1..Introdu o a Probabilidade A

8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A

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Estatística

Possibilidades e Probabilidade

Profa. Iza Melão.



Estatística

Contagem

“O que é possível”!ela"ionar tudo o que pode o"orrer em determinada

situa#ão$uantas "oisas diferentes podem o"orrer

Ex. %m departamento do governo deve adquirir tr&s veí"ulos de

um revendedor lo"al. Cada um desses veí"ulos pode ser um 'ipe( uma "amin)onete( uma minivan. !ela"ione as diversas

maneiras "omo as "ompras podem ser feitas*



Estatística



Estatística

+m um estudo médi"o(os pa"ientes são

"lassifi"ados pelo tipo desangue "omo ,( -( ,- ouO( e também de a"ordo"om sua pressão bai/a(

normal ou alta0.1e quantas maneiras um

pa"iente pode ser"lassifi"ado*

2. 3 4 56



Estatística

Permuta#ão , regra de multipli"a#ão de es"ol)as e sua

generaliza#ão apli"am7se frequentemente quandofazemos v8rias es"ol)as de um 9ni"o "on'unto e

temos interesse na ordem em que são feitas.

Combina#ão%samos para obter o n9mero de maneiras "omo rob'etos podem ser e/traídos de um "on'unto de nob'etos distintos( independemente da ordem em qusão e/traídos.



Estatística

Ex.: +/aminemos as 62 permuta#:es de tr&s das quatroletras do alfabeto.

ab" a"b ba" b"a "ab "ba

abd adb bad bda dab dba

a"d ad" "ad "da da" d"a

b"d bd" "bd "db db" d"b

Permuta#ão P2(3 4 62 "om repeti#ão0

P3 4 ; das tr&s letras da primeira "oluna0

Combina#ão C2(3 4 2 sem repeti#ão0



Estatística

Contagem

Possibilidades

!P ,n n A nn ==

. nm

( )!!

!,

r nr

nC r n

−

=Combinação:

Permutação:( )

!

!,

r n

n P r n

−

=



Estatística

Ex.:5. 1e quantas maneiras uma pessoa pode es"ol)er tr&s livros

de uma lista de oito best7sellers*

6. 1e quantas maneiras diferentes é possível formar um "omit&de < membros es"ol)idos dentre os ;6 membros do "orpo defun"ion8rios de uma grande firma de advo"a"ia*

3. 1e quantas maneiras diferentes o diretor de um laborat=rio depesquisa pode es"ol)er dois quími"os entre sete "andidatos e tr&smédi"os entre nove "andidatos *

C>(3 4 <;

C;6(< 4 ;.2?5.@@6

C?(6 . CA(3 4 65. >2 4 5.?;2



Estatística

Exercícios ;. 1eterminar o n9mero de "ombina#:es simples de 2 elementos

tomados 3 a 3.

Solução Considerando um "on'unto , 4 Ba(b("(d( uma das maneiras de esseselementos serem "ombinados 3 a 3 é Ba(b(". Das "ombina#:es a ordemnão deve ser "onsiderada( ou se'a

Ba(b(" 4 +ssa "ombina#ão nos leva a um arran'o , 3,3 4 P3 4 3 .6 .5 4 ;

Para "ada uma das demais "ombina#:es dos 2 elementos 3 a 3 o mesmoo"orrer8. 1essa forma( o total de "ombina#:es simples de 2 elementostomados 3 a 3 C4,30 é

a,b,c

a,c,b

b,a,c

b,c,a

c,a,b

c,b,a

46

24

123

234

P

A

A

AC

3

4,3

3,3

4,3

4,3 ==

××

××===



Estatística

Exercícios ?. $uantas "omiss:es "om 2 elementos podemos formar numa

"lasse de 6@ alunos*

Solução:

Dote que Ba(b("(d 4 Bd("(b(a verifi"amos que a ordem dos

elementos no grupo não altera a "omissão.

Ee "al"ularmos o ,6@( 2 teremos 6@ / 5A / 5> / 5? 4

55;.6>@( mas "omo sabemos os arran'os "onsideram a

ordem dos elementos no grupo. ,ssim( teremos que

des"ontar os repetidos.Eabemos que a "omissão é formadapor 2 alunos. Imagine a "omissão formada pelos

alunos a b c d.



Estatística

Exercícios ?. Solução:

1a posição a posição 3a posição 4a posição

$uantas posi#:es o aluno a pode o"upar*2 posi#:esEupon)a que o aluno a o"upou a 5a posi#ão a F F F 0( quantas posi#:es o

aluno b pode o"upar*3 posi#:es

Eupon)a que o aluno b o"upou a 6a posi#ão a b F F 0( quantas posi#:es o

aluno c pode o"upar*6 posi#:es

Eupon)a que o aluno c o"upou a 3a posi#ão a b " F 0( quantas posi#:es oaluno d pode o"upar*

%ma 9ni"a posi#ão( ou se'a a b " d 0

,ssim temos um arran'o de 2 alunos agrupados 2 a 2( ou uma Permuta#ãosimples de 2 elementosP2 . Portanto

P2 4 2 / 3 / 6 / 5 4 62

Dote que para "ada uma das demais "ombina#:es dos 6@ elementos 2 a 2 o mesmoo"orrer8.



Estatística

Exercícios ?. Solução:

1essa forma( o total de "ombina#:es simples de 6@ elementostomados 2 a 2 C6@( 20 é

C

A

P

116.280

24 4.84520,4

20,4

4

= = =



Estatística

Exercícios >. , diretoria de uma firma é "onstituída de ? diretores brasileiros.

$uantas "omiss:es de 3 brasileiros podem ser formadas*A. , diretoria de uma firma é "onstituída de 2 diretores 'aponeses.

$uantas "omiss:es de 3 'aponeses podem ser formadas*

5@. %m aluno deve responder a > das 5@ quest:es de um e/ame(

sendo as tr&s primeiras obrigat=rias. $ual é o n9mero dealternativas possíveis do aluno*

55. %ma empresa tem 3 diretores e < gerentes. $uantas

"omiss:es de < pessoas podem ser formadas "ontendo nomínimo 5 diretor*

56. 1e quantas maneiras podemos es"ol)er o 'ogo da mega sena

"om um palpite simples( 'ogando 5 "artão "om ; n9meros*



Estatística

!oç"es de Probabilidade

#E$%!%&'( ,s probabilidades são utilizadas para e/primir a ")an"e de

o"orr&n"ia de determinado evento. Indi"a que e/iste um elemento de a"aso(ou de in"erteza( quanto G o"orr&n"ia ou não de um evento futuro.

Exemplos:

50 Ee 'ogarmos uma moeda para o ar não poderemos afirmar se vai dar "ara

ou "oroaH poderemos apenas dizer quão prov8veis são a o"orr&n"ia de "ara

ou "oroa.

60 Previsão da pro"ura de um produto novo(30 , "ompra de ap=li"es de seguro(

20 Previsão de ")uva(

<0 Investimento visando lu"ro et".



Estatística


)P*%C)&'(

$uando soli"itados a estudar um fenmeno "oletivo(

verifi"amos a ne"essidade de des"rever tal fenmeno por

um modelo matem8ti"o que permita e/pli"ar da mel)or

forma possível este fenmeno.

, teoria das probabilidades permite "onstruir modelos

matem8ti"os que e/pli"am um grande n9mero de

fenmenos "oletivos e forne"em estratégias para a tomada

de de"is:es.



Estatística

Conceitos %mportantes 1. Espaço amostral é o "on'unto de todos os resultados

possíveis de um e/perimento. Indi"aremos por E

. E+ento $ualquer "on'unto de resultados de um e/perimento.

J um sub"on'unto de E. Indi"aremos por letras mai9s"ulas ,( -( C(...

Exemplo 1 O e/perimento "onsiste em + lan#ar um dado.

O espa#o amostral ser8 o "on'unto E 4 B5( 6( 3( 2( <( ;

Ee'a o evento , sair um n9mero par , 4 B 6( 2( ;.



Estatística

Conceitos %mportantes 3. Probabilidade de ocorr-ncia de um evento é dada por um

n9mero que pode variar entre @ e 5. O menor valor que umenun"iado de probabilidade pode ter é zero @0 indi"ando que

o evento é impossível e o maior valor é um 50 indi"ando que

o evento "ertamente ir8 o"orrer.

P)/ 1

2. E+entos complementares: Eabemos que um evento pode

o"orrer ou não. Eendo , a probabilidade de que ele o"orra

su"esso0 e a probabilidade de que ele não o"orrainsu"esso0( para um mesmo evento e/iste sempre a rela#ão

P)/ 0 P)/ 1



Estatística


<. E+entos 2utuamente Exclusi+os 1izemos que dois ou mais

eventos são mutuamente e/"lusivos quando a realiza#ão deum e/"lui a realiza#ão dos0 outros0.

,ssim( no lan#amento de uma moeda( o evento Ktirar "araKe oevento Ktirar "oroa” são mutuamente e/"lusivos( '8 que( ao

se realizar um o outro não se realiza.

Ee dois eventos são mutuamente e/"lusivos( a prob. de que um

ou outro se realize é igual G soma das prob. de que "ada um

deles se realize. +ntão P, ∪ - 0 4 P,0 L P-0 P, ∩ -0"omo P, ∩ -0 4 @ temos

P)∪

/ P)/ 0 P/



Estatística


. E+entos %ndependentes 1izemos que dois eventos são

independentes quando a realiza#ão ou não de um dos

eventos não afeta a probabilidade de realiza#ão do outro e

vi"e7versa. Por e/emplo( no lan#amento de dois dados( o

resultado obtido em um deles independe do resultadoobtido no outro. Ee dois eventos são independentes( a

probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é

igual ao produto das probabilidades de realiza#ão dos doiseventos.

P) / P)/ x P/



Estatística

#eterminação dos 5alores de Probabilidade

Nr&s abordagens foram desenvolvidas para definir e determinar

os valores de probabilidades

En6o7ue cl8ssico

En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/

En6o7ue personalístico subeti+o/



Estatística

En6o7ue cl8ssico ,pli"a7se Gs situa#:es em que os resultados que "omp:em

o espa#o amostral o"orrem "om mesma probabilidade( ouse'a( os resultados são equiprov8veis.

P)/ casosdetotal número

Aeventoao favoráveiscasosdenúmero



Estatística

En6o7ue cl8ssico Exemplo :

Ee'am os dados do e/.@5 P,0 4 4

, probabilidade de e/trair uma das 2 damas de umbaral)o de <6 "artas.

P,0 4 4

3

1

;

4

cartas

damas

<6

2



Estatística

En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/

J determinado "om base na propor#ão freq&n"ia relativa0 de

vezes que o"orre um resultado favor8vel em um "erton9mero de observa#:es ou e/perimentos. +st8 baseado na

observa#ão e na "oleta de dados. ,pli"a7se as situa#:es

onde os resultados que "omp:em o espa#o amostral não são

igualmente prov8veis.

Por e/emplo( no "aso de uma moeda não equilibrada( é "laro que

"ara e "oroa não são igualmente prov8veis. Eeria razo8vel(

neste "aso( lan#ar a moeda v8rias vezes e observar osresultados. Ee lan#armos a moeda 5@@ vezes e obtivermos

"ara ;@ vezes( podemos estimar a probabilidade de "ara( em

'ogada futura( "omo sendo ;@5@@4@(;@



Estatística

En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/Exemplo 3:

a0 ,ntes de in"luir a "obertura para "ertos tipos de problemasdentais em ap=li"es de seguro7sa9de para indivíduosadultos( uma "ompan)ia de seguros dese'a determinar aprobabilidade de o"orr&n"ia de tais problemas( para

estabele"er( de a"ordo "om ela( a ta/a de seguro. ,ssim( seo estatísti"o "oleta dados para 5@.@@@ adultos nas fai/asapropriadas de idade e observa que 5@@ pessoas tiveram oproblema dental parti"ular durante o ano passado. ,

probabilidade de o"orr&n"ia é de %101,0

000.10

100

)( ou

sobservaçõeou provasdetotal número

Adeocorrênciadenúmero A P ===



Estatística

En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/b0 Os arquivos de uma "ompan)ia imobili8ria revelam que( num

período de 5; dias( a freq&n"ia de "asas vendidas por diafoi

Do vendido @ 5 6 3

Do de dias 3 6 < ;

16

14

3P50 4

14

P30 4

16

6P50 4



Estatística

En6o7ue personalístico subeti+o/ ,s probabilidades determinadas pelo método "l8ssi"o ou pelo

método empíri"o são baseadas em fatos. Nodavia( e/istem

situa#:es em que os resultados possíveis não são

equiprov8veis e não dispomos de um )ist=ri"o. Destes "asos

é feita uma avalia#ão pessoal do grau de viabilidade de um

evento. J o grau de "ren#a de um indivíduo de que o evento

ir8 o"orrer( baseado em toda evid&n"ia a ele disponível.



Estatística


Por e/emploH

Qo"& se apai/onar8 na semana que vem*

%ma 8rvore "res"er8 em lin)a reta até fi"ar bem alta*

%m enfermo se re"uperar8 "ompletamente*

,dvogados( médi"os e administradores utilizam esse

pro"esso "om razo8vel &/ito( "onquanto ele possaapresentar "ertas desvantagens.



Estatística


+ntre elas( podemos men"ionar ,s estimativas sub'etivas são em geral difí"eis de defender(

quando postas em d9vida.

, tenden"iosidade pode ser um fator. Dão s= no#:es

pre"on"ebidas sobre o que deveria o"orrer "omo também o

dese'o de que o"orra determinado evento( podem distor"er

a ob'etividade. Muitas vezes Rtorna7se difí"il eliminar essa

tenden"iosidade( porque em geral ela é sub"ons"iente.



Estatística

En6o7ue personalístico subeti+o/Exemplo 4

Por raz:es de tributa#ão e de usos alternativos de seus fundos(

um investidor "on"luiu que a "ompra de lotes de terra se

'ustifi"a somente se e/iste uma probabilidade de pelo menos@(A@ de que o valor da terra aumente <@S ou mais nos

pr=/imos 2 anos. ,o avaliar um "erto terreno( o investidor

estuda as mudan#as de pre#os na região durante os 9ltimos

anos( "onsidera os níveis de pre#os atuais(



Estatística


estuda o estado atual e futuro dos pro'etos de

desenvolvimento de terras e analisa as estatísti"as

rela"ionadas "om o desenvolvimento e"onmi"o de toda a

8rea geogr8fi"a. Com base neste estudo( o investidor ")ega

G "on"lusão de que )8 uma probabilidade de "er"a de @(?<

de o"orrer a ne"ess8ria subida no pre#o da terra( razão pela

qual de"idiu não investir no terreno.

+ í i



Estatística

+/er"í"ios5. $ual a probabilidade de( no lan#amento simultTneo de dois

dados diferentes( obtermos soma ?*

6. 1etermine a probabilidade dea0 obter um n9mero menor que 3 no lan#amento de um dadoHb0 os tr&s fil)os de um "asal serem meninosH"0 o nas"imento de e/atamente 6 meninos em 3 fil)os do "asal.

3. $ual a probabilidade do evento "erto* + do evento impossível*2. Os eventos , e , são "omplementares.Eendo P,0 4 @(3( "al"ule

P,0.<. +m um lote de 56 pe#as( 2 são defeituosas. Eendo retirada uma

pe#a( "al"ulea0 a probabilidade de essa pe#a ser defeituosab0 a probabilidade de essa pe#a não ser defeituosa

+ er"í"ios



Estatística

+/er"í"ios;. %ma urna "ontém 5@ bolas bran"as( > vermel)as e ;

pretas( todas iguais e indistinguíveis ao tato. !etirando7se

uma bola ao a"aso( qual a probabilidade de ela não serpreta*?. 1e dois baral)os de <6 "artas retiram7se(

simultaneamente( uma "arta do primeiro baral)o e uma"arta do segundo. $ual a probabilidade de a "arta do

primeiro baral)o ser um rei e a do segundo ser o < depaus*

>. %ma urna , "ontém 3 bolas bran"as( 2 pretas( 6 verdesHuma urna - "ontém < bolas bran"as( 6 pretas (5 verdeH

uma urna C "ontém 6 bolas bran"as( 3 pretas( 2 verdes.%ma bola é retirada de "ada urna. $ual é a probabilidadede as tr&s bolas retiradas da primeira( segunda e ter"eiraurnas serem respe"tivamente( bran"a( preta e verde*

+/er"í"ios



Estatística

+/er"í"iosA. +m um lote de 56 pe#as( 2 são defeituosas. Eendo retiradas

aleatoriamente 6 pe#as( "al"ule

a0 a probabilidade de ambas serem defeituosasb0 a probabilidade de ambas não serem defeituosas

5@. %ma lo'a disp:e de 56 geladeiras do mesmo tipo( das quais2 apresentam defeitos.a0 na "ompra de uma geladeira( qual a probabilidade de um"liente levar uma defeituosa*b0 na "ompra de duas geladeiras( qual a probabilidade deum "liente levar duas defeituosas*

+/er"í"ios



Estatística

+/er"í"ios55. %m lote é formado por 5@ pe#as boas( 2 "om defeitos e 6

"om defeitos graves. %ma pe#a é es"ol)ida ao a"aso.

Cal"ule a probabilidade de que

a0 ela não ten)a defeitos gravesH

b0 ela não ten)a defeitos H

"0 ela se'a boa ou ten)a defeitos graves.

56. Considere o mesmo lote do problema anterior. !etiram7se 6

pe#as ao a"aso. Cal"ular a probabilidade de que

a0 ambas se'am perfeitasH

b0 pelo menos uma se'a perfeitaH



Estatística

+/emplo Uogar dois dados

1ois dados são 'ogados.1es"reva o espa#o amostral.

5a 'ogada

3; resultados

6a

'ogada

Iní"io

5 6 3 2 < ;

5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ;



Estatística

Probabilidades

5(55(65(35(25(<5(;

6(56(66(36(26(<6(;

3(53(63(33(23(<3(;

2(52(62(32(22(<2(;

<(5<(6<(3<(2<(<<(;

;(5;(6;(3;(2;(<;(;

1etemine a probabilidade de que a soma se'a 2.

1etermine a probabilidade de que a soma se'a 55.

1etermine a probabilidade de que a soma se'a 2 ou 55.

1ois dados são 'ogados e sua soma é anotada.

<3; 4 @(53A

63; 4 @(@<<

33; 4 @(@>3

- l)



Estatística

-aral)oV %m baral)o é formado por <6 "artas(

V 2 naipes < Copas = Paus

> (uros? Espadas

V 53 "artas de "ada naipe

Ws, , 3,4,;,,@,A,B,1, , D Onde( Ws equivale ao um

U Qalete

$ 1ama

X 7 !ei



E t tí ti

!aipes

= Paus

? Espadas< Copas

> (uros

1..Introdu o a Probabilidade A

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