; para no menos de lo requerido, de la forma >=; o también para igualar el recurso especificado, de la forma =.

Se termina con la parte 4, para condicionar las variables a valores no negativos, debido a que en la gran mayoría de los problemas los valores negativos no tienen significado físico. Los casos de excepción merecen tratamiento especial.

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Modelo de programación lineal general.

Subir Ejemplos de formulación de modelos de PL.

1.5. Solución para el modelo de programación lineal.

Existen métodos de solución del modelo de programación lineal, tanto gráfico como analítico. Para la gran mayoría de los problemas es indispensable aplicar la metodología analítica, con los algoritmos muy eficientes que desarrollaron los científicos ya citados en los antecedentes de PL. Pero en beneficio de la claridad, conviene iniciar la exposición de cómo resolver el problema ya formulado con programación lineal, con el método gráfico, que por su sencillez, es posible que el alumno se motive más para el estudio. Para ello primero se debe revisar la forma en que puede presentarse un modelo o planteamiento del problema que se estudia.

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Ejemplos de formulación de modelos de PL.

Subir Formas equivalentes del modelo de programación lineal.

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1.6. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo [MAT96]

En las siguientes subsecciones encontrará una serie de ejercicios que ayudarán a la total comprensión de los temas tratados en el presente capítulo. Asimismo, los ejercicios marcados con *AUTOEVAL* son de auto evaluación, el peso de los incisos correspondientes a cada uno de ellos podrán ser consultados en la sección de respuestas. Se sugiere resolverlos, y una vez terminados, revisar su solución y calcular la calificación correspondiente y así evaluar el entendimiento del mismo.

Se recomienda aplicar los ejercicios aquí planteados a casos prácticos de la vida diaria como parte de las actividades de aprendizaje del presente material.

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Método gráfico para resolver modelos de programación lineal con solo dos variables.

1.7. Referencias bibliográficasAND93.- Anderson D.- Sweeney D.- Williams T

Introducción a los Modelos Cuantitativos para Administración.,- Grupo Editorial Iberoamérica.- 1993.

DAN63.- Dantzig George B.

Linear Programming and Extensions. Princenton University Press. Princenton N.J. 1963.

GAS74.- Gass Saul I.

Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974

GAS81.- Gass Saul I.

Programación lineal.- Limusa 1ª Edición 1981

HIL95.- Hillier-Lieberman.

Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.

MAT96.- Mathur Kamlesh and Solow Daniel.

Investigación de Operaciones. El Arte de la Toma de Decisiones. Prentice Hall Hispanoaméricana. 1996

SAT95.- Saaty Thomas.

Mathematical Methods of Operations Research, Mc Graw Hill Book Company, New York, 1959

WAG75.- Wagner H.

Principles of Operation Research. 2d. edition. Englewood Cliffs. N. J. Prentice Hall. 1975.

WIN94.- Winston Wayne.

Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.- Grupo Editorial Iberoamérica.- 2ª Edición.-1994.

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Solución gráfica 3 con aciertos de opción múltiple *AUTOEVAL*.

Subir SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Capítulo 2. SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.Tabla de contenido

2.1. Objetivo.

2.2. Conceptos relacionados.

2.3. Teoremas de la programación lineal.

2.4. Método Simplex.

2.5. Matriz unitaria "I" de base con variables artificiales.

2.6. Casos especiales en la tabla Simplex.

2.7. Teoría de la dualidad.

2.8. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo

2.9. Referencias bibliográficas

2.1. Objetivo.

El alumno debe aprender la utilización del poderoso y versátil método simplex de solución en programación lineal, aplicado en problemas ejemplo pequeños que muestran las diversas circunstancias de su preparación antes de aplicar el algoritmo y los casos especiales identificables en la tabla solución. También con fines de interpretación económica, debe aprender las relaciones que vinculan a un problema con su dual asociado y los teoremas derivados.

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Referencias bibliográficas

2.2. Conceptos relacionados.

Para la gran mayoría de los problemas modelados con programación lineal, el método gráfico es claramente inútil para resolverlo, pero afortunadamente y gracias a la dedicación de varios científicos, desde mediados del siglo XX se cuenta con el eficiente método SIMPLEX, poderoso por su aplicación versátil en cualquier área de la actividad humana. Pero como antecedente a la exposición del simplex, conviene aclarar con definiciones algunos conceptos relacionados.

En programación lineal es necesario calificar la palabra solución para precisar el concepto al que se hace referencia, como se expresa enseguida:

SOLUCIÓN.- Es un conjunto de n + m variables "Xj", definidas ordenadamente como un vector X = ( X1, X2, ... Xj, ... Xn, Xn+1, ... , Xn+m) que satisface el conjunto de ecuaciones que constituyen el sistema en el problema.

En donde: m =número de restricciones; n =número de variables de decisión.

SOLUCIÓN FACTIBLE.- Es un conjunto de n + m variables "Xj", definidas ordenadamente como un vector X = ( X1, X2, ... Xj, ... Xn , Xn+1, ..., Xn+m) que satisface el conjunto de ecuaciones que constituyen el sistema en el problema.

y además la condición, toda Xj >= 0.

SOLUCIÓN BÁSICA.- Se obtiene, cuando en el sistema de ecuaciones se hacen n variables iguales a cero del total de (n+m) variables y resolviendo las ecuaciones para las restantes "m" variables, siempre que el determinante de los coeficientes de estas "m" variables llamadas básicas, no sea cero. Consulte el apéndice A.

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE.- Es una solución básica que cumple Xj >= 0, para toda j (j = 1, 2, ..., n + m); es decir, todas las variables básicas son no negativas. En una analogía geométrica con sólo dos variables, se puede comparar con los vértices en el área sombreada.

SOLUCIÓN NO DEGENERADA.- Es una solución básica factible, con exactamente "m" variables básicas Xi, estrictamente positivas.

SOLUCIÓN DEGENERADA.- Es una solución básica factible, con menos de "m" variables básicas Xi positivas, pues al menos, una de ellas es de valor cero.

SOLUCIÓN ÓPTIMA.- Es una solución básica factible que optimiza la función

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SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

2.3. Teoremas de la programación lineal.

La PL se fundamenta en varios teoremas de los cuales se definen tres de los más importantes:

1. El conjunto de soluciones factibles de la programación lineal es convexo.

Definición.- Un conjunto es convexo, si dados dos puntos cualesquiera A y B del mismo, el segmento de recta que los une, se incluye totalmente en dicho conjunto (Figura 1-37); expresado matemáticamente, un conjunto C es convexo si y sólo si, todos los puntos "P" determinados por combinación convexa entre dos puntos cualesquiera A y B del mismo, están en el conjunto C:

Ejemplo que verifica convexidad: Determine un punto P por combinación convexa de puntos vértice en Figura 1-33: A(0,6) y F(4,3),

Si tanto A como F son vértices factibles, entonces P está en el conjunto factible.

2. La función objetivo de un programa lineal tiene su valor óptimo (máximo o mínimo), en un punto extremo (vértice) del conjunto convexo de soluciones factibles.

Si alcanza este óptimo en más de un punto extremo, entonces toma el mismo valor para toda combinación convexa entre estos puntos del problema, (soluciones óptimas múltiples).

3. Una condición necesaria y suficiente para que un punto X >= 0 en el conjunto de soluciones factibles sea punto extremo, es que X sea una solución básica factible que satisfaga el sistema: AX=b; o bien expresado así

Este teorema indica que cada punto extremo corresponde, al menos, a una solución básica y viceversa, cada solución básica significa un punto extremo. Así se concluye que el número de puntos extremos del conjunto de soluciones factibles, es finito y no puede exceder el de sus soluciones básicas. Entonces, el número máximo de tales soluciones supuestas únicas se calcula con el binomio:

Es de anotar, que un punto extremo puede estar definido con más de dos restricciones en cuyo caso se dice no único y tener más de una solución básica; además, si es extremo factible, se tiene degeneración en tal vértice. El punto extremo factible único se dice es solución básica no degenerada. Un punto extremo (vértice) del conjunto factible se identifica porque no se puede expresar como combinación convexa de cualquier par de puntos del mismo conjunto.

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Conceptos relacionados.

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2.4. Método Simplex.

En el año 1947 el doctor George Dantzig presentó el algoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. A partir de este logro se pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos. El desarrollo paralelo de la computación digital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicación empresarial a todo tipo de problemas.

El método simplex disminuye sistemáticamente un número infinito de soluciones hasta un número finito de soluciones básicas factibles. El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento de eliminación en la solución de ecuaciones lineales de Gauss- Jordan y, además aplica los llamados criterios del simplex con los cuales se asegura mantener la búsqueda dentro de un conjunto de soluciones factibles al problema; así valora una función económica Z, exclusivamente en vértices FACTIBLES (posibles). También se consigue con

eficiencia, debido a que se dirige la búsqueda haciendo cambios a una solución básica factible adyacente, que se distingue al tener m-1 variables básicas iguales; es decir, dos vértices adyacentes sólo difieren en una variable básica; seleccionando la ruta de mayor pendiente, para mejorar el valor de Z, o por lo menos conservarlo.

Primero se presenta el método simplex, específico para un modelo de PL en forma canónica de máximo, aplicado con la conocida tabla matricial, (también identificada como tableau), lo cual se resume mediante el diagrama funcional de la Figura 2-1, que muestra los fundamentos del algoritmo contenidos en niveles o bloques numerados para la referencia en la descripción del mismo.

Nivel 1.- Forma estándar.-El modelo de PL en forma canónica de máximo que se desea resolver, tiene m ecuaciones obtenidas al convertir las restricciones de desigualdad a igualdad, agregando m variables de holgura, que sumadas a las n variables de decisión, hacen un total de (m + n) incógnitas.

Las m restricciones con las (m + n) variables, producen un número infinito de soluciones, entre ellas, un conjunto de factibles y también las no factibles.

Nivel 2.- Calcule una primera solución básica factible.- Del total, (m + n) variables, sólo n se igualan con cero ( n = 0 ), lo cual produce (sí existen), un número finito de soluciones básicas con un límite máximo de (m + n)! / m! n!. Estas pueden ser, factibles y no factibles; se consideran sólo las primeras.

Nivel 3.- Se toman en cuenta sólo las soluciones básicas factibles, esto es, las que tienen todas las variables básicas >= cero; es decir, con un número de iteraciones menor a (m + n)! / m! n!, se obtienen soluciones básicas factibles: no degeneradas, si todas las incógnitas básicas son positivas y soluciones degeneradas, si al menos una variable básica es igual a cero. Se aplican los criterios del algoritmo en forma iterativa para evaluar la función objetivo en puntos extremos adyacentes que potencialmente puedan mejorar el valor Z.

Nivel 4.- Se generan nuevas soluciones básicas factibles, tales que el valor de la función objetivo Z mejore; se repite el procedimiento (iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta que ninguna solución básica factible adyacente resulte mejor; es decir, hasta que no haya incremento de valor, si el problema es de máximo, (hasta que no haya decremento, para el problema, no tratado ahora, de mínimo).

Figura 2-1. Diagrama funcional del algoritmo simplex.

Nivel 5.- Se interpretan los resultados de la última (iteración) tabla calculada, porque se identifican las características de una solución óptima.

Criterios del Algoritmo Simplex.

El algoritmo simplex emplea los siguientes criterios para asegurar que la búsqueda de la solución óptima del problema en estudio sea rápida, limitando el cálculo a soluciones básicas (puntos extremos) que sean factibles.

Criterio de optimalidad. Se aplica en el simplex para determinar entre las variables no básicas, una que entre (VE) a la base, eligiendo en la columna que tenga el coeficiente más negativo en el renglón "Z" de la tabla, si el problema es maximizar. Por lo contrario, si el problema es minimizar se elige para variable entrante (VE) a la base la que cumpla con el coeficiente más positivo en dicho renglón "Z".

Criterio de factibilidad.- Se aplica en el simplex para determinar entre las variables básicas, una que salga de la base (VS), eligiéndola que cumpla

en donde Xi es el valor de la variable básica en el renglón i; a ik es un coeficiente en el mismo renglón i ubicado en la columna k correspondiente a la variable entrante elegida. Esto es válido tanto para problemas de máximo como de mínimo.

Elemento pivote: En el cruce correspondiente a columna y renglón elegidos con los dos criterios anteriores, se ubica un coeficiente denominado pivote (P) que se utiliza durante las iteraciones o etapas de cálculo del simplex.

Ejemplo 2-1. Aplica método Simplex; PL forma canónica máximo (MAXCAN1).

Este modelo de PL forma canónica de máximo con sólo dos variables de decisión, ya se mostró como el Ejemplo 1-13 de método gráfico con la Figura 1-33.

Nivel 1.-

Se inicia el método simplex para el problema expresado en forma canónica, sumando una variable de holgura a cada una de las restricciones de desigualdad <= que contiene el modelo, convirtiéndose todas ellas en igualdades. Las holguras se denotan con X n+1, Xn+2,..., Xn+m. Otra conveniente notación es: H1, H2,..., Hm; en donde 1,2,...,m, son restricciones tipo <=. Así se pasa a:

Ahora se tienen tres ecuaciones con (n+m)=(2+3)=5 incógnitas, ampliando el sistema a 5 dimensiones con dos grados de libertad para la solución del mismo, lo cual implica un número infinito de soluciones. Se puede recurrir en lo que sigue, a la analogía geométrica del Ejemplo 1-13 con el propósito de mostrar parte de la naturaleza geométrica del algoritmo simplex con la Figura 1-33:

No se puede mostrar una analogía geométrica para el espacio ampliado de forma estándar en cinco dimensiones con (X1, X2, H1, H2, H3), pero sí se puede observar el espacio factible OACFE que se genera con sólo dos dimensiones X1 y X2 en la Figura 1-33; en ambos espacios existe un número infinito de puntos tanto interiores como en la frontera de la región factible, aunque sólo existe un número finito de puntos extremos (vértices).

En teoría, de acuerdo al segundo teorema ya mencionado, la solución óptima se debe buscar en uno de esos puntos extremos, pero para la mayoría de los problemas con suficiente tamaño significaría una labor de cálculo excesiva y costosa e incluso imposible. Para tener una idea de lo que significa esto, supóngase por ejemplo un problema cuyo modelo de programación lineal contiene m = 5 restricciones y n = 4 incógnitas, aplicando el conocido binomio ya mencionado se tendría: (m + n) ! / m! n! = (5 + 4)! / 5! 4! = 126 vértices; otro ejemplo más, con m = 5 restricciones y n = 10 variables: (5 + 10)! / 5! 10! = 3003 puntos extremos. Los ejemplos aquí anotados ciertamente son pequeños, pues lo común en el ámbito de empresa o gobierno, es manejar magnitudes en decenas o cientos, tanto en restricciones como en variables. Pero el simplex salva esta circunstancia con eficiencia, tal como se expresa enseguida.

Nivel 2.-

Una solución básica se obtiene estableciendo que de las (m+n) incógnitas en el sistema de ecuaciones en forma estándar, n variables tengan el valor cero llamándolas no básicas y resolviendo (si hay solución) para las restantes m variables que son básicas, componen la base o solución básica.

El sistema de restricciones en este Ejemplo 2-1 tiene tres ecuaciones con cinco variables, se pueden expresar tres cualesquiera de estas en función de las otras dos que por ello se consideran independientes. Como cada variable de holgura H1, H2, H3, se presenta sólo en una, de las tres restricciones, conviene hacerlas básicas y las variables de decisión X1 y X2 se inicien con valor cero como no básicas. De este modo, para la aplicación del algoritmo simplex, se tiene la primera solución básica factible siguiente:

La función objetivo Z sólo contiene a las variables de decisión X1 y X2, con valor actual cero, por lo tanto Z=3(0)+5(0)=0, no satisface el objetivo de máximo. La comparación geométrica es valorar la línea recta Z en el origen O, como Zo=0. Esta evaluación en O, no puede ser el máximo valor porque aún no se emplean los recursos de las tres restricciones los cuales son asignados a las tres holguras:

Igualando a cero n variables, se reduce la búsqueda desde una infinidad hasta un número finito de vértices; pero tal número, aún puede ser grande.

Nivel 3.-

El problema Ejemplo 1-13 (Figura 1-33) condiciona las variables de decisión X1, X2 >=0, pero en las soluciones básicas que pueden determinarse en nivel 2, no se cumple esta condición para todas las variables, como se puede comprobar en la tabla para el sistema ampliado del mismo, que muestra valores negativos en las holguras para las soluciones básicas B, D y J.

En tal circunstancia, aún se pueden disminuir las soluciones básicas eliminando las no factibles porque tienen variables con valor negativo.

Con la tabla Figura 2-2 se inicia el algoritmo simplex, muestra el arreglo matricial de los coeficientes de acuerdo a la forma estándar de este ejemplo, con excepción de la función objetivo que se arregla a su forma equivalente: Máximo Z-3X1- 5X2 = 0, con el formato del sistema de ecuaciones lineales. Anote el coeficiente cero para las ausentes holguras en el renglón Z, pero en cambio, el coeficiente 1 de cada una de las variables de holgura en cada restricción, forman la diagonal en la matriz unitaria I de base, como conjunto de vectores linealmente independientes que generan la primera solución en el punto extremo ( X1, X2, H1, H2, H3 ) = ( 0, 0, 4, 12, 18 ), vértice O de la analogía gráfica, Figura 1-33.

Figura 2-2. Tabla simplex, con 1ª solución básica factible, ejemplo MAXCAN1

Nivel 4.-

A partir de la solución inicial del algoritmo simplex, se puede generar una nueva solución básica factible; se aplica primero el criterio de optimalidad a la solución básica factible actual, seleccionando entre las variables no básicas, una variable que entre a la base y por lo tanto cambie a básica. La selección de VE se hace con el criterio de conseguir la mayor ganancia unitaria de la función objetivo en un vértice. Se observa que un incremento unitario en X2, aumenta en 5 el valor de Z, mientras que un incremento unitario en X1, aumenta en 3 el valor de Z; si se desea el máximo conviene aumentar a X2, dejando a X1 en cero, lo que corresponde en la analogía geométrica a decidir pasar a valorar el vértice adyacente A(0,6) a lo largo del segmento frontera OA, incrementando a X2, desde un valor de cero hasta un valor de 6, conservando X1 su valor cero (Figura 1-33).

En el simplex, para este ejemplo con el objetivo de maximizar (Figura 2-3), se aplica la optimalidad seleccionando la variable no básica con el coeficiente más negativo en el renglón Z de la tabla, señalando la columna elegida con .

La solución básica del simplex, siempre debe tener m (m=3 en el ejemplo) variables básicas, entonces la VE del criterio de optimalidad debe reemplazar a una de las variables básicas que al salir de la base se convierte en no básica. Así en segundo lugar, se aplica el criterio de factibilidad, para determinar entre las variables básicas, una que salga de la base . En la columna izquierda están las variables en la base y en la columna derecha, se tienen sus valores, los cuales se dividen entre el coeficiente que sea positivo, en el mismo renglón i de la columna k de la VE, esto es: Mínimo (12 / 2 = 6; 18 / 2 = 9) = 6, lo cual se cumple para la variable básica H2, que debe señalarse como .

Figura 2-3. Criterios de optimalidad y factibilidad, en 1ª tabla simplex, ejemplo MAXCAN1.

Observe, que las variables no básicas X1 y X2 no ocupan lugar en la base, por eso valen cero. Para aclarar el criterio de factibilidad, considere que se decide el incremento de valor a X2 para variable entrante VE, lo que significa cambiar al vértice adyacente A, trasladándose a lo largo de la frontera OA, con un valor para la variable X1 = 0 que sustituido en el sistema de ecuaciones en forma estándar, se tiene:

Aquí se puede ver la esencia del criterio de factibilidad, al no permitir un valor mayor a 6 para la variable X2, pues para que H2 ó H3 salgan de la base, deben anularse: así H2=0 y H3=6, con X2=6; H3=0 y H2 = -6, si X2 = 9; pero al asignar X2 = mín (6, 9) =6 se impide que la variable H2 sea negativa ya que viola las condiciones impuestas; en la analogía geométrica significaría evaluar la recta de la función objetivo en el vértice A adyacente al O y pasar a evaluar el vértice B no adyacente al O, que además es no factible porque H2 = -6, (Figura 1-33).

En el cruce de la columna que corresponde a y el renglón de la , se localiza un coeficiente identificado como pivote (P) que se utiliza para iniciar el procedimiento de solución de ecuaciones lineales conocido como de Gauss-Jordan. Para este ejemplo el pivote es 2, en el renglón saliente y columna entrante , procediendo al cálculo en Figura 2-4 de la siguiente tabla simplex que es la nueva solución básica factible correspondiente al punto extremo adyacente A(0, 6) de la analogía geométrica.

La segunda solución básica factible se inicia con la nueva base formada con m = 3 variables básicas; H1 y H3 que se conservan, pero sale H2 y se reemplaza con la variable X2 como básica en el nuevo punto extremo a evaluar. La tabla simplex se empieza con el renglón entrante correspondiente a la variable X2; se calcula dividiendo los coeficientes del renglón saliente entre el coeficiente pivote P de la tabla solución anterior. En el lado izquierdo de la tabla se anota la fórmula utilizada RE = RS / P, para lo resultados mostrados en la fila de X2. Al convertir en básica a la variable X2, se deben hacer las operaciones fila necesarias para conseguir en su columna, el vector unitario, característico de una variable básica que forma parte de la matriz I. Por lo tanto se escriben, el coeficiente 1 en la posición del pivote y coeficientes cero en el resto de la columna. Además, en el renglón Z de la tabla, el coeficiente correspondiente también debe resultar cero. Esto debido a que los coeficientes del renglón Z son indicadores del posible incremento en el valor de la función objetivo. En cuanto una variable no básica se incrementa de valor haciéndola básica, el coeficiente en tal renglón resulta de valor cero, indicando así, que X2 ya no puede aportar a la ganancia representada con la variable Z. En las fórmulas a la izquierda, se usa la fila RE de la nueva tabla y las filas necesarias de la tabla anterior; la fila H1 se copia igual porque ya existe el cero en la columna X2.

Figura 2-4. Tabla simplex con 2a solución básica factible, ejemplo MAXCAN1.

Un cálculo con la restricción (2) en la forma estándar: 2X2 + H2 = 12, sustituyendo los valores X2=6 y H2=0 dados en la segunda tabla simplex: 2(6) + 1(0) = 12, muestra que debe utilizarse todo el recurso (2), produciendo hasta ahora una ganancia Z = 3X1 + 5X2 = 3(0) + 5(6) = 30, que resulta mejor a Z = 0 anterior.

Observe el único cambio de la base, sigue con tres variables, pero X2 sustituye a H2 como variable básica y conserva a H1 y H3, de la solución básica factible de tabla anterior ya que ambas son, de puntos extremos adyacentes.

La nueva solución básica factible valorada con el simplex es, por analogía, el punto extremo vértice A(0,6) en Figura 1-33: ( X1, X2, H1, H2, H3 ) = ( 0, 6, 4, 0, 6 )

Ahora las variables básicas H1, X2, H3 con vector columna unitario hacen la base I. La Figura 2-5 repite la segunda tabla con los criterios del simplex aplicados.

Figura 2-5. Criterios de optimalidad y factibilidad, 2ª tabla simplex, ejem MAXCAN1.

El tratamiento algebraico siguiente, fuera del procedimiento simplex en forma tabular que se está exponiendo, puede satisfacer al estudiante, para comprender los resultados del renglón Z de la tabla con la segunda solución básica factible:

La ecuación (2) en la forma estándar es 2X2 + H2 =12 ó bien X2 + 1/2 H2 = 6; despejando: X2 =6 - 1/2H2; sustituyendo en la función: Z - 3X1 - 5X2 = 0, se tiene:

En este proceso algebraico se observa la importancia de los coeficientes en Z: (-3) para X1 y (+5/2) para la holgura H2, se comprende que se utilicen como indicadores para la optimalidad en el simplex. Significa que la variable X1 no básica y por lo tanto con valor cero, conviene hacerla básica aumentando su valor, pues su coeficiente en la ecuación indica que por cada unidad asignada a X1, al valor de Z=30 se le suma 3. Así en la tabla simplex en Figura 2-5 se decide que X1, variable no básica entre a la base , para incrementar Z. En cambio Z disminuye, si regresa H2 a la base.

Por otro lado, en la aplicación del criterio de factibilidad se dividen los valores actuales de las variables básicas, situados en la columna derecha de la tabla, entre los respectivos coeficientes positivos en la columna X1, que se tiene como VE, con el resultado: Mínimo ( 4/1 = 4, 6/3 = 2 ) = 2, entonces la variable H3 es saliente , y se debe reemplazar por la nueva variable básica X1 = 2.

Esto representa el cambio de base del vértice A(0,6) al vértice C(2,6), ambos puntos extremos adyacentes de la analogía gráfica en la Figura 1-33, lo cual se identifica en el simplex porque la base H1, X2, H3 anterior, cambia a H1, X2, X1 en la siguiente solución básica; es decir, sólo difieren en que X1 sustituye a H3.

En el cruce de la columna y el renglón seleccionados para variable entrante a la base y variable saliente de la base , se ubica el coeficiente pivote P = 3 en Figura 2-5 que se utiliza para el cálculo de la siguiente iteración.

A continuación se presenta la tercera tabla simplex en la Figura 2-6 que se inicia colocando las variables básicas H1, X2, X1, así ordenadas en los renglones, calculando los coeficientes del renglón entrante que se obtienen al dividir el renglón correspondiente a la variable saliente entre el número pivote 3; RE = RS / 3.

En el cruce de la columna de X1 con el renglón RE ya determinado debe haber un número 1, el cual es pivote. La columna X1 debe completarse con coeficientes cero para que sea vector unitario de esta variable, que con H1 y X2 forman la matriz de base I.

Con el nuevo renglón RE de esta tabla y los renglones señalados en las fórmulas anotadas en el lado izquierdo de la misma, se procede al cálculo de los coeficientes faltantes mediante el procedimiento de eliminación para la solución de ecuaciones lineales de Gauss-Jordan; anote que en la fila correspondiente a la variable básica X2, no hay necesidad de calcular sus coeficientes porque el cero requerido para vector unitario en la columna de X1 ya existe desde la tabla anterior, por lo que solamente se copia de la misma; resultando la tercera tabla simplex siguiente en la Figura 2-6

Figura 2-6. Tabla simplex óptima, en 3ª sol. básica factible, ejemplo MAXCAN1.

Los resultados de esta tabla simplex, muestran los coeficientes indicadores en el renglón Z, correspondientes a las cinco variables con valor no negativo; según el criterio de optimalidad significa que ya no hay variables candidatas para entrar a la base y así se tiene una solución óptima en el renglón Z con un valor:

que debe completarse con la lectura del programa óptimo en las filas de las variables en la base y columna solución:

Variables de decisión X1 = 2, X2 = 6, variable de holgura H1 = 2. Las variables no presentes en la base, deben valer cero: holguras H2 = 0, H3 = 0.

Sustituyendo el programa obtenido en el problema con forma estándar se tiene.

Las restricciones (2) y (3), se cumplen con valor cero para las holguras H2 y H3, significa que en esos recursos no existe sobrante. En cambio, el recurso (1) que vale 4, tiene sobrante que representa la variable básica de holgura H1 = 2.

Entonces la solución óptima se tiene en el vértice C(2,6) de la analogía gráfica, tal como se anota en la Figura 1-33 y en el espacio ampliado de cinco dimensiones mostrado en la Figura 1-36 que se manejó en la misma. Con el método simplex se optimiza en el punto extremo caracterizado con el vector de la siguiente solución básica factible:

En la Figura 2-7 [HIL67]se muestra el total de tablas simplex aplicado al ejemplo MAXCAN1, en forma canónica de máximo con sólo dos variables de decisión y tres restricciones <=.

Figura 2-7. Tablas simplex del ejemplo MAXCAN1 con 3 restricciones tipo <=.

EMPATES EN LOS CRITERIOS DEL SIMPLEX.- Quizá el lector ya pensó en la posibilidad de empates al aplicar los criterios del simplex para el cambio de base. Con el criterio de optimalidad, al elegir entre coeficientes indicadores empatados en el mismo valor, se tiene prioridad con las variables de decisión y

entre estas, se selecciona la variable entrante a la base en forma arbitraria, pues con diferencia de más o menos iteraciones (no es predecible), se llega a los mismos resultados. En el caso de empate al aplicar el criterio de factibilidad, se presenta la situación de degeneración (solución básica no única), que resulta en el mismo valor para la función objetivo en dos o más iteraciones, pudiendo llegar al caso extremo de ciclar, vea ejemplo CaVa 27, lo cual sucede en tan pocas ocasiones, que la teoría y reglas para evitarlo, ya no se tratan. La variable artificial que se expone en los párrafos siguientes, siempre se debe intentar eliminar de la base (al menos que en degeneración se anule como básica); en cuanto al empate entre otras variables se decide arbitrariamente la variable que debe dejar la base.

Método simplex aplicado en problemas con modelo no canónico.

Si el dedicado lector ya lo pensó así, tiene razón, pues la mayoría de las programaciones lineales de los problemas no se sujetan a la forma canónica, pero la exposición del simplex con máximo, es más fácil y también más accesible para el conocimiento del que se inicia. Cuando el modelo de programación lineal que se desea resolver, ya sea de mínimo o bien de máximo, tiene cualquier tipo de restricciones, que incluyan las de tipo ( >= ) y / o las de ( = ), en tal caso se requiere la preparación del modelo utilizando una base artificial. En esta situación, se requiere aplicar alguna de las siguientes variantes del método simplex, pues el que ya se explicó en páginas anteriores, no es suficiente.

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Teoremas de la programación lineal. Subir Matriz unitaria "I

2.5. Matriz unitaria "I" de base con variables artificiales.

Cuando el problema de programación lineal se expresa en la forma canónica de maximizar, las variables de holgura que se suman en cada restricción de tipo <= para conseguir la igualdad de la forma estándar, proporcionan un coeficiente (+1) que es útil para formar la matriz unitaria " I "; se cumple así con la necesidad de la primera solución básica factible que requiere el algoritmo simplex para su inicio.

Pero muchas veces, el modelo de programación lineal no tiene forma canónica y presenta restricciones de tipo >= e =, con las cuales no se usan variables de holgura para el propósito de conseguir la forma estándar. Al restar la superávit -1S se convierte a ecuación la restricción tipo >=; y la restricción = ya se cumple; pero en ambos casos no se tiene la aportación del coeficiente + 1.

Los problemas de programación lineal expresados con restricciones distintas al tipo <= necesitan un artificio matemático para conseguir una matriz de base artificial, lo cual es posible sumando una variable artificial W i

de valor no negativo, i=1,2,...,m en cada restricción i de tipo >= e =, así se proporciona el coeficiente +1

indispensable para la formación de la matriz unitaria I que requiere el algoritmo simplex para ponerlo en marcha.

Una variable artificial no tiene significado físico y sólo se utiliza para completar la primera solución básica que requiere el simplex para iniciarse; pero en contraste, a través de las etapas de cálculo, debe procurarse que las artificiales salgan pronto de la base, convirtiéndolas en no básicas, o bien que, como variables básicas valgan cero para poder lograr la solución óptima.

A continuación se exponen las variantes del algoritmo simplex que se utilizan en el caso de la presencia de variables artificiales en el modelo a resolver.

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Método Simplex. Subir

2.6. Casos especiales en la tabla Simplex.

Se pueden identificar los siguientes casos especiales en la tabla simplex.

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Método Simplex de dos fases. Subir

2.7. Teoría de la dualidad.

El desarrollo de esta teoría de la dualidad es debido al interés que existe en la interpretación económica del problema que se estudia. Se inicia bajo la consideración de que todo problema de programación lineal tiene un problema asociado; llamándose problema primal al conocido y problema dual al asociado. Ambos problemas están muy relacionados, de tal manera que la solución óptima de cualquiera de ellos proporciona la solución óptima del otro.

El problema dual de cualquier problema primal se puede obtener con manejo algebraico, convirtiendo primero a las formas canónicas ya conocidas y después a la correspondiente al dual, o bien en forma directa, a partir de reglas de conversión al dual.

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Problema sin solución factible. Subir

2.8. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo

En las siguientes subsecciones encontrará una serie de ejercicios que ayudarán a la total comprensión de los temas tratados en el presente capítulo. Asimismo, los ejercicios marcados con *AUTOEVAL* son de auto evaluación, el peso de los incisos correspondientes a cada uno de ellos podrán ser consultados en la sección de respuestas. Se sugiere resolverlos, y una vez terminados, revisar su solución y calcular la calificación correspondiente y así evaluar el entendimiento del mismo.

Se recomienda aplicar los ejercicios aquí planteados a casos prácticos de la vida diaria como parte de las actividades de aprendizaje del presente material.

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Propiedades primal-dual. Subir Formas canónicas y estándar *AUTOEVAL*.

2.9. Referencias bibliográficasDAN63.- Dantzig George B.

Linear Programming and Extensions. Princenton University Press. Princenton N.J. 1963.

EPE92.- Eppen G. - Gould F. - Schmidt Ch.

Métodos Cuantitativos para Administración. Prentice Hall. 1992

GAS74.- Gass Saul I.

Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974

GAS81.- Gass Saul I.

Programación lineal.- Limusa 1ª Edición 1981

HIL95.- Hillier-Lieberman.

Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.

LUE84.- Luenberger D.

Introduction to Linear and No Linear Programming. 2d. edition.1984

SAT59.- Saaty Thomas.

Mathematical Methods of Operations Research, Mc Graw Hill Book Company, New York, 1959

WAG75.- Wagner H.

Principles of Operation Research. 2d. edition. Englewood Cliffs. N. J. Prentice Hall. 1975.

WIN94.- Winston Wayne.

Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.- Grupo Editorial Iberoamérica.- 2ª Edición.-1994.

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Conceptos de PL con opciones de aciertos *AUTOEVAL*.

Subir ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL MODELO DE

Capítulo 3. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.Tabla de contenido

3.1. Objetivo.

3.2. Método Dual - Simplex.

3.3. Análisis de sensibilidad.

3.4. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo

3.5. Referencias bibliográficas

3.1. Objetivo.

El estudiante debe ser consciente que la solución a un problema, depende de la validez de la información de entrada, por lo que debe aprender a someter a un análisis de sensibilidad la solución óptima entregada por la computadora, mediante cambios a los parámetros del modelo de programación lineal; es decir reformulando los datos de entrada y apreciando las consecuencias.

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Referencias bibliográficas Método

3.2. Método Dual - Simplex.

Aprovechando las propiedades de los problemas asociados primal y dual, se desarrolló el método dual-simplex que se aplica: en algunos casos de análisis de sensibilidad, como ocurre en cambios de los recursos del problema; también para resolver problemas de objetivo mínimo y al menos una restricción de tipo >=, o para ahorro en cálculos evitando los métodos simplex penal y dos fases. Se aplica cuando el problema cambia a no factible, pero el renglón Z se presenta óptimo. Ahora observe y compare la aplicación ( ) de criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual.

Figura 3-1. Criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido, a los problemas primal y dual.

Enseguida se presenta una comparación funcional del simplex y el dual simplex.

Figura 3-2. Comparación funcional del simplex y el dual simplex.

Criterios del método dual-simplex para el cambio de base.

En el algoritmo dual-simplex aplican los siguientes criterios para cambio de base:

Criterio de factibilidad.- Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables básicas, una VS que salga de la base, eligiendo para salir la que corresponda al valor más negativo en la columna de solución. Esto es válido tanto para el objetivo mínimo como para el máximo.

Criterio de optimalidad.- Se aplica en el dual-simplex para determinar, entre las variables no básicas, una VE que entre a la base con el siguiente procedimiento:

Figura 3-3. Criterio de Optimalidad en el método dual-simplex.

Elemento Pivote.- Se ubica como pivote al coeficiente que corresponde al cruce del renglón y columna elegidos con los criterios del cambio de base.

Ejemplo 3-1. Aplica dual simplex a un PL con 4 restricciones >= (DUX1).

PASOS:

1) Consiga infactibilidad en restricciones tipo >=, (multiplique por -1):

2) Arregle la función Z; consiga la matriz I de base, sume holguras Hi, como sigue:

3) Tabule coeficientes y aplique el dual-simplex; elija variables VS, VE y pivote así:

Figura 3-4. Tablas del Dual-simplex aplicado al ejemplo DUX1.

Ejemplo 3-2. Aplica dual-simplex a un PL con 2 restricciones >= y 1 restricción <= (DUX2).

PASOS:

1) Consiga infactibilidad, multiplique por (-1) en restricción tipo >= como sigue:

2) Arregle el objetivo Z; consiga la solución básica (sume holguras Hi), como sigue:

3) Construya la tabla y aplique el algoritmo dual simplex:

Figura 3-5. Tablas del Dual-simplex aplicado en ejemplo DUX2.

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

3.3. Análisis de sensibilidad.

El modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede resultar inoperante con el transcurso del tiempo. Es decir, los cambios que ocurren en cualquier economía dan lugar a que precios, costos, recursos disponibles o requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. Estos parámetros por lo general, son valores estimados obtenidos sin la deseable precisión debido a las dificultades normales para conseguir registros confiables.

Una solución es óptima sólo en lo que se refiere al modelo específico que se usa para representar el problema real estudiado, pero no puede ser confiable hasta verificar un buen comportamiento al hacer cambios en sus parámetros. El análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el efecto sobre la solución óptima entregada por el método simplex, con los cambios a los valores originales.

En tal caso, la PL tiene el recurso de revisar la "solución óptima" de un problema para ajustarla a lo que se juzga válido por los responsables de la decisión, o bien en respuesta a cambios (sólo discretos, pues los cambios continuos forman parte de la programación paramétrica, no incluida aquí) del entorno económico; por tal motivo a este análisis también se le llama de posoptimalidad.

En general se pueden presentar cambios que no afecten la optimalidad de la solución ya obtenida, pero también puede ocurrir que se pierda esa condición. Por tal motivo es importante identificar los parámetros sensibles, que al cambiar de valor, se pierde el óptimo. En este caso, es posible calcular el intervalo de valores permitido en que no se pierde el óptimo. También se puede determinar el intervalo de valores para conservar factibilidad (valores no negativos de variables).

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Método Dual - Simplex.

3.4. Ejercicios, actividades de aprendizaje y autoevaluaciones correspondientes al capítulo

En las siguientes subsecciones encontrará una serie de ejercicios que ayudarán a la total comprensión de los temas tratados en el presente capítulo. Asimismo, los ejercicios marcados con *AUTOEVAL* son de auto evaluación, el peso de los incisos correspondientes a cada uno de ellos podrán ser consultados en la sección de respuestas. Se sugiere resolverlos, y una vez terminados, revisar su solución y calcular la calificación correspondiente y así evaluar el entendimiento del mismo.

Se recomienda aplicar los ejercicios aquí planteados a casos prácticos de la vida diaria como parte de las actividades de aprendizaje del presente material.

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Cambios en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones en variables no básicas.

3.5. Referencias bibliográficasDAN63.- Dantzig George B.

Linear Programming and Extensions. Princenton University Press. Princenton N.J. 1963.

EPE92.- Eppen G. - Gould F. - Schmidt Ch.

Métodos Cuantitativos para Administración. Prentice Hall. 1992

GAS74.- Gass Saul I.

Linear Programming. Methods and Applications. McGraw Hill, New York.1974

GASS81.- Gass Saul I.

Programación lineal.- Limusa 1ª Edición 1981

HIL95.- Hillier-Lieberman.

Introducción a la Investigación de Operaciones.-McGraw-Hill.- 6a.edición.- 1995.

LUE84.- Luenberger D.

Introduction to Linear and No Linear Programming. 2d. edition.1984

SAT59.- Saaty Thomas.

Mathematical Methods of Operations Research, Mc Graw Hill Book Company, New York, 1959

WAG75.- Wagner H.

Principles of Operation Research. 2d. edition. Englewood Cliffs. N. J. Prentice Hall. 1975.

WIN94.-Winston Wayne.

Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.- Grupo Editorial Iberoamérica.- 2ª Edición.-1994.

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Conceptos de PL con opciones de acierto *AUTOEVAL*.

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