1SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I SEMINARIO Nº 01

GEOMETRÍA NOCIONES BÁSICAS: Definiciones. Postulados Fundamentales. Conjuntos Convexos y no Convexos. Ángulos. 01. Indicar cuáles de las siguientes

proposiciones son verdaderas o falsas: I. Todos los ángulos son conjuntos

no convexos. II. Una semirecta es un conjunto

convexo. III. El exterior de un plano es un

conjunto no convexo. IV. La intersección de 3 planos es un

conjunto convexo. A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFVF E) FFVF

02. Indicar el valor de verdad de las

proposiciones I. Algún ángulo es un conjunto

convexo. II. Alguna partición de una región

cuadrada tiene tres regiones triangulares.

III. Toda región poligonal sin un vértice es un conjunto convexo.

A) FVV B) VVF C) FFV D) FVF E) VFV

03. En La figura mostrada se tienen las

regiones circulares A y B. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. ( )A B∩ ' es un conjunto convexo. II. ( )A B∪ ' es un conjunto no

convexo. III. (A – B) es un conjunto convexo. IV. (A – B) ∪ (B – A) es un conjunto

no convexo. A) VVFF B) VFVF C) FFVV D) FVFV E) FVVV

04. Asigne el valor de verdad a las

siguientes proposiciones: I. Una región circular de la que se

han excluido dos puntos de su circunferencia diametralmente opuestos, es un conjunto convexo.

II. Si A B∩ es un conjunto convexo, entonces A y B son conjuntos convexos.

III. La unión de dos semirrectas opuestas es un conjunto convexo.

A) VVV B) VFF C) VFV D) VVF E) FVF

05. Asignar el valor de verdad a las

siguientes proposiciones: I. El rayo es un conjunto convexo. II. El exterior de un ángulo es un

conjunto convexo. III. La intersección de dos regiones

circulares es un conjunto convexo.

A) FVV B) VVV C) VFF D) VFV E) FFV

06. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Existe algún conjunto de dos

rayos que es un conjunto convexo.

II. Sea un ángulo A contenido en un plano P, A puede determinar en el plano dos semiplanos.

III. Sea O un punto en una recta AB, las semirrectas OA y OB son conjuntos convexos.

U

A B

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -


A) FFV B) FFF C) VFV D) VVF E) VFF


proposiciones siguientes: I. A cada valor de los números

reales le corresponde un punto de la recta una vez asignado el valor cero a un punto de la recta.

II. La medida de un ángulo es un número real mayor que 0 y menor que 180.

III. Todos los segmentos tienen el mismo número de puntos.

A) VVF B) FVF C) VVV D) FFF E) FFV

08. Dadas las siguientes proposiciones:

I. Si en una región cuadrangular se excluyen los 4 vértices se obtiene un conjunto convexo.

II. Un polígono es convexo si su interior es un conjunto convexo.

III. El conjunto de puntos formado por 3 rectas paralelas es un conjunto convexo.

Indicar la(s) proposición(es) verdaderas. A) I B) II C) III D) I y II E) II y III


siguientes proposiciones: I. Sea T una región triangular y G

su baricentro, entonces T – {G} es siempre un conjunto no convexo.

II. El polígono es un conjunto convexo.

III. En un plano P se tiene una circunferencia C y un triángulo T disjuntos C y T pueden determinar una partición de 5 elementos del plano.

A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF

10. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si omitimos un punto en una

circunferencia, entonces los puntos restantes forman un conjunto convexo.

II. Si omitimos un punto que no sea el vértice en un triángulo acutángulo, los puntos restantes forman un conjunto no convexo.

III. Sea C la región cuadrada MNPQ y T la región triangular isósceles MNK (MN = NK), CUT es un conjunto convexo.

A) FVV B) FVF C) FFV D) VVF E) FFF

11. Indicar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. La unión de dos regiones

triangulares congruentes, siendo un par de lados congruentes comunes, es un conjunto convexo.

II. Si una región cuadrangular está contenida en un círculo, dicha región cuadrangular es un conjunto convexo.

III. Sea P un plano y una recta L contenida en P, entonces P – L es un conjunto no convexo.

A) VVV B) VFV C) FFV D) FFF E) FVF

12. ¿Cuáles de las siguientes

proposiciones son correctas? I. Todo plano es un conjunto

convexo. II. Dada una recta arbitraria L, los

puntos del plano que no pertenecen a L quedan divididos en dos conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es convexo.

III. La región circular es un conjunto convexo.

A) I y III B) II y III C) I y II D) I, II y III E) Sólo I



13. Indicar cuál(es) de las proposiciones es(son) falsa(s): I. Sea C una región cuadrada y P

un punto, P , entonces C∈ { }C P− es un conjunto convexo.

II. Sea T una región triangular y H su ortocentro, entonces { }T H− es siempre un conjunto no convexo.

III. La intersección de un conjunto convexo con un conjunto no convexo es un conjunto no convexo.

A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) Solo I

14. Indicar si las proposiciones es(son)

correcta(s). I. Una recta L contenida en un

plano determina dos semiplanos S1 y S2, luego . 1 2S S∩ = L

II. En un triángulo ABC, las alturas concurren en H. Sea R la región triangular ABC, entonces { }R H− es un conjunto no convexo.

III. En un círculo R, la circunferencia es L. ( )R L∪ ' es un conjunto convexo.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II, III E) Ninguno

15. Indicar la(s) proposición(es)

verdadera(s) I. Ningún punto es un conjunto no

convexo. II. El interior de un ángulo es un

conjunto convexo. III. Dos rayos que tienen el mismo

origen es un ángulo. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III


siguientes proposiciones: I. Todo punto de AB está contenido

en el conjunto K, entonces el

conjunto K es un conjunto convexo.

II. Un conjunto que consiste solamente de un punto es un conjunto convexo.

III. Si le omitimos un punto a una línea recta, los puntos restantes forman un conjunto convexo.

A) VVF B) FVV C) FFV D) FVF E) VVV


siguientes proposiciones: I. Una región circular, de la que se

han excluido dos puntos de su circunferencia, es un conjunto no convexo.

II. Sea T una región cuadrangular tal que T es un conjunto convexo y G un punto de T. T – {G} es un conjunto no convexo.

III. Un pentágono regular es un conjunto convexo.

IV. La unión de dos rayos colineales es un conjunto convexo.

A) VVFV B) FVFF C) FFFF D) FVFV E) FVVV

TRIÁNGULOS: Teoremas Fundamentales 18. En un triángulo KLM, las bisectrices

interiores KN y MP se interceptan en el punto I, luego se traza IQ LN⊥

( )Q LN∈ , calcule m LIQm MIN

.

A) 34

B) 23

C) 13

D) 12

E) 1

19. En un triángulo rectángulo KLM, recto

en M, la bisectriz interna KN determina sobre LM los segmentos LN=a, NM=b. Indique si la(s) proposiciones es(son) verdaderas: I. a = b II. a < b



III. a > b IV. a 1b 2=

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo IV E) Sólo II y III


proposiciones siguientes: I. Sea ABC un triángulo, entonces

AB BC AC≤ + . II. En un triángulo isósceles ABC,

AB = BC. Si AC < AB, el triángulo es acutángulo.

III. Según las medidas de los ángulos, los triángulos son rectángulos y oblicuángulos.

A) VVF B) VVV C) FVF D) FFV E) FVV

21. Si en un triángulo rectángulo ABC

recto en B se tiene que AC = 12u, entonces el máximo valor de la longitud de la altura relativa a AC es A) 5 B) 7 C) 4 D) 5,5 E) 6

22. Asigne el valor de verdad a:

I. En un triángulo ABC se traza la ceviana BF donde AC = 2(BF), entonces BF es una mediana.

II. Sea el triángulo ABC, P y Q son puntos de AB y BC respectivamente de manera que AC = 2(PQ), entonces PQ // AC .

III. Todo segmento tiene mediatriz. A) FFF B) VVV C) VVF D) FFV E) VFV

23. En un triángulo ABC, se ubican los

puntos P y Q en AB y AC respectivamente. Si

, AQ=6u y PQ=5u, entonces el número de valores enteros de AP es

m ABC m PQC=

A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

24. En un triángulo ABC se ubica el punto P en el interior del triángulo, de manera que sean ángulos difusos. ¿Cuántos valores enteros tiene el resultado de AP+PC?

BPA y BPC

A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

25. En un triángulo ABC, obtuso en C, se

tiene que m A . Se trazan la altura

CB m BAC 80− =BP y la bisectriz

exterior BQ (P y Q pertenecen a la prolongación de AC ), la medida del ángulo PBQ es A) 50 B) 40 C) 45 D) 55 E) 35

26. En un triángulo isósceles ABC,

m ABC 120= . Sea M un punto de AC y N un punto en la prolongación de AB de modo que BN = MC = AB. Halle la medida del ángulo BNM. A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 25

27. En un triángulo ABC, m A 2m C= ,

se traza la ceviana BD tal que m DBC 3m C= . Si AB=18u y BD=15u, calcule CD. A) 29u B) 30u C) 32u D) 33u E) 36u

28. En un triángulo ABC, se ubica el

punto M en AC tal que m MBC 3m BCA= . Si m BAC 2m BCA= y AB=4u, la longitud entera (en u) de MC es A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9


siguientes proposiciones: I. El interior de un triángulo es la

intersección de los interiores de sus respectivos ángulos interiores del triángulo.



II. Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo.

III. Una bisectriz de un triángulo es un segmento que divide un ángulo del triángulo en dos ángulos congruentes y tiene sus puntos extremos en un vértice y el lado opuesto al ángulo.

A) I y II B) sólo I C) II y III D) I, II y III E) sólo III

30. Se tiene un triángulo ABC, AB BC a= = , donde a pertenece a los naturales. Una recta secante intersecta a los lados AB y BC, en F y E respectivamente y a la prolongación de AC en D. Si la

, m ADF m ABC∠ > ∠ AD a= y EF 3 ,= el mínimo valor entero de la longitud del segmento DE es A) a – 4 B) a – 2 C) a – 1 D) a + 1 E) a + 2

31. Se tiene el triángulo ABC, la distancia del incentro al vértice A es 6 u y la distancia del incentro al vértice C es 2 u. Si AC es un número entero. Calcule AC (en u). A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

32. Se tiene el triángulo ABC, en AB y BC se ubican los puntos P y Q respectivamente, diferentes de los vértices. Entonces se cumple A) PQ AC AQ PC+ = +B) PQ AC AQ PC+ < +C) 2PQ AC PC AQ+ > +D) PQ AC PC AQ+ > +E) PQ AC 2PC AQ− > −

33. En un triángulo escaleno ABC la

bisectriz del ángulo BAC y la bisectriz del ángulo exterior en C se intersecan en E. La bisectriz del ángulo AEC interseca a AC en D y a la bisectriz del ángulo ABC en F, m EDC θ . Halle m BFE∠ .

∠ =

A) 902θ

− B) 45 − θ C) 30

D) 2θ E) θ

34. En un triángulo ABC, obtuso en B,

m A 2m C∠ = ∠ , y AB 4= BC x,= donde x∈ . Calcule x. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

35. Se tiene el triángulo ABC tal que,

AB BC> y m ACB 37∠ = , la medida del ángulo ABC es un número natural. Calcule el menor valor que puede tomar la medida del ángulo ABC. A) 106 B) 107 C) 108 D) 109 E) 110

36. Se tiene el triángulo ABC de manera

que m ABC 62∠ = y Se construye exteriormente el triángulo ADC de tal forma que

m BCA 60.∠ =

m CAD 63∠ = y . Entonces el mayor de los segmentos es

m ACD 60∠ =

A) CD B) AD C) AC D) AB E) BC

37. En el triángulo isósceles ACB

(AC CB)≅ se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento AD intercepta a BC , m BCD 90∠ = y BC CD≅ . Si la m DAB x∠ = , entonces A) x depende de las medidas de los

ángulos del triángulo ABC. B) x es independiente de las

medidas de los ángulos del triángulo ACB.

C) x puede ser igual a la medida del ángulo CAD.

D) x no puede ser igual a la medida del ángulo CAB.



E) x es mayor que 45 y menor que 90.

38. En un plano H se ubican los puntos

consecutivos F tal que

A, B, C, D, E yBF FC FD DE≅ ≅ ≅ y

Si y

, entonces el segmento de menor longitud es

m BFC 90.∠ = m AFB 120,∠ =m FAB 25,∠ = m FCD 61∠ =m EDF 96∠ =

A) FD B) FC C) DE D) AB E) CD

39. En un triángulo ABC, los puntos E y D

pertenecen a AC y EC respectivamente. Si AE BC AB≅ ≅ y m DBC 2m EBD,∠ = ∠ entonces m BDA∠ es A) 22,5 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

40. En un triángulo ABC, AB 6 u,=

y . Se ubica el punto P en el interior del triángulo de manera que los ángulos BPA y BPC son obtusos. ¿Cuántos valores enteros tiene la suma de las longitudes de

BC 8 u= AC 5 u=

AP y PC ? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Líneas Notables del Triángulo. Aplicaciones de la Congruencia. Triángulos Notables. 41. En un triángulo ABC, se trazan la

mediana CM y la altura BH , { }BH CM Q∩ = . Si BH = CM, calcule

. m BQCA) 105º B) 120º C) 135º D) 145º E) 150º

42. Indique el valor de verdad: I. En un triángulo ABC, se traza la

altura BF; si ( )AC 4 BF= , entonces la m C . 15=

II. En el triángulo ABC, si la m A 45= y ( )BC 2 AB= , entonces la m . B 105

III. En el triángulo ABC con m A 75= , se traza la altura BF tal que ( )AC 2 BF= , entonces AB BC= .

A) VVF B) FFV C) FVF D) FVV E) VVV

43. En un triángulo ABC, obtuso en A, se traza la bisectriz BD y se ubica E en la prolongación de CA. Sí m BAE m BCA m BAC+ = y AB=11 u, DC=8 u, entonces la longitud (en u) de BC es A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 19

44. En un triángulo ABC se trazan la

mediana BD y la ceviana CE ( )E AB∈ , las que se interceptan en el punto F de manera que m BFC 75= y m ACE 30= , entonces m AFE es A) 12,5 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 45

45. En un triángulo ABC, donde AB BC,≅

una recta secante al triángulo intercepta en P a BC y en M a la prolongación de CA . La recta MP intercepta a AB en N. Si AN = a, BN = b (a < b) y MN NP≅ , entonces la longitud de BP es

A) b – a B) ( )a b

2+ C) 2a – b

D) b a2− E) 2a b

3+



46. El número de rectas distintas que contienen a las alturas, medianas y bisectrices interiores de un triángulo equilátero es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

47. En un triángulo ABC se tiene que

y . Se trazan la mediana m BAC 45= m ACB 30=

AM y la altura AN , entonces la medida del ángulo MAN es A) 37 B) 30 C) 45 D) 44 E) 42

48. En un triángulo ABC, se trazan las

cevianas AD y AE de manera que , y

. En m DAC 30∠ = m EAC 20∠ =m BAD m ABD 50∠ = ∠ = AE se ubica el punto F tal que

. Entonces es m FCA 20∠ = m DFE∠A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

49. Una hoja de papel ABCD de forma

rectangular, es doblada de modo que B y D coincidan, siendo PQ la línea del doblez (P en AB y Q en CD ). Si BP = 10 u y AB = 16 u, entonces el perímetro de la hoja (en u) es A) 32 B) 48 C) 64 D) 56 E) 46

50. En un triángulo ABC (AB = c, BC = a)

se traza CH perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo externo con vértice en B, si M es punto medio de AC , entonces la longitud del segmento MH es

A) a + c B) a – c C) a c2−

D) a c2+ E) a c

3+

51. Sea el triángulo ABC, m BAC 75º=

y BH AC⊥ . Si ACBH2

= , entonces

m C es A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 45

52. En un triángulo ABC, m BAC 36º= y

m ABC 108º= . Se traza la bisectriz AD del ángulo BAC, si M AD∈ y BC MC≅ , entonces m CMD es A) 30º B) 36º C) 45º D) 60º E) 75º

53. En un triángulo ABC (AB < BC),

m BCA 20= , se traza la bisectriz BF y luego la mediatriz de BF que intercepta a la prolongación de CA en Q, QA = 20 u, QB = FC. M es un punto de BC tal que MC AB,= entonces MF en u es A) 10 B) 20 C) 35 D) 40 E) 70

54. En un triángulo acutángulo KLM, se

construyen los triángulos equiláteros LMN y LPK, ambos exteriores, hallar el ángulo obtuso que determinan los segmentos MP y KN. A) 100º B) 120º C) 130º D) 140º E) 150º

55. En un triángulo ABC, AB=4 u, BC=7u,

halle el máximo valor entero de la longitud de la mediana relativa del lado AC (en u). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

56. Dado el triángulo ABC, m B 150= y

m C 10= , la distancia del vértice C a la bisectriz que parte de A es 5 cm. La medida de AB (en cm) es A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11



57. En un triángulo ABC se tiene que y AB 3 u,= AC 7 u= m ACB 30= .

Desde el vértice B se traza BP perpendicular a la bisectriz del ángulo BAC, P pertenece a dicha bisectriz; luego la distancia de P (en u) hacia el lado BC es A) 1,2 B) 0,75 C) 1,6 D) 1 E) 0,5

58. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, m A 15= , AC = 24 u. Halle la longitud de la bisectriz BF del ángulo ABC (en u). A) 3 3 B) 4 3 C) 7 D) 8 E) 12

59. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediana AM tal que BC=2AH, Calcular

. m AMB 45 .=

m BCAA) 15 B) 18 C) 22,5 D) 30 E) 45

60. En un triángulo ABC, AB=c y BC=a (c<a). La bisectriz de ángulo B y la mediatriz del lado AC se intersectan en P, se traza PF perpendicular al lado BC . Halle la longitud de FC.

A) a – 2c B) a c2− C) a – c

D) a c2+ E) 3c – a

61. Sea I el punto de concurrencia de las

bisectrices de un triángulo ABC. Si , m A y m BAI 3= α CI 2= α AB IC≅ .

Calcular la medida del ángulo ACB. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

62. En un triángulo ABC se traza la

mediana BM . Si m BAC 30= y , m MBC es m BCA 15=

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 45

63. En un triángulo ABC se trazan las cevianas AD y BE , se cumple que m DAC m ABE 30 ,= = m BAD 50= y m EBC 20 .= Calcular m ADE A) 20 B) 15 C) 30 D) 41 E) 25

64. En un triángulo ABC, m A 3m C= , se traza la mediana BM . Si m AMB 45º= , calcule m C A) 15º B) 18º C) 22.5º D) 30º E) 45º

65. En un triángulo rectángulo KLM (recto en L), se traza la bisectriz interior LN, de modo que KN a= unidades y NM b= unidades. Calcular (en unidades) la longitud de la perpendicular NQ trazado por N a KM ( )Q LM∈ .

A) a b4+ B) a b

3+ C) b a

2−

D) a b2+ E) a

66. Si AB BC= , AD CE= y la m BCE 60 m DAC∠ = + ∠ . Entonces, la m BED∠ es

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

67. Se tiene el triángulo ABC, la mediatriz

del lado AC intercepta al lado BC en E. En dicha mediatriz se toma un punto P (P es un punto interior al triángulo) de manera que AB AP PC ,= = si

60º

D C E

B

A



m B m BAP m BCP4 2∠ ∠

= = ∠ , ,

halle m B halle m B CP.∠A) 22 B) 23 C) 24 A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 D) 25 E) 26

68. En el triángulo rectángulo ABC, la

altura BF relativa a la hipotenusa intercepta a la bisectriz interna AP en E. Se traza

68. En el triángulo rectángulo ABC, la altura BF relativa a la hipotenusa intercepta a la bisectriz interna AP en E. Se traza

∠

CP.∠

EQ paralelo a AC donde Q pertenece a BC , entonces, se puede afirmar que

A) 1QC BP2

= B) QC BP=

C) 3QC BP2

= D) QC 2 BP=

E) 5QC BP2

=

69. En el triángulo ABC se traza la

mediana BD, la prolongación de la mediana AE del triángulo ABD intercepta al lado BC en F. Se cumple que

A) (1FC BF2

= ))

B) FC BF=

C) D) (FC 2 BF= ( )FC 3 BF= E) ( )FC 4 BF=

70. En un triángulo ABC, BC a,= AC b,=

AB c= , a b c,< < se trazan la bisectriz del ángulo ABC y la bisectriz del ángulo externo en A. Desde C se trazan CE y CF perpendiculares a dichas bisectrices. Halle EF.

A) c a b2

+ − B) b c a2

+ −

C) a b c

2+ +

D) a b c

2+ −

E) b c

2+

71. En un triángulo ABC se traza la

ceviana BQ , de manera que QC=AB

y m QBC m QBA m BCA∠4 3

∠= = ∠ .

Calcule m BAC∠ . A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

72. Sea R un punto interior en un

triángulo equilátero ABC de manera que

m CR BR m ACRm BA .3 5

∠ ∠=∠ =

Calcule m BAR∠ . A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

73. En un triángulo ABC las bisectrices

de los ángulos ABC y BCA se intersecan en Q. Sea m BAC

3∠

=m BCA ,

2∠

QC AB≅ . Halle m A . BC∠A) 50 B) 60 C) 75 D) 80 E) 90

74. Se tiene el triángulo escaleno ABC,

se trazan la bisectriz del ángulo ABC y la mediatriz del lado AC que se intersecan en Q. En función de la medida del ángulo B del triángulo ABC, halle m ACQ∠ .

A) 2 m B3

∠ B) m B∠

C) 1 m B2

∠

D) 1 m B4

∠

E) 1 m B3

∠

75. En un triángulo AED, m 140º ,

se construyen los triángulos equiláteros ABD y ECD de modo que los puntos B, E, C se encuentran en un mismo semiplano respecto de AD. Halle CE

AED∠ =

m B∠ . A) 35 B) 40 C) 70 D) 80 E) 90



76. Se tiene el triángulo ABC (AB BC)< P AB ,∈ Q BC∈ , de modo que

. Si las mediatrices de BP QC= PQ y BC se intersecan en F, entonces BF es A) la altura relativa al lado AC. B) la bisectriz del ABC∠ . C) la mediana relativa al lado AC. D) la mediatriz relativa al lado AC. E) la mediatriz de AB.

77. Se tiene el triángulo ABC, recto en B.

Se traza la altura BF y la bisectriz AQ del ángulo BAC ( )Q B∈ C ,

{ }AQ B∩ =F R . Se traza RP paralelo a CA (P QC)∈ . Si BR 3(RF) y

K(BF) , el valor de K es =

PC =

A) 13

B) 2 C) 3

3 4

D) 56

E) 6 7

78. En un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos M y N en el lado AC tal que AM MN NC. Entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

≅ ≅

I. BAN BCMΔ ≅ ΔII. m ABM m NBC m MBN∠ = ∠ = ∠III. BAM BCNΔ ≅ ΔA) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) Todas

79. En un triángulo ABC recto en B, se

ubican los puntos P y F en AB y BC respectivamente. Luego se traza FQ perpendicular a la hipotenusa AC, tal que CP 2CQ.= Si m y BPF 3m ACP∠ = ∠m PCB 2m ACP∠ = ∠ , entonces m PCA∠ es A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 22,5

80. En un triángulo ABC, en la altura BH se ubica el punto P tal que los triángulos AHB y PHC, de incentros 1I e 2I respectivamente, son congru-entes; siendo AH y PH los catetos menores. Entonces la medida del menor ángulo determinado por 1AI y

2CI es A) 30 B) 60 C) 22,5 D) 50 E) 45

81. En un triángulo ABC, obtuso en B, las

rectas mediatrices de los lados AB y BC interceptan al lado AC en los puntos P y Q. Si la medida del ángulo externo en el vértice B es φ , calcule

PBQ.m∠ A) 90 − φ B) 180 2− φ C) 2φ D) 90 2− φ E) 180 − φ

82. En el triángulo ABC, Q es un punto de

AC y R un punto de BC de manera que AB QC= , AQ RC= y

m BCA m ABCm ABQ6 8

∠ ∠∠ = = .

Calcule la medida del ángulo BAC. A) 48 B) 51 C) 54 D) 57 E) 60

POLÍGONOS 83. En un polígono equiángulo ABCDE…,

la bisectriz del ángulo ABC y la mediatriz de DE forman un ángulo de medida igual a 100º, la medida del ángulo exterior es A) 40º B) 18º C) 30º D) 45º E) 72º

84. En un polígono regular, si el número

de lados se reduce en 4, su número de diagonales se reduce en 46. ¿Cuál es la medida de su ángulo central?



A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 40

85. La suma de los ángulos interiores de

dos polígonos convexos difieren en 720º y sus ángulos centrales difieren en 75º. Indicar si el cociente, mayor que la unidad, de los lados de los dos polígonos convexos es igual a:

A) 1 B) 2 C) 32

D) 43

E) 54

86. Indicar si son correctas las siguientes

proposiciones: I. Si una región triangular equilátera

gira en un plano alrededor de un vértice, un ángulo que mide 30, entonces la intersección entre la posición inicial y final es un conjunto convexo.

II. Si un polígono equilátero tiene ángulos rectos puede ser un dodecágono.

III. En el plano la reunión de cuatro segmentos, de manera que en cada extremo solo concurran dos segmentos, es un polígono.

A) I y II B) sólo I C) II y III D) I, II y III E) sólo II

87. Si un polígono convexo de n lados

tuviera 3 lados menos tendría (n 3)+ diagonales menos. Calcule n. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8


proposiciones: I. Si un polígono tiene lados

congruentes y ángulos rectos, entonces el polígono es regular.

II. Un ángulo es un conjunto convexo.

III. El conjunto de puntos que forman un polígono convexo es un conjunto no convexo

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

89. La suma del número total de

diagonales de un polígono convexo, más el número de ángulos rectos de la suma de las medidas de sus ángulos internos es 51. Halle el número de lados del polígono. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20


proposiciones: I. Dos polígonos convexos de

ángulos congruentes son semejantes.

II. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos miden 90º cada uno, entonces, una de las diagonales es el diámetro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero.

III. Si en un cuadrilátero convexo la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados, entonces las bisectrices interiores del cuadrilátero son concurrentes.

A) I, II y III B) Sólo III C) I y II D) II y III E) Sólo I

91. Desde cuatro vértices consecutivos

de un polígono convexo se han trazado 37 diagonales. Calcule el número de lados del polígono.

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 92. Indicar si son correctas las siguientes

proposiciones: I. Todo cuadrilátero de diagonales

congruentes es un cuadrado.



II. Todo polígono equilátero es un polígono regular.

III. Todo polígono regular es un polígono convexo.

A) Solo I y III B) Solo II y III C) Solo I y II D) Solo III E) Solo I

93. En un polígono convexo de n lados,

si el número de lados aumenta en uno, entonces el número de diagonales A) aumenta en (n – 1) B) disminuye en (n – 1) C) aumenta en 1 D) disminuye en 1 E) no aumenta ni disminuye

94. La suma de las medidas de k ángulos

internos consecutivos de un polígono convexo es S. Halle la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. A) B) S 180k− ( )S 90 k 2− − C) D) S 90k− ( )S 180 k 1− − E) ( )S 180 k 2− −


proposiciones: I. Todo polígono convexo es un

conjunto convexo. II. Dos lados de un polígono pueden

ser colineales. III. Desde vértices

consecutivos de un polígono convexo de n lados se pueden

trazar en total

(n 2)−

n(n 3)2−

diagonales. A) I, II y III B) I y II C) I y III D) II y III E) Solo I

96. En un polígono de seis diagonales

medias, si se aumenta en nueve, su número de lados aumenta en

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

97. En un polígono regular la suma de

todos los ángulos interiores no consecutivos es 360. Hallar el número de diagonales del polígono de mayor número de lados que se obtiene uniendo los puntos medios de sus lados. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

98. Un polígono regular tiene 170

diagonales. La medida de su ángulo interior es A) 135 B) 144 C) 150 D) 156 E) 162

99. En un polígono regular, al disminuir

su número de lados en 4, la medida de cada ángulo externo aumenta en 3. ¿Cuál es el número de lados del polígono regular? A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 30

100. En un polígono convexo de n lados,

desde (n 5)− vértices consecutivos se trazan (3n 5)+ diagonales. El número de lados del polígono es A) 9 B) 10 C) 11 D) 13 E) 15

101. Dado el polígono regular ABCDE …

de n lados y el polígono regular trazado interiormente al polígono anterior ABC'D'E ' … de ( )n 1− lados, tal que m C . El valor de n es

BC' 4∠ =

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


1SEMINARIO

Documents

Transcript of 1SEMINARIO