Ejercicios de Prueba de Hipótesis

Luis Alberto Garcia Aguilar 2° “B”

EJEMPLO 1

PRUEBA DE UNA SOLA MUESTRA CON RESPECTO A UNA SOLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA)

DatosH0: µ1=800 H1: µ2=788σ=40 horasX=788Significancia=0.04

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación

estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que µ≠800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de

significancia de 0.04.

Con la resolución del ejercicio se llega a la conclusión de que la duración media de

los focos si corresponde a 800 horas por lo que la hipótesis nula es aceptada.

Solución

z=-1.75 z=1.75z=-1.64

Zona de aceptacion

Zona de Rechazo

Zona de Rechazo

Ejemplo 2

Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivo de dos diferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 mediante la exposición de cada pieza a una maquina para medir el desgaste. 10 piezas del material 2 se prueban de manera similar. En cada caso, se mide la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 dan un desgaste promedio de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras del material 2 dan un promedio de 81, desviación estándar muestral de 5. ¿Podemos concluir con un nivel de significancia del 0.05 que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en 2 unidades?

Solución:

Representemos con µ₁ y µ₂ las medias poblacionalesdel desgaste abrasivo para el material 1 y 2,respectivamente.

1. H₀: µ₁ - µ₂ = 22. H₁: µ₁ - µ₂ ≠ 23. α = 0.054. Región critica: con v= 20 grados de libertad t > 1.725 Las regiones criticas unilaterales rechaza a H₀: µ₁ - µ₂

= d₀ cuando t > tαn₁+n₂-2

Cálculos:

81

85

2

1

x

x

5

4

2

1

s

s10

12

2

1

n

n

De aquí:

2-1012

)25)(9()16)(11(

ps )10/1()12/1(478.4

2)8185(

t= 4.478,

= 1.04

P = P(T>1.04) ≈ 0.16

Decisión: No rechazar H₀. Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en mas de dos unidades

Ejemplo 3 Una marca de nueces afirma que, como

máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.

1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

1   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : p ≤ 0.06      H1 : p >0.06     2Zona de aceptación α = 0.01      zα = 2.33. Determinamos el intervalo de confianza:

Verificación.

Decisión : Aceptamos la hipótesis nula H0. Con un

nivel de significación del 1%. Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1-α = 0.95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

Ejemplo 4 Se lleva a cabo un experimento para comparar el

desgaste por abrasivo de dos diferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 mediante la exposición de cada pieza a una maquina para medir el desgaste. 10 piezas del material 2 se prueban de manera similar. En cada caso, se mide la profundidad del desgaste. Las muestras del material 1 dan un desgaste promedio de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4, mientras que las muestras del material 2 dan un promedio de 81, desviación estándar muestral de 5. ¿Podemos concluir con un nivel de significancia del 0.05 que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en 2 unidades?

Representemos con µ₁ y µ₂ las medias poblacionales

del desgaste abrasivo para el material 1 y 2, respectivamente. H₀: µ₁ - µ₂ = 2 H₁: µ₁ - µ₂ ≠ 2 α = 0.05 Región critica: con v= 20 grados de libertad t > 1.725 Las regiones criticas unilaterales rechaza a

H₀: µ₁ - µ₂ = d₀ cuando t > tαn₁+n₂-2

Cálculos:

81

85

2

1

x

x

5

4

2

1

s

s10

12

2

1

n

n

De aquí:

2-1012

)25)(9()16)(11(

ps )10/1()12/1(478.4

2)8185(

t= 4.478,

P = P(T>1.04) ≈ 0.16

Decisión: No rechazar H₀. Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en mas de dos unidades

Ejemplo 5

Los valores que se adjunta corresponden a la fabricación de un producto realizada en tres días sucesivos. La especificación para ese producto es de 50000 ± 6000 milílitros. Pruebe con un nivel de confianza de 0,01que los datos siguen un comportamiento con base en una distribución normal.

Ho: La distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X.

H1: La distribución normal con un α de 0,01 no es una buena descripción del proceso de fabricación del producto X.

LI LS Frec Frec. Acom

Xk D Frec*D Frec*D² Prob. Esperada

Frec. Esperada

Frec. Esp acom

35000 40000 6 6 37500 -3 -18 54 0.0087 2.61

40000 45000 15 21 42500 -2 -30 60 0.0677 20.31 22.92

45000 50000 58 79 47500 -1 -58 58 0.2428 72.84 72.84

50000 55000 139 218 52500 0 0 0 0.3687 110.61 110.61

55000 60000 66 284 57500 1 66 66 0.2385 71.55 71.55

60000 65000 11 295 62500 2 22 44 0.0654 19.62 21.96

65000 70000 5 300 67500 3 15 45 0.0078 2.34

300 -3 327

LI LS Frec Frec. Acom

Xk D Frec*D Frec*D² Prob. Esperada

Frec. Esperada

Frec. Esp acom

35000 40000 6 6 37500 -3 -18 54 0.0087 2.61

40000 45000 15 21 42500 -2 -30 60 0.0677 20.31 22.92

45000 50000 58 79 47500 -1 -58 58 0.2428 72.84 72.84

50000 55000 139 218 52500 0 0 0 0.3687 110.61 110.61

55000 60000 66 284 57500 1 66 66 0.2385 71.55 71.55

60000 65000 11 295 62500 2 22 44 0.0654 19.62 21.96

65000 70000 5 300 67500 3 15 45 0.0078 2.34

300 -3 327

A=Punto medio de la clase que contiene a la media supuesta (d=0)D=Desviacion del punto medio con respecto a la posición de la media supuesta, es medida en unidades de intervalo de clase.i= amplitud o intervalo de clasenk = número de clasesx = valores de la variable en estudion = tamaño de la muestra

Probabilidad esperada

Frecuencia Esperada

Frecuencia observada

Frecuencia esperada Fo-Fe (Fo-Fe)^2 (Fo-Fe)^2/Fe

21 22.92 -1.92 3.69 0.1658 72.84 -14.84 220.23 3.02

139 110.61 28.39 805.99 7.2966 71.55 -5.55 30.80 0.4316 21.96 -5.96 35.52 1.62

X² 12.52

Valor de X² cuando v=4 X²=13.277

Como conclusión podemos determinar que la distribución normal con un α de 0,01es una buena descripción del proceso de fabricación del

producto X. Por lo que la hipótesis es aceptada.

Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? utilice un nivel de significancia de 0.10

Ejemplo 6

1. H0: p=0.7

2. H1: p=0.7

3. α= 0.10

4. Estadística de prueba: Variable binomial X con p= 0.7 y n= 15

5. Cálculos x=8 y np0=(15)(0.7)=10.5. por tanto, de la tabla A.1, el valor P calculado es

6. P= 2P(X ≤ 8 cuando p=0.7)= 0.1622>0.10

7. Por lo tanto no se pude rechazar H0, por lo que concluimos que no ha razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.

Solución

Gracias por su atención:

atte.: Luis Alberto García Aguilar