MODELOS MATEMÁTICOS EN VARIABLE DE ESTADO

1.4

1.-Estado de un Sistema Dinámico: Es el conjunto más pequeño de variables,

denominadas variables de estado, tal es el conocimiento de dichas variables que en un tiempo “t0”, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t> t0 , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo

2.-Variables de Estado

Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Se requieren al menos “n” variables: X1; X2; X3;… Xn los cuales sirven para describir completamente el comportamiento de un sistema dinámico, por consiguiente, esas “n” variables son un conjunto de variables de estado.

3.- Representación de Sistemas Dinámicos en el Espacio de Estado:

Un sistema dinámico que consiste en un número finito de parámetros concentrados se pueden escribir mediante Ecuaciones diferenciales ordinarias en las que el tiempo es la variable independiente.

Mediante la notación vectorial matricial se puede expresar una ecuación diferencial de orden “n” por una ecuación vectorial matricial de 1er orden.

Si “n” elementos del vector son un conjunto de variables de estado, a la ecuación se le llama ECUACION DE ESTADO. Se presentan dos casos:

A.-Cuando la función excitadora no incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden “n”:

Siendo conocido y(0), y’(0), y’’(0), … Tomando un juego de “n” variables de estado

1 2

1 21 2

( ) ( ) ( )... ( ) ( )

n n n

nn n n

y t y t y ta a a y t t

t t t

1 2

1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n

ny t a y t a y t a y t t

1 1 2 1 2

2 2 3 2 3

3 3 4 3 4

2 1

1 1

x

x

x

n n

n n n

x y x y x x

x y x y x x

x y x y x x

x y x y x

n-1

1

1 1 2 2 3 1

x

n

n n

nn n n n n

x

x y x y a x a x a x a x u

Utilizando la notación vectorial matricial Se tiene ecuación de estado:

11

2

2

1 1

0 1 0 0

0 0 0 0

( )

1n n nn

xxx

x t

a a xax

Representación

Ecuación de estado

A: Matriz de Estado B: Matriz de entrada χ: Vector de estado μ: Vector de entrada

BAxx

Ecuación de Salida

Se tiene:

Su representacióny = Cx

C: Matriz de salida

1

21 0 0

n

x

xy

x

Diagrama de bloques

B.-Cuando la función excitadora incluye términos derivativos.

Las variables de estado deben ser tales que elimine la derivada de “u” en la ecuación de estado. Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las “n” variables como un conjunto de “n” variables de estado de la siguiente forma:

1 2 1

1 2 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n

n ny t a y t a y t a y t b u t b u t b u t

111 0 0 2 1

2 22 0 1 0 1 3 2

3 33 0 1 2 0 1 2 4 3

x

x

x - u

x y u x y u x u

x y u u y u u x x u

x y u u u y u u x x u

1 1

1 1 2 1

0 1 1 0 1 1

1 1 2 2

..................................................................................

x - u

x

n n n

n n n n n n

nn n n

n n n n

x x u

x y u u u y u u

a x a x a

3 1 n nx a x u

Los valores de β se hallan con las siguientes expresiones:

Con los coeficientes de la ecuación

0 0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

3 3 1 2 2 1 3 0

1 1 2 2 0n n n n n

b

b a

b a a

b a a a

b a a a

La ecuación de estado

1 11

2 2

2

1 1

0 1 0

0 0 0

( )

n n n nn

xxx

x t

a a xax

La ecuación de salida:

y = Cx + Du D: Matriz de transmisión

u

x

x

x

y

n

0

0001

0

2

1

Diagrama de bloques

Relación entre la función de transferencia y la

ecuación de estado

( )( )

( )

La ecuacion de estado y salida

( ) (0

Y sG s

U s

x Ax Bu

y Cx Du

Tomando Transformada de Laplace

sX s x

1

1

1

) ( ) ( )

. . 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

AX s BU s

C I

X s sI A BU s

Y s CX s DU s

Y s C sI A BU s DU s

Y sG s C SI A B D

U s

MATLAB para las conversiones:

para conversión de función de transferencia a ecuación de estado se tiene la siguiente sentencia:

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den); Para conversión de ecuación de estado a

función de transferencia se tiene la siguiente sentencia:

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,u,);