Estructuras II (CON-131)

2. Energía de Deformación

Prof. Rodrigo Thiers

1. Trabajo de una Fuerza

2

Definición: El trabajo W que ejerce una fuerza sobre un

cuerpo es igual al producto entre la magnitud de dicha fuerza y

la proyección del desplazamiento sobre la dirección de la

fuerza

𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 cos 𝛼

𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑠 cos 𝛼

1. Trabajo de una Fuerza

3

Trabajo a lo largo de una trayectoria

𝑊 = නԦ𝑟1

Ԧ𝑟2Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟

1.1 Trabajo asociado a deformación de un sólido

4

- Si Ԧ𝐹𝑖 y Ԧ𝑑𝑖 apuntan en la misma dirección:

• Trabajo asociado a la fuerza Ԧ𝐹𝑖

5

Caso Lineal-Elástico

- Trabajo asociado a la fuerza Ԧ𝐹𝑖

- Trabajo asociado a un conjunto de fuerzas puntuales

1.1 Trabajo asociado a deformación de un sólido

𝑊 = න0

𝐷𝑖

𝐹𝑖 𝑑𝐷𝑖

𝑊 = න0

𝐷𝑖

α𝐷𝑖 𝑑𝐷𝑖

𝑊 =1

2𝛼𝐷𝑖

2=1

2𝐹𝑖𝐷𝑖

2. Energía de Deformación

6

Teorema de Clapeyron: El trabajo realizado por las fuerzas externas se

transforma completamente en energía de deformación de la estructura

(caso ideal, sin pérdida de energía)

Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial

𝑊 = 𝑈• W: Trabajo asociado a las fuerzas

externas

• U: Energía de deformación

𝜎𝑥𝑥 =𝐹

𝐴

2. Energía de Deformación

7

Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial

𝑊 =1

2𝐹∆

- Energía de deformación –análisis de elemento

infinitesimal e integración

𝑑𝑈 =1

2𝜎𝑥𝑥 𝑑𝐴 𝜀𝑥𝑥 𝑑𝑥

𝑈 =1

2න𝐿

න𝐴

𝜎𝑥𝑥𝜀𝑥𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝑥

𝑈 =1

2න𝑉

𝜎𝑥𝑥𝜀𝑥𝑥𝑑𝑉

- Trabajo asociado a fuerzas externas:

2. Energía de Deformación

8

Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial

𝜀𝑥𝑥 =𝜎𝑥𝑥𝐸

- Energía de deformación:

𝑈 =1

2න𝑉

𝜎𝑥𝑥2

𝐸𝑑𝑉

𝑈 =1

2𝐸න𝑉

𝐹2

𝐴2𝑑𝑉

𝑈 =𝐹2𝐿

2𝐸𝐴

- De las relaciones esfuerzo - deformación:

2. Energía de Deformación

9

Caso General: En el caso general, la energía de deformación involucra

todas las componentes de esfuerzo y deformaciones asociadas

2.1. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales

10

Energía de deformación asociada a fuerzas axiales

• De las ecuaciones de equilibrio y

relaciones esfuerzo –deformación se

tiene que:

1 𝜎𝑥𝑥 =𝑁

𝐴

2 𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥𝑥

2.1. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales

11

Energía de deformación asociada a fuerzas axiales

• Energía de deformación

2.2. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales

12

Energía de deformación asociada a fuerzas axiales

Casos Típicos

• Elemento prismático

• Enrejado compuesto por elementos

prismáticos

𝑈 =1

2

𝑁2𝐿

𝐸𝐴

𝑈 =1

2

𝑖

𝑛𝑁𝑖

2𝐿𝑖𝐸𝑖𝐴𝑖

2.2. Energía de Deformación – Flexión Simple

13

Energía de deformación asociada a flexión simple

• De las ecuaciones de equilibrio y

relaciones esfuerzo –deformación se

tiene que:

1 𝜎𝑥𝑥 = −𝑀

𝐼𝑧𝑧𝑦

2 𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥𝑥

2.2. Energía de Deformación – Flexión Simple

14

Energía de deformación asociada a flexión simple

2.3. Energía de Deformación – Corte

15

Energía de deformación asociada a corte

• De las ecuaciones de equilibrio y

relaciones esfuerzo –deformación se

tiene que:

1 𝜏𝑥𝑦 =𝑄 𝑦′ 𝑉

𝐼𝑧𝑧 𝑡

2 𝜏𝑥𝑦 = 𝛾𝑥𝑦 𝐺 = 𝛾𝑥𝑦𝐸

2(1 + ν)

2.3. Energía de Deformación – Corte

16

Energía de deformación asociada a corte

• Energía de deformación

𝑈 =1

2න𝑉

𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑉

𝑈 =1

2න𝑉

𝜏𝑥𝑦2

𝐺𝑑𝑉

𝑈 =1

2න𝐿

න𝐴

𝑄(𝑦′)2 𝑉2

𝑡2 𝐼𝑧𝑧2 𝐺

𝑑𝐴 𝑑𝑥

𝑈 =1

2න𝐿

𝑉2

𝐺𝐴

𝐴

𝐼𝑧𝑧2න

𝐴

𝑄(𝑦′)2

𝑡2𝑑𝐴 𝑑𝑥

κ: Factor de Forma

2.3. Energía de Deformación – Corte

17

Energía de deformación asociada a corte

• Energía de deformación

𝑈 =1

2න𝐿

κ 𝑉2

𝐺𝐴𝑑𝑥

2.4. Energía de Deformación –Torsión

18

Energía de deformación asociada a torsión

• De las ecuaciones de equilibrio y

relaciones esfuerzo –deformación se

tiene que:

1 τ =𝑇 𝑟

𝐽

2 τ = 𝛾 𝐺 = 𝛾𝐸

2(1 + ν)

2.4. Energía de Deformación –Torsión

19

Energía de deformación asociada a torsión

• Energía de deformación:

J: Inercia Polar

2.4. Energía de Deformación –Torsión

20

Energía de deformación asociada a torsión

• Energía de deformación:

*Válido para secciones

circulares

2.5. Energía de Deformación – Comb. Esfuezos Normales

21

Energía de deformación: Contribución esfuerzos normales

𝑈𝜎 =1

2න𝐿

𝑁2

𝐸𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑀𝑧2

𝐸𝐼𝑧𝑧𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑀𝑦2

𝐸𝐼𝑦𝑦𝑑𝑥

2.6. Energía de Deformación – Comb. Esfuezos de Corte

22

Energía de deformación: Contribución esfuerzos de corte

𝑈τ =1

2න𝐿

κ𝑦 𝑉𝑦2

𝐺𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

κ𝑧 𝑉𝑧2

𝐺𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑇2

𝐺𝐽𝑑𝑥

2.7. Energía de Deformación – Energía Total

23

Energía de deformación: EnergíaTotal

𝑈 =1

2න𝐿

𝑁2

𝐸𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑀𝑧2

𝐸𝐼𝑧𝑧𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑀𝑦2

𝐸𝐼𝑦𝑦𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

κ𝑦 𝑉𝑦2

𝐺𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

κ𝑧 𝑉𝑧2

𝐺𝐴𝑑𝑥 +

1

2න𝐿

𝑇2

𝐺𝐽𝑑𝑥

𝑈 = 𝑈𝜎 + 𝑈𝜏

2.8. Ejemplo

24

Encontrar la deflexión en la mitad de la luz de la viga simplemente apoyada

- Propiedades sección transversal:𝐸,𝐺,𝐼,𝜅,𝐴