1.9 ECUACIONES DIFERENCIALES (1.9_CvR_T_061, Revisión: 4-10-06, C11, C12, C13)

1.9.1. INTRODUCCIÓN

- Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales. - Clasificación:

• Ordinarias (EDO) → 1 variable independiente

EDO d 2y(x)dx 2 + y(x) = 0 ó ′ ′ y + y = 0 (se puede ignorar el argumento)

• Parciales (EDP) → 2 o más variable independientes ∂2V (x, y)

∂x 2 +∂2V (x, y)

∂y 2 = 0 o bien Vxx + Vyy = 0 Subíndices indican derivadas

parciales.

• Orden: una ED es de orden n si tiene derivadas de orden n pero no de orden >n ′ y + y 3 = 0 orden = 1

txx yy = orden = 2

y"+ ′ y ( )3 = 0 orden = 2

• Operadores lineales - Un operador L es lineal si L α f (x) + βg(x)( )= αLf (x) + βLg(x) , α, β números

reales - Las derivadas son operadores lineales que mapean una función en otra

dsenxdx

= cos x

n

n

dxd es lineal pues dn

dx n α f (x) + β g(x)( )= α dn f (x)dx n + β dng(x)

dx n

02" ==+∴ Lyyy donde 22

2

+≡dxdL es lineal

Lyyy ==+ 0" 2 es no-lineal En este curso estudiaremos:

EDO 1er. Orden lineales & no-lineales EDO orden >1 lineales.

- Ecuaciones homogéneas/no-homogéneas Ly = 0 homogénea ′ y + seny = 0

Ly = f(x) no-homogénea ′ ′ y + 2y = x 3

- Clases de funciones Clase Cn: función continua con n derivadas continuas C o C0: función continua C∞: función con un número ∞ de derivadas

64

1

H(x- x0)

x0

función discontinua

(x- x0) H(x- x0)

x0

clase C0: función continua

(x- x0)2 H(x- x0)

x0

función continua con derivada continua

clase C1: clase C∞: senx, x3. Recordemos también que las funciones con todas sus derivadas admiten series de Taylor.

- Solución de una ecuación diferencial:

• La solución de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, la cual está libre de derivadas y satisface la ecuación diferencial.

• La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una que tiene n constantes arbitrarias. Representa una familia de curvas con n parámetros.

• Una solución particular tiene valores asignados para las constantes.

• Una solución singular es una solución que no se puede obtener a partir de la solución general especificando valores para las constantes arbitrarias.

y = x2 + C1x + C2 es la solución general de y” = 2

y = x2 + 3x –2 es una solución particular de y” = 2 Para un operador lineal es común denominar solución particular al caso en donde las constantes son iguales a cero, i.e. y = x2 para y” = 2. En este caso a y = C1x + C2 se le llama solución complementaria. La solución completa es entonces y = yc + yp en donde Lyc = 0, Lyp = f(x).

Ejemplo: La solución general de y = x ′y − ′y( )2 es y = Cx − C 2 , y =x 2

4 es una solución

singular.

65

- Problemas con condiciones iniciales (CI) o con condiciones de frontera (CF). Para una EDO de orden n se pueden especificar n condiciones que involucren a la función y sus n-1 derivadas.

• Si las n condiciones especifican la función y sus n-1 derivadas en un punto, entonces se tiene un problema con condiciones iniciales (CI).

• Si las n condiciones se especifican en 2 puntos (frontera de dominio), se tiene un problema con condiciones de frontera (CF).

Nota: Existencia y unicidad se demuestran para el problema con CI (el problema con CF puede no tener una solución única).

Ejemplos:

y” = 2 , con y(0)= 0, x ∈ 0,1[ ] ′y (0)= 1 es un problema con CI. y” = 2 , con y(0)= 0, y(1)= 2 en un problema con CF. [ 1,0∈x ] - Para cada familia de curvas con n parámetros se puede generar una ecuación

diferencial de orden n en donde no aparecen los parámetros. Ejemplo 1: y = c1 ex + c2x

Derivando = c′y 1 ex +c2 ⇒ c2 = ′y - c1 ex

∴ y = c1 ex + x ( - c′y 1 ex) = c1 ex (1-x) + x ′y Derivando de nuevo / ′ y = c1(e

x (−1) + ex (/ 1 − x)) + xy"+ / ′ y "" 11 yecyxexc xx =⇒/=/

(1− x)y"+x ′ y − y = 0 y = ′ ′ y (1− x) + x ′ y ⇒ Ejemplo 2: y = cx – c2

= c ⇒ ′y

y = x -( )′y ′y 2

66

1.9.2Hv1 Resumen EDO 1er orden Referencia M.R. Spiegel, Matemáticas avanzadas para Ingeniería & Ciencias, Serie McGraw-Hill. pgs. 50-52, México, 2001.

Ecuación diferencial Solución general

(o método con el cual se puede obtener)

1.- Ecuación lineal

dydx

+ M x( )y = N x( )

Un factor de integración está dado por

µ = eM x( )∫ dx

y la ecuación se escribe entonces como ddx

µ y( )= µN

con la solución o µ y = µNdx + c∫ye

Mdx∫ = NeMdx∫∫ dx + c

2.- Separación de variables

f1 x( )g1 y( )dx + f2 x( )g2 y( )dy = 0

Dividir entre g1 y( ) f2 x( )≠ 0 e integrar para obtener

f1 x( )f2 x( )∫ dx +

g2 y( )g1 y( )dy = c∫

3.- Ecuación homogénea

dydx

= F yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sea y x = υ o y = υx, y la ecuación se vuelve

υ + x dυdx

= F υ( ) o F υ( )− v( )dx − xdυ = 0

la cual es de tipo 2 cuya solución es

ln x =dv

F υ( )− υ∫ + c

donde υ = y x . Si F υ( )= υ, la solución es y = cx. 4.- Ecuación exacta

P x, y( )dx + Q x, y( )dy = 0

donde

∂P∂y

=∂Q∂x

La ecuación se puede escribir como

Pdx + Qdy = dφ x, y( )= 0 donde dφ es una diferencial exacta. Por lo tanto la solución es φ x, y( )= c o de manera equivalente

P∂x∫ + Q −∂∂y

P∂x∫⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ dy = c

donde ∂x indica que la integración se debe realizar con respecto a x con y constante.

67

5.- Factor de integración

M x, y( )dx + N x, y( )dy = 0

donde

∂M∂y

≠∂N∂x

La ecuación se escribe como una ecuación diferencial exacta

µ Mdx + µNdy = 0 donde µ es un factor de integración apropiado de modo que

∂∂y

µ M( )=∂∂x

µN( )

y por lo tanto el método 2 es válido. Las siguientes combinaciones con frecuencia son útiles para determinar los factores de integración.

(a) xdy − ydxx2 = d y

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(b) xdy − ydzx2 = d x

y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(c) xdy − ydxx2 + y2 = d tan−1 y

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(d) xdy − ydxx2 − y2 =

12

d ln x − yx + y

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

(e) xdx + ydyx2 + y2 =

12

d ln x2 + y2( ){ }

6.- Ecuación Bernoulli

dydx

+ M x( )y = N x( )yn , n ≠ 0,1

Sea ; la ecuación se reduce al tipo 1 con la solución

v = y1−n

υd1−n( ) Mdx∫ = 1− n( ) Ne

1−n( ) Mdx∫∫ dx + c Si n = 0 , la ecuación es de tipo 1. Si , es del tipo 2 (ó tipo 1 también).

n = 1

7.- Ecuación de Clairaut

y = px + F p( ) donde p = ′y

La ecuación tiene la solución:

y = cx + F c( ) La ecuación también tendrá una solución singular en general.

8.- Ecuaciones varias

(a) dydx

= F α x + β y( )

(b)

dydx

= Fα1x + β1 y + γ 1

α2x + β2 y + γ 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

(a) Con αx + β y = υ, la ecuación se reduce al tipo 2.(b) Sea x = u + h, y = v + k y elija las constantes h y k de modo que la ecuación se reduzca al tipo 3. Esto es posible si y sólo si α1 α2 ≠ β1 β2 . Si α1 α2 = β1 β2 , la ecuación se reduce al tipo 8(a).

68

1.9.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES DE PRIMER ORDEN.

1.9.2.1 Ecuación lineal: ′ y + M(x)y = N(x)

Ver 1.9.2.5 )( dxeNceyMdxdxM ∫+∫=⇒ ∫

−

Notas

1) es la solución complementaria (caso homogéneo) ∫=− Mdx

c cey

2) es la solución particular (caso no-homogéneo) dxNeeyMdxMdx

p ∫ ∫∫=−

3) Para cualquier EDO lineal (cualquier orden) se puede encontrar la solución complementaria y después la particular. y=yc+yp

1.9.2.2 Separación de variables. ′ y = f (x,y) = g(x)h(y)

cdxxgyh

dydxxgyh

dy+=⇒= ∫∫ )(

)()(

)(

1.9.2.3 Ecuación homogénea de grado cero. Definición: Una función f(x,y) es homogénea de grado m si ),(),( yxfyxf mλλλ =Ejemplos:

( )

2 2

sen( , )

yx y xf x y

x y

+=

+ es homogénea de grado 0.

( , )f x y xy= es homogénea de grado 2. 2( , )f x y x y= + no es homogénea.

Si y’=f(x,y), y si f(x,y) es homogénea grado 0, entonces: Homogénea grado 0 → f (λx,λy) = f (x,y)

Haciendo: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=

xyfyxf

x,1),(1λ , podemos obtener ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyFyxf ),(

Consideramos el cambio de variable v =yx

, o bien y = xv

y’=xv’+v

xv’+v=F(v) ⇒ x

dxvvF

dv=

−)(

Con esto, la ecuación transformada es separable y entonces dvF(v) − v∫ =

dxx∫ + c

69

1.9.2.4 Diferenciales exactos. P(x,y)dx + Q(x,y) dy = 0 (*) Si Py = Qx

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = dφ = 0 ⇒ φ=c Nótese que si φ = φ (x,y) dφ = φx dx + φy dy

φx = P, φy = Q

( ) ( )yP x f y Q P x f yy

φ φ ∂ ′= ∂ + ⇒ = = ∂ +∂∫ ∫

Integramos con respecto a x, despejamos para ′ f (y) e integramos.

1.9.2.5 Factores de integración. Si multiplicamos (*) por xy QP ≠ µ 0=+ QdyPdx µµ y buscamos diferenciales exactos.

(µP)y = µPy + µyP = (µQ)x = µQx + µxQ (i) Supongamos que 0)( =⇒= yx µµµ

( )f ( )y x

x

P Qx

Qµ µ

−= =

∴Si f ( )y xP Qx

Q−

= entonces muestra suposición es congruente

y por tanto podemos encontrar µ y la ecuación es un diferencial exacto

QQP xyx −

=µµ

Ln ( )y xP Q

dxy x QP Qdx x e

Qµ µ

−∫−

= ⇒ =∫

(ii) Supongamos que 0)( =⇒= xy µµµ

f ( )y xy

P Qy

Pµ µ

−= − =

Si P

QP xy − es función de y ⇒ µ(y) = e

−Py −Qx

P∫ dy

Ejemplo: Consideremos la ecuación lineal en su forma general ′ y + M(x)y = N(x) (M(x)y – N(x))dx + dy = 0 P = M(x)y – N(x) Q = 1 Py = M(x) Qx = 0

70

Sólo cuando M(x) ≡0 el diferencial es exacto (en este caso ). ( ) , ( )y N x y N x dx′ = = ∫ Si M(x) ≠ 0 Py ≠ Qx

buscamos que ( )y xP Qf x

Q−

= o ( )y xP Qf y

P−

=

1

)(xMQ

QP xy =−

si es función de x

dxM

ex ∫=∴ )(µ es el factor de integración

( )y

x

Mdx Mdxe My N dx e dy

φφ

∫ ∫− + = 0 es un diferencial exacto.

)(xfyeeMdxMdx

y +∫=⇒∫= φφ

φx = ye Mdx∫ M + ′ f (x) = e Mdx∫ My − N( )

′ f (x) = −Ne Mdx∫ f (x) = − Ne Mdx∫∫ dx

− Mdx∫ Mdx∫⎛ ⎜ ⎞ ⎟

cdxNeyeMdxMdx

=∫−∫= ∫φ

y

y = e c + Ne dx∫⎝ ⎠

pc yy +=

71

1.9.3 EJEMPLOS DE PRIMER ORDEN.

Ejemplo 1. Lnk y xyx

′ = ⇒ ecuación de variables separables

Lndy xky x

= dx , integrando ambos lados: 2Ln Ln (Ln )2u

du

dy dx ky k x c x cy x

= = + =∫ ∫ +

( )2Ln

2ek x

y D=

Ejemplo 2. ′ y =2y − xy − 2x

⇒ función homogénea de grado 0

Cambio de variable: y vx y v xv′ ′= = +

v + x ′ v =2v/ x − / x v/ x − 2 / x

=2v −1v − 2

x ′ v =2v −1v − 2

− v =2v −1− v 2 + 2v

v − 2= −

v 2 − 4v +1v − 2

Tenemos ahora una ecuación de variables separables: 2

24 1

dx v dvx v v

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Cambio de variable: 2 4 1, (2 4) 2( 2)u v v du v dv v dv= − + = − = −21 1Ln( ) Ln( 4 1) Ln

2 2u v v x⎡ ⎤⇒ = − + = −⎣ ⎦ C+

Aplicando propiedades de logaritmos: 2 2Ln ( 4 1)x v v C− + = 2

2 2 22( 4 1) 4 1y yx v v D x

x x⎛ ⎞

⎟− + = = − +⎜⎝ ⎠

2 24 0y xy x D⇒ − + − = ← elipses

y =4x ± 16x 2 − 4(x 2 − D)

2= 2x ± 3x 2 + E

Se tiene que verificar cual de las 2 raíces cumple con la ecuación diferencial; en este caso ambas raíces.

Ejemplo 3. 2

2 3 , (1)4

xy yy y

−′ = =+ +

2

dxxdyyy )32()4( 2 −=++

y3

3+

y2

2+ 4y = x2 − 3x + c

3

4438123182

38

=+=⇒+−=++ cc

0881862432 223 =−+−++ xxyyy

72

Ejemplo 4. 3 0, 3 dyydx dy dxy

+ = + = 0

33 ln , e x Cx y C y − ++ = = , 3e xy D −= Ejemplo 5. ( ) 0 1,e y ydx x dy P Q x e− −+ − = ⇒ = = −

P Q0, 1y x = =Para encontrar el factor de integración:

1 ( ) (1) , ey x yy

P Qf y

Pµ µ µ

−− = = ⇒ = =

( 1)e ey ydx x dy 0∴ + − = es un diferencial exacto.

( ) , ( ) 1, ( ) 1, ( )e e e ey y y y

x yx f y x f y x f y f y yφ φ φ ′ ′= ⇒ = + = + = − = − = −

eyx y c− =

73

1.9.4 SOLUCIONES SINGULARES. Si en una familia de curvas que sea solución de una ED existe una envolvente, entonces ésta es una solución singular para la ED. Ejemplo: Familia de soluciones

φ(x,y,c) = 0

c+∆c

Familia de soluciones No hay solución singular envolvente ≡ solución singular Sea φ(x,y,c) = 0 la solución general, entonces podemos encontrar la solución singular utilizando las coordenadas del punto de intersección entre dos curvas adyacentes, i.e.:

0),,(),,(0),,(

0),,(

=∆

−∆+=∆+

=

ccyxccyx

ccyxcyx

φφφφ

c Solución singular: Supongamos que: y=

φ(x,y,c) = y − cx + c

∴ y −

φc (x, y,c) = 0

y =x 2

4

cx-c2

2 = 0, cxcxcyxc 202),,( =⇒=+−=φ , ⇒ c =x2

x 2

2+

x 2

4= y −

x 2

4= 0 ⇒ y =

x 2

4 (Solución singular)

74

1.9.5 ECUACIONES ESPECIALES. Ecuación de Ricatti: ′ y = a1(x) + a2(x)y + a3(x)y 2 (*)

Si Y(x) es una solución particular de (*), entonces la transformación v =1

y −Y resulta en

una ecuación lineal.

⇒ y = Y +1v

, ′ y = ′ Y −′ v

v 2

Sustituyendo en (*): ′ Y −′ v

v 2 = a1 + a2 Y +1v

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ + a3 Y 2 +

2Yv

+1v 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2 21 2 3 32 2

1 2 00

av YY a a Y a Y av v v v

′ ⎛ ⎞′ − − − − − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

′v + a2 + 2a3Y( )v = −a3Multiplicando por –v2 obtenemos la ecuación lineal:

Otras ecuaciones especiales de interés:

Bernoulli: ′ y + M(x)y = N(x)yn

d’Alambert-Lagrange: y = xf (p) + g(p) p ≡ y

Clairaut: )( pgxpy +=

Cuasi-homogénea: dydx

=ax + by + cdx + ey + f

Tx

′y = f (αx + βy + c)

1.9.6 CONVERSIÓN DE UNA ECUACIÓN DE ORDPRIMER ORDEN. Una ecuación de orden n se puede convertir a ucomponentes cuando se define la función y sus n-1 de Ejemplo 1. y”+y=0 Para construir el sistema definimos:

yy ≡1

′ y2 ≡ ′ y = y1

Nótese que: , o equivalentemey"+y = 0 ⇒ y2′ + y1 = 0

75

problema 1.9.7

′ (se eliminó de la tarea)

problema 1.9.8

x = u + hy = v + k

(método 8b)

problema 1.9.2

EN n A UN SISTEMA DE

n sistema de primer orden con n rivadas como los n componentes.

nte: ⎜ y1

y2

⎛

⎝

⎞

⎠ ⎟ ′=

y2

−y1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⇒ ′ y = f(y)

Ejemplo 2. 2 sen cosx t x x t+ + = , con condiciones: (0) 1, (0) 2, (0) 1x x x= = = −

3

Definimos:

1 2 1 3 2 1, , ,x x x x x x x x x x x≡ ≡ = ≡ = = =

1 2 1

2 3 2

23 33 1

(0) 1, (0) (0) 2

1(0)cos

( , ) , (0)

x x xx x xx xt x senx t

t

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ≡⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=

−− − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= =

x

x f x x c

Para que un sistema sea autónomo no debe existir dependencia explícita de la variable

independiente; en este caso podemos definir tx ≡4 con 4 1, (0) 0dtx tdt

= = = . De esta

forma el sistema se convierte en:

121

232

323 4 3 1 4

44

(0) 1(0)( , ) 2

, , (0)(0)(0) 1

cos0(0)

1

xxx

xtxx

xx x x senx x

xx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x f xx

x c=

1.9.7 EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA EL PROBLEMA CON VALOR INICIAL DE UNA ECUACIÓN (O SISTEMA AUTÓNOMO) DE 1ER. ORDEN: SOLUCIONES ANALÍTICAS APROXIMADAS.

1.9.7.1 Existencia y unicidad. Definición. F(y) cumple con la condición Lipschitz en y ∈ t0,t1[ ] si ∃ C ∋ [ ]1 2 1 2 1 2 0( ) ( ) , 1F y F y C y y y y t t− ≤ − ∀ ∈ (1) Notas: 1) Si ′ F (y) ≤ C F cumple con (1) 2) (1) representa un caso más general incluye F(y) = y Teorema 1. Existencia y unicidad para EDO de 1er Orden. Considerando ′ y = f (x,y) y(a) = b (2) Supongamos que (i) (3) f (x,y) ∈ C0(D) ⇒ f (x, y) ≤ M en D (4)

76

(ii) f cumple con la condición Lipschitz en y f (x,y1) − f (x,y2) ≤ C y2 − y1 C ≠ C(x) (5)

para la parte sombreada del rectángulo x − a ≤ h y − b ≤ k ∋ Mh < k (6)

Entonces, la solución existe y es única.

Demostración:

(2)

(7) ⇒ y(x) = b + f (ξ, y(ξ))dξa

x

∫

b

b+k

b-k

a-h a+h a

D

y

x

Construimos aproximaciones

(8) y0 (x) = b

yn (x) = b + f ξ, yn−1(ξ)( )dξa

x

∫ n = 1,2,..

y demostramos que cuando yyn → ∞→n . Consideremos

s(x) = y0(x) + y1(x) − y0(x)[ ]+ y2(x) − y1(x)[ ]+ ... (9) Nótese que

)()( xyxs nn =Ahora bien

y1(x) − y0 (x) = f ξ, y0 (ξ)( )dξa

x

∫ ≤ M x − a ≤ Mh

y2 (x) − y1(x) = f ξ, y1(ξ)( )− f ξ, y0 (ξ)( ){ }dξa

x

∫

≤ C y1(ξ) − y0 (ξ) dξa

x

∫ ≤ CM ξ − a dξa

x

∫

≤ C Mx − a 2

2≤ M Ch 2

2

yn (x) − yn−1(x) ≤ M Cn−1hn

n! (10)

)(xs∴ está dominada por la convergencia de )(xs∴

b + Mh + M Ch 2

2!+ ...+ M Cn−1hn

n!+ ...

la serie converge uniformemente ⇒ yn → y n → ∞

77

Si converge uniformemente para cada ε > 0 ∃ N(ε) ∋ yn (x) − y ≤εC

n > N

Puesto que

f x,yn (x)( )− f x,y(x)( ) ≤ C yn (x) − y(x) <CεC

= ε

para n > N ∀x en x − a ≤ h ∴ f x,yn (x)( )→ f x,y(x)( ) uniformemente

y(x) = limn→∞

yn (x) = b + limn→∞

f ξ, yn−1(ξ)( )dξa

x

∫

…...............................(11) = b + limn→∞

f ξ, yn−1(ξ)( )dξa

x

∫ = b + f ξ, y(ξ)( )dξ

z

x

∫ Además ( )(, )ξξ yf es una función continua de ξ ⇒ ′ y (x) = f (x, y)

Nótese que y(x) − b = f ξ, y(ξ)( )dξa

x

∫ ≤ M x − a <kh

x − a

y(x) − b < k ⇒ parte sombreada del rectángulo Finalmente, se puede ver que la solución es única pues si y = Y(x) es otra solución tenemos que

Y (x) − y(x) ≤ 2k (12)

Y (x) − y(x) = f ξ,Y (ξ)( )− f ξ, y(ξ)( ){ }dξa

x

∫

≤ C Y (ξ) − y(ξ) dξa

x

∫ (13)

∴ Y (x) − y(x) ≤ 2kC x − a (14) Si utilizamos el nuevo acotamiento (14) en (13)

⇒ Y (x) − y(x) ≤ 2kC2 x − a 2

2 (15)

repetimos

Y (x) − y(x) ≤ 2kC 2 x − a n

n!≤ 2k (Ch)n

n! (16)

pero (Ch)n

n!→ 0 cuando ∞→n ∴Y(x) = y(x)

y la solución es única. Teorema 2.- sea D un entorno de c en n dimensiones x − c ≤ k (17) Suponemos que (i) f (18) (x) ∈ C0(D) → ∃ M ∋ f(x) < M (19)

78

(1) f cumple con la condición Lipschitz, esto es f(x2) − f(x1) ≤ C x2 − x1 (20) Si Mh<k El sistema (autónomo) n-dimensional (21) ( ) (0)=x f x x c=tiene una solución única en D para ht ≤≤0 Esto es donde ( ) lim ( )jj

t→∞

=x x t

(22) x0 (t) = c

x j (t) = c + f(x j −1(τ ))dτ0

t

∫ j = 1,2,...

Notas: Estas demostraciones son constructivas y (8) y (22) se pueden utilizar para obtener aproximaciones a las soluciones exactas.

1.9.7.2 Soluciones aproximadas. Ejemplo 1. ′ y = 2y y(0) =1 10 =y

y1 =1+ 20

x

∫ (1)dξ =1+ 2x

2

02 221)21(21 xxdy

x

++=++= ∫ ξξ

32

0

23 3

4221)221(21 xxxdyx

+++=+++= ∫ ξξξ

′ y = 2y ⇒ d yy

= 2dx ln y = 2x + c

⇒ y = Ae2x y(0) = A =1⇒ y = e2x

y = e2x =1+ 2x +(2x)2

2!+

(2x)3

3!+

(2x)4

4!+ ...

y =1+ 2x + 2x 2 +43

x 3 +23

x 4 + ...

Ejemplo 2. Solución para la ecuación de segundo orden:

0sen sen , (0) 3, (0) 1x k x F t x xω+ = = = Podemos transformarla a un sistema de ecuaciones de orden 2 con las siguientes transformaciones:

79

1 2 3, ,x x x x x t= = = En forma matricial:

1 2

2 1 0 3

3

3sen sen , 1

1 0

x xx k x F xx

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

x c⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

t

La solución aproximada del sistema es:

0

0 10

0

1

3 3 31 , 1 ( sen 3 0) 1 ( sen 3)0 0

1

t

t

t

d

tk d k

t

d

τ

τ

τ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

∫

x c x ,

[ ]2

0

2 00

0

1 ( sen 3) ( sen 3)3 21 ( sen(3 ) sen ) ....0

1

t

t

t

tk d t k

k F dt

d

τ τ

τ ωτ τ

τ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + − + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫∫

∫

x

1.9.8 TEOREMAS SOBRE EL SISTEMA LINEAL. Consideramos ahora la ecuación lineal de orden n Ly = r(x) y, ′ y ,...,y(n−1) dadas en alguna x, [ ]bax ,∈ (1)

10 1( ) ( ) ... ( ), n n

ndL p x D p x D p x Ddx

−= + + + ≡ (2)

con para que el orden sea n. 0)(0 ≠xpSabemos que la ecuación tiene una solución única (lo escribimos como un sistema de n+1 variables). Teorema 1. Para que un conjunto de funciones u1(x), …, un(x) (que tienen derivadas hasta orden n-1) sean LD (linealmente dependientes) en a ≤ x ≤ b es necesario que el Wronskiano, W (x) ≡ 0. W (x) = 0 (3)

80

W (x) ≡u1(x) u2(x)... un (x)′ u 1(x) ′ u 2(x)... ′ u n (x)

u1(n−1)(x) u2

(n−1)(x).. un(n−1)(x)

(4)

Teorema 2. Si u1,…,un(x) son las soluciones de una EDO lineal homogénea de orden n (Ly=0), es una condición necesaria y suficiente para {u0≡W 1,…un} sea LD. Teorema 3. El sistema (homogéneo) Ly=0 tiene exactamente n soluciones LI (linealmente independientes). Llamamos a las soluciones {u1(x), …, un(x)} el conjunto fundamental de soluciones. Si yp es una solución particular de Ly=r(x), entonces la solución general es: )()(...)(11 xyxucxucy pnn +++= (5) Además, las constantes c1,…cn se pueden usar para cumplir con las condiciones iniciales y(x0), y’(x0), ….,y(n-1)(x0). Esto es, el sistema

c1u1(x0) + ...+ cnun (x0) = y(x0) − xp (x0)c1 ′ u 1(x0) + ...cn ′ u n (x0) = ′ y (x0) − ′ y p (x0)

c1u(n−1)(x0) + ...cnu(n−1)(x0) = y(n−1)(x0) − yp

(n−1)(x0)

(6)

tiene solución única para pues c1,c2,...,cn{ } W (x) ≠ 0 1.9.9 EJEMPLOS DE ECUACIONES LINEALES DE ORDEN >1.

1.9.9.1 Coeficientes constantes, caso homogéneo. Ejemplo 1. ′′y − 9y = 0Propongamos la solución de la forma: e xy λ= . Derivando: 2, "e ex xy yλ λλ λ′ = = . Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos el polinomio característico: ( )2 29 0 9 0,e xλλ λ− = ⇒ − = = 3λ ±

Con las raíces del polinomio la solución es: . y = Ae3x + Be−3x

Recordando que: cosh senhex x x= + , cosh senhe x x x− = − , podemos escribir la solución como

y = (A + B)cosh 3x + (A − B)senh3x = C cosh 3x + Dsenh3x Ejemplo 2. ′′y + 9y = 0Procediendo de la misma manera que en el ejemplo anterior:

81

e xy λ= , 2" e xy λλ= 2 2( 9) 0, 9 0,e x iλλ λ+ = + = = +3λ , xixi BeAey 33 −+=Análogamente al caso anterior podemos utilizar: cos seneix x i x= + , cos sene ix x i x− = − . La solución puede escribirse entonces como:

( )cos3 ( )sen 3 cos3 sen3 sen(3 )y A B x i A B x C x D x E x φ= + + − = + = + Ejemplo 3. Consideremos ahora las condiciones de frontera para la siguiente ecuación 0, (0) ( ) 0y y y y π′′ + = = =

↓ ↓ y = Asenx + Bcos x 0)0( == By , y(x) = Asenx , 0)( =πy . seny A x∴ = ⇒ La solución no es única para las CF.

1.9.9.2 Ecuación de Cauchy-Euler. Consideremos la ecuación x2 ′′y + x ′y − 9y = 0La solución de este tipo de ecuaciones puede encontrarse utilizando la transformación

, o equivalentemente, proponiendo una solución del tipo etx = y xα= . Derivando y sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos:

′y = αxα −1 , ′′y = α(α − 1)xα −2 ( ( 1) 9) 0xαα α α⇒ − + − =

(α 2 − α + α − 9)xα = 0 3±=⇒ α La solución es entonces: 3

3By Ax x= +

1.9.9.3 Raíces repetidas: variación de Parámetros. (Ver también 1.9.9.4, ejemplo 2).

Consideremos la ecuación: ′′y + 2 ′y + y = 0 Resolviendo: ( ) ( )22 2 1 0, 1e ex xy λ λλ λ λ= → + + = + = 0e xλ

En este caso, las raíces del polinomio característico se repiten, i.e.: 1,1 −−=λ xy Ae−∴ = es una solución. Para encontrar la otra solución, podemos utilizar el método de variación de parámetros. Consideremos que la constante de la solución es también función de x, i.e.:

( )e xy A x −= , , e ex xy A A− −′ ′= − 2e ex xy A A Ae x− − −′′ ′′ ′= − + Sustituyendo en la ecuación diferencial obtenemos:

82

′′A e− x + A e− x − 2 A e− x + A e− x = 0 0A′′ = ⇒ DxCA += , ( )e xy C Dx −∴ = +

De hecho, siempre que se tengan raíces repetidas es este tipo de ecuación, en la solución aparecerán factores de acuerdo a la multiplicidad de la raíz 1 0, ,...

multiplicidad

m mx x xm

−⇒

Ejemplo 1. Supongamos que el polinomio característico de la ecuación a resolver es λ2(λ − 2)(λ + 3)4 = 0

Las raíces son 0, 0, 2, 3, 3, 3, 3λ = + − − − − La solución de la ecuación será entonces: 2 2( )e ex xy A Bx C D Ex Fx Gx3 3−= + + + + + +

Ejemplo 2. x2 ′′y − x ′y + y = 0Ecuación de Cauchy-Euler: , , αxy = ′y = αxα −1 ′′y = α(α − 1)xα −2

0)1)1(( =+−−⇒ αααα x ← raíces repetidas. 2 22 1 ( 1) 0, 1,α α α α− + = − = = 1

∴= AxyUtilicemos variación de parámetros para encontrar la otra solución: y = A(x)x , ′y = A + ′A x ′′y = 2 ′A + ′′A x x2y"− x ′y + y = 2 ′A x2 + ′′A x3 − xA − ′A x2 + Ax = 0 ∴ se elimina A

⇒ x2 ( ′A + ′′A x) = 0 ⇒ ′′A x + ′A = 0

Para resolver esta ecuación definimos: , 0p A p A p x p′ ′ ′′ ′= = → + = (ecuación de 1er. orden).

dp dxp x

= − → integrando en ambos lados: Ln Lnp x c= − + Ln xp c→ =

Lnec Dp A A D x Ex x

′= = = ⇒ = + Lny Ex Dx x∴ = +

1.9.9.4 Ecuaciones diferenciales lineales no-homogéneas. Ejemplo 1. 2 2

( )

" eIV

f x

y y x− = − x Equivalente a )(xfLy =

Podemos ver esto como un sistema lineal y expresar la solución como la suma de la solución complementaria y la solución particular, i.e.:

pc yyy += , 0=cLy , )(xfLy p =

83

Solución complementaria: e xcy λ= , ( )4 2 0,e xλλ λ− = ( ) 0122 =−λλ

Las raíces del polinomio son: 1,1,0,0 −+=λ e ex x

cy A Bx C D −∴ = + + + Para encontrar yp analizamos f(x) por familias (método de coeficientes indeterminados) ⇒ familia incluye función y todas sus derivadas.

2 2

2 2

: , ,1( )

:e ex x

x familia x xf x

familia⎧ ⇒

= ⎨⇒⎩

Nota: senx tiene familia: senx, cosx Construimos yp de tal manera que las familias de f(x) no se confundan con las soluciones complementarias; se puede multiplicar cada familia por una potencia de x para que no coincidan con la solución complementaria. familia e2x → no se confunde familia {1, x, x2} se confunde con 1 y con x x2{1, x, x2} no se confunde 2 2( ) e x

py x E Fx Gx H 2∴ = + + +2

H

2

2− − + = −

2 32 3 4 2 e xpy Ex Fx Gx H′ = + + +

2 22 6 12 4 e xpy E Fx Gx H′′ = + + +

26 24 8 e xpy F Gx′′′ = + +

ypIV = 224 1 6 e xG H+

2 224 16 2 6 12 4e eIV x xp py y G H E Fx Gx H′′− = + − − − −

= − 2 2 224 2 6 12 12 e ex xG E Fx Gx H x

24 2 0, 6 0, 12 1 , 12 1G E F G H∴ − = = − = = −

Con esto obtenemos: 1 112 1, 0, ,12 12

E G F G H= = − = = − = −

2 4 21 112 12

xpy x x e∴ = − − − ← no contiene constantes arbitrarias

2 41 1

12 12e e ex x

c py y y A Bx c D x x−= + = + + + − − − 2x

Ejemplo 2. C La solución c

onsideremos la ecuación )(2 tfxx =+ ω

omplementaria es tBtAsenxc ωω cos+=

84

Puesto que f(t) no está especificada usamos variación de parámetros para encontrar la solución particular, i.e.: xp = A(t)senωt − B(t)cosωt cos sen sen cospx A t A t B t B tω ω ω ω ω= + − + ω Nótese que la ecuación diferencial no da una ecuación para A y B; podemos escoger entonces arbitrariamente una condición para no tener 2ª derivadas de A y B:

sen cos 0A t B tω ω⇒ + = ................................... (1) ∴ cos senpx A t B tω ω ω ω= −

2 2sen cos cos senpx A t A t B t B tω ω ω ω ω ω ω ω= − + − − 2 2 2 2sen cos cos sen ( sen cos )p px x A t A t B t B t A t B tω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω+ = − + − − + +

cos sen ( )A t B t f tω ω ω ω= − = ................................... (2) Utilizando (1) y (2) podemos escribir un sistema matricial para A, B:

sen cos 0cos sen ( )

t t At t fB

ω ωω ω ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 cossen cos

sen cos (sen ,cos )cos sen

tf t f tA

t t W tt t

ωω ω ω

ω ω tω ωω ω ω ω

− −= =

−

2 2(sen ,cos ) (sen cos ) 0W t t t tω ω ω ω ω ω= − + = − ≠

cosf tA ωω

=

0cos sen

sen tt f f tB

ωω ω ω

ω ω= = −

−

A =1ω

f (τ )cosωτdτ0

t

∫ B = −1ω

f (τ )senωτdτ0

t

∫

0 0

sen cos( ) cos ( )sent t

pt tx f d f dω ωτ ωτ τ τ ωτ τ

ω ω= −∫ ∫

=1

f (τ )(senωt cosωτ − cosωτ senωτ )dτt

∫ =1

f (τ )senω (t − τ )dτt

∫

ω 0 ω 0

x = xc + xp = Asenωt + Bcosωt +1ω

f (τ )senω(t − τ )dτ0

t

∫

85