8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 1/39
Estatística
Possibilidades e Probabilidade
Profa. Iza Melão.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 2/39
Estatística
Contagem
“O que é possível”!ela"ionar tudo o que pode o"orrer em determinada
situa#ão$uantas "oisas diferentes podem o"orrer
Ex. %m departamento do governo deve adquirir tr&s veí"ulos de
um revendedor lo"al. Cada um desses veí"ulos pode ser um 'ipe( uma "amin)onete( uma minivan. !ela"ione as diversas
maneiras "omo as "ompras podem ser feitas*
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 3/39
Estatística
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 4/39
Estatística
+m um estudo médi"o(os pa"ientes são
"lassifi"ados pelo tipo desangue "omo ,( -( ,- ouO( e também de a"ordo"om sua pressão bai/a(
normal ou alta0.1e quantas maneiras um
pa"iente pode ser"lassifi"ado*
2. 3 4 56
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 5/39
Estatística
Permuta#ão , regra de multipli"a#ão de es"ol)as e sua
generaliza#ão apli"am7se frequentemente quandofazemos v8rias es"ol)as de um 9ni"o "on'unto e
temos interesse na ordem em que são feitas.
Combina#ão%samos para obter o n9mero de maneiras "omo rob'etos podem ser e/traídos de um "on'unto de nob'etos distintos( independemente da ordem em qusão e/traídos.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 6/39
Estatística
Ex.: +/aminemos as 62 permuta#:es de tr&s das quatroletras do alfabeto.
ab" a"b ba" b"a "ab "ba
abd adb bad bda dab dba
a"d ad" "ad "da da" d"a
b"d bd" "bd "db db" d"b
Permuta#ão P2(3 4 62 "om repeti#ão0
P3 4 ; das tr&s letras da primeira "oluna0
Combina#ão C2(3 4 2 sem repeti#ão0
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 7/39
Estatística
Contagem
Possibilidades
!P ,n n A nn ==
. nm
( )!!
!,
r nr
nC r n
−
=Combinação:
Permutação:( )
!
!,
r n
n P r n
−
=
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 8/39
Estatística
Ex.:5. 1e quantas maneiras uma pessoa pode es"ol)er tr&s livros
de uma lista de oito best7sellers*
6. 1e quantas maneiras diferentes é possível formar um "omit&de < membros es"ol)idos dentre os ;6 membros do "orpo defun"ion8rios de uma grande firma de advo"a"ia*
3. 1e quantas maneiras diferentes o diretor de um laborat=rio depesquisa pode es"ol)er dois quími"os entre sete "andidatos e tr&smédi"os entre nove "andidatos *
C>(3 4 <;
C;6(< 4 ;.2?5.@@6
C?(6 . CA(3 4 65. >2 4 5.?;2
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 9/39
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 10/39
Estatística
Exercícios ;. 1eterminar o n9mero de "ombina#:es simples de 2 elementos
tomados 3 a 3.
Solução Considerando um "on'unto , 4 Ba(b("(d( uma das maneiras de esseselementos serem "ombinados 3 a 3 é Ba(b(". Das "ombina#:es a ordemnão deve ser "onsiderada( ou se'a
Ba(b(" 4 +ssa "ombina#ão nos leva a um arran'o , 3,3 4 P3 4 3 .6 .5 4 ;
Para "ada uma das demais "ombina#:es dos 2 elementos 3 a 3 o mesmoo"orrer8. 1essa forma( o total de "ombina#:es simples de 2 elementostomados 3 a 3 C4,30 é
a,b,c
a,c,b
b,a,c
b,c,a
c,a,b
c,b,a
46
24
123
234
P
A
A
AC
3
4,3
3,3
4,3
4,3 ==
××
××===
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 11/39
Estatística
Exercícios ?. $uantas "omiss:es "om 2 elementos podemos formar numa
"lasse de 6@ alunos*
Solução:
Dote que Ba(b("(d 4 Bd("(b(a verifi"amos que a ordem dos
elementos no grupo não altera a "omissão.
Ee "al"ularmos o ,6@( 2 teremos 6@ / 5A / 5> / 5? 4
55;.6>@( mas "omo sabemos os arran'os "onsideram a
ordem dos elementos no grupo. ,ssim( teremos que
des"ontar os repetidos.Eabemos que a "omissão é formadapor 2 alunos. Imagine a "omissão formada pelos
alunos a b c d.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 12/39
Estatística
Exercícios ?. Solução:
1a posição a posição 3a posição 4a posição
$uantas posi#:es o aluno a pode o"upar*2 posi#:esEupon)a que o aluno a o"upou a 5a posi#ão a F F F 0( quantas posi#:es o
aluno b pode o"upar*3 posi#:es
Eupon)a que o aluno b o"upou a 6a posi#ão a b F F 0( quantas posi#:es o
aluno c pode o"upar*6 posi#:es
Eupon)a que o aluno c o"upou a 3a posi#ão a b " F 0( quantas posi#:es oaluno d pode o"upar*
%ma 9ni"a posi#ão( ou se'a a b " d 0
,ssim temos um arran'o de 2 alunos agrupados 2 a 2( ou uma Permuta#ãosimples de 2 elementosP2 . Portanto
P2 4 2 / 3 / 6 / 5 4 62
Dote que para "ada uma das demais "ombina#:es dos 6@ elementos 2 a 2 o mesmoo"orrer8.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 13/39
Estatística
Exercícios ?. Solução:
1essa forma( o total de "ombina#:es simples de 6@ elementostomados 2 a 2 C6@( 20 é
C
A
P
116.280
24 4.84520,4
20,4
4
= = =
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 14/39
Estatística
Exercícios >. , diretoria de uma firma é "onstituída de ? diretores brasileiros.
$uantas "omiss:es de 3 brasileiros podem ser formadas*A. , diretoria de uma firma é "onstituída de 2 diretores 'aponeses.
$uantas "omiss:es de 3 'aponeses podem ser formadas*
5@. %m aluno deve responder a > das 5@ quest:es de um e/ame(
sendo as tr&s primeiras obrigat=rias. $ual é o n9mero dealternativas possíveis do aluno*
55. %ma empresa tem 3 diretores e < gerentes. $uantas
"omiss:es de < pessoas podem ser formadas "ontendo nomínimo 5 diretor*
56. 1e quantas maneiras podemos es"ol)er o 'ogo da mega sena
"om um palpite simples( 'ogando 5 "artão "om ; n9meros*
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 15/39
Estatística
!oç"es de Probabilidade
#E$%!%&'( ,s probabilidades são utilizadas para e/primir a ")an"e de
o"orr&n"ia de determinado evento. Indi"a que e/iste um elemento de a"aso(ou de in"erteza( quanto G o"orr&n"ia ou não de um evento futuro.
Exemplos:
50 Ee 'ogarmos uma moeda para o ar não poderemos afirmar se vai dar "ara
ou "oroaH poderemos apenas dizer quão prov8veis são a o"orr&n"ia de "ara
ou "oroa.
60 Previsão da pro"ura de um produto novo(30 , "ompra de ap=li"es de seguro(
20 Previsão de ")uva(
<0 Investimento visando lu"ro et".
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 16/39
Estatística
!oç"es de Probabilidade
)P*%C)&'(
$uando soli"itados a estudar um fenmeno "oletivo(
verifi"amos a ne"essidade de des"rever tal fenmeno por
um modelo matem8ti"o que permita e/pli"ar da mel)or
forma possível este fenmeno.
, teoria das probabilidades permite "onstruir modelos
matem8ti"os que e/pli"am um grande n9mero de
fenmenos "oletivos e forne"em estratégias para a tomada
de de"is:es.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 17/39
Estatística
Conceitos %mportantes 1. Espaço amostral é o "on'unto de todos os resultados
possíveis de um e/perimento. Indi"aremos por E
. E+ento $ualquer "on'unto de resultados de um e/perimento.
J um sub"on'unto de E. Indi"aremos por letras mai9s"ulas ,( -( C(...
Exemplo 1 O e/perimento "onsiste em + lan#ar um dado.
O espa#o amostral ser8 o "on'unto E 4 B5( 6( 3( 2( <( ;
Ee'a o evento , sair um n9mero par , 4 B 6( 2( ;.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 18/39
Estatística
Conceitos %mportantes 3. Probabilidade de ocorr-ncia de um evento é dada por um
n9mero que pode variar entre @ e 5. O menor valor que umenun"iado de probabilidade pode ter é zero @0 indi"ando que
o evento é impossível e o maior valor é um 50 indi"ando que
o evento "ertamente ir8 o"orrer.
P)/ 1
2. E+entos complementares: Eabemos que um evento pode
o"orrer ou não. Eendo , a probabilidade de que ele o"orra
su"esso0 e a probabilidade de que ele não o"orrainsu"esso0( para um mesmo evento e/iste sempre a rela#ão
P)/ 0 P)/ 1
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 19/39
Estatística
!oç"es de Probabilidade
<. E+entos 2utuamente Exclusi+os 1izemos que dois ou mais
eventos são mutuamente e/"lusivos quando a realiza#ão deum e/"lui a realiza#ão dos0 outros0.
,ssim( no lan#amento de uma moeda( o evento Ktirar "araKe oevento Ktirar "oroa” são mutuamente e/"lusivos( '8 que( ao
se realizar um o outro não se realiza.
Ee dois eventos são mutuamente e/"lusivos( a prob. de que um
ou outro se realize é igual G soma das prob. de que "ada um
deles se realize. +ntão P, ∪ - 0 4 P,0 L P-0 P, ∩ -0"omo P, ∩ -0 4 @ temos
P)∪
/ P)/ 0 P/
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 20/39
Estatística
!oç"es de Probabilidade
. E+entos %ndependentes 1izemos que dois eventos são
independentes quando a realiza#ão ou não de um dos
eventos não afeta a probabilidade de realiza#ão do outro e
vi"e7versa. Por e/emplo( no lan#amento de dois dados( o
resultado obtido em um deles independe do resultadoobtido no outro. Ee dois eventos são independentes( a
probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é
igual ao produto das probabilidades de realiza#ão dos doiseventos.
P) / P)/ x P/
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 21/39
Estatística
#eterminação dos 5alores de Probabilidade
Nr&s abordagens foram desenvolvidas para definir e determinar
os valores de probabilidades
En6o7ue cl8ssico
En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/
En6o7ue personalístico subeti+o/
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 22/39
Estatística
En6o7ue cl8ssico ,pli"a7se Gs situa#:es em que os resultados que "omp:em
o espa#o amostral o"orrem "om mesma probabilidade( ouse'a( os resultados são equiprov8veis.
P)/ casosdetotal número
Aeventoao favoráveiscasosdenúmero
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 23/39
Estatística
En6o7ue cl8ssico Exemplo :
Ee'am os dados do e/.@5 P,0 4 4
, probabilidade de e/trair uma das 2 damas de umbaral)o de <6 "artas.
P,0 4 4
3
1
;
4
cartas
damas
<6
2
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 24/39
Estatística
En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/
J determinado "om base na propor#ão freq&n"ia relativa0 de
vezes que o"orre um resultado favor8vel em um "erton9mero de observa#:es ou e/perimentos. +st8 baseado na
observa#ão e na "oleta de dados. ,pli"a7se as situa#:es
onde os resultados que "omp:em o espa#o amostral não são
igualmente prov8veis.
Por e/emplo( no "aso de uma moeda não equilibrada( é "laro que
"ara e "oroa não são igualmente prov8veis. Eeria razo8vel(
neste "aso( lan#ar a moeda v8rias vezes e observar osresultados. Ee lan#armos a moeda 5@@ vezes e obtivermos
"ara ;@ vezes( podemos estimar a probabilidade de "ara( em
'ogada futura( "omo sendo ;@5@@4@(;@
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 25/39
Estatística
En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/Exemplo 3:
a0 ,ntes de in"luir a "obertura para "ertos tipos de problemasdentais em ap=li"es de seguro7sa9de para indivíduosadultos( uma "ompan)ia de seguros dese'a determinar aprobabilidade de o"orr&n"ia de tais problemas( para
estabele"er( de a"ordo "om ela( a ta/a de seguro. ,ssim( seo estatísti"o "oleta dados para 5@.@@@ adultos nas fai/asapropriadas de idade e observa que 5@@ pessoas tiveram oproblema dental parti"ular durante o ano passado. ,
probabilidade de o"orr&n"ia é de %101,0
000.10
100
)( ou
sobservaçõeou provasdetotal número
Adeocorrênciadenúmero A P ===
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 26/39
Estatística
En6o7ue 6re79-ncialístico empírico/b0 Os arquivos de uma "ompan)ia imobili8ria revelam que( num
período de 5; dias( a freq&n"ia de "asas vendidas por diafoi
Do vendido @ 5 6 3
Do de dias 3 6 < ;
16
14
3P50 4
14
P30 4
16
6P50 4
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 27/39
Estatística
En6o7ue personalístico subeti+o/ ,s probabilidades determinadas pelo método "l8ssi"o ou pelo
método empíri"o são baseadas em fatos. Nodavia( e/istem
situa#:es em que os resultados possíveis não são
equiprov8veis e não dispomos de um )ist=ri"o. Destes "asos
é feita uma avalia#ão pessoal do grau de viabilidade de um
evento. J o grau de "ren#a de um indivíduo de que o evento
ir8 o"orrer( baseado em toda evid&n"ia a ele disponível.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 28/39
Estatística
En6o7ue personalístico subeti+o/
Por e/emploH
Qo"& se apai/onar8 na semana que vem*
%ma 8rvore "res"er8 em lin)a reta até fi"ar bem alta*
%m enfermo se re"uperar8 "ompletamente*
,dvogados( médi"os e administradores utilizam esse
pro"esso "om razo8vel &/ito( "onquanto ele possaapresentar "ertas desvantagens.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 29/39
Estatística
En6o7ue personalístico subeti+o/
+ntre elas( podemos men"ionar ,s estimativas sub'etivas são em geral difí"eis de defender(
quando postas em d9vida.
, tenden"iosidade pode ser um fator. Dão s= no#:es
pre"on"ebidas sobre o que deveria o"orrer "omo também o
dese'o de que o"orra determinado evento( podem distor"er
a ob'etividade. Muitas vezes Rtorna7se difí"il eliminar essa
tenden"iosidade( porque em geral ela é sub"ons"iente.
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 30/39
Estatística
En6o7ue personalístico subeti+o/Exemplo 4
Por raz:es de tributa#ão e de usos alternativos de seus fundos(
um investidor "on"luiu que a "ompra de lotes de terra se
'ustifi"a somente se e/iste uma probabilidade de pelo menos@(A@ de que o valor da terra aumente <@S ou mais nos
pr=/imos 2 anos. ,o avaliar um "erto terreno( o investidor
estuda as mudan#as de pre#os na região durante os 9ltimos
anos( "onsidera os níveis de pre#os atuais(
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 31/39
Estatística
En6o7ue personalístico subeti+o/
estuda o estado atual e futuro dos pro'etos de
desenvolvimento de terras e analisa as estatísti"as
rela"ionadas "om o desenvolvimento e"onmi"o de toda a
8rea geogr8fi"a. Com base neste estudo( o investidor ")ega
G "on"lusão de que )8 uma probabilidade de "er"a de @(?<
de o"orrer a ne"ess8ria subida no pre#o da terra( razão pela
qual de"idiu não investir no terreno.
+ í i
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 32/39
Estatística
+/er"í"ios5. $ual a probabilidade de( no lan#amento simultTneo de dois
dados diferentes( obtermos soma ?*
6. 1etermine a probabilidade dea0 obter um n9mero menor que 3 no lan#amento de um dadoHb0 os tr&s fil)os de um "asal serem meninosH"0 o nas"imento de e/atamente 6 meninos em 3 fil)os do "asal.
3. $ual a probabilidade do evento "erto* + do evento impossível*2. Os eventos , e , são "omplementares.Eendo P,0 4 @(3( "al"ule
P,0.<. +m um lote de 56 pe#as( 2 são defeituosas. Eendo retirada uma
pe#a( "al"ulea0 a probabilidade de essa pe#a ser defeituosab0 a probabilidade de essa pe#a não ser defeituosa
+ er"í"ios
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 33/39
Estatística
+/er"í"ios;. %ma urna "ontém 5@ bolas bran"as( > vermel)as e ;
pretas( todas iguais e indistinguíveis ao tato. !etirando7se
uma bola ao a"aso( qual a probabilidade de ela não serpreta*?. 1e dois baral)os de <6 "artas retiram7se(
simultaneamente( uma "arta do primeiro baral)o e uma"arta do segundo. $ual a probabilidade de a "arta do
primeiro baral)o ser um rei e a do segundo ser o < depaus*
>. %ma urna , "ontém 3 bolas bran"as( 2 pretas( 6 verdesHuma urna - "ontém < bolas bran"as( 6 pretas (5 verdeH
uma urna C "ontém 6 bolas bran"as( 3 pretas( 2 verdes.%ma bola é retirada de "ada urna. $ual é a probabilidadede as tr&s bolas retiradas da primeira( segunda e ter"eiraurnas serem respe"tivamente( bran"a( preta e verde*
+/er"í"ios
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 34/39
Estatística
+/er"í"iosA. +m um lote de 56 pe#as( 2 são defeituosas. Eendo retiradas
aleatoriamente 6 pe#as( "al"ule
a0 a probabilidade de ambas serem defeituosasb0 a probabilidade de ambas não serem defeituosas
5@. %ma lo'a disp:e de 56 geladeiras do mesmo tipo( das quais2 apresentam defeitos.a0 na "ompra de uma geladeira( qual a probabilidade de um"liente levar uma defeituosa*b0 na "ompra de duas geladeiras( qual a probabilidade deum "liente levar duas defeituosas*
+/er"í"ios
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 35/39
Estatística
+/er"í"ios55. %m lote é formado por 5@ pe#as boas( 2 "om defeitos e 6
"om defeitos graves. %ma pe#a é es"ol)ida ao a"aso.
Cal"ule a probabilidade de que
a0 ela não ten)a defeitos gravesH
b0 ela não ten)a defeitos H
"0 ela se'a boa ou ten)a defeitos graves.
56. Considere o mesmo lote do problema anterior. !etiram7se 6
pe#as ao a"aso. Cal"ular a probabilidade de que
a0 ambas se'am perfeitasH
b0 pelo menos uma se'a perfeitaH
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 36/39
Estatística
+/emplo Uogar dois dados
1ois dados são 'ogados.1es"reva o espa#o amostral.
5a 'ogada
3; resultados
6a
'ogada
Iní"io
5 6 3 2 < ;
5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ; 5 6 3 2 < ;
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 37/39
Estatística
Probabilidades
5(55(65(35(25(<5(;
6(56(66(36(26(<6(;
3(53(63(33(23(<3(;
2(52(62(32(22(<2(;
<(5<(6<(3<(2<(<<(;
;(5;(6;(3;(2;(<;(;
1etemine a probabilidade de que a soma se'a 2.
1etermine a probabilidade de que a soma se'a 55.
1etermine a probabilidade de que a soma se'a 2 ou 55.
1ois dados são 'ogados e sua soma é anotada.
<3; 4 @(53A
63; 4 @(@<<
33; 4 @(@>3
- l)
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 38/39
Estatística
-aral)oV %m baral)o é formado por <6 "artas(
V 2 naipes < Copas = Paus
> (uros? Espadas
V 53 "artas de "ada naipe
Ws, , 3,4,;,,@,A,B,1, , D Onde( Ws equivale ao um
U Qalete
$ 1ama
X 7 !ei
8/18/2019 1..Introdu o a Probabilidade A
http://slidepdf.com/reader/full/1introdu-o-a-probabilidade-a 39/39
E t tí ti
!aipes
= Paus
? Espadas< Copas
> (uros
Top Related