Ejercicios 01. Funciones Vectoriales y Derivadas de Funciones Vectoriales
17 funciones vectoriales
2
FUNCIONES VECTORIALES. 1.- Definición de función vectorial. Si ) (t f , ) (t g y ) (t h son funciones reales de t, entonces la función r definida por k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( se denomina función vectorial de t. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como ) ( , ) ( , ) ( ) ( t h t g t f t r . 2.- Dominio de una función vectorial. Sea r una función vectorial definida por k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( . Entonces su dominio está dado por ) ( Dom ) ( Dom ) ( Dom ) ( Dom t h t g t f t r . Restricciones en el dominio para cada tipo de funciones. Nombre Función Dominio de la función Polinomial ... 2 2 1 0 t a t a a R Racional ) ( ) ( t Q t P } 0 ) ( / { t Q R t R Radical n t f ) ( n es un número par: } 0 ) ( / { t f R t Radical n t f ) ( n es un número impar: ) ( Dom t f Valor absoluto ) (t f ) ( Dom t f Logarítmica )] ( [ ln t f } 0 ) ( / { t f R t Exponencial ) (t f e ) ( Dom t f Seno )] ( [ sen t f ) ( Dom t f Coseno )] ( [ cos t f ) ( Dom t f Tangente )] ( [ tan t f } ) 1 2 ( ) ( / { 2 1 n t f R t R Arcoseno )] ( [ sen 1 t f } 1 ) ( 1 / { t f R t Arcocoseno )] ( [ cos 1 t f } 1 ) ( 1 / { t f R t Arcotangente )] ( [ tan 1 t f ) ( Dom t f 3.- Definición de límite de una función vectorial. Sea r una función vectorial definida por k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( . Entonces k t h j t g i t f t t t t t t t t t r ) ( ) ( ) ( ) ( lim lim lim lim 0 0 0 0 siempre que existan ) ( lim 0 t f t t , ) ( lim 0 t g t t y ) ( lim 0 t h t t 4.- Definición de continuidad de una función vectorial. Una función vectorial r es continua en un punto dado por a t si el límite de ) (t r cuando a t existe y ) ( ) ( lim a r t r a t . Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. 5.- Definición de la derivada de una función vectorial. La derivada de una función vectorial r se define como t t r t t r t r t ) ( ) ( ) ( lim 0 Para todo t para el cual existe el límite. Si ) (c r existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales. 6.- Derivación de funciones vectoriales. Si k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( , donde f, g, y h son funciones derivables de t, entonces k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( . 7.- Propiedades de la derivada de una función vectorial. Sean U y V vectores y f una función escalar de t; se tiene entonces: 1.- )] ( [ )] ( [ t U t d d c t U c t d d 2.- )] ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ t V t d d t U t d d t V t U t d d 3.- )] ( [ ) ( )] ( [ ) ( )] ( ) ( [ t f t d d t U t U t d d t f t U t f t d d 4.- )] ( [ ). ( )] ( [ ). ( )] ( ). ( [ t U t d d t V t V t d d t U t V t U t d d 5.- )] ( [ ) ( )] ( [ ) ( )] ( ) ( [ t U t d d t V t V t d d t U t V t U t d d 6.- t d s d s U s d d s U t d d )] ( [ )] ( [ Regla de la cadena. 7.- Si c t U ) ( , entonces 0 ) ( ). ( t U t U . 8.- Integración de funciones vectoriales. Si k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( donde ) (t f , ) (t g y ) (t h son funciones integrables de t, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es C k t d t h j t d t g i t d t f t d t r ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ) ( , siendo k c j c i c C 3 2 1 un vector constante y su integral definida en el intervalo b t a es k t d t h j t d t g i t d t f t d t r b a b a b a b a ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ) ( 9.- Vector velocidad y vector aceleración. Si ) (t f , ) (t g y ) (t h son funciones reales de t diferenciables dos veces, y r el vector de posición de un objeto móvil para un valor t del tiempo definido por k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( , entonces: Vector velocidad: k t h j t g i t f t V ) ( ) ( ) ( ) ( Vector aceleración: k t h j t g i t f t A ) ( ) ( ) ( ) ( Rapidez: 2 2 2 )] ( [ )] ( [ )] ( [ ) ( ) ( t h t g t f t r t V 10.- Longitud de arco. Si una curva se expresa por medio de k t h j t g i t f t r ) ( ) ( ) ( ) ( , siendo ) (t f , ) (t g y ) (t h continuas en el intervalo ] , [ b a , entonces la longitud del arco de la curva correspondiente a dicho intervalo del parámetro t viene dada por b a t d t r L ) ( . 11.- Definición de vectores unitarios tangente y normal y binormal, T, N y B. Sea ) (t r el vector de posición de un objeto móvil para un valor t del tiempo, y sea ) ( ) ( t r t V el vector velocidad en dicho instante t. El vector tangente unitario T se define por ) ( ) ( ) ( t V t V t T T siempre que 0 V . El vector normal principal unitario N se define como ) ( ) ( ) ( t T t T t N N siempre que 0 T . El vector binormal unitario B se define como ) ( ) ( ) ( t N t T t B B .
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FUNCIONES VECTORIALES.
1.- Definición de función vectorial. Si )(tf , )(tg y )(th son funciones reales de t, entonces
la función r definida por kthjtgitftr )()()()( se denomina función vectorial de t.
Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como )(,)(,)()( thtgtftr .
2.- Dominio de una función vectorial. Sea r una función vectorial definida por
kthjtgitftr )()()()( . Entonces su dominio está dado por
)( Dom)( Dom)( Dom)( Dom thtgtftr .
Restricciones en el dominio para cada tipo de funciones.
Nombre Función Dominio de la función
Polinomial ...2
210 tataa R
Racional )(
)(
tQ
tP }0)(/{ tQRtR
Radical n tf )( n es un número par: }0)(/{ tfRt
Radical n tf )( n es un número impar: )(Dom tf
Valor absoluto )(tf )(Dom tf
Logarítmica )]([ln tf }0)(/{ tfRt
Exponencial )(tfe )(Dom tf
Seno )]([sen tf )(Dom tf
Coseno )]([cos tf )(Dom tf
Tangente )]([tan tf })12()(/{21 ntfRtR
Arcoseno )]([sen 1 tf }1)(1/{ tfRt
Arcocoseno )]([cos 1 tf }1)(1/{ tfRt
Arcotangente )]([tan 1 tf )(Dom tf
3.- Definición de límite de una función vectorial. Sea r una función vectorial definida por
kthjtgitftr )()()()( . Entonces kthjtgitfttttttttt
r
)()()()( limlimlimlim0000
siempre
que existan )(lim0
tftt
, )(lim0
tgtt
y
)(lim
0
thtt
4.- Definición de continuidad de una función vectorial. Una función vectorial r es continua
en un punto dado por at si el límite de )(tr cuando at existe y )()(lim artrat
. Una
función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del
intervalo.
5.- Definición de la derivada de una función vectorial. La derivada de una función vectorial
r se define como t
trttrtr
t
)()()( lim
0
Para todo t para el cual existe el límite. Si )(cr existe para todo c en un intervalo abierto I,
entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede
extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
6.- Derivación de funciones vectoriales. Si kthjtgitftr )()()()( , donde f, g, y h son
funciones derivables de t, entonces kthjtgitftr )()()()( .
7.- Propiedades de la derivada de una función vectorial. Sean U y V vectores y f una
función escalar de t; se tiene entonces:
1.- )]([)]([ tUtd
dctUc
td
d
2.- )]([)]([)]()([ tVtd
dtU
td
dtVtU
td
d
3.- )]([)()]([)()]()([ tftd
dtUtU
td
dtftUtf
td
d
4.-
)]([).()]([).()]().([ tUtd
dtVtV
td
dtUtVtU
td
d
5.-
)]([)()]([)()]()([ tUtd
dtVtV
td
dtUtVtU
td
d
6.- td
sdsU
sd
dsU
td
d)]([)]([ Regla de la cadena.
7.- Si ctU )( , entonces 0)().( tUtU .
8.- Integración de funciones vectoriales. Si kthjtgitftr )()()()( donde )(tf , )(tg y
)(th son funciones integrables de t, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es
Cktdthjtdtgitdtftdtr ])([])([])([)( , siendo kcjcicC 321 un vector
constante y su integral definida en el intervalo bta es
ktdthjtdtgitdtftdtrb
a
b
a
b
a
b
a])([])([])([)(
9.- Vector velocidad y vector aceleración. Si )(tf , )(tg y )(th son funciones reales de t
diferenciables dos veces, y r el vector de posición de un objeto móvil para un valor t del
tiempo definido por kthjtgitftr )()()()( , entonces:
Vector velocidad: kthjtgitftV )()()()(
Vector aceleración: kthjtgitftA )()()()(
Rapidez: 222 )]([)]([)]([)()( thtgtftrtV
10.- Longitud de arco. Si una curva se expresa por medio de kthjtgitftr )()()()( ,
siendo )(tf , )(tg y )(th continuas en el intervalo ],[ ba , entonces la longitud del arco de la
curva correspondiente a dicho intervalo del parámetro t viene dada por b
atdtrL )( .
11.- Definición de vectores unitarios tangente y normal y binormal, T, N y B. Sea )(tr el
vector de posición de un objeto móvil para un valor t del tiempo, y sea )()( trtV el vector
velocidad en dicho instante t.
El vector tangente unitario T se define por )(
)()(
tV
tVtTT siempre que 0V .
El vector normal principal unitario N se define como )(
)()(
tT
tTtNN
siempre que
0T .
El vector binormal unitario B se define como )()()( tNtTtBB .
El conjunto de los vectores T, N y B se conoce como triedo intrínseco, o triedo móvil de
Frenet.
Relación entre T, N y B: )()()( tNtTtB , )()()( tBtNtT , )()()( tTtBtN .
12.- Otras fórmulas para T, N y B.
)(
)()(
tr
trtT
)()]()([
)()]()([)(
trtrtr
trtrtrtN
)()(
)()()(
trtr
trtrtB
13.- Recta tangente, recta normal y recta binormal a una curva. Sea krjrirtr zyx )( 0
el vector de posición de un objeto móvil para un valor 0t del tiempo.
- Si kvjvivtrtV zyx )()( 00 es el vector velocidad del objeto móvil en dicho instante
0t , se define para la curva: Recta tangente:
z
z
y
y
x
x
v
rz
v
ry
v
rx
.
- Si knjnintN zyx )( 0 es el vector normal a la trayectoria en dicho instante
0t , se define
para la curva: Recta normal:
z
z
y
y
x
x
n
rz
n
ry
n
rx
.
- Si kbjbibtB zyx )( 0 es el vector binormal a la trayectoria en dicho instante
0t , se define
para la curva: Recta binormal:
z
z
y
y
x
x
b
rz
b
ry
b
rx
.
De manera práctica, para la recta binormal y la recta normal, el vector director de cada una
puede ser determinado mediante:
)()( 00 trtrkbjbib zyx )()]()([ 000 trtrtrknjnin zyx
14.- Plano normal, plano rectificante y plano osculador a una curva. Sea
krjrirtr zyx )( 0 el vector de posición de un objeto móvil para un valor
0t del tiempo.
- Si kvjvivtrtV zyx )()( 00 es el vector velocidad del objeto móvil en dicho instante
0t , se define para la curva: Plano normal: 0)()()( zzyyxx rzvryvrxv .
- Si knjnintN zyx )( 0 es el vector normal a la trayectoria en dicho instante
0t , se define
para la curva: Plano rectificante: 0)()()( zzyyxx rznrynrxn .
- Si kbjbibtB zyx )( 0 es el vector binormal a la trayectoria en dicho instante
0t , se define
para la curva: Plano osculador: 0)()()( zzyyxx rzbrybrxb .
De manera práctica, para el plano osculador y el plano rectificante, el vector normal de cada
uno puede ser determinado mediante:
)()( 00 trtrkbjbib zyx )()]()([ 000 trtrtrknjnin zyx
Como resumen de las secciones 13 y 14, se tiene que:
1- El vector tangente unitario define a la recta tangente y al plano normal.
2. El vector normal unitario define a la recta normal y al plano rectificante.
3- El vector binormal unitario define a la recta binormal y al plano osculador.
15.- Curvas planas. Si )(tB es constante para todo t, entonces la curva es plana y el plano
osculador coincide con el plano de la curva.
16.- Curvatura. La curvatura k en un punto de la curva descrita mediante el vector de
posición kthjtgitftr )()()()( está dada por )(
)()(
tr
tTtk
, siendo T el vector tangente
unitario. Si C es la gráfica de una función dos veces derivable )(xfy , entonces la curvatura
k en el punto ),( yx está dada por 2
3
])(1[)(
2y
yxk
.
17.- Radio de curvatura. Si )( 0tk es la curvatura de la curva plana C en el punto 0P , donde
0tt , y 0)( 0 tk , entonces el radio de curvatura de C en 0P , denotado por )( 0t , se define
como )(
1)(
0
0tk
t .
18.- Torsión. La torsión en un punto de la curva descrita mediante el vector de posición
kthjtgitftr )()()()( está dada por )()()( . tBtNt , siendo N el vector normal
unitario y B el vector binormal unitario.
19.- Radio de torsión. Si )( 0t es la curvatura de la curva plana C en el punto 0P , donde
0tt , y 0)( 0 t , entonces el radio de torsión de C en 0P , denotado por )( 0
1 t , se define
como )(
1)(
0
0
1
tt
.
20.- Otras fórmulas para )(tk y )(t .
3)(
)()()(
tr
trtrtk
2)()(
)]()([)()(
.
trtr
trtrtrt
2
)()()(
.
r
tNtAtk
21.- Circunferencia osculatriz. Sea jrirtr yx )( 0 el vector de posición de un objeto móvil
para un valor 0t del tiempo, y sea )( 0t el radio de curvatura. La circunferencia osculatriz (o
circunferencia de curvatura) define por )()()( 0
222 tryrx yx .
22.- Definición de las componentes tangencial y normal de la aceleración. Si A es la
aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una curva plana C en un instante t
entonces tendremos NNATTAA ).().( y denominaremos TA. y NA. componentes
tangencial y normal de la aceleración respectivamente. A la componente normal de la
aceleración también se le llama componente centrípeta de la aceleración.
23.- Otra expresión para la aceleración en función de las componentes tangencial y
normal. La aceleración de un objeto cuya función de posición es kthjtgitftr )()()()(
viene dada por NATAA NT .
NtVkTtVtd
dA ])([)(
2
. k es la curvatura de la trayectoria en el instante t.
De la ecuación anterior: )(tVtd
dAT 2
)(tVkAN
24.- Otras fórmulas para TA y
NA .
)(
)()( .tr
trtrAT
)(
)()(
tr
trtrAN
Autor: Ing. Willians Medina. / +58–424–9744352 / +58–426–2276504 / [email protected] / PIN: 58B3CF2D – 569A409B.
http://www.slideshare.net/asesoracademico/
Abril 2016.
