LEYES DE KIRCHHOFF A la hora de diseñar un circuito que realice alguna función, generalmente se cuenta con baterías u otras fuentes de fuerza electromotriz conocida y resistencias de valor conocido. No siempre se puede hallar una única resistencia equivalente para todo el circuito, en consecuencia no se puede simplificarlo en su totalidad, por ende se debe aplicar las leyes conocidas como Leyes de Kirchhoff en honor al físico alemán Gustav. R. Kirchhoff (1824-1887), que fue el primero en enunciarlas, estas leyes ayudan a encontrar las corrientes que pasan por las diferentes partes de un circuito. Las leyes se clasifican en:

1. La primera ley de Kirchhoff o también llamada la ley de las mallas. 2. La segunda ley de Kirchhoff o denominada la regla de los nudos.

Para un mejor entendimiento tenemos las siguientes definiciones:• Nodo o nudo.- se llama a todo punto del circuito a donde

concurren tres o más conductores. • Rama.- es la parte del circuito comprendida entre dos nodos, dos

nodos son consecutivos cuando para ir de uno al otro no es necesario pasar por un tercero, en una rama la corriente será siempre la misma.

• Malla.- es cualquier camino conductor cerrado que se pueda distinguir en el circuito, esta formada por ramas, pero una rama puede pertenecer a distintas mallas.

1.- La regla de los nodos o primera Ley de Kirchhoff Para analizar un circuito con dos o más mallas debemos usar la regla de los nudos. La regla de los nudos dice que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Dado que la carga no se puede acumular en ningún punto de los

conductores de conexión, la regla de los nudos es una consecuencia de la conservación de la carga. La regla de los nudos se la define como:

∑ i entrantes = ∑ i salientesPor convención se considera con signo positivo a las corrientes entrantes a un nodo y con signo negativo a las salientes, para cada nodo del circuito se cumple que:

∑i = 0

2.- La regla de las mallas o segunda Ley de Kirchhoff Esta regla es una consecuencia del principio de conservación de energía, la energía que gana la unidad de carga al recorrer la malla debe ser igual a la energía convertida en calor, mecánica o cualquier otro tipo de energía. La regla de las mallas establece que la suma de las consecuencias de las diferencias de potencial encontradas en el recorrido de cualquier camino cerrado (malla) de un circuito es cero. Como el potencial está directamente relacionado con la energía potencial de los portadores, la regla de las mallas no es sino una forma de expresar la conservación de la energía. La regla de las mallas puede ser definida como:

∑V = 0O a su vez, teniendo en cuenta la presencia de baterías, fuerza electromotriz, y resistencias como:

∑ε =∑RiPara escribir las ecuaciones originadas por la regla de las mallas se debe considerar los siguientes principios:

Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente, el cambio de potencial es − iR ; en el sentido contrario es + iR .

Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem, el cambio de potencial es + ε ; en el sentido contrario es − ε

Resolución de circuitos mediante la aplicación de las Leyes de Kirchhoff Entendemos por resolución de un circuito a calcular todas las corrientes que circulan por el mismo. Buscaremos plantear, basándonos en las reglas de Kirchhoff, tantas ecuaciones como corrientes incógnitas tengamos. A continuación resumimos los pasos a seguir: • Dibujamos las corrientes, dándole un sentido arbitrario de circulación. Si luego de resolverlo el valor de la corriente da positivo es sentido arbitrario es el correcto de la corriente, si da negativo es sentido es el contrario. Planteamos todas las ecuaciones.• Una vez que planteamos la cantidad de ecuaciones necesarias para resolver todas las corrientes incógnitas, utilizamos cualquier método, algebraico o no, para despejar las incógnitas.

• Muchas veces es posible realizar simplificaciones a nuestro circuito, por ejemplo encontrando resistencias equivalentes para una red de resistencias, a fin de disminuir el número de incógnitas con el cual trabajamos, debemos tener presente que al finalizar debemos hallar también las corrientes originales que pasa por cada resistencia.

CIRCUITO SERIE RL

El circuito eléctrico RL más simple está formado por una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación conectados en serie.

Según la segunda ley de Kirchhoff aplicada al circuito RL de la figura, el voltaje aplicado es igual a la suma de caída de voltajes a través del inductor y el resistor.

En una resistencia R, la Ley de Ohm establece

i=E(t)R

En un inductor L la Ley de Faraday dice

E(t)=Ldidt

Entonces reemplazando las caídas de voltaje en la ley de Kirchhoff:

Ecuación diferencial en corriente para el circuito L-R Si dividimos todo para L :

Ecuación Diferencial LinealMultiplicamos ambos miembros de la ecuación por el factor de integración

Ecuación Diferencial para la corriente Para el circuito RL por lo general se da la corriente inicial i(0) como condición inicial.

CIRCUITOS SERIE RC

Cuando conectamos en serie un condensador con una capacidad de C

faradios y una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t)

voltios y cerramos el circuito, se produce una corriente eléctrica.

Puesto que la caída de potencial en el condensador es 1Cq (t ) y la caída de

potencial en la resistencia es Ri (t )=Rq '(t ), debe ocurrir

Rq ' ( t )+ 1Cq ( t )=et

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Si la escribimos

como

q ' (t )+ 1RC

q (t )= e (t)R

Entonces su solución general viene dada por

q (t )=e−t /RC [c+∫ e (t )Re t /RC dt ]

Por ejemplo, para un voltaje constante e(t) = E voltios y condición inicial

q(0) = Q0 culombios, nos queda

q (t )=EC+(Q0−EC )e−t /RC

En esta expresión, la parte EC se conoce como régimen estacionario del

circuito, porque es el término al que tiende a largo plazo; el resto,

(Q0−EC )e−t /RC se llama régimen transitorio porque sus efectos sólo son

visibles al comienzo (observemos que decrece exponencialmente).

TÉRMINO TRANSITORIO Y ESTACIONARIO

Estado estacionarioCuando las características físicas de un sistema no varían con el tiempo. Este es el fundamento en el que se basan las teorías de a electrostática y la magnetostática.Estado transitorio es la respuesta de un circuito eléctrico que disminuye con el tiempo, en oposición al régimen estacionario, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la alteración del mismo.Para un estudio orientado hacia circuitos, debemos entender que hablaremos sobre el estudio y análisis de ondas u oscilaciones.Así se tiene la ecuación diferencial que describe las oscilaciones forzadas y es:

d2 xdt2

+2 γdxdt

+ω2 x= Fm

cos (wft )

La solución general de la ecuación diferencial homogénea tiene la forma

Donde los coeficientes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

x2= A cos(ωf t)+ B sen(ωf t)

Obtendremos los valores de A y B haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

La solución general de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución general de la homogénea más la solución particular x=x1+x2.

El primer término, describe el estado transitorio que desaparece al cabo de cierto tiempo (teóricamente infinito) y depende de las condiciones iniciales. El segundo término, describe el estado estaciona

METODO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS

La siguiente ecuación muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de E en voltios (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) o una inductancia L henrios (H) y un resistor con una resistencia de R ohm.

La caída de voltaje a través del capacitor Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:

RI (t )+QC

=E (t)

I ( t )=dQdt

(1)RdQdt

+ 1CQ=E (t)

En el Circuito RL la caída de voltaje a través de la bobina L, donde L es la carga en Henrios (H). La ley de Kirchhoff establece:

i(t)=E(t)R

E(t)=Ldidt

(2)

Dibujamos el grafico respectivo

(1)

(2)

EJERCICIOS

1. Se aplica una FEM de 10v a un circuito en serie RC, con una resistencia de 1 kΩ y un condensador a 10 µF. Hallar la solución general para la carga.

Por la ley de Kirchoff de voltajes (ddp), se tiene que:V r+V c=V (1)

V r=RI (ley de Ohm), además se tiene que I=dqdt

→I=Rdqdt

Además, se sabe que la capacitancia C= qV

→V c=qC

Volviendo a (1)

Rdqdt

+ 1Cq=V

dqdt

+ 1RC

q=VR

(2)

Buscamos el factor de integración µ(t)

µ (t )=e∫ 1RC

dt=e

tRC

Multiplicando (2) por el F.I. queda

etRC dqdt

+etRC 1RCq=e

tRC VR

∫ d (etRC q)=V

R∫e

tRC dt

etRC q=V

RRC e

tRC+c1

q=VC+c1

etRC

(3)

Ahora, como V = 10v, C = 10*10-6 F y R = 1000 Ω, reemplazamos en (3)

q=(10 ) (10∗10−6 )+c1

et

103∗10∗10−6

q (t)=10−4+c1

e100t

que es la ecuación de la carga en función del tiempo.

2. En el ejercicio anterior, determinar la carga q(t) del condensador si i(0) = 0.1A. Determinar la carga cuando el tiempo tiende al infinito.

Derivando con respecto a t para hallar I

I=dqdt

=−100c1 e−100t

Reemplazando las condiciones iniciales0.1=−100c1 e

−100(0)

c1=−0.001

Entonces q(t) es

q (t)=10−4+ 11000

e−100 t

Ahora, cuando t∞, el término e−100 t tiende a cero, por lo que q(t) cuando t∞ es

q (t )=10−4 coulombs

3. Suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo, la resistencia viene dada por R = k1 + k2t, donde k1 y k2 se conocen como constantes positivas, hallar i(t) cuando E(0) = E0 y q(0) = q0.

Tenemos, por teoría y por el ejercicio 1, que la ecuación diferencial

para este tipo de circuitos es Rdqdt

+ 1Cq=V

dqdt

+ 1RC

q=VR

en donde podemos reemplazar nuestros datos.

dqdt

+ 1(k 1+k 2 t)C

q= Vk 1+k2 t

Buscamos el factor de integración µ(t)

µ (t )=e∫ 1k 1C+k 2Ct

dt=e ln|k 1+k 2 t|1/Ck 2

=(k 1+k 2t )1 /Ck 2

Multiplicando la ecuación por el F.I. queda

(k 1+k 2 t)1 /Ck2 dqdt

+(k1+k2 t)1 /Ck2 1(k 1+k 2 t)C

q=(k 1+k 2 t)1 /Ck2 Vk1+k 2t

∫ d ((k 1+k 2 t)1/Ck2q )=V∫(k 1+k2 t)1Ck2

−1dt

(k 1+k 2 t)1 /Ck2q= Vk 2Ck2(k1+k 2t )1 /Ck 2+c1

q=VC+c1

(k 1+k 2 t)1/Ck2

Reemplazamos las condiciones iniciales para hallar q(t)q0=E0C+c1(k 1)−1 /Ck 2

De donde c 1=(q0−E0C)(k 1)1/Ck2

Reemplazando c1 en q(t), se tiene:q (t )=E0C+(q0−E0C)¿

que es la expresión de la carga en cualquier instante de tiempo.

4. Una resistencia de 50Ω se conecta en serie con un condensador de 5mF y una FEM decreciente dada en el tiempo por E=300e-4t. Sabiendo que la carga inicial es cero, encontrar la carga y la corriente en función del tiempo.

Rdqdt

+ 1Cq=V

50dqdt

+ 1

5∗10−3q=300e−4 t

dqdt

+4 q=6e−4 t

Buscamos el F.I.µ (t )=e∫ 4dt=e4 t

Multiplicando la ecuación por el F.I. queda

e4 t dqdt

+4e4 tq=6

∫ d (e4 t q )=∫ 6dt

e4 tq=6 t+c 1q=6 t e−4 t+c1e−4 t

Sabemos que q(0)=0, por tantoc 1=0

Reemplazando c1 en q(t), se tiene:

q (t )=6 t e−4 t

Para hallar I(t), derivamos q(t)I ( t )=6 e−4 t(1−4 t )

5. Una fuerza electromotriz de 100v se aplica a un circuito RC en serie donde la resistencia es de 200Ω y la capacitancia de 10-4 faradios. Encuentre la carga q(t) sobre el capacitor si q(0) = 0. Determine además la corriente

Rdqdt

+ 1Cq=V

200dqdt

+ 1

10−4q=100

dqdt

+50q=12

Buscamos el F.I.µ (t )=e∫ 50dt=e50t

Al multiplicar la ecuación por el F.I. queda

e50 t dqdt

+50e50 tq=12e50 t

∫ d (e50 tq )=∫ 12e50t dt

e50 tq= e50 t

100+c 1

q= 1100

+c1e−50t

El problema nos dice que la carga es cero en t=0, entonces

c 1= −1100

Reemplazando la constante de integración c1 en la ecuación q

q (t )= 1100

− 1100

e−50 t

Para hallar I(t), derivamos q(t)

I ( t )=12e−50 t

6. Una FEM de 20e-5t v se conecta en serie con un resistor de 20 ohm y un capacitor de 0.01 F. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero, encuentre la carga y la corriente para cualquier instante de tiempo.

Rdqdt

+ 1Cq=V

20dqdt

+ 10.01

q=20e−5 t

dqdt

+5q=e−5 t

Buscamos el F.I.µ (t )=e∫ 5dt=e5 t

Multiplicando la ecuación por el F.I. queda

e5 t dqdt

+5e5 tq=1

∫ d (e5 tq )=∫dte5 tq=t+c1

q=t e−5 t+c1e−5 t

La carga q(0) es igual a cero, reemplazando quedac 1=0

Reemplazando c1 en q(t), se tiene:q (t )=t e−5 t

Para hallar I(t), derivamos q(t)I (t )=e−5 t (1−5 t)

Y tenemos las ecuaciones de carga y corriente para cualquier instante de tiempo.

7. Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 1 F, la batería suministra un voltaje de 5t cos (8t). Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (2) = 0C.

tdQdt

+Q=5 tcos(8t )

dQdt

+ 1tQ=5 cos(8t )

u (t )=e∫ 1tdt=eln ∨t∨¿=t ¿

tdQdt

+Q=5 tcos(8t )

ddt

[ t∗Q ]=5tsen(8 t)

d [ t∗Q ]=5 tsen(8 t)dt

∫ d [t∗Q ]=5∫ tsen(8 t)dt

t∗Q= 564

(sen (8 t )−8 tcos (8 t))+C1

Q=5 sen (8 t )−40 tcos(8 t)¿+C ¿64 t

64 t∗Q=(5 sen (8 t )−40 tcos(8 t))+C

C=64 t∗Q−(5 sen (8 t )+40 tcos(8 t)) Q (2) = 0C

C=64∗2∗0−5 sen (8∗2 )+40∗2∗cos(8∗2)

C=75.5

Q=5 sen (8 t )−40 tcos(8 t)+75.5

64 t

8. Un circuito en el cual la resistencia es de 2, la capacitancia es de 0.001F, la batería suministra un voltaje de 10 sen (60t). Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C.

2dQdt

+ 10.001

Q=10 sen (60 t)

dQdt

+500Q=5 sen (60 t)

u (t )=e∫500 dt=e500t

e500t dQdt

+500Qe500 t=5e500t sen (60 t)

ddt

[e500t∗Q ]=5e500 t sen (60 t)

d [e500t∗Q ]=5e500 t sen (60 t)dt

∫ d [e500 t∗Q ]=5∫ e500t sen(60 t )dt

e500t∗Q=e500t (25 sen (60 t )−3cos (60 t ) )

2536+C1

Q=e500t ( 25 sen (60 t )−3 cos (60 t ) )+C

2536e500t

2536e500tQ=e500t (25 sen (60 t )−3cos (60 t ) )+C

C=2536e500tQ−e500t (25 sen (60 t )−3 cos (60 t )) Q (0)=0

C=2536e500∗0∗0−e500∗0 (25 sen (60∗0 )−3 cos (60∗0 ) )

C=−22

Q=e500t ( 25 sen (60 t )−3 cos (60 t ) )−22

2536 e500 t

9.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 2t F, la batería suministra un voltaje de t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 2C.dQdt

+2tQ=t

u (t )=e∫2 tdt=e t2

e t2 dQdt

+2 t et2

Q=t e t2

ddt

[e t2

∗Q ]=t et2

d [e t2

∗Q ]=t et2

dt

∫ d [et2

∗Q ]=∫ t e t2

dt

e t2

∗Q=12e t

2

+C1

Q= et2+C2e t

2

2e t2

Q=e t2

+C

C=2e t2

Q−e t2

Q (0)=2C=2e02

2−e02

C=3

Q= et2+3

2et2

10. Un circuito en el cual la resistencia es de (t 2+25), la capacitancia es de t F, la batería suministra un voltaje de t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 0C.

(t 2+25) dQdt

+ tQ=t

dQdt

+ t

(t2+25)Q= t

(t2+25)

u (t )=e∫ t

(t 2+25)dt

=e ln ∨(t2+25)12∨¿=√(t 2+25)¿

√(t 2+25) dQdt

+√(t 2+25) t

(t 2+25)Q=√(t 2+25) t

(t 2+25)

ddt

[√(t 2+25)∗Q ]= t

√( t2+25)

d [√(t 2+25)∗Q ]= t

√( t2+25)dt

∫ d [√( t2+25)∗Q ]=∫ t

√(t 2+25)dt

√(t 2+25)∗Q=12

√(t2+25)+C1

Q=√(t 2+25)+C

2√( t2+25)

2√(t 2+25)Q=√(t2+25)+C

C=2√(t 2+25)Q−√(t2+25) Q (0)=0

C=2√(02+25)0−√(02+25)

C=−5

Q=√(t 2+25)−5

2√(t 2+25)

11.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 1/t F, la batería suministra un voltaje de 5 t+8t 2. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C.dQdt

+ 1tQ=5 t+8 t 2

u (t )=e∫ 1tdt=eln ∨t∨¿=t ¿

tdQdt

+Q=5 t 2+8 t3

ddt

[ t∗Q ]=5t 2+8 t 3

d [ t∗Q ]=(5 t 2+8 t3)dt

∫ d [t∗Q ]=∫(5t 2+8 t3)dt

t∗Q=53t3+ 8

4t 4+C1

Q=53t2+2 t3+C

t

Q=5 t 2+6 t 3+C3t

C=3 tQ−5 t2−6 t3 Q (1)=0

C=3∗1∗0−5¿12−6¿13

C=−11

Q=53t2+2 t3−11

t

12.Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4tF, la batería suministra un voltaje de 20t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 3C.

tdQdt

+4 tQ=20 t

dQdt

+4Q=20

u (t )=e∫4 dt=e4 t

e4 t dQdt

+e4 t tQ=e4 t20

ddt

[e4 t∗Q ]=e4 t20

d [e4 t∗Q ]=e4 t20dt

∫ d [e4 t∗Q ]=20∫ e4 tdt

e4 t∗Q=2014e4 t+C1

Q=5e4 t+Ce4 t

e4 tQ=5e4 t+C

C=e4 tQ−5e4 t Q (0)=3

C=e4∗0∗3−5e4∗0

C=−2

Q=5e4 t−2e4 t

13.Un circuito en el cual la resistencia es de 1, la capacitancia es de 5 F, la batería suministra un voltaje constante de 20V. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 1C.dQdt

+5Q=20

u (t )=e∫5dt=e5 t

e5 t dQdt

+e5 tQ=20 e5 t

ddt

[e5 t∗Q ]=20e5 t

d [e5 t∗Q ]=20e5 tdt

∫ d [e5 t∗Q ]=20∫ e5 tdt

e5 t∗Q=20e5 t

5+C1

Q= 4e5t+Ce5t

e5 tQ=4e5 t+C

C=e5 tQ−4e5 t Q (0) = 1C

C=e5∗0∗1−4 e5∗0

C=−3

Q= 4e5t−3e5 t

14.Un circuito en el cual la resistencia es de t 2, la capacitancia es de tF, la batería suministra un voltaje constante de 1. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 5C.

t 2dQdt

+ tQ=1

dQdt

+ 1tQ= 1

t 2

u (t )=e∫ 1tdt=eln|t|=t

tdQdt

+Q=1t

ddt

[ t∗Q ]=1t

d [ t∗Q ]=1tdt

∫ d [t∗Q ]=∫ 1tdt

t∗Q=ln ( t)+C1

Q=ln (t)+C

t

tQ=ln (t)+C

C=tQ−ln (t) Q (1)=5C=1∗5−ln (1)C=5

Q=ln (t)+5t

15. Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4tF, la batería suministra un voltaje de 20t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (0) = 3C.

tdQdt

+4 tQ=20 t

dQdt

+4Q=20

u (t )=e∫4 dt=e4 t

e4 t dQdt

+e4 t tQ=e4 t20

ddt

[e4 t∗Q ]=e4 t20

d [e4 t∗Q ]=e4 t20dt

∫ d [e4 t∗Q ]=20∫ e4 tdt

e4 t∗Q=2014e4 t+C1

Q=5e4 t+Ce4 t

e4 tQ=5e4 t+CC=e4 tQ−5e4 t Q (0)=3C=e4∗0∗3−5e4∗0

C=−2

Q=5e4 t−2e4 t

16.Un circuito en el cual la resistencia es de t, la capacitancia es de 4 F, la batería suministra un voltaje de t 3−t. Determinar la ecuación dada la carga inicial es de Q (1) = 0C.

tdQdt

+4Q=t 3−t

dQdt

+ 4tQ=t2−1

u (t )=e∫ 4tdt=e ln ∨t4∨¿=t4¿

t 4dQdt

+t 4Q=t 4( t¿¿2−1)¿

ddt

[ t 4∗Q ]=t 6−t 4

d [ t 4∗Q ]=t6−t 4dt∫ d [t 4∗Q ]=∫ t 6−t 4dtt 4∗Q= t

7

7− t

4

4+C1

Q= 4 t7−7 t 4+C2 8 t4

2 8 t 4Q=4 t 7−7 t 7+CC=2 8 t 4Q−4 t 7+7 t 7 Q (1)=0C=2 8∗14∗0−4∗17+7∗17

C=3

Q= 4 t7−7 t 4+32 8 t 4

17. R=2 C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t

Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

18. Se aplica una fuerza electromotriz de 60 volts a un circuito LR en serie en el que lainductancia es 5 henries y la resistencia es de 10 ohms. Calcule la corriente i(t) si i(0)=0.

19. Una fuerza electromotriz de 120 volts se aplica a un circuito LR en serie en el que lainductancia es de 20 henries y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t) sii(0)=0

20. Una batería de 12volts, se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia es 0,5henry y la resistencia es 10 ohms. Determine la corriente i si i(0)=0

CONCLUSIONES

Definimos y encontramos la representación mediante ecuaciones diferenciales del circuito serie RL y RC.

Aplicamos la ley de Kirchhoff para la solución de este tipo de circuitos.

La ley de Ohm es de gran importancia para los circuitos eléctricos. Determinamos mediante E.D. el comportamiento de este tipo de

circuitos Las características físicas de un sistema no varían con el tiempo; es

el fundamento en el que se basan las teorías de a electrostática y la magnetostática.

BIBLIOGRAFÍA:

Dennis Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, novena edición, Cengage learning

Kent Nagle - Edward Saff - Arthur David, Ecuaciones Diferenciales, Cuarta Edición

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/pdf/ cap6.pdf

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/ transitorio.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Estado_estacionario