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11. CALCULO VECTORIAL

LIC.MAT. VICTOR MANUEL FERREYRA COROY

SERIE 1,2PRIMER PARCIAL

Representa en el plano ~v, ~w,~v+ ~w, ~w~v, 13~v, 4~v 1

2~w, en los casos siguientes

1. ~v =~i 2~j, ~w = 3~i 2~j2. ~v = 3~i + 4~j, ~w = 4~i + 3~j3. ~v = ~i~j, ~w = 3~i + 5~j4. ~v = 5(2~i + 3~j) 2(5~i 3~j), ~w = 1

3(~i +~j) 2

3(~i + 2~j)

5. Dados los siguientes vectores w=(3,1,1) y u=(5,-1,2), calcular el vectorV y representarlo como vector de posicion en el espacio tridimensional

a) V = 13w

b) V = 2w 3uc) V = 4w

d) V = u 3we) V = (2u 3w) + (u + w)f ) V = 3wg) V = 1

2(u 2w)

6. Consideremos los vectores A=(3,-5,1),B=(1,-1,-2),C=(2,1,-3),P0=(5,5,5)y Q0=(2,1,1), calcula las siguientes operaciones que se indican y graficacada uno de los vectores que se dan

a) A+B

b) 3A-4B+2C

c) P0 + r(Q0 P0)d) 2

3(P0 + Q0)

1Lic. Mat. Victor Manuel Ferreyra Coroy

1

e) P0+rA+sB, r=0,1,2,s=0,1,2

7. Calcule la proyeccion ortogonal del vector A sobre el vector B y lacomponente del vector A en la direccion del vector B

a) A=(3,1,1), B=(0,1,1)

b) A=(1,-1,2), B=(1,0,-1)

c) A=(1,1,0), B=(-3,-2,1)

d) A=(-1,2,2), B=(1,-1,1)

8. Determinar si los vectores dados son ortogonales o no

a) A=(1,2,1), B=(-1,0,1)

b) A=(1,-2,1), B=(2,1-0)

c) A=(1,32,12), B=(2,3,1)

d) A=(13,3,1

3), B=(3,9,3)

9. Determinar si los siguientes vectores son paralelos o no

a) A=(2,-5,2),B=(3,-1,4)

b) A=(1,-3,2),B=(2,2,-1)

c) A=(3,2,0),B=(0,2,1)

d) A=(-2,0,2),B=(0,1,1)

10. Hallar el volumen de paraleleppedo determinado por los vectores ~u =3~i 2~j ~k,~v =~i + 3~j + 4~k y ~w = 2~i +~j 2~k

11. Usando vectores determine el volumen del tetraedro determinado convertices (1,1,1),(0,0,2),(0,3,0),(4,0,0)

12. Dos amigos salen en helicoptero de una isla. Viajan primero en direccionnorte a 90km/h durante 25 minutos, luego en direccion Noroeste a lamitad de la velocidad, durante 15 minutos. Finalmente en direccionsuroeste a 4/3 de la velocidad original durante 10 minutos. Encuentrela direccion y distancia de la isla al lugar donde llegaron.

13. Considere los vectores ~u = 3~i~j+2~k,~v = ~i+5~j~k y ~w =~i2~j4~kHallar:

a) ~ux(~vx~w)

b) l~ux(~vx~w)l

2

c) (~ux~v)x~w

d) l(~ux(~v)x~wl

e) (~ux~v)x(~ux~w)

f ) (~ux~v).(~ux~w)

14. Resuelva la ecuacion para x: -3(0,1,1)+2x=2(1,1,-2)+3x

3



SERIE 3,4PRIMER PARCIAL

Resuelve correctamente los siguiente problemas

1. Un ave va volando en lnea recta con vector velocidad 10i+ 6j + k (enkilometros por hora). Suponer que (x, y) son sus coordenadas en tierray que z es us altura.

a) Si en cierto momento el ave esta en posicion (1,2,3). Donde es-tara una hora despues y un minuto despues.

b) Cuantos segundo tarda el ave en subir 10 metros

2. Las fuerzas tienen magnitud y direccion, de modo que pueden represen-tarse mediante vectores. Si acuan simultaneamente varias fuerza indi-viduales. Suponer que las fuerzas i+ k y j + k actuan sobre un cuerpo.Que tercera fuerza debemos imponer para contrarrestrar a los dos, estoes, para hacer que la fuerza total sea igual a cero.

3. Resolver el siguiente sistema

a) (2, 3, 5) 4i + 3j = xb) 3(0, 1, 1) + 3x = 3(1, 0,1) + 3x

4. Encvuentre el vector unitario que tenga la misma direccion que A

a) A = 5(3, 4, 5)b) A = 3i 8j + 3k

5. Demuestra que los siguientes vectores son paralelos A = (3, 5, 7), B =(3,4, 2)

6. Demuestra que los siguientes vectores son perpendiculares A = (2, 5,1),B = (1, 4,3)


4

7. La magnitud y la direccion de una fuerza constante estan dadas pora = 5i + 2j + 6k. Calcular el trabajo realizado cuando el punto deaplicacion de la fuerza se mueve de P (1,1, 2)aR(4, 3,1)

8. Dados los vectores P (3,2,1), Q(1, 5, 4), R(2, 0,6), S(4, 1, 5)a) El valor del angulo entre PQ yRS

b) La componente de PS a lo largo de QR

c) La proyeccion de PS a lo largo de QR

Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por los puntosP (1,1, 2), Q(0, 3,1), R(3,4, 1)

9. Calcule el area del triangulo determinado por P (1, 2, 0), Q(0, 5, 0)yR(5, 0, 1)10. Dados los vectores P (1,1, 2), Q(0, 3,1), R(3,4, 1). Calcule el volu-

men del paraleleppedo que tiene lados adyacentes OP,OQ,OR

11. Encontrar elplano generado por u = (2, 7, 0)yv = (0, 2, 7)

12. Encontrar la recta que pasa por (1,1,1) en la direccion j13. Hallar los puntos de interseccion de la recta x = 3 + 2t, y = 7 + 8t, z =2 + t

14. Hallar las ecuaciones parametricas para la recta l que pasa por P (3, 1,2)yQ(2, 7,4)

15. Un aeropuerto esta situado en la posicion (3,4,5) al medioda, y viajacon una velocidad 400i+ 500jk kilolometros por hora. El piloto sabeque hay un aeropuerto en la posicion (23,29,0).A que hora pasara elavion directamente sobre el aeropuerto.

16. Escribir la ecuacion qumica pC3H4O3+qO2 = rCO2+sH2O como unaecuacion en ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p, q, rys

17. Hallar dos vectores no paralelos, ambos ortogonales a (1,1,1)

18. Hallar la recta que pasa por (3,1,2) que intersecta y esperpendicular ala recta x = 1 + t, y = 2 + t, z = 1 + t

5



SERIE 5PRIMER PARCIAL

Grafica correctamente las siguientes funciones en coordenadas polares

1. r=2

2. r=3sen x

3. rcosx=1

4. r=2senx+2cosx

5. r=cscx

6. r=tanxsecx

7. r=senx

8. r=2(1-senx

9. r2-3r+2=0

10. r=-3cosx

11. r=1-3cosx

Dadas las ecuaciones parametricas calcular las derivadas.

1. x = 4 t2, y = t2 + 4t


6



SERIE 1SEGUNDO PARCIAL

Instrucciones: Resuelve correctamente cada uno de los siguientes problemasen donde deberas escribir cada uno de los pasos del desarrollo.

1. Obtenga una ecuacion cartesiana de la curva determinanda por lasecuaciones parametricas x = 2t 3 y y = 4t 1

2. Encuentre las ecuaciones parametricas para la circunferencia con centro(h, k) y radio r

3. Elimine el parametro para hallar la ecuacion cartesiana de la curva

a) x = 1 +x, y = t2 4t

b) x = 2cost, y = t costc) x = sent, y = t2

d) x = et + t, y = et te) x = 3t 5, y = 2t + 1f ) x = 1 + t, y = 5 2t

4. Dibuja la grafica de la funcion definida por

a) f(x, y) = x2 + y2

b) f(x, y) = 8 x2 2yc) f(x, y) = 2x

12y

12

d) f(x, y) = x4

x2+y2

e) f(x, y) = 14xy(y2 x2)

f ) f(x, y) = cosx + cosy

g) f(x, y) = exseny

h) f(x, y) = ln(x2 + y2)

i) g(x, y, z) = x2 + y2 zj ) f(x, y, z) = x + 2y + 4z

7

k) x2 + y2 z2 = 4l) z2 x2 y2 = 4

m) x2 + y2 + z2 = 0

5. Encontrar las curvas de nivel con k=1,2,3,4,5,6 para cada una de lasgraficas anteriores

8

45. CALCULO DIFERENCIAL


SERIE 1SEGUNDO PARCIAL

Resuelve correctamente las siguientes longitudes de arco

1. Establezca una integral para la longitud del arco de la hiperbola xy = 1del punto (1,1) al punto (2,1

2)

2. Determinar la longitud de la curva y = 1 + 6x32 ,0 x 1

3. y2 = 4(x + 4)3, 0 x 2 , y > 04. y = x

5

6+ 1

10x3, 0 x 2

5. x = 13

y(y 3), 1 y 9

6. y = ln(cosx),0 x pi3

7. y = ln(secx),0 x pi4

8. Un planeador viene del oeste con vientos estables. La altura del pla-neador arriba de la superficie de la tierra desde la posicion horizontalx = 0 hasta x = 80 pies se proporciona mediante y = 150 1

40(x50)2.

Halle la distancia recorrida por el planeador.

9. Un hacon vuela de 15 ms

a una altitud de 180 m deja caer su presaaccidentalmente. La trayectoria parabolica de la presa en descenso sedescribe mediante la ecuacion

y = 180 x2

45

hasta que cha con el suelo, donde y es su altura sobre del suelo y xes la distancia horizontal recorrida en metros. Calcule la distancia querecorre la presa desde el momento en que es dejada caer hasta que chocacon el suelo. Exprese su respuesta correcta hasta el decimo de metromas proximo.

10. y = x3

6+ 1

2x, 1

2 x 1


9

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