1hidrocinematica Fic Uncp

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Ing. Luis Clemente Condori FIC-UNCP

MECANICA DE FLUIDOS I

Mayo - 2015

1

En un punto de la masa liquida en movimiento existen por definir

cantidades escalares (presin, densidad, temperatura) y cantidades

vectoriales (velocidad, aceleracin, fuerza).

Mientras que una cantidad escalar queda definida por su magnitud. Para

que una cantidad vectorial quede definida se requiere conocer adems

de su magnitud, la direccin y el sentido.

Las caractersticas fsicas en el seno

lquido, tanto escalares como

vectoriales, pueden variar de un punto

a otro del lquido y en un mismo punto

de un instante a otro.

Esto se expresa diciendo que tanto las

cantidades escalares como las

vectoriales son funciones de punto y de

tiempo.

2 Ing. LUIS CLEMENTE

La cinemtica de los lquidos estudia el movimiento puro de las partculas, sin considerar la masa ni las fuerzas que lo producen. La descripcin del

movimiento se hace utilizando nicamente la velocidad, la aceleracin y la

rotacin.

El campo de velocidades

Una partcula del liquido recorre una lnea usualmente curva que se llama

trayectoria.

El estudio del movimiento de la partcula puede hacerse: * utilizando el vector posicin r, como una funcin vectorial del tiempo.


Parte de la mecnica que trata del movimiento en sus condiciones de espacio y tiempo, sin tener en cuenta las causas que lo producen.

Es un vector cualquiera el cual identifica la posicin de algo en el plano cartesiano o en espacio

* utilizando la trayectoria y el camino recorrido, como una funcin escalar del tiempo.

El vector velocidad de la partcula (v)

se define como la rapidez de cambio

de su posicin:

resulta ser un vector tangente a la

trayectoria de la posicin de la partcula

y del tiempo.


Representa la distribucin espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio

Un escalar es un tipo de magnitud fsica que se expresa por un solo nmero y tiene el mismo valor para todos los observadores.

v

Trayectoria

Se cumple:

de modo que:

Si s es un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria se cumple:

es decir.


El campo de aceleraciones

Es un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector

aceleracin de la partcula en un punto, se define como la rapidez de

cambio de su velocidad en ese punto:

Sus componentes son:

Desarrollando estas derivadas se

aprecia que las componentes de la

aceleracin son funciones de punto y

de tiempo.


a

La aceleracin en coordenadas intrnsecas

En la prctica se dan situaciones en las que el movimiento se supone

unidimensional. El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante

con el empleo de un sistema de coordenadas con su origen en cada

punto de la trayectoria; se denomina sistema intrnseco de coordenadas

y cualquier vector puede expresarse segn sus componentes en este

sistema.

En cada punto de la trayectoria es

posible distinguir tres vectores

unitarios , n, b tales que:

: tangente a la curva (vector

tangencial)

: normal a la tangente y

colineal con el radio de

curvatura, saliendo de la curva

(vector normal)

: perpendicular al plano

(vector binormal) 7 Ing. LUIS CLEMENTE

Los nombres de los planos respectivos son:

En este sistema:

prestemos atencion al termino

Puesto que P y son dos puntos

muy prximos entre si:

tiene la direccin de n y sentido

negativo; s y tienen

prcticamente el mismo mdulo

unitario:

sd

sds

: plano osculador : plano normal

: plano rectificador

tambin

dividiendo

8

.(1)

En cada punto de una curva, el plano osculador es el plano que contiene a su vector tangente y al vector normal a la curva. Para una partcula desplazndose en el espacio tridimensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleracin y la velocidad


reemplazando en (1):

Lo que quiere decir que el vector aceleracin se encuentra contenido en

el plano osculador. Averigemos las componentes:

el primer trmino representa aceleracin

convectiva, el segundo aceleracin local.

es decir:

aceleracin total = aceleracin convectiva + aceleracin local

nr

van

2

Ing. LUIS CLEMENTE 10

Clasificacin de los flujos

En la prctica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el

inters se centra en las conducciones por tubera y por canal, las

descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas

conducciones.

Flujo permanente y no permanente.- En el primero, en una seccin

de la conduccin permanecen constantes en el tiempo las variables

hidrulicas del flujo (velocidad, presin, densidad, etc). En el segundo

los valores de estas variables cambian de un instante a otro.


Flujo uniforme y no uniforme.- Considrese un flujo permanente en

dos situaciones distintas: una con tubera de dimetro constante y la

otra con tubera de dimetro decreciente.

En el flujo uniforme permanecen constantes a lo largo de la

conduccin las variables hidrulicas del flujo (velocidad, presin,

densidad, etc).

En el flujo no uniforme los valores de estas variables cambian de un

punto a otro de la conduccin; se le denomina tambin flujo variado.


Flujo gradualmente variado y rpidamente variado.- El esquema

corresponde a un canal que tiene una grada en el fondo, y es de por s

explicativo. El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente (FGV) o

bruscamente (FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se

desarrolla flujo uniforme.


Flujo unidimensional y bidimensional .- Estrictamente hablando el

flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo

prevalece una direccin es considerado unidimensional, como ocurre

con las tuberas y los canales. En el caso de los canales hay

circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda

dimensin para describir el flujo. debiendo hacerse el estudio del flujo

plano o bidimensional.


Flujo laminar y turbulento.- Considrese una tubera de vidrio por la

que se hace pasar agua en movimiento permanente, uniforme y

unidimensional.

Si se inyecta un colorante se apreciar que, si la velocidad del

escurrimiento es muy baja, el colorante sigue unas trayectorias

ordenadas, rectilneas y paralelas, caractersticas del flujo laminar. Si la

velocidad del agua, en cambio, tiene los valores ordinarios, se observar

que el colorante se mezcla por efecto de las trayectorias desordenadas y

errticas, caractersticas del flujo turbulento.


En la prctica, para las velocidades ordinarias, el flujo del agua es

turbulento en tuberas y canales y laminar en el subsuelo.

Existe un parmetro que es funcin de la viscosidad del lquido y

cuyo valor permite discernir sobre si el flujo es laminar o turbulento.

Se llama nmero de Reynolds (Re):

V : velocidad media del escurrimiento

v : viscosidad cinemtica

L : una longitud caracterstica .que en tuberas es generalmente el dimetro.


Para valores de Re de hasta 2,300 se verifica que el flujo es laminar y

para valores mayores que 4,000 se verifica que es turbulento. Valores

intermedios corresponden al perodo de transicin. Ntese que el Re es

adimensional.

Osborne Reynolds (Belfast, Irlanda del Norte, 1842 - Watchet, Inglaterra, 21 de febrero de 1912), ingeniero y fsico


Flujo compresible e incompresible.- Lo ordinario es que el agua se

considere incompresible y el aire compresible. Slo en aquellas

situaciones en que el agua resulta sometida a grandes presiones (como

en el fenmeno del golpe de ariete) es necesario tratarla como

compresible. De manera anloga, cuando el aire soporta presiones muy

pequeas durante su conduccin (como en los ductos de ventilacin)

puede ser considerado incompresible.


Flujo rotacional e irrotacional.- Un flujo es rotacional si en su seno el

campo de vectores rot adquiere valores distintos de cero, y es

irrotacional si en todo punto y en todo instante rot . En la prctica,

para las velocidades ordinarias el movimiento del agua es rotacional;

para velocidades altas puede ser considerado irrotacional y para la

hiptesis de liquido perfecto (sin viscosidad) el movimiento es de hecho

irrotacional. El esquema muestra el diagrama de velocidades en un

canal, para cada situacin.


Adems de los campos de velocidades y aceleraciones, existe en el seno

lquido otro campo llamado campo rotacional que se deriva de las

velocidades.

Se llama rotor de o rotacional de al vector: v v

Rot = v

que tambin es funcin de punto y de tiempo.


Significado fsico del vector rot .- Como en el cuerpo rgido, adems de

la traslacin una partcula puede experimentar una rotacin. Sea el

centro de gravedad de la partcula y el eje instantneo correspondiente.

vp

o

e

En un plano perpendicular a

considerar dos lneas ortogonales que

servirn para estudiar la rotacin pura

de la partcula.

El punto P se halla muy prximo al-

punto ; la velocidad es tangente

a la trayectoria circular de radio d y

corresponde a la traslacin pura del

punto P.

e

po v

r

Al producirse la rotacin la velocidad angular vale:

Por comodidad se puede tomar el eje e como eje

z y el plano en que se mueve P como plano xy.

Entonces el vector velocidad angular es:


La velocidad puede definirse como = x d

el vector d tiene la forma ;

entonces:

v v rr

lo cual significa que el rotor de la velocidad en un movimiento de

rotacin alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad

angular.


La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto en planta:


Descripcin del movimiento

El movimiento de un fluido queda descrito cuando se est en

condiciones de conocer:

* el cambio de posicin de una partcula

* la variacin de la velocidad en un punto.

Hay dos formas clsicas de describir el movimiento de un fluido.

Mtodo de Euler.- Consiste en elegir

un punto y determinar las variables

cinemticas en ese punto, en cada

instante, sin considerar el camino que

despus siga cada partcula individual.

Se usa:

Matemtico y fsico suizo


Mtodo de Lagrange,- Consiste en elegir una partcula y determinar las

variables cinemticas de esa partcula siguiendo su recorrido. Se usa:

De los dos mtodos se prefiere el primero

porque su manejo analtico es ms simple.

Fsico, matemtico y astrnomo italiano


Lnea de corriente. Trayectoria. Tubo de flujo En el flujo no permanente las variables cinemticas varan en un mismo

punto de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el

campo de velocidades . Se define lnea de corriente a toda lnea

trazada idealmente en el seno lquido de modo que la tangente en cada

uno de sus puntos; proporcione la direccin del vector velocidad

correspondiente. No existe posibilidad de que dos lneas de corriente

tengan un punto comn.


Si el flujo es no permanente

para otro instante t, la

configuracin de las lneas de

corriente es otra. Si el flujo es

permanente la configuracin

de las lneas de corriente es

la misma en cualquier

momento.

Se define trayectoria la curva que

marca el camino que sigue una

partcula con el transcurrir del

tiempo.

Si el flujo es no permanente las l.c. y trayectoria son lneas distintas. pero

si el flujo es permanente significan lo mismo.

La razn est en que en el flujo permanente el campo de velocidades no

cambia con el tiempo: * toda partcula que pasa por a sigue la misma trayectoria. * en cada punto a , a , an el vector velocidad permanece igual.


Ecuaciones de la lnea de corriente

ecuacin diferencial de la l.c.

En trminos de las componentes:

dx = vx dt

dy = vy dt

dz = vz dt

o bien, para un instante t


Tubo de flujo.- Si se considera en el seno lquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad

de estas l.c. definen una superficie que se denomina tubo de flujo o

tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por el fluido. El

volumen encerrado se conoce como vena lquida.


Caudal o gasto

Considrese el tubo de flujo

elemental, definido en las curvas cerradas C, C muy prximas entre s.

En el punto P se pueden considerar dos vectores: y .

El vector es un vector unitario normal a la superficie y cuyo

sentido positivo se establece por convenio.


En un intervalo dt el volumen de lquido que atraviesa, el elemento de

superficie es igual al producto escalar:

pero

se define caudal o gasto a la relacin;

Si dA es un elemento de una superficie finita

A, entonces:


y si, como es costumbre, se escoge la

superficie A de modo que las l.c.

sean normales a ella:

Se llama velocidad media del flujo a

travs de la superficie A al cociente:

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