ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALES

a) Frecuencia Absoluta (fi) Es el número de veces que se presenta un valor o categoría

de una variable. Se representa por fi.f1 + f2 + f3 + …………….……fk = n

b) Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi) Es el número de datos igual o inferior (“menor o igual que”)

al valor considerado de la variable o la suma de las frecuiencias absolutas menor o igual que el valor considerado de la variable. Es decir:

F1 = f1

F2 = f1 + f2

-----------------------------Fk = f1 + f2 + ……….+ fk 3

 

ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALES

c) Frecuencia Relativa (hi) Es igual a la frecuencia absoluta sobre el numero de

observaciones.

h1 =f1/n

b) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es el resultado de cada frecuencia absoluta acumulada

dividida entre el numero total de observaciones.

H1 = F1/n

H2 = F2/n-----------------------------

Hk = Fk/n4

 

Se quiere saber el número de hijos por matrimonio en Guayaquil. Para este propósito se elige una muestra representativa de   50   matrimonios de ella. Se obtienen los siguientes datos: 2 , 2 , 4 , 1 , 3 , 5 , 3 , 2 , 1 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2 , 0 , 2 , 3 ,

1 , 7 , 4 , 2, , 3 , 0 , 5 , 1 , 4 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 2 , 1 , 2 , 4 , 0 , 3 , 3 , 2 , 6 , 1 , 5 , 4 , 2 , 0 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 .

• El número total de datos se representa con la letra   n.   En nuestro ejemplo   n   =   50.

5

1-9

Consideremos el siguiente ejemplo

• La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un valor (x i) en los datos obtenidos.

• En nuestro ejemplo, la frecuencia absoluta indica el número de familias que tienen esa cantidad de hijos:

6

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi )

TABLA

x i f i 0 4 1 9 2 12 3 10 4 8 5 4 6 2 7 1

7

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi )

GRAFICOS

8

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi )

GRAFICOS

9

1-9FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi )

GRAFICOS

• La frecuencia absoluta acumulada indica cuantos elementos de la lista de datos son menores o iguales a un valor dado. Es la suma de las frecuencias absolutas desde la primera fila hasta la fila elegida.

• Por ejemplo, sabemos que hay 25 matrimonios de la muestra que tienen a lo más 2 hijos:

10

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA  ( Fi )

11

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA  ( Fi )

x i f i F i 0 4 4 1 9 13 2 12 25 3 10 35 4 8 43 5 4 47 6 2 49 7 1 50

TABLA

12

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA  ( Fi )GRAFICA

13

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA  ( Fi )GRAFICA

• La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta (f i) y el número total de datos (n). En nuestro ejemplo n = 50:

14

1-9

FRECUENCIA RELATIVA ( hi )

x i f i F i h i H i 0 4 4 0,08 0,08 1 9 13 0,18 0,26 2 12 25 0,24 0,50 3 10 35 0,20 0,70 4 8 43 0,16 0,86 5 4 47 0,08 0,94 6 2 49 0,04 0,98 7 1 50 0,02 1,00

TABLA

15

1-9

FRECUENCIA RELATIVA ( hi )

GRAFICA

16

FRECUENCIA RELATIVA ( hi )

GRAFICA

• La frecuencia relativa acumulada es el cuociente entre la frecuencia absoluta acumulada (F i) y el número total de datos (n). En nuestro ejemplo, n = 50:

17

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA  (Hi)TABLA:

x i f i F i h i H i 0 4 4 0,08 0,08 1 9 13 0,18 0,26 2 12 25 0,24 0,50 3 10 35 0,20 0,70 4 8 43 0,16 0,86 5 4 47 0,08 0,94 6 2 49 0,04 0,98 7 1 50 0,02 1,00

TABLA

18

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA  (Hi)GRAFICA

19

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA  (Hi)GRAFICA

• La frecuencia porcentual es la frecuencia relativa (hi) expresada en forma porcentual. En otras palabras, es la frecuencia relativa (hi) multiplicada por 100.

• En nuestro ejemplo

20

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)

TABLA

x i f i F i h i H i f i % 0 4 4 0,08 0,08 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 7 1 50 0,02 1,00 2 %

21

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)GRAFICA

22

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)GRAFICA

• La frecuencia porcentual acumulada es la frecuencia relativa acumulada (Hi) multiplicada por 100. En nuestro ejemplo:

23

FRECUENCIA PORCENTUAL 

ACUMULADO (Fi %)

TABLA

x i f i F i h i H i f i % F i % 0 4 4 0,08 0,08 8 % 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 26 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 50 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 70 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 86 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 94 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 98 % 7 1 50 0,02 1,00 2 % 100 %

24

FRECUENCIA PORCENTUAL 

ACUMULADO (Fi %)GRAFICA

25

FRECUENCIA PORCENTUAL 

ACUMULADO (Fi %)GRAFICA

1. Identificar el tipo de variable cuantitativo discreto o continuo.

2. Determinar el mayor (Xmax) y el menor (Xmin).3. Calcular R donde R = Xmax – Xmin.4. Si la variable es cuantitativa discreta

– El rango es pequeño, entonces trabajar con los valores originales ordenados de las variables.

– Si el rango es grande entonces trabajar con los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges).

27

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

5. Si la variable es cuantitativa continua:– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 50– m = 1 + 3,322log(50) = 6,6439 – Se redondea a m = 7 intervalos de clase.– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la

derecha.– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor

unidad/2. – Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2

28

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

Problema Nº 01: El Area de Control de Calidad de la empresa FUNDIDOS S. A. esta llevando a cabo un seguimiento a un lote de piezas mecanizadas en su taller de metalmecánica, para esto ha tomado una muestra aleatoria y se necesita obtener el siguiente análisis estadístico descriptivo:

– Tabla de Frecuencias. – Histogramas.– Polígonos de Frecuencia (tarea para el alumno).– Ojivas (tarea para el alumno).

30

1-9

1279,51285,01280,01273,01284,01280,51275,51278,01279,51275,01267,01272,01282,01276,01269,51266,01273,51285,51275,51283,51285,01273,0

1278,01273,01280,01277,51286,01280,01281,01275,01278,51279,51273,51275,01276,51271,51284,51276,01268,51272,51284,51286,01271,01265,5

1283,01282,51272,51275,51275,01282,01271,01280,51266,01282,51284,51276,01279,01281,01276,01287,51273,51272,51279,51279,01276,01281,5

1273,01271,51275,51277,01278,01283,51274,51279,01287,51276,01279,51268,01269,01285,51268,01272,51266,51278,01267,01271,01275,51277,0

1280,51269,01284,01287,01275,51280,01280,51278,01275,51280,01274,51285,01282,01276,51268,51275,51269,01271,51280,51287,01276,51272,0

31

1. Se identificó que la variable es cuantitativa continua.2. Se tiene que (Xmax) = 1287.5 y (Xmin)= 1265.53. R =(Xmax) - (Xmin)= 1287.5 – 1265.5 = 224. Como el rango es grande entonces trabajamos con los

datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 110– m = 1 + 3,322log(110) = 7.78

32

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

• Se redondea a m = 8 intervalos de clase.• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor

unidad/2.• X`min = 1265.5 – 0.1/2 = 1265.45

• Amplitud de Clase= a = R/m = 22/8 = 2.75 = 2.8• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2

• MC1 = 1265.45 + 2.8 = 1268.25

• Y se empieza la tabla33

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

INTERVALOS MC fi Fi hi Hi

[1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 8 0.07 0.07

[1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 17 0.08 0.15

[1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 33 0.15 0.30

[1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 56 0.21 0.51

[1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 68 0.11 0.62

[1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 89 0.19 0.81

[1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 102 0.12 0.93

[1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 110 0.07 1.00

    110   1.00  34

Histograma fi

[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]0

5

10

15

20

25

35

Histograma Fi

[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]0

20

40

60

80

100

120

36

Histograma hi

[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

37

Histograma Hi

[1265.45 - 1268.25 ) [1268.25 - 1271.05 ) [1271.05 - 1273.85 ) [1273.65 - 1276.65 ) [1276.65 - 1279.45 ) [1279.45 - 1282.25 ) [1282.25 - 1285.05 ) [1285.05 - 1287.85 ]0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

38

Problema Nº 02: Las estaturas en centímetros de 50 estudiantes mujeres un grupo se registraron. Los datos son:

39

1-9

157 155 171 150 163 150 172 161 154 174163 148 152 163 149 158 176 164 157 153169 161 160 164 155 162 151 167 167 167170 158 163 175 169 169 158 150 156 157174 162 150 151 165 170 156 170 153 154

Agrupe adecuadamente los datos y elabore la respectiva tabla de

frecuencias y el histograma de frecuencias relativas.

1. Se identificó que la variable es cuantitativa continua.2. Se tiene que (Xmax) = 176 y (Xmin)= 1483. R =(Xmax) - (Xmin)= 284. Como el rango es grande entonces trabajamos con los

datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 50– m = 1 + 3,322log(50) = 6,470678

40

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

• Se redondea a m = 7 intervalos de clase (se reajustará según se hagan los cálculos).

• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la derecha.• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor

unidad/2.• X`min = 148 – 1/2 = 147.5

• Amplitud de Clase = a = R/m = 28/6.4706 = 4.327• Marca de clase = MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2

• MC1 = 147.5 + 2.163 = 149.66

• Y se empieza la tabla41

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

INTERVALOS MC fi Fi hi Hi

[147.50 – 151.83 ) 149.66 8 8 0.16 0.16

[151.83 – 156.15) 153.99 9 17 0.18 0.34

[156.15– 160.48 ) 158.31 7 24 0.14 0.48

[160.48 – 164.81 ) 162.64 10 34 0.20 0.68

[164.81 – 169.14 ) 166.97 7 41 0.14 0.82

[169.14 – 173.46 ) 171.30 5 46 0.10 0.92

[173.46 – 177.79 ] 175.62 4 50 0.08 1.00

    50   1.00   42

Problema Nº 03: En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores de una fundición, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que produjeron los trabajadores:

• Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias.• Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia.

43

1-9

PROBLEMA

44

65 36 49 84 79 56 28 43 67 3643 78 37 40 68 72 55 62 22 8288 50 60 56 57 46 39 57 73 65

59 48 76 74 70 80 75 56 4575 62 72 63 32 80 64 53 74 3476 60 48 55 51 54 45 44 35 5121 35 61 45 33 61 60 85 6845 53 77 42 69 52 68 52 4762 65 75 61 73 50 53 59 41 5441 74 82 78 26 35 47 70 38 70

1. Se identificó que la variable es cuantitativa discreta.2. Se tiene que (Xmax) = 21 y (Xmin)= 883. R =(Xmax) - (Xmin)= 21 – 88 = 674. Como el rango es grande entonces trabajamos con los

datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 97– m = 1 + 3,322log(97) = 7.60 = 8

45

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA

• Se redondea a m = 8 intervalos de clase.• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) – menor

unidad/2.• X`min = 21 – 1/2 = 20.5

• Amplitud de Clase= a = R/m = 67/8 = 8.375 = 9• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2

• MC1 = 20.5 + 4.5 = 25

• Y se empieza la tabla46

1-9

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES

CUANTITATIVA