2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 6...

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- ÁNGULOS EN EL ESPACIO

1.1.- Ángulo entre dos rectas Se define el ángulo entre dos rectas r y s, y se representa por �( , )r s , como el menor de los ángulos que forman entre sí sus vectores directores.

� � .( , ) ( , ) ar cos

.r s

r sr s

r s = =

��

�� d d

d dd d

Se toma el valor absoluto porque el ángulo debe ser menor o igual que 90º

- Si las rectas son paralelas o coincidentes, entonces el ángulo que forman es 0º - Si las rectas fuesen perpendiculares, entonces el ángulo sería de 90º

Ejercicio 1 (a) Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(3, 1, –1), es paralela al plano π: 3x – y + z = 4 y corta a la recta r intersección de los planos α: x + z = 4 y β: x – 2y + z = 1. (b) Calcula el ángulo que forman entre sí las rectas r y s

Practica tú:

1 Sean las rectas 5 2

2 1 4

x y zr

− +≡ = =

− y

3 2 2:

2 3 2

x y zs

x y z

− + =− + − =

(a) Determina la posición relativa de ambas rectas. Sol.: Se cruzan (b) Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s. Sol.: 9x 2y 5z 49 0− + + + = (c) Calcula el ángulo que forman las rectas r y s Sol.: 69º 7́ 26́ ´

2 (a) Halla la ecuación de la recta s que corta a la recta r: x = y = z, es paralela al plano π: 3x+2y – z = 4 y pasa por el punto A(1, 2, –1) Sol.: s: (x,y,z) (1, 2, 1) (1, 0, 3)= − +λ (b) Calcula el ángulo que forman las rectas r y s Sol.: 43º 5́ 19́ ´

3 Dadas las rectas 3 0

2 2 0

x y zr

x y

+ − − =≡

+ − = y

6 6 0

2 2 0

ax ys

x z

+ + =≡

− + =

(a) Calcula a para que sean paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene Sol.: a 3 ; x 6y 4z 2 0= + + + = (b) Para a = 1 calcula el ángulo que forman Sol.: 15º 36́ 58́ ´

1.2.- Ángulo entre dos planos

Se define el ángulo entre dos planos α y β, y se representa por �( , )α β , como el menor de los ángulos que forman entre sí dos rectas, cada una contenida en un plano. Este ángulo coincide con el ángulo que forman los vectores normales a los planos.

� � .( , ) ( , ) ar cos

.

α βα β

α β

α β = =

��

�� n n

n nn n


- Si los planos son paralelos o coincidentes, entonces el ángulo que forman es 0º - Si los planos fuesen perpendiculares, entonces el ángulo sería de 90º

Ejercicio 2 Considera el punto A(0, −3, 1), el plano π: −2y + 3z = 0 y la recta 3

: 32

zr x y

−+ = =

Calcula el ángulo que forma π con π′, siendo π′ el plano que pasa por A y contiene a r .


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Ejercicio 3 Sean los planos π1: 2x + y − z + 5 = 0 y π2: x + 2y + z + 2 = 0.

(a) Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π1 y que su proyección ortogonal sobre

el plano π2 es el punto Q(1, 0, −3).

(b) Halla el ángulo que forman los planos π1 y π2.

Practica tú:

4 Halla el ángulo que forman los planos π ≡ x + 3y + 2z − 5 = 0 y π′ ≡ −2x + y + 3z + 3 = 0. Sol.: 60º

5 Se sabe que los planos α: x + 2y + bz = 1, β: 2x + y + bz = 0 y π: 3x + 3y − 2z = 1 se cortan en una recta r. (a) Calcula el valor de b. Sol.: b 1=− (b) Para el valor de b calculado, determina el ángulo que forma α con β Sol.: 33º 33́ 26́ ´ (c) Halla unas ecuaciones paramétricas de r. Sol.: x 1 ; y ; z 2 3=− +λ =λ =− + λ

1.3.- Ángulo entre una recta y un plano Se define el ángulo entre una recta r y un plano π, y se representa por �( , )r π , como el menor de los ángulos que forman entre sí la recta con cualquier otra recta contenida en el plano. Este ángulo coincide con el

complementario del ángulo que forma un vector director de r, r u=�� d , con un vector normal del plano, n

��.

� � .( , ) (90º ) ( , )

| | .| |r

rr

r sensen cos cosπ α α= = − = =

��

�� d n

d nd n

→ �.

( , ) ar.r

r

r senπ =

��

�� d n

d n


- Si la recta es paralela al plano o está contenida en él, entonces el ángulo que forman es 0º

- Si la recta y el plano fuesen perpendiculares, entonces el ángulo sería de 90º

Ejercicio 4 Sea la recta 1

:0

xr

x y

=

− = y sean los planos π1: x + y + z = 0, π2: y + z = 0.

(a) Calcula el ángulo que forma la recta r con cada uno de los planos (b) Halla la ecuación de otra recta s contenida en π1, que sea paralela π2 y que corte a la recta r.

Practica tú:

6 Considera el plano π ≡ x – 2y + 1 = 0 y la recta 3 0

:2 0

x y zr

x y az

− + =

− + + =

(a) Halla el valor de a para que la recta esté contenida en el plano. Sol.: a 1=− (b) Para a = 1, calcula el ángulo que forman el plano y la recta Sol.: 18º 26́ 6́ ´

7 Calcula la ecuación de la recta t que pasa por el punto de intersección del plano π: x + y – z + 6 = 0 con la

recta : 2 13

xs y z= − = + y es paralela a

3 4 0:

4 3 1 0

x yr

x y z

+ − =

− + − = . ¿Qué ángulo forman la recta s y el plano π?

Sol.: t : (x,y,z) ( 9, 1, 4) ( 1, 3, 13) ; 31º 28́ 56́ ´= − − − +λ −


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8 Considera los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2), C(1, 1, 0) y D(1, 0, 0). (a) Determina la ecuación del plano π que contiene a A y B y no corta a la recta determinada por C y D.

Sol.: x z 0− = (b) Halla las ecuaciones de la recta r determinada por los puntos medios de los segmentos AB y CD.

1Sol.: r : (x,y,z) (1, , 0) (1, 2, 3)2

= +λ

(c) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π Sol.: 22º 12́ 28́ ´

2.- DISTANCIAS EN EL ESPACIO

2.1.- Distancia entre dos puntos

Se define la distancia entre dos puntos A y B, y se representa por dist(A, B), como la longitud del segmento AB.

Por tanto, ( , )dist A B AB=��

Plano mediador

Dados dos puntos A y B, el plano mediador es el lugar geométrico (L.G.) de los puntos que están a la misma distancia de A y B. Dicho plano es perpendicular al segmento AB por su punto medio.

Ejercicio 5 Considera los puntos A(1, 1, 2) y B(1,−1,−2) y la recta

1 2

1

x t

r y t

z

= +

≡ = =

(a) Halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y por B. (b) Calcula el punto de la recta r que está a la misma distancia de A y de B. (c) Determina la ecuación del plano mediador de A y de B. Ejercicio 6 Considera los planos de ecuaciones x − y + z = 0 y x + y − z = 2. (a) Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados. (b) Halla el punto que equidista de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenece a la recta intersección de los planos dados.

Ejercicio 7 Los puntos A(1, 0, 2) y B(−1, 0, −2) son vértices opuestos de un cuadrado. Calcula el área del cuadrado.

Practica tú:

9 Determina el punto P de la recta 3 5 4

2 3 3

x y zr

+ + +≡ = = que equidista del origen de coordenadas y del

punto A(3, 2, 1). Sol.: P(1, 1, 2)

10 (a) Determina la ecuación del plano mediador del segmento AB, siendo A(1, 0, 2) y B(−1, 2, 4).

Sol.: x y z 4 0− + + − =

(b) Halla la ecuación del plano paralelo a 2 1

12 3

x zr y

+ −≡ = − = y contiene los puntos A(1, 0, 2) y B(−1, 2, 4).

Sol.: 2x 5y 3z 4 0+ − + =

11 Halla la distancia del punto P(1,−3, 7) a su simétrico respecto de la recta 3 2 0

:6 0

x y zr

x y z

− − − =

+ − + =Sol.: 2 3 u


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12 (a) Determina la ecuación de la recta perpendicular a 2 5

:2 4 7

x yr

x y z

− =

+ − = que pasa por P(1, 0,−2).

Sol.: (x,y,z) (1, 0, 2) (1, 1, 1)= − +λ −

(b) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r. Sol.: 2 3 u

2.2.- Distancia de un punto a un plano

Se define la distancia de un punto P a un plano π, y se representa por dist(P, π) , como la menor de las distancias del punto P a los puntos del plano. Dicha distancia coincide con la longitud del segmento PM (perpendicular al plano) del siguiente dibujo:

Obviamente si P � π, la distancia es cero

Fórmula de la distancia de un punto a un plano

1

0

.. ( ) . = + = .co. . . . . ( , )s0º

Vale

Vale

dist PAP n

AP n AQ QP n AQ n QP n QP n QP n QP n QPn

π= + ⇒ = == =

��

��

�

�

��

Observa que hemos tomado el valor absoluto del producto escalar para evitar que la distancia sea negativa

Si P(x0, y

0, z

0) , π: Ax + By + Cz + D = 0 , (A, , )B Cn =

�� y A(a

1, a

2, a

3) (como A � π � Aa

1 + Ba

2 + Ca

3 + D = 0)

0 0 0 1 2 3

0 1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

A B. ( , , ). ( , , ) A( ) B( ) ( )

( , )

Vale D

x y Cz Aa Ba Cax a y a z a A B C x a y a C z a

dist PA B C A B C A B C

AP n

nπ

+ + − − −− − − − + − + −

= = = =+ + + + + +

��

��

��

� � �

� � �

��

� ��

Método del punto genérico Se toma un punto genérico del plano ,Qλ µ (a partir de las ecuaciones paramétricas del plano).

Exigiendo que ,PQ nλ µ π

�� se obtienen los valores de λ y µ que dan lugar al punto Q.

Entonces, dist(P, π) = PQ��

Planos bisectores

Dados dos planos, se llaman planos bisectores al lugar geométrico (L.G.) de los puntos que están a la misma distancia de los dos planos.


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Ejercicio 8 Considera los puntos P(2, 3, 1) y Q(0, 1, 1). a) Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos. b) Calcula la distancia de P a π.

Ejercicio 9 Halla los planos bisectores de los planos α ≡ −x + 2y + z + 5 = 0 β ≡ 2x − y + z + 1 = 0

Ejercicio 10 Halla el punto de la recta 1

13 2

x yr z

−≡ = = + que equidista de los planos π1 ≡ x − y + 3z + 2 = 0

y 2

4 3

1

x

y

z

λ µπ λ

µ

= − + −

≡ = + =

Practica tú: 13 Encuentra los puntos de la recta

1 23

4 2

x yr z

− −≡ = = − cuya distancia al plano π: x − 4y + 8z = 1 sea

cuatro unidades. 1 247 36 2Sol.: P (5, 0, 4) y P ( , , )5 5 5

−

14 (a) Halla el plano mediador del segmento AB, siendo A(1, −3, 1) y B(5, 1, 7) Sol.: 2x 2y 3z 16 0+ + − = (b) Halla los planos bisectores de los planos α ≡ −3x + 2y + z + 7 = 0 β ≡ x − 2y + 3z + 1 = 0

Sol.: 2x 2y z 3 0 ; x 2z 4 0− + − + = − + + =

15 Halla los puntos de la recta 0

31

2

xr z

y

=≡ −

− =

que equidistan de los planos π: x + z = 1 y π´: y − z = 3.

1 24 5Sol.: P (0, 4, 9) y P (0, , )

3 3

− −

16 Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ − 1). (a) ¿Existe algún valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C estén alineados? Sol.: 2λ=

(b) Para λ = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices A, B y C. Sol.: x y 2z 1 0+ − − =

(c) Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano. 6Sol.: u6

2.3.- Distancia de un punto a una recta

Se define la distancia de un punto P a una recta r, y se representa por dist(P, r) , como la menor de las distancias del punto P a los puntos de la recta. Dicha distancia coincide con la longitud del segmento PM (perpendicular a la recta) del siguiente dibujo:

Lógicamente si P � r, la distancia es cero

Fórmula de la distancia de un punto a una recta

log . . ( , )x

x Área del parale ramo base altura h h dist P rAP d

AP d dd

= = = ⇒ = =

��

��


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Método del punto genérico

Se toma un punto genérico de la recta Mλ (a partir de las ecuaciones paramétricas de la recta).

Exigiendo que rPM dλ ⊥��

se obtiene el valor de λ que da lugar al punto M. Entonces, dist(P, r) = PM��

Ejercicio 11 Calcula la distancia de P(1, 0, 5) a la recta 2 0

1

y zr

x

+ =≡

=.

Ejercicio 12 Sea la recta 2 1

3 4

x yr z

+ +≡ = =

a) Determina el punto de la recta r más próximo al origen de coordenadas. b) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r

Ejercicio 13 Sea r la recta que pasa por los puntos A(1, 0,−1) y B(2,−1, 3). (a) Halla la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por el origen de coordenadas. (b) Calcula la distancia de A a s

Ejercicio 14 Determina la ecuación de la recta r que no corta al plano π: x – y + z = 7 y cuyo punto más cercano al origen es (1, 2, 3). ¿Cuál es la distancia del origen a r?

Practica tú:

17 Sean el punto P(1, 6, −2) y la recta 5 1

6 3 2

x y zr

− +≡ = =

−

a) Halla la ecuación del plano π que contiene al punto P y a la recta r. Sol.: 4x 2y 15z 22 0− + + + =

b) Calcula la distancia entre el punto P y la recta r. Sol.: 2 5 u

18 Considera los puntos A(1, 2, 1), B(−1, 0, 2) y C(3, 2, 0) y el plano π determinado por ellos. a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r.

3Sol.: r: (x,y,z) (0, 1, ) ( 4, 5, 2)2

= +λ − b) Calcula la distancia de A a r. 3Sol.: u2

19 Considera el punto A(1 ,−2 , 1) y la recta 2

2 7

x yr

x y z

+ =≡

+ + =

a) Calcula la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A Sol.: x y z 2 0− + + + =

b) Halla la distancia del punto A a la recta r Sol.: 6 u

20 Sea el punto P(2 , 3 , −1) y la recta 2 1

:2 4 1

x y zr

x y z

+ + =

− − =

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene r Sol.: x y 2z 1 0− + + + =

b) Calcula el punto de r que está más cerca de P 14 7Sol.: A(1, , )5 5

−

21 Dada la recta 1 1 2

:2 3 1

x y zr

− + −= =

(a) Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. Sol.: 7x 3y 5z 0− + + = (b) Determina la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. Sol.: 2x 3y z 0+ + =

(c) Calcula la distancia del origen a la recta r 1162Sol.: u14

22 Halla el punto de la recta 3 1

:1

x y zr

y z

+ + =

+ = − que está más cercano al punto P(1, −1, 0) y calcula la distancia

de P a r. Sol.: A(2, 0, 1) ; distancia 3 u− =


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2.4.- Distancia de una recta a un plano

Se define la distancia de una recta r a un plano π, y se representa por dist(r, π), como la menor de las distancias de un punto cualquiera de r a otro cualquiera de π. - Si la recta y el plano son secantes o la recta está contenida en el plano, obviamente la distancia es cero. - Si la recta es paralela al plano, la distancia coincide con la distancia de un punto cualquiera P de r al plano π

Ejercicio 15 Considera la recta 3 0

:1 0

x yr

x y z

− + =

+ − − = y la recta

2 1 0:

2 3 0

ysx z

+ =

− + =

a) Determina la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s b) ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s? Razona la respuesta. c) Halla la distancia de la recta s al plano π.

Ejercicio 16 Considera el punto P(1 , 0 , −2) , la recta 2 1 0

2 0

x yr

y z

− − =≡

+ − = y el plano α: 2x + y + 3z – 1 = 0

a) Halla la ecuación del plano β que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a α b) Halla la ecuación de la recta s que pasa por P, corta a r y es paralela a α c) Calcula la distancia entre el plano α y la recta s

Ejercicio 17 Considera la recta 1

:2 3 0

x y zr

x y z

+ + =

− + =

(a) Determina la ecuación del plano π que contiene a la recta r y no corta al eje OZ. (b) Calcula la proyección ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r. (c) Halla la distancia entre el eje OZ y el plano π.

Practica tú:

23 a) Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1, 1, –1), es paralela al plano π: x – y + z = 1 y corta al eje Z Sol.: r: (x,y,z) (1, 1, 1) (1, 1, 0)= − +λ

b) Calcula la distancia de la recta r al plano π 2 3Sol.: u3

24 Sea la recta 1

:2 3

x zs

y z

− = −

+ =. (a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y contiene a la

recta r: x – 1 = –y + 2 = z – 3 1Sol.: : x z 2 0π − + =

(b) Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2: x + 2y = 3, y deduce la distancia entre ambos.

5Sol.: Son paralelos; dis tancia u5

=

25 Sea la recta 2 2

:x y mz

rx y z m

+ − =

− − = − y el plano π: x + my – z = 1

(a) ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos? Sol.: Sí, m 2= (b) ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? Sol.: m 1=− (c) ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0? Sol.: Son secantes

(d) Para m = 2, calcula la distancia entre π y r 6Sol.: u2

26 Considera las rectas 2 0

:1 0

x zr

x y

+ − =

− − = y : 1

2 3

x zs y= − =

(a) Halla la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. Sol.: : 4x 5y z 5 0π − + + − =

(b) Calcula la distancia de la recta r al plano π. 4 42Sol.: u21


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2.5.- Distancia entre dos planos

Se define la distancia entre dos planos π y π´, y se representa por dist(π, π´) , como la menor de las distancias de un punto cualquiera de π a otro cualquiera de π´.

- Si los planos son secantes o coincidentes, obviamente la distancia es cero. - Si los planos son paralelos, la distancia coincide con la distancia de P al plano π´, siendo P un punto cualquiera del plano π

Ejercicio 18 Considera el plano π: 2x + y – z + 7 = 0 y la recta

1

1

1 3

x

r y

z

λλλ

= +

≡ = + = +

(a) Halla la ecuación del plano perpendicular a π y que contenga a la recta r. (b) ¿Hay algún plano π´ paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo, determina sus ecuaciones y la distancia entre π y π´.

Practica tú: 27 Considera el plano α: 3x – 2y – 2z = 7 y la recta

2 1 2:

2 1 2

x y zr

− + −= =

a) Determina la ecuación del plano β paralelo a α que contiene a r Sol.: : 3x 2y 2z 4 0β − + + + = b) Halla la ecuación de plano π ortogonal a α que contiene a r Sol.: : 2x 10y 7z 20 0π + − + =

c) Halla la distancia entre los planos α y β 3 17Sol.: u17

2.6.- Distancia entre dos rectas Se define la distancia entre dos rectas r y s, y se representa por dist(r, s) , como la menor de las distancias de un punto cualquiera de r a otro cualquiera de s.

* Si las rectas son secantes o coincidentes, obviamente la distancia es cero.

* Si las rectas son paralelas, la distancia coincide con la distancia de un punto cualquiera P de r a la recta s

* Si las rectas se cruzan, la distancia la podemos calcular por tres métodos:

Método del producto mixto

Sean las rectas ( ; )rr A d

��, ( ; )ss A d

��

Observa que dist(r, s) = h (altura del paralelepípedo)

, ,, , . . ( , ) ( , )

r sr s r s

r s

Volumen del paralepípedo Áreade la base altura x dist r s dist r sx

d d ABd d AB d d

d d

= = = ⇒ =

��

��

(Observa que hemos tomado el valor absoluto del producto mixto para evitar que la distancia sea negativa)


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Método del plano paralelo Se calcula el plano π que contiene a r y es paralelo a s. Observa que dist(r, s) = dist(s, π)

Método del punto genérico

Se toman puntos genéricos, Pλ de la recta r y Qµ de la recta s (a partir de las ecuaciones paramétricas).

Exigiendo que P Q r y sλ µ ⊥��

(es decir, r sP Q d x dλ µ

�� ) se obtienen los valores de λ y µ que dan lugar a dos

puntos P y Q. Entonces, dist(r, s) = PQ��

Ejercicio 19 Halla un punto A de la recta r: x = y = z y un punto B de la recta 1

:1 2

y zs x

+= =−

de forma que la

distancia entre A y B sea mínima. ¿Cuál es la distancia entre r y s?

Ejercicio 20 Se considera la recta 2

: m2

zr x y

+= = , (m ≠ 0), y la recta

1: 4

2 1 2

y zs x

m

−− = =

−

(a) Halla los valores de m para los que r y s son perpendiculares. (b) Estudia, en función de m, la posición relativa de r y s. (c) Halla la distancia entre r y s, cuando m = 1 (d) Halla la distancia entre r y s, cuando m = – 1 Ejercicio 21 Considera la recta r que pasa por los puntos A(1, 0,−1) y B(−1, 1, 0). a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C(−2, 3, 2). b) Calcula la distancia de r a s.

Ejercicio 22 Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta 2 3 4

2 3 0

x yr

x y z

− =≡

− − =

Practica tú:

28 Considera las rectas

1 2

1

1

x

r y

z

λλ

= +

≡ = − =

2 1

1

x ys

z

+ = −≡

= −

(a) Comprueba que ambas rectas son paralelas y calcula la distancia entre ambas 6 5Sol.: u5

(b) Halla la ecuación del plano que las contiene. Sol.: x 2y 2z 1 0+ − − =

(c) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área. 236Sol.: u5

29 Calcula la distancia entre las rectas r ≡ x = y = z y s ≡ x − 1 = y − 2 = z − 3. Sol.: 2 u 30 Sea r la recta que pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene como vector dirección (a, 2a, 1) y sea s la recta

2 2

0

x ys

ax z

− + = −≡

− + =

a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. Sol.: a 1=±

b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s. 30Sol.: u6


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- Página 10 -

31 Considera las rectas

2 3

3 5

x

r y

z

λλ

λ

= −

≡ = + =

y 1 0

5 0

x ys

z

+ − =≡

− =

a) Determina la posición relativa de r y s. Sol.: Se cruzan

b) Calcula la distancia entre r y s. 7 6Sol.: u3

32 Dadas las rectas 7 7

2 1

x yr z

+ −≡ = =

− y

2

5

x

s y

z λ

=

≡ = − =

(a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. Sol.: (x,y,z) (5, 1, 6) (1, 2, 0)= +λ

(b) Calcula la distancia entre r y s. Sol.: 3 5 u

33 Sabiendo que las rectas r: x = y = z y

1

3

x

s y

z

µµ

µ

= +

≡ = + = −

, se cruzan, halla los puntos A de r y B de s que

están a mínima distancia y deduce la distancia entre las rectas Sol.: A(1, 1, 1) , B(0, 2, 1) ; distancia: 2 u

3.- ÁREAS Y VOLÚMENES EN EL ESPACIO

3.1.- Área del paralelogramo y del triángulo

D

( )Área ABCD xAB AD=��

1 1( ) ( ) ( )

2 2Área ABC Área ABDC Área ABC xAB AC= ⇒ =

��

Ejercicio 23 Los puntos A(0, 1, 1) y B(2, 1, 3) son vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la

recta 2 0

0

x yr

z

+ =≡

=. Halla los puntos C de r para que el triángulo ABC tenga un área igual a 2 .

Ejercicio 24 El punto M(1, −1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1,−1) y B(0,−2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo. Determina los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Ejercicio 25 Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, −1). Calcula el area del triángulo de vértices A, B y C, donde C es el punto de corte del plano π: 2x − y + 3z = 6 con el eje OX.

Ejercicio 26 Considera los puntos A(1, 0, −2) y B(−2, 3, 1). Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta r: −x = y − 1 = z.

Ejercicio 27 Halla la ecuación de los planos que sean paralelos al plano π: x + y + z = 1 y formen con los ejes de coordenadas un triángulo de área 18 3

Ejercicio 28 Sea la recta 1 2 3

:1 3 1

x y zr

− + −= =

− y el plano π: x − y + z +1 = 0. Calcula el área del triángulo de

vértices ABC, siendo A el punto de corte de la recta r y el plano π, B el punto (2, 1, 2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B sobre el plano π.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 11 -

Practica tú:

34 Considera los puntos A(1, 2,−3), B(9,−1, 2), C(5, 0,−1) y la recta 1 0

0

x yr

y z

+ + =≡

− =

a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A, B y C. 2Sol.: 2 3 u b) Halla el punto D en la recta r de forma que el triángulo ABD sea rectángulo en D. Sol.: D(1, 2, 2)− −

35 Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los vértices de un triángulo. a) Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. Sol.: : x 2z 3 0π − + = b) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el origen. Sol.: (x,y,z) (1, 0, 2)=λ −

c) Calcula el área del triángulo ABC. 2Sol.: 4 5 u

36 Considera los puntos A(0, 5, 3), B(−1, 4, 3), C(1, 2, 1) y D(2, 3, 1). a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo. b) Calcula el área de dicho rectángulo. 2Sol.: 2 6 u

37 De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, −1, 0), B(−2, 1, 0) y C(0, 1, 2). (a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. Sol.: (x,y,z) (1, 0, 1) (1, 2, 1)= +λ −

(b) Halla el área de dicho paralelogramo. 2Sol.: 4 6 u (c) Calcula el vértice D. Sol.: D(4, 1, 2)−

38 Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 0, 1) y P(1, −1, 1) y la recta 2 0

0

x yr

z

− − =≡

=

(a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. 1 2Sol.: Q (3, 1, 0) y Q ( 1, 3, 0)− −

(b) Calcula el área del triángulo ABP. 23Sol.: u2

39 Considera la recta 2

:0

x yr

y z

+ =

+ = y la recta “s” que pasa por los puntos A(2, 1, 0) y B(1, 0, −1).

(a) Estudia la posición relativa de ambas rectas. Sol.: Son secantes (b) Determina el punto C de la recta “r” de coordenadas no negativas tal que los segmentos CA y CB sean

perpendiculares. Sol.: C(2, 0, 0) (c) Halla el área del triángulo ABC 22Sol.: u2

40 Considera los puntos A(1, 1, 0), B(1, 1, 2) y C(1, −1, 1). (a) Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan. 2Sol.: 1 u (b) Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.

Sol.: 2y z 2 0+ − = 41 Dados A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2. 1 2Sol.: C ( 11, 0, 0) y C ( 11, 0, 0)−

42 Considera el plano π: 2x + 2y − z − 6 = 0 y la recta 1 1

:2 1 2

x y zr

− += =

−

(a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de

coordenadas. 227Sol.: u2

(b) Calcula, razonadamente, la distancia de la recta r al plano π. Sol.: 2 u

43 Sean los puntos A(0, 1, 1), B(2, 1, 3), C(−1, 2, 0) y D(2, 1, m). a) Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano. Sol.: m 3= b) Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. Sol.: x z 3 0+ − =

c) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. Sol.: 2 u


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 12 -

3.2.- Volumen del paralelepípedo y del tetraedro

Volumen( ) , ,ABCD AB AC AD = ��

1Volumen( ) , ,

6ABCD AB AC AD =

��

Ejercicio 29 Considera los puntos A(−1, k, 3), B(k+1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1). Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.

Ejercicio 30 a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π: 2x + y + 3z − 6 = 0 con los ejes coordenados. b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.

Practica tú: 44 (a) Calcula el volumen del tetraedro de vértices A(1, 1, 1), B(0,−2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2,−1, 2). 35Sol.: u

6

(b) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. Sol.: (x,y,z) (2, 1, 2) (2, 1, 5)= − +λ

45 Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0). (a) Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C y D. Sol.: : x y 2z 2 0π − + − =

(b) Halla el punto simétrico de A respecto del plano π. 4 2 1Sol.: A ( , , )3 3 3

´ −

(c) Determina el volumen de tetraedro que definen los puntos A, B, C y D 32Sol.: u3

46 Dados los puntos A(m, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1). (a) Halla m para que los puntos estén en un mismo plano y calcula la ecuación de dicho plano.

Sol.: m 1 ; x 4y 3z 2 0=− − + − =

(b) ¿Están B, C y D alineados? Sol.: No (c) Para m = 0, calcula el volumen del tetraedro ABCD 31Sol.: u3

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1 Considera las rectas : 1 1r x y z− = = − , 2 1

:1

x ys

y z

− = −

+ =. (a) Determina su punto de corte. Sol.: P(3, 2, 1)−

(b) Halla el ángulo que forman r y s. Sol.: 19º 28́ 16́ ´(c) Calcula la ecuación del plano que contiene a r y s. Sol.: y z 1 0+ − =


:3 3

xr

y z

=

+ = y la recta

2 3:

0

x zs

y

− =

=

(a) Estudia la posición relativa de r y s. Sol.: Se cruzan

(b) Calcula el ángulo que forman las rectas Sol.: 31º 56́ 53́ ´

(c) Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. Sol.: 2x 3y z 3 0− + + + =

3 Sean las rectas 2

3 4 5

x y k zr

− −≡ = = ,

2 1 3

1 2 3

x y zs

+ − −≡ = =

−

(a) Halla el valor de k para que las rectas r y s se corten en un punto y calcula el ángulo que forman. 4Sol.: k ; 40º 53́ 36́ ´

7

−=

(b) Para el valor de k hallado en el apartado anterior, determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s. Sol.: x 7y 5z 6 0− + − =


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 13 -

4 Considera el plano π: 2x + y – z + 2 = 0 y la recta 5 6

:2

x zr y

m

− −= =

−

(a) Estudia la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.

Sol.: Si m 3, son paralelos; si m 3, son secantes= − ≠ −

(b) Para m = –3, halla la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular π. Sol.: x 4y 2z 7 0− + + − =

(c) Para m = 1 calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π. Sol.: 41º 48́ 37́ ´

5 Considera la recta 1 1

4 2

x y zr

α− −

≡ = = y el plano π: 2x − y + z = 0.

(a) Halla α para que la recta r sea paralela al plano π. Sol.: 1α=

(b) Para α = 2, determina el ángulo que forman la recta y el plano Sol.: 9º 35́ 39́ ´

6 Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta 3 0

:2 1 0

x y zr

x z

+ − − =

+ + =

(a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. Sol.: x 2y 4z 7 0+ − − = (b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. Sol.: Q( 1, 0, 2)− −

(c) Calcula la distancia entre P y Q Sol.: 2 6 u

7 (a) Halla los dos puntos que dividen al segmento de extremos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3) en tres partes iguales.

1 4 5 1 2 7Sol.: P( , , ) , Q( , , )3 3 3 3 3 3

−

(b) Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio. Sol.: x y z 1 0+ − + =

(c) Calcula la distancia del punto medio del segmento a cada uno de los extremos Sol.: 3 u

8 a) Determina la ecuación del plano perpendicular a 3 2 0

3 0

x yr

x z

+ =≡

+ = que pasa por el punto P(1, 1, 1)

Sol.: 2x 3y 6z 7 0− + + − =

b) Halla los puntos de r cuya distancia al origen es de 4 unidades 8 12 24 8 12 24Sol.: P( , , ) , Q( , , )7 7 7 7 7 7

− − −

9 Sean los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, −1), C(0, 1, −2) y D(1, 2, 0).

(a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. Sol.: : 2x 3y z 1 0π + + − = (b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

(c) Calcula la distancia del punto D al plano π. 14Sol.: u2

10 Determina los puntos de la recta 1 1

:2 1 3

x y zr

− += = que equidistan de los planos π1: x + y + z + 3 = 0

y 2

3

6

x

y

z

λπ λ µ

µ

= − +

≡ = − + = − +

Sol.: P(1, 1, 0) , Q( 1, 2, 3)− − − −

11 Considera el plano π: 2x + 2y − z − 6 = 0 y el punto P(1, 0,−1).

(a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a π. Sol.: (x,y,z) (1, 0, 1) (2, 2, 1)= − +λ −

(b) Encuentra el punto simétrico de P respecto del plano π. 7 4 5Sol.: P ( , , )3 3 3

´ −

(c) Halla la distancia del punto P al plano π. Sol.: 1 u


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

12 Considera los planos π1: (x, y, z) = (−2, 0, 7) + λ(1, −2, 0) + µ(0, 1, −1) y π

2: 2x + y − z + 5 = 0

Determina los puntos de la recta 1

13

zx y

−= + =

− que equidistan de π

1 y π

2. Sol.: P(0, 1, 1) , Q( 1, 2, 4)− − −

13 Considera el punto P(1, 0, −1) y la recta 0

1 1

x yr

z

+ =≡

− =

a) Halla la distancia de P a r. 19Sol.: u

2

b) Determina la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. Sol.: 3x 3y z 2 0+ + − =

14 Considera el punto P(2,−2, 0) y la recta 2 0

1 0

x zr

y z

+ − =≡

+ − =

a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r. Sol.: x y z 0+ − =

b) Calcula la distancia de P a r. Sol.: 6 u

15 Considera el punto P(–2, 3, 0) y la recta 2 0

:2 2 1 0

x y zr

x y z

+ + + =

− + + =

(a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a la recta r. Sol.: 5x y 4z 7 0+ + + =

(b) Determina el punto de r más próximo a P. 14 9 3Sol.: Q( , , )13 13 13

− − −

16 Sea el punto P(2, 3, −1) y la recta

1

2

x

r y

z

λλ

=

≡ = − =

(a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P. Sol.: 2y z 7 0− + + = (b) Calcula la distancia del punto P a la recta r y determina el punto simétrico de P respecto de r.

30 13 9Sol.: u y P (0, , )5 5 5

´ −

17 (a) Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo de vértices A(0, 3,−1),B(0, 1, 5) y C(x, 4, 3) tiene un

ángulo recto en C. Sol.: x 5=±

(b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y es paralelo a la recta 0

2 3

x y z

x y

− + =

+ =

Sol.: 13x 7y 9z 38 0− + − =

(c) Calcula la distancia de la recta al plano 32 299Sol.: u299

18 (a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a los planos

π1: x + y + z = 3 3 y π2: −x + y + z = 2. Sol.: r: (x,y,z) (0, 1, 1)=λ −

(b) Halla la distancia de la recta r al plano π1. Sol.: 3 u


:2 2

yr

x z

= −

− = y la recta

4 3

: 3

5 4

x

s y

z

λλλ

= +

= − = +

(a) Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Sol.: 2x 2y z 0+ − = (b) Calcula la distancia de dicho plano a la recta s. Sol.: 3 u


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

20 Sea la recta 2

3

x yr

x z

− = −≡

− = − y la recta

1

2 2

xs

y z

=≡

− = −

a) Estudia la posición relativa de r y s. Sol.: Se cruzan b) Halla la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s. Sol.: : x 2y z 1 0π − + + =

c) Calcula la distancia de la recta s al plano π. 4 6Sol.: u6

21 Considera el punto P(1 , 0 , 0), la recta 1

32 2

y zr x

+≡ − = =

− y la recta s: (x, y, z)=(1, 1, 0)+λ(−1, 2 , 0)

a) Estudia la posición relativa de r y s. Sol.: Se cruzan b) Halla la ecuación del plano α que pasando por P es paralelo a r y s. Sol.: : 2x y 2z 2 0α + + − =

c) Calcula la distancia de cada recta a dicho plano. 2 1Sol.: dist(r, ) u dist(s, ) u3 3

α = α =

22 Considera el plano π: 2x + y – z + 2 = 0 y la recta 5 6

:2 3

x zr y

− −= =

− −

(a) Halla la ecuación del plano π´ que contiene a la recta r y es paralelo al plano π. Sol.: :́ 2x y z 4 0π + − − =

(b) Calcula la distancia entre los planos π y π´. Sol.: 6 u

23 Sea el plano π: 3x – y +2z – 4 = 0.

(a) Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a π y pasa por el punto P(1, –2, 2). 1Sol.: : 3x y 2z 9 0π − + − =

(b) Calcula la distancia entre los planos π y π1 . 5 14Sol.: u14

(c) Halla la ecuación del plano π2 que es perpendicular a ambos y que contiene a la recta 1

2 4 1

x y z

x y z

− + =

+ − =

2Sol.: : 5x y 7z 3 0π + − − =

24 Calcula la distancia entre las rectas

6

1 2

5 7

x

r y

z

λλλ

= +

≡ = − = −

y 2 3 1 0

3 2 0

x ys

x y

− + =≡

− − = Sol.: 2 5 u

25 Se consideran las rectas

1

1

2

x

r y

z λ

=

≡ = = −

y 1

1

x

s y

z

µµ

=

≡ = − = −

(a) Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. Sol.: (x,y,z) (1, 1, 1) ( 1, 1, 0)= − +λ −

(b) Calcula la distancia entre las rectas. 2Sol.: u2

26 Dadas las rectas 3 9 8

6 4 4

x y zr

+ − −≡ = =

− y

3 9 8

3 2 2

x y zs

− − −≡ = =

− −

(a) Determina la posición relativa de las rectas r y s. Sol.: Son paralelas

(b) Calcula la distancia entre r y s. 12 34Sol.: u17


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

27 Sea

1

1

x

r y

z

λλ

λ

= +

≡ = + =

y 1 1

2 1 2

x y zs

− −≡ = =

− −

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. 1 1 1Sol.: (x,y,z) ( , , ) (1, 0, 1)2 2 2

−= +λ −

b) Calcula la distancia entre r y s. 2Sol.: u2

28 Sean las rectas

1

1

2

x

r y

z λ

=

≡ = = −

1

1

x ys

z

− =≡

= −

a) Halla la ecuación de la recta que las corta perpendicularmente. Sol.: (x,y,z) (1, 1, 1) ( 1, 1, 0)= − +λ −

b) Calcula la distancia entre r y s. 2Sol.: u2

29 Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 1, 2), B(1, 0, −1) y C(1, −3, 2). 2Sol.: 6 u

30 Halla el punto C de la recta 3

: 1 32

zr x y

−− = − = que equidista de A(2, 1, 2) y B(0, 5, 4) Sol.: C(1, 3, 3)

31 Los puntos A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

(a) Halla las coordenadas del vértice D. Sol.: D( 4, 5, 4)− − (b) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC.

Sol.: (x,y,z) (2, 1, 3) ( 2, 2, 3)= − +λ − (c) Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo. Sol.: x y 1 0+ − =

(d) Calcula el perímetro y el área del paralelogramo. 2Sol.: Perímetro:12 2 33 u ; Área 16 2 u+ = 32 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x + 3y + 2z = 6 con

los ejes de coordenadas. 27Sol.: u2

33 Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que C pertenece a la recta intersección de los

planos y + z = 1 e y − 3z + 3 = 0 , y que sus otros dos vértices son A(2, 0, 1) y B(0, −3, 0). Halla C y el área del triángulo ABC. 2Sol.: C(0, 0, 1) ; Área : 10 u 34 Calcula el volumen del tetraedro limitado por el plano π ≡ x + 3y + 2z − 5 = 0 y los planos coordenados.

3125Sol.: u36

35 Considera los vectores u��

= (1, −1, 3), v��

= (1, 0, −1) y w��

= (λ, 1, 0).

a) Calcula el valor de λ que hace que u��

y w��

sean ortogonales. Sol.: 1λ=

b) Halla el valor de λ que hace que u v y w�� , sean linealmente dependientes. Sol.: 4λ=−

c) Para λ = 1 escribe el vector r��

= (3, 0, 2) como combinación lineal de u v y w�� , y halla el volumen del

tetraedro formado por los vectores u v y w�� , . 3+ ;

5Sol.: r u v w V u6

= + =��

2º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS II – TEMA 6...

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