2 expresiones algebraicas
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Tema 2
Expresiones algebraicas
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Polinomios
• Un monomio es toda expresión de la forma axk
a es un número denominado coeficiente x es una variable k es un número natural llamado grado del monomio
• Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios.
P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2
Término principalGrado del polinomio
Término de grado 2 Término independienteo término de grado 0
El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a
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Suma y diferencia de polinomios
• Para sumar o retas polinomios basta con agrupar los términos del mimo grado.• Si se toma el valor en x = a: (P ± Q)(a) = P(a) ± Q(a)
P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4
P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4
Ejemplo
P(1) = –3Q(1) = 6
(P+Q)(1) = 3 = P(1) + Q(1)P(1) = –3Q(1) = 6
(P – Q)(1) = –9 = P(1) – Q(1)
El grado de P ± Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q
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Producto de polinomiosPara multiplicar polinomios basta aplicar la propiedad distributiva, la regla del producto de potencias, xk . xl = xk + l, y agrupar los términos del mismo grado
Ejemplo P = 2x3 + 3x2 – 1
Q = x2 – 5x + 2
P . Q = (2x3 + 3x2 – 1) . x2 + (2x3 + 3x2 – 1) . (–5x) + (2x3 + 3x2 – 1) . 2 = distributiva
= (2x3 . x2 + 3x2 . x2 – 1. x2 ) + (2x3 . (–5x) + 3x2 . (–5x) – 1 . (– 5x) ) ++ (2x3 . 2 + 3x2 . 2 – 1. 2) =
distributiva
= (2x5 + 3x4 – x2) + (– 10 x4 – 15x3 + 5x) + (4x3 + 6x2 – 2) = regla de las potencias
= 2x5 – 7x4 – 11x3 + 5x2 + 5x – 2 se agrupan los términos de igual grado
El grado de P . Q es la suma de los grados de P y Q
(P . Q)(a) = P(a) . Q(a)
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resto–(– 3x2 – 2x + 4)Se resta (–1) . D cociente
Cociente delos términosde mayor grado
Cociente delos términosde mayor grado
x3
Cociente de polinomiosDados dos polinomios P (el dividendo) y D (el divisor), dividir P entre D es encontrar dos polinomios Q (el cociente) y R (el resto) tales que P = Q . D + R siendo grado(R) < grado(D)
Algoritmo de la división
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6
Primer paso
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
x3– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
Segundo paso
– (6x4+ 4x3 – 8x2)– 3x2 – 3x + 6
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
x3 + 2x2– (3x5 + 2x4 –4x3)6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
– (6x4– 4x3 – 11x2)– 3x2 – 3x + 6
Tercer paso
– x + 2
Se resta x3 . D
Se resta 2x2 . D
+ 2x2
Cociente delos términosde mayor grado
– 1
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Raíces de un polinomio
Un número a es una raíz o un cero del polinomio P, si P(a) = 0
Raíces enteras: las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente
• Si a es raíz entera de P = Ax3 + Bx2 + Cx + D, entonces: P(a) = Aa3 + Ba2 + Ca + D = 0• Por tanto: D = – (Aa3 + Ba2 + Ca ) = – a (Aa2 + Ba + C )• Como D es entero, a es entero y Aa2 + Ba + C es entero, entonces a divide a D
Teorema del resto: el resto de dividir un polinomio P entre x – a es P(a)
• Al dividir P entre x – a se obtiene: P = Q . (x – a) + r, con grado(r) < grado (x–a) = 1• Luego r es una constante, y tendremos: P(a) = Q . (a – a) + r: es decir P(a) = r
Se deduce que: a es raíz de P ⇔ P es divisible por x – a
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r
se suma
se multiplica por a
Regla de Ruffini
Para dividir un polinomio P= 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se aplica la Regla de Ruffini
Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12a 2
Se opera: 2 – 6 – 4 12
22
4–2
– 4–8
– 16
– 4
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
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Factorización• Si P = Q . S se dice que los polinomios Q y S son factores de P• Teorema del factor: si x – a es factor de P, entonces a es raíz de P
La demostración es inmediata teniendo en cuenta que si x– a es factor de P entonces P = (x – a) . Q, de donde se deduce que P(a) = 0
Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4
1.– Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. La regla de Ruffini nos permite encontrar cuáles de ellos son ceros del polinomio.
1 0 –2 4–2 –2 4 –4
1 –2 2 0
2.– Por tanto P = (x + 2) (x2 – 2x + 2)
3.– Intentamos descomponer x2 – 2x + 2. Como la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales, en R no es posible descomponer más este polinomio.
4.– Pero queremos descomponer el polinomio en C, al resolver dicha ecuación obtenemos dos soluciones: 1 + i y 1 – i.
Por tanto: x3 – 2x + 4 = (x + 2).(x – 1 – i) (x – 1 + i)
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Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es un cociente de polinomios: F(x) = P(x)Q(x)
• P(x) es el numerado y Q(x) es el denominador. Ha de ser Q(x) ≠ 0• El valor numérico de F en a, F(a), se obtiene haciendo x = a. Como la
división por 0 no existe este valor no está definido si Q(a) = 0
Dos fracciones algebraicas P(x)Q(x)
yR(x)S(x)
son equivalentes si P(x) . S(x) = Q(x) . R(x)
• Cuando dos fracciones son equivalentes se escribe:
• El valor en a de dos fracciones es el mismo si sus valores están definidos.
Pero es posible que el valor en a de una de las fracciones esté definido y el
de la otra n
P(x)Q(x) =
R(x)S(x)
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x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1
Simplificación de fracciones algebraicas
Simplificar una fracción algebraica consiste en eliminar los factores comunes en el numerador y el denominador. Se obtiene así una fracción más sencilla, equivalente a la original.Para simplificar una fracción: primero se factorizan numerador y denominador y luego se cancelan los factores comunes
Ejemplo: simplificar F(x) = P(x)Q(x)
x3 – 3x2 + x – 3x4 – 1
=
1.– Factorizamos mediante la regla de Ruffini los polinomios numerador y denominador. En este caso obtenemos: P(x) = (x – 3) (x2 + 1); Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
2.– Al simplificar obtenemos:
(x – 3) (x2 + 1)(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)F(x) = =
x – 3x2 – 1=
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Operaciones con fracciones algebraicas (I)
Las reglas para operar con fracciones algebraicas son análogas a las que rigen la operaciones con números racionales
Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores
+x – 2x2 – 1
x2 – 3xx2 – 2x + 1
= +x – 2(x – 1)(x + 1)
(x – 3)x(x – 1)2
=
+(x – 2)(x – 1)(x – 1)2 (x + 1)
(x – 3) x (x + 1)(x – 1)2 (x + 1)
=x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x(x – 1)2 (x + 1)
=
x3 – x2 – 6x +2(x – 1)2 (x + 1)
=
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Operaciones con fracciones algebraicas (II)
Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores
.x4 – 12x + 1
x – 2x2 – 2x + 1 = (x – 2) (x4 – 1)
(x2 – 2x + 1) (2x + 1)=
(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1)2 (2x + 1) =
(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)(x – 1) (2x + 1) =
x4 - x3 -x2 -x -22x2 - x - 2
=
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Operaciones con fracciones algebraicas (III)
Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x)
División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda
(x3 – 1) (2x – 1)(2x2 + x) (x4 + 1) =
x4 + 12x – 1
x3 – 12x2 + x =:
2x4 - x3 - 2x + 12x6 + x5 + 2x2 + x
2x – 1x4 + 1
x3 – 12x2 + x =.
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Operaciones con fracciones algebraicas (IV)
Potencia entera positiva: Si F(x) = P(x)/Q(x) y n es un entero positivo entonces (P(x)/Q(x))n = P(x)n / Q(x)n es una fracción algebraica.
Potencia entera negativa: Si F(x) = P(x)/Q(x) y n es un entero negativo entonces (P(x)/Q(x)) – n = Q(x)n / P(x)n es una fracción algebraica.
La raíz cuadrada o de otro orden, de una fracción algebraica no es en general una fracción algebraica
2xx2 + 1
( )3 = 8x3
x6 + 4x4 +3x3 + 1
(2x)3
(x2 + 1)3 =
2xx2 + 1
( )-3 = x6 + 4x4 +3x3 + 1
8x3
(x2 + 1)3
(2x)3 =
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Expresiones algebraicas con radicales
• Se llama expresión algebraica a cualquier expresión en la que se combinan números y variables mediante suma, diferencias, productos, cocientes y potencias. Los polinomios y las fracciones algebraicas son un caso particular de las expresiones algebraicas.
• Las raíces de fracciones algebraicas son expresiones algebraicas.
Racionalizar una expresión algebraica es obtener una equivalente de modo que se eliminen las raíces del denominador
a) 1
x – x2 = x – x2
x – x2 x – x2 = x – x2
x – x2
b) x
x + 1 – x =
x( x – 1 – x)x + 1 – x ( x – 1 – x)
= x – x – x2 x – (1 – x) =
x – x – x2 1x – 1
c) x + 1
3x + 1
= x + 1
3(x + 1)2
3x + 1
3(x + 1)2
= 6
(x + 1)5
x + 1