1_distribucion de Probabilidad

7/24/2019 1_distribucion de Probabilidad

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DISTRIBUCINDE

PROBABILIDAD


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Variable aleatoria:

En otras palabras, es el resultado de un experimentoque, por azar, puede adoptar diferentes valores.

Sea Sun espacio muestral y Xuna funcin de probabilidad

asociada a S, entonces Xse denomina Variable aleatoria


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Variable aleatoria:




Ejemplos:Si se lanza un dado, e l r e su l t a d o q u e s e o b t i e n e es la

Variable Aleatoria X.

Por lo tanto dicha VA Xpuede tomar los valores 1, 2,6


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Variable aleatoria:






Por lo tanto dicha VA Xpuede tomar los valores 1, 2,6Si se cuenta el nmero de estudiantes presentes al inicio

de la clase, el resultado puede se 8, 11, 15,, e l n m e r od e e s t u d i a n t e s p r e se n t e s es una VA X, y puede tomar los

valores antes mencionados


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Variable aleatoria:






Por lo tanto dicha VA Xpuede tomar los valores 1, 2,6Si se cuenta el nmero de estudiantes presentes al inicio

de la clase, el resultado puede se 8, 11, 15,, e l n m e r od e e s t u d i a n t e s p r e se n t e s es una VA X, y puede tomar los

valores antes mencionadosOtras variables aleatorias son:El nmero de bombillas elctricas defectuosas en la

produccin por hora de una fbrica.

La cantidad de citaciones de trnsito el fin de semanaen Playas.


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Distribucin de probabilidad:

Se llama Distribucin de probabilidad, a la asignacin de

probabilidad aplicada sobre todos los posibles valores dela Variable Aleatoria. Cumple con los siguientes axiomas:

Axiomas de una distribucin de probabilidad:

La probabilidad de un resultado est entre 0 y 1 inclusive

Los resultados son eventos mutuamente excluyentes

La variable aleatoria Xno puede tomar dos valoresdiferentes al mismo tiempo.

La suma de las probabilidades de todos los eventos del

espacio muestral es siempre 1.

Si e cS, 0 [p(e) [1

(e1) +p(e2) +p(e3) + ... +p(en) = 1


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Axiomas de una distribucin de probabilidad:

La probabilidad de un resultado est entre 0 y 1 inclusive

Los resultados son eventos mutuamente excluyentes

La variable aleatoria Xno puede tomar dos valoresdiferentes al mismo tiempo.

La suma de las probabilidades de todos los eventos del

espacio muestral es siempre 1.

Si e cS, 0 [p(e) [1

(e1) +p(e2) +p(e3) + ... +p(en) = 1


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Cantidad de carrosvendidos, x .

ProbabilidadP(x)

0123

4

0.100.200.300.30

0.10

Una persona vende automviles nuevos, normalmente los

sbados es el da en que vende la mayor cantidad.

l ha desarrollado la siguiente distribucin de probabilidadrespecto de la cantidad de carros que espera vender un s-

bado determinado.

Ejemplo:


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Cantidad de carrosvendidos, x .

ProbabilidadP(x)

0123

4

0.100.200.300.30

0.10

Una persona vende automviles nuevos, normalmente los

sbados es el da en que vende la mayor cantidad.

l ha desarrollado la siguiente distribucin de probabilidadrespecto de la cantidad de carros que espera vender un s-

bado determinado.

Ejemplo:

Es esta una distribucin de probabilidad?


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Resultados Probabilidad P(x)

123456

0.10.30.10.20.20.1

Sea el experimento lanzar un dado cargado, la siguiente tabla

muestra la respectiva distribucin de probabilidad.

Ejemplo:


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Resultados Probabilidad P(x)

123456

0.10.30.10.20.20.1

Sea el experimento lanzar un dado cargado, la siguiente tabla

muestra la respectiva distribucin de probabilidad.

Ejemplo:

Cumple con los axiomas de una distribucin de probabilidad?


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Sea S un espacio muestral talque:

Cules de las siguientes tablas corresponden a unadistribucin de probabilidad?

S = {a1,a2,a3}

Ejemplo:


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Media de una distribucin de probabilidad:

= [x$P(x)]

Ej i i


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Cuntos carros espera vender un sbado determinado?

Cantidad de carrosvendidos, x . ProbabilidadP(x)

01

234

0.100.20

0.300.300.10

Una persona vende automviles nuevos, normalmente lossbados es el da en que vende la mayor cantidad.

l ha desarrollado la siguiente distribucin de probabilidadde la cantidad de carros que espera vender un sbadodeterminado.

Ejercicio:

Ej i i


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Cuntos carros espera vender un sbado determinado?

Cantidad de carrosvendidos, x . ProbabilidadP(x)

01

234

0.100.20

0.300.300.10

Una persona vende automviles nuevos, normalmente lossbados es el da en que vende la mayor cantidad.

l ha desarrollado la siguiente distribucin de probabilidadde la cantidad de carros que espera vender un sbadodeterminado.

Ejercicio:

= 0.00 + 0.20 + 0.60 + 0.90 + 0.40

= 2.10


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Cuntos carros espera vender en 50 sbados?


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Cuntos carros espera vender en 50 sbados?

Si trabaja 50 sbados en un ao, el nmero de carros queespera vender esos sbados es 2.10(50) = 105 carros.

Por esta razn a la media se la conoce como v a l o r e sp e r a d o .

Ejercicio:


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Sea la variable aleatoria que da el nmero de caras en treslanzamientos de una moneda.(a) Elabore la distribucin de probabilidad y represntela

grficamente.(b) Calcule la media.(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

Ejercicio:

Ejercicio:


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S = {ccc;ccs;csc;css;scc;scs;ssc; sss}

El espacio muestral ser:



Ejercicio:

Ejercicio:


21/40



N. caras 0 1 2 3probabilidad



Ejercicio:

Ejercicio:


22/40



N. caras 0 1 2 3

probabilidad 1/8 3/8 3/8 1/8

3/8

1

1/82/8

X

p



Ejercicio:

Ejercicio:


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Sea la variable aleatoria que da el nmero de caras en treslanzamientos de una moneda.

(b) Calcule la media

Ejercicio:

Ejercicio:


24/40

= 0 $18

+ 1 $38

+ 2 $38

+ 3 $18

=3 + 6 + 3

8

=3

2


(b) Calcule la media

Ejercicio:

S l i bl l t i d l d t


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(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

S l i bl l t i d l d t


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(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

Como

N. caras 0 1 2 3


Sea la variable aleatoria que da el nmero de caras en tres


27/40


(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

Como

N. caras 0 1 2 3


(x= 2) =3

8



28/40

p(x[ 2) =p(x= 0) +p(x= 1) +p(x= 2)

p(x[ 2) =18 +

38 +

38

p(x[ 2) =78


(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

Como

N. caras 0 1 2 3


(x= 2) =3

8



29/40


(c) Calcule: (x= 2) = ?; p(x[ 2) = ?; p(x= 1) = ?

Como

N. caras 0 1 2 3


(x= 1) = 38

(x= 2) =

3

8

p(x[ 2) =p(x= 0) +p(x= 1) +p(x= 2)

p(x[ 2) =18 +

38 +

38

p(x[ 2) =78


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1. Utilice los discos giratorios y construya una distribucin de probabilidad

(a) Gire el disco I y luego el disco II. Cul es la probabilidad de obtener un 2o un 4 seguido por un rojo?

(b) Gire el disco III y luego el disco II. Cul es la probabilidad de obtener unAdelante seguido de amarillo o verde?

(c) Gire el disco II, luego el disco I dos veces. Cul es la probabilidad deamarillo, seguido por un 1 o un 3, seguido por un 2 o un 4?

(d) Girar el disco II, luego el I y despus el III. Cul es la probabilidad deobtener amarillo, seguido por un 2 o un 3, seguido por Adelante?

Disco I Disco II Disco III


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2. Considere el experimento de lanzar una moneda dos veces. La siguientetabla enlista seis posibles distribuciones de probabilidades para esteexperimento.

(a) Cules de las distribuciones de probabilidades no estn bien definidas?(b) Si se sabe que la moneda no est cargada, cul es la distribucin de

probabilidad que debe ser uti lizada?(c) Si se sabe que la moneda siempre cae sello, cul es la distribucin de

probabilidad que debe ser uti lizada?

ESPACIO MUESTRALASIGNACIONES

CC CS SC SS

A 1/4 1/4 B 0 0 0 1

C 3/16 5/16 5/16 3/16

D 1/2 - 1/2

E 1/8 1/4 1/8

F 1/9 2/9 2/9 4/9

Un jugador lanza dos monedas equilibradas, el jugador gana $2i d $1 i P t t i d


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si ocurren dos caras y $1 si ocurre una cara. Por otra parte, pierde$3 si no ocurren caras.

Encuentre:

a) el valor esperado Edel juego,

b) es justo el juego?

Un jugador lanza dos monedas equilibradas, el jugador gana $2si ocurren dos caras y $1 si ocurre una cara Por otra parte pierde


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Encuentre:


b) es justo el juego?Calculamos el espacio muestral S.



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Encuentre:



S = {cc,cs,sc,ss}

Calculamos el espacio muestral S.



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Encuentre:



S = {cc,cs,sc,ss}

Calculamos el espacio muestral S.

X(cc) = $2

X(cs) = $1

X(sc) = $1

X(ss) = $3

Sea Xla variable aleatoria ganancia del jugador. Por lo tanto;

S i i l i i t di t ib i d b bilid d


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X $2 $1 -$3P 1/4 2/4 1/4

Se origina la siguiente distribucin de probabilidad:

S i i l i i t di t ib i d b bilid d


37/40

X $2 $1 -$3P 1/4 2/4 1/4

E(X)= 2 14

+ 1 24

3 14

E(X)=2 + 2 34

E(X)=14

El valor esperado del jugador es $0.25




38/40

X $2 $1 -$3P 1/4 2/4 1/4

E(X)= 2 14

+ 1 24

3 14

E(X)=2 + 2 34

E(X)=14

(b) es justo el juego?





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X $2 $1 -$3P 1/4 2/4 1/4

E(X)= 2 14

+ 1 24

3 14

E(X)=2 + 2 34

E(X)=14

El juego es favorable para el jugador, puesto que es E(X) > 0

(b) es justo el juego?



Ejercicios: valor esperado de un juego


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1) Se lanza un dado equilibrado. Si sale 2, 3, o 5, el jugador gana ese nmero

de dlares, pero si sale el 1, 4 o 6, el jugador pierde ese nmero de dlares.Calcule el valor esperado del juego. Opine sobre ese valor.

2) Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren

dos caras y $1 si ocurre 1 cara. Para que el juego sea justo, cunto debeperder el jugador si no ocurren caras?

3) Un jugador lanza 3 monedas equilibradas. El jugador gana $5 si ocurren3 caras, $3 si ocurren dos caras y $1 si solamente ocurre 1 cara. Por otra

parte, el jugador pierde $15 si ocurren 3 sellos. Encuentre el valor esperadodel juego.

4) Cinco cartas estn numeradas del 1 al 5. se sacan dos cartas al azar (sin

reposicin). Sea X la suma de los nmeros seleccionados. (a) Encuentre ladistribucin de X. (b) Calcule E (X).

5) Una lotera con 500 boletos da un premio de $100, 3 premios de $50 cadauno, y 5 premios de $25 cada uno. (a) Encuentre las ganancias esperadas deun boleto. (b) Si un boleto cuesta $1, cul es el valor esperado del juego?

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