1ESOMAPI_GD_ESU11.pdf

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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1 ES

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 11

Elementos geométricos

CO N T E N I D O

2 Unidad 11 Elementos geométricos

En esta primera unidad de geometría plana se estudian los ángulos, la circunferencia y algunos tipos de rectas.

Conviene empezar recordando que el punto es el elemento básico de la geometría y que da lugar a los otros: rectas yplanos; es necesario insistir en el concepto de ángulo para que no se identifique sólo con el arco que lo representa enel dibujo, y repasar las unidades de medida de ángulos y sus operaciones básicas.

Es importante que los alumnos aprendan los nuevos conceptos: de tipos de ángulos complementarios, suplementarios,opuestos por el vértice, de lados paralelos, inscritos, centrales, circunferencia, círculo, figuras circulares, y los de media-triz y bisectriz, y que los identifiquen en los dibujos y en la realidad.

También deben adquirir destrezas para trazar mediatrices, bisectrices, rectas paralelas y perpendiculares, así comopara dibujar y medir ángulos.

• Puntos y rectas• Semirrectas y segmentos• Posición relativa de dos rectas en el plano• Ángulos. Vértice y lados• Ángulo recto• Ángulo agudo y ángulo llano• Ángulo convexo y ángulo cóncavo• Ángulos complementarios y ángulos suplementarios• Medida de ángulos• Forma compleja y forma incompleja• Suma y resta de ángulos

• Producto de un ángulo por un número natural• División de un ángulo por un número natural• Ángulos opuestos por el vértice• Ángulos de lados paralelos• Circunferencia. Elementos• Ángulo central y ángulo inscrito en una circunferencia• Círculo• Posiciones de recta y circunferencia• Mediatriz de un segmento• Bisectriz de un ángulo

Unidad 11 Elementos geométricos

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Identificar y establecer relacionesentre ángulos que permiten cal-cular unos a partir de otros cono-cidos.

1.1 Reconocer y calcular ángulos com-plementarios y suplementarios.

1.2 Establecer relaciones de igualdadentre ángulos opuestos por el vérti-ce o de lados paralelos.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundofísico

• Cultural y artística

• Tratamiento de la informacióny competencia digital

• Aprender a aprender

2. Conocer y manejar la unidad demedida de ángulos.

2.1 Expresar ángulos dados en formacompleja e incompleja.

2.2 Sumar y restar ángulos.

2.3 Producto y división de un ángulo porun número natural.

3. Comprender la relación existen-te entre circunferencia y círculo,y describir con precisión sus ele-mentos.

3.1 Reconocer y calcular ángulos ins-critos y centrales en una circunfe-rencia.

3.2 Identificar las posiciones relativasentre una recta y una circunferencia.

4. Conocer y saber dibujar la media-triz de un segmento y la bisectrizde un ángulo.

4.1 Identificar y trazar la mediatriz deun segmento y la bisectriz de unángulo.

3Elementos geométricos Unidad 11


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLos únicos conocimientos previos imprescindibles son el manejo de los instrumentos de dibujo: compás, escuadra ycartabón, y la utilización del transportador para medir ángulos.

2. Previsión de dificultadesLa mayoría de los contenidos de esta unidad ya han sido trabajados en cursos anteriores, por este motivo no han de pre-sentar ninguna dificultad.

Entre los contenidos nuevos puede presentar una mayor dificultad el cálculo de la medida de ángulos inscritos y cen-trales en una circunferencia.

3. Vinculación con otras áreasLos contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con el estudio de las figuras planas, que se realiza enEducación Plástica y Visual.

4. Esquema general de la unidadEl bloque de geometría plana se inicia con una mención de los puntos y las rectas como elementos básicos para cons-truir la geometría y con el estudio de las posiciones relativas de rectas en el plano.

A continuación se define como ángulo cada una de las cua-tro regiones en que dos rectas secantes dividen el plano.Partiendo del concepto de ángulo recto, se realiza la cla-sificación de ángulos y se estudia la relación entre ellos,definiendo ángulos complementarios, suplementarios yopuestos por el vértice.

En el epígrafe 3 se describe el sistema sexagesimal parala medida de ángulos y se indica cómo sumar y restar ángu-los y cómo multiplicar y dividir un ángulo por un númeronatural.

Para finalizar con el estudio de los ángulos, se analiza laigualdad de ángulos en los casos en que estos son opues-tos por el vértice o de lados paralelos.

Después se distingue entre circunferencia y círculo, defi-niendo los elementos y los ángulos asociados a una cir-cunferencia, centrales e inscritos, estableciendo la relaciónde medida que existe entre ellos. Posteriormente se estu-dian las posiciones de una recta y una circunferencia.

Todos los conocimientos anteriores permiten introducirdos tipos de rectas: la mediatriz de un segmento y la bisec-triz de un ángulo, para estudiar sus propiedades y su cons-trucción.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Puntos, rectas.

2.ª Ángulos.

3.ª Medidas de ángulos. Operaciones.

4.ª Ángulos iguales. Circunferencia y círculo.

5.ª Ángulos en una circunferencia. Posiciones relativas de circunferencia y recta.

6.ª Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo.

7.ª Actividades de repaso y consolidación.

8.ª Pon a prueba tus competencias.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Ángulos CircunferenciaRectas

Mediatriz

Posicionesrelativas

Clasificación Ángulos en lacircunferencia

Posición relativarecta y

circunferencia

Medida deángulos

Operaciones con ángulos

Bisectriz

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciadocontextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicaciónoral y comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompe-tencia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artísticaEl estudio de los elementos geométricos permite desarrollar las subcompetencias sensibilidad artística y expresiónartística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción delconocimiento.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


Elementos geométricos Unidad 11

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación oral.

Escuchar textos orales como fuente deconocimiento y entretenimiento.

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saber aceptar lascríticas de los demás.

– Realiza exposiciones orales en clase.

– Extrae información de lasexposiciones realizadas por loscompañeros.

Desarrolla tus competencias

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollo delpensamiento crítico.

– Extrae información matemática deun texto y lo aplica a la defensade una posición determinada.


Problemas

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Comprender y elaborar una cadena deargumentaciones matemáticasidentificando ideas fundamentales.

– Calcula medidas de ángulos.

En toda la unidad

Resoluciónde problemas.

Seleccionar las técnicas adecuadaspara calcular resultados, y representar einterpretar la realidad mediantemedidas matemáticas.

– Aplica propiedades métricas a laresolución de problemas.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con soltura en el sistemasexagesimal.

En toda la unidad

Interaccióncon el mundo físico

Conocimiento yvaloración del desarrollocientífico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnología ala sociedad.

– Valora la utilización de laspropiedades de la reflexión alservicio de la técnica y la sociedad.


Cultural y artística

Sensibilidad artística.

Cultivar el sentido de la trascendencia yuna actitud abierta, respetuosa y críticahacia la diversidad de expresionesartísticas y culturales.

– Distingue imágenes reales deimaginarias.

Pon a prueba tus competencias: I

Expresión artística.Realizar representaciones artísticas deforma individual y cooperativa.

– Utiliza el libro de espejos para crearfiguras.

Pon a prueba tus competencias: I

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas deinternet para complementar lainformación.

En la red


– Visita la página librosvivos.net pararealizar distintas actividades.

Actividades 10 y 18

Aprender a aprenderConstrucción delconocimiento.

Admitir diversidad de respuestasposibles ante un mismo problema yencontrar diferentes enfoquesmetodológicos para solventarlo.

– Resuelve problemas realizando unalluvia de ideas.

Actividad 67

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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de Matemáticas básicas.

– Unidad 4. Rectas y ángulos.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO.

– Unidad 5. Geometría.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”.

– Unidad I: Elementos geométricos del plano.

– Unidad III: Circunferencias y círculos.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO.

– Volantes de coches.

• Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.° de ESO.

– Unidad 5: Historia de las medidas.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Páginas del CIDEAD sobre elementos geométricos:

www.e-sm.net/1esomatprd21

Página del proyecto Descartes sobre ángulos:

www.e-sm.net/1esomatprd22

• Instrumentos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos.

• El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones geométricas.Otr

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Sugerencias didácticas

Entrada


La reflexión de la luz es un claro ejemplo de la aplicaciónde las matemáticas, en concreto de la geometría, para des-cribir los fenómenos físicos. Además, los alumnos veránlo útil que es la reflexión de la luz para resolver problemastan importantes como el que tenía la ciudad de Viganella.De hecho, podemos comentarles que tras el éxito de la ilu-minación natural de Viganella, muchos pueblos y ciudadesde los Alpes y Canadá están construyendo espejos similares.

Podemos hacer ver a los alumnos que la luz que recibe laciudad de Viganella varía a lo largo del día, ya que el ángu-lo de incidencia de los rayos del sol en el espejo varía en fun-ción del movimiento de la Tierra.

Para que prueben ellos mismos esta experiencia, pode-mos pedirles que traigan al aula espejos pequeños y lin-ternas, a ser posible con haz de luz de diámetro pequeño.Un alumno sujetará el espejo a una altura aproximada de1 metro, y otro, situado a un metro del primero, apuntarácon una linterna, situada a 1,5 metros del suelo, al espejo.Los demás tratarán de buscar en el aula el punto de luzque se refleja. Una vez que lo tengan localizado, el alum-no que tenga la linterna la moverá, variando el ángulo deincidencia sobre el espejo, y así podrán comprobar cómo hacambiado de posición la luz reflejada.

1. Puntos y rectas• Los conceptos aquí estudiados son ya conocidos por los

alumnos. Sin embargo, hay que insistir en que dos pun-tos determinan una recta. Se les puede dar tres puntosno alineados y pedirles que dibujen todas las rectas posi-bles que pasen por ellos.

• Las rectas coincidentes hay que explicarlas bien para quelos alumnos no piensen que es una sola recta, sino dos.

• Es conveniente que sean capaces de trazar con destrezarectas paralelas y secantes a una dada. Para este fin, seles puede recordar cómo utilizar la escuadra y el cartabón.

I. Con el experimento descrito en el apartado anterior, losalumnos no tendrán problemas para responder a estapregunta.

II. La propiedad de reflexión de la luz también la podremoscomprobar con el experimento anterior, aunque los alum-nos lo hayan comprobado previamente en casa.

III y IV. Con estas actividades desarrollaremos la compe-tencia lingüística, concretamente las subcompetenciasescrita y oral, ya que los alumnos deberán sacar deartículos encontrados en internet la información nece-saria para estudiar y comprender el funcionamiento delas antenas parabólicas y posteriormente explicarlo asus compañeros. Además, volverán a ver un ejemplo dela relación que hay entre las matemáticas y el mundoque nos rodea.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 3 y 32

Alto 33


Básico 7, 35, 36, 38 y 54

Alto 8, 9, 37 y 39 a 41


2. Ángulos• Es importante recordar el concepto de ángulo, ya que

tienden a asociarlo con el arco que lo representa en eldibujo y tienen cierta dificultad para comprender que setrata de una región del plano.

• Distinguen fácilmente un ángulo agudo y un ángulo obtu-so, pero no les resulta tan sencillo comprender los con-ceptos de convexo y cóncavo. Por eso es recomendableponer varios ejemplos, haciendo que sean ellos los queaprendan a distinguir ángulos convexos y cóncavos. Sondos conceptos nuevos que les cuesta aprender porquelos confunden entre sí. Dedicando más tiempo a apren-der y afianzar uno de ellos e introduciendo el otro después,se minimiza la posibilidad de confusión. Además, les cos-tará asimilar que un ángulo convexo puede ser tanto agu-do como obtuso.

• Los conceptos de ángulos complementarios y suplemen -tarios pueden ser nuevos para muchos alumnos, por esohay que dedicarles una atención especial y más tiempo.

3. Medida de ángulos. Operaciones• Los alumnos ya han visto en primaria el sistema sexa-

gesimal. No costará mucho recordarlo, teniendo ademástan recientes los sistemas de medida, vistos en la uni-dad anterior.

• A la hora de explicar la suma de ángulos y el productode un ángulo por un número, debemos hacer muchosejemplos en los que los segundos o minutos del resulta-do sobrepasen los 60.

• Para explicar la resta, cuando el primer término no esmayor que el segundo en alguna unidad, podríamos seguirel siguiente esquema.

71’13° 60’ 72’ 60” 93”14° 12’ 33”

− 5° 43’ 52”8° 28’ 41”

4. Ángulos iguales• El concepto de igualdad de ángulos es fácil de entender

y tampoco resulta difícil que entiendan qué son y quereconozcan ángulos opuestos por el vértice.

• Pero los ángulos de lados paralelos sí presentan difi-cultad, por eso conviene hacer muchos ejemplos y queconstruyan ángulos con los lados paralelos a los de unángulo determinado y los midan.


Básico 4 y 34

Medio 5

Alto 43 y 71

Organiza tus ideas

Hay que procurar que el alumno note la importancia de losesquemas haciéndole preguntas referidas a la unidad quedebe resolver ayudándose sólo de la información de esta hoja.

Es interesante que ellos elaboren sus propios esquemas,pero como puede resultar difícil, para empezar, se les pue-de pedir que copien y completen en su cuaderno el queaparece en esta página.

Se realiza uno de los apartados en clase de forma dirigiday ellos elaboran los demás en casa.

Para completar el primer apartado, realizar los siguientespasos:

8


• Conviene proponer a los alumnos que dibujen y recortenun ángulo cualquiera y que, ayudándose del mismo (pues-to que pueden cambiarlo de posición), busquen entrevarios los que tienen los lados paralelos a él con la mis-ma medida.

• De igual forma, pueden encontrar el suplementario delados paralelos con solo ponerlo junto a él y comprobarque forman un ángulo llano.

5. Circunferencia y círculo 67. Esta actividad la podemos resolver conjuntamente en laclase. Para ello dividiremos a los alumnos en cinco gru-pos y nombraremos en cada grupo a un portavoz. Pedi-remos a cada grupo que trate de encontrar la ubicacióndel transformador, realizando una lluvia de ideas. En elgrupo deberán debatir hasta decidir cuál de las solu-ciones de cada uno de sus miembros es la adecuada.Una vez que cada grupo tenga su solución, los porta-voces deberán defenderla ante el resto de la clase.Cuando ya se hayan expuesto todas las posibles solu-ciones, se establecerá una votación para que los alum-nos decidan cuál es la idónea.

7. Mediatriz de un segmento• Utilizar el plegado como se muestra en la página para

que dibujen la mediatriz de un segmento.

• Es interesante que aprendan la propiedad de la mediatrizde que todos sus puntos están situados a la misma dis-tancia de los extremos del segmento. Por ello convieneque lo comprueben en cada ejercicio midiendo la distan-cia desde varios puntos de la misma a los extremos.

8. Bisectriz de un ángulo• La utilización del plegado para construir bisectrices tal y

como se muestra en la página es muy práctica, ya que sino doblan bien, el ángulo no queda dividido en dos iguales.

• Es importante que aprendan la propiedad de que los pun-tos de la bisectriz se encuentran a la misma distancia delos lados del ángulo (aunque para que lo hagan bien esnecesario explicarles que la distancia hay que medirlade forma perpendicular a la recta). Y por ello convieneque se les pida comprobarlo en algunos ejercicios.

• Es preciso volver a insistir en la diferencia entre la cir-cunferencia y el círculo, pues a estas alturas hay alum-nos que confunden ambos conceptos.

• Es tan importante el concepto de ángulo central comocalcular su medida, puesto que se utiliza después para elcálculo de ángulos inscritos y en los polígonos regulares.

• Pedir que, una vez calculado, comprueben con el trans-portador de ángulos que el resultado es correcto.

• Si alguna vez se les olvida cómo calcularlo, se puedenayudar del transportador para que, a partir de la solu-ción, deduzcan las operaciones que han de hacer parallegar a ella y las escriban. Pero este instrumento debeser utilizado sólo para este objetivo, y no como forma deresolver el ejercicio.


Básico 12

Medio 13


Básico 21 a 24, 44 y 45

Medio 64


Básico 28 a 30

Medio 31, 55 y 57


Básico 46 a 50 y 60

Medio 14 a 17, 51, 61 a 62 y 65

Alto 52, 53, 68 a 70, 72 y 73


Básico 25 y 26

Medio 27, 56 y 58

Alto 59, 66 y 67


6. Posiciones de una recta y una circunferencia

• Son conceptos sencillos, pero como las rectas secantesse cortan en un punto, a veces, cuando la recta es tangentea una circunferencia, la consideran secante.

• Conviene hacerles notar la diferencia antes de que come-tan el error, e indicarles que la palabra “secante” tieneque ver con el hecho de que se “corten”, y no con el detener un punto común.

• Podemos aprovechar la definición de recta tangente paraque vean cómo en el lenguaje habitual existen expresio-nes que hacen referencia a las matemáticas, tales como“salirse por la tangente”.

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La última actividad permitirá establecer un debate en clasesobre los pros y los contras de las campañas publicitarias.

REBOTE × REBOTE = REBOTE2

Deberemos orientar a los alumnos para la realización de laactividad dándoles la pista de que lo primero que tienenque hacer es buscar el punto B’, simétrico de B. Una vezobtenido el punto B’ bastará trazar la recta que pasa por A’y B’ y así obtener los puntos de las bandas donde rebotarála bola.

Podemos realizar en la pizarra un dibujo explicando la tra-yectoria y marcando todas las rectas necesarias y pedir a losalumnos que localicen ángulos iguales, indicando el motivo.

A los alumnos más aventajados les podemos proponer quecalculen la trayectoria de A, pero chocando además con labanda de la derecha.

¿GIRA O NO GIRA?

Para seguir un razonamiento análogo en todas las cadenasde ruedas, podemos empezar suponiendo que la rueda verdegira en el sentido de las agujas del reloj y marcar el senti-do de giro de las demás ruedas en función de este primergiro. Completaríamos cada cadena hasta llegar a la ruedasituada a la izquierda de la verde y comprobaríamos si elsentido de giro que tiene permitiría mover la verde en el sen-tido de las agujas del reloj.

Para que los alumnos identifiquen correctamente los dife-rentes tamaños de ruedas, les indicaremos que previamenteidentifiquen cada uno de los tres tamaños relacionándoloscon su color.

Pon a prueba tus competencias

EL LIBRO DE ESPEJOS

Al finalizar las actividades de consolidación indicaremos alos alumnos el material necesario que deben traer parapoder construir el libro de espejos.

Para realizar esta actividad dividiremos la clase en gruposde dos personas, de tal manera que cada grupo fabrique unlibro de espejos.

En la actividad 1 se describe paso a paso cómo construir unlibro de espejos, así que no tendrán problemas a la hora deconstruirlo.

En las actividades 2, 3, 4 y 5 deberán ir cerrando el ángu-lo del libro de espejos para ir formando el triángulo equi-látero, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y elheptágono regular.

Una vez completada la tabla deberán poder calcular elángulo central de cualquier polígono regular en funcióndel número de lados.


1. Buscar en la unidad los epígrafes correspondientesa los tipos de rectas que hay en el esquema.

2. Observar lo que no está anotado y que puede serimportante para resolver ejercicios.

3. Anotar debajo de cada tipo de recta lo que se les ocu-rrió en el paso anterior.

Es importante enseñarles a escribir las cosas utilizando,siempre que se pueda, el lenguaje matemático. Así obser-van cómo se pueden expresar las frases del lenguaje habi-tual de forma simplificada y lo aprenden poco a poco.

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Actividades de refuerzo

Unidad 11 Elementos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos aprendan los conceptos básicos de mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo,ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice. Tienen que manejar con soltura las unidades demedidas de ángulos y operar correctamente en el sistema sexagesimal. También deben establecer relaciones entreángulos en una circunferencia y estudiar posiciones relativas de rectas y circunferencias.

• Intentar que los nuevos nombres sean sencillos de recordar y asociar a los nuevos conceptos con pequeños trucos:media-triz (por la mitad), bi-sectriz (en dos), ins-crito (dibujado dentro)…

• Empezar por la construcción de cada elemento y, a partir del dibujo, mediante observación y preguntas orientadas,estudiar sus propiedades o las relaciones entre ellos.

• Habituar a los alumnos a representar gráficamente los ejercicios indicando los datos y lo desconocido.

• Comprobar siempre las soluciones obtenidas con el transportador de ángulos y la regla graduada.

• Utilizar materiales alternativos: plegado, recortables, programas de ordenador, páginas web…

1. a) y son agudos, con < y < = 90°. Una solu-ción es: = 20° y = 70°.

b) es agudo, y es el doble de . Una solución es: = 50° y = 100°.

c) = por ser opuestos por el vértice, y es obtuso.Una solución es: = = 140°.

d) es obtuso, y , agudo, y + = 180°. Una solu-ción es: = 100° y = 80°.

2. a) Un punto. b) Menor que 3 cm. c) Exterior.

3. 17° 22’ 15” + 2° 47’ 48” = 20° 10’ 3”

43° 12” − 21° 12’ = 21° 48’ 12”

23567” = 6° 32’ 47”

4. r no es perpendicular a AB, y t no pasa por el punto medio. La mediatriz es s.

5. = 45°; = 140°; = 25°

BAA

ABBABA

CBA

BA

ABBAB

BABABABA

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construye tus materiales

Propondremos a los alumnos la construcción de herramientas que les permitirán estudiar los conceptos de forma activa.

Para ello se dividirán en grupos de tres o cuatro personas y les repartiremos distintas actividades:

• Los componentes de un grupo dibujarán y recortarán ángulos de 18°, 72° y 162°; 40°, 50° y 140°… es decir, ánguloscomplementarios y suplementarios a los que pondrán su medida. Una vez recortados, tienen que colocarlos por pare-jas con un lado común y estudiar si forman un ángulo recto o un ángulo llano, indicando en cada caso si son comple-mentarios o suplementarios.

• Unos dibujarán circunferencias de distinto tamaño en una cartulina. Mientras, otros dibujarán ángulos de 10°, 20°,40° y 80°; 30°, 60° y 120°… con los lados suficientemente grandes para que se puedan inscribir en las circunferenciasy en los que escribirán su medida. Luego recortarán los ángulos dibujados. Deben colocar los ángulos sobre las cir-cunferencias de modo que uno sea central, y otro, inscrito, emparejando los que abarcan el mismo ángulo. De esta for-ma comprueban la relación doble-mitad que existe entre ellos.

• Otro grupo se ocupará de dibujar circunferencias de tamaños diferentes en una cartulina, indicando la medida de susradios, y de dibujar y recortar rectas. Los alumnos deben colocar las rectas respecto de las circunferencias en respuestaa preguntas del tipo: “Coloca la recta a 5 cm del centro de cada circunferencia e indica la posición que tiene respectoa ella”, que serán elaboradas por el profesor.

Una vez elaborados los materiales, cada grupo pasará a realizar las actividades preparadas por los demás. Siemprehabrán de anotar en su cuaderno los resultados obtenidos.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


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1. Pon una medida a cada uno de los ángulos y , siguientes:

a) b) c) d)

2. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y luego dibuja una recta tangente a ella, otra secante y otraexterior.

Observa el dibujo, utiliza la regla para medir si lo necesitas y responde a las siguientes preguntas marcando una Xen el recuadro que corresponda:

a) La recta que está a 3 cm de distancia del centro de la circunferencia toca a esta en:

Dos puntos Un punto Ningún punto

b) La recta secante está a una distancia del centro de la circunferencia:

Mayor que 3 cm Igual a 3 cm Menor que 3 cm

c) La recta que se encuentra a una distancia mayor que 3 cm del centro de la circunferencia es:

Tangente Exterior Secante

3. Relaciona con flechas cada operación con su resultado.

4. En los siguientes segmentos se han trazado distintas rectas. Explica en cuál de ellos se ha dibujado lamediatriz y en cuáles no.

5. En los siguientes dibujos se ha trazado la bisectriz de cada ángulo con línea discontinua, y debajo deellos están desordenadas las medidas en grados de los ángulos y . Une con una flecha cada ángu-lo con su medida correspondiente.

140° 25° 45°

25°

^C

70°^B

Â

r

E M FC DM

s

A M B

r

Â^

B

Â

^B

Â^

BÂ

^B

CBA

grados minutos segundos

17° 22’ 15” + 2° 47’ 48” 20° 32’ 12”

43° 12” − 21° 12’ 6° 48’ 3”

Pasa a compleja 23567” 21° 10’ 47”

BA


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ACTIVIDADES de REFUERZO


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Actividades de ampliación

Unidad 11 Elementos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Nuestros alumnos ya dominan todos los conceptos básicos de la unidad, por eso hay que proponerles actividades queles permitan descubrir nuevas propiedades de estos elementos geométricos.

También podemos aprovechar para que observen la realidad con ojos matemáticos, buscando la geometría en los ele-mentos que les rodean.

Así, entre otras muchas posibilidades, podemos:

• Orientarles para que con las herramientas básicas vistas hasta el momento obtengan resultados más complejos einteresantes.

• Guiarles para que en los problemas comprendan la utilidad de los elementos estudiados y distingan claramente cadauno de los pasos necesarios para realizarlos.

• Incitarles a que busquen los elementos geométricos en su entorno inmediato: centro de estudios, vivienda, lugar deresidencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes.

1. Opuestos por el vértice: y 25°, que miden 25°, y y, que miden 155°.

Lados paralelos: y 115°, que miden 115°, y y 40°, quemiden 40°.

2. a) Son iguales.

b) Son paralelas si son ángulos iguales, y perpendicu-lares si son suplementarios.

3. No es posible porque solamente tiene sentido trazarmediatrices de segmentos.

4. a) 22° 53’ 48” b) 115° 13’ 15”

5. a) = 25° = 65° b) = 30°

6. = = = = 125°

= = = = = 55°

= = 35°

7. Las doce menos veinte, las seis y diez, las seis menosveinte, las dos, las dos y media, las ocho o las ocho ymedia.

8.

Son iguales

LI

KJGEC

HDFB

ABA

C

^A

^B

^C

E

HGA

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

A la caza del ángulo obtuso

En los edificios que nos rodean es muy fácil encontrar segmentos, rectas paralelas, secantes, perpendiculares… Algomás complicado es encontrar ángulos agudos, aunque lo que resulta más difícil, pero no imposible, es encontrar ángu-los obtusos; esa es la actividad que se propone.

En grupos de tres o cuatro personas deben localizar en su entorno situaciones que ilustren el concepto elegido (ángu-los obtusos, en este caso). Cuando ya tengan buscados unos cuantos (por ejemplo, 5), se analizarán en conjunto y se deci-dirá qué fotos son las que se van realizar y entregar posteriormente. Para esta actividad resulta conveniente recoger porescrito las ideas surgidas en la puesta en común de manera que toda la clase disponga de ellas. También resulta de granayuda, para la búsqueda de situaciones, entregarles una ficha en la que tengan que anotar:

– ¿Qué busco?

– Descripción gráfica de la situación elegida.

– Descripción con palabras.

– Posibles títulos de la futura foto.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. En la siguiente figura hay ángulos opuestos por el vértice y ángulos de lados paralelos. Indica cuálesson y cuánto miden.

2. Mediante un dibujo, estudia cómo son las bisectrices de:

a) Dos ángulos opuestos por el vértice. b) Dos ángulos de lados paralelos.

3. ¿Se puede trazar la mediatriz de la mediatriz de una recta? ¿Por qué?

4. Calcula la medida de los siguientes ángulos.

a) El complementario del suplementario de un ángulo de 112° 53’ 48”.

b) El suplementario del complementario de un ángulo de 25° 13’ 15”.

5. Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras.

a) b)

6. El ángulo mide 55°. ¿Cuánto miden los demás ángulos de la figura?

7. ¿Qué hora tendrá un reloj cuando el ángulo formado par las manecillas tenga los lados paralelos al for-mado cuando son las doce y diez?

8. Construye un ángulo de lados paralelos a y que sea suplementario de él, y otro de lados perpendicu-lares. ¿Qué relación tiene este último con ?

AB

CD

EF

GH

LK

JI

A

ÂÂ

2

60°Â

^B

65 °

115°40° 25°

Â

^C ^

H

Ê

^G

Â

AA


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Calcula el complementario y el suplementario de los ángulos y , siendo = 68° y = 85° 40’.

2. Las siguientes circunferencias se han dividido en partes iguales. Halla el valor del ángulo en cadacaso.

a) b)

3. Indica los ángulos que son opuestos por el vértice.

4. Observa los siguientes ángulos y responde a las preguntas:

a) ¿Cuáles tienen los lados paralelos?

b) ¿Cuánto miden?

5. Realiza las siguientes operaciones.

a) 45° 56’ 57” + 123° 34’ 25” b) 100° 1” − 93° 15’ c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14 d) (129° 45’) : 18

6. Dibuja dos segmentos de 4 centímetros de longitud que formen un ángulo de 130° y traza después lasmediatrices de cada segmento y la bisectriz del ángulo que forman.

7. La mediatriz de un segmento ha dividido este en dos partes, una de las cuales mide 4,5 centímetros.¿Cuál es la longitud del segmento?

8. Una recta está situada a 5 centímetros de distancia del centro de una circunferencia de 10 centímetrosde diámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?

145°^D

^C ^

F

Ê

^G

^B

H

Â

^C

^F

Ê

^G

^B

^D

Â

Â

A

BABA

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


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1. Complementario de 68°: 90° − 68° = 22°

Suplementario de 68° = 180° − 68° = 112°

Complementario de 85° 40’: 90° − 85° 40’ = 4° 20’

Suplementario de 85° 40’: 180 − 85° 40’ = 94° 20’

2. a) La circunferencia se ha dividido en 10 partes: .

El ángulo central abarca cuatro partes: 36 ⋅ 4 = 144°.

Luego el ángulo mide 144°.

b) La circunferencia se ha dividido en ocho partes: .

El ángulo central correspondiente abarca tres partes: 45° ⋅ 3 = 135°.

Luego el ángulo inscrito mide = 67° 30’.

3. y , y .

4. a) Todos.

b) = = = = 35°

= = =145°

5. a) 45° 56’ 57” + 123° 34’ 25” = 169° 31’ 22”

b) 100° 1” − 93° 15’ = 6° 45’ 1”

c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14 = 339° 14’ 50”

d) (129° 45’) : 18 = 7° 12’ 30”

6.

7. La longitud del segmento es la suma de las dos partes en las que ha quedado dividido:

4,5 + 4,5 = 9 cm

8. Como la distancia entre la recta y la circunferencia coincide con el radio, la recta es tangente a la circunferencia.

3608

45°

°=

A

36010

36°

°=

1352

°A

GDEA

GE B

FBD H

t

130°

sr

C

B

A 4 cm

M

N

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



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