1981-1 Pandeo de Paraboloides Con Cargas Uniformes en Cualquier Direcci_n

8/6/2019 1981-1 Pandeo de Paraboloides Con Cargas Uniformes en Cualquier Direcci_n

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pandeo de paraboloides hiperb61icoscon cargas uniformesen, cualquier direcci6n

sinopsisEstll articulo trata de la obtencion de 111c,,!rgll c.rrtica.~e psndeo en lmp,arabo'lo!de hiperhdlico con carges YniformE!sencuelquler direction siguiendo un cri-terie diferante III dll Raissnar. comun-manteamplaado haste ahora,Parsello, en vsz da partir da un slsternage naral, fwnciond a ten sianas y des.p" a -zemientos, sa utiliu! un coneepto dlstfn-to: aldel mfnimo da 'Ia anergfa potencialtotal. A.simlsmo serelacionan despl.ua-rnientos, y no .Bsf\ler;!os. a traves de laecuaci6n candnlca del paraboloids.La resoluci6n del sistema de,ecuaclonesrasultante rnedlanta programB de orde-nador permite senolar que los valores de'Reissner quedan del Iado daslavorable.a pesar da no habersltarnpl!ladoenastatrabajo al crlterlo de Ileeh"s, elm el:quase hubiesen obtenldc veteres de III cargacritiel! de pand:so, todevfa mas paqueflos.EI pertecclcnamtem del metodo par-mitlra en 01 f uturo arnpllar su campo d'soplicocion.

Felix ,Escrig, Dr. ArquitectoGonzalo Martin,. Arqultecto441-2

x'Figura 1.

E! paraboloide hiperb61ico puede consider:arse eng'endrado por ta traslecidn de una parabola pa-ralelam en te a. sf misma sabre otra de ccncavidad opuesta contenida en un plano perpendicular aaquella.Par ser perpendiculares y decurvatura cantraria,estas parabolas seran coordenadas curvilfneas. queadernas colncidiran can las direccianes principales si son las de maxima y mfnima curvatura.

Laecuaci6n de la superficie se deduce al considerar que un punta cualquiera dsbeestar contenidoen las dos f.amilias de parabolas, Entonces[ 1 ]

Donde aplicando las relaciones de la figura obtendrernos:Cl- - - - . = k la2 [2]

De un modo mas general hubieramos Uegado a la misrna ecuacion sustituvendo estes valorss enla ecuaci6n general de una cuadrica:

Info rmes de Ia Co ns l Iu eel On. n. 32.6

[3]

85


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zZy

ISustituyendo en [1J y operando, obtendremos la expresi6n:

z=- (~a ? 2c2 )-- sen2 aXYb f

A la forma [1 ] se la canacecomo expreslon canonica delparaboloide hiperbollco,Los paraboloides hiperb61icostienen una propiedad muy ca-racterfstica por la que puedentratarse como superficies reogladas, y es que en su super-ficie existen dos familias delineas, generatrices y directri-ces, que son rectas. Para en-contrarlas basta hacer un cam-bia de ejes mediante giro. Figura 2.

x=Xcosa. - Ysenpy=Xsena + Ysenp [4]z=Z

[5 ]

Los estudios de la estabilldad reaUzados hasta el momento en paraboloides hiperb6Jicos partende la expresi6n anterior y abarcan aspectos muy parciales, como son bordes rectos (figura 2) vcar-gas exclusivamerrts verticales. Para este caso y con bordes empotrados, Reissner (7) obtuvo unacarga crttica:

2E(he ) 2a1b1P cr= ~;::::==::;:'y 3 (1 - fl~ [6 J

que ha sido extensamente explotada en toda la literatura sabre eltema y que tan 5610se ha enri-quecido can casas de ortotropia.Ef procedimiento que utilize fue partir de un sistema general. funcion ~e tsnsiones V despfaza-mientos.

'ij'4 F = (/p.dx) ,vv + (/pv dy);xx- fl (P",x + pY'Y)++ Eh (2 z,xyw,.y+ w~xy - z ,x xw 'v v- z'vv W,xx- w , xx w . v JEh3----- 'ij'4W = p.+ (z,u +w,.,J F,vv+ (z 'v v+ w 'vv ) F,)()(-12 (1 -Ill)

- 2 ( z ' X y + w'X y ) F,xy- ({Z,.+ w.,J/p. dX),x-- ({ z,y + W ,y )/P ydv).y

en donde:

86

[ 7 J

(8]

lnlorrnes de la Conslruocl6n, n.' 326


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que incluve terminos de segundo orden y que perticularlzado para el case de paraboloide hiperb6Hcoz=c . . . ! 5Y . . _. a,b, p.=o [9 J'i/4F= Eh ( ... 2 c w.xy+ w,~- W ' ~ W ' ' I '/ )a , b ,

[ 1 0 ]

Con las condiciones de contorno:w= 0 w.,,= 0 para x= a x= a,N~=F . ' I ' / = 0 N y = Fm = 0 para x= Q x= a, [11]w=Q w.v=.Q para y=:.O v= b,Nx=:.F,yy=: 'O Ny=F,,,,,=Q paray=Ose resolvi6 sustituyendo w y F por series trigonometricas:w =:E wmriSe mnx. sen nrry

8, b,F .= :.:E F mnCOS mrrx cos nny8, b ,

[12]

en el que nos quedamos con un solo termlno.En todo 10 anterior. los subfndices xe y, precedidos de una coma,indi.can derivada parcial rsspectoa xo y tantas veces como sa repitan del valor al que subindican,Este procedimiento llevaba impl1citoel calculo de los autovalores del sistema.En este trabajo partirernos de un concepto distinto. AI plantear el mfnirno de la energfa potencialtotal V y utillzar la ecuaci6n can6nica del paraboloide hiperbolico, relacionando desplazamientos yno esfuerzos:V= Um+ Ub+fl. [13]donde Um.es la energ(a debida alas deformaciones enel plano de la lamina:

. E h J J ( 1 )m= 2 (1-1l e;+ e~'+ 2 ex 8y+ '21 -Ill e;v AB dx ~Y [14]U b es la energla debida a fJexiones:Eh3 - f f ( )~ :;:: .2 . ... .. k;+ k:+ 2 kxky+ 2 (1-11) k~. AB dx dy4 (1-",2) . (15]

n es el potencial dsbldo a los desplazarnientos de las fuerzas exteriores.[16J

De todoello:

In lormes do ta Conslruceli>n. n.." 3 2 . 6 87


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[17]Las ecuaciones de equilibria se obtendran de rninlrnizar esta funci6n:dV---=0du dV---=0dv dV---=0dw [18]

Partimos de las deformaciones en el plano media 9 y cambios de curvature de la superficie mediaproducidos par la flexion k , can terminos de segundo orden:2U ,x W'Xe x = - +------A 2 A2 k =-

[19] W'Wk =--Y B2 [20 ]v., u., w we = A _ + + - "" Y

x v A B ABW,xvkxv=- AB

en dond'e S9 han hscho las siquientes simpHficaciones:a) h /r 1,siend'o r el menor de los radios princlpalss de curvatura.b) Las deformaciones son pequefias ..c) E ! estado de deformacioneses aproximadamente plano, 10 que significa que las tensionescartantes transverseles y los esfuerzos normales a la superficie media pueden d'espreciarseen el conjunto de la energia de deforrnacion.d l Se desprecian los terrninos de orden superior al cuadratico.A Y B son los cosficientes de LameA= yx:;+y,;+Z,;B =. Vx'$+ Y,t+ Z ,? [21]que corresponds a unaexpresidn de la superiicieen forma parametrice:X= x (x,y) Y= Y (x,y) Z= Z(x,y) [22JPara el caso de un paraboloide en forma canonica (1):A = = V 1 + (2k,x)2B =- V ' + ( . 2 k 2 Y ) 2

[23]

Las ecuaciones de equilibrio no lineales son:

( _u,x + W.,~ + ~ ( . . . . : : ! . . ! : t _ + . w ' : ) ) + 1-!l (. U s ' . ! . + A V ' e x_ +A2 2A3 A B 2AS2 '. 2 W,xW'YAB2 [24]

[25J{l-j . . I ~E h

88 l li lmmes 'dB la Cons.lruocI6n. n.' 325


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[26J

.1 - ) . 1 . 2E h

La dificultad para resolver este sistema estriba en des razones fundamentales:1, 8 Existencia de derivadas parciales.2 ..8 Existencia de terminos cuadraticos ..La primers dificultad se obvia can el procedimiento de diferencias finitas, que sustituye derivadasparciales por un sistema mas complejo de ecuaciones, Uganda desplazamientos en puntas con-cretos de una malla rectangular de nudos que se superpone a Ia superticie en estudio ..La segunda, mediante el empleo de algun metoda iterativo como el que expresamos a continuacion,Puesto que 1 0 que buscamos es la carga de pandeo, es deck, la carga para la cual la estructura sehace inestable. a dicha carga podremos Ilegar por escalones sucesivos, incrementos por pasos,hasta totalizarla.Para et primer escalon resolveremos el sistema de ecuaciones anterior despreciando los terminoscuadraticos,Para el segundo paso, can la surna de cargas que corresponde a los escaiones, prirnero, y segundo,resolveremos de nuevo el sistema lineal pero no despreciando los terrninos cuadraticos, sino sus-tituvendolos por un valor que rasulta de introducir en silos los desplazamientos del paso prirnero,Can esto obtendremos un sistema de ecuaciones lineales en que los terrninos no lineales se sus-tituyen por un residua. Precisamente en esta sustituci6n de unos valores par los del escalon anteriorradica el error que cometernos, y este sera menor cuanto mas pequefios sean los escalones de carga.En el tercer paso se utitizaran las cargas que corresponden a! tercer escalon mas las anteriores,y los terminos no lineales resultaran de sustituir en elias los desplazamientos del paso segundo ..Asf sucesivarnente seguiremos hasta que la diferencia de desplazamientos entre dos ciclos suce-sivos sea relativamente grande, en cuyo caso consideraremos que Jaestructura deja de ser estable.Si en vez de buscar la carga de pandeo queremos determinar par este procedimiento los desplaza-mientos teniendoen cuenta terminos no lineales, podria seguirse el mismo proceso con esta cargaapticandola Integra en el primer paso con un incremento nulo en los sucesivos. De este modo nosacercamos a la soluei6n exacta tanto como queramos aumentando ef rulrnaro de pasos.

Las ecuaciones de equilibrio quedan entonces:u"x+ 1 -).I. 1 +)1 1 - )12 Px+ w,~w,~ +, y y + V,ry+A2 282 2AB E h A3 [27]+ W,~W,~y+ 1-p2AB2

Inf ormas de la Const rucol 60. n,' 326 89


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. : : ! . . : : t t . . . . . , +.1-1l 1+g 1-1l22. :z v,~.+ 2 . u'''''+Eh Pu+B 2A - AS~' ,

+ 1 : + II2 A 2 J 3 1-p2 A 2 e W,yW,~= 0,~w,~+W 'y W , t t .+B3

_ (. v,t+~U...~.).WO .. (1-1l2J p~+ (l-Il2J P Y = oB3 AS2 "fY EhA EhB

[28]

[29]

En donde el' superrndlcs o indica queestos terminos no son variables, sino valores que correspon-den a los obtenidos en e( paso anterior.Estas rnisrnas ecuaclones puestas en diferencias finitascon los opera.dores queen esta teodaseeplican, resuttan:

a2 u

b2I b1 - 2bl-2b2 b1 l

b2V

90

-a/4+

a.:/4 -aJ4 v[30]

-bJ4 b:l4

u

+b/4 - b/4

+[31]

In f o rm es d e I II C O ll9 11 uo cl 0 n , n . 326


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C3C2 -4C3- 2C2 2C2

I C1 -4CI-202 601+ 603+ 4C2 ' " -4c,-2c2 1 jC2 - 403'" 2C2 2

3 iN

+

[32J

+-

-cJ4 6+ o rl2 cr/404 - 07/2 - 204- 20e '" 04+ el2

oJ4 0e- orl2 -oJ4+ 09;:;:: 0

En donde con un asteriscose marea e! punta central, y can un subfndice, el tipo de desplazamientoa quese aplica el operador.Los coeficientes a, b y c tienen el siguientesignificado;

a2= (1 - !l)/2B21283= (1 + !l)/2A8k!84= [- 1/2kA3

bl=1/82j2b2= (1 - Jl)/2A2k2b3= (1 + !l)/2ABkl

1/2183'"-1/21B3

(1 + !l)/4IAB2- (1 + IJ)/aIAB2

' "

[33]

iflformes de la Construcc,lfl, n.' 326 91


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* 1 - 1/2kA3 -1l/2IA2B04= 1/2kA3 +Wo1l/2IA:2B

,___..:........_-__..! Wo

(1 - J . l) /2kA:2 B WO

+ WO

- 1/21B3* I - !l/2kAB:2 WO+ ! l l /2kAB:2

' 1 1 . . . . . - . ._ 1 / _ 2 _ 1 8 _ . 3 _ . . . . . . . .W

07= (1-1l~ P~/EhA09= - (1 -Ill) PjEh [34]k y I son elancho de malla en las direcciones x e y, respectivarnente,El sistema de ecuaciones, ahora lineales, que resulta de aplicarlas diferencias finitas, no esta com-pleto y necesita para su reselueion de cuatro ecuaciones adicionales por cada punta del contorno,dos deellas, relacionando desplazamientos u, v, y dos, relacionando desplazamientos v .Estasecuaciones (prescindimos de su deducci6n por seresta elemental) son:a) Para borde empotrado.:

u=O v= o w=Q [35]b) Para borde articulado:

u=O v= o w=o(1.. 1 ) sen a COSa------W~y = aAS . [36]

donde a tieneel significado de la figura 2,Estas condiciones, pusstas en diferenclas finrtas, cornpletardn las que ya posefarnos.Para resolver este sistema de acuaciones, en el que las .inc6gnitas son los desplazamientos u, v, wen cada puntode la rnalls generada par las diferencias finitas, elaboramos un programa en base alcual iniciaremos fa explotaci6ncuyos resultados se incluyen en el presente trabajo,

9 2 In[ormes ce Ia COnstlU (;C i6 n,n. 32 6


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S8 utilize un ordenador H.P. 9640 A Multiprograming System del Centro de Caleulo de la EscuelaTecnica Superior de Arquitsctura de SevUla,en donde ell proqrarna se encuentra utilizable para losposibles interesados.No varnos a describir este programa cuvas posibilidades, a partir de la taorla anterior, son:a) Cakula de esfuerzos can teorfas de segundo orden.b) Analisis de la estabi.lidad.Y todo ello, para paraboloides hiperbolicos can bordes de forma arbitraria empotrados oarticulados.Las simplificaciones que hemos introducido para resolver un sistema de ecuaciones diferenci.alescon terrninos cuadraticos Bevan irnplfcito un error que deberemos acotar para saber el orden de fia-bilidad con el que nos mavemas.La que hacemos para ella es cornparar los resultados que obtenemos de la aplicaclon de nuestroprograma can los conocidos y sxactos de la teorfa de placas, ya que una placa es el caso lfmite deun paraboloideen que kl = = k2= Q, A =B= 1..Sin entrarenel desarrollo de esta compsracion, para los valores manejados comprobamos queutiliaando maHas en diferencias finitas de 8 X 8 Y 12 X 12 Y extrapolando para sus respectivos re-sultados y ciclos de carga de LIn orden del decimo de la carga de pandeo, el erroresinferior al2 par 100. Admitimos como hipotesis queen el paraboloide hiperb61ico el error es del mismoorden,Vamos a analizar ahora algunos casas particulares. cada uno de ellos con carqas uniformementerepartides en distintas direcciones en el espacio, es decir, relaciones variables de las cornponen-tes P x P v P ze l proceso seguido es el de calcular la carga de pandeo para determinadas direcciones de las fuer-zas y sabre un grMico tridimensional ajusta r una superficis que complete la totalidad de las dirac-clones, Con los puntas a, b, c, d, e, f se sefialan en las figuras3, 5, 7, 9 los valores caleulados canel programs. La superficie se ajusta de una manera aproximada.Igualmente se incluye la treduccirin de esta superficiea curvas de' nivel. Figuras 4, 6, 8 y 10.

Pz (Ton)~(I

b,"0

CARGA CFlITICA DE PANDEODE UN PARABOLOIDE EN SILLACON BORDES EMPOT];lADOSSuperflcie: 30 " 30 1"".Alabeo K1: 0.04.A'lebeo K2: 0,,04.Espes(lr: 0.1 m.E : 3 . Il lJ O . O O O tim'. - P (Tonly

Figura 3..

InIcrmes de III COns true" 16n, n. 326 93


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CARG.A CRITICA DE PANDEODE UN PARASOLOIDE EN SILLACON BORDES EMPOTRADOSSuperficio: 30 " 30 m'.Aleb 00 K,; 0.04.Al.abeo K2: 0.04.hpes


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efectos de PZ"De alguna manera podemos decir que el paraboloide esta total mente en trae-cidn. En otras direcciones. figuras 13, 14, el fen6meno dependera de la ma.gnitud relativede p~y P )" pues mientras una deeHas comprime, la otra tracciona.cJ EI tipo de corrtorno influye notablemente en la resistencia al candeo can fuerzas P~Y P y o Engeneral. por Ia antimetria de forma. respecto de, un plano tangente al vertice de Iaestruntura,p.andea con cargasantimetricas.excepto para paraboloides en sitla can bordesernpotradoa.d) En general, los valcres de pandeo de P x y P y son mayores que los de P .., 1 0 Qual puede servircomo criterio de predimensionamiento 81 ser el valor Pref tacH deobtener ..e) De una forma simpHfica.da y a efectos de predimensionado, los valores Px Py Pz que com-puestos hacen la estruotura inestable, pueden situarse sobre una. superficie plana, que una losvertices (Px= o, Py= 0). (Px ::::;; 0, Pz= - 0). (Py= 0, Pf= 0).f) El haber utilizado sistemas de ecuaciones no lineales, resueltos por metodos iterativos, nosaportaun mejor conocimiento del funeionarniento de !aestructura que de haberlo heche por unproced.imiento de eutovalores, como as habitual. En primer lugar obtenemos valores masbajos de las cargas cdticas. En segundo lugar nos permitefijar aquellosen funci6n de unasflechas rnaximas adrnisibles,Los valores de Reissnerquedan todos del lade desfavorable y aun los nuestros no se han limitado conel criteria de tlechas can el que hubiersrnos obtenidos valores de pandeo todsvfa mas bajos.CARGA CRITICA DE PANDEODE UN PARABOL01DEEN SILlACON BORDES ARTICULADOSSUperllcle:3(i x 3a m '.AlabeD K1: a.lI4.Alabeo K2.: a.lI4.E6p&,or: 0.1 m .E o 3.o o . o o o l ; / m ' .

Figura 6 .

C ARG A CR ITIC A D E P AN DEODE UN 'PARABOLOIDECON BORDES RECTOS YEMPDTRADOSSu:perflcle: 30 x 30 .m'.A Ja b so K 1 : 1 1. 4 .Alnbeo K2:0 ..114.b.pe,or:a.1 ,m ,E: 3 . 000. 000 tim'.

F i gu .r a 7 . .

Informes de la Consbuccln, n , ':126

CARGA CRrrlCA .OEPANDEODE UN PAflABOLOIDECON BORDESRECTOS Y EMPOTRADOSSup"rflcl" 30 x 30 .ml.A.labeDK1: 0 . .04 .AlablloiU: 0,04.E~88010 0.01 m.

. . .

'"

. .Fi.gura B .

CARGA CRmCA DE PANDEODE UN PARABOLOIDE CON BORDESRE.CTOS Y ARTICUI.ADOSSl,pllrficle: 30 x 30 m'.AIBb~ K1: 0,(14.Alabe oK2: 0.04.Espesor: 0.01 m.E: 3 . 000. 000 v m < .

Figura 9.

95.


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Figura 10,

CARGA. CRITICA DE PA'NDfDDE UN PARABDLQIDE CON BORDESRECTOS Y ARTICULAOOSSuperl lclo:30 " 30'm' ,Aisbeo Kl: 0,04,Alabeo,K2, 0.04,ESpesor: 0,1 m,E: 3.(1)0 ',0110 11m',

Estas conclusiones responden de una maneraelemental al analisfs de los casas particularesdesarrollados, pero las posibilidades del programa son mucho mas extensas, Nosotros vamos aseguir este astudio arnpliandoloa los siguientes casas:1, Cargas puntuales y concentradas.2. Cargas no uniforrnes,3. Introduciendo una nueva subrutina calcularemos los esfuerzos y las limitaciones de carga par

agotamiento del material.Estos tres temas no requieren ningun carnbio conceptual y son una consecuencia 16gicadel procesode nuestro trabajo. Su utilidad puede todavfa arnpliarse del siguiente modo:4, SI en vez de utilizar un m6dulo de elastacidad E constants sustituimos este por una curva de

valoresreales relacionando tension-deforrnacidn, podremos obtenerel comportamiento no linealde los paraboloides incluvendo la no linealidad elastica del material.

96

'/XFigura 1 1 . .

A~I---~)Y

A~I .II._--)

r \ : I - - - >I .. . . . . . ....

Figura 12.

Inl ""TIeS ,de la Cons t ruceIOn. n,' 326


13/13

_ \. Y-+--------_,~--------+---/~

I

l\: :Ii.I.

. -. ~'-t!: :\J /(-

'\Vx Figura 14.,,V X Figural 3.

y

5. 19ualmente, si en vez de utilizar unos coeficientes de LarneAv B constantes en todos los eiclos yHgados a lageometr(a inicial dela estructura loselaboramos en cada ctclo con las dssplazamientosexistentes, podremos refinar el estudio incluvendo las grandes deformaciones.B! BLIOG RA.FIA1. BANAVALKAR. P. V .. y GERGELY, P.. (

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