201527 Sistemas Dinámicos

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MDULOSISTEMAS DINMICOS

Diego Fernando Sendoya Losada1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERAPROGRAMA DE INGENIERA ELECTRNICA

NEIVA, 2007

1Tutor de la UNAD. Ingeniero Electrnico, Universidad Surcolombiana. Especialista en

Automatizacin Industrial, Universidad Surcolombiana Coruniversitaria de Ibagu.


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MDULOSISTEMAS DINMICOS

Copyright

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2007Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje


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TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I. REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS DINMICOS

1. SISTEMAS DE CONTROL1.1. INTRODUCCIN1.2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL1.2.1. Elementos de Control1.2.2. Elementos de un Sistema de Control Automtico1.2.3. Tipos de Variables1.2.4. Seales de Comunicacin1.3. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS1.4. SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS1.5. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL1.6. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL1.6.1. Control en Lazo Cerrado1.6.2. Control en Lazo Abierto

1.7. EFECTOS DE LA REALIMENTACIN1.8. MTODOS DE CONTROL1.8.1. Mtodos de Control Clsico1.8.2. Mtodos de Control Moderno1.8.3. Mtodos de Control Avanzado

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE2.1. INTRODUCCIN2.2. FUNCIONES COMPLEJAS2.3. DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE2.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES2.4.1. Funcin Impulso o Delta de Dirac

2.4.2. Funcin Escaln2.4.3. Funcin Rampa2.4.4. Funcin Exponencial2.4.5. Funcin Senoidal2.5. PROPIEDADES Y TEOREMAS2.5.1. Multiplicacin por una Constante2.5.2. Linealidad2.5.3. Traslacin Compleja2.5.4. Traslacin en el Tiempo2.5.5. Cambio de Escala2.5.6. Diferenciacin Real2.5.7. Integracin Real2.5.8. Diferenciacin Compleja

2.5.9. Teorema del Valor Inicial2.5.10. Teorema del Valor Final2.5.11. Integral de Convolucin2.6. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE2.7. FRACCIONES PARCIALES2.7.1. Races Reales Simples2.7.2. Races Complejas Simples2.7.3. Races Mltiples


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2.8. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

3. TRANSFORMADA Z3.1. INTRODUCCIN3.2. DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA Z

3.3. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES3.3.1. Funcin Delta de Kronecker3.3.2. Funcin Escaln Unitario3.3.3. Funcin Rampa Unitaria3.3.4. Funcin Polinomial3.3.5. Funcin Exponencial3.3.6. Funcin Senoidal3.4. PROPIEDADES Y TEOREMAS3.4.1. Multiplicacin por una Constante3.4.2. Linealidad3.4.3. Multiplicacin por ka3.4.4. Traslacin Compleja

3.4.5. Traslacin Real3.4.6. Suma de Funciones3.4.7. Teorema del Valor Inicial3.4.8. Teorema del Valor Final3.5. TRANSFORMADA Z INVERSA3.5.1. Mtodo de Divisin Directa3.5.2. Mtodo de Fracciones Parciales3.5.3. Mtodo de los Residuos3.6. SOLUCIN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA

4. MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS4.1. INTRODUCCIN4.2. SISTEMAS FSICOS Y MODELOS

4.2.1. Sistemas Elctricos4.2.2. Sistemas Mecnicos4.2.3. Sistemas de Nivel de Lquido4.2.4. Sistemas Trmicos4.3. FUNCIN DE TRANSFERENCIA4.3.1. Respuesta Impulso4.3.2. Sistemas Continuos4.3.3. Sistemas Discretos4.3.3.1. Muestreo de una Seal4.3.3.2. Retencin de Datos4.3.3.3. Teorema del Muestreo4.3.3.4. Funcin de Transferencia Pulso

4.4. SISTEMAS NO LINEALES5. MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS5.1. INTRODUCCIN5.2. DIAGRAMAS DE BLOQUES5.2.1. Elementos de un Diagrama de Bloques5.2.2. Reduccin de Diagramas de Bloques para Sistemas Continuos5.2.3. Reduccin de Diagramas de Bloques para Sistemas Discretos


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5.3. REGLA DE MASON5.4. VARIABLES DE ESTADO5.4.1. Definiciones5.4.2. Ecuaciones de Estado para Sistemas Continuos5.4.3. Ecuaciones de Estado para Sistemas Discretos

5.5. REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOS

UNIDAD II. ANLISIS DE LOS SISTEMAS DINMICOS

6. ANLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO6.1. INTRODUCCIN6.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN6.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN6.4. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR6.5. ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO6.6. ESTABILIDAD Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD6.6.1. Estabilidad de Sistemas en Tiempo Continuo

6.6.2. Estabilidad de Sistemas en Tiempo Discreto

7. ANLISIS DEL LUGAR DE LAS RACES7.1. INTRODUCCIN7.2. REGLAS DE CONSTRUCCIN DEL LUGAR DE LAS RACES7.3. EVALUACIN DE CEROS EN LAZO CERRADO7.4. ASPECTOS IMPORTANTES EN LA CONSTRUCCIN DEL LGR7.5. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES EN SISTEMAS DISCRETOS

8. ANLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA8.1. INTRODUCCIN8.2. DIAGRAMAS DE BODE8.3. ANLISIS DE ESTABILIDAD DE BODE8.3.1. Margen de Fase8.3.2. Margen de Ganancia8.4. DIAGRAMA DE NYQUIST8.5. ANLISIS DE ESTABILIDAD DE NYQUIST8.6. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

9. ANLISIS EN EL ESPACIO DE ESTADOS9.1. INTRODUCCIN9.2. REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS9.3. SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADOS9.4. CONTROLABILIDAD9.5. OBSERVABILIDAD


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1. SISTEMAS DE CONTROL

1.1. INTRODUCCIN

En muchos procesos industriales la funcin de control es realizada porun operario (ser humano), este operario es el que decide cundo y cmomanipular las variables de tal modo que se obtenga una cadenaproductiva continua y eficiente.

La eficiencia productiva implica el constante aumento de los niveles deproduccin de la maquinaria instalada, el mejoramiento de la calidad delproducto final, la disminucin de los costos de produccin, y laseguridad tanto para el personal como para los equipos. Para lograr estoes necesario que los procesos productivos se realicen a la mayorvelocidad posible y que las variables a controlar estn dentro de valoresconstantes.

Debido a estas exigencias, la industria ha necesitado de la utilizacin denuevos y ms complejos procesos, que muchas veces el operario nopuede controlar debido a la velocidad y exactitud requerida, ademsmuchas veces las condiciones del espacio donde se lleva a cabo la tareano son las ms adecuadas para el desempeo del ser humano.

Frente a este panorama, surgen los sistemas de control como una

solucin que permite llevar la produccin a estndares de calidad muchomejores.

Actualmente en el mundo, se ve una introduccin de los computadores yde la microelectrnica en la industria y en la sociedad, esto trae consigouna extensin del campo de los sistemas de control industrial ya quepermite, a travs del manejo de la informacin (seales, datos,mediciones, etc.), transformar los mecanismos de produccin y procesosproductivos de algunas industrias.

Con el fin de entender mejor el texto, a continuacin se definen algunosconceptos:

CONTROL: Accin ejercida con el fin de poder mantener una variabledentro de un rango de valores predeterminados.


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SISTEMA DE CONTROL: Conjunto de equipos y componentes, quevan a permitir llevar a cabo las operaciones de control.

OPERACIONES DE CONTROL: Conjunto de acciones que buscan

mantener una variable dentro de patrones de funcionamientodeseados.

CONTROL AUTOMTICO: Es el desarrollo de la accin de control,sin la participacin directa de un ser humano (operario).

1.2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL

1.2.1. Elementos de Control

Dependiendo del tipo de proceso y la funcin de control requerida, lossistemas de control van desde los ms simples como mantener el nivelde agua o de temperatura en un tanque, hasta los ms complicados enlos cuales se hace uso de equipos sofisticados y de un conjunto dealgoritmos de control ptimo, control robusto, inteligencia artificial, etc.

Se realiza el control de un proceso, cuando es posible regular el valor dela variable de salida, variando el valor de la seal de control o seal deentrada.

Figura 1.1 Diagrama general de un proceso

PLANTA: Es el ambiente donde se encuentran los equipos y dondese lleva a cabo el proceso. Se puede decir que es el conjunto de


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objetos fsicos, en los cuales es necesario desarrollar accionesespecialmente organizadas con el fin de lograr los resultados defuncionamiento y desempeo deseados; estos objetos van a sercontrolados por medio de acciones.

SEALES DE CONTROL: Son aquellas acciones elaboradas por elsistema de control, o dadas por un operario, a travs de las variablesmanipuladas. Por ejemplo, si se desea mantener un tanque a unatemperatura constante, se deber manipular el nivel de voltaje querecibe la resistencia que brinda calor al tanque.

PERTURBACIONES: Son aquellas acciones que no dependen delsistema de control ni del operario, pero intervienen positiva onegativamente en el proceso. Por ejemplo, para el caso anterior si sedesea mantener una temperatura constante en un tanque, latemperatura ambiental actuar e interferir con el calor del tanque.

VARIABLES DE SALIDA: Son aquellas que caracterizan el estado delos procesos dentro de la planta, estas variables son guiadas porvariables controladas. Por ejemplo, si se cuenta con un recipiente deagua en el cual la variable de salida ser el nivel, entonces la variablecontrolada ser el flujo de lquido que ingresa al recipiente.

PROCESO INDUSTRIAL: Es la sucesin de cambios graduales (en eltiempo) de materia y energa, todo proceso implica una

transformacin; generalizando se puede decir que es todo fenmenofsico que se puede medir y controlar. Pueden ser procesos continuos(siderrgica, petroqumica), procesos de manufactura(embotelladoras, confeccin de textiles), procesos de servicio(distribucin de agua), y procesos hbridos (reciclaje de vidrio).

1.2.2. Elementos de un Sistema de Control Automtico

Adicionalmente a los componentes anteriores, se encuentran aquellosque le van a dar la particularidad de ser automtico, es decir, el sistemade control va a actuar independiente del operario y va a determinar pors mismo los mejores valores para las seales de control.

Para ello se contar con una referencia, que es un valor dado por eloperario, este valor es fijo y depende del tipo de proceso y de las


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exigencias que este amerite; es conocido como set-point, este valor esel que se desea alcanzar y mantener.

Figura 1.2 Sistema de control automtico

As, se tienen cuatro elementos que conforman el sistema de control:

CONTROLADOR: Es aquel instrumento que compara el valor medidocon el valor deseado, en base a esta comparacin calcula un error(diferencia entre valor medido y deseado), para luego actuar a fin decorregir este error. Tiene por objetivo elaborar la seal de control quepermita que la variable controlada o variable de salida corresponda ala seal de referencia. Los controladores pueden ser de tipo manual,neumtico o electrnico.

Los controladores electrnicos ms usados son: computadores con

tarjetas de adquisicin de datos, PLC (Controladores LgicosProgramables) y microcontroladores (PIC).

El tipo de controlador ms comn es el PLC, el cual es un equipoelectrnico basado en microprocesadores, el cual hace uso de memoriasprogramables y regrabables (RAM), en donde se almacenaninstrucciones a manera de algoritmos que van a permitir seguir unalgica de control. Contiene interfaces que le permiten manejar grannmero de entradas y salidas tanto analgicas como digitales.

ACTUADOR: Es aquel equipo que sirve para regular la variable de

control y ejecutar la accin de control, tambin es conocido comoelemento final de control. Los actuadores pueden ser de tres tipos:

Actuadores elctricos: Son usados para posicionardispositivos de movimientos lineales o rotacionales. Porejemplo: motores, rels, switches y electrovlvulas.


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Actuadores neumticos: Trabajan con seales de presin,estas seales son convertidas a movimientos mecnicos. Porejemplo: pistones neumticos y vlvulas.

Actuadores hidrulicos: Operan igual a los neumticos, son

usados en tareas que requieren mayor fuerza por ejemplolevantar compuertas, mover gras, elevadores, etc. Porejemplo: pistones hidrulicos.

PROCESO: Esta referido al equipo que va a ser automatizado, porejemplo puede ser una bomba, una tolva, un tanque, un compresor,un molino, un intercambiador de calor, un horno, un secador, unacaldera, etc.

SENSOR: Es un elemento de medicin de parmetros o variables delproceso. Los sensores pueden ser usados tambin como indicadores,para transformar la seal medida en seal elctrica. Los sensoresms comunes son los de nivel, temperatura, presencia, proximidad,flujo, presin, entre otros. Pueden ser de varios tipos:

Sensores de contacto: Son aquellos que realizan la medidaen contacto directo, real y fsico con el producto o materia. Porejemplo: sensores de boya para medir nivel en un tanque,termocuplas para medir temperatura, etc.

Sensores de no contacto: Se basan en propiedades fsicas delos materiales, son ms exactos, pero son propensos a

interferencias del medio ambiente. Por ejemplo: sensoresultrasnicos, sensores pticos, etc. Sensores digitales: Trabajan con seales digitales, en cdigo

binario, pueden representar la codificacin de una sealanalgica, o tambin la representacin de dos estados ON/OFF.Por ejemplo: sensores tipo switch.

Sensores analgicos: Proporcionan medidas continuas, losrangos tpicos son de 0 a 20 mA, 4 a 20 mA, 0 a 5 V, 1 a 5 V,entre otros. Por ejemplo: sensores capacitivos, sensorespiezoresistivos, etc.

Sensores mecnicos: Son aquellos que traducen la accinfsica del elemento medido, en un comportamiento mecnico,tpicamente de movimiento y/o calor. Por ejemplo: barmetros,termmetros de mercurio, etc.

Sensores electro-mecnicos: Este tipo de sensor emplea unelemento mecnico elstico combinado con un transductor


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elctrico. Por ejemplo: sensores resistivos, sensoresmagnticos, etc.

A continuacin, se muestra un ejemplo de un sistema de control de

nivel, donde el proceso esta constituido por un tanque abierto, elcontrolador es de tipo electrnico, y a travs de un transductor seconvierte la seal elctrica a neumtica, esta seal de presin de aireacciona una vlvula neumtica que cumple la funcin de actuador,finalmente se cuenta con un sensor de nivel de tipo no contacto.

Figura 1.3 Sistema de control de nivel

1.2.3. Tipos de Variables

Se define como variable a todo aquel parmetro fsico cuyo valor puedeser medido. Puede ser:

VARIABLE CONTROLADA: Es aquella que se busca mantenerconstante o con cambios mnimos. Su valor debe seguir al set-point.

VARIABLE MANIPULADA: A travs de esta se debe corregir elefecto de las perturbaciones. Sobre esta se colocar el actuador.


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VARIABLE PERTURBADORA: Esta dado por los cambios repentinosque sufre el sistema y que provocan inestabilidad.

VARIABLE MEDIDA: Es toda variable adicional, cuyo valor es

necesario registrar y monitorear, pero que no es necesario controlar.

Ejemplo 1.1 La figura 1.4 muestra un intercambiador de calor. A continuacin, sepresenta un diagrama y un cuadro donde se describen las distintas variables queintervienen en el proceso.

Figura 1.4 Intercambiador de calor

Solucin:

Figura 1.5 Diagrama de bloques del intercambiador de calor


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VariableControlada

Si ingresa agua fra y sale agua caliente, entonces se buscacontrolar la temperatura del agua que sale, cuyatemperatura estar dada por un set-point

VariableManipulada

El calor dentro del intercambiador depende del suministro de

valor caliente, por tanto ser el flujo de vapor caliente, cuyoactuador es la vlvula de vapor

VariablePerturbadora

No se conoce la temperatura ni la presin del agua queingresa, por tanto, estos pueden afectar a la salida

Variable MedidaSe puede medir por ejemplo la temperatura del vaporcaliente

1.2.4. Seales de Comunicacin

Como se puede observar el flujo de informacin entre los elementos seda a travs de seales. Las seales son un conjunto de datos que fluyenen diversos sentidos, conformando un flujo de informacin. Estaspueden ser:

SEALES ELCTRICAS: Utilizan el flujo de electrones sobre unconductor, pueden ser:

Seales analgicas: Son seales en tiempo continuo, lainformacin esta dada por la amplitud de la seal.

Seales digitales: Son seales en tiempo discreto, lainformacin esta dada en cdigo binario.

SEALES NEUMTICAS: La informacin est dada por la variacinfsica de compresin o expansin de un fluido gaseoso en un tiempodeterminado.

SEALES HIDRULICAS: En este caso las variaciones de presinpor lo general de un lquido viscoso generan el conjunto de datos aser transmitidos.

SEALES DE SONIDO: Conformadas por ondas de sonidoproducidas por el movimiento vibratorio de los cuerpos a unadeterminada frecuencia; tambin son usadas las ondas ultrasnicas.


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SEALES ELECTROMAGNTICAS: La informacin viaja sobre unaonda de radio, microondas o satlite, empaquetada dentro de unaseal portadora, recorriendo grandes distancias.

SEALES PTICAS: Se hace uso de la fibra ptica y son empleadaspara transmitir grandes volmenes de informacin, generalmenteusadas en redes de controladores.

1.3. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS

Los sistemas de control continuos son aquellos que estn descritosmediante ecuaciones diferenciales que describen las leyes fsicas querigen el comportamiento de dicho sistema, y que relacionan elcomportamiento de la salida de este ante una entrada determinada.

Estos sistemas se caracterizan porque las variables poseen un valor paracualquier tiempo posible dentro de un intervalo de tiempo finito. Estreferido a las seales analgicas, y su comportamiento matemtico essimilar a una onda continua. Por ejemplo un proceso de llenado debalones de gas.

Recordando que un sistema de control, generalmente estar formadopor diversos sistemas (planta, control, etc.). La topologa tpica ensistemas de control continuos es:

Figura 1.6 Sistema de control continuo

De forma general, se puede escribir la ecuacin diferencial querepresenta a este tipo de sistemas, como se muestra a continuacin:

1 1

1 1 0 1 11 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u n m

dt dt dt dt dt dt

dondeL L (1.1)


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La solucin a este tipo de ecuaciones, se puede encontrar mediante eluso de la transformada de Laplace ( L ) y de la transformada inversa deLaplace ( 1L ).

1.4. SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS

Los sistemas de control discretos son aquellos descritos medianteecuaciones en diferencia, y solo poseen valores para determinadosinstantes de tiempo, separados por intervalos dados por un periodoconstante. Est referido a las seales digitales, y su comportamientomatemtico es similar a un tren de pulsos. Por ejemplo el encendido yapagado de un switch que acciona una alarma.

Un sistema de control en tiempo discreto se caracteriza principalmentepor realizar un procesado, mediante alguno de sus elementos, deseales discretas en el tiempo. La topologa tpica de un sistema discretoes la que se puede observar en la siguiente figura:

Figura 1.7 Sistema de control discreto

Respecto a los sistemas control en tiempo continuo se observa lainclusin de algunos elementos nuevos:

Control digital o discreto: Es un sistema procesador diseado paraque el sistema de control logre las especificaciones requeridas. Estesistema trabaja u opera en instantes de tiempo predeterminados,

mltiplos del periodo de muestreo y es, por tanto, un sistemasncrono. La operatividad del sistema o su funcionamiento deprocesado queda caracterizada plenamente mediante su ecuacin endiferencias:

1 0 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )

n n m my k n a y k a y k b u k m b u k b u k n m dondeL L (1.2)


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Este tipo de ecuaciones se pueden solucionar empleando latransformada Z y la transformada Z inversa ( 1Z ).

Interfaces A/D y D/A: Se usan para convertir seales continuas enseales discretas y seales discretas en seales continuas,respectivamente. Permiten la introduccin de un procesador discretoen el sistema de control y reconstruyen temporalmente la sealdiscreta en una seal continua en el tiempo.

Debe observarse que el periodo de muestreo T dependefundamentalmente del tiempo de ciclo del programa que ejecuta elalgoritmo de control; as, normalmente el tiempo de ciclo de programasuele ser mayor que el periodo de muestreo de los conversores A/D. Enalgunos casos, el periodo de muestreo se disea para que sea mayorque el tiempo de ciclo (cuando las constantes de tiempo del proceso oplanta son muy grandes), utilizndose el resto de tiempo del procesadorpara realizar funciones de transmisin y representacin de datos o,simplemente, funciones de gestin de posibles alarmas.

Algunas ventajas del muestreo en sistemas de control son:

Mayor facilidad de realizacin.

No existen errores (ruido, interferencias, etc.).

Son ms compactos, menos pesados.

Menor costo.

Flexibilidad de programacin.

1.5. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Un ejemplo sencillo de un sistema de control continuo, es el sistema decontrol de direccin de un automvil. La direccin de las ruedasdelanteras se puede considerar la variable controlada o salida ( )y t , y ladireccin el volante es la seal actuante o entrada ( )u t . El proceso eneste caso est compuesto por el mecanismo de la direccin y de ladinmica del automvil completo.


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Figura 1.8 Sistema de control de direccin de un auto

Por otro lado, si el objetivo es controlar la velocidad del automvil,entonces la presin ejercida sobre el acelerador sera la seal de entraday la velocidad del automvil sera la seal de salida.

Figura 1.9 Sistema de control de velocidad de un auto

En ambos casos se trata de un sistema de control continuo, ya que lasseales que se procesan en la planta varan continuamente en eltiempo.

Otro ejemplo se muestra a continuacin, donde se aprecia el diagramaesquemtico del control de temperatura de un horno elctrico.

Figura 1.10 Sistema de control de temperatura de un horno elctrico

La temperatura del horno elctrico se mide mediante un termmetro,que es un dispositivo analgico. La temperatura analgica se convierte auna temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura

digital se introduce a un controlador, que en este caso es uncomputador, mediante una interfase. Esta temperatura digital secompara con una temperatura que se ingresa mediante un programa ysi hay una discrepancia (error) el controlador enva una seal alcalefactor, a travs de una interfase, un amplificador y un relevador,para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.

PLANTA

Direccin de lasruedas delanteras

( )y t

Direccin

del volante

( )u t

PLANTA

Velocidad del

auto

( )y t

Presin sobre

acelerador

( )u t

Convertidor

A/DInterfase

Relevador Am lificador Interfase

ComputadorEntrada

programada

Horno

elctrico

Calefactor

Termmetro


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En este ltimo ejemplo se observa que se trata de un sistema de controldiscreto, ya que las seales que se procesan no son continuas en eltiempo, sino que son muestreadas a intervalos regulares de tiempomediante la accin del convertidor A/D.

1.6. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL

En base a su principio de funcionamiento los sistemas de control puedenemplear o no, informacin a cerca de la planta, a fin de elaborar o no,estrategias de supervisin y control, se cuenta con dos tipos de sistemasde control: en lazo abierto y en lazo cerrado.

1.6.1. Control en Lazo Cerrado

Un sistema de control en lazo cerrado es aquel que toma una muestrade la seal de salida ( )y t y la compara con la seal de entrada o sealde referencia ( )r t , si hay discrepancia entre las dos seales, entonces seproduce una seal de error ( )e t , la cual acta sobre el mecanismocontrolador con el fin de que este genere una seal adecuada ( )u t , quepermita un control efectivo sobre la planta o proceso.

Figura 1.11 Sistema de control en lazo cerrado

En el ejemplo del control de temperatura de un horno, se observa que laseal de salida ( )y t corresponde a la temperatura del horno, la cual esmedida por un termmetro y es comparada con la temperaturapreviamente programada ( )r t , si estas dos seales no son iguales, sepresentar una seal de error ( )e t , la cual es interpretada por el

computador, que en este caso hace las veces de controlador, el cualgenera una seal ( )u t que acta directamente sobre el calefactor,permitiendo aumentar o disminuir la temperatura hasta que la seal quese mida a la salida (dentro del horno) corresponda a la deseada (la queest programada). Al no existir error, entonces el controlador norealizar ninguna accin, pues ya se ha cumplido el objetivo deseado.

Comparacin Controlador Proceso

Medida

( )r t( )e t ( )u t

( )y t


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Los sistemas de control en lazo cerrado se denominan tambin sistemasrealimentados.

1.6.2. Control en Lazo Abierto

Un sistema de control en lazo abierto funciona sin realimentacin ygenera directamente la salida en respuesta a la seal de entrada. Encualquier sistema de control en lazo abierto, la salida ( )y t no secompara con la entrada de referencia ( )r t . Por lo tanto, a cada entradade referencia le corresponde una condicin operativa fija; comoresultado, la precisin del sistema depende de la calibracin que se lehaya dado. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de controlen lazo abierto no realiza la tarea deseada.

Figura 1.12 Sistema de control en lazo abierto

En la prctica, el control en lazo abierto slo se usa si se conoce larelacin entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internasni externas. Es evidente que estos sistemas no son de controlrealimentado. Observe que cualquier sistema de control que opere conuna base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control deltrnsito mediante seales operadas con una base de tiempo, o el controlde la temperatura en una tostadora.

1.7. EFECTOS DE LA REALIMENTACIN

En los ejemplos anteriores, se ha visto que la realimentacin es usadapara reducir el error entre la entrada de referencia y la salida delsistema, sin embargo el efecto de la realimentacin en sistemas decontrol es mucho ms complejo que lo tratado hasta ahora.

La reduccin del error es slo uno de los efectos que la realimentacinrealiza sobre el sistema, ya que tambin repercute en las caractersticasde desempeo del sistema como son:

Estabilidad

Ancho de banda

Dispositivo

de actuacinProceso( )r t

( )u t( )y t


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Ganancia global

Perturbaciones

Sensibilidad

Considere un sistema realimentado sencillo como el de la figura, donder es la seal de entrada, y es la seal de salida, e es el error y losparmetros G y H, se pueden considerar como ganancias constantes.

Figura 1.13 Sistema realimentado

De este diagrama se observa que:

y eG (1.3)Y adems,

e r yH (1.4)

Despejando e de la ecuacin (1.3) y reemplazando en (1.4), se obtienela relacin entre la salida y la entrada del sistema:

yr yH

G

1

y G

r GH

(1.5)

Como se observa en la ecuacin (1.5), la realimentacin afecta laganancia G del sistema no realimentado en un factor de 1 GH . Elsistema de la figura anterior tiene realimentacin negativa, ya que se

asigna un signo menos a la seal realimentada.

La cantidad GH puede incluir el signo menos, por lo tanto el efectogeneral de la realimentacin es que puede aumentar o disminuir laganancia G . En un sistema de control prctico, G y H son funciones de

G

H

+

-

er y


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la frecuencia, por lo que la magnitud de 1 GH puede ser mayor que 1en un intervalo de frecuencias y menor que 1 en otro intervalo.

De forma general, la estabilidad describe si un sistema es capaz de

seguir un comando de entrada. Para observar el efecto de larealimentacin sobre la estabilidad de un sistema nuevamente se hacereferencia a la ecuacin (1.5). Si 1GH , la salida del sistema delsistema tiende a infinito para cualquier entrada aplicada, y se dice queel sistema es inestable. Por lo tanto, se puede apreciar que larealimentacin puede ocasionar que un sistema que originalmente esestable, se vuelva inestable. Tambin puede ocurrir lo contrario, esdecir, que mediante el uso de la realimentacin se pueda estabilizar unsistema originalmente inestable.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazoabierto es ms fcil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema noes un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una funcinprincipal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducira corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitudconstante o cambiante.

Debido a que todos los elementos fsicos tienen propiedades que vancambiando con el ambiente y con la edad, no se pueden considerar losparmetros de un sistema de control como completamente estacionariosdurante la vida de operacin del mismo, es por eso que las

consideraciones sobre sensibilidad son importantes cuando se trata consistemas de control.

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de larealimentacin vuelve la respuesta del sistema relativamente insensiblea las perturbaciones externas y a las variaciones internas en losparmetros del sistema. Por lo tanto, es posible usar componentesrelativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado deuna planta determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el casode un sistema en lazo abierto.

Debe sealarse que, para los sistemas en los que se conocen conanticipacin las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, esaconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de controlen lazo cerrado slo tienen ventajas cuando se presentanperturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en loscomponentes del sistema.


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En general, la realimentacin tambin tiene efectos sobre el ancho debanda, la impedancia, la respuesta transitoria y la respuesta enfrecuencia.

La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazocerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de controlequivalente en lazo abierto. Por lo tanto, el sistema de control en lazocerrado suele tener costos ms grandes. Por lo general, unacombinacin adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado esmenos costosa y ofrecer un desempeo satisfactorio del sistemageneral.

1.8. MTODOS DE CONTROL

Existen mtodos y estrategias para realizar la accin de control, losmtodos de control (clsico y moderno) permiten al controladorreaccionar mandando una seal correctiva del error, mientras que lasestrategias de control, hacen ms eficiente a la labor de control,ahorrando recursos y tiempo.

1.8.1. Mtodos de Control Clsico

Los mtodos de control clsico son aquellos que esperan a que se

produzca un error para luego realizar una accin correctiva. El error sepresenta a causa de la diferencia de lectura entre la variable de salidamedida y la seal de referencia, este error est presente en todomomento, y la finalidad es minimizarlo. En algunos casos suelegenerarse un comportamiento oscilatorio alrededor del valor dereferencia.

Los mtodos de control clsico pueden ser:

CONTROL ON/OFF: Este mtodo solo acepta dos posiciones para elactuador: encendido (100%) y apagado (0%). La lgica defuncionamiento es tener un punto de referencia, si la variable esmayor el actuador asume una posicin, y si la variable es menor elactuador asume la otra posicin. Por ejemplo, se tienen los sistemasde seguridad contra robos, las refrigeradoras domsticas, sistemasde aire acondicionado, etc.


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CONTROL PROPORCIONAL: Es un control que se basa en laganancia aplicada al sistema, se basa en el principio de que larespuesta del controlador deber ser proporcional a la magnitud delerror. No corrige ni elimina perturbaciones, puede atenuar o

aumentar la seal de error.

CONTROL INTEGRAL: Conocido como RESET. Este tipo decontrolador anula errores y corrige perturbaciones, mediante labsqueda de la seal de referencia, necesita de un tiempo paralocalizar dicha seal.

CONTROL DERIVATIVO: Conocido como RATE. Este controlador pors solo no es utilizado, necesita estar junto al proporcional y alintegral. Sirve para darle rapidez o aceleracin a la accin de control.Necesita de una diferencial de tiempo para alcanzar la seal dereferencia.

CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL: Acta en forma rpida,tiene una ganancia y corrige el error, no experimenta un offset enestado estacionario. La aplicacin tpica es en el control detemperatura.

CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO: Es estable, y reduce losretardos, es decir es ms rpido. Es usado tpicamente para el controlde flujo de minerales.

CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO: Estecontrolador es el ms completo y complejo, tiene una respuesta msrpida y estable siempre que est bien sintonizado. Resumiendo sepuede decir que:

El control proporcional acta sobre el tamao del error. El control integral rige el tiempo para corregir el error. El control derivativo le brinda la rapidez a la actuacin.

1.8.2. Mtodos de Control Moderno

Los mtodos de control moderno brindan nuevas tcnicas que permitenya sea compensar el error y/o eliminarlo, las ms comunes son lassiguientes:


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CONTROL ANTICIPATORIO (Feedforward): Este mtodo permiteal controlador analizar los datos de entrada y de salida y mediantealgoritmos matemticos calcular la prxima salida probable, demodo tal que auto ajusta sus parmetros con la finalidad de

adecuarse al cambio, y minimizar la diferencia de medidas. Serecomienda para procesos lentos. Su desventaja radica en que esnecesario medir todas las variables perturbadoras, ya que no corrigelas perturbaciones no medidas. Se puede mejorar este mtodoagregando una retroalimentacin a la salida, de modo tal que se dejeque se produzca un error mnimo, el cual ser detectado y corregidoen la siguiente medicin.

COMPENSADORES ADELANTO-ATRASO: Este mtodo permiterealizar un control en el dominio de la frecuencia, en el cual se buscacompensar la fase del sistema, agregando (adelanto) o quitando(atraso) fase, para lo cual se agregan nuevos componentes o nuevasfunciones matemticas al sistema. Se puede poner cuantoscompensadores sean necesarios a fin de llevar la respuesta delsistema a un valor deseado.

REALIMENTACIN DE ESTADOS: Este mtodo permite ejercer unaaccin de control mediante la medicin de cada uno de los estados(del modelo en espacio estado del sistema), atribuyndole unaganancia a cada uno de los valores ledos, de este modo el lazo decontrol es cerrado por medio del compensador o controlador de

estados y no por el sensor.

SISTEMAS DE SEGUIMIENTO: Este mtodo tambin es conocidocomo tracking, es un complemento del mtodo anterior, puesto quemediante el control por realimentacin de estados se puede llevar lavariable controlada a un valor de cero (porque no se cuenta con unareferencia), con este mtodo se podr llevar a la variable dada a unvalor deseado, puesto que se incorpora una referencia en el sistema.

FEEDBACK LINEALIZATION: Debido a que los procesos reales nocuentan con modelos lineales que los representan, es necesario eluso de controladores no lineales. Este mtodo es conocido comocontrol con modelo de referencia, utiliza la teora de Lyapunov paradeterminar la estabilidad del sistema, y el modelo matemtico estadado en la forma espacio estado.


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1.8.3. Mtodos de Control Avanzado

Los mtodos de control avanzado son aquellos que actan en formapreventiva, de modo tal que en base a los datos tomados, actan de

modo tal que previenen la ocurrencia de error, por tanto el controladorest ajustando sus parmetros constantemente.

CONTROL ADAPTATIVO: Es una variante del control anticipatorio,en donde la respuesta del controlador vara automticamente basadoen los cambios de las condiciones dentro del proceso, es decir, larespuesta del controlador ser variable dependiendo delcomportamiento actual del proceso. Para que se lleve a cabo estaadaptacin se requiere de algoritmos matemticos que simulen elproceso en base a los datos tomados en el instante mismo en que serealiza la accin, este resultado va a generar una sealcompensadora que garantizar la confiabilidad del sistema.

CONTROL PTIMO: El control ptimo busca el mejor desempeo enla accin de control, tiene por objetivo buscar una o varias solucionesque cumplan con ciertas restricciones impuestas por el problema yque a la vez cumpla con una funcin objetivo (funcin de costo), lacual puede ser maximizar o minimizar dicha funcin. El controlpermite diversas soluciones para un mismo problema, pero el controlptimo busca dentro de esas soluciones la ms adecuada paracumplir con los requisitos planteados.

CONTROL ROBUSTO: El control robusto es aquel que va a permitirmantener la accin de control pese a perturbaciones externas einternas. Pueden existir perturbaciones externas como ruido yvibraciones propias del proceso; o perturbaciones internas como unmal modelamiento matemtico, sistemas no lineales difciles delinealizar, incertidumbre en el accionar, entre otros. El controlrobusto se resume a identificar y controlar la incertidumbre en losparmetros y en el comportamiento de una planta.

CONTROL EN TIEMPO REAL: Se define el control de sistemas entiempo real, como el control realizado en un intervalo de tiempo finitoy constante, es decir que la informacin ser medida con muestrasintermitentes pero todas las veces con un mismo tiempo demuestreo.


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CONTROL DIFUSO: Se basa en la lgica difusa, la cual a diferenciade la lgica binaria o booleana (verdadero/falso 1/0), asignavalores intermedios dentro de esta escala. Utiliza la experiencia deloperador para generar una lgica de razonamiento para el

controlador. No requiere del modelamiento matemtico de la planta,puede representar modelos de sistemas lineales y no linealesmediante el uso de variables lingsticas y una serie de condiciones oreglas previamente definidas.

CONTROL NEURONAL: Hace uso de neuronas de inteligenciaartificial. La neurona artificial estndar es un elemento deprocesamiento que calcula una salida multiplicando su vector deentradas por un vector de pesos y este resultado es aplicado a unafuncin de activacin; un conjunto de neuronas conforman una redneuronal. Las redes neuronales son parte de la inteligencia artificial(AI) caracterizadas por su capacidad de aprendizaje, su velocidadmediante el procesamiento masivo en paralelo de datos y por lafacilidad de modelado de sistemas y controladores no lineales.

ALGORITMOS GENTICOS: Este mtodo simula la evolucinnatural de las especies propuesta por Charles Darwin, fue ideado porJohn Holland en 1970. La informacin va sufriendo cambios igual quelo haran las especies, es decir se van adaptando al entorno, lo cualse lleva a cabo por medio de los procesos de seleccin natural,mezcla y mutacin. En cada ciclo (iteracin) una parte del conjunto

de hiptesis conocido como poblacin actual, es reemplazado por unanueva poblacin mediante las funciones evolutivas anteriores. Assucesivamente en cada ciclo la poblacin es evaluada en base a unafuncin evolutiva, siendo conservados los datos ms exactos, ysiendo eliminados los datos que presentan error (seleccin natural).Para conservar el nmero de individuos (datos) estos son mezclados,lo cual genera nuevos individuos similares a sus procreadores.Finalmente cada cierto tiempo o dada cierta cantidad de individuos,algunos de los nuevos individuos son mutados aleatoriamente,pudiendo ser conservados o eliminados en la prxima iteracindependiendo de su utilidad dentro del sistema.

SISTEMAS EXPERTOS: Estos sistemas tratan de emular laexperiencia adquirida por uno o ms seres humanos a lo largo deltiempo para realizar un trabajo. Este sistema tendr en su memoriauna base de datos con mltiples soluciones a un mismo problema,luego el sistema tendr que escoger de entre esas soluciones a la que


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pueda aplicarse a fin de lograr los mejores resultados. El sistema secrea basndose en las experiencias humanas, la eleccin de laestructura de control depender de las caractersticas del trabajo endonde se aplicar, adems el sistema podr ir aprendiendo con el

tiempo y almacenar sus propias experiencias, existe mucha analogaentre los sistemas expertos y los sistemas neuro-fuzzy.


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2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUCCIN

La transformada de Laplace es un mtodo operativo que aporta muchasventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales linealesde la forma:

1 1

1 1 0 1 1 01 1

n n m m

n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u n m

dt dt dt dt dt dt

dondeL L (2.1)

Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertirmuchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las

funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, enfunciones algebraicas de una variable compleja s . Las operaciones talescomo la diferenciacin y la integracin se sustituyen por operacionesalgebraicas en el plano complejo.

Por lo tanto, una ecuacin diferencial lineal se transforma en unaecuacin algebraica, en trminos de la variable compleja s . Si sedespeja en la ecuacin algebraica en s la variable dependiente, lasolucin de la ecuacin diferencial se puede encontrar mediante unatabla de transformadas de Laplace o empleando una tcnica deexpansin en fracciones parciales.

Una ventaja del mtodo de la transformada de Laplace es que permite eluso de tcnicas grficas para predecir el desempeo del sistema, sintener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventajadel mtodo de la transformada de Laplace es que, cuando se resuelve laecuacin diferencial, es posible obtener simultneamente tanto elcomponente transitorio como el componente de estado estable de lasolucin.

2.2. FUNCIONES COMPLEJAS

Antes de introducir el tema de la transformada de Laplace, se estudiarnlos conceptos de variable y funcin compleja. Tambin se revisar elteorema de Euler, que relaciona las funciones senoidales con lasfunciones exponenciales.


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Primero hay que recordar que un nmero complejo est compuesto deuna parte real y una parte imaginaria, ambas son constantes. Si la partereal y/o la parte imaginaria son variables, el nmero complejo sedenomina variable compleja. La transformada de Laplace usa la notacin

s para la variable compleja, esto es:

s j (2.2)

Donde es la parte real y es la parte imaginaria. De forma grficaen el plano s , la componente real est representada por el eje en ladireccin horizontal y la componente imaginaria se mide a lo largo deleje vertical j . La figura 2.1 muestra el plano complejo s , en dondecualquier punto arbitrario 1s s est definido por las coordenadas 1 y 1 , o simplemente 1 1 1s j .

Figura 2.1 Plano complejo s

Se dice que la funcin ( )G s es una funcin compleja, si para cada valorde s existen uno o ms valores correspondientes de ( )G s . Debido a ques se define con partes real e imaginaria, la funcin ( )G s tambin estrepresentada por sus partes real e imaginaria, esto es:

( ) x yG s G jG (2.3)

En dondex

G y yG son cantidades reales. La magnitud de ( )G s es:

2 2

( ) x yG s G G (2.4)

Y el ngulo de ( )G s es:

1tany

x

G

G

(2.5)

1s

j

1

1

1 1j

0


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El ngulo se mide en sentido opuesto al movimiento de las manecillasdel reloj, a partir del eje real positivo.

El complejo conjugado de ( )G s es:

( ) x yG s G jG (2.6)

Si para cada valor de s existe slo un valor correspondiente de ( )G s , sedice que ( )G s es una funcin univaluada. Por lo general, las funcionescomplejas que se encuentran en el anlisis de sistemas de controllineales son funciones univaluadas de s .

Una funcin ( )G s se llama funcin analtica en una regin del plano s , si

la funcin y todas sus derivadas existen en dicha regin.Ejemplo 2.1 Determine si la siguiente funcin es analtica:

1( )

( 1)G s

s s

Solucin:

Es analtica en cada punto del plano s , excepto en los puntos 0s y 1s , ya queen estos dos puntos el valor de la funcin tiende a infinito.

Ejemplo 2.2 Determine si la siguiente funcin es analtica:

( ) 2G s s

Solucin:

La funcin es analtica en todos los puntos del plano s .

Los puntos en el plano s en los cuales la funcin ( )G s es analtica sedenominan puntos ordinarios, en tanto que los puntos en el plano s enlos cuales la funcin ( )G s no es analtica se denominan puntossingulares.


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Los puntos singulares en los cuales la funcin ( )G s o sus derivadastienden a infinito se denominan polos.

Ejemplo 2.3 Encuentre los polos de la siguiente funcin:

1( )

1G s

s

Solucin:

La funcin tiene un polo en 1s .

Los puntos en los cuales la funcin ( )G s es igual a cero se denominanceros.

Ejemplo 2.4 Encuentre los polos y los ceros de la siguiente funcin:

2

10( 2)( )

( 1)( 3)

sG s

s s s

Solucin:

La funcin tiene polos sencillos en 0s y 1s , tiene un polo repetido o de orden 2en 3s , adems tiene un cero sencillo o simple en 2s .

Para finalizar, se revisar el teorema de Euler, el cual es de gran ayuda,ya que con el se puede expresar la funcin seno y la funcin coseno entrminos de una funcin exponencial, esto es:

cos sinje j (2.7)

Teniendo en cuenta que je es el complejo conjugado de je , se tiene:

cos sin cos sinj j

e e j j

cos

2

j je e

(2.8)

cos sin cos sin

j j

e e j j

sin

2

j je e

j

(2.9)


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2.3. DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace es una herramienta matemtica utilizadapara la solucin de ecuaciones diferenciales lineales. En comparacin

con el mtodo clsico de resolucin de ecuaciones diferenciales lineales,la transformada de Laplace tiene dos caractersticas atractivas:

La solucin de la ecuacin homognea y la solucin particular seobtienen en una sola operacin.

La transformada de Laplace convierte la ecuacin diferencial en unaecuacin algebraica en s . Entonces es posible manipular la ecuacinalgebraica mediante reglas algebraicas simples, para obtener lasolucin en el dominio s . La solucin final se obtiene hallando latransformada inversa de Laplace.

Primero se presenta una definicin de la transformada de Laplace ydespus se ofrecen ejemplos de las transformadas de Laplace en variasfunciones comunes.

Sean,

( )f t : una funcin en el tiempo t, tal que ( ) 0f t para 0t

s : una variable compleja

L : un smbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede

se va a transformar mediante la integral de Laplace0

ste dt

( )F s : la transformada de Laplace de ( )f t

La transformada de Laplace de ( )f t se obtiene mediante:

0

( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt

L (2.10)

El proceso inverso de encontrar la funcin en el tiempo ( )f t a partir dela transformada de Laplace ( )F s se denomina transformada inversa de


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Laplace. La notacin para la transformada inversa de Laplace es 1L , lacual se encuentra a partir de ( )F s mediante la integral de inversin:

1 1

( ) ( ) ( ) 02 para

c j

st

c jF s f t F s e ds t j

L (2.11)

En donde c es una constante real cuyo valor es mayor que las partesreales de todas las singularidades de ( )F s . En la prctica rara vez seemplea esta integral para encontrar ( )f t , ya que existen mtodos mssencillos para obtenerla.

A continuacin, se encontraran las transformadas de Laplace de algunasfunciones que se utilizan con frecuencia.

2.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

2.4.1. Funcin Impulso Delta de Dirac

Algunos sistemas mecnicos suelen estar sometidos a una fuerzaexterna (o a una tensin elctrica en el caso de los circuitos elctricos)de gran magnitud, que solamente acta durante un tiempo muy corto.Por ejemplo, una descarga elctrica podra caer sobre el ala vibrante deun avin; a un cuerpo sujeto a un resorte podra drsele un fuerte golpecon un martillo, una pelota de tenis inicialmente en reposo, podra serenviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con unaraqueta de tenis. La funcin impulso puede servir como un modelo paratal fuerza.

La funcin impulso, conocida tambin como delta de Dirac o funcindelta es una funcin infinitamente angosta, infinitamente alta, cuyaintegral tiene un valor unitario. Tal vez, la manera ms simple devisualizar esto, es usar un pulso rectangular que va de / 2 a / 2 con

una altura de 1/ .


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Figura 2.2 Aproximacin a la funcin impulso

Al hacer que 0 , se observa que su ancho tiende a ser cero y sualtura tiende a infinito conforme su rea total permanece constante conun valor de uno. La funcin del impulso usualmente se escribe como

( )t .

Figura 2.3 Funcin impulso

Entonces, la funcin impulso puede ser definida as:

0( )

0 0

para

para

tf t

t

La transformada de Laplace de la funcin impulso es:

( ) 1f t L

2.4.2. Funcin Escaln

En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estadosde s o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa queacta sobre un sistema mecnico o una tensin elctrica aplicada a un


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circuito, puede tener que suspenderse despus de cierto tiempo. Paratratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas convieneintroducir una funcin especial llamada funcin escaln.

Figura 2.4 Funcin escaln

Se puede definir la funcin escaln de la siguiente forma:

0 0( )

0

para

para

tf t

A t

En donde A es una constante. Su transformada de Laplace es:

00

(0) (1)st st A A A A

A Ae dt es s s s

L

La funcin escaln en donde 1A , se denomina funcin escaln unitarioo funcin de Heaviside y se denota como ( )u t .

2.4.3. Funcin Rampa

Figura 2.5 Funcin rampa


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Sea la funcin rampa,

0 0( )

0

para

para

tf t

At t

En donde A es una constante y corresponde a la pendiente de la recta.La transformada de Laplace de la funcin rampa es:

0 0

st st At Ate dt A te dt

L

Usando la frmula2

( 1)ax

ax exe dx axa

, se tiene:

2 20 0

( 1)( )

stst e A

At A te dt A sts s

L

La funcin rampa en donde 1A , se denomina funcin rampa unitaria yse denota como ( )r t .

2.4.4. Funcin Exponencial

Figura 2.6 Funcin exponencial

Considere la funcin exponencial de la figura 2.6 definida como:

0 0( )

0

para

paraatt

f tAe t


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En donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de estafuncin exponencial se obtiene as:

( ) ( )

00 0(0) (1)

at at st a s t a s t A A A A

Ae Ae e dt A e dt es a s a s a s a

L

Se aprecia que la funcin exponencial produce un polo en el planocomplejo.

2.4.5. Funcin Senoidal

Figura 2.7 Funcin senoidal

Sea una funcin senoidal como la de la figura 2.7, definida de lasiguiente forma:

0 0( )

sin 0

para

para

tf t

A t t

En donde A y son constantes. Usando la frmula de integracin

2 2sin ( sin cos )

axax ee bx dx a bx b bx

a b

, se tiene que la transformada deLaplace es:

0

sin sinstA t Ae t dt

L

Por lo tanto,


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2 2 2 20 0

( sin cos )sin sin

stst Ae s t t AA t A e t dt

s s

L

Del mismo modo, se puede verificar que la transformada de Laplace decosA t es:

2 2cosAs

A ts

L

El estudiante puede realizar la comprobacin de esta ltima ecuacin,como un ejercicio complementario que le permita afianzar losconocimientos adquiridos hasta el momento.

Se observa que la transformada de Laplace de cualquier funcin ( )f t sepuede encontrar al multiplicar la funcin por ste , y luego evaluar laintegral del producto entre 0t y t . No obstante, una vez conocidoel mtodo para obtener la transformada de Laplace, es posible usar lastablas de transformadas de Laplace para encontrar la transformada deuna funcin ( )f t determinada. El cuadro 2.1 muestra las transformadasde Laplace de funciones que se utilizarn con frecuencia en el anlisis desistemas de control.

Cuadro 2.1 Pares de transformadas de Laplace( )f t ( )F s

1 Impulso unitario ( )t 1

2 Escaln unitario ( )u t1

s

3 t2

1

s

41

( 1,2,3,...)( 1)!

ntn

n

1ns

5 ( 1,2,3,...)nt n 1

!n

n

s

6 ate 1s a

7 atte 21

( )s a

811 ( 1,2,3,...)

( 1)!

n att e n

n

1

( )ns a


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Cuadro 2.1 Pares de transformadas de Laplace (continuacin)

9 ( 1,2,3,...)n att e n 1!

( )nn

s a

10 sin t2 2s

11 cos t2 2

s

s

12 sinh t2 2s

13 cosh t2 2

s

s

141

(1 )atea

1

( )s s a

151

( )at bt e eb a

1

( )( )s a s b

161

( )bt at be aeb a

( )( )

s

s a s b

171 1

1 ( )at bt be aeab a b

1

( )( )s s a s b

182

1(1 )at at e ate

a

21

( )s s a

19 21

( 1 )at

at ea

21

( )s s a

20 sinate t 2 2( )s a

21 cosate t 2 2( )

s a

s a

222

2sin 1 (0 1)

1

ntnn

e t

2

2 22

n

n ns s

23

22

1sin 1 (0 1, 0 2)

1

nt

ne t

2

1 1tan

2 22n n

ss s


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Cuadro 2.1 Pares de transformadas de Laplace (continuacin)

24

22

11 sin 1 (0 1, 0 2)

1

nt

ne t

21 1tan

2

2 2( 2 )

n

n ns s s

25 1 cos t2

2 2( )s s

26 sint t 3

2 2 2( )s s

27 sin cost t t 3

2 2 2

2

( )s

281

sin2

t t

2 2 2( )

s

s

29 cost t2 2

2 2 2( )

s

s

302 2

1 2 1 22 2

2 1

1(cos cos ) ( )t t

2 2 2 2

1 2( )( )

s

s s

311

(sin cos )2

t t t

2

2 2 2( )

s

s

321

sin2

atte t

2

2 2( )

s a

s a

33 cosatte t2 2

22 2

( )

( )

s a

s a

2.5. PROPIEDADES Y TEOREMAS

Las aplicaciones de la transformada de Laplace, en muchos casos sesimplifican al emplear las propiedades de la transformada.


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2.5.1. Multiplicacin por una Constante

Sea A una constante y ( )F s la transformada de Laplace de ( )f t ,entonces:

( ) ( ) ( )Af t A f t AF s L L (2.12)

2.5.2. Linealidad

Sean 1( )F s y 2 ( )F s las transformadas de Laplace de 1( )f t y 2 ( )f t ,

respectivamente, entonces:

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t F s F s L L L (2.13)

Ejemplo 2.5 Encuentre la transformada de Laplace de la funcin ( ) 3 5sin 2f t t t

Solucin:

Aplicando lo visto anteriormente se tiene:

2

2 2 2 2 2

1 2 7 123 5sin 2 3 5 sin 2 3 5

2 ( 4)

st t t t

s s s s

L L L

2.5.3. Traslacin Compleja

La transformada de Laplace de ( )f t multiplicada por atem , donde a esuna constante, es igual a la transformada de Laplace ( )F s , con sreemplazada por s a , esto es:

( ) ( ) ( )ats s a

e f t f t F s a

L Lm (2.14)

Ejemplo 2.6 Encuentre la transformada de Laplace de la funcin 5 3( ) tf t e t

Solucin:

Aplicando la propiedad de traslacin compleja se encuentra que su transformada deLaplace es:


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5 3 3

4 455

3! 6

( 5)

t

s ss s

e t ts s

L L

2.5.4. Traslacin en el Tiempo

La transformada de Laplace de ( )f t retrasada un tiempo a , es igual a la

transformada de Laplace de ( )f t multiplicada por ase , esto es:

( ) ( ) ( )as asf t a e f t e F s L L (2.15)

Ejemplo 2.7 Encuentre la transformada de Laplace de la funcin 3( ) ( 2)f t t

Solucin:

Aplicando la propiedad de traslacin en el tiempo se encuentra que su transformada deLaplace es:

23 2 3 2

4 4

3! 6( 2)

ss s et e t e

s s

L L

2.5.5. Cambio de Escala

La transformada de Laplace de ( )f t a , donde a es una constante, esigual a la multiplicacin de a por la transformada de Laplace ( )F s , con sreemplazada por as , esto es:

( ) ( ) ( )s as

f t a a f t aF as

L L (2.16)

Ejemplo 2.8 Encuentre la transformada de Laplace de la funcin ( ) sin( 2)f t t

Solucin:

Aplicando la propiedad de cambio de escala se encuentra que su transformada deLaplace es:


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2 222

1 2sin( 2) 2 sin 2

1 4 1s ss s

t ts s

L L

2.5.6. Diferenciacin Real

Sea ( )F s la transformada de Laplace de ( )f t , y (0)f es la funcinevaluada en 0t . La transformada de Laplace de la derivada de ( )f t conrespecto al tiempo es:

( )( ) (0)

df tsF s f

dt

L (2.17)

En general, para las derivadas de orden superior de ( )f t , se tiene:

1 2 1 2 ( 3) ( 2) ( 1)( )( ) (0) (0) (0) (0) (0)

n

n n n n n n

n

d f ts F s s f s f s f sf f

dt

L L (2.18)

En donde ( ) (0)if denota la derivada de i-simo orden de ( )f t conrespecto a t, evaluada en 0t .

Ejemplo 2.9 Encuentre la transformada de Laplace de la funcin:

'( ) cosf t t

Solucin:

Como se conoce que '( ) cosf t t es la derivada de la funcin

1( ) sinf t t

Se puede hallar su transformada de Laplace aplicando la propiedad de diferenciacin

real, esto es:

2 2 2 21

cos sin sin(0)s s s

t ts s

L L


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2.5.7. Integracin Real

La transformada de Laplace de la integral de ( )f t con respecto altiempo, es ( )F s dividida entre s , esto es:

0

( )( )

tF s

f t dts

L (2.19)

Para la integracin de n-simo orden se tiene:

1 2

1 2

0 0 0

( )( )

ntt t

n n

F sf t dt dt dt

s

L L L (2.20)

Ejemplo 2.10 Hallar la transformada de Laplace de la integral de la funcin ( )f t ,donde:

( ) sin2f t t

Solucin:

Al aplicar la propiedad de la integracin real se obtiene que la transformada de Laplacees:

2 2 2

1 1 2 2sin 2 sin 2

2 ( 4)tdt t

s s s s s

L L

2.5.8. Diferenciacin Compleja

Si ( )f t se puede transformar mediante el mtodo de Laplace, entonces:

( ) ( )dtf t F sds

L (2.21)

De forma general,

( ) ( 1) ( )n

n n

n

dt f t F s

ds L (2.22)


45/260

Ejemplo 2.11 Hallar la transformada de Laplace de 2 2tt e

Solucin:

Aplicando la propiedad de diferenciacin compleja se puede apreciar que2

( )t

f t e

,entonces

22 2 2

2( 1) ( )t

dt e F s

ds

L

Donde1

( )2

F ss

, por lo que

22 2 2

2 3

1 2( 1)

2 ( 2)

t dt eds s s

L

2.5.9. Teorema del Valor Inicial

Si la transformada de Laplace de ( )f t es ( )F s , entonces:

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

(2.23)

2.5.10. Teorema del Valor Final

Si la transformada de Laplace de ( )f t es ( )F s , y si ( )F s es analticasobre el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano s , entonces:

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

(2.24)

Este teorema es de utilidad en diversas aplicaciones, donde puede sernecesario encontrar el valor final (valor de estado estacionario) de la

salida de un sistema sin conocer la funcin en el dominio del tiempo. Sinembargo, el teorema del valor final slo es vlido si ( )sF s no tiene polossobre el eje j o en el semiplano derecho del plano s .


46/260

Ejemplo 2.12 Encuentre el valor hacia el cual tiende la funcin ( )f t , si:

2

5( )

( 2)F s

s s s

Solucin:

Debido a que ( )sF s es analtica sobre el eje imaginario y en el semiplano derecho delplano s , el teorema del valor final puede ser aplicado. Utilizando la ecuacin (2.24), setiene:

20 0

5 5lim ( ) lim ( ) lim

2 2t s sf t sF s

s s

2.5.11. Integral de Convolucin

Sean1( )F s y

2( )F s las transformadas de Laplace de

1( )f t y

2( )f t ,

respectivamente, entonces:

1 2 1 2 1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

f f t d f t f t f t f t F s F s

L L L L (2.25)

Donde el smbolo denota la convolucin en el dominio del tiempo.Ejemplo 2.13 Encuentre la transformada de laplace de la convolucin entre:

1( )f t t y 2 ( ) 1tf t e

Solucin:

Debido a que,

1 2

1( )F s

s

y 21 1

( )

1

F s

s s

Entonces la transformada de Laplace de la convolucin se obtiene as:

1 2 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) ( ) ( )

1 1

tt e F s F s

s s s s s s s

L


47/260

Ahora se verifica que la solucin obtenida es en verdad la transformada de Laplace dela integral de convolucin, primero se realiza la integral de convolucin y despus se leaplica la transformada de Laplace al resultado obtenido:

2( ) )

1 2

0 0( ) ( ) ( )(1 ) ( )(1 ) 12

t t

t tt

f t f t e d t e d t e

Entonces,

2

3 2

1 1 1 11

2 1

tt t es s s s

L

Lo que concuerda con el resultado obtenido anteriormente.

El cuadro 2.2 resume las propiedades y teoremas de la transformada de

Laplace.

Cuadro 2.2 Propiedades de la transformada de Laplace

1 ( ) ( )Af t AF sL2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s L

3 ( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

L

42

2 (1)

2( ) ( ) (0) (0)

df t s F s sf f

dt

L

51

( 1) ( 1)

11

( ) ( ) (0) ( ) ( )donden kn

n n k k k

n kk

d df t s F s s f f t f t

dt dt

L

60

( )( )

tF s

f t dts

L

71 2

1 2

0 0 0

( )( )

ntt t

n n

F sf t dt dt dt

s

L L L

80

0 0

( ) lim ( ) ( )si existes

f t dt F s f t dt

9 ( ) ( )ate f t F s a L

m

10 ( ) ( ) 0dondeasf t a e F s a L

11 ( ) ( )dtf t F sds

L


48/260


49/260

1

2 2cos

( )

ats a e ts a

L

Existen varios mtodos para determinar transformadas inversas deLaplace, algunos de los cuales son:

Mtodos de las fracciones parciales (uno de esos mtodos hace usodel teorema del desarrollo de Heaviside).

Mtodo de las series.

Mtodo de las ecuaciones diferenciales.

Mtodo de la frmula de inversin compleja tambin denominadafrmula integral de Bromwich

En este libro se usar el mtodo de expansin en fracciones parciales yse vern algunos de los casos que se pueden presentar.

2.7. FRACCIONES PARCIALES

Para problemas de anlisis de sistemas de control, ( )F s es la

transformada de Laplace de ( )f t y con frecuencia se presenta de laforma:

1 2

0 1 2 1

1 2

1 2 1

( )( )

( )

m m

m m m

n n

n n n

b s b s b s b s bB sF s

A s s a s a s a s a

L

L(2.27)

En donde, ( )A s y ( )B s son polinomios en s . Durante la expansin de( ) ( ) / ( )F s B s A s en fracciones parciales, es importante que la potencia

ms alta de s en ( )A s sea mayor que la potencia ms alta de s en ( )B s ,en otras palabras, que el grado del polinomio ( )A s sea mayor que elgrado del polinomio ( )B s . Si tal no es el caso, el numerador ( )B s debedividirse entre el denominador ( )A s para producir un polinomio en sadems de un residuo, es decir, la funcin sobre la cual se aplica laexpansin en fracciones parciales debe ser una funcin propia.


50/260

2.7.1. Races Reales Simples

Suponga que ( )F s puede escribirse de forma factorizada como:

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

m

n

K s z s z s zB sF s m nA s s p s p s p

paraLL

(2.28)

Donde 1 2, , , np p pK son los polos de la funcin y 1 2, , , mz z zK corresponden alos ceros. Si ( )F s slo involucra polos distintos, entonces se puedeescribir de la forma

1 2

1 2

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

n

n

aa aB sF s

A s s p s p s p

L (2.29)

En donde 1 2, , , na a aK se denominan residuos y son valores constantes.Para determinar el valor de ka se multiplican ambos miembros de laecuacin (2.29) por

ks p y se avala la funcin en

ks p , lo que

conduce a lo siguiente:

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

k k k k n k k

k ns p s p

a s p a s p a s p a s pB ss p

A s s p s p s p s p

L L

Se observa que todos los trminos se cancelan a excepcin deka . Por lotanto el residuo ka se encuentra a partir de:

( )( )

( )k

k k

s p

B sa s p

A s

(2.30)

Ejemplo 2.15 Encuentre la funcin ( )f t , utilizando el mtodo de expansin enfracciones parciales, para la funcin:

2

3 2

2 11 19( ) 6 11 6

s sF s

s s s

Solucin:

Inicialmente, se reescribe la funcin ( )F s como:


51/260

22 11 19( )

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

s s A B C F s

s s s s s s

Donde,

2 2

1

1 1

2

2 11 19 2 11 19( 1) ( ) ( 1)

( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3)

2( 1) 11( 1) 19 2 11 19 105

( 1 2)( 1 3) (1)(2) 2

s

s s

s s s sA s F s s

s s s s s

A

2 2

2

2 2

2

2 11 19 2 11 19( 2) ( ) ( 2)

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3)

2( 2) 11( 2) 19 8 22 19 55

( 2 1)( 2 3) ( 1)(1) 1

s

s s

s s s sB s F s s

s s s s s

B

2 2

3

3 3

2

2 11 19 2 11 19( 3) ( ) ( 3)

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)

2( 3) 11( 3) 19 18 33 19 42

( 3 1)( 3 2) ( 2)( 1) 2

s

s s

s s s sC s F s s

s s s s s

C

Una vez determinados los residuos se sustituyen en ( )F s

22 11 19 5 5 2

( ) ( 1)( 2)( 3) 1 2 3

s s

F s s s s s s s

Ahora se aplica la transformada inversa de Laplace a ( )F s para hallar ( )f t

1 1

1 1 1 2 3

5 5 2( ) ( )

1 2 3

1 1 1( ) 5 5 2 5 5 2

1 2 3

t t t

f t F ss s s

f t e e es s s

L L

L L L

2.7.2. Races Complejas Simples

Ya que las races complejas de un polinomio con coeficientes realessiempre aparecen en pares conjugados, se puede suponer que ( )F stiene la forma:


52/260

1

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

B s B sF s

A s s j s j D s

(2.31)

Donde j y j no son races de 1( )D s . Entonces se puede

escribir ( )F s como

1( ) ( )

K KF s F s

s j s j

(2.32)

Donde se determina K y su complejo conjugado K . Expresado de otraforma,

1 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( 2 ) ( )s j

B s B jK s j F s

s j D s j D j

(2.33)

Una vez se han determinado K y K , pueden combinarse los dostrminos correspondientes como se indica a continuacin.

Suponga que,

K x jy y K x jy

Entonces,

2 2

2 2

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

2 ( ) 2

( )

K K x jy x jy

s j s j s j s j

x jy s j x jy s j

s j s j

xs x jx jys jy y xs x jx jys jy y

s

x s y

s

2 2 2 2

( )2 2

( ) ( )

K K sx y

s j s j s s

(2.34)

Esta ltima ecuacin se puede usar cuando la funcin tiene racescomplejas. No olvidar que,


53/260

1

1 12 2

1

2 22 2

( )cos

( )

sin( )

t

t

sA A e t

s

A A e ts

L

L

Ejemplo 2.16 Hallar la transformada inversa de Laplace de la funcin:

2

3 2

10 15 5( )

2 5

s sF s

s s s

Solucin:

Inicialmente, se reescribe la funcin ( )F s como:

2 2

3 210 15 5 10 15 5( )

2 5 ( 1 2)( 1 2) 1 2 1 2s s s s A B BF s

s s s s s j s j s s j s j

Donde,

2 2

2 20

0 0

2

2

10 15 5 10 15 5( )

( 2 5) 2 5

10(0) 15(0) 51

(0) 2(0) 5

s

s s

s s s sA sF s s

s s s s s

A

2

1 2

1 2

2 2

1 2

10 15 5( 1 2) ( ) ( 1 2)

( 1 2)( 1 2)

10 15 5 10( 1 2) 15( 1 2) 5

( 1 2) ( 1 2)( 1 2 1 2)

10 40 40 15 30 5 50 10 50 10

( 1 2)( 4) 8 4

s j

s j

s j

s sB s j F s s j

s s j s j

s s j jB

s s j j j j

j j j jB

j j j

8 4

8 4 8 4

400 200 80 40 440 120 44 12 11 3

64 16 80 8 8 2 2

j

j j

j j jB j j

Como11 3

2 2B j , entonces su conjugado es

11 3

2 2B j

Luego,


54/260

11 3 11 31 2 2 2 2( )

1 2 1 2

j j

F ss s j s j

Conociendo que

11 3 11 3

2 2 2 2

1 2 1 2

j jx jy x jy

s j s j s j s j

Se tiene que

11 3, , 1, 2

2 2x y

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuacin (2.34)

2 2 2 2 2 2 2 2

11 1 3 2 1 22 2 11 3

2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2

s s

s s s s

Se encuentra que la transformada inversa de Laplace de ( )F s es:

1 1 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 2( ) ( ) 11 3

( 1) 2 ( 1) 2

1 1 2( ) 11 3

( 1) 2 ( 1) 2

( ) 1 11 cos 2 3 sin 2t t

sf t F s

s s s

sf t

s s s

f t e t e t

L L

L L L

2.7.3. Races Mltiples

Suponga que ( )F s tiene la forma

0 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nB s B s

F s A s s s D s (2.35)

Donde 0s no es una raz de 1( )D s y en general es compleja. Entonces sepuede escribir ( )F s como


55/260

11 212 1

0 0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

n n

n n

K KK KF s F s

s s s s s s s s

L (2.36)

Multiplicando los dos miembros de esta ecuacin por 0( )ns s se tiene

como resultado:

1 2

0 1 0 2 0 1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n

n ns s F s K s s K s s K s s K s s F s L

Haciendo 0s s , se obtiene

00( ) ( )

n

n s sK s s F s

Para encontrar 1nK , despus de la multiplicacin se derivan ambosmiembros de la ecuacin con respecto a s . Entonces

2 3

0 1 0 2 0

112 0 1 0 0

( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) ( )

( )2 ( ) 0 ( ) ( ) ( )

n n n

n n

n n

ds s F s n K s s n K s s

ds

dF sK s s K s s n s s F s

ds

L

L

Haciendo0

s s en esta ecuacin, se obtiene

01 0( ) ( )

nn

s sdK s s F sds

(2.37)

Repitiendo el proceso,

0

2

2 022 ( ) ( )n

ns s

dK s s F s

ds

Por lo que,

0

2

2 021 ( ) ( )2

nn

s sdK s s F sds

En general,


56/260

0

0

1( ) ( ) 1,2,3,..., 1

!para

rn

n r rs s

dK s s F s r n

r ds

(2.38)

Ejemplo 2.17 Hallar la transformada inversa de Laplace para la funcin:

3

2( )

( 1)

sF s

s s

Solucin:

( )F s tiene el siguiente desarrollo en fracciones parciales

3 2 3

2( )

( 1) 1 ( 1) ( 1)

s A B C DF s

s s s s s s

Donde

3 3 300 0

2 2 (0) 2( ) 2

( 1) ( 1) (0 1)ss s

s sA sF s s

s s s

03 3

0 3111

1 2 2 1 2( 1) ( ) ( 1) 3

0! ( 1) 1sss

d s sD s F s s

ds s s s

1 1 13 3

1 1 3 1 21111

1 2 2 2( 1) ( ) ( 1) 2

1! ( 1)s sss

d d s d sC s F s s

ds ds s s ds s s

2 2 23 3

2 2 3 2 31111

1 1 2 1 2 2( 1) ( ) ( 1) 2

2! 2 ( 1) 2s sss

d d s d sB s F s s

ds ds s s ds s s

As,

2 3

2 2 2 3( )

1 ( 1) ( 1)F s

s s s s

Utilizando una tabla de transformadas de Laplace se encuentra que

23( ) 2 2 22

t t tf t e te t e


57/260

2.8. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

La transformada de Laplace se puede aplicar a un gran nmero deproblemas de anlisis y diseo de sistemas, entre ellos los sistemas de

control. Las aplicaciones se basan en el uso de las propiedades de latransformada de Laplace, especialmente las asociadas a ladiferenciacin, la integracin y la convolucin.

Una de las aplicaciones ms comunes es la solucin de ecuacionesdiferenciales lineales con coeficientes constantes. Como se mencionanteriormente esas ecuaciones se usan para representar sistemaslineales e invariantes en tiempo continuo (sistemas LTI).

El procedimiento es directo y sistemtico, y se puede resumir en lossiguientes pasos:

Dado un conjunto de condiciones iniciales, tomar la transformada deLaplace de ambos miembros de la ecuacin diferencial para obtenerla ecuacin algebraica ( )Y s .

Despejar ( )Y s en la ecuacin algebraica.

Tomar la transformada inversa de Laplace para obtener ( )y t .

Ejemplo 2.18 Encuentre la solucin para la siguiente ecuacin diferencial lineal desegundo orden y de coeficientes constantes:

( ) 5 ( ) 6 ( ) ty t y t y t e && &

Con condiciones iniciales '(0) 1y y (0) 2y .

Solucin:

Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuacin se obtiene:

2 1

( ) 2 1 5 ( ) 2 6 ( ) 1s Y s s sY s Y s s

Despejando ( )Y s ,

2 1( 5 6) ( ) 2 111

s s Y s ss


58/260


59/260

3. TRANSFORMADA Z

3.1. INTRODUCCIN

Una herramienta matemtica muy utilizada en el anlisis y la sntesis desistemas de control en tiempo discreto es la transformada Z . El papelde la transformada Z en sistemas en tiempo discreto es similar al de latransformada de Laplace en sistemas en tiempo continuo.

En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuacin endiferencias lineal caracteriza la dinmica del sistema. Para determinar larespuesta del sistema a una entrada dada, se debe resolver dichaecuacin en diferencias.

Con el mtodo de la transformada Z , las soluciones a las ecuaciones endiferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica. (Dela misma forma en que la transformada de Laplace transforma lasecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo en ecuacionesalgebraicas en s , la transformada Z transforma las ecuaciones endiferencias lineales e invariantes en el tiempo en ecuaciones algebraicasen z ).

El principal objetivo de este capitulo es presentar las definiciones de latransformada Z , los teoremas bsicos asociados con ella y los mtodos

para encontrar la transformada Z inversa. Tambin se estudia lasolucin de ecuaciones en diferencias mediante el mtodo de latransformada Z .

Antes de iniciar con este estudio hay que aclarar que las seales entiempo discreto surgen si el sistema involucra la operacin de muestreode seales en tiempo continuo.


60/260


61/260


62/260

Mtodo de la divisin directa.

Mtodo de expansin en fracciones parciales.

Mtodo de los residuos

3.3. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES

A continuacin, se encontrarn las transformadas Z de algunasfunciones que se utilizan con frecuencia.

3.3.1. Funcin Delta de Kronecker

En sistemas de tiempo discreto, la funcin delta de Kroneckerdesempea el mismo papel que la funcin delta de Dirac en sistemas detiempo continuo.

Figura 3.2 Funcin delta de Kronecker

Puede definirse la funcin como:

1 0( ) 0,1,2,...

0 0

kx k k

k

paradonde

para

Entonces,

( ) ( ) 1X z x k Z


63/260

3.3.2. Funcin Escaln Unitario

La funcin escaln unitario en tiempo discreto es el resultado delmuestreo aplicado a la funcin escaln unitario en tiempo continuo.

Figura 3.3 Funcin escaln unitario

La funcin escaln se puede definir as:

0 0( ) 0,1,2,...1 0

paradondepara

kx k kk

Entonces, refirindose a la ecuacin (3.2), se tiene

1 2 3 10 0

1( ) 1( ) 1 1

1 1

k k

k k

zX z k z z z z z

z z

Z L

3.3.3. Funcin Rampa Unitaria

La funcin rampa unitaria en tiempo discreto es el resultado delmuestreo aplicado a la funcin rampa unitaria en tiempo continuo.

Figura 3.4 Funcin rampa unitaria

La funcin rampa unitaria est dada por:

0 0( ) 0,1,2,...

0

paradonde

para

kx kT k

kT k


64/260

Entonces, refirindose a la ecuacin (3.1), se tiene

1

1 2 3

1 2 20 0

( ) ( 2 3 )(1 ) ( 1)

k k

k k

z TzX z kT kTz T kz T z z z T

z z

Z L

3.3.4. Funcin Polinomial

Figura 3.5 Funcin polinomial

Considere la funcin definida como

0 0( ) 0,1,2,...

0

paradonde

parak

kx k k

a k

Donde a es una constante. Con referencia a la definicin de

transformadaZ

dada por la ecuacin (3.2), se obtiene:1 2 2 3 3

0

1

( ) 1

1( )

1

k k k

k

X z a a z az a z a z

zX z

az z a

Z L

3.3.5. Funcin Exponencial

Figura 3.6 Funcin exponencial


65/260

Sea la funcin exponencial

0 0( ) 0,1,2,...

0

paradonde

paraakT

kx kT k

e k

De acuerdo a la ecuacin (3.1), se tiene

1 2 2 3 3

0

1

( ) 1

1( )

1

akT akT k aT aT aT

k

aT aT

X z e e z e z e z e z

zX z

e z z e

Z L

3.3.6. Funcin Senoidal

Figura 3.6 Funcin senoidal

Considere la funcin senoidal

0 0( ) 0,1,2,...

sin 0

paradonde

para

kx kT k

kT k

Recordando que

cos sinj te t j t

cos sinj te t j t

Se tiene,

1sin ( )

2

j kT j kTkT e ej


66/260

Como la transformada Z de la funcin exponencial es:

akT

aT

ze

z e

Z

Se encuentra que,

2 2

1 1( ) sin ( )

2 2

1 ( ) sin( )

2 ( ) 1 2 cos 1

j kT j kT

j T j T

j T j T

j T j T

z zX z kT e e

j j z e z e

e e z z T X z

j z e e z z z T

Z Z

Del mismo modo, se puede verificar que la transformada Z de cos kT

es:

2

2

cos( ) cos

2 cos 1

z z TX z kT

z z T

Z

El estudiante puede realizar la comprobacin de esta ltima ecuacin,como un ejercicio complementario que le permita afianzar losconocimientos adquiridos hasta el momento.

De la misma forma como se trabaja con la transformada de Laplace, un

cuadro de transformadasZ

de las funciones comnmente encontradases muy til en la resolucin de problemas en el campo de los sistemasen tiempo discreto. El cuadro 3.1 es de este tipo.

Cuadro 3.1 Pares de transformadas Z( )x kT o ( )x k ( )X z

1 Delta de Kronecker ( )k 12 ( )n k kz

3 1( )k1

z

z

4 akTe aTzz e

5 kT 2( 1)

Tz

z

6 2( )kT2

3

( 1)

( 1)

T z z

z


67/260

Cuadro 3.1 Pares de transformadas Z (continuacin)

7 3( )kT3 2

4

( 4 1)

( 1)

T z z z

z

8 1 akTe(1 )

( 1)( )

aT

aT

e z

z z e

9 akT bkT e e ( )

( )( )

aT bT

aT bT

e e z

z e z e

10 akTkTe 2( )

aT

aT

Te z

z e

11 (1 ) akTakT e2

2

(1 )

( )

aT

aT

z aT e z

z e

12 2( ) akTkT e2

3( )( )

aT aT

aTT e z e zz e

13 1 akTakT e 2

( 1 ) (1 )

( 1) ( )

aT aT aT

aT

aT e z e aTe z

z z e

14 sin kT2

sin

2 cos 1

z T

z z T

15 cos kT2

2

cos

2 cos 1

z z T

z z T

16 sinakTe kT2 2

sin

2 cos

aT

aT aT

e z T

z e z T e

17 cosakTe kT

2

2 2

cos

2 cos

aT

aT aT

z e z T

z e z T e

18 kaz

z a

19 1ka 1

z a

20 1kka 2( )

z

z a

212 1k

k a

3

( )

( )

z z a

z a

22 3 1kk a 2 2

4

( 4 )

( )

z z az a

z a

23 4 1kk a 3 2 2 3

5

( 11 11 )

( )

z z az a z a

z a


68/260

Cuadro 3.1 Pares de transformadas Z (continuacin)

24 coska kz

z a

25 ( 1)2!

k k3( 1)

zz

26( 1) ( 2)

( 1)!

k k k m

m

L

( 1)mz

z

27 2( 1)

2!

kk k a

3( )

z

z a

28( 1) ( 2)

( 1)!

k k k m

m

L

( )mz

z a

29 sink kT2

2 2

( sin sin )

( 2 cos 1)

z z T T

z z T

30 cosk kT2

2 2

( cos 2 cos )

( 2 cos 1)

z z T z T

z z T

31 sinakTke kT 2 2

2 2 2

( sin sin )

( 2 cos )

aT aT

aT aT

ze z T e T

z ze T e

32 cosakTke kT 2 2

2 2

( cos 2 cos )

( 2 cos 1)

aT aT aT

aT

ze z T ze e T

z ze T

3.4. PROPIEDADES Y TEOREMAS

Las aplicaciones de la transformada Z , en muchos casos se simplificanal emplear las propiedades de la transformada.

3.4.1. Multiplicacin por una Constante

Sea a una constante y ( )X z la transformada Z de ( )x kT , entonces:

( ) ( ) ( )ax kT a x kT aX z Z Z

(3.4)


69/260

3.4.2. Linealidad

Sean 1( )X z y 2 ( )X z las transformadas Z de 1( )x kT y 2 ( )x kT ,respectivamente, entonces:

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x kT x kT x kT x kT X z X z Z Z Z (3.5)

Ejemplo 3.1 Encuentre la transformada Z de la funcin ( ) 2 3sin 5x kT kT kT

Solucin:

Aplicando las propiedades anteriores se tiene:

2 2sin5

2 3sin 5 2 3 sin 5 2 3

( 1) 2 cos5 1

Tz z T kT kT kT kT

z z z T

Z Z Z

3.4.3. Multiplicacin por ka

La transformada Z de ( )x kT multiplicada por ka , donde a es unaconstante, es igual a la transformada Z ( )X z , con z reemplazada porz a , esto es:

( ) ( )kz z a

za x kT x kT X

a

Z Z (3.6)

Ejemplo 3.2 Encuentre la transformada Z de la funcin ( ) 2kx kT kT

Solucin:

Aplicando la propiedad anterior, la transformada Z se puede hallar as:

2 22

2

22

( 1) ( 2)

k

z zz z

Tz TzkT kT

z z

Z Z


70/260


71/260

2 22 3 2 3

3 2 3

( 1) ( 1)( 3) ( )

( 1) ( 1)

T z z T zkT

201527 Sistemas Dinámicos

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