1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

=Adicción =

Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

=Sustracción=

Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

=Multiplicación=

Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

=Potenciación=

La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

=Forma Binomica=

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

=Multiplicación con números complejos=

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

=División con números complejos=

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

=Ejemplo=

(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}

= (5 + 3i) + (6 – 3i)

= (5 + 6) + (3i – 3i)

= 11

1.3 Potencias De i, módulo o valor absoluto de un número complejo29ENEValor absoluto. El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r e iφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z – w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Módulo de un vector

Se llama módulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por r. Su valor se obtiene por la conocida relación: ½ Z1½ = r = Que es la relación que nos permite determinar la longitud de un vector. Sea Z un número complejo. Explique cómo determinar Sea Z= a +bi.

La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro complejo que llamaremos x + yi: = x + yi = x + yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo términos:

a + bi = x2 + 2xyi + y2i2

a + bi = x2 + 2xyi + y2 (−1)

a + bi = (x2 – y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguiente sistema: Despejando “y” en ( ]]] ): Sustituyendo este valor en ( ]] ): Expresando en términos de X2:

Tomamos únicamente el valor positivo, pues es mayor que “a” y x2 no puede ser negativo. Además = S

En la ecuación ( ]]] ) podemos observar que “b” tiene el mismo signo que el producto “xy”. Por lo tanto, si “b” es positivo “x” e “y” serán de igual signo y tendremos que: Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las siguientes consideraciones:

Para b > 0: Las raíces deben ser; ambas del mismo signo: positivas o negativas (+,+), (- , -) Para b < 0: Las raíces, se toman con signos opuestos   +,-),(-, +)

 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afi jo . Se designa por |z| .

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real . Se designa por arg(z) .

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo .

arg(z) = es el argumento .

Ejemplos

Pasar a la forma polar :

z = 2 6 0 º

z = 2 1 2 0 º

z = 2 2 4 0 º

z = 2 3 0 0 º

z = 2

z = 2 0 º

z = −2

z = 2 1 8 0 º

z = 2 i

z = 2 9 0 º

z = −2 i

z = 2 2 7 0 º

Pasar a la forma binómica :

z = 2 1 2 0 º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en pr imer lugar a la forma tr igonométr ica :

rα = r (cos α + i sen α)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z =1 0 º = 1

z =1 1 8 0 º = −1

z =1 9 0 º = i

z =1 2 7 0 º = − i

Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde es un argumento de , esto es, es un ángulo tal que

, .

 

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que ,

y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales

, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es

decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es

decir, si , y , entonces

 

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

,

siempre que .

Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para

potencias con exponentes enteros se tiene .

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo

en la forma .

Forma polar y exponencial de un número complejo.

Forma polar z=r (cosθ+isenθ )

Forma euler z=reθi

Producto.Sean z1 = r1·(cos x + i·sen x) y z2 = r2·(cos y + i·sen y) dos números complejos en forma trigonométrica. Es: z1·z2 = [r1·(cos x + i·sen x)]·[r2·(cos y + i·sen y)] = r1·r2·(cos x + i·sen x)·(cos y + i·sen y) = r1·r2·(cos x cos y + i·cos x sen y + i·sen x cos y + i2·sen x sen y) = r1·r2·[(cos x cos y - sen x sen y) + i·(cos x sen y + sen x cos y)] = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]Es decir; z1·z2 = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]En forma polar sería: rx·r´y = (r·r´)x + y

Cociente.Veamos en primer lugar cómo se calcula el inverso de un número complejo en forma polar. Sea z = r·(cos x + i·sen x) = a + b·:i , donde a = r·cos x y b = r·sen x Tenemos: 1/z = a/(a2 + b2) - [b/(a2 + b2)]·i = (r·cos x)/(r2cos2x + r2sen2x) - [(r·sen x)/(r2cos2x + r2sen2x)]·i = (cos x)/[r·(cos2x + sen2x)] - i·(sen x)/[r·(cos2x + sen2x)] = (1/r)·cos x - (1/r)·i·sen x = (1/r)·(cos x - i·sen x) = (1/r)[cos(-x) + i·sen(-x)]Es decir, 1/rx = (1/r)-x

Por lo tanto, la expresión del cociente de números complejos vendrá dada por: rx /r´y = (r/r´)x - y

Resolver los siguientes reactivos

1) Pasar a forma euler la siguiente expresión

4(cos45º + i sen45º)

a) 4 eπi4

b) 6eπi7

c) 8eπi9

d) 10eπi10

e) −4eπi4

2) Pasar a forma euler la siguiente expresión

3(cos135º + i sen135º)

a) 3e3πi

4

b) 5e6πi7

c) 7e9πi11

d) 9e11 πi13

e) 13e3πi

9

3) Pasar a forma euler la siguiente expresión8(cos270º + i sen 270º)

a) 8e

3πi2

b) 10e5πi

2

c) 12e7 πi

2

d) 14e9πi

2

e) −8e3πi

2

4) Pasar a forma euler la siguiente expresión

(cos25º + isen 25º)

a) e

5πi36

b ) e

5πi30

c) 4 e

5πi3

d) −5e

7πi36

e) 3e

5πi6

5) Pasar a forma euler la siguiente expresión(cos180° +i sen 180°)

a) eiπ

b) 3eiπ

c) 2eiπ

d) 7eiπ

e) −eiπ

Bibliografía propuesta

Grossman Stanley J.Álgebra LinealMc. Graw-Hill

Murria R. SpiegelVariables Complejas (Series Schaum)Mc. Graw-Hill

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Teorema de DeMoivre y Potencias

De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo

Donde la formula se usa cuando en este caso

En general, para cualquier entero positivo k. a esto se le conoce como Teorema de De Moivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos

Raíces de un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que i2=-1, por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

y

La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

Donde (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó ""),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:

5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas

carecen de solución.Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Tipos de Ecuaciones

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

3x3 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal.

5x + 7 = 3  (es lineal).

(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene:  –10x + 29 = 0).

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2

+ bx + c = 0, se las denomina  cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2 5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo

radical, como

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8

En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se

encuentra afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo:

sen (/4 + x) – cos x = 1

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.

4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le sumamos 7, por eso se dice que un número que está restando "pasa" sumando).4x = 1 + 74x = 84x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4, por eso se dice que un número que está multiplicando "pasa" dividiendo)Tiene una única solución: x = 2.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.

Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómicas:  f(x) = ax2 + bx + c la que se resuelve mediante la ecuación cuadrática

Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se

resuelve así:

Casos especiales

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso,  ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal  ax + b = 0.

Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x + 5 = 0 ó x = 0,  despejando x concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso, ax2 + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – c/a →

Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17 →

Resolución de ecuaciones bicuadradas

Se llama bicuadrada a una ecuación polinómicas de cuarto grado que no tiene términos de grado impar: ax4 + bx2 + c = 0 (1)

Si se realiza el cambio de variable x2 = z, con lo cual x4 = z2, entonces se

transforma en una ecuación de segundo grado:

az2 + bz + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si  z es solución de la ecuación (2), se verifica que:

si z1 > 0 , entonces x1 =  , x2 = - son raíces de (1);

si z1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);

si z1 < 0 , x2 = z1 no da lugar a ninguna solución real de x.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0  se transforma, mediante el cambio de variable x2 = z, en la ecuación de segundo grado: z2 – z – 12 = 0

Cuyas soluciones son

Por tanto, las únicas raíces reales de la ecuación son x1 = 2, x2 = – 2.

Resumiendo: las ecuaciones bicuadráticas cuya expresión es: ax4 + bx2 + c = 0 ,

se pueden obtener hasta cuatro resultados  aplicando:

Sistema de ecuaciones:

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen

solución, compatibles.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x 5y = 16  y  4x + y = 10 se expresa así

La solución de este sistema es x = 3,  y = 2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.

El sistema es incompatible, pues no tiene solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c,  ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.

Para resolver el sistema por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación:

y = 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) 2x 5.(10 – 4x) = 16

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

2x – 50 + 20x = 16 22 . x = 66 x = 66 : 22 = 3

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2

Se ha obtenido así la solución x = 3,  y = – 2.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y, de esa manera, poder hallar el valor de y)

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:

Se ha obtenido la solución x = 3,  y = – 2.

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una

de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

Para resolver por reducción el mismo sistema:

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32  y  4x + y = 10

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

– 11y = 22 y = 22 : (– 11) y = – 2.

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

2x – 5(–2) = 16 2x + 10 = 16 2x = 6 x = 3

La solución es  x = 3,  y = -2.

Representación gráfica:

La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas, si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son todos los puntos de la recta.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa generalmente mediante un plano en un sistema de R3. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones. Si no se cortan (no existe ningún valor para x, y, z) el sistema es incompatible.

Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser representado por rectas en un espacio (por lo menos cuatro dimensiones), en ese caso si las tres se cortan en un punto el sistema es compatible determinado. (ver rectas paramétricas)

Resolución de ecuaciones racionales

En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factoriar siempre el denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una ecuación común.

Pongamos un ejemplo:

Factoriamos lo que sea factoriable

Como no se repite ningún binomio en la suma, tomamos ambos como "común denominador". Se opera igual que una suma de fracciones, se divide (x 1) (x + 1) por cada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador.

Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal.

Se despeja x.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logaritmos ya que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras.

Ecuación exponencial:

Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación.

Al resolverse el logaritmo queda una ecuación  la que puede ser lineal o cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. En este caso es lineal así que se despeja x.

Ecuación logarítmica:

Aplicamos definición de logaritmo. Como no hay ningún número que indique la base del logaritmo, la base es 10. Por definición, el resultado del logaritmo es la potencia, así que queda 102.

Al quedar una ecuación se despeja x.

Resolver los siguientes reactivos

1) resolver el siguiente producto

(x+1)(x+2)

a) x2+3 x+2

b) x2+3 x+2

c) 3 x2+3 x+2

d) x2−3x+2

e) x2−3x−2

e) 4 x2+3 x+2

2) resolver el siguiente producto

(x+1)(x+3)

a) x2+3 x+2

b) 3 x2+3 x+6

c) 4 x2+4 x+8

d) x2−3x+2

e) x2−3x−2

3) resolver el siguiente producto

(x+1)(x+4)

a) x2+4 x+3

b) 4 x2+6 x+3

c) 5 x2+4 x+5

d) x2−4 x+3

e) x2−4 x−3

4) resolver el siguiente producto

(x+1)(x+5)

a) x2+6 x+5

b) 2 x2+4 x+3

c) 3 x2+8 x+15

d) x2−6 x+5

e) x2−6 x−5

5) Resolver el siguiente producto

(x+1)(x+6)

a) x2+7 x+6

b) 2 x2+8 x+9

c) 3 x2+10 x+5

d) x2−7x+5

e) x2−7x−6

UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

DEFINICION:

Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

=Matrices cuadradas =

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

=Matriz identidad=

Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, A· I = I ·A = A.

=Matrices triangulares=

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

=Matrices diagonales=

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo, son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

=Traspuesta de una matriz=

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT = (aTij) es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: (A + B)T = AT + BT. (AT)T = A. (kA)T = kAT (si k es un escalar). (AB)T = BTAT.

=Matrices simétricas=

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

=Matrices ortogonales=

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

=Matrices normales=Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

=Matriz numérica=Conjunto de números colocados en filas y en columnas.

=Matriz de orden (m,n)=Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

=Subíndices=Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

=Orden de la matriz=El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [1 2 3].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [1 1 4 6].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma: am,n es a2,3; m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

2.2 Operaciones con matrices.

=Suma=

Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B:

=Propiedades de la suma=

Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C)Conmutativa: A + B= B + AElemento neutro: A + 0 = AElemento simétrico: A - B = A + ( - B )

=Producto por un escalar=

Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma: cuando K=2

=Propiedades del producto escalar=

K (A + B) = kA + kB(k + h)A = kA + hAK (hA) = (kh) A

1A = A

2.3 Clasificación de las matrices.

=Triangular superior=

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

=Triangular inferior=

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

=Diagonal=

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

=Escalar=

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

=Identidad=

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

=Potencia=

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces...... ⋅ASe conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

=Traspuesta=

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A(A + B)t = At + Bt(α ·A)t = α· At(A · B)t = Bt · At

=Simétrica=

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

=Anti simétrica=

Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

=Compleja=

Sus elementos son números complejos aij e ¬

=Conjugada=

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).

=Hermitiana o hermitica=

Una matriz Hermitiana (o hermitica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

es una matriz hermitica.

=Antihermitiana=

una Matriz Antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para toda la i y la j.

=Ortogonal=

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:Intercambiar la posición de dos filas.Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

EJEMPLO

Rango de una matriz

Rango de una matriz : es el número de l íneas de esa matr iz ( f i las o columnas) que son l inealmente independientes.

Una l ínea es l inealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación l ineal entre el las.

Una l ínea es l inealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación l ineal entre el las.

El rango de una matr iz A se simbol iza: rang(A) o r(A ) .

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se puede calcular e l rango usando determinantes.

Se puede calcular e l rango de una matr iz por dos métodos:

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Podemos descartar una l ínea si :

Todos sus coef ic ientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

F 3 = 2F 1

F 4 es nula

F 5 = 2F 2 + F 1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de l íneas posible, y el rango será el número de f i las no nulas.

F 2 = F 2 - 3F 1

F 3 = F 3 - 2F 1

Por tanto r(A) = 3.

Rango de una matriz

Es el número de f i las o columnas l inealmente independientes , ut i l izando esta def inic ión se puede calcular usando el método de Gauss.

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se puede calcular e l rango usando determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una l ínea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación l ineal de las dos pr imeras: c 3 = c 1 + c 2

2. Comprobamos si t iene rango 1, para ello se t iene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las sub matr ices son nulos no t iene rango 3, por tanto r (B) = 2 .

5. Si t iene rango 3 y existe alguna sub matriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se t rabaja para comprobar s i t iene rango superior a 4.

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B*A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A * A−1 = In y A−1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).

2.6 Definición de determinante de una matriz.El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 

• El determinante de una matriz es un número. 

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. 

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

2.7 Propiedades de los determinantes.1.- |At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales. 

2.-|A|=0 Si: Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

 Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

 F3 = F1 + F2 

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

4.-Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

 5.-Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6.-Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

 7.-Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

 8.-|A•B| =|A|•|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

 Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA)(adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

Si AB=I, entonces B=A-1. Así, (1/detA)adjA=A-1

2.9 Aplicación de matrices y determinantes.

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la informaci´on anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relaci´on de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.

Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura: 

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una linea que los una directamente.

un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una linea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

UNIDAD III.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como: 

Donde   son las incógnitas y los números   son los coeficientes

del sistema sobre el cuerpo  . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: 

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

= Clasificación =

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:

Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. 

Ejemplo:  Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son

proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. 

Ejemplo:  Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de

una ecuación, son proporcionales a los de la otra. 

Ejemplo: 

=Tipos de Solución=

=Sustitución=

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

=Igualación=

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita   en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

=Reducción=

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:

    

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a:

=Método Gráfico=

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado

obteniendo la tabla de valores correspondientes. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los

únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado". Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que

son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

=Método de Gauss=

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será

igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incognitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 2/3, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por -4, respectivamente.

Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2 y por 1/2, respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2 y -1 respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss: Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones .x=número de hombres; y=número de mujeres; y z=número de niños. Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: x + y + z=30. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: x+3y=2z+20. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños: x+y=2z.

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

=Método de Cramer=

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son: 

=Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P.

=Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.

=Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

=Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

=Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas. 

El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método. 

Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:

En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita x1, obteniéndose un sistema equivalente:

En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:

Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la

antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. 

Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:

Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.  Sumarle o restarle a una fila otra fila.  Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.  Cambiar el orden de las filas.  Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del

sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y. 

Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.  Eliminar filas nulas (0 0 0... 0).

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas.

Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. 

Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE CRAMER. REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer utiliza las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, por separado, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. 

REGLA DE CRAMERUn sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.  El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es

distinto de cero (det ( A ) ≠ 0)Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas). 

Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Sean A la matriz del sistema , entonces det (A) ≠0.

Llamaremos matriz asociada a la incógnita xi y la designaremos por Ai a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la matriz columna de los términos independientes. Es decir:

Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).

¿Se puede aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas? La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras). 

El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, siendo m > n y tal que: rango (A) = rango (A*) = n. Por lo tanto, sobran m - n ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes (A) un menor de orden n distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A.

Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir.

Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. 

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA 

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Hemos visto que este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo: A X = B.

La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas.

La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, formada por los términos independientes. Es decir:

Si el determinante de la matriz A es distinto de cero (det (A) ≠ 0 ), la matriz A tiene inversa ( A-1 ). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas X del siguiente modo:

Es decir, para calcular la matriz columna de las incógnitas ( X ), multiplicamos la inversa de la matriz A ( A-1 ) por la matriz columna de los términos independientes, obteniéndose otra matriz columna de la misma dimensión que X. 

¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas? La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras).

El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, siendo m > n y tal que: rango (A) = rango (A*) = n. Por lo tanto, sobran m - n ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden n distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. 

¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados? La respuesta es también afirmativa. El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, tal que: rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran m - k ecuaciones y, además, hay n - k incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de k ecuaciones lineales con k incógnitas, cuyas soluciones van a depender de n - k parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales).

3.5 Aplicaciones.

=Fracciones parciales =

Una técnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matemáticas es aquella conocida como fracciones idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma más conveniente para cierto tipo de cálculo.

Ejemplo 4.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

SOLUCIÓN

Ejemplo: (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

SOLUCIÓN

= Determinación de curvas =

Un problema común en diferentes ´áreas es la determinación de curvas. es decir el problema de encontrar la función que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la función, es decir, se conoce la forma que debe tener la función. Por ejemplo, línea recta, parábola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma más general de la función mediante parámetros constantes. Y posteriormente se determinan estos parámetros haciendo pasar la función por los puntos conocidos. 

Ejemplo: Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3). 

SoluciónLa forma más general de una cuadrática es: f (x) = a x2 + b x + c donde los crecientes a, b, y c son constantes numéricas. El problema consiste en determinar estos coeficientes. 

Así pues los parámetros a, b, y c se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la función pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4, es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4es decir, se debe cumplir: a + b + c =4 

Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuación: a − b + c =2 y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3.Resumiendo para que la función f (x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las ecuaciones: a + b + c = 4a − b + c = 24a + 2b + c = 3La solución a este sistema es: a = 2/3, b = 1, y c =11/3

La misma situación presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinación de funciones. Y la conclusión es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una función con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

=Balanceo de Reacciones Químicas=

Una aplicación sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones químicas. La problemática consiste en determinar el número entero de moléculas que intervienen en una reacción química cuidando siempre que el número de átomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo Balancee la reacción química: aCH4 + bO2=cCO2 + dH2O

Solución: Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el número de moléculas de las sustancias en la reacción debemos igualar el número de átomos en cada miembro:Por los átomos de carbono: a = c. Por los átomos de oxigeno: 2 b = 2 c + d. Por los átomos de hidrógeno: 4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La fórmula general para las soluciones queda:a = 1/2 db = dc = 1/2 d

El valor más pequeño de d que hace que los números de moléculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

=Aplicaciones a Manufactura=

Ejemplo: Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

SoluciónEn nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir:x = número de computadoras cañóny = número de computadoras clonz = número de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas.

Ensamblado: 556(total) = 12 x (cañón) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)Pruebas: 120(total) = 2.5 x (cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)Instalación de programas: 103(total) = 2 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18

Dado lo común de las aplicaciones hacia el área de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

En la última columna aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles.

En las primeras columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

UNIDAD IV. ESPACIOS VECTORIALES4.1 Definición de espacio vectorial.

Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacío, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas. 

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la <<acción>> del cuerpo K sobre V. observece que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.1. Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.2. Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.3. Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.4. Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.

4.2 Definición de sub espacio vectorial y sus propiedades.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:

1. 0єW2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores

u, vєW, la suma u+vєW.3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y

para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:1. 0єW.2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Ejemplo: sean U y W sub espacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UÇW es también sub espacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son sub espacios, de donde 0ÎUÇW. Supongamos ahora que u, vÎUÇW. entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un sub espacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un sub espacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema

homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A (au+bv)=a Au + bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvÎW. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un sub espacio de kn.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es sub espacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2,…, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2,…, an tales que v=a1v1+a2v2+…

+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir

donde a1, a2,…, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un sub espacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores  , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los

vectores  ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que

v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene  .

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria

de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que lois vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …,

cn no todos ceros tales que  .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2,.., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lienal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2,…, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2,…, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para elgun escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces dividiendo entre c1

se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea, 

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los

vectores   . En R3 se escribieron los vectores en términos

de  . Ahora se generalizara esta idea.

BASEUn conjunto finito de vectores  es una base para un

espacio vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene

determinante 1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M22

Se vio que  generan a 

 , entonces es evidentemente que  . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.

TEOREMA: si es una base para V y si vÎV, entonces existe un

conjunto único de escalares  tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que

Sea   dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene

TEOREMA: suponga que dimV=n. si 

Entonces, restando se obtiene la ecuación

pero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

 Así,  y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si  son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

 no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3) 

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como  son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas

y como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un número infinito de

soluciones. De esta forma, existen escalares  no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el  álgebra lineal.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina

espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn

En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si  es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Sea entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden

encontrar constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V.

entonces H tiene dimensión finita y (6)

 Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis más n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores

linealmente independientes tales que H=gen{  }. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo más n vectores linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneoEncuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema

homogéneo 

SOLUCIÓN: aquí . Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma

.Así, es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t.TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en e un espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.

Sean , n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que

uÏgen  . Esto significa que los n+1 vectores , u donde linealmente independientes. Para ver esto observe que si

(8) 

Entonces  porque de lo contrario podríamos escribir u como una

combinación lineal de dividiendo la ecuación (8) entre  y

poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero si

entonces (8) es 

Lo que significa que ya que los v son linealmente

independientes. Ahora sea W=gen{ ,u}. como todos los vectores

entre las llaves están en V, W es un subespacio de V. como  ,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimW≤n. esta contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que

uÏgen{ }. Así,  genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

CAMBIO DE BASEEn R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica

. En Rn se definió la base canónica  . En Pn se definió la

base estándar como . Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es más conveniente alguna otra base. Existe un número infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se verá como cambiar de una base a otra mediante el cálculo de cierta matriz. Iniciaremos por

un ejemplo sencillo. Sean u . entonces,  es la

base canónica en R2. Sean Como v1 y v2 son

linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2),  

es una segunda base en R2. Sea un vector en R2. Esta notación

significa que

Es decir, x está expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer

hincapié en este hecho, se escribe  Como B es otra base en R2,

existen escalares c1 y c2 tales que (1) Una vez que se

encuentran estos escalares. Se puede escribir  para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es

sencillo verificar que (2)

y  es decir,

 Entonces,

Así, de (1), 

o

Por ejemplo, si

 Entonces

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto orto normal

El conjunto de vectores  es un conjunto orto normal en V si

ySi solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es orto normal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores orto normales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto orto normal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base orto normal.

Proyección ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

 Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta

dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales

 Sea vϵV. entonces

Complemento ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

 TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: Sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: Sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.Conjunto orto normal en Rn

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto orto normal si (1) (2)

 Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

 Nota. Si  entonces v*v=  Esto

significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

 TEOREMA: Si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que 

Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de orto normalización de Gram-Schmidt

Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base orto normal.

Sea S=  una base de H. se probara el teorema construyendo una base orto normal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construcción, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Elección del primer vector unitario

Sea (12) 

Entonces

 De manera que |u|=1.

Paso 2. Elección de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector  es la

ortogonal a v. en este caso  es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario,

 para cualquier vector v.

Sea (13) 

entonces   de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente

independientes. v’≠0 porque de otra manera   lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

Sea (14)   entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto orto normal.Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto orto normal. Se mostrara como construir uk+1.

Paso 4. Continuación del proceso

Sea (15)   entonces para

i=1,2,…,k 

Pero   Por lo

tanto, 

Así,   es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´k+1≠0.

Paso 5

Sea 

Entonces es claro que   es un conjunto orto normal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.

Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v,

gen   es un subespacio de gen   y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.

UNIDAD V. TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje xEn R2 se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R2 en R2.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3, y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Seanp1, p2, p3 y p4 el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r1, r2, y r3 el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene quer=p1*2+p2*1+p3*3+p4*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidadesde manera similar  r2=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidadesy r3=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidadesen general se ve que 

o Ap= r.Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector

de materia prima y se hace mediante la multiplicación  de matrices ordinaria. Como se verá, esta función es también una transformación lineal.Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones comoAx=b

Donde A es una matriz de m*n, x  R” y b  R”. Se pidió encontrar x cuando  A y b se conocían. No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice” : proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir , A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´.

La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A (      si  es un escalar y A(x + y) = Ax + Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales.

Definición 1  transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar .

T(u + v) = Tu + Tv            YT(av)=aTv

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN

1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función  con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee “ʄ de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Ejemplo 5 La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y definida I: V V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que es I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

Ejemplo 6    Transformación de reflexiónSea T:R2 R2 definida por T(x;y)=(x;-y). Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 5.2)

Ejemplo 7   Transformaciones de Rn Rm dada por la multiplicación por una matriz de m*n.

Sea A una matriz de m*n y definida T:R´´ R´´´ por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A(  si x y y están en R´´, se observa que T es una transformación lineal. Entonces: toda matriz A de m*n se puede utilizar  para definir  una transformación lineal de R´´ en R´´´. 

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2      Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v2,….vn}. Sean w1,w2,….wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn. Tales que  v = α1v1 + α2v2 + …+ αn vn. 

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 + …+ αnvn)  = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn                                            = α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T:v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v 1, v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1,Tv2,….Tvn

Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

Solución. Se tiene

 Entonces

Surge otra pregunta; si w1,w2,….,wn son n vectores en W, ¿existe una transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…,n? La respuesta es sí. Como lo muestra el siguiente teorema.

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación linealSean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.

Teorema 4 Si T:V W es una transformación lineal, entoncesi.Un T es un subespacio de V.ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracioni.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación ceroSea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidadSea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se                     encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T:R3 R3 definida por  T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x  = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el  plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2      Nulidad y rango de una transformación linealSi T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

Observación. En la sección 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

Ejemplo 6.   Núcleo y nulidad de un operador de proyecciónSea H un subespacio de R´´ y sea Tv = proyH v. Es obvio que la Im T = H. Se tiene que toda vϵ V si v=h + proyH v + proyHv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que significa498

5.3 La matriz de una transformación lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que

Demostración

Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si

Entonces

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición 1    Matriz de transformaciónLa matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.

TEOREMA 2   sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa transformación lineal T. entonces.i.                     Im T = Im A = CAT

ii.                   P(T) = p(AT)iii.                  Un T = NAT

iv.                 v(T) = v(AT

Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyecciónEncuentre la matriz de transformación AT correspondiente ala proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.Solución

Teorema 4Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2  en W. entoncesi.                     p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o yUna expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como

antes ,

entonces la representación matricial de T es   de manera que

a)      se comienza con este rectángulo.b)      Expansión en la dirección de x c = 2.c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva 0<c<1, mientras que para la expansión c<1.

a)      se comienza con este rectángulo.b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión sobre el eje xEn este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2

en R2 que cada vector   lo refleja sobre el eje x,

para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de R2 en R2 que gira cada

vector  un angulo  , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que   

y   tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la

transformación   tal que 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo  y es lineal, ya que: