2- Parametros de Lineas de Transmision

7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision

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Parmetros de lneas 1

PARAMETROS DE LINEAS DE TRANSMISINIntroduccin

Los modelos utilizados para representar a las lneas de transmisin de energa elctricadependern del tipo de estudio a realizar. En principio una representacin detallada de

una lnea para ser estudiada en funcionamiento dinmico (No transitorio), debera incluirlos parmetros de cada una de las fases y los parmetros de vinculacin entre ellas ycon respecto a tierra. La Fig. 1 muestra el detalle de los parmetros considerados enuna representacin trifsica.

Modelo Trifsico

Fig. 1

Para los estudios en rgimen estacionario, y considerando que las lneas funcionan

equilibradamente; condicin que nos lleva a suponer que las fases transmiten la mismacorriente; podemos en consecuencia asumir una representacin monofsica medianteun cuadripolo como se observa en la Fig. 2.

Modelo monofsico

Fig. 2

Donde R y X representan la resistencia de los conductores de una fase y la inductancia

serie2

Ccorresponde a la mitad de la capacidad de servicio, la cual resulta de

considerar las capacidades entre fases y las capacidades de las tres fases respecto a

-1-


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tierra. Finalmente2

Gcorresponde a la mitad de las conductancias a tierra las cuales

resultan de considerar las resistencias de prdida de los aisladores, las prdidas porefecto corona y las prdidas adicionales.

INDUCTANCIA DE LINEAS

Recordemos que la inductancia de un conductor, una bobina o una lnea, es lapropiedad o caracterstica que relaciona la fuerza electromotriz inducida debida a lavariacin del flujo con la velocidad de variacin de la corriente. La anterior definicinqueda ratificada por la expresin (2).

)2(

dt

di

eL)1(

dt

diL

dt

de

donde: = Nmero de concatenaciones de flujo (Weber)e = F.e.m. inducida (Volt)i = Corriente (Amperes)

Tambin observando la expresin (1), podemos escribir:

)4(]Henrios[i

LikSi)3(di

dL

La expresin (3) nos muestra que la inductancia tambin se puede definir como larelacin entre las variaciones de concatenaciones de flujo por unidad de variacin decorriente.Si adems la relacin entre las concatenaciones de flujo y la corriente responde a unafuncin lineal, podemos definir a la inductancia como la relacin entre lasconcatenaciones de flujo por unidad de corriente. (4).En una lnea bifilar las concatenaciones de flujo de la espira formada por los dosconductores ser la suma de las concatenaciones de flujo de cada conductor.

Aqu debemos aclarar que cuando hablamos de concatenaciones de flujo nos estamosrefiriendo a la cantidad de lneas de campo magntico que abrazan una determinadacorriente y que debe diferenciarse del flujo, por cuanto este ltimo se refiere a lacantidad de lneas de campo generadas por una corriente independientemente de quecorriente abracen.

La inductancia mutua entre dos circuitos es una propiedad semejante a la inductanciaque presenta inters cuando se trata de estudiar la influencia de las lneas de altatensin sobre lneas telefnicas o del acoplamiento de lneas de energa paralelas. Enestos casos hablaremos de las concatenaciones de flujo producidas por una corrientecirculando por una lnea de energa por unidad de corriente circulando en la lneaparalela .

-2-


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Los conceptos anteriores nos llevan a un anlisis donde hablaremos de lasconcatenaciones internas y externas al conductor, de donde resultar una inductanciainterna y otra externa.

Inductancia Interna de un conductor

Teniendo en cuenta la expresin (4), la inductancia interna podramos definirla como lasconcatenaciones de flujo interno al conductor por unidad de corriente. Pero aqudebemos reparar en que las lneas de flujo producidas por la corriente hasta un nivel xdel centro del conductor, no abrazan a la totalidad de la corriente. Por este motivo lainductancia interna resultar de la integracin de las concatenaciones de flujodiferenciales.Para este clculo, partimos del principio que dice La circulacin del vectorIntensidad de campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual a lacorriente concatenada

Fig. 3

En la Fig.3 hemos representado el interior de un conductor en el cual observamos un

tubo de espesor dx por cuya seccin longitudinal ds pasa un flujo diferencial d queabraza a la corriente que circula por el interior del crculo de radio x. Aplicando elprincipio antes mencionado obtendremos las siguientes expresiones:

)5(IxHxx2)vuelta.Amp(Ids.H conductordelcentrodelxciatandisunahastaCorrienteIx :resultatetanconscorrientededensidadunaademsSuponiendo

)6(Ir

xHx2)5(endoreemplazantotalcorrientelaIsiendoI

r

xIx

2

2

x2

2

-3-


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Despejando de la (6) Hx y considerando que la permeabilidad se puede asemejar a ladel aire, podemos escribir las siguientes expresiones:

)7(m

Wb

r2

IxHB)7(I

r2

xH

22xx2x

En el tubo de espesor dx (Fig. 3) el flujo por unidad de longitud valdr

)8(m

Wbdx

r2

Ix1dxBdsBd

2xx

Este flujo diferencial es producido por una fraccin de la corriente total, a su vez los

enlaces de flujo d producidos por el flujo diferencial d , dependern de la relacin de

secciones de los crculos de radios x y r es decir: )9(dxr..2

xId

r.

xd

4

3

2

2

m

Hy1041Siendo 70r

)10(m

vuelta.Wb10

2

I

8

I104

8

Idx

r2

xI 7r

0

7

4

3

int

Teniendo en cuenta la (4) podemos obtener de la (10) la inductancia interna delconductor

m

Hy10

2

1

IL 7int

int(11)

Vemos que la inductancia interna es constante e independiente de la geometra delconductor. No obstante debemos aclarar que los conductores en general estnconstruidos con materiales no magnticos donde la permeabilidad a considerar es la delaire, pero si se tratara de un conductor magntico, habr que tener en cuenta supermeabilidad relativa y en tal caso la inductancia interna valdr:

)12(m

Hy10

2

1L r

7int

Inductancia debida al flujo externo de un conductor

Para calcular la inductancia de un conductor debida al flujo externo al mismo,aplicaremos el principio antes mencionado y haremos la circulacin del vector campomagntico a lo largo de una lnea cerrada externa al conductor. En este caso debemostener en cuenta que las lneas de campo concatenan a la totalidad de la corriente, por loque hablar de flujo externo y de concatenaciones ser numricamente igual.

-4-


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Fig. 4

x2

IHIHx2 xx

(13)

x2

IHB xx

(14)

El flujo diferencial en el tubo de espesor dx ser:

dxx2

Id

(15)

Los enlaces de flujo externos comprendidos entre los puntos P1 y P2, se obtienenintegrando la (15) entre las distancias D1 y D2 que corresponden a los radios de lascircunferencias que pasan por los puntos mencionados.

2D

1D 1

221

D

Dln

2

Idx

x2

I(16)

Finalmente la inductancia debida al flujo externo comprendido entre D1 y D2 ser:

1

2721

D

Dln102L (17)

Las expresiones (12) y (17) nos permiten calcular las inductancias internas y externasde un conductor por el que circula una corriente I. Aqu debemos aclarar que no se

consider la posible influencia de ningn otro conductor vecino que pudiera estaraportando campo magntico. Veremos a continuacin distintos casos dondeconductores vecinos aportan nuevas concatenaciones.

Inductancia de una lnea bifilar monofsica

Analizaremos el caso de una lnea bifilar compuesta por dos conductores por los quecirculan corriente iguales y de sentido contrario, de manera tal que la suma de las

corrientes en cada instante es nula (Fig. 5). Es decir 21 -II

Fig. 5

-5-


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Para calcular la inductancia total haremos una superposicin de efectos. Comenzandocon el conductor 1 tendremos las concatenaciones internas del conductor 1 mas lasconcatenaciones debidas al flujo externo hasta el lmite de la distancia D al conductor 2,donde para distancias mayores a D ya no habr concatenaciones ya que la suma de las

corrientes II 21 ser nula. Igual criterio aplicaremos para el conductor 2.

En definitiva la inductancia total ser la suma de las inductancias interna y externa decada uno de los conductores.

4

1

1

7

1

4

1

7

1

77ext1int1

er

Dln102)

r

Dlne(ln102

r

Dln10210

2

1LL1L

)18(r

Dln1021L

'1

7 En igual forma podramos calcular:

'2

7ext2int2

r

Dln102LL2L

En definitiva la inductancia total de la lnea compuesta por los dos conductores 1 y 2ser:

m

Hy

'r'r

Dln1042L1LLT

21

7(19)

La expresin (19) nos da la inductancia total de la lnea en Hy por metro. La inductanciade cada uno de los conductores se calcula con las expresiones de L1 o L2.En general los radios de los conductores de una lnea bifilar son iguales es decir

rrr 21 en este caso la inductancia total ser:

mHy

rDln104L'

7 (20)

Enlaces de flujo de un conductor en un grupo

Hasta aqu hemos supuesto que los conductores de las lneas son macizos. En laprctica se utilizan cables formados por hebras dispuestas regularmente en capas. Paraestudiar estos casos analizaremos primero las concatenaciones de flujo de unconductor inmerso en el campo magntico generado por si mismo y por un conjunto deconductores y de manera que la sumatoria de las corrientes sea nula (Fig. 6).

Fig. 6

-6-


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La Fig. 6 nos muestra un conjunto de n conductores por los que circulan las corrientes

I,,I,I,I n321 y un punto P ms all del cual; en principio; despreciaremos el flujo quepudieran aportar cualquiera de los conductores.Las concatenaciones de flujo producidas por los n conductores hasta el punto P, laspodemos calcular a partir de las expresiones (17) y (18).

)D

DlnI........

D

DlnI

D

DlnI

r

DlnI(102

n1

Pnn

31

P33

21

P22'

1

P11

7P1

(21)

Si desarrollamos la expresin (21) en trminos de logaritmo de un producto, porejemplo para el trmino n sera:

n1Pnn DlnInDlnI

Adems si reemplazamos )III-(II 1-n321n

Finalmente si hacemos tender el punto P hacia el infinito, en cuyo caso las distanciasD...DD nP2P1P son todas prcticamente iguales. Resulta la siguiente expresin

general de las concatenaciones de flujo de un conductor inmerso en un conjunto de nconductores.

)D

1lnI.........

D

1lnI

D

1lnI

r

1lnI(102

n1n

313

212'

1

17

1P/P1

(22)

Inductancia de lneas formadas por cables

Analizaremos a continuacin una lnea monofsica formada por dos cables X e Y con n

y m conductores respectivamente.

Fig. 7

Las concatenaciones del conductor a del cable X, teniendo en cuenta todos losconductores de X e Y ser:

)Dam

1ln...

'Dab

1ln

'Daa

1(ln

m

I102)

Dan

1ln.....

Dab

1ln

ar

1.(ln

n

I102 77a

-7-


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na

m7

aDan....DacDab'r

Dam...'Dac'Dab'DaalnI102

Dividiendo miembro a miembro por n

I, tendremos por definicin la inductancia del

conductor (hebra) a, es decir:

na

m7a

Dan...DacDab'r

Dam...'Dab'Daaln10n2

n

ILa

(23)

En igual forma podramos calcular la inductancia de las hebras Ln...Lb,La,nc,b, La inductancia del cable X es decir del conjunto de hebras en paralelo a, b, c,, n lapodemos calcular a partir de la inductancia promedio de todas las hebras es decir:

2n

Ln...LcLbLaLx

n

Ln...LcLbLaLav

(24)

Reemplazando por los respectivos valores de las inductancias de cada hebra resultarla siguiente expresin:

2n

nm7

)Dnn...DnbDna(...)Dbn...DbbDba()Dan...DabDaa(

)Dnm...'Dnb'Dna(...)Dbm...'Dbb'Dba()Dam...'Dab'Daa(ln102Lx

(25)

En la (25) hemos reemplazado los radios medios geomtricos propios de cada

conductor )r..,.,r,(rn,c,b,a, 'n'b

'a por las expresiones Dnn,Dbb,Daa, simplemente

para homogeneizar la escritura.

Si observamos la expresin 25 podemos ver que el numerador es una mediageomtrica de las distancias de las hebras del conductor X con respecto al Y. A su vezel denominador es una media geomtrica de las distancias entre las hebras delconductor X. Por lo tanto la podemos reemplazar por la siguiente expresin final:

m

Hy

D

D

ln102Lxs

m7

(26)

Donde: Dm=Distancia media geomtrica mutua entre las hebras del conductor X e YDs= Distancia media geomtrica entre las hebras del conductor X

Finalmente la inductancia total de la lnea monofsica ser LyLxLt .Normalmente los cables X e Y son iguales, por lo que la inductancia total ser el doblede Lx; Lx2Lt

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Inductancia de lneas trifsicas

Aqu debemos distinguir dos tipos de lneas. Con disposicin simtrica y con disposicinasimtrica.Las primeras no necesitan transposiciones para equilibrar sus parmetros, en cambio

las asimtricas deben ser transpuestas a lo largo de su recorrido.

Lneas con disposicin simtricaImaginemos una lnea formada por conductores macizos, ubicados como los vrtices de

un tringulo equiltero (Fig. 8), por los cuales circulan las corrientes ,I,I,I cba de

manera que su suma sea igual a cero en cada instante, es decir se trata de una lnea

equilibrada, 0III cba

Fig. 8

Lnea trifsica con disposicin simtrica

De acuerdo a la expresin (22) que nos permite calcular las concatenaciones de flujo deun conductor inmerso en el campo magntico propio y de otros, podemos escribir:

m

vuelta.WbD

1lnID

1lnIr

1lnI102 cb'a

7a (27)

De la condicin de equilibrio de corrientes, podemos obtener: )I-(II cba luego

factoreando el 2 y 3 trmino de la (27) y reemplazando I-II acb tendremos

'a7

a'a7

ar

DlnI102)

D

1lnI

r

1lnI(102 (28)

Aplicando la definicin de inductancia:

m

Hy

r

Dln102

IL

'

7

a

a

a(29)

La expresin (29) nos da la inductancia por fase de una lnea trifsica con disposicinsimtrica.

Lneas con disposicin asimtrica

-9-


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Como dijimos anteriormente, en una lnea con disposicin asimtrica lasconcatenaciones de flujo no son iguales para todos los conductores. Esta situacinpuede superarse haciendo que cada conductor recorra un tercio de la longitud de lalnea en cada posicin de manera que el promedio de inductancias en las tresposiciones resulte igual para las tres fases.

La Fig. 9 muestra el ciclo de transposiciones a lo largo del recorrido de la lnea. En lamisma puede observarse que las fases salen y arriban al final del recorrido en la mismaposicin, lo cual nos obliga a realizar transposiciones en tres lugares. Una alternativasera trasponer en dos lugares pero la salida y arribo de las fases sera en distintaubicacin.

Fig. 9

Una ventaja adicional de la transposicin es la no interferencia sobre otras lneas quepudieran correr paralelas a las lneas de energa.Haciendo referencia a la Fig. 9, calcularemos las concatenaciones de flujo; por ejemplode la fase a; para cada posicin del ciclo de transposiciones y luego haremos el

promedio, el cual ser igual para las otras dos fases (b y c).Con a en posicin 1, con b en posicin 2, con c en posicin 3, aplicando la (21),

tendremos:

)D

1lnI

D

1lnI

r

1ln.I(102

13c

12b'a

71a

Con a en posicin 2, con b en posicin 3 y con c en posicin 1, aplicando la (21)tendremos:

12c

23b'a

72a

D

1lnI

D

1lnI

r

1lnI102

Con a en posicin 3, con b en posicin 1 y c en posicin 2, aplicando la (21)tendremos:

23c

31b'a

73a

D

1lnI

D

1lnI

r

1lnI102

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El promedio de los enlaces de flujo a lo largo del ciclo de transposiciones ser:

'

3132312

a7

132312a'a

73a2a1aa

r

DDDlnI102

D.D.D

1lnI

r

1lnI3(10

3

2

3

La raz cbica de las tres distancias D12, D13 y D23 es la media geomtrica de lasdistancias entre fases, por lo que la expresin final de la inductancia ser:

m

Hy

D

Dln102

IL

s

eq7

a

aa (30) donde '

s

3132312eq

rD

DDDD

Observando las expresiones (29) y (30), vemos que son similares excepto que en la(29) la distancia D es la nica entre fases, mientras que en la (30) la distancia aconsiderar es la media geomtrica de las tres distancias entre fases (D12, D13, D23).

Tambin hemos reemplazado r por Ds, generalizando de este modo al radio mediogeomtrico propio de cada conductor por el radio medio geomtrico de cada fase (Ds).

Lneas trifsicas de circuitos paralelos

Si bien el tratamiento matemtico es similar , aqu debemos distinguir entre circuitosparalelos debidos al uso de sub conductores por fase y circuitos paralelos por tratarsede dos lneas en paralelo (Doble terna). Analizaremos en primer trmino una dobleterna formada por las fases a, b, c y a, b, y c. Las fases de cada una de las ternas setrasponen como se indica en la Fig. 10 y de manera que las fases homlogas (a y a, by b, c y c) permanezcan lo mas alejadas posible. Esta forma de trasponer tiene porfinalidad aumentar el valor de Ds en la expresin (30) de manera de disminuir lainductancia total.

Fig.10

Para calcular la inductancia total de la doble terna aplicaremos la (30) considerandoque la fase A esta formada por a y a, B por b y b y C por c y c, resultando enconsecuencia:

ByAfaseslasentreDMGDdonde)31(DDDD AB3

ACBCABeq

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Por lo tanto gdg.dgdD 4AB

En igual forma hd2hd2hd2DtambingdgdgdD 4AC4

BC

La Deq se calcula en cualquiera de las posiciones del ciclo por cuanto da lo mismo.Con respecto a Ds, podemos observar que todas las fases tendrn el mismo Ds, peroeste vara segn la posicin, por lo que el Ds a considerar ser la media geomtrica delos Ds correspondientes a cada posicin, es decir:

)32(DDDD 3 3S2S1SS

Siendo:

f'rDtambinh'rD:formaigualEnf'rf'rf'rD 3S2S4

1S

Reemplazando en (31) y (32), tendremos los valores de Deq y Ds y finalmenteaplicando la (30) tendremos la inductancia de la fase A (a y a) o de las fases B o C. Siquisiramos la inductancia por fase de una sola terna, tengamos en cuenta que ambasestn en paralelo por lo que el valor para una terna ser el doble.

m

Hy

hf)r(

hgd2ln102L

6/13/12/1'

6/13/12/16/17

A (33)

Veamos ahora una lnea trifsica formada por dos sub conductores por fase, como es elcaso de nuestras lneas de 220 Kv y analicemos como aplicar la expresin (30)

Fig. 11

En este caso la Deq ser:

3 ACBCABeq DDDD

DddddD 4 baba'ababAB

-12-


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33eqACBC 2DD2DDDD2DyDDtambin

Con respecto a Ds observemos que al efectuar las transposiciones, la posicin relativade los sub conductores a y a o b y b o c y c permanece inalterable es decir que el Ds

ser el mismo en cualquier posicin del ciclo.

d'rd'rd'rDDDD 4 a'a'aaaa3S2S1SS

Reemplazando en la (30) tendremos la inductancia de lnea con sub conductores.

m

Hy

d'r

2Dln102L

37

A (34)

La (34) nos da la inductancia por fase de una lnea con dos sub conductores por fase.

Finalmente debemos aclarar que en su forma mas general la expresin (30) se aplica alneas formadas por sub conductores o doble ternas, donde cada uno de ellos soncables, lo que significa que debemos considerar el RMG de cada cable en lugar del r.

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Capacidad de Lneas

La diferencia de potencial entre dos conductores de una lnea, hace que estos secarguen como las placas de un condensador. En el caso de lneas de corriente alternalos conductores se cargan y descargan de acuerdo con los valores instantneos de la

tensin en cada punto.Tal como vimos en la introduccin, las capacidades a tener en cuenta en los estudiosdinmicos, son las capacidades entre conductores y las capacidades a tierra. Ambas sepueden representar por una capacidad que llamamos Capacidad de servicio y queresulta de hacer el paralelo de ambas. Este hecho se justifica admitiendo que en casode funcionamiento simtrico el potencial de tierra y el potencial del centro de estrella delas capacidades equivalentes a las capacidades entre fases, son iguales.La importancia de la capacidad se pone de manifiesto de acuerdo a la potencia reactivaque su presencia genera. Por ejemplo en las lneas de 132 kV la capacidad de las

lneas; cuyo valor esta en el orden de loskm

nF8 ; absorbe una potencia reactiva del

orden de loskm

kVAr50 . En los estudios dinmicos la capacidad de las lneas cobra

importancia a partir de longitudes de 80 km . Es decir para longitudes menores lacapacidad puede ser despreciada.La capacidad de las lneas, tal como veremos depende de la geometra o disposicin delos conductores en el espacio, lo que a su vez es funcin de los niveles de tensin.

Campo elctrico de un conductor de gran longitud

Las lneas de campo elctrico nacen en la superficie donde se encuentran las cargas yson normales a esta (Fig. 1). Suponiendo un conductor cilndrico de longitud infinita, la

densidad de cargas por unidad de longitud valdr:

Fig. 1

x..2

qD

(1) donde q = Carga por unidad de longitud en Coulomb

X = Distancia desde el centro del conductor al puntodonde analizamos la densidad de cargas.

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La intensidad de campo elctrico (Fuerza por unidad de carga), valdr:

m

V

k.x..2

qE (2) donde k= Es la constante dielctrica del medio .

Tomando como referencia el vaco donde la constante vale

m

F10..36

1Ko9

Tendremos: KoKrkK

kkr

0

(3)

El lneas de alta tensin, donde los conductores estn al aire, kr = 1, por su parte enlneas subterrneas la constante dielctrica kr depender del aislante utilizado y ser unnmero comprendido entre 2 y 5.

Diferencia de potencial entre dos puntos debida a la presencia de una carga

Recordando que la diferencia de potencial entre dos puntos P1 y P2 (Fig 2) que estnbajo la influencia del campo elctrico creado por una carga, es igual numricamente altrabajo necesario para desplazar la carga unitaria entre esos dos puntos, podemosescribir:

Fig. 2

VD

Dln

k2

qdx

x.k2

qdx.EV

1

22D

1D

2D

1D

12

(4)

La Fig. 2 nos muestra que en el camino de integracin el trabajo se hace nulo almovernos sobre una superficie equipotencial por cuanto el vector intensidad de campoes perpendicular al camino a recorrer. Es decir el trabajo tendr valor al pasar de unasuperficie equipotencial a otra.Los signos de la expresin (4) pueden ser positivo o negativo dependiendo del signo deq y de que D2 sea mayor o menor que D1. Si por ejemplo q es positiva, D2 >D1 y en elpunto P1 la carga a desplazar es positiva, el trabajo para desplazar a la carga de P1 aP2 ser negativo (Cada de potencial). Por el contrario si la carga a desplazar estuvieraen P2 y hubiera que desplazarla hasta P1, el trabajo a realizar sera positivo.

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Capacidad de una lnea bifilar

Imaginemos una lnea formada por dos conductores de radios distintos y separados unadistancia D (Fig.3). En este caso se define la capacidad como la carga de los

conductores por unidad de diferencia de potencial entre ellos.

mF

Vqc (5)

Fig. 3

Si reemplazamos V por la expresin calculada en (4), obtendramos la capacidadteniendo en cuenta la carga de cada uno de los conductores a y b. Para elloaplicaremos el principio de superposicin es decir calcularemos la diferencia depotencial entre a y b considerando la carga a y luego la de b.

D

rln

k2

qVtambin

r

Dln

k2

qV bbqb/ab

a

aqa/ab

Siendo qa = -qb , tendremos finalmente la diferencia de potencial total entre a y b ser:

ba

2

aba

aqb/abqa/ababrr

Dlnk2

q]D

rlnr

D[lnk2

qVVV (6)

De acuerdo a la (5) tendremos:

m

F

r.r

Dln

k..2

V

qC

ba

2ab

aab

(7)

Normalmente los conductores son iguales es decir rrr ba , en consecuencia lacapacidad ser:

r

Dln

k.Cab (8)

Reemplazando k = Ko y pasando de logaritmo natural a decimal y pasando akm

F

resulta:

-16-


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km

F

r

Dlog

01206,010

elog

r

Dlog

1036

1

C 99

ab(9)

La (9) da la capacidad entre dos conductores de una lnea bifilar.Si nos interesara la capacidad respecto al neutro (En caso de alimentar nuestra lneadesde un transformador con punto medio a tierra Fig. 4), la capacidad aumentar aldoble de Cab ya que la tensin disminuye a la mitad. A esta capacidad la designaremoscomo Can o Cbn.

Fig. 4

km

F

r

Dlog

02413.0CC bnan (10)

aban C2C

Las expresiones (9) y (10) no son rigurosamente exactas pues se supuso que lascargas se distribuyen uniformemente sobre las superficies de los conductores, lo cualno es exacto. De cualquier manera el error que se comete al utilizar estas expresioneses muy pequeo, sobre todos cuando se trata de relaciones D/r grandes. De igual formaen el caso de utilizar cables en lugar de conductores macizos el error no supera el 1% .

Capacidad de lneas trifsicas

La capacidad de lneas trifsicas se calcula a partir de la expresin (5), pero teniendoen cuenta que este caso hablaremos de diferencia de potencial respecto al neutro ycarga de cada conductor.Comenzaremos analizando la expresin genrica que nos da la diferencia de potencialentre dos conductores inmersos en el campo elctrico creado por n conductores Fig. 5.

Fig. 5

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Supondremos que la carga resultante de todas las cargas es nula esto es

ni

1ii 0q

La diferencia de potencial entre los conductores a y b ser:

na

nbnca

cbcba

bba

abaabDDlnq...

DDlnq

Drlnq

rDlnq

k21V (11)

Cada trmino de la (11), representa el aporte a la diferencia de potencial creada entre

los conductores a y b por causa de la carga ncba q,,q,q,q

En forma semejante se podr calcular ancbac V,,V,V , expresiones con las que

podremos obtener la capacidad respecto al neutro de lneas trifsicas.

Capacidad de lneas trifsicas con disposicin simtrica

Sea la lnea trifsica con disposicin simtrica indicada en la Fig. 6

Fig. 6

Lnea trifsica simtrica

A partir de la expresin (6) calcularemos las diferencias de potencial y VV acab

resultando:

V)D

Dlnq

D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V cbaab

V)D

rlnq

D

Dlnq

r

Dlnq(

k2

1V cbaac

(12)

Sumando las diferencias de potencial abV y acV resulta:

:resultaqqqcomopero]D

rln)qq(

r

Dlnq2[

k2

1VV

acbcbaacab

)13(r

Dln

k2

q3VV aacab

La expresin (13) es la expresin de la suma de las diferencias de potencial VV acab

a partir de la geometra de la lnea. Veamos a continuacin cuanto da esa misma suma

-18-


19/26


a partir del diagrama vectorial de tensiones de la Fig.7, el cual corresponde a la ternade tensiones simtricas y equilibradas con las que alimentamos a la lnea trifsica.

Fig. 7

)14(V3VV)2

1j

2

3(V3VVtambin)

2

1j

2

3(V3V anacabancaacanab

Igualando las expresiones (13) y (14) resulta:

r

Dln

k2

qV

r

Dln

k2

q3V3 aan

aan

(15)

Aplicando la definicin de capacidad (5), resulta:

m

F

r

Dln

k2

V

qC

an

aan (16)

Reemplazando en la (16) la constante k por Ko, pasando de ln a log y llevando akm

F,

resulta:

kmF

r

Dlog0241,0Can (17)

La expresin (17) nos da la capacidad respecto al neutro de cualquiera de las fases deuna lnea trifsica con disposicin simtrica.

Capacidad de lneas trifsicas con disposicin asimtrica

Cuando los conductores estn dispuestos en forma asimtrica, la capacidad de cadauno de ellos respecto del neutro es diferente. Para solucionar este inconveniente sehacen transposiciones a lo largo del recorrido de la lnea. Evidentemente la capacidad

en cada posicin del ciclo de transposiciones ser diferente, pero el valor medio de lacapacidad de cada conductor ser el mismo.

-19-


20/26


Fig. 8

Lneas trifsicas asimtricas

La Fig. 8 nos muestra una de la tres configuraciones posibles en las que pueden estarcada fase.Calcularemos en consecuencia la capacidad media de la fase a, por ejemplo,haciendo que sta ocupe las tres posiciones posibles a lo largo del recorrido.

Con la fase a en la posicin 1, la fase b en la posicin 2 y la fase c en la posicin 3,

aplicando la (11) resulta:

V)D

Dlnq

D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V

31

23c

12b

12a1/ab

(18)

Con la fase a en la posicin 2, la fase b en la posicin 3 y la fase c en la posicin 1resulta:

V)D

Dlnq

D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V

12

31c

23b

23a2/ab

(19)

Con la fase a en la posicin 3 , la fase b en la posicin 1, y la fase c en la posicin2 resulta:

V)D

Dlnq

D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V

23

12c

31b

31a3/ab

(20)

La diferencia de potencial abV media ser:

)VVV(3

1V 3/ab2/ab1/abab_

(21)

Si adems suponemos que la carga de cada conductor es igual en cada posicin delciclo de transposicin (Supuesto que no es rigurosamente exacto), reemplazando en(21) obtendremos la siguiente expresin:

)DDD

DDDlnq

DDD

rlnq

r

DDDlnq(

k.6

1V

132312

132312c

132312

3

b3

132312aab

_

-20-


21/26


)22()D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V

eqb

eqaab

_

)23(DDDDSiendo 3 132312eq

En forma anloga podemos obtener acV , resultando:

)D

rlnq

r

Dlnq(

k2

1V

eqc

eqaac

_

(24)

Y teniendo en cuenta la expresin (14), obtendremos:

)D

rlnq

D

rlnq

r

Dlnq2(

k2

1VVV3

eqc

eqb

eqaac

_

ab

_

an

Pero como 0qqq cba resulta entonces

r

Dlnq

k2

3V3

eqaan

(25)

Finalmente teniendo en cuenta la definicin de capacidad (5), resulta:

m

F

r

D

ln

k2

V

qC

eqan

aan

(26)

Reemplazando k por Ko, ln por log y expresando el resultado en

km

Fresulta:

km

F

r

Dlog

0241,0C

eqan

(27)

La expresin (27) nos permite calcular la capacidad con respecto al neutro de cada fasede una lnea trifsica con disposicin asimtrica en la que se han hechotransposiciones.

A esta capacidad tambin se la suele nombrar como capacidad de servicio.

Efecto del suelo sobre la capacidad de las lneas trifsicas

Es sabido que el suelo influye en la capacidad de las lneas pues su presencia modificael campo elctrico entre conductores.

-21-


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Para tomar en cuenta este fenmeno, aplicaremos el mtodo de las imgenes, queconsiste en remplazar a la tierra por un conductor imagen del conductor real, ubicadobajo tierra a una distancia igual a la del conductor real hasta la tierra. El conductorimagen tiene una carga de igual magnitud y signo contrario a la del conductor real.El mtodo puede ser aplicado a un sistema trifsico como el indicado en la Fig. 9.

Fig. 9

Lneas trifsicas y su imagen

Para calcular la capacidad en este caso, se aplica el mismo mtodo que utilizamos paralas lneas con disposicin asimtrica pero tomando en cuenta los conductores reales y

las imgenes virtuales. El mtodo consiste en calcular las diferencias de potencial abV y

Vac para las tres posiciones del ciclo de transposiciones y promediar dichos valores.

Posteriormente se igualan las suma de VV acab obtenida por va del anlisisgeomtrico con la obtenida por va del anlisis del diagrama vectorial de tensiones.Para la disposicin indicada en la figura 9; por la va geomtrica; obtendramos lassiguientes expresiones:

)]H

Hln

D

D(lnq)

H

Hln

D

r(lnq)

H

Hln

r

D(lnq[

k2

1V

31

23

31

23c

12

2

12b

1

1212aab

)]H

Hln

D

r(lnq)

H

Hln

D

D(lnq)

H

Hln

r

D(lnq(

k2

1V

31

3

13

c

12

23

12

23b

1

1313aac

En igual forma calculamos estas tensiones para las otras dos posiciones, ypromediando y sumando lo igualaramos finalmente a la suma obtenida por va deldiagrama vectorial, esto es:

anacab V3VV

(28)

-22-


23/26


De la igualdad (28), podemos finalmente despejar la capacidad respecto al neutro deuna lnea trifsica con disposicin asimtrica teniendo en cuenta el efecto del suelo,resultando la siguiente expresin:

km

F

HHH

HHHlog)r

Dlog(

0241,0C

3321

3 132312eqn

(29)

Comparando la (27) con la (29), podemos evaluar el efecto de introducir la presencia dela tierra. Como conclusin de dicha evaluacin podemos decir que cuanto mayor sea ladistancia de los conductores reales al suelo en relacin con la distancia de separacinentre ellos, menor ser el efecto del suelo. En caso contrario observaremos un aumento

de la capacidad nC .

Capacidad de lneas trifsicas de circuitos paralelos o lneas con subconductores

Estudiaremos tres casos, pudiendo hacerse un estudio semejante para cualquierdisposicin, utilizando como metodologa la misma que utilizamos para las lneastrifsicas simples con disposicin simtrica o asimtrica.Veamos a continuacin el caso de una lnea de doble terna con los conductoresdispuestos como vrtices de un hexgono regular (Fig. 10).

Fig. 10

Doble terna simtrica

Por tratarse de una disposicin simtrica no necesita transposiciones, obtenindose lassiguientes expresiones:

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)]3ln3

1(lnq)

3

2ln

D

r(lnq)

2

3ln

r

D(lnq[

k2

1V cbaab

)30(Vr2

D3lnqq(

k2

1V )baab

. De igual forma:

)31(Vr2D3ln)qq(

k21V caac

Sumando (30) y (31) , e igualando a anV3 tendremos:

Vr2

D3ln)qqq2(

k2

1V3VV cbaanacab

:resulta0qqq:Siendo cba )32(r2

D3ln

k2

q3V3 aan

Teniendo en cuenta la definicin de capacidad obtendremos:

)33(

r2

D3ln

k2

V

qC

an

an

Reemplazando en la (33) la constante k por su valor correspondiente al vaco es decir

para un 1kr , transformando ln en log y llevando las unidades akm

Fobtendremos

finalmente:

)34(km

F

r2

D3log

0241,0Cn

La expresin (34) da la capacidad respecto al neutro de cada conductor de una de lasfases. Si quisiramos la capacidad de la fase completa la misma resultara el doble dela calculada para cada conductor.

Capacidad de una doble terna convencional

Se trata de una doble terna con los conductores dispuestos asimtricamente como seindica en la Fig. 11. En la misma podemos observar las fases en las tres posiciones delciclo de transposicin.

-24-


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Fig. 11

Doble terna asimtrica, transposiciones

Como puede observarse en la Fig. 11 las fases homlogas o los subconductorespertenecientes a la misma fase se trasponen de forma tal que permanezcan lo msalejados posible. Esta opcin para trasponer hace disminuir la inductancia por fase peroaumenta la capacidad respecto al neutro.

Para el clculo de la capacidad se utiliza el mismo mtodo que el utilizado para laslneas trifsicas con disposicin asimtrica. Esto es calcular abV y acV para las tres

posiciones del ciclo y tomar el valor medio. Posteriormente a partir de la igualdad (28)

anacab V3VV

Podemos obtener la capacidad respecto al neutro de cada uno de los subconductores.

conductorkm

F

)fg.(d

r2log

0241,0C

3

23n

(35)

La capacidad del conjunto de los dos subconductores por fase respecto al neutro serel doble de lo indicado en la (35).Un mtodo alternativo para calcular la capacidad de las lneas de circuitos paralelos ocon subconductores por fase es el de la distancia media geomtrica modificada (Ds).Para ello partimos de la expresin genrica para lneas trifsicas asimtricas (27) yreemplazamos r por Ds resultando:

kmF

'D

Dlog

0241,0

C

S

eqn (36)

Aplicando la (36) a la fig.11 obtendremos:

BC4

AB3

ACBCABeq Dg.dg.dg.dDdondeDDDD

-25-


26/26


)37(hd2gdDhd2h.d2.hd2D 3eq4

AC21

Por su parte Ds ser la media geomtrica de las Ds correspondientes a cada posicindel ciclo, esto es:

)38(hrfr'Dhr'D'Dfr'D:donde'D'D'D'D 3S23S1S3 3S21SS 21

Reemplazando (37) y (38) en (36) y multiplicando y dividiendo por 2 obtenemos:

fasekm

F

]f

gd

r

2log

0241,02C

32

3n

(39)

La expresin (39) nos da la capacidad respecto al neutro por fase (dos subconductores)de la lnea de la figura 11. Esto demuestra que el mtodo de la DMG modificada esaplicable a las lneas con subconductores o de circuitos paralelos.Debe aclararse que las expresiones obtenidas por los dos mtodos son aproximadaspor cuanto se supuso una distribucin de cargas uniforme sobre los conductores, comoas mismo se supuso que cada conductor tiene la misma carga en cualquier posicindel ciclo y por haber despreciado el efecto del suelo. De cualquier manera estasdiferencias son despreciables en la mayora de las lneas areas.

NOTA: Verificacin del denominador de la expresin (39) (ver Fig.11)

3

3

21

21

21

21

hrfrdh2gdlog

3hrfr

dh2gdlog

S'DDeqlog

3

2

21

213

223

32

23

21

2

3

f

gd

r

2log

2

12

r

d

f

glog

2

1

fr

2gdlog

2

2 323

BIBLIOGRAFA

1. Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia.-Willian D. Stevenson. Ed.Mcgraw-Hill.2. Redes Elctricas.- Jacinto Viqueira Landa.-Ed. Rep. y Servicios de Ingeniera.3. Sistemas Elctricos de Gran Potencia B. M. Weedy Ed. Revert S.A.

2- Parametros de Lineas de Transmision

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