1º Teoríatrigonometría Plana

7/25/2019 1 Teoratrigonometra Plana

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TRIGONOMETRA PLANA (1 BACHILLERATO)

Antonius Benedictus


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MEDIDA RADIAL (O NATURAL) DE UN NGULO

Consideremos un ngulo . Trazamos una circunferencia de radio rcuyo centro O esel vrtice del ngulo. Medimos el arco lque abarcan los lados del ngulo. Entonces:

La medida (radial o natural) de es el cociente entre la longitud l del arco y el radior de la circunferencia.

La unidad de medida es el radin. Un radin es la medida de un ngulo central cuyoarco abarcado mide lo mismo que el radio.

Una circunferencia goniomtricaes aqulla cuyo radio mide 1 unidad. En unacircunferencia goniomtrica la medida radial de un ngulo central coincide con lalongitud del arco abarcado.

Un ngulo completo mide 2 radianes. Por tanto:

Grados 0

1 30

45

571745

60

90

120

135

150

180

Radianes

0 0001745 6

4

1

3

2

3

2

4

3

6

5

180.rad


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Si est en radianes:

Longitud del arco de ngulo rL :

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDOEN UN TRINGULO RECTNGULOFUNDAMENTALES: Seno, coseno y tangente

SECUNDARIAS: Cosecante, secante y cotangente

Grados 210 225 240 270 300 315 330 360 540

Radianes

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

2 3

rea del sector circular de ngulo 22

1: rS


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COORDENADAS POLARES

Consideremos un ngulo . Tomando el vrtice como centro O(origen o polo),trazamos una circunferencia de radio ry situamos los ejes de coordenadas cartesianastomando un lado del ngulo como semieje positivo de abscisas (eje polar). SeaAelpunto de corte de dicho lado con la circunferencia y sea P el punto de corte con lacircunferencia del otro lado.

As pues, .

AOP Las coordenadas cartesianas deAson )0,(rA .

Las coordenadas cartesianas de Pson ).,( yxP Los valores 0r y son las coordenadas polares del punto P. A la primera rlallamamos mdulo y a la segunda la llamamos argumento (o ngulo polar).

RAZONES TRIGONOMTRICAS GENERALIZADASEn la situacin anterior:

El signo de las razones trigonomtricas:

r

y

radio

Pdeordenadasin

r

x

radio

Pdeabscisacos

x

y

Pdeabscisa

Pdeordenadatan


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ngulo 120 180 225 270 330 360

sin

2

3

0

2

2

1 2

1

0

cos

2

1

1

2

2

0

2

3

1

tan 3 0 1 No definida

3

3

0

Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares de unpunto:

),(

),(

rPPolares

yxPsCartesiana

En el caso de una circunferencia goniomtrica:

Significado geomtrico de las razones trigonomtricas (para ngulos agudos):

x

y

yxr

tan

22

sin

cos

ry

rx


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APLICACIONES PRCTICAS

Estrategia de la tangente


7/23

Latitud y longitud terrestres

Aparatos de medida (Teodolitos y Gonimetros)


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FORMULARIO DE TRIGONOMETRA PLANAProfesor Antonius Benedictus)

1.Relaciones fundamentales

2.Frmulas de reduccin

3.

Razones de la suma y de la resta

4.Razones del ngulo doble 5.Razones del ngulo mitad


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6.Razones en funcin de la tangente del semingulo

Transformaciones de productos en sumas

8.Transformaciones de sumas en productos


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RELACIONES MTRICAS EN UN TRINGULOProfesor Antonius Benedictus)

1.Nomenclatura

2.Frmulas de resolucin de un tringulo rectngulo.

TEOREMA DE LA ALTURA TEOREMA DEL CATETO

TEOREMA DE PITGORAS SUPERFICIE

3.

Frmulas de resolucin de un tringulo oblicuongulo.Nota: Las frmulas marcadas con (*) admiten otras dos versiones.


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SUMA DE LOS NGULOS DESIGUALDAD TRIANGULAR (*) TEOREMA DE LA BISECTRIZ

TEOREMA DEL COSENO(*) TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DE LA TANGENTE (*)

FRMULAS DE BRIGGS(*)

REA DEL TRINGULO(*)

FRMULA DE HERN

MEDIANA (*) BISECTRIZ (*)


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DEMOSTRACIONES DE LAS FRMULAS DE LATRIGONOMETRA PLANA Y DE RESOLUCIN DE

TRINGULOSProfesor: ANTONIUS BENEDICTUS

1.

DEMOSTRACIN DE LAS FRMULAS FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRAPLANA:


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2.

SENO Y COSENO DE LA SUMA DE NGULOS(DEMOSTRACIN DE LA FRMULA)


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3.

TANGENTE DE LA SUMA DE NGULOS:

4. SENO, COSENO Y TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE NGULOS:

Etc.5.

SENO, COSENO Y TANGENTE DEL NGULO DOBLE:

6. SENO, COSENO Y TANGENTE DEL NGULO MITAD:

(El signo del radical se elige segn el cuadrante de )Tambin:

7.

DMOSTRACIN D LA XPRSIN DL SNO, COSNO Y TANGNT N FUNCIND LA TANGNT DL SMINGULO:


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8. DMOSTRACIN D LAS TRANSFORMACIONS TRIGONOMTRICAS:

9. DMOSTRACIN DL TORMA DL SNO:

Para dos ngulos agudos:

Para un ngulo recto:


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Para un ngulo obtuso:


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Sea un dimetro de la circunferencia circunscrita al tringulo. Es Sea . Por ngulos inscritos: (pues abarcan el mismo arco) y tambin (pues abarca una semicircunferencia); o sea, que el tringulo esrectngulo. Entonces:

10.

DEMOSTRACIN DL TORMA DL COSNO:

Para ngulo agudo C : Primer Teorema de Euclides: igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de Para ngulo recto C, por el Teorema de Pitgoras:

Para ngulo obtuso C:


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Segundo Teorema de Euclides: mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados ms el doble productode uno de el

11.

DMOSTRACIN DL TORMA D LA TANGNT:

12.DMOSTRACIN D LA FRMULA D HRN D ALJANDRA:

Por el Teorema del Coseno:

Entonces, la superficie del tringulo:


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Ahora, considerando que:

Sustituyendo:

13.

DMOSTRACIN D LAS FRMULAS D BRIGGS:

Tambin:

14.

DMOSTRACIN D LA LONGITUD D UNA MDIANA D UN TRINGULO

(TEOREMA DE APOLONIO DE PERGA):


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15.DMOSTRACIN DL TORMA D LA BISCTRIZ:

Por el Teorema del Seno:

16.

DMOSTRACIN D LA LONGITUD D UNA BISCTRIZ D UN TRINGULO:

Por el Teorema de la bisectriz:


21/23

Por el T. del Seno:

Por las frmulas de Briggs:

17.

DMOSTRACIN D VARIAS FRMULAS DL RADL TRINGULO:

Sea I el incentro del tringulo (punto de corte de las bisectrices) y sea rel radio de la

circunferencia inscrita. El tringulo queda partido en tres tringulos con vrtice I.


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Tambin: Por el Teorema del Seno:

Por el Teorema del Seno: Por el Teorema del Seno:

18.RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUONGULOS:

CASO 1: Conocidos un lado y dos ngulos.

Si la suma de los ngulos es mayor que 180, el tringulo no existe.

En caso contrario, se calcula el tercer ngulo. Los otros lados se calculan por el

Teorema del Seno.

CASO 2 : Conocidos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.

El tercer lado, por el Teorema del Coseno. Uno de los dos ngulos que faltan, por el

Teorema del Seno. AVISO: Es necesario tener presente que, en cualquier tringulo, a

mayor lado se opone mayor ngulo, por si fuera preciso tomar el ngulo obtuso.

CASO 3 : Conocidos dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.Por ejemplo, conocidos

3.1

3.2

3.2.1 (Caso ambiguo)


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Hay, por tanto, dos posibles tringulos.

3.2.2 3.2.3

En todos los subcasos en los que existe el tringulo, Y cse calcula por el Teorema del Seno.

CASO 4: Conocidos los tres lados.Si uno de ellos es mayor o igual que la suma de los otros dos, el tringulo no

existe. En caso contrario, los ngulos se pueden calcular por el Teorema del Coseno opor las Frmulas de Briggs.

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