2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones · Para resolver inecuaciones racionales procederemos...

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2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Inecuaciones de primer grado Las inecuaciones lineales se resuelven de la misma manera que las ecuaciones. Esimportante que, cuando lleguemos al final de la resolución de la inecuación, apliquemos lo siguiente: j . b SI a>O=}x<- ex c b ~ si a<O=}x>- a Esdecir, siempre que un número negativo cambie de término multiplicando o dividiendo, debemos cambiar el sentido del signo de la inecuación. 11. Resuelve la inecuación 2(3x - 4) - 3{4x + 2) ::; O. Eliminamos los paréntesis igual que en una ecuación normal y separamos la incógnita x: 2 (3x - 4) - 3(4x + 2) ::; O --t 6x - 8- 12x - 6::; O -+ -6x::; 14 Aislamos la incógnita teniendo presente la propiedad de la desigualdad comentada anteriormente: 14 -7 [-7 ) -6x<14=}x>-=}x>-=} - 00 - - -6 -3 3' Resulta adecuado expresar el resultado en un intervalo y también gráficamente. -713 -----'---~-_ .. _~--~-~-~. ,. " -3 -2 -1 O Inecuaciones de segundo grado 12. Resuelve la inecuación xl - 7x + 12 ::; O. Resolvemos la ecuación de segundo grado: x 2 -7x+12=O=}x= 7±~ 7±1={X=4 2 2 x=3 Escribimos la inecuación factorizada: x 2 - 7x + 12 ::; O -+ (x - 3)(x - 4) ::; O Ahora podemos decir que si: ! (X-3)::;O y (x-4)~O=}x::;3 y x~4=}x={0} (x-3)(x-4)::;O=} o (x-3kO y (x-4)::;O=}x~3 y x::;4=}x=[3,4] Otra alternativa consiste en representar en una recta real los puntos que anulan la ecuación y elegir un punto de cada intervalo para ver si cumple la inecuación.

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2. Inecuaciones y sistemas de inecuacionesInecuaciones de primer grado

Lasinecuaciones lineales se resuelven de la misma manera que las ecuaciones.Esimportanteque, cuando lleguemos al final de la resolución de la inecuación, apliquemos lo siguiente:

j. b

SI a>O=}x<-ex c b e» ~

si a<O=}x>-a

Esdecir, siempre que un número negativo cambie de término multiplicando o dividiendo,debemos cambiar el sentido del signo de la inecuación.

11. Resuelve la inecuación 2(3x - 4) - 3{4x + 2) ::; O.

Eliminamos los paréntesis igual que en una ecuación normal y separamos la incógnita x:2 (3x - 4) - 3(4x + 2) ::; O --t 6x - 8 - 12x - 6::; O -+ -6x::; 14

Aislamos la incógnita teniendo presente la propiedad de la desigualdad comentadaanteriormente:

14 -7 [-7 )-6x<14=}x>-=}x>-=} - 00- - -6 - 3 3 '

Resulta adecuado expresar el resultado en un intervalo y también gráficamente.

-713-----'---~-_ .._~--~-~-~. ,."-3 -2 -1 O

Inecuaciones de segundo grado

12. Resuelve la inecuación xl - 7x + 12 ::; O.

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x2-7x+12=O=}x= 7±~ 7±1={X=42 2 x=3

Escribimos la inecuación factorizada: x2 - 7x + 12 ::; O -+ (x - 3)(x - 4) ::; OAhora podemos decir que si:

!(X-3)::;O y (x-4)~O=}x::;3 y x~4=}x={0}

(x-3)(x-4)::;O=} o(x-3kO y (x-4)::;O=}x~3 y x::;4=}x=[3,4]

Otra alternativa consiste en representar en una recta real los puntos que anulan laecuación y elegir un punto de cada intervalo para ver si cumple la inecuación.

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3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ecuaciones exponenciales

En una ecuación exponencial, la incógnita está en el exponente y nos podemos encontrarcon cuatro casos diferentes:• Conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.• Aplicar un cambio de variable.• Extraer factor común.• Aplicar logaritmos.

Para resolver las ecuaciones puede ser necesario aplicar las propiedades de las potencias y raíces.

Operación Potencia

Producto

¡Divisiónax_=ax-YaY

Potencia

: Potencia d~ producto , (a . b)x = él" . ti'

I Raíz de raíz

Potencia de división

Ecuaciones logarítmicas

En una ecuación logarítmica la incógnita está afectada por un logaritmo. El logaritmo enbase a de x es m si cumple que a elevado a m es igual a x:

10gBx = m --> am = x

Laspropiedades de los logaritmos son las siguientes:

Operación ! Expresión matemáticaI

Suma de logaritmos ¡ 10gBx + 10g

BY = 10g

B(x . y)

Resta de logaritmosI; 109. x - 109. Y = 109. (x I y)

Logaritmo de una potencia ; log xn =n ·Iog x.' .,

Logaritmo de una raíz log !I/X =2 . log x• n a

--- ---- ----_ ..----------------------- ---------------- -----~. --- -_.-

Potencia de un logaritmo de igual base------------------

Logaritmo de una potencia de igual base 10gBaX= x--'-------~---------------------- ---------

aloga• =x

log.1 = O----------- -------Logaritmo de 1

Laestrategia para resolver las ecuaciones logarítmicas consiste en transformar la ecuación has-ta obtener 10g

Bm = 10g

Bn --> m = n; y entonces se resuelve la ecuación algebraica siguiente.

Para ello usaremos las propiedades descritas anteriormente; y si tenemos un número naturallo transformaremos en logaritmo.Una vez resuelta se deberá comprobar que la solución no provoque la existencia de un 109a-ritmo de un número negativo o de o.

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Inecuaciones racionales

Llamamos ceros o raíces de una ecuación a los valores que dan cero en el numerador.Denominamos polos de una ecuación a los valores que dan cero en el denominador.Para resolver inecuaciones racionales procederemos del siguiente modo:1.0 Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad.2.° Encontramos los ceros y los polos de la ecuación.3.° Representamos los valores obtenidos en una recta real.4.° Probamos un punto de cada intervalo en la inecuación; si el punto verifica la inecua-

ción, el intervalo correspondiente es la solución.5.° Los polos nunca son soluciones; es decir, los intervalos para estos extremos son siempre

abiertos.

13. Resuelve la inecuación racional x' -34 >0• x+ -

Siguiendo los pasos indicados anteriormente:

x' -4 = O=>{raíces x = ±2x+3 polos x =-3

Representamos los valores obtenidos en una recta indicando con puntos llenos las raí-ces y con puntos vacíos los polos.

~i. I I , I I

-4 -3 -2 -1 o 2 3 4

Obtenemos los intervalos siguientes (-00, -3), (-3, -2], [-2, 2] Y[2, (0)Probamos un punto de cada intervalo en la inecuación:

25-4 21 .(-00, -3); x =-5=>--=- <O =>no cumple la desigualdad.

-5+3 -2

(-3, -2]; x =-2,5 => 6,25-4 2,252 O=>sí cumple la desigualdad.x' -4 >O=> -2,5+3 0,5x+3 - 4[-2,2]; x = O =>~ < O =>no cumple la desigualdad.

[2,00); x = 3 =>9-4 = ~ > O =>sí cumple la desigualdad.3+3 6-

Por tanto, la solución de la desigualdad es (-3, -2] < [2, 00).

-3 -2 o 2

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Sistemas de ecuaciones

Generalmente, los sistemas de ecuaciones suelen tener tantas ecuaciones comoincógnitas.El procedimiento más habitual para resolver los sistemas es el método de sustitución:1.° Aislamos la incógnita más fácil en la ecuación más sencilla.2.0 Sustituimos esta incógnita en la otra ecuación.3.0 Resolvemos la ecuación que nos quede, encontrando una incógnita.4.0 Encontramos la otra incógnita a partir de la expresión que hemos hallado en el pri-

mer paso.

x-2y=-S }10. Resuelve el sistema:x2 + y2 -4x-2y-20=O

Procedimiento Resolución

Aislamos la incógnita más fácilen la ecuación más sencilla. x= 2y - 5

La sustituimos en la segunda ecuación. (2y - 5)2 + y2 - 4(2y - 5) - 2y - 20 = O

Resolvemos la ecuación.

4y2 - 20y + 25 +y2 - By + 20 - 2y - 20 = O5y2 - 30y + 25 = Oy2 - 6y+ 5 = Oy= 5; y= 1

Encontramos la otra incógnita. {Y=5=>X=5y=1=>x=-3