1.5 DESCOMPOSICION VECTORIAL EN 3 DIMENSIONES.

DESCOMPOSICIÓN EN UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS

a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i +(ay +by)j+(az+bz) k

FIGURA NO 1.10

VECTORES UNITARIOS Y COMPONENTES DE UN VECTOR

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.r = rx + ry + rz

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

MÓDULO DE UN VECTOR

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.

Gráficamente: Es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

Coordenadas cartesianas:

En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

FIGURA NO 1.11 REPRESENTACIÓN DE UNA MAGNITUD VECTORIAL CON INDICACION DE SU PUNTO DE APLICACIÓN Y DE LOS VECTORES CARTESIANOS.

y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:

APLICACIÓN: COORDENADAS INTRÍNSECAS Y COSENOS DIRECTORES

|a| = modulo del vector ua = vector unitario de aLas proyecciones de a sobre los ejes x, y, z, respectivamente, equivalen a:

Si aplicamos la formula (Basada en el teorema de Pitágoras):

Entonces:

de donde se deduce que:

Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por ejemplo: ax) es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por ejemplo: ax · i ) es un vector .

Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos , y , que forma con los semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a.

FIGURA NO 1.12

Sean los ángulos que forma el vector con los ejes

positivos respectivamente. Estos son los ángulos directores del vector

Como

; son los cosenos directores.

FIGURA NO 1.9

Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son

con lo que el vector

es un vector unitario con la dirección descrita. Como se quiere que el

vector tenga magnitud el vector será

Ejemplo 3: Encontrar el vector cuyos ángulos directores sean

Como cos no existe ningún vector que tenga esa dirección.